복습 : 유도용량 솔레노이드의유도용량 L 은다발이음 N B 과전류 i 의곱이다 N B L i 단위는헨리 (H) 이다. [ L ] [ ] B 1 H 1 T m [ i] 1 A 길이 l, 면적 A, 감은수 n 인솔레노이드의유도용량 L 0 n la Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 1
복습 : RL 회로 emf 연결 emf 제거 L = L/R L d i d t ir V e m f L d i d t ir 0 V e m f i ( t ) 1 R e t / L / R i( t ) i 0 e t / L i 0 V e m f / R October 1, 01 University Physics, Chapter 30
전자기짂동 지금까지는전류가일정하게흐르는회로또는전류가일정한값으로증가하거나감소하는회로를탐구했다. 이제저항기, 축전기, 유도기, 구동기전력등으로구성되어전류와전압이사인함수로진동하는회로를탐구한다. 이회로에서는이전회로에는없는현상들이나타난다. 공명, 변압기 저항기 R + 축전기 C 전류는시간상수 C = RC 에따라지수함수적으로변한다. 유도기 L+ 저항기 R 전류는시간상수 L = L/R 에따라지수함수적으로변한다. 유도기 L + 축전기 C 전류와전압이주기적으로 ( 사인모양으로 ) 시간에따라변한다. 전류와전압의이러한변화를전자기진동이라고한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 3
유도기의에너지 축전기의전기장에저장된에너지 유도기의자기장에저장된에너지 U E 1 q C U B 1 L i 전자기진동을이해하기위하여유도기와축전기하나씩으로구성된단일고리회로, 즉 LC 회로를생각해보자. LC 회로에서이들에너지가시간에따라어떻게변하는가를살펴보자. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 4
LC 회로 (1) 축전기는초기에완전히충전되어회로에연결된다. 이때회로의에너지는축전기의전기장에저장된전기에너지뿐이다. 회로에흐르는전류는 0 이다. 축전기가방전을시작한다. 회로의전기에너지, 전류, 자기에너지의시간변화를조사한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 5
LC 회로 () October 1, 01 University Physics, Chapter 30 6
LC 회로 (3) 축전기의전하는시간에따라변한다. 최대양수값 0 최대음수값 0 최대양수값 유도기의전류도시간에따라변한다. 최대음수값 0 축전기의전하는전하량의제곱에따라변하고, 유도기의에너지는전류의제곱에따라변한다. 0 최대값 0 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 7
LC 짂동 (1) 축전기 C 와유도기 L 만있고저항은없다. 회로의에너지 U 는축전기의전기에너지와유도기의자기에너지의합이다. U U U 전기및자기에너지를전하와전류로표기하면다음과같다. E B 1 q 1 U U U L i E B C 저항이없으므로전기장과자기장은보존되고, 회로의에너지는일정하다. 따라서에너지의시간미분은 0 이다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 8
LC 짂동 () 에너지의시간미분 d U d 1 q 1 q d q d i L i L i d t d t C C d t d t 0 i = dq/dt 이므로결국다음을얻는다. d i d d q d q d t d t d t d t 미분방정식 q d q d q d q q d q L L C d t d t d t C d t 0 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 9
LC 짂동 (3) 미분방정식 용수철에매단질량 d q q d t L C 0 d x k x d t m 0. 전하의시간변화 q q m a x c o s 0 t 는위상상수 0 는각진동수 미분방정식의해 x x m a x c o s 0 t 는위상상수 0 는각진동수 0 1 L C 1 L C 0 k m October 1, 01 University Physics, Chapter 30 10
LC 짂동 (4) 전류의시간변화 i d q d t d d t q m a x c o s 0 t 0 q m a x sin 0 t 회로에흐르는최대전류가 i max = 0 q max 이므로 전기에너지의시간변화 i i m ax sin ( 0 t ) U E 1 q C 1 q m a x c o s 0 t C q m a x C c o s 0 t October 1, 01 University Physics, Chapter 30 11
LC 짂동 (5) 자기에너지의시간변화 U B 1 L i L i m a x sin ( 0 t ) L i m a x sin ( 0 t ) 각진동수 i q m ax 0 m ax 0 1 LC 다음을얻는다. L L q i q m a x 0 m a x C m a x October 1, 01 University Physics, Chapter 30 1
LC 짂동 (6) 자기에너지의시간변화 회로의전체에너지 U B q m a x sin ( 0 t ) C U U E U B q m ax C co s 0 t q m ax C sin ( 0 t ) U q m ax C sin ( 0 t ) co s 0 t 따라서회로의전체에너지는일정하고축전기에쌓인최대전하량의제곱에비례한다. q m a x C October 1, 01 University Physics, Chapter 30 13
보기문제 30.1: LC 회로의특성 (1) 축전기 C = 1.50 F 의축전기와 L = 3.50 mh 의유도기가있다. V emf = 1.0 V 의전지로축전기를완전히충전시킨다음에회로에연결한다. 문제 : 회로의각진동수는얼마인가? 회로의총에너지는얼마인가? t =.50 s 에서축전기의전하는얼마인가? 답 : 회로의각진동수는다음과같다. 0 1 L C 1 3.5 0 1 0 3 H 1.5 0 1 0 6 F 4 1.3 8 1 0 H z 0 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 14
보기문제 30.1: LC 회로의특성 () 축전기의최대전하량 q m ax e m f C V 1.5 0 1 0 6 F 1.0 V q m a x 1.8 0 1 0 5 C 회로에저장된에너지는다음과같다. U q m a x C 1.8 0 1 0 5 C 1.5 0 1 0 6 F 1.0 8 1 0 4 J October 1, 01 University Physics, Chapter 30 15
보기문제 30.1: LC 회로의특성 (3) 전하의시간변화 q q c os t m a x 0 at t 0, q q 0 m ax q q co s t m ax 0 5 q m a x 1.8 0 1 0 C a t q t q 1. 1 1 0-5 4 1.3 8 1 0 H z 0.5 0 s, w e h a v e 5 4 1.8 0 1 0 C c o s 1.3 8 1 0 H z.5 0 s C October 1, 01 University Physics, Chapter 30 16
보기문제 30.1: LC 회로의특성 (5) 축전기전하의시간변화 q q m a x c o s 0 t 유도기전류의시간변화 각진동수 i i m a x sin 0 t 1 1 0 LC LC 전기에너지 자기에너지 총에너지 U E q m a x C U B L i m a x c o s sin U U E U B q m ax 0 t 0 t C October 1, 01 University Physics, Chapter 30 17
RLC 회로 (1) 이번에는축전기와유도기는물론저항기도 포함된단일고리회로, RLC 회로를살펴보자. 앞절에서축전기와유도기회로의에너지가 상수이고, 에너지가전기에서자기, 자기에서전기에너지로변환되면서 손실이없었다. 그러나회로에저항기가있으면전류가흐르면서저항손실이발생하여열에너지로흩어진다. 따라서회로의에너지는감소하고, 에너지의손실율은다음과같이주어진다. du dt i R October 1, 01 University Physics, Chapter 30 18
RLC 회로 () 에너지의시간미분 d U d t d d t U E U B q C d q d t L i d i d t i R i = dq/dt, di/dt = d q/dt 미분방정식 q C d q d t L d q d t L i d i d q d t d t i R q C R q C 0 d q d t L d q d t d q d t d q d t R 0 미분방정식의해 q q m ax e R t 0 L co s t R L October 1, 01 University Physics, Chapter 30 19
RLC 회로 (3) 축전기를충전시킨다음에회로에연결하면축전기의전하가시간에따라사인함수로진동하면서진폭이지수함수적으로감소한다 감쇠진동 아래그림참조 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 0
RLC 회로 (4) 결과 : 전하는사인함수로변하지만진폭은지구함수적으로감쇠한다. 얼마간시간이지나면회로에서전류가사라진다. 축전기에저장된전기에너지를계산하면회로에너지의시간변화를알수있다. U E 1 q C 1 q m a x e R t L c o s t C q m ax C e R t L co s t 축전기에저장된전기에너지는지수함수적으로감소하면서진동한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 1
교류 (1) 이번에는축전기, 유도기, 저항기와기전력장치를포함한단일고리회로를생각해보자. 기전력장치는시간에따라변하는전압을회로에공급한다. 기전력장치가공급하는사인모양의전압을다음과같은구동기전력이라고한다. v V t e m f m ax sin = 구동기전력의각진동수 V max 구동기전력의최대진폭 October 1, 01 University Physics, Chapter 30
교류 () 회로에유도되는전류또한시간에따라사인모양으로변한다. 이전류를교류 (AC) 라고부른다. 그러나교류가항상구동기전력과위상이맞는것이아니기때문에전류의시간함수를다음과같이표기한다. i I sin t 교류의각진동수는구동기전력과같지만위상상수 는 0 이아니다. 결국전압과전류의위상이반드시맞는것이아니다. 한편관례에따라위상상수앞에음의부호가나온다. 순간값은소문자 (v, i ), 진폭은대문자 (V, I) 로표기한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 3
RLC 회로를분석하기전에, 먼저저항기와구동기전력만포함한저항기회로를조사해보자. 키르히호프의고리규칙을적용하면다음을얻는다. v R 은저항기의전압강하이다. 전압강하의시간변화 옴의법칙 V = ir 에서 저항기회로 (1) v v 0 v v em f R em f R v V sin t R R v R i I s in t R R R October 1, 01 University Physics, Chapter 30 4
저항기회로 () : 위상자 결국전류진폭과전압은다음과같다. V R I R R 시간함수인전류와전압을아래그림처럼각각위상자 I R 과 V R 로표기할수있다. 위상차 =0 위상자는 ( 꼬리가원점에있으며 ) 반시계방향으로회전하는벡터이다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 5
축전기회로 (1) 축전기와구동기전력만포함한저항기회로를조사해보자. 키르히호프의고리규칙을적용하면다음을얻는다. q = CV v V sin t C C q C v C C V C sin t 전류의시간변화 i C d q d t d C V C sin t d t C V C c o s t October 1, 01 University Physics, Chapter 30 6
축전기회로 (): 용량형반응저항 저항처럼용량형반응저항을정의하면 전류 X i C C 1 C V X C C c o s t 전류의시간변화 i C I C co s t I C sin t 9 0 전류와구동기전력의위상차 = 90 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 7
축전기회로 (3): 위상자 전류위상자 = I C 구동기전력위상자 =V C 따라서축전기만있는회로에흐르는전류의표현식은저항기만있는회로에흐르는전류의표현식과비슷하다. 다만전류와전압의위상이 90 어긋난다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 8
축전기회로 (4) 축전기에걸리는전압의진폭과축전기를지나는전류의진폭은다음과같이연결된다. V I X C C C 이결과에서용량형반응저항을저항으로대체하면바로옴의법칙과같은형태를얻는다. 용량형반응저항과저항의근본적인차이는시간의존성이다. 저항은일정하지만용량형반응저항은구동기전력의각진동수에의존한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 9
유도기회로 (1) 끝으로유도기와구동기전력만포함한회로를조사해보자. 역시키르히호프의고리규칙을적용하여유도기에걸리는전압으로다음을얻는다. 유도기에서시간에따라변하는전류가유도하는기전력은다음과같다. 따라서 v V sin t v L L L L di L dt dil d i V L L L V s in t L s in t dt d t L October 1, 01 University Physics, Chapter 30 30
유도기회로 () 전류의시간미분이아니라전류자체를원하므로, 위식을적분하여다음을얻는다. d i V V L L L i d t s in td t c o s t L d t L L 용량형반응저항처럼유도형반응저항으로정의하면 X L L 옴의법칙과비슷하게다음을얻는다. v L i L X L ( 역시일정한저항과달리각진동수에의존한다.) October 1, 01 University Physics, Chapter 30 31
유도기회로 (3) 유도기에흐르는전류의시간변화 v L i c o s t I c o s t I sin t 9 0 L L L X L 전류와구동기전력은위상이 -90 어긋난다. 전류진폭과전압진폭의관계 V I X L L L October 1, 01 University Physics, Chapter 30 3
요약 : RLC 회로 RLC 회로전류의시간변화 각진동수 R t q q m ax e L co s t R 0 L 0 1 LC 축전기에저장된전기에너지의시간변화 U E q m ax C e R t L co s t October 1, 01 University Physics, Chapter 30 33
구동기전력 요약 : 저항과반응저항 V em f V m ax sin t 저항기회로 : V R V R i I s in t R R R 저항 R 축전기회로 : V C X C 1 V C i C sin ( t 9 0 ) C X C 용량형반응저항 X C 유도기회로 : V L X L L i L V L sin t 9 0 X L 유도형반응저항 X L October 1, 01 University Physics, Chapter 30 34
요약 : 위상과위상자 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 35
직렬 RLC 회로 (1) 이제는세회로요소와함께구동기전력으로구성된단일고리회로인직렬 RLC 회로를살펴보자. 전류의시간변화를위상자 I 로분석한다. 위상자 I 의수직축투영은전류의시간함수이다. 위상자각도는 t - 이다. 또한전압을위상자 V 로기술한다. 시간에따라변하는전류와전압은위상차가있을수있다. V October 1, 01 University Physics, Chapter 30 36
직렬 RLC 회로 () 저항기 전압 v R 과전류 i R 은위상이맞고, 전압위상자 V R 과전류위상자 I 는위상이맞는다. 축전기 전류 i C 가전압 v C 를 90 앞서므로, 전압위상자 V C 의각도는전류위상자 I 보다 90 작다. 유도기 전류 i L 이전압 v L 에 90 뒤처지므로, 전압위상자 V L 의각도는전류위상자 I 보다 90 크다. i R V R V C i C V L i L October 1, 01 University Physics, Chapter 30 37
직렬 RLC 회로 (3) RLC 회로의전압위상자 각회로요소에걸리는순간전압은해당하는위상자의수직축에대한투영으로기술한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 38
직렬 RLC 회로 (4) 키르히호프의고리규칙에따르면모든요소에서생긴전압강하의합은반드시 0 이므로다음을얻는다. V v v v 0 V v v v R C L R C L 전압위상자의수직축투영값은구동기전력의전압위상자 V max 이다. 그림에서두전압위상자 V L 과 V C 의합은위상자 V L V C 이다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 39
직렬 RLC 회로 (5): 온저항 두위상자 V L - V C 와 V R 은 V max 와같으므로 전압을저항과반응저항으로표기하면 V m ax 회로에흐르는전류로다음을얻는다. V m ax I V R V L V C IR IX L IX C V m ax R X L X C 분모를온저항이라고부른다. Z R X L X C 직렬 RLC 회로의온저항은구동기전력의진동수에의존한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 40
직렬 RLC 회로 (6): 위상 교류회로에흐르는전류는용량형반응저항과유도형반응저항의차이, 즉전체반응저항에의존한다. 용량형반응저항과유도형반응저항의차이를위상상수 로표기할수있다. 위상상수는전압위상자 V R 과 V L - V C 의위상차로정의한다. 따라서다음을얻는다. ta n V V X X ta n V R R 1 L C 1 L C October 1, 01 University Physics, Chapter 30 41
교류회로의가능한세조건 직렬 RLC 회로 (7) X L > X C,, >0 이고, 회로의전류는전압에뒤처진다. 이회로는유도기만포함된회로와비슷하게거동하지만위상상수가반드시 90 는아니다. X L < X C, <0 이고, 회로의전류는전압을앞선다. 이회로는축전기만포함된회로와비슷하게거동하지만위상상수가반드시 -90 는아니다. X L = X C, =0 이고, 회로의전류와전압은위상이맞는다. 이회로는저항기만포함된회로와비슷하게거동하며, 특히공명회로라고부른다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 4
직렬 RLC 회로 (8) X L > X C X L < X C X L = X C X L = X C 및 = 0: 최대전류가흐르며, 공명각진동수를다음과같이정의한다.. 1 1 L 0 0 C LC October 1, 01 University Physics, Chapter 30 43
실제 RLC 회로 실제 RLC 회로 R = 10, L = 8. mh, C = 100 F V max = 7.5 V 최대전류를각진동수의비율로측정한다. 기대한대로최대값은공명진동수에서생긴다.(/ 0 = 1) L 과 C 는실제와계산이일치한다. 그러나 R = 10 에서계산결과 ( 초록색 ) 와측정결과가일치하지않는다. R = 15.4 을사용하면일치한다. 유도기가저항을가지기때문이다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 44
RLC 회로의공명거동 RLC 회로의공명거동은감쇠진동자의거동과비슷하다. V max = 7.5 V, L = 8. mh, C = 100 F 이고, 저항이다른회로에대해서최대전류를각진동수의비율로계산했다. 저항이작아지면공명각진동수의최대전류가증가하여봉우리가날카로워진다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 45
RLC 회로의에너지와일률 (1) RLC 회로가작동하면에너지의일부는축전기의전기장에, 일부는유도기의자기장에저장되고, 일부는저항기에서열의형태로흩어진다. 축전기와유도기에저장된에너지는정상상태에서는변하지않는다. 따라서기전력이회로에공급하는에너지는저항기로전달된다. 저항기에서흩어지는에너지비율, 즉전력 P 는다음과같다. 평균전력 P i R I sin t R I R sin t P 1 I R I R October 1, 01 University Physics, Chapter 30 46
RLC 회로의에너지와일률 () 평균제곱제곱근 (rms) 전류는다음과같이정의한다. 평균전력 : I r m s 비슷한방법으로역시시간에따라변하는전압과구동기전력을다음과같이정의할수있다. V V m a x rms 전압 : V rms 구동기전력 : V r m s 전류계와전압계로측정한값, 즉교류의전류와전압은통상 rms 값으로표기한다. 110 V 를공급하는경우에 rms 전압은최대전압에해당한다. I P I R rm s 1 1 0 V 1 5 6 V m a x, r m s October 1, 01 University Physics, Chapter 30 47
RLC 회로의에너지와일률 (3) rms 전류공식 m a x,rm s 회로에서흩어지는평균전력을다시표기하면 위상상수의코사인이 평균전력은 I rm s V Z R V m a x, rm s 1 L m ax,rm s I R I V rm s rm s rm s m a x, rm s P I R V Z C R Z c o s V V R m a x IR IZ R Z P I V co s rm s rm s = 0 일때흩어지는전력이최대이며, cos() 를전력인자라고부른다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 48
변압기 (1) 회로에공급하는전력은응용에따라고전류또는고전압을선택하여사용한다. 예컨대컴퓨터나진공청소기를작동시키기위해서는저전압, 고전류가유리하다. 그러나전력송전에서는반대조건인고전압, 저전류를요구한다. 송전선에서흩어지는전력 : P = I R 500 MW 를생산 750 kv 로송전 전류 = 500 MW/ 750 kv =667 A 송전선의저항 =00 흩어지는전력 =(667A) (00 )=89 MW 18% 손실 375 kv 로송전 75% 손실 안전한저전압으로전력을생산하고실용적인고전압으로송전하려면전압을손쉽게바꿀수있어야한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 49
변압기 () 교류와교류전압은변압기라고부르는장치로전압을쉽게바꿀수있다. 변압기는그림처럼철심주위에전선을감은두코일로구성된다. 감은수가 N P 인일차코일은교류전원에연결되어있다. V V t e m f m a x sin 일차코일은유도기처럼거동한다. 일차코일에서전압과전류의위상이 90 어긋나므로전력인자는 0이다. 따라서변압기에일차코일만연결되어있으면전원은변압기에전력을공급하지못한다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 50
변압기 (3) 저전압을고전압으로바꾸는변압기를승압변압기, 고전압을저전압으로바꾸는변압기를강압변압기라고부른다. 변압기이차코일의감은수를 N S 라하자. 일차코일의시간에따라변하는기전력은시간에따라변하는자기장을철심에유도하고, 철심이이차코일을통과하므로이차코일에전압을유도하게된다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 51
변압기 (4) 이차코일에유도되는시간에따라변하는전압은페러데이의유도법칙에따라다음과같다. V 철심, 일차및이차코일모두같은 e m f d 자기다발이지나므로다음과같다. N dt B V V N P S V V S P N N N P S P 결국변압기는이차코일의감은수를일차코일의감은수로나눈비율로일차코일의전압을이차코일의전압으로바꿔준다. S October 1, 01 University Physics, Chapter 30 5
변압기 (5) 저항기 R 이이차회로에연결되면전류 I S 가이차코일에흐르기시작하여, 이차회로의전력은 P S = I S V S 가된다. 이전류또한시간에따라변하는자기장을유도하여일차코일에전압을유도한다. 전원에원래의전압을유지하기에충분한전류 I P 가생긴다. 전류는전압과위상이맞는다. 따라서저항기의전압, 즉전력이변압기로송전된다. 한편에너지보존에따라일차코일에공급된전력은이차코일로전달되어야하므로, 이차코일의전류를다음과같이표기할수있다. P P I V P I V I I I P P P S S S S P P V V S N N P S October 1, 01 University Physics, Chapter 30 53
변압기 (6) 이차회로에전류가흐르기시작하면일차코일에전력을공급해야한다. 이차회로에서 V S = I S R 이므로 일차회로의전류는 N N V N N 1 N V I I V P S P N N R N N R N R P P P P P S S S S S S P 일차회로의전압을 V P = I P R P 로표기하면유효저항 R P 는다음과같다. V N R N I N V N P S P S P P P R V R P P October 1, 01 University Physics, Chapter 30 54
변압기 (7) 지금까지변압기에서에너지손실이없고, 일차코일이유일한유도기이고, 일차및이차코일사이의자기장에서손실이없고, 이차회로에만저항이있다고가정했다. 그러나실제변압기에는손실이있다. 일부손실은코일의교류자기장이변압기의철심에맴돌이전류를유도하기때문에생긴다. 이효과를막기위하여변압기의철심을박판층으로구성한다. 변압기의또다른중요한응용은온저항맞춤이다. 전원과전기기기의온저항이서로일치할때최대비율로전력을전달할수있다. 증폭기와스피커사이에설치한변압기가두장치의온저항을맞춰서전력전달을효율적으로만든다. October 1, 01 University Physics, Chapter 30 55
문제 : 변압기 모형기차의변압기를 10 V 의교류전원에연결하면 0.35 A 의전류가흐르면서기차에 7.5 A 를공급한다. 문제 : A) 기차선로에걸리는전압은얼마인가? B) 승압변압기인가, 감압변압기인가? 답 : A) I S V P I P V S I P V P 0.3 5 A V S I S 7.5 A 1 0 V 5.6 V B) 감압변압기 October 1, 01 University Physics, Chapter 30 56