Strain Rate and Temperature 강의명 : 금속유동해석특론 (AMB2039) 정영웅 창원대학교신소재공학부 YJEONG@CHANGWON.AC.KR 연구실 : #52-208 전화 : 055-213-3694 yjeong@changwon.ac.kr https://youngung.github.io https://github.com/youngung
Outline qstrain rate qviscosity qrelation between strain rate and flow stress (strain rate sensitivity; SRS) qsrs measurement technique qunwanted effect of negative SRS qpredicting necking due to inhomogeneity considering ØStrain rate sensitivity ØCombined effect of strain rate sensitivity and strain hardening ØApplication of NR method again v Euler method v Euler method + NR example
Intro q 지금까지유동응력 (flow stress, 소성변형을계속해서일으키기위해필요한응력 ) 은변형률에대한함수로만표현했다. q 이번챕터에서우리는변형률뿐만아니라, 변형속도와온도가끼치는영향에대해배우도록한다.
변형의속도, strain rate q 우리가변형률을배웠던이유는금속의고유한성질을표현하기에알맞은 세기 성질 (intensive property) 이었기때문이다. q 변형의속도를표현하는데적절한물리량또한따라서변형률을사용할수있다. ε =,-,. ( 변형률레이트, strain rate) Ø 물리량의시간에대한변화를가리키는데자주사용되는표현법은해당기호위에점 Ø 예 :ε, σ, u 등등등 q 변형률에는단위가없다. 하지만변형률레이트 (strain rate) 는단위가있다. Ø 주로 s '( [1/s] 혹은 sec '( 등으로표기한다.
Strain rate 와 flow stress 의관계식 q 변형률과유동응력은종종 power law 의형태로표현된다. Øσ = C ε 1 ØC: a constant that depends on strain, temperature, material. Øm: strain rate sensitivity. ( 유동응력이 strain rate 에얼마나민감한지나타내는지표 ) q 위의식에서 m 값에따라다른거동을설명할수있다 : Øm=0: 유동응력 (flow stress) 이 strain rate 에무관. Øm>0: strain rate 증가가유동응력증가로이어짐 ( 대개의금속재료 ~ 0.03, 0.05) Øm<0: strain rate 증가가유동응력감소로이어짐 (some aluminum alloys)
Strain rate 와 flow stress 의관계식 qσ = C ε 1 (1) q관계식 (1) 을사용하여같은재료를대상으로 ( 즉 C, m 무변 ) 동일변형률, 온도에서상이한 strain rate를비교하자면 Øσ 2 = C ε 2 1 strain rate가 ε 2 일경우 case a Øσ 3 = C ε 3 1 strain rate가 ε 3 일경우 case b Ø따라서 45 = - 5 1 4 6-6 으로표현가능하다. Ø자연로그 ln 을사용하면 ln 45 = m ln - 5 4 6-6 Ø만약 σ 2 σ 3 라면 ;4 = m ln - 5 2.3 m log - 5 4 6-6 - 6 관계 ) ( 진, 공칭변형률의관계에서도사용했던 q 만약 m 값이약 0.01 인재료를대상으로 strain rate 가 10 배증가했다면약 q2.3 m log - 5-6 2.3 m log 10 = 2.3 0.01 = 0.023 q 따라서, 변형률이 10 배증가했을때, 응력이약 2.3% 정도증가 엔지니어링측면에서큰값이라고보기무리.
Strain rate 의고려가필요한경우? q 일반적으로제조공정상에서금속재료의소성가공은매우높은 strain rate 를가진경우가있다 (rolling 이나 drawing 에서빠른경우 10 F s '( ) 이에비해, 해당금속재료의기계적물성은낮은 strain rate 상태에서 ( 대개 10 'F s '( ~10 'H s '( ) 취득되는경우가일반적이다. 따라서낮은 strain rate 조건에서얻어진물성을높은 strain rate 조건으로변환해줘야하는경우가발생할수도있다 m 값과 strain rate 의차이등을고려해서결정. q 또한대부분금속의경우온도가높아짐에따라서 m 값이증가한다 (m 0.1 or 0.2). q 따라서소성가공에서금속의 strain rate sensitivity 를고려할것인지를판단하기위해서는해당조건에서, 온도, m, 물성이취득된 strain rate 와실제공정상에서예상되는 strain rate 의차이등을고려하여결정해야한다.
Strain rate sensitivity (SRS, m) 측정법 q 크게두가지로나뉜다. q1. Continuous test q2. Abrupt test (a.k.a. jump test) 여러시편필요 시편이하나만소모
SRS depends on temperature 녹는점의 반이상의 온도에서 (즉 SRS가 급격한 증가를 보인다. Homologous temperature J JK 0.5) Pure aluminum 과 2024-O Al. 비교. Alloying에 의해 negative 혹은 0에 가까운 SRS 가지게 되었다.
High SRS at elevated temp qreasons: ØDeformation mechanisms at high temperature are promoted by diffusion ØDiffusion is a time-dependentmechanism ØTherefore, the deformation behavior at high temperature becomes time-dependent ØStrain rate can be viewed as stimuli given at a specific time duration, whereas the stress can be considered as response qwhat microscopic mechanisms occur behind the scene of creep? ØThermally activated mechanisms (diffusion-involved) that include grain boundary sliding, dislocation climb, and so forth.
Negative SRS and its effect SOLUTE Disl. LOCKING SOLUTE Difficult for disl. to move, leading to strengthening. At low temp (or at high strain rate), diffusion of solute becomes slow (the dislocation moves too quick for solute to diffuse to form the Cottrell locking) Some alloys exhibit negative SRS at low temperature.
Why negative SRS is unwanted? qpromote Lüders bands qcan promote strain localization (much drastically than the case of positive strain rate) t=0 sec Inhomogeneous region 이더많은변형이발생 -> 더많은 strain hardening 발생 t=1 sec 같은시간동안더많은변형량이발생. 따라서 inhomogeneous region 이더높은 strain rate 환경. SRS>0 높은 strain rate 더강해진다. SRS<0 높은 strain rate 더약해진다.
SRS 그리고재료점성 (viscosity) q 재료에작용하는 shear stress 와그반응으로발생하는전단변형률이서로비례하면해당재료는 Newtonian viscosity 를갖는다. qτ = ηγ ( 앞서설명한 σ = C ε 1 와유사한형태- 다만 m=1) qη (eta, 에타라고읽는다 ) 를전단점성 (viscosity) 라고한다. qnewtonian viscosity 를가지는재료는 σq = ηε 로그점성을표현가능. Non-viscos Viscos https://en.wikipedia.org/wiki/viscosity
Superplasticity ( 초소성 ) qsrs>0.5 현상은다음과같은조건들이만족될때나타난다. ØExtremely fine grain size ( 수 μm 혹은 nm) with uniform and equiaxed grains structure J ØHigh temperature > 0.4 J K ØLow strain rate ε 10 'X s '( Ø변형시의미세구조안정성 q 초소성 (superplasticity): 매우낮은응력에서대단히높은연신율 (elongation) 이관찰되는현상, 혹은그러한특성 q 초소성장점 : Ø 열간가공온도에서낮은변형응력으로가공가능하다. 초소성현상이발생하는재료를사용해매우복잡한형상을가진부품을가공할수있다. Ø 매우간단한금형 ( 금속으로만든형틀, die) 을사용해깊은골의형상을갖는판재부품을제조할수있다.
불균질한단면효과 (4) - 일축인장시험 Grip b region effective Inhomogeneity (a region) b region Grip Fig. 4-5 Gauge area f c ( a e 'j k/a 1 = e 'j l/a 1 a 지역과 b 지역사이에서도힘평형조건이만족되어야한다. 따라서 F Z = F [ σ Z A Z = σ [ A [ (1) 두지역의 물성차 는없다 (remember! 우리는유효불균질접근법을사용중 ). 따라서두지역의 SRS 거동은동일. 만약 σ = Cε a 을사용한다면 : Cε Z a A Z = Cε [ a A [ (2) 위에서두지역이같은 C, m 값가지나, 두지역은다른 strain rate 를가질수있다는조건이사용되었음을이해하자. 한편일축인장환경에서인장변형률은단면적의변화로사용할수있다 ( 즉 ). ε = ln A A c A = A c exp ε (3) 그리고 (3) 을이용하여위의초기불균질파라미터 (f c ) 를사용한형태의방정식을 (2) 에서부터다음과같이얻을수있다 : Cε Z a A Zc exp ε Z = Cε [ a A [c exp ε [ ε Z a A Zc exp ε Z = ε [ a A [c exp ε [ f c ε Z a exp ε Z = ε [ a exp ε [ a dε Z f c e 'j k = dε a [ e 'j l dt dt Canceling out dt term and raising both sides to the power of (1/m) (/a f c dεz e 'jk/a = dε [ e 'j l/a If you integrate the above for strain paths for both sides, so that the end strain state of both region becomes ε Z and ε [, respectively: j k (/a f c e 'j k /a dε Z = e 'jl/a dε [ c c j l
Again, apply the NR method q1. Form the objective function to minimize: } ØF ε [ = f ~ c e 'jk/a 1 e ' l ~ 1 = 0 q2. Let s determine ε [ as a function of ε Z as in Fig. 5-9. To that end, we need F/ ε [ Ø j l = ( a e' l ~ q3. Guess the initial value ε [ for the given m, ε Z value and repeat: Øε [ (ƒ () = ε[ (ƒ) (j l ( ) ) l j l ( ) ε [ 에 superscript (n) 혹은 (n+1) 은이전그리고 현재 iterative step 을가르킨다.
Exercise F ε [ = f c ( a e 'j k/a 1 e 'j l a 1 = 0 F = 1 j la ε [ m e' (ƒ) (ƒ () (ƒ) F(ε ε [ = ε[ [ ) F ε [ ε [ (ƒ) Provided that m=0.05 and f c = 0.98, at ε Z = 0.01 what is ε [? Guess ε [ for ε Z = 0.01 0.02 as 0.01 0.006230 ε [ (ƒ () (ƒ () F 0.01 ε [ = 0.01 = 0.06320 F 0.01 ε [ F 0.06320 F 0.06320 ε [ = 0.06320 = 0.01 0.98 ( c.cœ e 'c.c(/c.cœ 1 e 'c.c(/c.cœ 1 0.98 ( c.cœ e 'c.c(/c.cœ 1 1 e 'c.cžhxc/c.cœ 1 0.05 e'c.c( c.cœ 1 0.06320 0.05 e'c.cžhxc c.cœ 0.06320 ( I guess the solution is converged)
Result (1) f c ( a e 'j k/a 1 = e 'j l/a 1 f c = 0.98 경우의수치해석결과 https://github.com/youngung/lectures/blob/master/ipynb/fig5-10_metalforming_hosford%26caddell.ipynb
Result (2) 유효한계변형률 (ε [ ) 는 ε Z 일때의 ε [ 로갈음한다. 따라서 f c ( a 0 1 = e 'j l/a 1 ε [ = m ln 1 f c (/a
Result (2) and experimental observations - 실험치와 비교하여 effective inhomogeneity parameter (유효불균질파라미터, 교재에는 불균일변형인자값으로 표현) - 실험치와의 단순비교로부터 effective inhomogeneity parameter를 어느정도 추측할 수 있다. - 반면, 우리가 해당 결과를 예측 혹은 모델링 하면서 얼마나 다양한 종류의 assumption 을 해왔는지 생각해보자 - Hollomon Eq. - von Mises - SRS equation (지수함수 형태로 approximation) - Theory and experiments
Combined strain and strain-rate effects q 이때까지우리는시편의유효비균질에의한시편의한계변형률이각각변형률과 strain rate 에의해지배되는모델을이용하여설명하였다. 지금부터는이둘을모두고려한아래와같은모델을살펴보자. Øσ = Cε ƒ ε a q 힘평형에위의모델과 A = A c exp ε 을고려하면 qforce Z = force [ A Z σ Z = A [ σ [ A Z,c exp ε Z σ Z = A [,c exp ε [ σ [ A Z,c exp ε Z ε ƒ Z ε Z a = A [,c exp ε [ ε ƒ [ ε [ a exp ε Z ε ƒ Z ε Z a = f c exp ε [ ε ƒ [ ε [ a exp x x ƒ dx dt a = f c exp y y ƒ dy dt a
exp x x ƒ dx dt a = f c exp y y ƒ dy dt 위방정식과관련하여풀수있는의문으로는다음이있겠다. a constant 한 strain rate 로 region a 을변형할때, b region 의변형률은 f c 파라미터에의해달라지게된다. 예를들어, 일반적으로 region a 와 region b 의변형률속도비가 10 배가넘으면파괴가발생한다고한다 ( 즉 ε 2/ε 3 10 일때, 파괴가발생 ). 그렇다면 n,m 및 f c 값이각각 0.20, 0.05 그리고 0.980 으로알려진시편을일정한변형률을줘서일축인장을할때, 얼만큼변형률을주었을때파괴가발생하나? 시편을크게생각해보면균일하게볼수있으므로, 시편에가해준변형률을 region a 에 적용할수있다. 따라서 10 'H /s 으로변형률을준다면 ε 2 = 10 'H 조건이발생할때의시편변형률 ( 즉 ε 2 ) 을찾아보자. ( 로놓고 ε 3 10 'X 결과적으로우리는위의미분방정식을통해다음과같은 Graph 를얻고자한다. y y y y x x n, m, f c = 0.3,0.04,0.99 x n, m, f c = 0.2,0.05,0.97 x n, m, f c = 0.1,0.06,0.96 이를찾기위해서는 Euler method 를알필요가있다.
(Forward) Euler method qeuler method 는 Ordinary differential equation (ODE) 를수치적으로푸는방법중에하나다. 주어진초기값 (initial value) 에의해수치적분 (numerical integration) 을하는아주간단한방법이다. Image from wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/euler_method
Exercise Let s say you are to solve an ODE: = f(x, y) = y 초기값이 f x c, y c = f 0,1 = 1 로주어졌을때, y(4) 는무엇인가? x 와 y 의관계가미분방정식의형태로주어졌다. 따라서, y=g(x) 형태의함수꼴을우리는알수없다. 그럼에도불구하고, x 가 4 일때, y 값을찾을수있을까? 우선우리는미분의형태로주어진 ;œ lim =,œ ; c ;, 활용하여,œ, y y X y ( f(x c, y c ) = f(x, y) 을근사한다 : 따라서충분히작은 Δx 값을사용한다면그에해당하는 y 의변화를 ;œ = f x, y 로근사 (approximate). ; f(x (, y ( ) y ( = y + Δxf(x, y ) where Δx is the step size. y c x y ( y f(x, y ) x c x ( +Δx x X x x (
Exercise Let s say you are to solve an ODE: = f(x, y) = y 초기값이 f x c, y c = f 0,1 = 1 로주어졌을때, y(4) 는무엇인가? 1st trial with Δx = 1 n y x f x, y y ( 0 1 0 1 1 + 1 1 = 2 1 2 1 2 2 + 1 2 = 4 2 4 2 4 4 + 1 4 = 8 3 8 3 8 8 + 1 8 = 16 4 16 4 Fin.
Another example qdε =,Ÿ Ÿ qquestion: Øl c = 5 이고, l = 8 이될때, ε 은무엇인가? ( 초기값 : l = l c 일때, ε = 0) dε dl = 1 l l = 5, ε = 0 1st trial with Δl = 1 n ε l f l, ε = 1 l ε ( 0 0 5 1/5 0 + 1 1/5 = 0.2 1 0.2 6 1/6 0.2 + 1 1/6 = 0.367 2 0.367 7 1/7 0.367 + 1 1/7 = 0.510 3 0.510 8 1/8 0.510 + 1 1/8 = 0.634
Excel demonstration? Q1. dy = f(x, y) = y dx 초기값이 f x c, y c = f 0,1 = 1 Q2. dε dl = 1 l l = 5, ε = 0
Adv. Exercise exp x x ƒ dx dt a = f c exp y y ƒ dy dt a Let s specify the problem: = 10'H s '(, n = 0.25, m = 0.05, f c = 0.995 a f x, y = exp x x ƒ dx f dt c exp y y ƒ dy = 0 dt = exp x x 10 'H c.cœ 0.995 exp y y c.xœ y 1 = 0 f x, y = exp x x c.xœ 10 'H c.cœ 0.995 exp y y c.xœ y c.cœ = 0 y = Δy Δt = y ( y Δt a Let s set Δx = 0.5 Since Δx/Δt = 10 'H, Δt = 0.5 10 'H At x c = 0, y c = 0 At x ( = x c + Δx = 0.5 What is y (? We can find y ( by applying NR to f x (, y ( = 0 How?
Adv. Exercise (continued) We can find y ( by applying NR to f x (, y ( = 0 How? f x, y = exp x x c.xœ 10 'H c.cœ 0.995 exp y y c.xœ y c.cœ = 0 y Δy Δt y ( y Δt f x, y f x, y, y ( f x, y, y ( = exp x x c.xœ 10 'H c.cœ 0.995 exp y y c.xœ f y ( = 0.995 exp y y c.xœ y ( y Δt y ( = 0.995 exp y y c.xœ 0.05 y ( y Δt = f c exp y y m y ( y Δt 1'( 1 Δt c.cœ c.cœ'( 1 Δt y ( y Δt c.cœ
Adv. Exercise (continued) f = f y c exp y y m y ( y ( Δt 1'( 1 Δt f x, y, y ( = exp x x x 1 f c exp y y y ( y Δt 1 c My initial guess for y ( (denoted as y ( = x ( ) ( c My next guess for y ( (denoted as y ( = y ( + œ } ª «} œ } ) You have found y ( that satisfies f x, y, y ( < tolerance Then repeat the above NR iteration for the next step (k k + 1) New x = x '( + Δx Repeat this until y ( y Δt 10x
Advanced exercise Excel demonstration f = f y c exp y y m y ( y ( Δt 1'( 1 Δt f x, y, y ( = exp x x x 1 f c exp y y y ( y Δt 1 x c = 0, y c = 0
Results Case of f c = 0.98 and ε 2 = 0.001 s '( Solve the same equation with fixing ε 2 = 0.001 s '( Numerical Solution can be found in below link: https://github.com/youngung/lectures/blob/master/ipynb/eq5-14-hosford-caddell.ipynb
Alternative description of strain-rate dependence q 앞서우리는유동응력의 strain-rate dependence 를다음과같이나타내었다. qσ = C ε a q 위 description 은철강의경우잘들어맞지않는다. 실험을통해철강의경우위의 m 값이소성경화량에따라달라지는것을관찰할수있었다. q SRS m 값이유동응력의 inverse 와비례하는것을보여준다.
Alternative description of strain-rate dependence qsrs m 값이유동응력의 inverse 와비례하는것을보여준다. q 따라서다음과같은 description 이아마도더낫다 : µƒ j = m q 위를적분하는구간에서변형률속도가 ε c 에서 ε ( 로변화했고, 그에대한반응으로응력또한 σ c 에서 σ ( 로변했다면아래와같이완전적분이가능하다. } qdσ = m d ln ε dσ j } = m d ln ε j = m ln j } j q σ ( σ c = m ln j } j σ ( = m ln j } j + σ c q 앞에서유동응력은 strain rate 뿐만아니라, strain 에의해서도변화함을보았다 ( 변형경화현상 ; strain hardening). 응력 σ c 은 strain rate ε c 뿐만아니라변형률에대한함수임을알수있다 q 위의방정식에서주의해서봐야하는점은유동응력에영향을주는 1) 변형률강화와 2) SRS 효과의응력상승에대한기여 (contribution) 가 additive 한형태로표현된다는점이다. q 앞서우리는그와다르게 1) 변형률강화와 2) SRS 효과가 곱해진 형태로나타냈던점과대비된다 : qσ = Cε ƒ ε a
Alternative description of strain-rate dependence qσ ( 의변형률에대한의존성은 σ c 을통해다음과같이 describe 할수있다. qσ ( = m ln j } j + K ε ƒº K 과 n 은특정변형률속도 (ε ċ ) 에서측정된 K, n 값이다 (K, n 이 strain rate 에따라달라질수있다고가정하였다 ). q 한기준 strain rate ε c 와 strain ε 에서응력이 K ε ƒº 같다면, 같은 strain ε 이지만다른 strain rate ε 환경에서의응력을다음과같이표현할수있다 : qσ = m ln j j + K ε ƒº
Alternative description of strain-rate dependence q 아래와같은형태로유동응력을표현하였다. qσ = m ln j j + K ε ƒº (1) q 우리는앞서유동응력을 Hollomon equation 으로묘사하였다. qσ = Kε ƒ q 그리고 σ/ ε 값을구하면서다음과같은관계를알아내었다. q j = nkεƒ'( = Kε ƒ ƒ j = σ ƒ j q(1) 과 (2) 를사용하면 qn = j qn = j = j n K ε ƒº '( = ƒ º n = j j a º µƒ ¼º j º n K ε ƒº '( = j (2) ƒº¼ºj º a º µƒ ¼º j ƒº = º ~ º ½ ¾ º ( º ~ º ½ ¾ º º ( ( 만약 n, m 이정말상수라면, n 값은 ε 값이증할수록감소 )
Temperature dependence of flow stress q 고온에서의 strain-hardening rate ( σ/ ε) 는온도상승에따라급격히 감소한다.
Zenner and Hollomon qadapted Arrhenius equation to describe the effect of temperature on strain rate. qε = A exp Q/RT qq: Activation energy, T: temperature; R: the gas constant ( 기체상수 ); A: 비례상수 qat constant strain, A is described as a function of stress alone: qa A σ = ε exp Q/RT q 혹은더간단히응력은 Zenner Hollomon parameter Z 에대한함수로표현한다 : qσ = f(z) qwhere Z = ε exp Q/RT
Recap qstrain rate qviscosity qrelation between strain rate and flow stress (strain rate sensitivity; SRS) qsrs measurement technique qunwanted effect of negative SRS qpredicting necking due to inhomogeneity considering ØStrain rate sensitivity ØCombined effect of strain rate sensitivity and strain hardening ØApplication of NR method again qzenner-hollomon
References and acknowledgements qreferences ØAn introduction to Continuum Mechanics M. E. Gurtin ØMetal Forming W.F. Hosford, R. M. Caddell ( 번역판 : 금속소성가공 - 허무영 ) ØFundamentals of metal forming (R. H. Wagoner, J-L Chenot) Øhttp://www.continuummechanics.org (very good on-line reference) Øhttp://youngung.github.io ( 본강의에서다룬 NR method 에대해찾아보세요 ) qacknowledgements ØSome images presented in this lecture materials were collected from Wikipedia.