[ 국제캠퍼스실험 ] 직류회로및교류회로 Objective 전자회로를구성하는기본소자인저항 (Resistor), 축전기 (Capacitor), 인덕터 (Inductor) 를이해하고, 직류및교류특성을확인한다. 또한, 축전기와인덕터가포함된회로에서교류신호의공명진동수를확인한다. Theory ----------------------------- Reference -------------------------- Young & Freedman, University Physics (14 th ed.), Pearson, 2016 26.4 R-C Circuit (p.886~890) 30.4 The R-L Circuit (p.1024~1028) 31.3 The L-R-C Series Circuit (p.1052~1056) 31.5 Resonance in AC Circuits (p.1060~1062) ----------------------------------------------------------------------------- 이론설명의기호는각각다음을의미한다. RR : 저항 (resistance) 또는저항기 (resistor) CC : 전기용량 (capacitance) 또는축전기 (capacitor) LL : 인덕턴스 (inductance) 또는인덕터 (inductor) E : 전원의기전력 (emf) 또는공급전압 vv : 순간단자전압 (voltage) 또는전위차 (potential difference) VV : 최대단자전압 ( 교류전압의최댓값또는진폭 ) ii : 순간전류 (current) II : 최대전류 ( 교류전류의최댓값또는진폭 ) qq : 순간전하량 (charge) QQ : 최대전하량 ff : 진동수 (frequency) 또는주파수 ωω : 각진동수 (angular frequency, ωω = 2ππff) XX : 리액턴스 (reactance) ZZ : 임피던스 (impedance) 1. R-C 직류회로 그림 1 과같이저항과축전기가직렬로연결된회로를 R-C 회로라고한다. 회로에일정한기전력 E 를공급하는전지또는전원장치는내부저항이없다고가정한다. 축전기가충전되지않은상태에서그림 1(b) 와같이스위치를닫으면, 회로를따라전류가흘러축전기가충전되기시작한다. 스위치를닫는순간 (tt = 0) 에축전기 CC 및저항 RR 양단의전위차는각각 vv CC = vv bbbb = 0, vv RR = vv aaaa = E 이다. 따라서, tt = 0 일때회로에흐르는초기전류 ii = II 0 는옴의법칙 (Ohm s law) 에의해 II 0 = vv RR RR = E RR 이된다. Fig. 1 Charging a capacitor. (a) Just before the switch is closed, the charge qq is zero. (b) When the switch closed (at tt = 0), the current jumps from zero to E/RR. As time passes, qq approaches QQ f and the current ii approaches zero. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 1 / 22
축전기가충전되기시작하면 vv CC 는증가하고전류 ii 가점차감소하므로 vv RR 도감소하는데, 키르히호프전압법칙 (Kirchhoff s loop law) 에따라 vv CC + vv RR = E 의일정한값을유지한다. 시간이충분히지나축전기가완전히충전되면 ii = 0 으로감소하여 vv RR = 0 이되므로 vv CC = E 가된다. 이과정을수식으로표현하기위해, 회로가닫힌후시간 tt 가경과하였을때축전기의전하량과회로의전류를각각 qq, ii 라고하면, 순간전위차 vv RR 과 vv CC 는식 (1) 과같으며, 키르히호프전압법칙으로부터식 (2), (3) 이성립한다. vv RR = iiii vv CC = qq CC (1) E iiii qq CC = 0 (2) ii = E RR qq RRRR (3) 식 (5) 의해를구하면축전기의전하량 qq 와회로에흐르는 전류 ii 는각각다음과같다. qq = CCE 1 ee tt/rrrr = QQ 0 1 ee tt/rrrr (6) ii = dddd dddd = E RR ee tt/rrrr = II 0 ee tt/rrrr (7) 식 (6), (7) 을그래프로나타내면그림 2 와같다. 식 (6), (7) 에서시간 tt = RRRR 가경과한후, 회로의전류는최댓값 II 0 의 1/ee = 0.368 배가되고축전기의전하량은최댓값 QQ 0 = CCE 의 1 1/ee = 0.632 배가된다. 따라서, 저항과전기용량의곱 RRRR 는축전기의충전속도를비교할수있는기준으로삼을수있다. 이값 RRRR 를 R-C 회로의시간상수 (time constant) 라고하며기호 ττ 를사용하여표기한다. 축전기가완전히충전되었을때 ii = 0 이므로, 축전기에저장된최대전하량 QQ 0 은식 (3) 으로부터다음과같이유도할수있으며저항 RR 과관계가없음을알수있다. E RR = QQ 0 RRRR QQ 0 = CCE (4) 시간 tt 에대한전하량 qq 와전류 ii 의함수를얻기위해, ii = dddd/dddd 를식 (3) 에대입하면다음의식을얻을수있다. dddd dddd = E RR qq RRRR = 1 (qq CCE) RRRR dddd qq CCE = dddd RRRR (5) ττ = RRRR (8) ττ 가작으면축전기가빨리충전된다. RR 이작으면전류가흐르기쉽기때문에, CC 가작으면채워야할용량이작기때문에축전기가빨리충전된다. 위의경우와반대로, 그림 3(a) 와같이축전기가 qq = QQ 0 로충전된상태에서전원을제거하고스위치를닫으면, 그림 3(b) 와같이충전할때와반대방향으로전류가흐르며축전기가방전되어전하량이 0 으로감소한다. Fig. 2 Current ii and capacitor charge qq as function of time for the circuit of Fig.1. The initial current is II 0 and the initial capacitor charge is zero. The current asymptotically approaches zero, and the capacitor charge asymptotically approaches a final value of QQ 0 Fig. 3 Discharging a capacitor. (a) Before the switch is closed at the time tt = 0, the capacitor charge is QQ 0 and the current is zero. (b) At time tt after the switch is closed, the capacitor charge is qq and the current is ii. The actual current direction is opposite to the direction shown; ii is negative. After a long time, qq and ii both approach zero. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 2 / 22
그림 3(b) 와같이, 전류의방향을충전할때와동일하게시계반대방향으로잡고식 (3) 에 E = 0 을대입하면식 (9) 를유도할수있다. 이식에서전류 ii 는음의값을갖는데, 이는그림 3(b) 와같이양전하 q 가왼쪽축전기판에서출발하여, 충전할때와반대방향으로흐르는것을의미한다. 2. R-L 직류회로 R-L 회로는그림 5 와같이저항 RR 과인덕터 LL 이직렬로연결된회로이다. 인덕터는전류의순간적인변화를지연시키는역할을한다. ii = dddd dddd = qq RRRR tt = 0, qq = QQ 0 일때전류는 II 0 = QQ 0 /RRRR 이므로식 (9) 로부터다음의식을구할수있다. (9) qq = QQ 0 ee tt/rrrr (10) ii = dddd dddd = QQ 0 ee tt RRRR = II RRRR 0 ee tt/rrrr (11) 그림 5 에서스위치 S 1 을닫고시간 tt 가경과한후의전류를 ii, 전류의시간변화율을 dddd/dddd 라고하면, 저항 RR 과인덕터 LL 의전위차 vv RR = vv aaaa, vv LL = vv bbbb 는식 (16) 과같으며, 키르히호프전압법칙으로부터식 (17), (18) 이성립한다. vv RR = iiii vv LL = LL dddd dddd (16) E iiii LL dddd dddd = 0 (17) ii = E 1 ee (RR LL )tt (18) RR 식 (10) 과식 (11) 의그래프는그림 4 와같다. 식 (1) 에서 vv RR = iiii, vv CC = qq CC 이므로, E = VV 0 = QQ 0 CC 라고하면, 축전기가충전또는방전될때축전기와저항의단자전압은식 (6), (7), (10), (11) 로부터다음과같이유도할수있다. vv CC = VV 0 1 ee tt RRRR (charging capacitor) (12) vv RR = VV 0 ee tt RRRR (charging capacitor) (13) vv CC = VV 0 ee tt RRRR (discharging capacitor) (14) vv RR = VV 0 ee tt RRRR (discharging capacitor) (15) Fig. 5 An R-L circuit. Fig. 4 Current ii and capacitor charge qq as function of time for the circuit of Fig.3. The initial current is II 0 and the initial capacitor charge is QQ 0. Both ii and qq asymptotically approach zero. Fig. 6 (a) Graph of ii versus tt for growth of current in an R-L circuit with and emf in series. The final current is II = E RR; after one time constant ττ, the current is 1 1/ee of this value. (b) Graph of ii versus tt for decay of current in an R-L circuit. After one time constant ττ, the current is 1/ee of its initial value. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 3 / 22
그림 6(a) 와같이전류 ii 의증가속도는점점느려지다가최댓값 II = E/RR 에점근한다. tt = LL/RR 일때전류는최댓값의 1 1/ee 배, 즉 63% 가된다. 따라서, 값 LL/RR 은전류가얼마나빨리최댓값에도달하는지판단하는기준이된다. 이값을 R-L 회로의유도시간상수 (time constant) 라고하며다음과같이표기한다. 3. 교류회로의저항 그림 7(a) 와같이저항 RR 에교류전류 ii = II cos ωωωω 가흐를때, 저항에걸리는순간전압 vv RR 은다음과같다. vv RR = iiii = (IIII) cos ωωωω (31) ττ = LL RR (19) 이때, 최대전압 ( 교류전압의진폭 ) VV RR 은다음과같다. 한편, 그림 5 의회로에서스위치 S 1 를닫아전류가 II 0 에도달한상태에서, S 1 을열고동시에 S 2 를닫으면, RR 과 LL 에흐르는전류는그림 6(b) 와같이감소한다. 식 (17) 에 E = 0 을대입한후해를구하면시간에따라감소하는전류 ii 는다음과같다. ii = II 0 ee (RR LL )tt (20) 결과적으로회로에는식 (18), (20) 의전류가흐르며, 저항및인덕터의단자전압은각각다음과같다. vv RR = VV 0 1 ee (RR LL )tt (0 VV 0 ) (21) vv LL = VV 0 ee (RR LL )tt (0 VV 0 ) (22) vv RR = VV 0 ee (RR LL )tt (VV 0 0) (23) vv LL = VV 0 ee (RR LL )tt (VV 0 0) (24) VV RR = IIII (32) 식 (31), (32) 로부터다음과같이표현할수있다. vv RR = VV RR cos ωωωω (33) 전류 ii 와전압 vv RR 은모두 cos ωωωω 에비례한다. 따라서전류와전압은동일위상에있다. 식 (32) 로부터, 저항만있는회로에서는교류전류와교류전압의관계가직류회로와동일함을알수있다. 그림 7(b) 는시간 tt 에대한 ii 와 vv RR 의그래프이다. ( 전류와전압의수직배율이다르므로상대적인높이는무시한다.) 그림 7(c) 는이에대한위상도이다. ii 와 vv RR 은위상과진동수가같기때문에, 전류와전압의위상벡터 (phasor) 는동일하게회전하며항상평행하다. 각성분의 xx 축사영은각각순간전류와순간전압의크기를나타낸다. Note 식 (16)~(24) 은내부저항이없는이상적인인덕터에대해서만성립한다. 실제인덕터는가늘고긴도선으로구성되기때문에도선자체의저항을무시할수없다. 이를인덕터의내부저항 RR LL 이라고한다. 이를반영하여식 (16)~(24) 을수정하면식 (21)~ (24) 는다음과같다. vv RR = (RRVV 0 (RR + RR LL )) 1 ee ((RR+RR LL ) LL)tt (0 VV 0 ) (25) vv LL = (VV 0 (RR + RR LL )) RR LL + RRee ((RR+RR LL ) LL)tt (0 VV 0 ) (26) vv RR = (RRVV 0 (RR + RR LL ))ee ((RR+RR LL ) LL)tt (VV 0 0) (27) vv LL = (RRVV 0 (RR + RR LL ))ee ((RR+RR LL ) LL)tt (VV 0 0) (28) Fig. 7 Resistance RR connected across an ac source. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 4 / 22
4. 교류회로의축전기 그림 8(a) 와같이축전기 CC 에교류전류 ii = II cos ωωωω 가흐를경우, ii = (dddd dddd) 이므로축전기의전하 qq 는식 (34) 와같으며, 순간전압 vv CC 는 qq = CCvv CC 로부터식 (35) 와같다. qq = II sin ωωωω ωω (34) vv CC = II sin ωωωω ωωωω (35) or vv CC = II cos(ωωωω 90 ) ωωωω (36) XX CC 는전압과전류의비율이므로, SI 단위는저항과동일한옴 (ohm, Ω) 이다. 저항이전기에너지를소비하며전류의흐름을방해하는것처럼용량리액턴스 XX CC 는전기에너지를축적하며전류의흐름을방해한다. XX CC 는전기용량 CC 와각진동수 ωω 에반비례한다. 즉, 축전기는높은진동수의교류전류를통과시키고낮은진동수의교류전류또는직류전류를차단하는경향이있다. 이와같은축전기의성질을사용하여높은진동수의신호를선택적으로통과시키는회로를고주파통과필터 (high-pass filter) 라고한다. 5. 교류회로의인덕터 전류는전압의변화율에비례하므로그림 8(b) 와같이전압과전류사이에는 90 의위상차가발생하는데, 전압의최고점이전류의최고점보다늦게발생하기때문에전압이전류보다 90 지연된다고한다. 이는 cos(aa 90 ) = sin AA 관계로부터유도한식 (36) 으로부터도확인할수있다. 축전기전압의진폭 ( 교류전압의최댓값 ) VV CC 는식 (37) 과같다. 이를식 (32) 의 VV RR = IIII 과유사하게표현하기위해, 식 (38) 의축전기의용량리액턴스 (capacitive reactance) XX CC 를정의하여대입하면식 (39) 와같이정리할수있다. 그림 9(a) 와같이내부저항이없는인덕터 LL 에교류전류 ii = II cos ωωωω 가흐르면, 시간에따라변하는전류에의해기전력이유도되어, 인덕터양단에전위차 vv LL 이발생한다. 전류의방향을시계반대방향으로정하면, 유도기전력은 ℇ = LLLLLL/dddd 이며, 전위차는 vv LL = LLLLLL/dddd 가된다. 따라서다음의식이성립한다. vv LL = LL dddd dddd = LL dd (II cos ωωωω) = IIIIII sin ωωωω (40) dddd or vv LL = IIIIII cos(ωωωω + 90 ) (41) VV CC = II ωωωω XX CC = 1 ωωωω (37) (38) VV CC = IIXX CC (39) 전압은전류의변화율에비례한다. 따라서, 그림 9(b) 와같이전압의최고점이전류의최고점보다 90 만큼먼저발생하기때문에전압이전류를 90 앞서간다고한다. 이는 cos(aa + 90 ) = sin AA 관계로부터유도한식 (41) 로도확인할수있다. Fig. 8 Capacitor CC connected across an ac source. Fig. 9 Inductance LL connected across an ac source. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 5 / 22
식 (40) 으로부터, 인덕터전압의진폭 VV LL 은식 (42) 와같다. 이를식 (32) 의 VV RR = IIII 과유사하게표현하기위해, 식 (43) 의인덕터의유도리액턴스 (inductive reactance) XX LL 을정의하여대입하면식 (44) 와같이정리할수있다. VV LL = IIIIII (42) XX LL = ωωωω (43) VV LL = IIXX LL (44) 유도리액턴스 XX LL 은인덕터에서교류전류의흐름을방해한다. 교류가흐르는회로는전류량이끊임없이변한다. 인덕터를구성하는코일에서전류의변화에의해자기장이변하면, 이를막기위한방향으로기전력이유도된다. 각진동수가증가한다는것은전류의변화가심해짐을의미하므로이를막기위한성질도더커진다. 따라서식 (43) 과같이각진동수가증가하면유도리액턴스가증가한다. 5. L-R-C 직렬교류회로 그림 10(a) 와같이저항 RR, 인덕터 LL 및축전기 CC 가모두포함된회로는위상도를사용하면이해하기쉽다. 이회로에서, 세성분전체에걸리는순간총전압 vv aaaa 는, 키르히호프의전압법칙에따라그순간의전원의전압과동일하다. 이총전압을표현하는위상벡터는각전압의위상벡터의벡터합으로표현할수있다. RR, LL, CC 에걸리는순간전압을 vv RR, vv LL, vv CC, 최대전압을 VV RR, VV LL, VV CC 그리고전원의순간전압과최대전압을각각 vv, VV 이라고하면 vv = vv aaaa, vv RR = vv aaaa, vv LL = vv bbbb, vv CC = vv cccc 이다. 저항 RR 의전압은전류와위상이같고전압의진폭은 VV RR = IIII 이다. 그림 10(b) 에서전류의위상벡터 II 와위상이동일한위상벡터 VV RR 은저항의단자전압을나타낸다. 이를 xx축에사영하면저항의순간단자전압 vv RR 이된다. 인덕터에인가된교류전압 VV LL 의각진동수가증가하면, 유도리액턴스 XX LL 이증가하므로, 식 (44) 에따라교류전류가흐르기어려워진다. 반대로각진동수가낮아지면교류전류는쉽게흐를수있다. 따라서, 인덕터는전원공급기나라디오간섭필터에서높은주파수의신호를차단하고낮은주파수의신호나직류를통과시키는회로에서사용할수있다. 이러한용도로인덕터를사용하는회로를저주파통과필터 (low-pass filter) 라고한다. 인덕터 LL 의전압은전류보다 90 앞선다. 전압의진폭은식 (44) 의 VV LL = IIXX LL 과같다. 그림 10(b) 에서위상벡터 VV LL 은인덕터의단자전압을나타내며, VV LL 의 xx축사영은인덕터의순간단자전압 vv LL 이된다. 축전기 CC 의전압은전류보다 90 느리다. 전압의진폭은식 (39) 의 VV CC = IIXX CC 와같다. 그림 10(b) 에서위상벡터 VV CC 는축전기의단자전압을나타내며, VV CC 의 xx축사영은축전기의순간단자전압 vv CC 가된다. 따라서벡터합으로부터전압위상벡터 VV 의크기는다음과같다. VV = II RR 2 + (XX LL XX CC ) 2 (47) 이회로에서전류진폭에대한전압진폭의비율을교류회로의임피던스 (impedance) ZZ 라고정의한다. 식 (47) 에서 L-R-C 직렬회로의임피던스는다음과같다. ZZ = RR 2 + (XX LL XX CC ) 2 (48) 따라서, 식 (47) 은다음과같이표현할수있다. Fig. 10 An L-R-C series circuit with an ac source. VV = IIII (49) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 6 / 22
식 (49) 는 VV = IIII 과유사한형태이며, 교류회로에서의임피던스 ZZ 는직류회로에서저항 RR 과동일한역할을한다. 직류전류가저항이최소인경로를따라흐르는경향이있는것처럼, 교류전류는임피던스가작은경로로흐르는경향이있다. 공명은유도리액턴스 XX LL 과용량리액턴스 XX CC 가동일할때발생한다. 따라서공명각진동수 ωω 0 는다음과같다. XX LL = XX CC ωω 0 LL = 1 ωω 0 CC ωω 0 = 1 LLLL (53) XX LL = ωωωω, XX CC = 1 ωωωω 를식 (48) 에대입하면 L-R-C 직렬회로에서임피던스 ZZ 의성질을명확하게표현할수있다. 공명진동수 (resonance frequency) 는 ff 0 = ωω 0 2ππ 이다. 이는공급된교류전압에대해회로에서나타나는최대전류의진동수이다. ZZ = RR 2 + ωωωω 1 ωωωω 2 (50) 이식에서임피던스는 RR, LL, CC 뿐만아니라각진동수 ωω 의함수임을알수있다. 따라서, 회로에동일한진폭의교류전압이인가되어도진동수 ωω 가변하면임피던스가바뀌기때문에교류전류의진폭이달라진다. 한편, 그림 10(b), (c) 의위상도에서전압과전류위상벡터사이의각 φφ 는전류 ii 에대한전원전압 vv 의위상각이다. 위상도로부터식 (51) 이성립하며, 전류가 ii = II cos ωωωω 이면, 전원전압은식 (52) 와같다. ωωωω 1 ωωωω tan φφ = RR (51) vv = VV cos(ωωωω + φφ) (52) LL 과 CC 이직렬로연결되어있으므로 LL 과 CC 에흐르는전류는항상동일하다. 그런데인덕터에걸리는전압의위상과축전기에걸리는전압의위상차는 180 로부호가항상반대이다. 공명진동수에서는 XX LL = XX CC 이므로각각의전압진폭은 VV LL = IIXX LL, VV CC = IIXX CC 로동일하다. 따라서, 그림 10(a) 에서 LL 과 CC 에걸리는총전압 vv bbbb 는 0 이되고, 모든공급전압은저항에인가된다. 따라서, 공명진동수에서회로는인덕터와축전기가없는것처럼작동한다. 전류에대한전압의위상은식 (51) 과같고, 그림 11(b) 에서각진동수변화에따른위상각 φφ 의변화를확인할수있다. L-R-C 공명회로는대표적으로라디오의주파수를선택할때사용한다. 라디오의회로에는다양한주파수의신호가도달하지만, LL 과 CC 을조정하여특정주파수에맞추면, 공명에의해해당주파수에대해서만강한전류가흐르게되어원하는방송을선택적으로들을수있게된다. 6. 교류회로의공명 L-R-C 회로에일정한교류전압 VV 를연결하면, 전류의진폭은식 (49) 로부터 II = VV/ZZ 이된다. 이때회로의임피던스 ZZ 는식 (50) 에서표현한바와같이각진동수 ωω 에따라변한다. 그림 11 는각진동수 ωω 에대한 RR, XX LL, XX CC, ZZ 와전류진폭 II 의그래프이다. 각진동수가증가하면 XX LL 이증가하고 XX CC 가감소한다. XX LL XX CC = 0 을만족하는각진동수에서임피던스는최소 ZZ = RR 이되며, 전류는최대가된다. 이와같이, 특정각진동수에서전류가매우커지는현상을공명 (resonance) 이라고하며, 공명이발생하는각진동수 ωω 0 를공명각진동수 (resonance angular frequency) 라고한다. Fig. 11 How variations in the angular frequency of an ac circuit affect (a) reactance, resistance and impedance, and (b) impedance, current amplitude and phase angle. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 7 / 22
Equipment 1. 실험장비 장비수량용도및비고 컴퓨터및분석프로그램 ( 캡스톤 ) 1 850 인터페이스를제어한다. 센서에서측정한계측값을표시하고분석한다. 인터페이스 1 다양한측정센서를연결하여데이터를측정한다. 15V 1A 의전원또는파형을공급한다. 전압센서 2 전압을측정한다. L-R-C 회로판 1 다양한규격의저항, 축전기, 인덕터를사용하여전자회로를구성한다. 전선 3 인터페이스의출력전원을회로에연결한다. 멀티미터 1 저항, 전압, 전류등을측정한다. 2. 주요장비기능및작동원리 (1) L-R-C 회로판 (2) 멀티미터 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 8 / 22
Procedure 실험 1. R-C 직류회로 (1) R-C 회로를구성하고인터페이스에연결한다. (2) 프로그램을설정한다. 1 적색전선을사용하여인터페이스의 [OUTPUT1] 적색단자와 L-R-C 회로판의 CC = 330 µf 축전기아래쪽단자를연결한다. 2 흑색전선을사용하여인터페이스의 [OUTPUT1] 흑색단자와 RR = 100 Ω 저항아래쪽단자를연결한다. (2-1) 전압센서 2 개및전원출력부의전압전류센서를설치한다. 센서와전선을연결한포트에서마우스오른쪽버튼을클릭한후, 목록에서 [Voltage Sensor] 또는 [Output Voltage Current Sensor] 를선택하여설치한다. 3 황색전선을사용하여인덕터양단을연결한다. 4 전압센서의바나나플러그를축전기양단에꽂은후인터페이스의 [Analog input A] 에연결한다. 적색선을축전기아래쪽단자에연결해야한다. 5 다른전압센서를저항양단에꽂은후인터페이스의 [Analog input B] 에연결한다. 흑색선을저항아래쪽단자에연결해야한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 9 / 22
(2-2) 출력파형을설정한다. 매초마다 4V 직류전압이공급되었다가 0V 로방전되는사각파를공급한다. 따라서, 다음과같이설정한다. [Waveform] : Square ( 사각파 ) [Frequency] : 1 Hz (TT = 1s) [Amplitude] : 2V ( 2V~2V) [Voltage Offset] : 2V (+2V = 0V~4V) [Auto] ( 측정시자동출력 ) 수동으로측정을시작하며, 측정이시작된후 3 초가지나면측정을종료한다. 따라서, 종료조건 [Stop Condition] 만다음과같이설정한다. [Condition Type] : Time Based [Record Time] : 3.000 s (2-5) 측정변수를추가로생성한다. 키르히호프법칙확인을위해, 축전기의단자전압과저항의단자전압을더한그래프를그린다. [Calculator] 에서새측정변수를생성하고, 변수의적절한이름 (Vtotal) 을입력한후, 전압센서두개의측정값을불러와서더한다. 수식에서 [ 를입력하는순간그림과같은팝업메뉴가열리는데, 이중에서적절한센서측정변수를선택할수있다. [Voltage, Ch A (V)] 와 [Voltage, Ch B (A)] 를사용하여수식을완성한다. 변수의단위를입력한다. (2-3) 단위시간당측정횟수를설정한다. 모든센서에대해, 1 초당 5000 회의데이터를측정한다. [Controls] 메뉴에서모든센서를 [5.00 khz] 로설정한다. (2-4) 자동측정완료조건을구성한다. [Controls] 메뉴에서 [Recording Condition] 을클릭한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 10 / 22
(2-6) 그래프를생성한다. xx 축의변수는각각다음을선택한다. 총 4 개의그래프를생성한다. Output Voltage, Ch 01 : 인터페이스출력전압 ( 회로입력 ) Voltage, Ch A : 축전기단자전압 Voltage, Ch B : 저항단자전압 Vtotal : 두단자전압의합. ( 순서 (2-5) 에서생성한변수 ) ( 배선연결상태에따라 Voltage, Ch A 와 Ch B 가바뀔수있다. 실제배선연결상태를보고판단한다.) 각그래프의변수를설정한다. 모든그래프의 xx 축은경과시간 [Time(s)] 으로설정한다. (3) 데이터를측정한다. 측정결과를확인한다. ( 그래프의위치는설정에따라다를수있다.) 시간을세밀하게표시하기위해, 시간단위를밀리초 [ms] 로변경한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 11 / 22
(4) 데이터를확인한다. 그래프를적절히확대하여시간경과에따른축전기와저항의단자전압의변화를확인한다. 마찬가지방법으로, 축전기의전하량 qq 의그래프는축전기의단자전압 [Voltage, Ch A (V)] 그래프와식 (1) vv = qq/cc 로부터유추할수있다. ( 필요하면 [Calculator] 에서 qq = CCvv CC 수식을생성한후그래프를작성하여확인한다.) 그래프에서특정시간의데이터는 [Show coordinate ] 을사용하여확인할수있다. 전류와전하량의그래프를첨부하고, 이론의그림 2, 4 와비교하여토의한다. 충전 방전 ii or vv RR qq or vv CC (5-2) 키르히호프전압법칙 (5) 데이터를분석한다. (5-1) R-C 회로에흐르는전류 R-C 회로에흐르는전류 ii 의그래프는저항의단자전압 [Voltage, Ch B (V)] 그래프와식 (1) vv = iiii 로부터유추할수있다. vv 와 ii 는비례하므로그래프형태는동일하다. ( 필요하면다음의 [Calculator] 에서 ii = vv RR RR (RR = 100Ω) 수식을생성한후그래프를작성하여확인할수있다.) [Output Voltage, Ch 01] 그래프는인터페이스출력전압또는회로에공급되는기전력 E = VV 0 이다. [Voltage, Ch A (V)], [Voltage, Ch B (A)] 그래프는각각축전기의단자전압 vv CC = qq/cc 과저항의단자전압 vv RR = iiii 이다. 임의의시간 5 개를선택하여, 동일한시간대의전압을각각측정한후, 식 (2) 의키르히호프전압법칙을확인한다. E iiii qq CC = 0 (2) tt E = VV 0 vv CC = qq/cc vv RR = iiii E iiii qq CC [Vtotal] 그래프는, 축전기와저항각단자에서측정한실측전압을더한 vv CC + vv RR 의그래프이다. E = VV 0 그래프와비교하여, 키르히호프의법칙이항상성립하는지확인한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 12 / 22
(5-3) 축전기의전기용량식 (12), (14) 으로부터, 축전기가충전또는방전될때축전기의축전기의단자전압은다음과같다. vv CC = VV 0 1 ee tt/rrrr (charging capacitor) (12) Note 일반적으로저항, 축전기, 인덕터등의실측값은표기값과비교하여어느정도오차가있다. 허용오차범위는소자표면에기호또는색띠로표시되어있으며, 보통저항은 1~10%, 축전기및인덕터는 5~20% 이다. vv CC = VV 0 ee tt/rrrr (discharging capacitor) (14) 저항 RR 을알면, 실험결과그래프를분석하여위의식으로부터축전기의전기용량 CC 를계산할수있다. (6) 축전기를변경하여실험을반복한다. 축전기가충전을시작해서최대값의 (1 1/ee) = 0.632 만큼충전될때까지의경과시간, 다시말하면축전기의단자전압 vv 이공급전압 VV 0 의 63.2% 가되는시간 ττ 을측정한후, 식 (12) 로부터유도한다음의식을사용하여전기용량 CC 를계산한다. vv = (1 1/ee)VV 0 = VV 0 1 ee ττ /RRRR or CC = ττ RR 저항 RR 은표기된저항값을대입한다. ( 멀티미터로정확한저항값을측정하여사용하면더좋다.) 마찬가지방법으로, 축전기가완전히충전된상태로부터 1/ee = 36.8% 까지방전될때까지의경과시간 ττ 을측정하고, 식 (14) 으로부터유도한다음의식을사용하여전기용량을계산한다. 축전기 CC = 100 µf 와저항 RR = 100 Ω 을사용하여순서 (3)~(5) 를반복한다. (7) 데이터를비교한다. 330 µf 축전기와 100 µf 축전기의실험결과를비교한다. [Allow simultaneous viewing ] 아이콘을활성화한후클릭하면, 표시할그래프를변경하거나함께표시할수있다. vv = (1/ee)VV 0 = VV 0 ee ττ /RRRR or CC = ττ RR 축전기단자전압의그래프를비교하여첨부하고, 다음에대해토의한다. RR tt (tt ) CC (result) CC (average) charging discharging 현상 두그래프를비교하면어떤현상이관찰되는가? 그래프의차이가나타내는물리적인의미는무엇인가? 이결과는 R-C 회로의시간상수 ττ = RRRR 가의미하는현상과일치하는가? CC (marking) 토의 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 13 / 22
실험 2. R-L 직류회로 (2-1) 출력파형을설정한다. (1) R-L 회로를구성하고인터페이스에연결한다. 1 적색전선을사용하여인터페이스의 [OUTPUT1] 적색단자와 L-R-C 회로판의 LL = 17.8 mh 인덕터오른쪽단자를연결한다. 2 흑색전선을사용하여인터페이스의 [OUTPUT1] 흑색단자와 RR = 100 Ω 저항아래쪽단자를연결한다. 3 전압센서의바나나플러그를인덕터양단에꽂은후인터페이스의 [Analog input A] 에연결한다. 적색선을인덕터오른쪽단자에연결해야한다. 4 다른전압센서를저항양단에꽂은후인터페이스의 [Analog input B] 에연결한다. 흑색선을저항아래쪽단자에연결해야한다. 5 인덕터내부에철심코어 ( 강철막대 ) 를끼워넣는다. [Waveform] : Square ( 사각파 ) [Frequency] : 111111 HHHH (TT = 0.01s) [Amplitude] : 2V ( 2V~2V) [Voltage Offset] : 2V (+2V = 0V~4V) [Auto] ( 측정시자동출력 ) ( 실험시, 단자전압이어떤값으로충분히수렴하기전에입력전압이바뀐다면, [Frequency] 를 50Hz 로낮춘다.) (2-2) 단위시간당측정횟수를설정한다. 모든센서에대해, 데이터를 1 초당 50,000 번측정한다. [Controls] 메뉴에서모든센서를 [5555. 0000 kkkkkk] 로설정한다. 더높일경우, 정상적으로측정이되지않거나, 데이터가과다하여프로그램이다운될수있다. 만약, 50 khz 에서도문제가생기면 50 khz 이하로낮춘다. 그러나너무낮출경우측정주기가길어져서, 정확한분석을하기어려워진다. (2) 프로그램을설정한다. R-C 회로실험과대부분동일하며, 다음의설정만바꾼다. ( 설정변경전에 R-C 실험데이터는별도로저장한다.) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 14 / 22
(2-3) 자동측정완료조건을구성한다. (4) 데이터를확인한다. [Controls] 메뉴에서 [Recording Condition] 을클릭한다. Note 수동으로측정을시작하며, 측정이시작된후 0.03 초가지나면측정을종료한다. 따라서, 종료조건 [Stop Condition] 만다음과같이설정한다. ( 측정시간이너무길면프로그램이다운될수있다.) 이론적으로인덕터의단자전압은입력전압 (4V) 에서감소하여야한다. 그런데, 전압이순간적으로증가했다가매우빨리감소하기때문에, 계측기의측정한계로그래프에표시되지않을수있다. [Condition Type] : Time Based [Record Time] : 00. 000000 ss (5) 데이터를분석한다. (5-1) [Optional] 인덕터의내부저항 (3) 데이터를측정한다. 실험결과를확인하면인덕터의단자전압은완전히 0V 로감소하지않는것을확인할수있다. 마찬가지로, 저항의단자전압은완전히최댓값 (4V) 에도달하지않는다. 그래프의위치는설정에따라다를수있다. ( 만약, 단자전압이충분히수렴하기전에입력전압이바뀌면, 순서 (2-1) 에서 [Frequency] 를 50Hz 로낮춘다.) 이현상은인덕터를구성하는가늘고긴도선자체의저항 RR LL 때문에발생한다. 인덕턴스 LL 을정확히측정하기위해서는 RR LL 을고려해야한다. 충분히수렴한후의전압 vv RR, vv LL 을측정한후, 인덕터의내부저항 RR LL 을계산한다. (vv RR RR = vv LL RR LL ) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 15 / 22
(5-2) R-L 회로에흐르는전류 R-L 회로에흐르는전류 ii 의그래프는저항의단자전압 [Voltage, Ch B (V)] 그래프와식 (1) vv = iiii 로부터예상할수있다. vv 와 ii 는비례하므로그래프형태는동일하다. ( 필요하면 [Calculator] 기능에서 ii = vv RR RR (RR = 100Ω) 수식을생성한후그래프를작성하여확인할수있다.) 전류그래프를첨부하고, 그림 6 과비교하여토의한다. ii or vv RR (5-3) 키르히호프전압법칙 0 VV 0 VV 0 0 실험 1 과동일한방법으로키르히호프전압법칙을확인한다. (5-4) 인덕터의인덕턴스 vv RR = VV 0 1 ee (RR LL )tt (0 VV 0 ) (21) vv LL = VV 0 ee (RR LL )tt (0 VV 0 ) (22) vv RR = VV 0 ee (RR LL )tt (VV 0 0) (23) vv LL = VV 0 ee (RR LL )tt (VV 0 0) (24) 저항 RR 을알면, 실험결과그래프를분석하여식 (21)~(24) 로부터인덕턴스 LL 을계산할수있다. 전류가증가해서최댓값의 (1 1/ee) 또는 63.2% 가될때까지의경과시간, 즉저항의단자전압 vv 이최대전압의 63.2% 까지상승하는시간 ττ 을측정한다. ( 시간간격이넓어정확한값이없을경우, 인접한두점의좌표를선형관계로가정하여시간을계산한다.) 식 (21) 로부터유도한다음의식에저항 RR 값을대입하면인덕턴스 LL 을계산할수있다. 마찬가지방법으로전류가최대치의 1/ee = 36.8% 로감소 ( 저항단자전압이최댓값의 36.8%) 할때까지의시간 ττ 을측정한후다음의식으로부터인덕턴스를계산한다. vv (RR LL RR = (1/ee)VV 0 = VV 0 ee )ττ or LL = RRττ RR tt (tt ) LL (result) LL (average) LL (marking) Note (6) 조건을변경하여실험을반복한다. 0 VV 0 VV 0 0 정확한계산을하기위해서는인덕터의내부저항 RR LL 을반영한다음의수식을적용해야한다. vv RR = (RRVV 0 (RR + RR LL )) 1 ee ((RR+RR LL ) LL)tt (0 VV 0 ) (25) vv LL = (VV 0 (RR + RR LL )) RR LL + RRee ((RR+RR LL ) LL)tt (0 VV 0 ) (26) vv RR = (RRVV 0 (RR + RR LL ))ee ((RR+RR LL ) LL)tt (VV 0 0) (27) vv LL = (RRVV 0 (RR + RR LL ))ee ((RR+RR LL ) LL)tt (VV 0 0) (28) 이경우순서 (5-4) 의수식은다음과같이바뀐다. vv RR = (1 1/ee)(RRVV 0 (RR + RR LL )) = (RRVV 0 (RR + RR LL )) 1 ee ((RR+RR LL ) LL)ττ or LL = (RR + RR LL )ττ 또한, 저항의단자전압의최댓값이입력전압보다낮은것도고려해야한다. 저항을 RR = 33 Ω, 10 Ω 으로변경하여실험을반복한다. ( 단자전압이충분히수렴하기전에입력전압이바뀌면, 입력파형의 [Frequency] 를 50Hz 로낮춘다.) vv RR = (1 1/ee)VV 0 = VV 0 1 ee (RR LL )ττ or LL = RRττ 또한, 철심코어를제거한후실험을반복하여차이점을확인하고원인을분석한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 16 / 22
실험 3. 교류회로의저항 (2-3) 스코프를생성한다. (1) RR = 10 Ω 교류회로를구성한다. [Scope] 를드래그한다. (2-4) 스코프우측에 yy 축을추가한다. (2) 프로그램을설정한다. (2-1) 센서를설치한다. (2-2) [Signal generator] 를설정한다. [Waveform] : Sine ( 사인파 ) [Frequency] : 100 Hz (TT = 0.01s) [Amplitude] : 5V ( 5V~5V) [Auto] ( 측정시자동출력 ) (2-5) 축을정의한다. xx 축 : Time(s) yy 축 ( 왼쪽 ) : Output Voltage (V) yy 축 ( 오른쪽 ) : Output Current (A) 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 17 / 22
(2-6) 측정방법을변경한다. (4) 그래프를분석한다. 스코프를사용할때에는, [Record] 로측정하면상당히많은데이터가누적되기때문에오류가발생한다. [Fast Monitor Mode] 로변경하여실험을진행한다. 전류파형과전압파형의최댓값, 최솟값또는 0 을기준으로, ii = II cos ωωωω 와 vv = VV cos(ωωωω + φφ) 의위상각 φφ 를측정한다. 그래프와위상차를기록하고, 이론의그림 7 과비교하여결과에대해토의한다. (3) 측정을시작한다. (3-1) [Monitor] 를클릭하여파형을관찰한다. 실험 4. 교류회로의축전기 CC = 100 µf 교류회로를구성하고, 실험 3 과동일한파형으로실험을진행한후, 파형의위상차를측정한다. (3-2) 트리거를사용하여파형을고정한다. [Waveform] : Sine ( 사인파 ) [Frequency] : 100 Hz (TT = 0.01s) [Amplitude] : 5V ( 5V~5V) 각그래프의축은색상으로구분한다. 위의그림에서분홍색그래프는범례로부터 Vo 임을알수있으므로축은왼쪽 (Output Voltage) 이된다. 또한청색그래프는범례에서 Output Current 로표시되므로축은오른쪽 (Output Current) 이된다. 그래프색상은측정시마다바뀔수있다. 전류파형과전압파형의최댓값, 최솟값또는 0 을기준으로, ii = II cos ωωωω 와 vv = VV cos(ωωωω + φφ) 의위상각 φφ 를측정한다. 그래프와위상차를기록하고, 이론의그림 8 와비교하여결과에대해토의한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 18 / 22
실험 5. 교류회로의인덕터 실험 6. L-R-C 직렬교류회로 LL = 17.8 mh 교류회로를구성하고, [Frequency] 를 555555 HHHH 로변경하여실험한후, 파형의위상차를측정한다. [Waveform] : Sine ( 사인파 ) [Frequency] : 550000 HHHH (TT = 0.01s) [Amplitude] : 5V ( 5V~5V) (1) L-R-C 회로를구성한다. LL = 17.8 mh, RR = 10 Ω, CC = 100 µf 직렬회로를구성한다. (2) 프로그램을설정한다. 프로그램설정은실험 3~5 와동일하며, 다음을추가로설정한다. (2-1) 데이터테이블을생성한다. [Table] 을드래그하여테이블을생성한후, 사용자입력데이터를생성한다. 1 열과 2 열에 [User-Entered Data] 를선택하여, 각각 Frequency (Hz), Curret (A) 를입력한다. 전류파형과전압파형의최댓값, 최솟값또는 0 을기준으로, ii = II cos ωωωω 와 vv = VV cos(ωωωω + φφ) 의위상각 φφ 를측정한다. 그래프와위상차를기록하고, 이론의그림 9 과비교하여결과에대해토의한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 19 / 22
(2-2) 그래프를생성한다. (3) 측정을시작한다. xx 축을 ( 테이블에서지정한 ) [Frequency], yy 축을 [Current] 로선택한다. [Signal Generator] 의 [Frequency] 를 8888 HHHH 로설정한후, [Monitor] 를클릭하여파형을확인하고, [Stop] 을클릭하여측정을중단한다. 전류파형의최댓값을확인한다. 다음그림과같이 [Scope], [Table], [Graph] 가생성된상태에서실험을진행한다. 테이블에진동수와측정한전류최댓값을기록한다. (2-3) [Scope] 에서전류값을정밀하게읽기위해, [Current] 의단위를 [ma] 로변경한다. (4) 진동수를증가시키면서측정을반복한다. 입력전압의 [Frequency] 를 10 Hz 단위로증가시키면서 (200 Hz 까지 ) 전류최댓값을측정하고테이블에입력한다. 전류값이변화폭이작아지면, [Frequency] 를 5 Hz 또는 2 Hz 단위로증가시키면서정밀하게측정한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 20 / 22
(5) 결과를확인한다. 측정및데이터입력을완료하면, 진동수 전류그래프를확인할수있다. 그래프에서전류가최대가되는공명진동수를확인하고이론값과비교한다. ( 일반적으로, 소자에표기된인덕턴스 LL 과전기용량 CC 는어느정도의오차가있으므로, 실험 1, 2 에서측정한값을사용하여이론값을계산한다.) ff 0 (result) ff 0 (theory) 1 2ππ LLLL 각조건에서파형을비교하여첨부한후, 다음에대해토의한다. (6) 진동수에따른위상차의변화를관찰한다. ff < ff 0, ff = ff 0, ff > ff 0 의조건에서각각파형을관찰하여, 전압과전류의위상차를비교한다. 현상 공명진동수에서 1. 전류와전압의위상관계는이론의그림7~9와비교하여어떤그래프와일치하는가? 2. 식 (50) 의 ZZ = RR 2 + (ωωωω 1 ωωωω) 2 로부터, 공명진동수에서회로의임피던스는어떠한가? 3. 이때, 축전기와인덕터가회로에미치는영향은어떠한가? 이론의그림10과같이위상벡터를사용하면이현상을어떻게표현할수있는가? 토의 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 21 / 22
Result & Discussion 조교의안내에따라실험결과를정리하고분석한후결과보고서를작성한다. End of Lab Checklist 실험을완료하면반드시실험장비를정리한후조교의확인을받고퇴실한다. 실험용컴퓨터에저장한실험데이터파일을모두삭제하고휴지통을비운다. 컴퓨터와인터페이스를끈다. L-R-C 회로판의인덕터철심이분실되지않도록제자리에끼워놓는다. L-R-C 회로판의플라스틱케이스가파손되지않도록주의한다. 멀티미터를사용하지않을때에는스위치를 [OFF] 로변경한다. 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA ( +82 32 749 3430) Page 22 / 22