I. 시공간과우주 1. 시간, 공간, 운동 [1] 시간측정과시간표준 시각과시간 시각 : 어떤사건이일어난어떤시점 ( 예 ) 8시 30분에수업을시작하였다. 시간 : 어떤시각과시각사이의간격 ( 예 ) 일어나서학교도착할때까지 2시간이걸렸다. 일반적으로는시각과시간을모두시간이라고부르는경우가많으므로시간의정확한의미를알기위해서는시간이라는단어가사용된문장의앞뒤맥락을참조하여파악하여야한다. 시간의측정 : 주기적으로반복되는자연현상을이용하여측정한다. 중세이전중세현대 자연에서규칙적으로반복되는현상 (= 주기적현상 ) 을이용문제발생 : 자연현상이반복되는주기가일정하지않음 톱니바퀴이용한시계및진자의등시성을이용한진자시계가발명되어시간측정의정확도가높아짐 (1656년) 수정결정의진동을이용한 수정시계및세슘원자의복사선을 이용한원자시계 우리나라의시계 해시계 ( 앙부일구 ) 물시계 ( 자격루 ) 해시계 + 별시계 ( 일성정시의 ) 해의위치가변함에따라변하는그림자의일정한빠르기로흐르는물의양으로시간을북극성을중심으로회전하는별자리와태양위치를읽어시각이나절기를측정한다. 측정하고일정한시간마다 (2시간마다 ) 소리의위치를통해서낮과밤의시각을정확히사계절모두사용할수있지만낮에만사용를내서알려준다. 낮과밤모두사용가능하다. 측정하고계절별별자리를통해절기를알할수있다는단점이있다. 이동이불가능하고설비비가많이든다는수있다. 해시계와물시계의단점을보완한단점이있다. 시계다. - 1 -
앙부일구 (1) 세로선과가로선을통해알수있는것 1 가로선 : 절기 ( 계절 ) 을알수있다.(13개 ) 2 세로선 : 간지 ( 시각 ) 를알수있다. 대략새벽 5시부터저녁 7시까지시간측정 (2) 앙부일구의시간읽는법 1 앙부일구의영침이북극을가리키도록놓는다. 2 영침의그림자가닿는곳의가로선을따라절기 ( 계절 ) 를읽는다. 3 영침의그림자에서가장가까운곳의세로선을따라간지 ( 시각 ) 를읽는다. 4 세로선 ( 시각선 ) 하나사이는 1각 (15분) 을의미한다. <6 월 22 일하지오후 2 시때의앙부일구 > * 하지때태양의고도가가장높아그림자의길이가 짧고동지때태양의고도가가장낮아그림자의길이 가가장길다. 자격루의작동원리 자격루는장영실이삼국시대에전래된우리고유의기술에더해중국의불시계와아라비아의자동시보장치의원리를연구하여 1433년에만든것이다. 자격루의과학적우수성은바로이자동시보장치에있다. 먼저큰항아리에있는물이일정한속도로배수관과작은항아리를거쳐원통형항아리안으로흘러간다. 그러면원통형항아리안의막대기가위로떠오르면서벽에놓인작은구슬을건드리게된다. 이작은구슬이시보장치상자로들어가큰구슬을건드리고, 큰구슬이상자안에서움직이면서상자위쪽에있는인형이종, 북, 징을울린다. 지금은하루를 24시간으로나누고있지만예전에는 12시간으로나누었기때문에자격루는 2시간마다종을울렸다. 이때열두띠에해당하는 12가지동물들이차례로등장하면서시간을알려준다. ( 내용출처 : 과학선생님, 영국가다. 한문정외지음. 도서출판푸른숲.) - 2 -
시간표준물리량을측정하기위해서는기준이되는양이있어야한다. 그래야기준이되는양과비교하여물리량을측정할수있다. 예를들어 3m의길이를측정하기위해서는 1m 길이가먼저정확하게정해져야한다. 또 4kg의질량을측정하기위해서는 1kg의질량이먼저정확하게정해져야한다. 마찬가지로시간을측정하기위해서는시간측정의표준이되는 1초라는시간을정확하게정해야한다. 시간표준의변천과정 : 태양시 역표시 원자시 1 태양시 : 1초 = 평균태양일의 배 ( 태양일 = 태양이남중 1) 하여다시남중하는데걸린시간 ) 지구의공전과자전에의해자전주기가계속변하여 1 초의길이가변하는문제가발생 2 역표시 : 1초 = 서기 1900년도 1년길이의 1 년길이는매년변한다.( 서기 1900 년도의 1 년과그외연도의 1 년의길이가다르다.) 3 원자시 : 1 초 = 세슘 133 원자가방출하는특정파장의전자기파가 9,192,631,770 번진동하는데걸린시간 오차가 30 만년에 1 초정도로정확 배 표준시간대 1 태양이남중하는시각 ( 정오 ) 이지역마다다르기때문에, 일정지역마다대표가되는곳의남중시각을기준으로표준시간대를정하여사용한다. 2 그리니치천문대 ( 영국 ) 를지나는자오선을기준으로 24개의표준시간대를정하였다. 지구한바퀴는 360 이고지구가한바퀴자전하는데 24시간이걸리므로 24개의표준시간대로나누면표준시간대와바로이웃한표준시간대사이에는 15 의각도차이가나고시간은 1시간차이가난다. 동쪽에있는표준시간대의시간이더빠르다. 3 날짜변경선 ( 동경 180 ) 을기준으로서 동으로넘어가면 1일을빼고동 서로넘어가면 1일을더한다. 4 우리나라는동경 135 를기준으로하는표준시간대를사용한다.( 영국보다 9시간이빠르다.) 동경 135 선은울릉도동쪽 350km 위치를지나는우리나라의어떤지역도지나지않지만가장가깝고유용한표준시간대이기때문에우리나라의표준시간대로사용한다.( 일본도동경 135 선을표준시간대로사용하기때문에우리나라와일본은시차가없다.) 서 동 < 위치에따른표준시각 > 1) 남중 : 태양이남쪽하늘에정중앙에가장높이위치해있을때로물체의그림자길이가가장짧다. - 3 -
표준시간대 N 위에서본것 S 시간이느리다. 15 에 1 시간 서 그리니치 동 시간이빠르다. 15 에 1 시간 위의그림을그리니치천문대부분을잘라서펼치면아래와같이나타낼수있다. 날짜변경선을서에서동으로지나가면하루를더하고동에서서로지나가면하루를뺀다. 영국그리니치 2012.3.4 오후 7 시 ( 서 ) 날짜변경선 ( 동 ) 날짜와시간은? 한국 2012.3.5 새벽 4시 영국그리니치 2012.3.4 오후 7 시 - 4 -
SI 접두어접두어 인자 기호 예시 센티 (centi) c 1cm = m = 0.01m 밀리 (milli) m 1mm = m = 0.001m 마이크로 (micro) = m 나노 (nano) n = m [2] 공간측정과공간표준 위치와길이 1 차원 : 공간에서한점의위치를정확하게지정하는데필요한정보의최소개수 2 위치 : 공간상의한지점 3 거리 : 공간에서위치와위치사이의길이 4 위치의표현 : 기준점을정한뒤기준점에서의방향과거리로나타낸다. 기준좌표계 : 물체의위치를표현하기위해각축을직교하도록설정한뒤기준을정하고각축으로부터얼마만큼떨어졌는지를이용한다. 이때직교하는축들로이루어진좌표계를기준좌표계라고한다. 1 차원 ( 선 ) 2 차원 ( 면 ) 3 차원 ( 부피, 공간 ) 3 b a 기준점 0 2 c d 2 2 2 a 의위치 = +2 ( 필요한정보 1 개 ) b 의위치 = -3 ( 필요한정보 1 개 ) c 의위치 = (+2, +2) = 필요한정보 2 개 d 의위치 = (+2, +2, +3) = 필요한정보 3 개 지표면 ( 구면 ) 위의위치를표현하는방법 : 위도와경도를이용 * 경선 : 북극에서남극까지이은대원 * 위선 : 적도에평행으로이은선 1 위도 () : 지구중심으로부터위선이기준선과이루는각도로적도를 0 로하여남북으로 90 까지나타냄.( 북극점은북위 90, 남극점은남위 90 ) 2 경도 () : 지구중심으로부터경선이기준선과이루는각도 3 본초자오선 : 그리니치천문대를지나는자오선 * 지표면위의점 P의위치는 2차원상의위치이므로두개의정보 와 가주어지면정확하게나타낼수있음을확인할수있다. - 5 -
길이 ( 거리 ) 의표준변화과정 인체의이용미터원기빛의진행거리 ( 현재의표준 ) 손끝에서코끝까지 (1 야드, 영국 ), 사람의발길이 (1 피트, 로마 ) 등 문제점 : 사람마다길이가다름 1791년, 프랑스과학아카데미 길이의단위로 m 채택 1m = 파리를통과하는자오선상지구둘레의 1/40,000,000배로정함 1870년, 백금-이리듐합금으로된 1m 길이의막대모양미터원기를제작하여표준으로정함 문제점 : 미터원기가온도나압력에따라길이가변함 1983 년, 제 17 차국제도량형총회 1m = 빛이진공중에서 초동안이동한거리로 정의함 길이 ( 거리 ) 의측정 1 삼각형의닮음비를이용한거리측정 : 직접잴수없는길이를측정할때사용한다. 두삼각형이닮음이므로 가성립한다. 따라서 이다. 2 구면위의거리측정 : 반지름이 인구의표면에있는두지점사이의중심각이 일때두지점사이의거리 이성립한다. 따라서두지점 A와 B 사이의거리 이된다. - 6 -
에라토스테네스의지구둘레측정 5000 스타디아는약 800km 이다. 지구둘레의길이를 라고하면 360 : = 7.12 : 800km km 이다. 실제지구둘레값은 40,000km 와비교해도오차가거의없음을알수있다. * 에라토스테네스는태양과지구사이의거리는지구크기에비해매우멀기때문에태양빛은지구에평행하게들어온다고가정하였다. 3 전자기파를이용한거리측정 : 물체에레이저나적외선같은전자기파를발사하여반사되어되돌아오는데걸린 시간을측정하여물체까지의거리를측정한다. 물체까지의거리 = 빛의속도 ( 빛을발사한뒤반사되어되돌아오는데걸린시간 ) GPS의이해 (GPS = Global Positioning System = 범지구항법시스템 ) 1 GPS : 인공위성을이용한위치확인시스템을 GPS라고한다. 2 특징 - GPS는지구주위를도는 24개 ( 실제로는그이상 ) 의인공위성으로구성되어있고마이크로파를발신한다. - GPS 위성의궤도는총 6개, 각궤도는서로 60 의각을이루고 12시간주기로공전한다. 각궤도에는 4개의인공위성이있다.( 6개의궤도 4개 = 24개의인공위성 ) - GPS수신기 ( 자동차네비게이션이바로 GPS 수신기이다.) 는 3개의인공위성으로부터받은정보 ( 인공위성의위치정보와시간정보 ) 를바탕으로수신기의위치를파악한다. (3개의인공위성으로위치를파악할수있지만정확도를높이기위해 1개의인공위성을추가하여 4개의인공위성으로써위치를파악한다.) - GPS 인공위성이보내는신호가 GPS 수신기에도달하는시간을측정하여 GPS 인공위성과 GPS 수신기사이의거리를구할수있다. GPS 인공위성과수신기까지의거리 = 전파의속도 전파가도달하는데걸리는시간 인공위성이보낸전파가 GPS 수신기에도달하는데걸리는시간이길수록더멀리있는인공위성이다. - 7 -
세인공위성으로부터위치로부터어떻게현재의위치를알아낼수있을까? 어떤사람이눈을가리고운동장의어떤위치에서있다. 이사람은이운동장의고정된위치에존재하는세가지의사물 A, B, C의위치를알고있다고하자. 눈을가린이사람에게자신이위치한지점이사물 A, B, C로부터얼마의거리에떨어져있는지를말해주면그사람은자신의위치를아래와같은방법으로결정할수있다. 세원의교점이이사람이서있는위치가된다. GPS 수신기도같은원리로위치를아는세개의 GPS 인공위성으로부터신호를받아자신의위치를알수있다. A B C 3 GPS 의활용 : 자동차용네비게이션, 군사용, 항법장치, 측량장치, 지도제작등 - 8 -
[3] 속도와가속도 위치와위치벡터, 이동거리와변위 1 위치 : 물체가공간에서차지하는한지점 ( 좌표로표현가능.) 벡터량 : 크기와방향을모두가지는물리량을벡터량이라고하고크기만가지는물리량은스칼라량이라고한다. 물리량이벡터량인경우부호는방향을의미한다. 예를들어기준점으로부터오른쪽으로 2m 를 +2m 라고표현한다 면정반대방향인왼쪽으로 4m 는 -4m 로표현된다. ( 벡터량의예 : 변위, 속도, 가속도, 힘, 운동량, 충격량등 ) 2 이동거리와변위 이동거리 변위 물체가실제로이동한경로의총길이출발점과도착점이같아도경로가다르면이동거리가다르다. 방향은없고크기만가짐. 시간이지남에따라이동거리가줄어들수없다. 물체의위치변화량 = 나중위치 - 처음위치 ( 부호고려 ) 방향과크기를모두가짐 ( 벡터량 ) 방향 : 처음위치에서나중위치를향하는방향크기 : 처음위치와나중위치의직선거리 이동거리 : 경로 1 > 경로 2 변위 : 경로 1 = 경로 2 * 경로가달라이동거리는서로다르다. ( 경로1 의이동거리 > 경로2 의이동거리 ) * 출발점 ( 처음위치 ) 과도착점 ( 나중위치 ) 이같으므로경로1 고 2의변위는같다. * 어떤경로를택하든항상이동거리 변위 ( 등호는물체가방향을바꾸지않고직선운동할때성립 ) * 물체가처음위치를출발해움직인뒤처음위치로되돌아오면물체의변위는 0이다. (ex) 다음각각의경우에이동거리와변위의크기를구하여라. (1) 200m 트랙을한바퀴돌았을때 (2) A 점에서출발하여 B 를거쳐 C 점에도착했을때 (3) O 점에서 A 점까지갔다가다시 O 점을향하여 B 점에도착했을때 (ans) (1) 이동거리 200m, 변위 0 (2) 이동거리 7m, 변위 5m (3) 이동거리 1500m, 변위 300m - 9 -
속력과속도 1 속력과속도 속력 속도 이동거리 * 속력 = 걸린시간 단위 : m/s, km/h 변위 * 속도 = = 걸린시간 단위 : m/s, km/h * 기호로표현하면 * 물체의빠르기를나타내는물리량 = 단위시간 (1초) 동안물체가이동한거리 * 방향은없고크기만가짐 ( 스칼라량 ) * 관련그래프이동거리 -시간그래프의기울기 = 속력속력- 시간그래프의넓이 = 이동거리 * 기호로표현하면 * 물체의빠르기와방향을함께나타내는물리량 = 단위시간 (1초) 동안의물체의변위 * 방향과크기를모두가짐 ( 벡터량 ) * 관련그래프위치- 시간그래프의기울기 = 속도속력- 시간그래프의넓이 = 변위 (ex) 다음각각의경우에속력과속도의크기를각각구하여라. (1) 200m 트랙을한바퀴돌았을때 걸린시간 : 10 초 (2) A 점에서출발하여 B 를거쳐 C 점에도착했을때 걸린시간 : 5 초 (3) O 점에서 A 점까지갔다가다시 O 점을향하여 B 점에도착했을때 걸린시간 : 500 초 (ans) (1) 속력 = 20m/s, 변위 0 (2) 속력 1.4m/s, 속도 1m/s (3) 속력 3m/s, 속도 0.6m/s 그래프기울기의기본유형과그래프넓이의의미 - 기울기의의미 : 세로축의물리량변화 / 가로축의물리량변화 - 기울기값의크기 ( 가파른정도 ) : 기울기가나타내는물리량의크기를나타낸다. - 기울기의부호 : 기울기부호는물리량의방향을나타낸다. 오른쪽방향을 (+) 부호로표현하면 (-) 부호는그정반대인왼쪽방향을뜻한다. 기울기값이 (+), 즉 0보다클때그래프의모양은오른쪽위를향하고기울기값이 (-), 즉 0보다작을때그래프의모양은오른쪽아래방향을향한다. - 기울기의변화 ( 증가, 일정, 감소 ) : 기울기가나타내는물리량의변화 ( 증가, 일정, 감소 ) 를나타낸다. - 10 -
위치 - 시간그래프의기울기유형 기울기 : 속도의미 ( 다음의그래프는오른쪽방향을 (+) 방향으로정하고그린것 ) 1 기울기부호 = 운동방향 = (+) 방향 = 오른쪽으로운동 2 속도의크기 : 증가 1 기울기부호 = 운동방향 = (+) 방향 = 오른쪽으로운동 2 속도의크기 : 일정 1 기울기부호 = 운동방향 = (+) 방향 = 오른쪽으로운동 2 속도의크기 : 감소 1 운동방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 왼쪽으로운동 2 속도의크기 : 증가 1 운동방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 왼쪽으로운동 2 속도의크기 : 일정 1 운동방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 왼쪽으로운동 2 속도의크기 : 감소 그래프의넓이 그래프아래면적 ( 넓이 ) 의의미 = 세로축의물리량 가로축의물리량 그래프의세로축 (y) 물리량그래프의가로축 (x) 물리량면적 ( 넓이 ) 의의미 속력시간속력 시간 = 이동거리 속도시간속도 시간 = 변위 그래프아래면적 가속도시간가속도 시간 = 속도변화 0-11 -
2 평균속도 ( 평균속력 ) 과순간속도 ( 순간속력 ) : 그래프는기준점으로부터오른쪽방향을 (+) 나타낸것이다. 평균속도 = 일정한시간간격동안물체의평균적인빠르기 순간속도 = 어떤한순간 ( 특정시각 ) 에물체의빠르기 위치 (m) 왼쪽그래프에서 위치 (m) 왼쪽그래프에서 * 0~3 초사이의평균속도 = +1/3 (m/s) 3 초인순간의순간속도 = +4 (m/s) * 3~5 초사이의 평균속도 = +2 (m/s) 위에서구한평균속도와순간속도의 (+) 부호는물체의운동방향이오른쪽임을말해준다. 위의그래프에서세로축이이동거리인경우에는기울기가각각평균속력과순간속력을의미한다. 물체의운동방향이바뀌지않을때, 평균속력과평균속도의크기는서로같다. 3 등속도운동 : 속도가일정한 ( 빠르기와방향이일정한 ) 운동 - 물체에작용하는알짜힘이 0 일때물체는등속도운동한다. - 위치 - 시간그래프의기울기 = 속도 = 일정 - 속도 - 시간그래프의기울기 = 0 - 등속도운동의경우변위의크기 = 이동거리 변위의크기 = 이동거리 = 속도의절대값 ( 속도의크기 ) 시간 - 등속도운동의경우변위의크기와이동거리가같으므로속도와속력을혼용하여사용하기도한다. (ex) 다음은어떤두물체 A 와 B 의위치 - 시간그래프와속도 - 시간그래프를각각나타낸것이다. 8m 2m/s 4 초 물체 A 의위치 - 시간그래프 4 초 물체 B 의속도 - 시간그래프 (1) 물체 A 의속도는몇 m/s 인가? (2) 물체 B 가 4 초동안이동한거리는몇 m 인가? - 12 -
(ans) (1) 위치 - 시간그래프의기울기 = 속도 = 2m/s (2) 속도 - 시간그래프의넓이 = 변위이고등속도운동이므로변위의크기 = 이동거리 이동거리 = 8m 4 상대속도 : 움직이는관측자가바라본물체의운동속도 A 가바라본 B 의속도 = A 에대한 B 의상대속도 = B 의속도 - A 의속도 = (A 에대한 B 의상대속도 = - B 에대한 A 의상대속도 ) (ex) (1) 어떤사람이오른쪽으로 10m/s 의속력으로달리면서왼쪽으로 20m/s 의속력으로달리는자전거를보았다. 사람에대한자전거의상대속도는? (2) 어떤사람 A가오른쪽으로 10m/s 의속력으로달리고있다. 자전거를탄사람 B가왼쪽으로 20m/s 의속력으로달린다. B에대한 A의상대속도는? ( = B가본사람 A의속도는?) (ans) A에대한 B의상대속도 = B의속도 - A의속도 ( 부호고려 ), 오른쪽방향을 (+) 방향으로정하고문제를푼다. (1) 사람에대한자전거의상대속도 = 자전거의속도 - 사람의속도 = -20m/s-(+10m/)= -30m/s. (-) 부호는왼쪽을의미하므로상대속도는왼쪽으로 30m/s 이다. (2) 번도 (1) 번과같은방식으로풀면오른쪽으로 30m/s 의상대속도를구할수있다. (ex) 다음그림과같이세자동차 A, B, C가직선위를다음과같은속도로달리고있다. (1) 자동차 A 에대한 B 의상대속도 와 A 에대한 C 의상대속도 는몇 m/s 인가? (2) 자동차 C 에대한 A 의상대속도 와 C 에대한 B 의상대속도 는몇 m/s 인가? (ans) 그림을통해보면오른쪽방향으로움직이는경우를 (+) 부호로나타내었다. (1) = +10m/s = 오른쪽으로 10m/s, = -20m/s = 왼쪽으로 20m/s (2) = +20m/s = 오른쪽으로 20m/s, = +30m/s = 오른쪽으로 30m/s (ex) 자전거를동쪽으로 10km/h 으로달리는 A 가자신을스쳐지나가는자동차 B 를보았더니자동차가서쪽으로 50km/h 의속도로지나가는것처럼보였다. 자동 B 의실제속도는몇 km/h 인가? (ans) 동쪽을 (+) 방향으로두고문제를풀어보자. 문제에서 = -50km/h 이고 = +10km/h 이다. 이므로 -50km/h = - (+10km/h) 이고 = -40km/h 이다. 따라서자동차의실제속도는서쪽 방향으로 40km/h 이다. - 13 -
가속도 ( 물체에작용하는알짜힘이 0 이아닐때물체는가속도운동을하고가속도방향과힘은방향은항상같다.) 1 가속도 : 물체의속도가시간에따라변하는정도를나타내는양 = 단위시간 (1 초 ) 동안의속도변화량 속도변화량나중속도 처음속도가속도 걸린시간걸린시간 기호로표현하면 2 평균가속도 : 정해진시간동안의평균적인가속도로, 운동하는도중에속도가어떤식으로변하는지는무시하고 전체속도변화량을총걸린시간을나누어서구한다.( 평균가속도는만약속도가일정하게변했다면 1 초에속도가얼마 나변했는지를구하는것이다.) 속도 - 시간그래프를통해평균가속도와순간가속도를공부해보자 ( 다음그래프 ) 평균가속도 : 동안물체의평균가속도 = 사이의평균기울기 순간가속도 : 시각 에서순간가속도는 초일때의접선의기울기 그래프를통해구할수있다. 3 가속도운동의예 - 빠르기만변하는경우 : 자유낙하운동, 빗면위를미끄러져내려오는물체의운동 ( 힘의방향과운동방향일치 ) - 방향만변하는경우 : 등속원운동 - 빠르기와방향이모두변하는경우 : 그네의운동, 진자의운동, 포물선운동등 4 가속도와알짜힘의관계 ( 뒤에서자세히배울것임 ) 가속도 ( 여기서 는알짜힘, 은질량 ) : 가속도의방향은항상알짜힘의방향과같다. 그래프기울기의기본유형과그래프넓이의의미 - 기울기의의미 : 세로축의물리량변화 / 가로축의물리량변화 - 기울기값의크기 ( 가파른정도 ) : 기울기가나타내는물리량의크기를나타낸다. - 기울기의부호 : 기울기부호는물리량의방향을나타낸다. 오른쪽방향을 (+) 부호로표현하면 (-) 부호는그정반대인왼쪽방향을뜻한다. 기울기값이 (+), 즉 0보다클때그래프의모양은오른쪽위를향하고기울기값이 (-), 즉 0보다작을때그래프의모양은오른쪽아래방향을향한다. - 기울기의변화 ( 증가, 일정, 감소 ) : 기울기가나타내는물리량의변화 ( 증가, 일정, 감소 ) 를나타낸다. - 14 -
속도 - 시간그래프의기울기유형 기울기 : 가속도의미 ( 다음의그래프는오른쪽방향을 (+) 방향으로정하고그린것 ) 속도 속도 속도 1 가속도방향 = 기울기부호 = (+) 방향 = 힘이오른쪽으로작용 2 가속도의크기 : 증가 1 가속도방향 = 기울기부호 = (+) 방향 = 힘이오른쪽으로작용 2 가속도의크기 : 일정 1 가속도방향 = 기울기부호 = (+) 방향 = 힘이오른쪽으로작용 2 가속도의크기 : 감소 속도속도속도 1 가속도방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 힘이왼쪽으로작용 2 가속도의크기 : 증가 1 가속도방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 힘이왼쪽으로작용 2 가속도의크기 : 일정 1 가속도방향 = 기울기부호 = (-) 방향 = 힘이왼쪽으로작용 2 가속도의크기 : 감소 그래프의넓이 그래프아래면적 ( 넓이 ) 의의미 = 세로축의물리량 가로축의물리량 그래프의세로축 (y) 물리량그래프의가로축 (x) 물리량면적 ( 넓이 ) 의의미 속력시간속력 시간 = 이동거리 속도시간속도 시간 = 변위 그래프아래면적 가속도시간가속도 시간 = 속도변화 0 등가속도직선운동 : 가속도의크기와방향이일정한운동 속도가일정하게증가하거나감소하는운동 1 등가속도운동의예 : 자유낙하운동, 빗면을미끄러져내려가는물체의운동, 연직위로던져올린물체의운동등 2 등가속도운동의식 ( 는물체의처음속도, 는물체의나중속도, 는물체의가속도 ( 일정한값 ), 는물체의변위 ) 처음속도 나중속도 등가속도운동에서물체의평균속도 = - 15 -
3 등가속도운동과관련된그래프 ( 위치 - 시간그래프, 속도 - 시간그래프, 가속도 - 시간그래프 ) 다음에제시된그래프는처음운동방향을 (+) 로두고그린것이다. 가속도가 0 보다큰경우 ( ) : 속도가일정하게증가 속도 - 시간그래프 위치 - 시간그래프 넓이 넓이 t 가속도 - 시간그래프 각그래프에서확인할점 넓이 at > 0 * 가속도가일정하므로속도- 시간그래프에서기울기일정 * 속도-시간그래프의넓이 = 속도 시간 = 변위 s = * 위치-시간그래프의접선의기울기 = 증가 = 순간속도가증가 * 가속도 - 시간그래프의넓이 = 가속도 시간 = 속도변화량 - 16 -
가속도가 0 보다작은경우 ( ) : 속도가일정하게감소 속도 - 시간그래프 위치 - 시간그래프 ᄀ 순간적으로정지 넓이ᄀ 가속도 - 시간그래프 각그래프에서확인할점 속도 - 시간그래프의넓이 = 속도 시간 = 변위 s = ( ) 넓이 at < 0 물체가순간적으로정지하는순간 = 초인순간 = 위치- 시간그래프에서접선의기울기 0인시간 = 속도- 시간그래프에서속도가 0인시간물체의운동방향이바뀌는순간 = 초전후 위치- 시간그래프에서 초전후로 접선의기울기 ( 순간속도 ) 의부호가 (+) 에서 (-) 로바뀜 - 17 -
등가속도직선운동의그래프예시 < 메모 > - 18 -
그래프의분석및전환 - 19 -
시간기록계종이테이프타점분석 < 실험세팅 > 종이테이프 시간기록계 수레 힘작용 타점간간격시간 = 진동수 구간시간 = 1 타점간격시간 타점간격수 구간거리구간속도 ( 구간속력 ) = 구간시간 구간의속도변화량구간가속도 = 구간시간 구간거리를잘라붙인그래프 가로축 시간, 세로축 ( 자른종이테이프 ) 속도, 기울기 가속도 시간기록계 : 운동하는물체에달린종이테이프위에일정한시간간격으로점을찍는장치로진동수가 60Hz 인시간 기록계는 1초에 60개의타점을찍는다. 따라서하나의타점과다음타점사이의시간간격은 초가된다. ( 타점간간격시간은 진동수 이다 ) 진동수가 60Hz 인시간기록계로타점을찍은다음의종이테이프를보자. 한구간은 7 개의타점이찍혀있고타점사이의간격은 6 개임을알수있다. 구간의시간을계산할때에는타점의개수 가아니라타점과타점이만드는타점사이의간격수를세어야한다. 7 개의타점이찍혀있다고해서구간의시간을 로계산해서는안된다. 앞의타점이찍힌종이테이프를이용하여물체의운동을분석해보자. 앞의종이테이프에서한구간에 6개의타점간격이있으므로한구간의시간은 초가된다. 수레의운동을분석해보자. 구간 첫번째 두번째 세번째 네번째 다섯번째 구간거리 ( ) 1 2 3 4 5 구간속도 ( ) 10 20 30 40 50 구간속도차 ( ) 10 10 10 10 가속도 ( ) 100 100 100 100 A~B 구간에대한평균속도 전체이동거리 전체걸린시간 - 20 -
종이테이프의각구간의시간은 0.1초다.( 앞의종이테이프그림참고 ) 구간속도는구간시간 0.1초로구간거리를나눈값이된다. 가속도는각구간사이의속도차이를구간과구간사이의시간차이로나눈값인데여기서주의해야할것은구간과구간사이의시간차이는구간이두개라고해서 0.2초가아니라 0.1초라는사실이다. 타점이기록된종이테이프를잘라붙인그래프 왼쪽그래프는종이테이프를구간별로잘라서붙인것이다. 가로축이의미하는 것은시간기록계가 6 개의타점간격을만드는시간이고세로축은 6 개의타점간 격동안종이테이프가이동한거리즉, 속도를의미한다. 그림에서종이테이프는구간별로그길이를잘라서붙인것이지만잘라붙인각 종이테이프의길이 ( 세로축 ) 가의미하는것은이동거리가아니라속도라는것을 아는것이중요하다. 그림에서기울기는가속도를의미한다. - 21 -
[4] 뉴턴의운동법칙 힘 1 힘의정의 : 물체의운동상태 ( 빠르기와운동방향 = 속도 ) 를변화시키거나모양을변형시키는원인이되는작용. - 힘의단위 N( 뉴턴 ) : 1N은 1kg의물체를 1 으로가속시키는데필요한힘 kgf (kf force, 킬로그램힘 ) : 1kgf = 9.8N SI 단위계 2) 에서는힘의단위로 N( 뉴턴 ) 을사용 - 힘의크기측정 : 용수철저울을사용 용수철이늘어나는길이는힘의크기에비례함을이용 ( 비교 ) 질량의크기측정 : 양팔저울사용 - 힘의 3요소물체에힘을작용했을때물체에나타나는효과는물체의어떤지점에힘을작용했는가 ( 힘의작용점 ), 어떤방향으로힘을작용했는가 ( 힘의방향 ), 얼마나큰힘을작용했는가 ( 힘의크기 ) 에따라달라진다. 이와같이어떤물체에작용하는힘을명확하게나타내기위해꼭필요한힘의작용점, 방향, 크기를힘의 3요소라고한다. - 힘의표시 : 힘의 3 요소를화살표를이용하여표시 화살표의시작점 = 작용점화살표가가리키는방향 = 힘의방향화살표의길이 = 힘의크기힘의작용선 = 화살표를힘의방향으로연장한직선 작용선은힘의 3요소에포함되지않음 작용선은힘의평형에서중요하게다루어지므로기억해둘것 2 힘에의한효과 ( 힘에의한운동상태변화 ) - 힘이물체가운동하는방향과같은방향으로작용할때 : 물체의속력증가 - 힘이물체가운동하는방향과반대방향으로작용할때 : 물체의속력감소 - 힘이물체가운동하는방향과수직하게작용할때 : 물체의운동방향만변함 ( 빠르기변하지않음 ) - 힘이물체가운동하는방향과비스듬하게작용할때 : 물체의속력과운동방향이모두변함 2) SI 단위계는국제단위계로서세계적으로상업적으로나과학적으로나가장상용화되어있는도량형이다. SI 단위계에서는기본단위로 7 가지물리량을정의하는데길이는 m ( 미터 ), 질량은 kg ( 킬로그램 ), 시간은 s ( 초 ), 전류는 A ( 암페어 ), 온도는 K ( 켈빈 ), 물질량은 mol( 몰 ), 광도는 cd( 칸델라 ) 이렇게 7 가지다. - 22 -
3 힘의합성 : 물체에작용하는두개의힘을합하여같은효과를나타내는하나의힘을구하는과정을힘의합성이라 고하고이때구한힘을두힘의합력또는알짜힘이라고한다. - 나란한두힘의합성 : 오른쪽을 (+) 방향으로약속하자. : 오른쪽으로 4N : 오른쪽으로 2N 1N 앞의 (-) 부호는왼쪽방향으로향하는힘임을표시 - 수직한두힘의합성 = 합력 그림과같이 3N 의힘과 4N 의힘이물체에수직하게작용할때힘의합력은오른쪽윗방향으로 5N 이다. 삼각함수 위그림과같은직각삼각형이있을때, 삼각함수에대한정의는다음과같다. = 높이 / 빗변의길이 = 높이 = 밑변의길이 / 빗변의길이 = 밑변의길이 = 높이 / 밑변의길이 = - 23 -
각도 가특정한값으로주어지면정의에따라 의값을알수있다. 대표적인 값을아래의표와같다. 0 1 0 1 1 0 밑변의길이, 높이의길이 임을이용해서 의길이를구할수있다. (Ex) 직각삼각형에서각도 는 30 이고빗변의길이가 6m일때밑변의길이와높이의길이를구하여라. (Sol) 밑변의길이 = 빗변의길이 = 6 = m 높이의길이 = 빗변의길이 = 6 = m 4 힘의분해 : 다음의그림과같이오른쪽윗방향으로비스듬하게향하는힘 가 축과각도 를이룬다면힘 를 축방향의성분의힘 와 축방향의성분의힘 두개의힘으로나눌수있다. 힘의분해는힘의합성의역과정이 다. 분해된두힘 와 을합성하면본래의힘 가된다. 힘의분해 - 24 -
여러가지힘 - 만유인력 ( 중력 ) 만유인력 : 질량을가진모든물체사이에는서로간에끌어당기는힘 ( 인력 ) 이존재하는데이를만유인력이라고한다. 질량이 인물체와질량이 인물체가서로잡아당기는만유인력의크기 G 는비례상수로서만유인력상수라고이름붙이며실험 3) 에의해서결정되었다. 이다. (G 값은시간과공간에관계없이항상일정한값을가진다.) 중력 : 천체 ( 행성 ) 와물체사이에작용하는만유인력을특별히중력이라고부른다. 지구표면에놓인질량 m인물체가받는힘의크기 ( 중력 ) 는 mg이다. 여기서 g는중력가속도 ( 또는중력장의세기 ) 로서 9.8 이다. 중력가속도 g의값은천체에따라그값이달라진다. 달의표면에서의중력가속도는지구표면에서의중력가속도의 1/6배이다. 따라서달표면에서질량 m인물체에작용하는중력의크기는지구의 1/6배가된다. 지구 ( 질량 M) 의표면에놓인질량 m 인물체를생각하자. 지표면에놓인질량 m 인물체의크기는지구에비해매우작다고 가정하면지구중심과물체중심사이의거리는거의지구반지름 R 과같다. 따라서지구와물체사이에작용하는만유인력 의크기는 이된다. 여기서 G는상수이고, 은지구표면에놓인물체에상관없이지구에의해결정되는 값이다. 따라서 으로쓸수있다. 의값을계산하면 9.8m/s 이나오는데이계산값을중력가속도 g로 두면 mg가된다. 달표면의경우에는 에서 에달의질량을, 에달의반지름을넣어계산하면 달의중력가속도가지구의 1/6 배로나온다. 지구표면부근에있을때간단히질량 m 에 값을곱함으로써물체가받는중력의크기를구할수있다. ( 다음의그림참고 ) A, B, C 모두가속도는 3) 캐번디시의실험 (Cavendish experiment) - 25 -
- 전기력과자기력 : 정지한전하사이에작용하는힘을전기력, 자석사이에작용하는힘을자기력이라고한다. 전기력과 자기력이동시에작용할때에는전자기력이라고한다. - 장력 : 물체에연결된줄을팽팽하게잡아당기면줄은물체에힘을작용한다. 이과정에서줄에작용하는힘을장력이 라고한다. 질량이없는줄의경우줄의모든지점에서장력의크기는같다. 물체에줄이연결되어있을때장력은연결 된지점에서물체로부터멀어지는방향으로물체에힘을작용한다.( 다음의그림을보고이해 ) 다음그림과같이물체 A, B 를실로연결하고물체 B 에오른쪽으로힘을작용하면두물체를연결한줄은팽팽해진다. 이때줄은 A 와 B 에힘 ( 장력 ) 을작용하는데물체 A 에는장력이오른쪽방향으로작용하고물체 B 에는장력이왼쪽방향 으로작용한다. - 부력과양력 : 물체가유체 ( 액체나고체 ) 속에있을때위로뜨게하는힘으로부력이중력보다크면물체는유체속에 가라앉지않고뜬다. 물체가움직일때물체의윗면과아랫면을지나는유체의속력에따라압력차가발생하여뜨게되 는데이때물체를뜨게하는힘을양력이라고한다.( 유체의속력이빠를수록압력은낮아진다.) - 수직항력 : 기호 N으로나타낸다. 물체가어떤면에접촉하여놓여있을때접촉하는표면에수직으로작용하는힘을수직항력이라고한다. 수직항력은접촉면이물체를면에수직한방향으로밀어내는 ( 떠받치는 ) 힘이다. 예를들어평평한탁자위에놓여있는물체의경우, 수직항력은중력과크기가같고방향이반대인힘에해당한다. 수직항력이중력을상쇄하여물체가지구중심으로끌려가는것을막아준다. - 탄성력 : 외력이작용하여모양이변한물체가본래의상태로되돌아가려는힘을탄성력이라고한다. 예를들면용수철 에힘을작용하여잡아당기면용수철은잡아당기는방향과반대방향으로힘 ( 탄성력 ) 을작용하여본래의상태로되돌아 가려고한다. 이때되돌아가려는힘이곧탄성력이다. 평형중심 자연상태 외부력 ( 훅의법칙 ) 탄성력 - 26 -
- 마찰력 : 마찰력은접촉면위를미끄러질때물체의운동을방해하는힘을마찰력이라고한다. 마찰력은물체의바닥과접촉면사이의분자들사이의인력에의해발생한다. 마찰력에는정지마찰력과운동마찰력이있다. 정지마찰력 : 물체에힘을작용했지만물체가정지한경우물체에작용하는마찰력으로크기는외력의크기와같다. 최대정지마찰력 : 정지마찰력의최댓값으로물체가움직이는순간의마찰력크기로마찰력중가장큰값을가진다. 운동마찰력 : 물체가접촉면위를미끄러져운동할때작용하는마찰력으로서외력에관계없이일정한값을가진다. 마찰력은바닥면의상태와수직항력에의해서만그크기가결정된다. 바닥면의상태를나타내주는마찰계수라고하여 로나타내고수직항력은 으로나타낸다. 마찰계수에는최대정지마찰력을결정할때사용되는정지마찰계수 와운동마찰력의크기를결정할때사용되는운동마찰계수 가있다. 마찰력 는마찰계수와수직항력을곱함으로써구할수있다. 즉, 마찰력 이다. 최대정지마찰력 = 왼쪽의그림은물체의질량 = 10kg이고중력가속도의크기 = 10m/s, 정지마찰계수 =0.5 운동마찰계수 =0.3인어떤물체의마찰력 -외력그래프를나타낸것이다. 운동마찰력 = = = 일정 최대정지마찰력 = = mg = 0.5 10 10 = 50N 운동마찰력 = = mg = 0.3 10 10 = 30N = 일정 정지상태 운동상태 - 27 -
뉴턴의운동제1법칙 ( 관성의법칙 ) 1 뉴턴운동제 1 법칙 ( 관성의법칙 ) : 알짜힘 = 0 일때외부로부터물체에힘이작용하지않거나작용하더라도힘의합력 ( 알짜힘 ) 이 0이면정지한물체는계속해서정지해있고운동하고있던물체는계속등속직선운동한다. 2 관성의크기 : 관성은물체가현재의운동상태 ( 빠르기와방향 ) 를그대로유지하려는성질을말한다. 같은속도로달리는두물체가있을때질량이큰물체는멈추기가더어렵다 ( 물체의현재운동상태를변화시키기가어렵다 ) 또, 물체에힘을작용하여정지한물체를운동시키려고할때, 질량이큰물체는질량이작은물체보다운동시키기가더어렵다. 이와같은사실에서알수있듯이관성의크기는 오직 질량의크기에만관계하고질량이관성이클수록크다. ( 질량을제외한다른어떤물리량의영향도받지않는다. 질량만이물체의관성의크기를결정한다.) 관성에대한오개념분석질량이같은두물체 A, B가있다. 물체 A는 10m/s 의속도로운동하고물체 B는 20m/s 의속도로운동한다. 같은시간안에두물체를정지시키려고할때정지시키기어려운물체는 B이다. 앞에서질량이같으면관성이같다고했는데 B가멈추기더어렵다면속력이빠른물체가관성이더큰것아닌가? 분명관성에영향을주는물리량은질량뿐이라고이야기했는데질량뿐아니라속도도관성에영향을주는것아닌가? 무엇이문제일까? A라는물체는처음에 10m/s 로운동하다가정지하므로속도변화가 -10m/s 인데반해 B라는물체는 20m/s 로운동하다가정지하므로속도변화가 -20m/s 이다. 같은시간동안물체 B가더많은운동상태의변화가있었다. 두물체가운데어떤물체가관성이더큰지를비교하려면같은시간동안같은속도변화를일으키는데노력이더필요한가를비교해야한다. 속도에따라관성이어떻게변하는지를알기위한정당한비교는처음에 10m/s 로움직이던물체 A를정지시키는것 ( 속도변화 -10m/s) 과처음에 20m/s 의속도로움직이던물체 B의속도를 10m/s 로줄여주는것 ( 속도변화 -10m/s) 가운데어떤것이더힘든지를비교하는것이다. 질량이같다면같은시간동안물체 A를 10m/s 의속도에서정지시키는것과물체 B를 20m/s 의속도에서 10m/s 의속도로운동상태를변화시키는것은같은노력을필요로한다. 즉, 관성이같다. * 관성에의한현상 정지관성차가갑자기출발하면몸이뒤로쏠린다. 옷에붙은먼지를털어낸다. 지진계가땅의흔들림을종이에기록한다. 운동관성망치머리가헐거워지면망치자루를바닥에부딪쳐서망치머리가자루에깊숙이박히도록한다. 세탁기를이용하여빨래를탈수한다. 지진계가땅의흔들림을종이에기록한다. 차가갑자기정지하면몸이앞쪽으로쏠린다. - 28 -
뉴턴의운동제 2 법칙 ( 가속도의법칙 ) : 알짜힘이 0 이아닐때 1 뉴턴의운동제 2 법칙식 또는 단, 여기서 는물체에작용하는모든힘의합력 ( 알짜힘 ) 2 의의미 알짜힘 F는물체의운동상태 ( 속도 ) 를변화시키는외부작용이고질량 m은관성의척도로서현재운동상태를유지하려고한다.( 질량 m이크면현재운동상태를변화시키기어렵다.) 식에서보듯가속도는현재의운동상태 ( 속도 ) 를유지하려는관성과운동상태 ( 속도 ) 를변화시키는알짜힘의상대적인비율에의해결정된다. 가속도, 힘, 질량의관계실험그래프 힘에따른속도변화 ( 가속도 ) 질량에따른속도변화 ( 가속도 ) 질량이일정할때힘의크기가클수록같은시간동안의 속도변화 ( 가속도 ) 가크다. 가속도 힘 힘의크기가일정할때질량이클수록같은시간동안의 속도변화 ( 가속도 ) 가작다. 가속도 질량 - 29 -
뉴턴의운동제 3 법칙 ( 작용 반작용의법칙 ) 한물체 ( 또는사람 ) A 가다른물체 ( 또는사람 ) B 에힘을작용하면 ( 작용력 ) B 도 A 에 A 로부터받은힘과크기는같고방향이 반대인힘 ( 반작용력 ) 을작용한다. 이를작용 - 반작용의법칙이라고한다. * 작용력과반작용력의특징 - 두힘은서로다른물체에작용한다. ( 작용점이서로다른물체에있다 ) - 자연계의거의모든힘은쌍으로작용하여한힘을작용력이라고하면다른힘은반작용력이된다. - 작용력과반작용력은크기가같고방향이반대이며같은작용선상에있다. - 작용반작용관계에있는두힘은서로다른물체에작용하기때문에그크기가같더라도평형관계에있는두힘처럼합성하여알짜힘이 0이라고말할수없다. - 작용반작용은접촉한경우에도작용하지만접촉하지않은경우에도작용한다.( 중력, 전기력, 자기력등 ) * 작용- 반작용관계에있는힘의예 - 얼음판위에서어른이아이에게 10N 의힘 ( 작용력 ) 을작용하면아이도어른에게같은크기의힘 10N ( 반작용력 ) 을작용하므로아이만힘을받아뒤로밀리는것이아니라어른도힘을받아밀린다. - 로켓이연료를분출함으로써추진력을얻는다. 로켓이연료에힘을작용하여연료를뒤로밀어내면 ( 작용력 ) 연료는그반대쪽으로로켓에힘을작용한다 ( 반작용력 ) 로켓이발사될때가스분출물이땅을미는힘때문에땅을박차고날라간다고생각하는경우가있는데아니다. 텅빈우주공간에서멈춰있는우주선도뒤로연료를분출하면연료분출방향과반대방향으로추진력을얻어서나아갈수있다. - 총을쏘면총알이나아가는반대방향으로총신이밀린다. - 주먹으로벽을세게칠수록내주먹이더아프다. ( 내가벽에힘을작용하면벽도나에게힘을작용한다 ) - 소방호스에서물을뿜을때호스를잡고있는사람이뒤로밀리는힘을받는다. - 사람이발을뒤쪽으로밀면서앞으로걸어간다.( 마찰이있는바닥에서사람이땅을뒤쪽으로미는힘을작용하면그반작용으로땅은사람에게땅을미는것과반대쪽으로힘을작용한다. 이힘에의해사람이앞으로나아갈수있다 ) 작용 반작용에대한오해지구지표면부근에서어떤사람이사과를들고있다가놓으면사과는아래로떨어진다. 이는지구가사과를잡아당기는힘즉, 중력때문이다. 작용- 반작용의법칙에의하면지구가사과를잡아당기는힘 ( 작용력 ) 의반작용력은사과가지구를잡아당기는힘이다. 지구가사과를잡아당기는힘과사과가지구를잡아당기는힘은두힘중어떤힘이더강할까? 사과만지구쪽으로끌려가고지구는거의움직이지않기때문에지구가사과를잡아당기는힘이사과가지구를잡아당기는힘보다더강하다고생각하기쉬우나두힘은작용- 반작용관계에있으므로크기는같고방향만반대이다. 따라서사과를잡아당기는힘과사과가지구를잡아당기는힘의크기는서로같다!! 그런데왜지구는가만히있고사과만끌려가는것일까? 그이유는사과와사람의질량차이때문이다. 사과의질량을대략 m = 0.1kg 이라고하자. 지구의질량 M 은대략 으로알려져있다. 중력가속도가 이라고한다면지표면부근에서사과가지구로부터받는힘은 = 1N 이다. 따라서지구가사과로부터받는힘도역시나 1N 이다. 식을지구에대해적용시켜보면 지구가된다. 지구의가속도 지구 이다. 지구 이므로거의 0 이다. 가속도가거의 0 이므로사과에의한지구의속도변화는거의없다. 결국지구가움직이지않는것은지구의어마어마한질 량때문이지사과가지구를잡아당기는힘이사과가지구를잡아당기는힘보다작아서가아니다. - 30 -
힘의평형과작용 반작용법칙비교평형관계에있는두힘과작용반작용관계에있는두힘은모두크기가같고방향이반대라는공통점을가지고있다. 하지만평형관계에있는두힘은서로같은한물체에힘을작용하고작용반작용관계에있는두힘은각기서로다른물체에힘을작용한다는차이가있다. 힘의평형과작용 반작용의차이에대해서는문제를통해서이해하는것이좋다. A : 공이손가락에작용하는힘 B : 손가락이공을누르는힘 C : 벽이공에작용하는힘 D : 공이벽을누르는힘 작용 - 반작용관계의힘 : A 와 B, C 와 D 평형관계의힘 : B 와 C : 지구가꽃병을잡아당기는힘 : 탁자가꽃병을떠받치는힘 작용 - 반작용관계의힘 : 과, 와 : 꽃병이탁자를누르는힘 평형관계의힘 : 과 : 꽃병이지구를잡아당기는힘 : 용수철이천장을당기는힘 : 용수철이물체를당기는힘 : 지구가물체를잡아당기는힘 : 물체가지구를잡아당기는힘 작용 - 반작용관계의힘 : 와 평형관계의힘 : 과 지면 - 31 -
두물체가연결된경우의운동방정식 - 32 -