3 강유한요소법
3 강목차 3. 미분방정식의근사해법-Ritz법 3. 미분방정식의근사해법 가중오차법 3.3 유한요소법개념 3.4 편미분방정식의유한요소법
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CAD 전처리프로그램 (Preprocessor) DXF, STL 파일 입력데이타 유한요소솔버 (Finite Element Solver) 자연법칙지배방정식유한요소방정식파생변수의계산 질량보존법칙 연속방정식 뉴톤의운동법칙평형방정식대수방정식 ( 속도, 정수압 ) 변형형상, 하중, 응력, 변형률속도, 유효변형률, 손상도. 소성유동선도등등 에너지보존법칙열전도방정식대수방정식 ( 온도변화율 ) 온도, 열전달율 출력데이타 후처리프로그램 (Postprocessor)
비실용적! - 컴퓨터 ( 단순충실, 빠른계산 ) - 유한요소기교 = 유한요소보간 단조시뮬레이션 실용적근사해법
미분방정식 Prob. d d, 0 0 0, 0 경계조건 ( ) ( ) 4 C C 정해 : * 4 ( ) k Prob. 범함수 (Functional) 3 F( ) d 0 4 d Etremize F( ( ) d 0 d subject to (0) 0, () 0 0 0, 0 * F F * 4
3 3 0 y ( )( ) 0 Etremize y ( ) d d, 0, (0) 0, () 0 d ( ) ( ) 0 Etremize F d d (0) 0, () 0 0 0, 0 * F F * 4
( ) C C 시도함수 (Trial function) ( ) Cii( ) i (0) 0, () 0 기초함수 (Basic function) d Etremize F( ( ) d 0 d subject to (0) 0, () 0 0 0, 0 * 4 * F F 함수장 (Function space) 유한차원벡터장 (Finite dimensional vector space) 3 4 F( ) C C 3 C C d 0 d C 3 d C 0 0 3 4 3 d C C d C d C 0 0 0 F( C, C ) F( ) C C C C C C 6 5 6 0 30 함수장 = 무한차원벡터장 C C 유한차원벡터장
d Etremize F( ( ) d 0 d subject to (0) 0, () 0 Etremize (0) 0, () 0 ( ) C C F( C, C ) F( ) C C C C C C 6 5 6 0 30 C C 3 6 0 C C 6 5 30 함수 F( C, C ) 가극값을가질조건 : 선형방정식 : F C F 0, 0 C 0 5C 3 C, C 30 5 4C 60 5 6 30 F 0 3 근사해 : ( ) 3-5 정해 * ( ) 4
* 0.0965, 0.09799 오차.% ma 0, 0,, * 5 ma 정해 = 4차함수근사해 = 3차함수 ma < 근사해와정해의비교 > * 7 4 30 정확도 n 오차 0% ( ) Cii( ) 정확도 n ( C ( )) ( C ( )) i i i i i i n * n i i i lim C ( ) ( ) Accuracy ( ( )) Accuracy ( ( )) Accuracy ( ( )) ( ) C ( ) C ( ) ( ) C( ) C ( ) C3 ( ) i 3 ( ) C ( ) C ( ) C ( ) C sin{ ( )} 3 3 4 시도함수 ( ) Cii( ) 가정답을표현할수있다면, 근사해 = 정해 i
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d d 0 0, 0 0, 0 Prob. Prob. 약형 (Weak form) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d 0 0 0 (0) () 0 Assume (0) () 0 [ ( ) ( ) ( )] d 0 0 (0) 0, () 0 where ( ) is is arbitrary ecept eptthat that (0) 0 and () 0 b a ( ) is arbitrary. : 가중함수 (Weighting function) b a u v uv uv b a d 0 d 0 0 ( ) d 0 cos cos tan tan 0 0, 0 0 0, 0 함수집합 e * e 4 log sin 4 log sin
0 0, 0 [ ( ) ( ) ( )] d 0 0 (0) 0, () 0 where ( ) is is arbitrary ecept eptthat that (0) 0 and () 0 () ( ) 미지함수와가중함수를동일한기초함수로근사화시키는방법 근사가중함수와시도함수를위한기초함수의집합 4 e log sin () ( ) ( ) C C ; C and C= 미지의 are unknown 상수, C ( ) W W = 임의의상수 ( ) W ( ) ;, W 근사가중함수 (0) () 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] d 0 0 (0) 0, () 0 3 4 C ( C( 3 ) W ( ) W ( 3 ) d W 0 ( ) W ( ) d 0 where ( ) is arbitrary ecept that 기초함수 (Basic function)
3 4 0 C ( ) C ( 3 ) W ( ) W ( 3 ) d W ( ) W ( ) d 0 3 W ( )( ) d C 0 ( )( 3 ) d C 0 ( ) d d 0 4 W ( 3 )( ) d C 0 ( 3 )( 3 ) d C 0 ( ) d 0 0, d, etc. 6 5 5 4 0 0 W W 0 W 와 W 는임의의상수 0 5C 3 C, C 30 5 4C 60 5 6 3 ( ) 3 5 30 정해 = 4 차함수 ( ) C C ; C and C are unknown 근사해 = 3차함수 Ritz 법과동일 < 근사해와정해의비교 >
3.
C 시도함수 : C 근사해 : ( ) C C 단순화 7 7 ( ) 9 96 C for 0 ( ) for N ( ) ( ) C 7 9 d Etremize F( ( ) d 0 d subject to (0) 0, () 0 초수렴 (Superconvergence) C? (0.5) C < 기초함수 = 보간함수 (Interpolation function)> 3 절점 (Node) 요소 (Element) 정답유한요소해 < 유한요소해와정해의비교 >
4 절점유한요소모델 보간함수 ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) 3 3 4 4 요소 3 3 4 3 3 43 3 요소 3 3 3 3 33 4 3 3 3 43 43 경계조건 (0) 0, () 0 요소 ( ) N ( ) N ( ) in Finite Element Method 3 3 절점치 0, 0 3 3 4 3 3 43 7 요소방정식 4 ΔQ ΔQ 4 유한요소방정식 4 5 3 43 50 근사해와정해의비교 3 9 0,, 3, 4 0 486 486
FEM( 유한요소법 ) = Ritz 법 / Galerkin 법 ( 미분방정식의근사해법 ) + FE 이산화와 FE 보간 ( 근사화 ) FE 보간함수 : Ni ( ) Ni ( ) 기초함수를만드는방법 = 유한요소기교 (Finite element technique) Ni ( ) N ( ) N ( ) 3 해석영역 Ni ( ) 미지함수 0 0 절점 (Node) 요소 (Element) 유한요소해 정답 시도함수 3 3 4 ( ) N ( ) N ( ) in Finite Element Method 3 3 ( ) C ( ) C ( ) in Ritz or Galerkin method 기초함수 유한요소법 Ritz 법과 Galerkin 법 보간함수 유한요소해
4.
Poisson 방정식 차원 d, 0 d k k f (, y) 0 y 0 0, 0 T T on S T 차원 = 3 차원 d Etremize F( ( ) d 0 d subject to (0) 0, () 0 Etremize F( ) (, ) (, ) k k f y y ddy y subject to T T on S (, ) (, ) (, ) T y N y N y N?,? J J J N J J 절점치
요소망 보간함수 N (, y) J J η - ξ -
사각형요소망의지능적재구성
육면체요소망의지능적재구성 작은요소수로형상을정확하게! 요소수많아지면요소망재구성많아져수치적순화가커짐