/C 회로의완전응답 IT CookBook, 기초회로이론 개정판
학습목표 Ø /C 회로해석을위한 차미분방정식의해를구하는방법이해 Ø 무전원에서의완전응답계산방법이해 Ø DC전원에서의완전응답계산방법이해 Ø 연속스위칭회로의완전응답계산방법이해 Ø 초기값선정에따른잘못된결과에대한이해 2/42
목차 8. /C 회로의해석 8.2 차미분방정식의해 8.3 무전원응답 8.4 시정수 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 8.6 연속스위칭회로 3/42
Secion 8. /C 회로의해석 q 혹은 C 회로의해석 궁극적으로 차미분방정식의해를구하는것 예제 8 q 회로의해석 [ 그림 8] 회로에서 > 일때인덕터에흐르는전류 i 를구하라. i i + i i S + 여기서 di d di \ + i is Þ d di d + i i S 4/42
Secion 8. /C 회로의해석 q [ 유의점 ] 인덕터회로에서미분방정식유도 > 일때의함수값을찾기위해서초기함수값 i + 의계산이필요 인덕터회로에서는항상 i i + 회로해석시, 초기시간에서불연속문제를피하려면? 구하고자하는변수가전압 라도전류 i 에의한미분방정식을세워서해석하고, 옴의법칙을이용해전류로변환하여해를구하는것이좋다. 5/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 q 회로해석에서의 차미분방정식의해 초기값 : x x 차미분방정식 di + i d i S 일반해 : 등차해 + 특수해 회로해석에서는완전응답 등차해 : 우변함수 f 일때얻는해 회로해석에서는입력전원이없는경우, 과도응답 특수해 : 우변의함수 f 의종류에따라서종속되는부가적인해 회로해석에서는정상상태응답 6/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 8.2. 차미분방정식의등차해 di + i d i S 차미분방정식의등차해는아래와같은등차방정식의해를말한다. q 계수분리법 [ 예제 8] 등차방정식을나타내면다음과같다. 여기서변수 와 i 를등호양쪽으로분리하면다음과같다. 7/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 그리고양변을적분하면 완전한해를얻으려고주어진초기값 i 를식 8.7 에대입하면다음과같고 결국이 차미분방정식의등차해는다음과같다. 8/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 q 가상해에의한계산법 등차해의모양을지수함수로가정한다음, 이함수를원래의미분방정식에대입하여해를구하는방법 di i à 근이지수형태임 d i 즉식 8.9 와같이 i 의등차해를가정하고, 이식을원래의식에 대입하여상수 A 와 s 의값을구하는방법이다. 따라서원래의식 8.6 에가정한식 8.9 를미분하여대입하면다음과같다. Ae s di d + i Þ Ase s + Ase s Ae s ç æ s + è ö ø Þ s 9/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 그러므로이되고, 가된다. 여기에초기값 i 을대입하여계수분리법과마찬가지로 A 값을계산하면최종적으로등차해는다음과같다. i i e 8. /42
Secion 8.2 차미분방정식의해 q 라플라스변환에의한계산법 시간함수 f 를라플라스영역인 s 안의함수 Fs 로변환하는것 이때 n차미분방정식의계산은단순 n차방정식으로변하게된다. 즉미분방정식을만드는인덕터와커패시터의전압전류관계식이라플라스변환영역에서는단순방정식과같은모양을가진다는뜻 최종적인결과값은라플라스영역에서계산된 F s 값을다시시간함수 f 로역변환하여얻는다. 단점 : 함수의변환과역변환이때로는계산하기어렵다. 장점 :. 단순방정식으로변환가능 2. 등차해뿐만아니라특수해까지한꺼번에얻을수있다 자세한내용은 3 장의 3.4 절라플라스변환에의한회로해석 에서설명 /42
Secion 8.2 차미분방정식의해 q 회로해석에적합한등차해계산법 커패시터나인덕터가한개씩섞여있는회로의경우 : 차미분방정식을구하는것으로충분히해를구할수있다. 두가지소자가함께섞여있는회로의경우 : 2 차이상의미분방정식을구해야한다. 계수비교법과라플라스변환에의한방법은계산이복잡 지수함수를가상해로이용한방법이가장보편적으로사용 2/42
Secion 8.2 차미분방정식의해 8.2.2 차미분방정식의특수해 차미분방정식의특수해는미분방정식 dx /d + ax f 의입력함수 f 의모양에따라해의모양이달라진다. dx + ax d f 즉, 입력함수의모양과같은형태의특수해출력함수를얻게된다. 3/42
Secion 8.3 무전원응답 q 무전원응답 혹은 C 회로에전원이없는경우의응답을무전원응답이라한다. 4/42
Secion 8.3 무전원응답 q 무전원 회로의 차미분방정식 인덕터전류 i 에대한미분방정식을구하면 KC 에의하여 i i 가되고, i 는다음과같다. i di d 주어진초기값 i + 에대한 차미분방정식으로정리하면다음과같다. i + i di d Þ i + di + i d 8.6 5/42
Secion 8.3 무전원응답 q 무전원 C 회로의 차미분방정식 커패시터전압 C 에대한미분방정식을구하면 KV 에의하여 C 가되고 C 는다음과같다. i dc ic Þ i ic C C d 주어진초기값 C + 에대한 차미분방정식으로정리하면다음과같다. dc d + C C 8.2 6/42
Secion 8.3 무전원응답 q 표준형 차미분방정식 무전원 혹은 C 회로에서얻은 차미분방정식은다음과같은표준형 차미분방정식으로대표하여기술할수있다. dx d + x 8.3 단지변수 x 는 i 이거나 C 고, 상수 의값은 의경우 /, C 회로의경우 C 값을가진다. di + i d 8.6 C dc + C d C 8.2 7/42
Secion 8.3 무전원응답 q 무전원회로의완전응답 완전응답을구하려면과도응답과정상상태응답을구해야한다. 무전원회로 : 우변의전원함수값 f. 즉, 정상상태응답은 따라서, 완전응답 과도응답 과도응답은가상해를이용 à x Ae s 로가정하고미분방정식에대입하면, 식 8.3 은다음과같이된다. dx + x Þ d Ase æ ö + s s Ae Ae ç s + è ø s /τ 이므로결국다음과같이구할수있다. s x Ae 8.4 8/42
Secion 8.3 무전원응답 이때상수값 A 를얻기위해초기값 x + 을대입하면다음과같다. e x A Ae x Þ 8.5 e x e e x Ae x 9/42 다시무전원 회로의경우로돌아가면다음과같다. 무전원 C 회로의경우는식 8.7 의일반해를얻는다. 8.6 e i i 8.7 C C C e
Secion 8.4 시정수 q 시정수 τ 의값 시정수의값은회로의과도응답의속도와관계가있다. q 무전원 회로의과도응답그래프 i i e τ 의값은초기시간 에서함수 의접선의기울기 미분값 di i d 2/42
Secion 8.4 시정수 q 무전원 C 회로의과도응답그래프 다음은 C 회로의과도응답그래프에서시정수를나타낸다. C C C e dc d e C C C C C C 2/42
Secion 8.5 /C 회로의 DC 전원응답 q DC 전원이 혹은 C 회로에연결되었을때의완전응답 혹은 C 회로에서 차미분방정식을유도할수있다. 단, 입력함수 f 는 DC 값을가지므로무전원응답과는다르게정상상태응답을구해과도응답과의합으로완전응답을구해야한다. 22/42
Secion 8.5 /C 회로의 DC 전원응답 회로에서 i 에대한미분방정식 초기값 i s i + i + di Þ + i d s di d C 회로에서 c 에대한미분방정식 초기값 c dc s ic + C C + C d dc Þ + C d C C s 23/42
Secion 8.5 /C 회로의 DC 전원응답 따라서두회로에서유도한미분방정식모두일반화된수식으로다시쓰면주어진초기값 x 에대하여다음과같다. K 는상수값 dx d + x K 8.2 이러한 차미분방정식의 완전응답 x 과도응답 x T + 정상상태응답 x SS 과도응답 x T : Transien esponse 정상상태응답 x SS : Seady Sae esponse 24/42
Secion 8.5 /C 회로의 DC 전원응답 q 과도응답 과도응답은우변의 K 값을 으로하는등차방정식의해 dx d + x 8.2 이식에서 x Ae s 로가정하고미분방정식에대입하면다음과같이과도응답을구할수있다. x T Ae 8.22 xt it, C x, T CT C 25/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 q 정상상태응답 정상상태응답은우변의입력함수모양에따라결정되는응답 상수 K 가입력되었으면출력응답역시상수값 이된다고가정. 이정상상태응답값을미분방정식에대입하면역시만족해야한다. dx d + x K Þ d d + K Þ K 그러므로, 최종정상상태응답은다음과같다. x SS K 8.23 따라서완전응답은다음과같다. x x T + x SS Ae + K 8.24 26/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 이때, 상수 A 값은초기값 x 을완전응답식에대입하여얻을수있다. x x + x Ae + K A x K e T SS 그러므로이값을대입한최종완전응답 x 는다음과같다. x K + x K e 8.25 즉, 식 8.25 는다음과같이표현될수있다. 단, 여기에서최종값은정상상태응답값과같다. 27/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 따라서원래 DC 전원 회로와 C 회로에서 i 와 c 의완전응답은위의결과를주어진값에대입하면각각다음과같다. 8.27 8.26 C s C s C s s e e i i + ø ö ç è æ + 28/42 만약초기시간 이라면다음과같다. 8.27 s C s C e + 8.29 8.28 C s C s C s s e e i i + ø ö ç è æ +
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 예를들어 c 의그래프로그려보면 [ 그림 86] 과같다. C s + C s e C 커패시터는초기전압값부터최종전압값 정상상태응답값 까지충전 최종전압값은입력전압 s 와같은값이므로입력전압값까지만충전가능 29/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 q [ 유의점 ] 초기값적용의시기 등차방정식의해인 Ae /τ 에서 A 를초기값으로계산할때 무전원회로의경우에는과도응답을구한후에계산했고, DC 전원회로에서는정상상태응답을구하여완전응답에적용했다. 초기값은언제나과도응답과정상상태응답을구하여완전응답을얻은후에최종완전응답에적용해야한다는것을유의해야한다. ü 무전원회로의경우에는입력전원이없으므로정상상태응답이 이되어과도응답이완전응답과같으므로과도응답을얻은후에적용했을뿐임 3/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 q [ 유의점 ] C 회로에서의 i c 의계산 주어진 C 회로에서구하려는것이 c i 일때어떻게구할수있나? [ 그림 85] 의 C 회로를 KV에의해수식을다시쓰면다음과같다. 그리고양변을미분하면 ic + ic d C ò s + dic dic + ic Þ + ic d C d C 결국완전응답은무전원회로의완전응답을구하는방법에의해식 8.3 이된다. i C i C + e C 8.3 3/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 이때커패시터의초기값이 c 이면, > 일때의 i c 의완전응답은다음과같이구할수있다. i C s C e C 8.3 주의할점은 C 회로의 i c 를구할때, 초기값 c 에의한계산을먼저하고, i c 의완전응답을구해야올바른값을구할수있다. 32/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 8.5.2 DC 전원회로에서회로해석을통한정상상태응답계산 입력과출력의정상상태응답이상수값이라고가정하면 인덕터의경우 : Ü DC 전원입력에대한인덕터소자는단락회로와같이작용 커패시터의경우 : Ü DC 전원입력에대한커패시터소자는개방회로와같이작용 33/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 회로해석으로 DC 전원회로의정상상태응답을계산하는것은 인덕터를단락시키고커패시터를개방시켜얻을수있다. 34/42
Secion 8.5 / C 회로의 DC 전원응답 8.5.3 과도응답과무전원응답 C 혹은 회로의표준형완전응답을과도응답과정상상태응답으로나누면다음과같다. 위식을다시정리하면우변의 2 번째항은무전원응답이다. 완전응답은과도응답과정상상태응답의합으로표현하거나, 무전원응답과무상태응답의합으로표현할수있지만 과도응답과무전원응답은서로다르다. 35/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 이장에서는스위치가포함된회로에서이스위치가서로다른시간에연속적으로작동할때 C 혹은 회로의해석법에관하여이야기한다. 예제 82 q 연속스위칭 회로 [ 그림 88] 과같이스위치가작동한다. i [A] 하고할때, > 일때 i, 값을구하라. 36/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 예제 82 i [ A] 8 2 4ms 37/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 q SimulaeàAnalysesà Transien Analysis 38/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 q [ 유의점 ].4 에서 의불연속성 에서 따라서이된다. 그러므로인덕터회로에서는 반드시초기값으로 i i + 을사용해야한다. 39/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 예제 83 q 연속스위칭회로의해석 [ 그림 8] 회로에서 > 일때인덕터전류 i 를구하라. i [ A] 3 [ s] 4/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 예제 83 i [ A] 3 [ s] 4/42
Secion 8.6 연속스위칭회로 q SimulaeàAnalysesà Transien Analysis 42/42
8 장 /C 회로의완전응답