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제6장 강체의 평면 운동학 (Plannar Dynamics of Rigid odies) 6.1 강체와 운동의 종류 6.2 고정축에 대한 회전운동 6.3 일반 운동 : 속도 6.4 일반 운동 : 가속도 6.5 미끄럼 접촉 6.6 움직이는 기준좌표계

6.1 강체와 운동의 종류 벽돌을 던질 때, 벽돌의 회전운동을 고려하지 않고도 질량중심의 운동을 구할 수 있다. 이때 고려해야 할 유일한 힘은 벽돌의 무게이며, Newton의 제2법칙에 의해 벽돌의 질량중심의 가속도를 구할 수 있다. 바닥 위에 서 있는 벽돌을 넘어뜨릴 때, 벽돌은 무게 뿐만 아니라 바닥이 가하는 힘도 받는다. 벽돌의 회전운동을 해석하지 않고는 바닥이 가하는 힘을 구할 수 없으며, 결국 벽돌의 질량중심의 운동도 구할 수 없다.

6.1 강체와 운동의 종류: 강체의 정의 벽돌은 강체로 모델링하여 운동을 기술할 수 있는 물체의 한 예이다. 강체 (rigid body)는 변형되지 않거나 모양이 바뀌지 않는 물체를 이상적 으로 모델링한 것이다. 좀 더 엄밀하게 말하면, 강체의 모든 점들 사이의 거리는 일정하게 유지된다. 어떤 물체라도 움직임에 따라 변형을 하기는 하지만, 그 변형이 충분히 작다면, 강체로 모델링하여 물체의 운동을 근사화할 수 있다. 예를 들어 고적대 지휘자의 지휘봉은 강체로 모델링할 수 있으나, 낚싯대는 강체로 모델링할 수 없다.

6.1 강체와 운동의 종류: 병진운동(Translation) 강체의 운동을 기술하기 위해서는 강체에 있는 점들의 운동과 각 운동을 측정하기 위한 기준좌표계가 필요하다. 많은 경우, 지구에 고정된 기준 좌표계를 사용하는 것이 편리하다. 병진운동(Translation) 주어진 기준좌표계에 대해 강체가 회전을 하지 않고 운동하는 경우, 병진운동을 한다고 한다. 병진운동을 하는 강체의 모든 점은 동일한 속도와 가속도를 가지므로, 강체의 한 점의 운동만 기술하면 강체의 운동을 완전히 기술할 수 있다. 강체 운동의 예 (a) 병진운동을 하는 물체는 회전을 하지 않는다. (b) 그네의 좌석은 병진운동 으로 수평을 유지한다.

6.1 강체와 운동의 종류: 고정축에 대한 회전운동 주어진 기준좌표계에 대해 고정된 축을 중심으로 한 회전운동이 고정축 회전운동이다. 축 상에 있는 강체의 점들은 움직이지 않으며, 축 상에 있지 않은 점들 은 강체가 회전함에 따라 축에 대해 원형 경로를 그리며 움직인다. 고정축 회전운동의 예 (a) 고정축에 대해 회전 하는 강체 (b) 전기모터의 회전자

6.1 강체와 운동의 종류: 평면운동(Planar motion) 주어진 기준좌표계에 대해 고정된 한 평면과 이 평면을 지나가는 강체에 대해, 평면과 강체의 교차점들이 평면 상에서만 움직인다면, 이 강체는 2차원 또는 평면운동을 한다고 하며, 이 고정평면을 운동평면 (plane of motion)이라고 한다. 고정축에 대한 강체의 회전운동은 평면운동의 특별한 경우이다. 평면운동의 예: 자동차가 직선 경로로 움직일 때 차 바퀴는 평면운동을 한다.

6.1 강체와 운동의 종류: 내연기관의 운동 엔진에 고정된 기준좌표계에 대해, 피스톤은 실린더 내에서 병진운동을 한다. 커넥팅 로드는 일반 평면운동을 하며, 크랭크축은 고정축에 대한 회전운동을 한다.

6.2 고정축에 대한 회전운동 그림에 표시된 기준선과 강체에 고정된 선은 고정축에 수직이며, 기준 선은 공간에 고정되어 있고 강체에 고정된 선은 강체와 함께 회전한다. 강체에 고정된 선과 기준선 사이의 角 θ 는 고정축에 대한 강체의 위치 (orientation)를 나타낸다. 강체에 고정된 선 기준선 고정축 강체의 각속도(angular elocity)와 각가속도(angular acceleration) : d dt (rad/s), d dt 2 d 2 dt (rad/s 2 )

6.2 고정축에 대한 회전운동: 고정축 회전에서 점의 속도와 가속도 고정축으로부터 거리 r 에 있는 한 점의 속도는 이 점의 원형 경로에 접선 방향이며 반경과 각속도의 곱의 크기를 갖는다 : r 이 점의 가속도는 원형경로에 접선방향인 가속도 성분과 법선방향인 가속도 성분을 가지며 크기는 다음 식으로 표현된다 : a t 2 2 r, an r r 회전축 회전축

기어 의 각속도 ω 와 각가속도 α 를 알고 있을 때, 맞물린 기어 의 각속 도 ω 와 α 를 구하는 문제: t at a n a n 두 기어는 점 P에서 접선방향으로는 상대운동을 하지 않으므로 같은 속도와 같은 접선방향 가속도를 갖는다 : 6.2 고정축에 대한 회전운동: 맞물린 기어의 각속도와 각가속도 t r r a r r,, r r r r

6.2 고정축에 대한 회전운동: 맞물린 기어의 각속도와 각가속도 t at a n a n 점 P에서 두 기어의 법선방향 가속도 성분은 각자 기어의 회전축을 향하 므로 방향이 서로 반대이며, 기어 반경이 다를 경우 크기도 다르다 : a n r 2 r r a 2 2, an r n r r 2

예제 6.1 고정축 회전을 하는 물체 권양기(winch)의 기어 가 기어를 돌려 갈고리 H를 끌어올린다. 만일 기어 가 t=0에서 정지상태로부터 회전을 시작하며 각가속도가 시계방 향으로 α =0.2t rad/s 2 이라면, t=10 s일 때 갈고리 H가 올라간 수직 거리와 갈고리의 속도는 얼마인가? 전략 기어 와 의 접촉점에서 두 기어의 접선방향 가속도 성분이 같으므로, 이로부터 기어 의 각가속도를 구한 후, 두 번 적분하면 t =10s에서 기어 의 각속도와 회전각을 구할 수 있다.

풀이 두 기어의 접촉점에서의 접선 가속도는 같으므로, 이로부터 기어 의 각가속도를 구한다 : a t 2 0.05 m0.2 t rad/s 0.2 m 2 d 0.05 m0.2 t rad/s dt 예제 6.1 (계속) 0.2 m 0.05t rad/s 2 의 각가속도 식을 적분하여 각속도를 구한다. 0 d 0 0.05t dt d 2 0.025t rad/s dt 3 0.00833t rad/s t

예제 6.1 (계속) t = 10 s에서 θ = 0.00833(10) 2 = 8.33 rad. 갈고리 H가 올라간 거리는 드럼에 감긴 케이블의 길이와 같으므로 θ 와 드럼반경을 곱하면, d H 8.33 rad0.1 m 0.833 m t = 10 s에서 ω = 2.5 rad/s. 테두리 상의 한 점의 속도는 갈고리 H의 속도와 같다 : H 0.1m 2.5 rad/s 0.25 m/s

6.3 일반운동 상대속도 강체상의 점 의 위치와 속도를 의 위치와 속도, 에 대한 상대위치와 상대속도로 나타내면, V / : 에 대한의 상대 r r r/ / 속도(= dr / /dt ) 두점와 는 강체상의 점이므로 두 점 사이의 거리 r / = r / 는 일정하 며, 따라서 강체가 회전하면 는 에 대해 원형경로로 움직인다. 따라서 에 대한의 상대속도는 원형경로에 접선방향이며 크기는 r / xω 이다.

6.3 일반운동 상대속도 r r r/ / V / : 에 대한의 상대 속도(= dr / /dt ) The elocity of is the ector sum of these elocities.

6.3 일반운동: 굴러가는 원판의 중심 속도 반시계 방향의 각속도 ω로 평면에서 굴러가는 반경 R의 원판 운동: 구름운동 (rolling)은 접촉점 C에서 원판의 평면에 대한 상대속도가 0임 을 의미하므로, 원판중심 의 속도는 다음과 같다 : C / C R i 따라서 고정평면 위를 굴러가는 원판 중심의 속도 크기는 반경 R과 각속도 ω를 곱한값과같다.

6.3 일반운동: 굴러가는 원판 위의 한 점의 속도 굴러가는 원판 위의 한 점의 속도 : ( R ) i( R ) j /

6.3 일반운동: 각속도 벡터 ω의 정의 각속도 벡터 ω는 순간 회전축의 방향과 각속도를 모두 정의한다. 각속도 벡터는 순간 회전축과 평행하며 크기는 회전율 dθ /dt와 같다. 오른손 엄지 손가락이 각속도 벡터를 가리키도록 했을 때 나머지 손가락 이 감싸 쥐는 방향이 강체의 회전방향이다. 왼쪽으로 각속도 ω로 굴러가는 원판의 각속도 벡터 : ω k

6.3 일반운동: 강체위의두점의속도관계식 각속도 ω로 회전하는 강체 위의 점 에 대한점의 상대속도 : dr dt / / ωr/ 증명: 점 는 에 대해 반경이 lr /l sinβ인 원을 따라 운동하므로, 에 대한 의 속도는 크기가 l /l = (lr /lsinβ), lωl = lωxr /l이고 ω와 r /에 수직인 방향을 갖는다. 따라서 / = ωxr / 이다. 여기서 β는 벡터 r /와 ω 사이의 각이다. 강체 위의 두 점 와 의 속도 관계식 : ωr/ /

강체의 각속도 벡터와 한 점의 속도가 열려져 있다면, 강체의 임의의 다른 점의 속도를 구할 수 있다. 각속도 ω 로 굴러가는 원판은 중심 속도가 = -Rωi이므로, 점 의 속도는 다음 식으로 구할 수 있다 : j i i k i r ω R R R R / / 6.3 일반운동: 굴러가는 원판의 속도

예제 6.2 속도와 각속도 계산 막대 가 10 rad/s의 각속도로 시계방향으로 회전한다. 막대 C의 각속도와 점 C의 속도를 구하라. 전략 막대 가 고정된 점 에 대해 알려진 각속도로 회전하므로 점 의 속도를 구할 수 있다. 그 다음, 점 C의 수평방향 속도를 의 속도와 막대 C의 각속도로 나타냄으로써, 점 C의 속도와 막대 C의 각속 도로 표시된 식 두 개를 얻을 수 있다.

풀이 (m/s) 4 4 0 0.4 0.4 10 0 0 0 / j i k j i r ω j i r k ω 4 0. 0.4, 10 / j i k j i j i i r ω C C C C C C C C 0.8 4 0.4 4 0 0.4 0.8 0 0 4 4 / / 예제 6.2 (계속)

앞의 식에서 i와 j 성분들을 각각 같다고 하여 다음 식을 얻는다 : C i i : 4 0.4 i 4 0.8 j : 0 C C C 4 0.4 6 m/s, C 6i m/s, 4 0.8 C ω 예제 6.2 (계속) C C C 5 rad/s C 5k rad/s j

예제 6.3 링크장치의 해석 막대 가 10 rad/s의 각속도로 시계방향으로 회전하고 있다. 래크(rack)의 수직방향 속도 R 은 얼마인가? Rack 전략 래크의 속도를 구하기 위해, 부품 CD의 각속도를 구해야 한다. 막대 의 각속도 ω 를 알고 있으므로 점 의 속도 를 구할 수 있다. 그 다음, 부품 CD에서 속도 C를부품CD의 각속도인 ω CD에 의해 나타낸다. 이번 에는 점 C의 속도 C를막대C의 각속도 ω C에 의해 나타낸 후, C에 대한 두 식을 같다고 놓음으로써 ω C와 ω CD를 구할수있다. ω CD를 구하 면, R을 구할 수 있다.

예제 6.3 (계속) 풀이 고정점 에 대한의 속도를 구한다 : ω r / i j k 0 0 0 10 0.5 1 0 10i 5 j (mm/s) 고정점 D에 대한C의 속도를 구한다 : C D ω CD r C / D i j k 0 0 0 0.833 i 0. 500 CD CD CD j 0.500 0.833 0

막대 C의 각속도를 ω C라고 하여, C의 속도를 점 의 속도에 의해 나타낸다 : C ω i C 0 400 50 r C C / j 0 50 k C 0 i 400 C j 앞에서 구한 와 C 를 위 식에 대입하여 정리하면 ω C 와 ω CD 를구할수 있다. 0.833 i j : : CD i 0.500 0.833 0.500 CD CD CD j 10i -5 j 50 10 50 (10 50 C -5 400 예제 6.3 (계속) C C C i 400 ) i (-5 400 C 0.03 C j C rad/s, ) j CD 13.78 rad/s

예제 6.3 (계속) 래크(rack)의 수직 속도는 래크와 접촉하는 기어의 속도와 같으므로 다음 식으로 구한다 : R 0.15m 0.1513.78 2.07 (m/s) CD 비판적 사고 이런 유형의 대부분의 문제들은 구하고자 하는 해를 구하는 데 필요한 식을 충분히 얻을 수 있을 때까지 두 점 사이의 속도식을 반복해서 적 용해야 한다. 주의해야 할 것은 두 점 사이의 속도식인 = + ωxr / 는 같은 강 체 위에 놓은 두 점에 대해서만 적용이 가능하다는 점이다. 예를 들어, 이 문제에서 점 와 C에는 적용이 가능하지만, 점 와 C에는 적용할 수 없다.

6.3 일반운동: 순간중심(Instantaneous Center) 순간중심 : 어떤 순간에서 속도가 0인 강체의 한 점 2차원 운동을 하는 강체의 순간중심 위치를 알고 강체의 각속도를 알면, 다른 점들의 속도를 쉽게 구할 수 있다. 그림에서 점 C를 각속도 ω로 회전하는 강체의 순간중심이라고 하자. 점 는 점C에 대해 원형경로로 움직이며, /C = ω x r /C 이다. 점 C는 현재 순간에서 속도가 0이므로 결국 /C = 이다. 현재 순간에서 강체 의모든점은C에 대해 회전한다. 순간중심 C = 0

6.3 일반운동: 강체의 순간중심 결정 강체의 두 점 와 의 운동방향을 알고 있으며 두 방향이 평행하지 않으면, 점 와 의 운동방향에 수직이면서 두 점을 지나는 직선을 각각 그려 교차 점 C를 찾을 수 있다. 이 교차점 C가 강체의 순간중심이다 : 운동방향 [증명] 점 C의 속도가 0임을 보여주면 된다. 점 C의 속도를 와 의 속도에 의해 나타내면, C C ωr ωr C / C / 벡터 ωxr C/는 r C/에 수직이므로 C는 의 운동방향과 평행이다. 벡터 ωxr C/는 r C/에 수직이므로 C는 의 운동방향과 평행이다. 결국 와 의 운동방향에 수직인 C의 성분은 모두 0이다. 따라서 C = 0이다. 순간중심 ω

6.3 일반운동: 순간중심이 강체 외부에 있는 경우 순간중심이 꼭 강체에 속한 점일 필요는 없다. 즉 강체는 순간적으로 외부의 한 점에 대해 회전하는 것처럼 생각할 수 있다. 강체를 늘여서 순간중심이 강체에 포함된 것을 상상하면, 늘어난 강체 상의 한 점 C의 속도는 해당 순간에서 0이다. 만일 운동방향이 바뀌어 와 의 운동방향에 수직인 두 직선이 서로 평행하게 된다면 교차점 C는 무한대로 이동하게 되며, 이 경우 강체의 각속도는 0으로 순수한 병진운동을 하게 된다.

6.3 일반운동: 굴러가는 원판의 순간중심과 속도 각속도 ω로 굴러가는 반경 R의 원판이 바닥과 접하는 점 C는 그림의 순간에서 정지상태이므로, 점 C는 원판의 순간중심이다. 따라서 원판의 다른 임의의 점의 속도는 점 C를 회전중심으로 하여 원운동을 하는 것 처럼 생각해서 구할 수 있다. 예를 들면 점 의 속도는 다음 식과 같다 : 2R cos 45i 2R sin 45j R i R j

예제 6.4 순간중심에 의한 링크장치 해석 막대 가 10 rad/s의 각속도로 반시계 방향으로 회전하고 있다. 막대 C와 CD의 각속도는 얼마인가? 전략 막대 와 CD는 고정축 회전이므로 점 와 C의 운동방향을 알 수 있 으며, 따라서 막대 C의 순간중심을 알 수 있다. 막대의 순간중심을 이 용하여 두 연결점의 속도와 두 막대의 각속도를 구할 수 있다.

풀이: 막대 의 회전으로 인한 점 의 속도 2 m10 rad/s 20 m/s 예제 6.4 (계속) 와 C의 운동방향에 수직인 선을 그려 막대 C의 순간중심을 찾는다. 의 속도는 순간중심에서 까지의 거리와 막대 C의 각속도 ω C를 곱한 값과 같다: 막대 C 의 순간중심 20 m/s (2 m) C 10 rad/s C 막대 C의 순간중심과 각속도 ω C를 이용하여 점 C의 속도를 구한다 : C 8 m 10 8 m/s C

점 C의 속도를 이용하여 점 D에 대한막대CD의 각속도를 구한다 : 10 8 m/s 8 m C CD 10 rad/s 예제 6.4 (계속) CD 비판적 사고 이 예제에서는 순간중심을 이용하여 막대 C와 CD의 각속도를 구하 는 것이 벡터식을 이용한 방법보다 훨씬 간단했다. 그러나 이 예제의 경우, 막대 길이와 위치 덕분에 순간중심 위치를 찾기가 쉬웠지만, 만일 기하학적 구조가 굉장히 복잡하다면 순간중심을 이용하는 방법 은 비현실적인 방법이 될 수 있다.

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