비유클리드기하학 유클리드와비유클리드
유클리드기하학의공준 공준 1. 임의의두점을잇는직선은항상단하나있다.( 직선의존재성 ) 공준 2. 유한직선을계속연장할수있다. 공준 3. 임의의중심과반지름을갖는원을그릴수있다.( 원의존재성 ) 공준 4. 모든직각은같다. ( 직각의동일성 ) 공준 5. ( 평행선공준 ) 한직선이두직선과만나서같은쪽에있는내각의합이 2 직각보다작을때, 두직선을한없이연장하면내각의합이 2 직각보다작은쪽에서두직선은만난다. 2
비유클리드기하학의탄생 평행선공준 (5 공준 ) 과동치인공리 플레이페어공준 : 주어진직선밖의한점에서그을수있는평행선은오직하나이다. 프로클로스공리 : 한선이평행선중하나와교차하면나머지와도반드시교차한다. 등거리공준 : 평행선은모든곳에서등거리를유지한다. 삼각형공준 : 삼각형의내각의합은 2 직각이다. 삼각형넓이성질 : 원하는만큼의크기를가진삼각형을만들수있다. 세점성질 : 세점은직선위나아니면한원위에놓인다. ( 외심 ) 3
%% 담론 %% 위공리는자명한것같으나실험적으로입증할수는없다 ( 시각의약점 ). 따라서, 제 5 공준을지지하는근거는찾을수없다. 이런기본적인기하학적개념과그것에동반된직관들은우리가살고있는물리세계의일부가아니다. 직관의신뢰성이의심받기시작한것은아주주목할만한현상이다. 데카르트로부터후설 (Edmund Husserl 1859-1938) 에이르기까지직관은명백하고도판별된관념으로신뢰할수있다는철학적전통이강하게존재해왔다. 4
그대표주자가바로베르그송 (Bergson) 이고그는직관이란실재에대한직접적이고즉각적인총체적파악이라보았다. 그러나이에러셀은베르그송을비판하였다. 직관그것은우리자신의 일부이며우리가실재를인식하는방법이 다. 그것은세계가구성된방법일수도있고아닐수도있다. 그러나, 유클리드기하학은인간이세계를인식하는방법을포착한것으로여겨진다. ( 인간의언어는인간자신의일부 ( 한계 ) 이 다. ) -- 종교및상황윤리와비교해볼것 5
유클리드의기하학이우주의기하학이라는직관 ( 믿음 ) 을버리는데 2000여년의세월이소요되었다. 즉, 비유클리드기학학 ( 쌍곡기하학과타원기하학 ) 의발견으로우리의인식체계에커다란변환 ( 직관이완전하다는믿음을버림 ) 이초래되었다. 6
비유클리드기하학의발견 프로클루스 (Proclus 이집트인 410-485) : 5 공준증명시도 나시르투시 (Nasir al-din al-tusi 이란인 1201-1274) : 삼각형의내각의합이 180 도인것이 5 공준증명에중요함인식 아델라드 (Adelard 영국인 1080-1152) 베네딕트회수도사로아랍인이지배하던스페인에가서이슬람학생으로위장. 아랍어판원본을몰래유럽으로수입 1120 년경라틴어로번역 16 세기까지모든판본의원서로서유클리드기하학전파 7
지롤라모사케리 (Girolamo Saccheri 밀라노예수회신부 1667-1733) [ 모든오류로부터해방된유클리드 : Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclid Freed of Every Flaw), 1733] 5 공준을부정, 모순을유도하려고최초로시도함 ( 실패 ) 이상한결과에도달함주어진선분밖의한점에서 1) 단하나의평행선이있다. ---5 공준 2) 평행선은없다. --- 직선의길이가유한하다. 3) 두개이상의평행선이있다. - 직관에모순되는결과도출, 형식적모순은유도하지못함. 8
평행선공준 P l 가능성 i) P 를지나는단하나의평행선이존재한다. P l 가능성 ii) P 를지나는평행선이전혀존재하지않는다. P l 가능성 iii) P를지나는평행선이두개이상존재한다. 9
발견 : 쌍곡기하학 1) Gauss (1824 년친구와편지 ) 삼각형내각의합이 2 직각미만의기하학언급 2) J. Bolyai( 1832 년 ) 아버지의수학교과서의부록 ( 절대로참인공간과학을설명하는부록 ) 에발표 (24 쪽 ) Gauss 가최고의천재라고인정 3) N. Lobachevsky(1829 년 ) 상상의 (imaginary) 기하학발표 10
의구에서삼각형의내각의합은 180 보다작다. 11
타원 ( 구면 ) 기하학 Riemann 1854 년삼각형의내각의합이 2 직각보다큰기하학 직선의길이가유한한기하학 : 2 공준이직선의길이의무한성을의미하지는않음. 제 1 공준 : 임의의두점을잇는직선은항상단하나있다. 남극과북극을지나는직선은무수히많음 남극과북극을같은점으로인정해야한다. ( 서로반대편의점을같은점으로인정 ) 12
타원 ( 구면 ) 기하학 13
%% 담론 %% 이용가능하고무모순인세기하학중어느것이옳은, 즉자연에서성립하는기하학인가? 우주의기하학은무엇인가? 이문제에명확한답이존재하는지는명백하지않다. 우주는그자체로존재하고있고, 그리고기하학은우리가우주환경과마주치는방법의한면을반영하는인간정신의수학적창조물이다. 14
아인슈타인의상대성이론 ( 친구그로스만의도움을받음 : 그가어려운난점은이미리만이해결하였음을나중에알았다고함 ) 이뉴톤의이론보다좀더정밀함을나타내주는천문학적관측결과가비유클리드기하학이발견되고난반세기후에나타났다는사실은수학이세계에대한우리의이해를앞설수있음을보여주고있는예이다. Penrose 의불가능의삼각형및이를형상화한 Escher 의작품둘러보기 15
과제 Penrose 의불가능의삼각형및이를형상화한 Escher 의작품둘러보기 - 사진과함께설명및느낌을작성하여제출 16
사영기하학 사영기하학 : 사영에의하여불변인성질연구 출발 : 다빈치뒤러등르네상스화가 : 눈에보이는물체와의거리를정확히묘사하는방법을나타내고자함 : 투시화법 (15 세기기본적개념형성 ): 창문에나타난대상의사영 (projection) 을포착함 무한원점의필요성인식, 무한원직선 ( 무한점들의직선 ) 과의관계가필요함. 17
중세의삶과르네상스 1348 년베네치아 (Venice) 항구에도착한배에서쥐가상륙 흑사병이전유럽으로 3 년간유럽인구 9 천만명중 3 천만명사망 사람들은언제죽을지모르는상황에서지옥에가지않기위해전전긍긍 종교적책무에대한생각으로살아감 즉, 지극히종교적삶 1632 년갈릴레오갈릴레이종교재판 18
조토디본도네 Giotto di Bondone 1266?~1337 이탈리아피렌체출신의화가서양미술사최초로인간의내면을작품으로표현 그의스승은치마부에 19
중세에서르네상스로 마에스타 [Maesta] - 지오반니치마부에 [Giovanni Cimabue] 1270 오니산티마돈나 ( 옥좌에앉은마돈나일명마에스타 ) - 조토 Giotto di Bondone 1306~1310 20
피렌체소재 르네상스작품의보고 우피치미술관 치마부에의마에스타와조토의오니산티마돈나를동일전시실에전시 비교 : 중세는성모의여성성이표현되지않음 Galleria Degli Uffizi, Florence, Italy 르네상스에서는인간의관점에서인간의본질을표현 21
15 세기 15 세기초반피렌체예술의 3 대거장 건축 : 브루넬레스키 (Filippo Brunelleschi 1377~1446) 조각 : 도나텔로 (Donato di Niccolò di Betto Bardi,1386?~1466) 회화 : 마사초 (Masaccio 1401~1428) 이들의동료이자스승은알베르티 22
브루넬레스키 Filippo Brunelleschi 건축가, 조각가, 기계공학자 The Santa Maria del Fiore cathedral in Florence. Built 1296~1436. The largest brick dome in the world was designed by Brunelleschi. Façade was finished in 1887. Main portal was constructed in 1903 23
알베르티 알베르티 (Leon Battista Alberti, 1404~1472) 초기르네상스의철학자, 과학자, 수학자, 건축가 전공분야 : 법학, 고전학, 수학, 희곡, 시학 회화, 조각 : 창작외이론구축에기여 음악과운동경기에도뛰어나제자리에서사람키만큼뛰어넘었다고 라틴어에능하여교황에우제니오 4 세의서기, 고대건축연구 저서 : 건축론, 조각론, 회화론 여러성당설계 아름다움을수학적으로규명 수학적원근법적용 24
알베르티의원근법 25
뒤러의목판화 : 기하학교실 투시도가사영을사용해서만들어지는방법예시 26
뒤러의원근법적용 27
투시화법 투시화법 (15 세기기본적개념형성 ): 창문에나타난대상의사영 (Projecton) 을포착함 무한원점의필요성인식, 무한원직선 ( 무한점들의직선 ) 과의관계가필요함 28
단점투시화법 성수태고지 Berberini 1450 단점투시화법모든투시선은단하나의무한원점으로집중된다. 29
다점투시화법 뒤러의목판화. 세개의무한원점이하나의무한원선위에위치 30
최후의만찬 31
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최후의만찬분석도 화가의시야 34
사영기하학의시작 사영의종류중심사영 ( 한점으로부터의사영 ) 평행사영 ( 무한점으로부터의사영 ) 길이각합동의개념은사라짐, 원뿔곡선은원의사영으로서의미가있다. 퐁슬레 (J. V. Poncelet) : 러시아전쟁포로로연구몰두 1813 년도형의사영적성질에대하여 35
교차비 교차비 ( 또는복비 cross ratio) 길이는사영적개념에서사라지나네점 A, B, C, D 를 A ', B ', C ', D ' 로사영했을때교차비 ( 복비 : cross ratio) CA ' ' ' ' / DA C A / D A CB DB C ' B' D' B' 는변하지않는다. 수학자들은각직선들은단하나의가상적인무한원점을상정함. 36
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사영기하학의공리 공리 1. 적어도하나의점과하나의선이존재한다. 공리 2. 서로다른두점이있으면두점을잇는선이단하나있다. 공리 3. 서로다른두선이있으면두선이지나는점이단하나있다. 공리 4. 임의의선에는적어도세점이있다. 공리 5, 모든점이동일한선에놓이지는않는다. 38
%% 점과선이무엇인지규정하지않고그들사이의관계만말하고있다 % % 여기서위상수학적인사고가싹트고있음을알수있다. 특징 : 공리에서점과선의위치를서로바꿀수있음으로인하여한정리가증명되면쌍대인정리가자동적으로증명된다. 이를쌍대성원리라한다. 39
쌍대정리의예 데자르그의정리평면위의두삼각형의대응하는꼭지점들을연결한직선들이한점에서만나면대응하는변들이연장되어만나는교차점은한직선상에있다. 쌍대정리 ( 데자르그의정리의역 ) 평면위의두삼각형의대응하는변들을연결한교차점들이한직선상에있다면대응하는꼭지점들을연결한직선은한점위에있다. 40
평면에서데자르그의정리 41
공간에서데자르그의정리 42
차원이란? 차원 : 인간인식의기본개념이다. 우리의시각기능은일반적 3차원대상을높이, 깊이, 나비 ( 폭 ) 를갖는대상으로인식한다. 3차원대상을인식하기위하여우리의눈은공동조작이가능한짝으로작용한다. 43
차원인식의방법 시각기능 : 1 차원, 2 차원, 3 차원 자유도 : 다차원의인식가능 ( 대수, 기하학적인차원 ) 자유도 n : n 차원 귀납적차원 : 경계의차원을이용한위상기하학적차원 n-1 차원경계를가진공간은 n 차원 참고 : 영화 cube 와 cube 2 에서차원의이야기가나온다. 44
미분적분학이용초구면의부피구적가능 1차원구 ( 선분 ) 2차원구 ( 원 ) 3차원구 ( 공 ) 4차원초구 선분의길이원의넓이공의부피초구의부피 2r r 4 2 3 3 1 r 2 r 4 2 45
4 차원이상의도형에대한연구 - 실제에 응용됨 1947 년미국수학자 George B. Dantzig 가고안한 simplex 법 ( 단체법 ) 은산업과정을 n 차원의고차원과정으로보고최대최소치의문제를이변수 n 에관한문제로해결 할수있음을보임 (OR). 46
분수차원과 Peano 곡선 47
분수차원과코흐곡선 48
차원 D 차원입방체를 1/2 비율의닮은꼴로분할한경우 (D=1,2,3) 차원 도형 ½ 비율의닮은꼴분할 나뉘어지는조각의수 1 차원 2 2 차원 4 3 차원 8 49
분수차원 ( 프랙탈차원 ) 과그계산 D 차원의입방체를 r분할 ( 다시말하면 1/r 비율로분할 ) 에 N개의조각이만들어지면차원 D 는 log N D log r 로나타난다. 따라서선분은 1 차원, 사각형은 2 차원, 입방체는 3 차원이다. 코흐곡선의차원은? 코흐곡선은 1.26186 차원이된다. 50
코흐곡선 코흐곡선의차원계산 3 분할하면 4 개의조각이만들어진다. 따라서 D log 4 1.26186 log3 51
과제 과제, 정리, 예습 Penrose 의불가능의삼각형및이를형상화한 Escher 의작품둘러보기 - 사진과함께설명및느낌을작성하여제출 Fractal 과 Chaos 에대하여조사하기 정리 비유클리드기하학의종류와특징 사영기하학의성질 프랙탈차원의존재 예습 대칭성에대하여알아오기 52