Mti Matrix 정의 A collection of numbers arranged into a fixed number of rows and columns 측정변수 (p) 개체 x x... x 차수 (nxp) 인행렬matrix (n) p 원소 {x ij } x x... x p X = 열벡터column vector 행벡터row vector xn xn... xnp 스칼라 scalar x 변수벡터 Variable vector x x = 데이터벡터 data vector x p 형태 Special matrix 정방행렬 square matrix 대각행렬 Diagonal matrix 항등행렬 identity matrix 항등벡터 벡터, 행렬 영행렬 null matrix 예제데이터 학생 3 명의가족수와외식회수조사 예제행렬 - A = 3 0, B = - 행렬연산 Operation 0, C = 3 0 X = 4 3, D = 0 4 - 동일 더하기 addition: 대응원소의합 차수동일 tr( B) =, tr( C) = 5 연산적합 Conformable X D 대각합 trace Augmented 증가함수 전치 transpose 곱하기 multiplication 3 4 X = 0 0 AD =, = D X [ -] 앞의열벡터와뒤행벡터를곱한다. 앞열차수 = 뒤행차수 결과 : ( 앞행차수 )X( 뒤열차수 ) Chapte er. Matrix Lecture of 008 Fall (8)
Operation (cont.) t) 합, 전치, 곱연산성질 (A+B) =A +B A B (AB) =B A tr(a+b)=tr(a)+tr(b) tr(ab)=tr(ba) (A+B)+C=A+(B+C) 결합법칙 association A(B+C)=AB+AC 배분법칙 distribution 대칭행렬 symmetric matrix 만약 A =A, A은대칭행렬 X X는대칭행렬 X는데이터행렬이다. 멱등행렬 idempotent t matrix 만약 MM=M이면 M은멱등행렬 If M is idempotent, M K =M. 역행렬 inverse matrix 만약 AA - =I, A - A=I, A - 를역행렬이라한다 행렬식 determinant A 3 C = 4 C Minor( 소행렬식 ) M ij, cofactor ( 여인자 ) 3 A = 4 5 7 8 9 0 = 4 6 = n A = a ( ) i+ j ij Mij i= n = a ) i+ j ij ( M ij j= 5 7 4 7 4 5 A = ( ) + + ( ) + + 3( ) + 3 = 7 9 0 8 0 8 9 행렬식성질 A = A, AB = A B = BA Chapte er. Matrix 모든원소가 인행렬 ( 모든원소가 인행벡터 )*( 모든원소가 인영열터 ) ( 모든원소가 인열벡터 )*( 모든원소가 인행벡터 ) A = A 두행 ( 열 ) 이동일하면행렬식은 0 이다. 한행이다른행의선형함수로표현되면 0 이다. Lecture of 008 Fall (9)
Inverse Matrix ti (cont.) t) 역행렬계산정의 A = adjo int( A ) A A = = 4 3 = 3 4 A adj + + ' ' ( ( ) 4 ( ) A) = + + ( ) 역행렬성질 ( ) 역행렬은 unique 하다. A - =/ A (A ) - =(A - ) (AB) - =B - A - 계수 (rank) 정의 3 4 = 3 4 = 3 아래식이모든 a i 가 0일때만만족한다면 x i 들은 Linearly Independent 행렬 A 에대하여 역행렬이존재한다. full-rank이다. rank(a)=n A는 non-singular이다. A 0 Ax=b 의해가존재 역행렬이존재하지않는다 full-rank아니다. rank(a)<n A는 singular이다. A =0 Ax=b 의해가존재하지않음 Ax=b 의해가존재 Ax=b 의해가존재하지않음. 고유치 eigen value & 고유벡터 eigen vector A-λI =0 을만족하는 λ 를고유치라한다. 고유치는실수 공분산, 상관계수행렬과같이 positive definite matrix 의고유치의개수는행렬의차수와동일하자. Ae= λ i e 를만족하는벡터 e 를고유벡터라한다. 무수히많이존재한다. Chapte er. Matrix a x + a x +... + a p x p = 0 계수 : 행렬 A 의 LIN 행 ( 혹은열 ) 의수 Full rank: 행렬 A 의차수와 rank 가같을때 Lecture of 008 Fall (0)
Matrix OPERATION in SAS and R 연립방정식해 u v w = 5 - u 5 u + v w = Ax = b - v = u w = 4 0 - w 4 In R Interactive Matrix Language Chapte er. Matrix Lecture of 008 Fall ()
Mti Matrix Application Data matrix 변수벡터 Variable vector x 평균벡터 mean vector x x... x p 평균 E( x) x x... x p x = ' n X X = x x = (μ) ( ) E( x ) n p n μ = E( x) = x p xn xn xnp... 공분산 E x ( p ) X ji Σ = E( x E( x))( x E( x))' j Xi = n 공분산행렬 covariance matrix n σ jk = cov( x j xk ) = ( xij xi)( xik xk ) ( n ) i= σ σ σp σ σ σ p Σ = σ p σ p σ pp Corr ( x i, x j ) = S( Σ) = ( X x')'( X x') n COV ( xi, x j ) V ( xi ) V ( x j ) Data 예제 LPGAtour.XLS Read Data in SAS WORK 라이브러리에 LPGA 이름으로저장 Read Data in SAS 우선 CSV 포멧으로저장 Chapte er. Matrix Lecture of 008 Fall ()
InSAS 비거리, 페어웨이적중률, 그린적중률 PROC 이용 IML 이용 결과 Chapte er. Matrix 고유치, 고유벡터구하기 고유치 m ( 차수만큼존재 ) 고유벡터 e Lecture of 008 Fall (3)
InR 비거리, 페어웨이적중률, 그린적중률 평균, 공분산행렬, 고유치구하기구하기 Data 수정 Chapte er. Matrix Data Subset Lecture of 008 Fall (4)
HW #- Due 0080 008.0..3 3 (Mon) LPGA 데이터에서 44 개변수 (DRIVING G_ DISTANCE FAIRWAYS GREENS SAND_SAVES) 를데이터행렬 X라하자. In SAS/IML, R 에서다음작업을하시오. 데이터행렬 X의 (X X) 가대칭행렬임을보이시오. 행렬 X 의표본평균벡터, 표본공분산행렬을구하시오. 표본공분산행렬을이용하여고유치, 고유벡터를구하시오. 종속변수 ( 벡터 y): Scoring Average 스코어, 설명변수 ( 행렬X): 비거리, 그린적중률, 페어웨이적중률회귀모형의 OLS 추정치를구하시오. α OLS ˆ β : = ( X ' X ) y = X β + e ~ N (0, σ I ) β = X ' y β ββ 3 Chapte er. Matrix 0 μ = 5 λ = 9.7 λ = 3. 9 Σ = 4 Lecture of 008 Fall (5)
HW #- Due 0080 008.0..3 3 (Mon) Generating Bivariate Normal Dist. (n=00) Generating a BN form the following situation 두변수의산점도를그리시오. 모집단공분산행렬로부터고유치, 고유벡터를구하시오. 표본평균벡터와표본공분산행렬을구하시오. 표본공분산행렬로부터고유치, 고유벡터를구하시오. () () (3) 6 μ = 5 5 6 μ = 5 9 μ = 30 9 5 Σ = 5 4 9 Σ = 4 9 3 Σ = 3 5 Chapte er. Matrix 위의작업을 SAS/IML 이용하여하시오. R을이용하여하시오. Lecture of 008 Fall (6)
Matrix from and into SAS data, 프로그램 결과 matrix Chapte er. Matrix SAS 데이터 one Lecture of 008 Fall (7)