jjm e#4# d 19 r 유동망시스템해석을위한경계처리에대한보존형유한체적법 ââä ä âõââ ãä CONSERVATIVE FINITE VOLUME METHOD ON BOUNDARY TREATMENTS FOR FLOW NETWORK SYSTEM ANALYSES S.W. Hong 1 and C. Kim *2 From numerical point of view on flow network system analyses, stagnation properties are not preserved along streamlines across geometric discontinuities. Hence, GJM and DTM using ghost cell and thermodynamic relations are developed to preserve the stagnation enthalpy for the boundaries, such as the interfaces between junction and branches and the interface between two pipes of different cross-sections in serial pipelines. Additionally, the resolving power and efficiencies of the 2nd order Godunov type FV schemes are investigated and estimated by the tracing of the total mechanical energy during calculating rapid transients. Among the approximate Riemann solvers, RoeM is more suitable with the proposed boundary treatments especially for junction than Roe s FDS because of its conservativeness of stagnation enthalpy across geometric discontinuities. Key Words : 유동망시스템 (Flow Network System), 유한체적법 (Finite Volume Method), 경계처리 (Boundary Treatment), 정션결합 (Junction Coupling), 유령정션법 (Ghost Junction Method), 직접변환법 (Direct Transform Method) 1. INTRODUCTION 급 배수관망 [1], 터널내공기역학 [2], 자동차엔진및 Manifold[] 의기체역학등유체네트워크시스템의여러응용문제가공학분야에서다루어져왔다. 이러한유동망문제를계산하는데있어서 Junction에서의결합기법및경계면에대한처리는이론해를얻기위한필수적인요소다. 전통적으로 Junction에서질량보존법칙에기초한다음의결합조건이널리사용되어왔다 [4-6]. 1 Mass conservation law: Þ ß G â 2 Single pressure: Geometry and flow-dependent pressure loss: à Þì ß 이러한조건은운동량상호작용 (Momentum Interaction) 에대한물리적성질을반영하기위하여 Junction에서많은손실계수 (Loss Coefficient) 를사용해야하며, 결합조건 (Coupling Condition) 으로부터분기관 (Branch Pipe) 의경계조건을얻기위하여반복계산을요구한다. 그러나, 손실계수에대한상관식 (Correlation) 이알려져있는전형적인몇가지 Junction Type을제외하면복잡한유동망시스템내임의의 Junction-Branch 조합에대하여손실계수를이론적으로유도하는것은매우어려우며경험적인상관식역시얻기어렵다. 따라서, 이러한정션결합법 (Junction Coupling Method) 의단점들을보완하기위하여 Junction에서운동량상호작용을고려할수있는유한체적결합법을제안하게되었다. 아울러, 유동망시스템의경계면에대한보존형경계처리법역시제안하였다. 2. GHOST JUNCTION METHOD 1 학생회원, 서울대학교대학원기계항공공학부 2 정회원, 서울대학교기계항공공학부 * Corresponding author, E-mail: chongam@snu.ac.kr 2.1 GOVERNING EQUATION Junction 에서마찰력과열전달이없다고가정하면, Ghost Junction Cell 에대한지배방정식은다음과같다.
20 r e#4# d jjm R,w ' R, w K K 2 1 K K 2 1 R 2,w R 1,w Equivalent ' R 1, w (a)type1 (b)type2 2 (a) K 2 K 1 1 Ghost junction cell Neighbor cell from branch (b) Fig. 1 Ghost Junction Cell (c)type (d)type4 Fig. 2 T-Junction Configurations ª à Ÿ à ª (1) 여기서아래첨자 R 은유효벽면을나타낸다. 파이프유동에대한 1 차원 Euler 방정식은다음과같다. â ª, Ÿ â â Þ â ß (2) ª à Þ âîî Ÿ âîî à à Îî Ÿ à Îî ßâ à «(6) ª, Ÿ â Þ â ß (7) â â, Þ ì ì ß () ÞàÎß à ì Þ â ß (4) 여기서 U, N 은 Junction Interface( 정션경계면 ) 에수직인속도와단위벡터이다. 전통적인절점기반 (Node-based) 의 Junction Coupling Method( 정션결합법 ) 에서정상상태로가정하여결합조건을유도한것과흡사하게본연구에서는Junction에서준정상상태로가정하였다. 이러한가정하에이웃격자들의평균체적을유령정션격자의체적으로사용하였고식 (1) 의우변에있는시간미분항은무시하였다. Junction에서운동량균형 (Momentum Balance) 을고려하려면벽면에서압력에의한반력이중요하므로이를고려해야한다. 벽면효과는다음의힘벡터 (Force Vector) 로표현된다. Ÿ ««««(5) 여기서,,,,,, 은각각밀도, 속도, 압력, 토탈에너지, 단면적, 격자체적을나타낸다. 주소스벡터는압력, 벽면마찰, 그리고중력에의한힘으로구성되며다음과같다. Þ ì â ì ß Å â Þ âîî à à Îî ßâ (8) 여기서 ì 와 ì 은벽면전단응력의정상부분과비정상부분을나타내며, Å,,, 은단면접속길이, 격자크기, 파이프축방향중력가속도성분, 격자체적내유체의질량을나타낸다. 이밖의물리현상에대한모델링을추가해야하는경우보조소스벡터를추가할수있으나, 본연구에서는생략하였다. 2.2 FINITE VOLUME METHOD ON JUNCTION COUPLING Fig. 1(b) 에서 Ghost Junction Cell은인접한이웃분기관의경계면과벽면으로둘러쌓여있으며, 제어체적은하나의셀로구성되어있다. Junction에서는데카르트좌표계를사용하고분
jjm e#4# d 21 r 기관에서는 1 차원국부좌표계를사용하므로 Junction Interface 에서플럭스벡터는좌표계에따라서다음과같이표현된다. Ÿ Ð Ð Ð Ð Ð Ð,Ÿ Î Î Î Î Ð Ð â Ð â Ð Ð Junction Interface 에서수치플럭스는식 (9) 의왼쪽에있는 데카르트좌표계에서의표현으로얻을수있으며, 동일시간단 계에이웃분기관의경계조건으로사용된다. 이때, 식 (9) 의 오른쪽식에의해 1 차원국부좌표계로변환하여사용한다. (9) 지배방정식의공간차분에 Roe's scheme 을적용하고분리된 속도벡터를이용하면, Continuity 방정식과운동량방정식으로 부터 Junction Interface 에서압력변화량을유도할수있다. 압 력변화량은 Interface 에수직인속도성분에의한변화량과수 평성분에의한변화량의합으로정리된다. 수식의유도과정 은본논문에서는생략하였다. âçç à à Î â â â â â (15) 여기서, î. 식 (15) 의우변의첫번째항은 Interface 에수직인속도성분의차에의한것이며식 (16) 으로 정의되는 Joukowsky 의 Water-hammer 방정식 [7] 과같다. 2. JUNCTION INTERFACE TREATMENT Junction Interface에서의물성치변화를유도하기위하여다음과같이속도벡터를Interface에수직인성분과수평인성분으로나눈다. Þììß â (10) 여기서, (11) à (16) 그런데우변첫번째항은수치적특수성으로인하여 Junction Interface에서비물리적인 wave source로작용할수있다. 예를들면, Fig. 2(b) 에서 90 o Counter-Dividing Configuration 을생각해보자. Junction에서 x방향속도성분 u의셀평균값은 0이되지만, 인접한이웃셀에서는유한값을갖는다. 따라서, 우변첫번째항은큰값을갖게된다. Junction Interface에서발생하는이러한현상은순전히수치적특수성에기인한것이므로적절한치료법이제시되어야한다. 따라서, 무차원스케일링함수를다음과같이고안하였다. â â, ö Table 1 Stagnation Pressure Loss Coefficients for T-Junction Configurations (See with Fig. 2) Type Symbols Loss Coefficients (a) Type 1 (b) Type 2 (c) Type (d) Type 4 ù Î î ù Ð Î î Ð ù Î î ù Ð Î î Ð ù Ð î ù î Ð ù Î î ù Ð Î î Ð ì â ì â ì (12) Î Þ ì ì ß, Þ ì ì ì ì ì ß (1) ì à, ì à, ì à (14) ÎÐ Þ ìî à ìð ßî Þ ìð à ìð ß ÐÎ Þ ìð à ìî ßî Þ ìð à ìð ß Î Þ ìî à ìßî Þ ì à ìß Ð Þ ìð à ì ßî Þ ì à ì ß Î Þ ìî à ìßî Þ ìî à ìîß ÎÐ Þ ìî à ìð ßî Þ ìî à ìî ß ç _À¼Á ç ìî, Î é ¼¹ é (17) 결과적으로식 (15) 는다음과같이정리된다. 수식의간략화를위해서 2차원좌표계를사용하였다. âçç â â ç ç à Î â â (18) 식 (18) 의좌변은운동량플럭스의변화량과유사하므로 Junction에서의운동량상호작용은마하수를고정할경우, 각 Junction Interface에대하여평행한속도의차와분기관의각도에큰영향을받는다는것을알수있다. 스케일링함수를수치플럭스에반영하기위하여Fig. 에나타낸것처럼간단한투영법을적용하였다. Interface의왼쪽으로투영된 x방향속도성분은스케일링함수로처리한수직속도성분과본래의평행한속도성분의합으로얻을수있고, 오른쪽은오른쪽셀의물성치를그대로사용한다.
22 r e#4# d jjm (J+1/2) J+1/2 U (J+1) J J+1 U U R =U = U U L G U R L 0 L R x (J+1/2) J+1/2 u Reconstruction u u u = u R u L u R = u u L = u G u 0 x 0 x u R L L R R L L R (J+1/2) J+1/2 (J+1/2) J+1/2 Fig. Reconstruction to scale 2.5 ASSESSMENT 스케일링함수의효과를명확히살펴보기위하여간단한 분석및수치실험을수행하였다. 식 (15) 의첫번째항과두 번째항의크기를비교해보면마하수가작은경우첫번째항이지배적임을다음의식으로알수있다. âçç â Î â â Î â @Î (19) j âçç Fig. 4는 90 o Counter-Dividing Configuration에서유선 (,1) 에서전압력강하량의이론값에대한비율을식 (20) 로계산한값을보여준다. 스케일링함수를사용하지않은경우, í Î일때이론값보다 80배이상크다는것을알수있다. 비슷한현상이 90 o Counter-Combining Configuration에서도나타날것이다. 반면, 스케일링함수를사용한경우, 이론값을모사함을알수있다. Fig. 4 The Effect of Scaling Function 분석에의한이론적손실계수 [8,9] 와결과를비교하였다. 수치실험결과, Junction에서의손실계수에대한예측은전반적으로이론값을모사하는경향이있으며일부경우에서는완전하게같은값을보여주기도한다. 이는새로제안한 GJM이 Junction에서의운동량상호작용을물리적으로잘모사하고있으며, 스케일링함수가본래의도한바를잘반영하고있음을볼수있다.. BOUNDARY TREATMENTS 본연구에서제안하는경계면처리법의기본적인특징은경계면에서유선을따라전엔탈피 (Stagnation Enthalpy) 가보존된다는것이다. 전엔탈피는식 (21) 으로정의되며경계면에서의위치에너지변화를무시하면식 (22) 로단순화하여사용할수있다. ÞÐì Îß ÞÐìÎ ß ÞÐìÎ ß ìþðì Îß ìþðì Îß Þ ìîß j Þ íò ÞÐìÎß ß Ð ÞÐìÎß ìþðì Îß ìþðì Îß Î j ÞÐì Îß Ð (20) â Î â ³ (21) Î â à Î (22) 여기서, 위첨자 와 은각각근사치와이론값을의미한다. Þ ìß 는 Junction과파이프 간 Interface를나타내고 Þìß 는파이프 와파이프 간유선을나타낸다. 본연구에서제안한 GJM의일반적인성능을확인해보기위하여광범위한수치실험을실시하였으며Fig. 10(a-f) 에나타내었다. 여기서사용한기호와변수는Table 1에정리하였고.1 PIPE ENDS 유체시스템을구성하는중요한요소인파이프의경계면에서전엔탈피와위치에너지의변화가없다고가정할수있다. 이때, 파이프경계면이개방된경우, 외부환경 ( 대기또는 Reservoir Water) 조건은두개의열역학적물성치에의해정의되고, 입구조건은입구의손실계수와전엔탈피보존에의해외부조건으로부터다음과같이유도된다.
jjm e#4# d 2 r Pipe 1 Right interface of Pipe 1 Pipe 2 N-1 N 2 N N+1 Sudden contraction Left interface of Pipe 2 Sudden expansion (a) Upstream reservoir Rapid closure of downstream valve N N N 1 p 0 T 0 K 21 N+ 1 2 2 2 Fig. 6 Comparisons between DTM and GJM (b) Fig. 5 Direct Transfor Method in Serial Pipelines ì ì à ì â ì à Î â Î (2) â ì ³ 여기서, 아래첨자,, 0, 는각각 Ghost Cell, 입구대 기, 전물성치 (Stagnation Property) 와 동물성치 (Dynamic Property) 를나타낸다. 더욱이입구대기의운동에너지를무시할수있 으므로식 (2) 의경계조건은 Ghost Cell 에서압력과밀도로 다음과같이대체할수있다. 유속은내부로부터외삽하여얻 는다. 여기서,, 은각각입구와출구의손실계수 를나타낸다. à Þ â Î ß ì â (24) â à Î à 이와유사하게, 출구경계조건은다음과같이압력을부여 하고밀도와속도는내부로부터외삽하여사용한다. â Þ à Î ß ì (25) 파이프의개방경계면에유량을경계조건으로부여하는경 우, 압력은내부로부터외삽하여얻고, 경계면에서전엔탈피 가보존된다는조건은여전히유효하다. 그밖에파이프경계면이닫힌경우, 벽면조건을다음과 같이벽면플럭스형태로부여할수있다. 이러한조건은밸 브나댐퍼가닫힌상태를표현하기위해흔히사용된다. 여기 서벽면압력 는내부로부터외삽하여얻는다. Ÿ âîî.2 DISCONTINUITY IN SERIAL PIPELINES (26) 직렬연결관간불연속경계면 ( 단면의급격한변화 ) 이존재하는경우, 직접변환법 (Direct Transform Method) 를제안하였다. DTM은경계면에인접한 Ghost Cell과 Inner Cell의단면적이다른경우, 전물성치가보존되지않는문제를해결하기위해고안하였다. Fig. 5(b)(1-2-) 에나타낸것처럼, Inner Cell 의물성치는등엔트로피과정을거쳐Ghost Cell에전달된다. 이어서전압력 (Stagnation Pressure) 의압력손실계수을반영해주기위해 Fanno 유동에대한몇가지함수를사용한다. 동일시간단계에유사한변환과정 (2-1-) 이함께적용된다. DTM의첫번째단계에서등엔트로피변환을위해전물성치에대한식 (27) 의정의와식 (28) 의단면적- 마하수관계식이사용된다. Þ â ß Î â Î â à Î à Î à (27) à Î à Î
24 r e#4# d jjm Fig. 7 Traces of Energy Budgets Fig. 8 Energy Traces for Grid Resolution Test š Î š Î Î â â Î à Î î Î â à Î Î Þ à Îß (28) 두번째단계에서는식 (29) 과식 (0) 로표현되는 Fanno 유동에대한관계식이사용된다. 이를이용하여, 목표압력손실량을반영한물성치를식 (1) 의압력비함수와엔탈피비함수를이용하여유도할수있다. Ñœ Ý Ý Ñœ Þ Î ßà Ñœ Þ ß (29) Ý Î à â Î Ñœ â Þß â Î Ý â Î Ýâ î Î â à Î Ý Þ â Îß Î â à Î (0) Îî (1) 여기서위첨자 * 는가상음속점 (Imaginary Sonic Point) 에 서의물성치를나타낸다. DTM 과 GJM 의정확도비교를위하여파이프하단의밸브 를급격히닫았을때발생하는수충격 (Water Hammer Transients) 을관찰하였다. Fig. 6 로부터 0 초경과후전기계에 너지의비는 DTM 이 95%, 그리고 GJM 이 92.5% 를보여준다. 수치실험결과로부터 DTM 이 GJM 보다정확도에있어서약간 더우수한것으로나타났다. 따라서, 직렬연결관의경계면과 같이파이프 2 개가만나는 Junction 에서는 DTM 을사용하는 Fig. 9 Traces of Stagnation Pressure 것이매우유용하다. 특히, 파이프내밸프, 댐퍼등개폐장치의개폐율에따른성능곡선 (Valve Characteristics) 이주어진경우, DTM을사용하면동적모델링이쉽다. 이와유사하게팬, 펌프등의터보머신도성능곡선을반영하여모델링처리할수있다. 반면에, 파이프 개이상만나는 Junction에는 GJM 을사용한다. 4. ENERGY TRACE 4.1 TOTAL MECHANICAL ENERGY IN SYSTEM 수치기법의정확성은시스템내총기계적에너지 (Integrated Total Mechanical Energy) 의자취를비교하여평가할수있다. 전기계적에너지 (Total Mechanical Energy) 의전미분방정식은다음과같다 [7].
jjm e#4# d 25 r K K 2 1 K 2 (a) Counter-Combining Flow (Type 1) (d) K 2, Straight-Branch Combining Flow (Type ) K 1 K K 2 1 (b) Counter-Dividing Flow (Type 2) (e), Straight-Branch Dividing Flow (Type 4) K 2 (c), Straight-Branch Combining Flow (Type ) (f) K 1, Straight-Branch Dividing Flow (Type 4) Fig. 10 Test Results of GJM for T-Junctions ž ž â â â (2) ž õ Þ íò î ß, ž Þ íò õ ß () â ³, ž ž âž (4) 여기서,, 는파이프길이와단면적을나타내며, ž, ž,, 는각각내부에너지, 운동에너지, 외부로부터유체에가해진일률, 벽면마찰에의한에너지손실률을의미한다. 수치실험에사용한문제는파이프하단밸브의급격한닫힘으로인한급속압력변동 (Rapid Pressure Transients) 을유발하고파이프내기계적에너지의총량을추적하는것이다. 실험
26 r e#4# d jjm 조건은파이프길이 40m, 단면적 1m 2, 초기속도 1m/s, 그리고파이프상류경계조건은게이지전압력0pa로고정하였다. 벽면마찰조건을무시하고외부와의열전달과일이없으면, 전기계적에너지 (ž) 의총량은순전히수치점성또는수치진동에의해감쇄또는증폭할것이다. ACKNOWLEDGEMENT 서울대학교기계항공공학부대학원Brain-Korea-21 프로그램의재정적지원과항공우주신기술연구소의행정적지원에감사드립니다. 4.2 ASSESSMENT OF SECOND ORDER FV DISCRETIZATION SCHEME Fig. 7에서내부에너지와운동에너지는같은주기로교대하는경향을보여주고, 전기계적에너지는수치점성에의해감쇄하는경향이나타난다. 이것은식 (2) 의에너지방정식을추적하는것이수치기법의정확성을평가하는좋은척도가됨을의미한다. 예상했던대로, 2차공간차분유한체적법은 80개의셀을사용하고도 1280개셀을사용한 1차공간차분보다더좋은해상도를보여주고있다. 이는 Fig. 8에잘나타나고있으며, Fig. 9에서전압력에대한실험결과역시유사한경향을보여주고있다. 5. CONCLUSION 본연구에서는유동네트워크시스템해석을위한유한체적법을기술하였으며, 시스템을구성하는각요소의경계면에서수치적특수성으로인하여발생하는전물리량의비보존적특성을분석하여경계처리에대한보존형유한체적법을제시하였다. 무엇보다 Junction에서전통적인결합조건대신 GJM과 DTM을제안하였는데, 이는기존의반복계산에의한경험상관식 ( 또는이론상관식 ) 에대한의존도를탈피하여급속비정상 (Rapid Transients) 문제에대한효율성을개선하게되었다. 또한, Junction과같은지형적인불연속구간에서전엔탈피보존을보장함으로써정확도를향상시켰다. 더욱이임의의 차원연결각을갖는 Junction 조합에서는상관식을사용하기어려우며, 이러한문제에서 GJM은매우유용한대안이될것이다. 왜냐하면 GJM은임의의조합에대하여이론해를예측하는경향을보여주기때문이다. 한편, 시스템해석에사용한수치기법의정확도를평가하기위하여급속비정상문제의전기계적에너지의자취를비교하였으며, 이러한방법은수치점성에의한감쇄효과를명확하게표현하므로매우유용하다는것을확인하였다. 실험결과는 2 차정확도를갖는공간차분법이 1차정확도의공간차분법에비해정확성과효율성에있어월등함을보여주었다. REFERENCE [1] 2005, Boulos, P.F. et al., "Hydraulic Transient Guidelines for Pretecting Water Distribution Systems," Journal of AWWA, Vol.97, pp.111-124. [2] 2006, Baron, A. et al., "High-speed trains: Prediction of micro-pressure wave radiation from tunnel portals," Journal of Sound and Vibration, Vol.296, pp.59-72. [] 200, Zhang, G.Q. and Assanis, D.N., "Manifold Gas Dynamics Modeling and Its Coupling With Single-Cylinder Engine Models Using Simulink," J. Eng. Gas Turbines and Power, Vol.125, pp.56-571. [4] 1998, Guinot, V., "Boundary Condition Treatment in 2X2 Systems of Propagation Equations," Int. J. Numerical Methods in Engineering, Vol.42, pp.647-666. [5] 1984, Osiadacz, A., "Simulation of Transient Gas Flows in Networks," Int. J. Numerical Methods in Fluids, Vol.4, pp.1-24. [6] 2006, Columbo, R.M. and Garavello, M., "A well-posed Riemann problem for the p-system at a junction," Networks and Heterogeneous Media, Vol.1, pp.495-511. [7] 2004, Zhao, M. et al., "Godunov-Type Solutions for Water Hammer Flows," J. Hydraulic Engineering, Vol.10, pp.41-48. [8] 2001, Bassett, M.D. et al., "Calculation of steady flow pressure loss coefficients for pipe junctions," J. Mechanical Engineering Science, Vol.215, pp.861-881. [9] 2005, Oka, K. and Ito, H., "Energy Losses at Tees With Large Area Ratios," J. Fluid Engineering, Vol.127, pp.110-116.