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1 기구메커니즘 Ch. elocity

2 .1 Definition of elocity 변위 : 평균속도 (average velocity) : / t 순간속도 (instantaneous velocity, 속도 ) : lim x 0 t d dt, 위치벡터 : 관측자좌표계의위치와방위에종속. 변위벡터와속도벡터 : 좌표계의초기위치, 관측자위치와는무관 ( 시간간격동안에관측자나좌표계가이동하는경우에는는그이동에종속 ) 관련좌표계가절대좌표계인경우속도를절대속도 (absolute velocity) 라고하며또는로표기 /1

3 . otation of a igid body 각변위는일반적인벡터와다르다. ( 각변위는합하는순서에따라그결과가달라지므로벡터합이불가능 ) 동일강체링크에있는두점, Q 의변위차 * Q z * * 1. 물체는의변위이동으로 x y 에위치 ( 직선운동 변위차불변 ) *. Q 를중심으로회전하여 x y 로이동 Q ( 회전운동 변위차변화 ) 1 1z1

4 . otation of a igid body 변위차 Q 를이해하는다른방법 - 원점이점 Q 와같이움직이며절대좌표축 와평행하게이동하는이동좌표계를고려하면 이이동좌표계내의관측자는점 Q 의운동을관측할수없다. Q - 점 의변위로 SHE 는변위차벡터를 관측 이관측자에게는점 Q 는고정되어있고, 물체는고정점을중심으로회전. x 1y1z1 회전물체의각속도 (angular velocity): θ lim x 0 t dθ dt ( : 오른손법칙을따름 )

5 . elocity Difference b/w oints of a igid Body lim t 0 r r Q t Q Q Q sinφ θ lim t 0 t Q 변위차벡터는변위중에발생하는절대위치차 Q 의벡터변화와같다. Q Q Q θ 크기 : Q r Q sin θ Q ( Q sinθ )sin θ ( Q sinφ) θ sinφ Q sinφ Q Q sinφ 5

6 . elocity Difference b/w oints of a igid Body t 0 t Q d dt Q lim ( φ : 와의사이각 ) Q Q [ 속도차벡터 (velocity-difference velocity)] d Q Q dt Q 두점이동일한강체에부착되어있을때에만성립 변위차 : lim t 0 t + Q lim t 0 t + Q Q Q Q + lim t 0 t Q [ 속도차식 (velocity-difference equation)] 6

7 . Graphic Methods: elocity olygons 도해적속도해석 속도다각형 다수의속도에대해서는각각의위치마다새로운벡터다각형을그려야함 해석결과검증에유용 위치해석선행 속도차와순수회전만고려 A A r + A A 7

8 . Graphic Methods: elocity olygons 도해법 예 1 주어진값 : 구하는값 : θ, θ, θ,,,,, A B C 1. A점의속도, AO 에수직 A ( AO). B점의속도, BO 에수직. 점A 에대한속도차. 속도다각형완성 5. 기하학으로부터 B, BA 계산 6. 각속도 7. C + B A BA B BA, BO AB C CA A + c CA 8

9 . Graphic Methods: elocity olygons 도해법 예 크랭크 - 슬라이더 주어진값 : 1. 위치해석 :. 속도해석 : A ( B AO ) (10) 0inch / sec + A. 속도다각형 : BA M: magnitude D: direction B A BA θ φ o 5 o 외접원의사인법칙 : a b c sina sinb sinc : 외접원의반지름 B A o sin 57. sin inch / sec B o 9

10 . Graphic Methods: elocity olygons 도해법 예 절링크 주어진값 : A ( AA o ).5(6.8) 157cm/ s o α 6.9 o β

11 /sec 11 /sec 19, sin70.9 sin6. sin6.9 cm cm BA B A BA B o o o o 6.9 α o 70.9 β o o o o o o o β α. Graphic Methods: elocity olygons cw s rad AB cw s rad BB BA o B, / , /

12 1 예제 운송트럭의화물운반기구를나타낸다. 이순간, 점 A 는그림에나타난방향으로 1 in/s 의속도를가지고있고점 B 는상방향으로 10. in/s 의속도를갖고있다. 아래쪽에있는링크의회전속도와점 A 에대한점 B 의상대속도를구하시오. v 점 A 에대한점 B 의상대속도 v v > v B / A B A 코사인법칙으로계산. B / A A+ B A B cos v v v v θ cos0 6 [ cm / s]

13 . Graphic Methods: elocity olygons 도해법 예 전이된크랭크 - 슬라이더 주어진값 : B B B B + B/ B o 15 o 60 o 0 o cos 5 B / B B 1

14 . Graphic Methods: elocity olygons 그림 (a): 점 A 와 B 의속도를알때, 점 C 의속도와링크의각속도는? 점 A 와 B 의관계를나타내는속도식 :?? + B A (b) BA BA BA BA BA or 링크의각속도 : BA BA (c) C 점의절대속도 :???? + + C A CA B CB (e) ( 는 에수직, 는 에수직 ) CA CA CB CB 1

rad/s min rev 60 s B A+ BA BA B ( 9. rad/s) ft 1.

15 예제.1 예제.1 절링크기구가크랭크 에의하여등각속도 900 rev/min ccw로구동되고있다. 그림과같은위치에서점 E와 F의순간속도와링크 과 의각속도를각각구하라. 링크 의각속도를 rad/s 로변환 rev rad 1 min 900 π 9. rad/s min rev 60 s B A+ BA BA B ( 9. rad/s) ft 1. ft/s C B CB CB D CD CB 8. ft/s, C CD 5.5 ft/s 8. ft/s 18/1ft CB CB CD 5.6 rad/s CCW ccw 5.5ft/s 11/1ft CD CD 9.6 rad/s ccw 15

16 예제.1 16 EB 10.8 (5.6 rad/s) ft 1 EB.0 ft/s ft/s E B EB E F 1.8 ft/s

17 예제. 예제. 편심슬라이더-크랭크기구가슬라이더 에의해현재상태에서왼쪽으로 C 10 m/s 로구동되고있다. 점 D의순간속도및링크 와 의각속도를각각구하라.???? + + B C BC A BA D 1.0 m/s 10.0 m/s 0.05m BA BA 7.5 m/s 0.1m BC BC rad/s ccw rad/s cw 17

18 . Graphic Methods: elocity olygons 속도사상 1. 각각의링크의속도사상은그링크형상을축적에따라속도다각형으로재현한것이다.. 각각의링크의속도사상은그링크의각속도방향으로 90 만큼회전된다.. 각각의링크의꼭지점을나타내는문자들은속도다각형의문자들과같으며, 링크둘레에서와동일한순서로, 또동일한회전방향으로속도다각형둘레에부여된다.. 링크자체길이에대한링크의사상길이의비는링크의각속도의크기와같다. 일반적으로이비는동일한기구에서도링크마다다르다. 5. 병진운동하는링크에있는모든점의속도는같고각속도는 0이다. 그러므로병진운동하고있는링크의속도사상은속도다각형에서단일의점으로축소된다. 6. 속도다각형에있는점 O 는절대속도가 0인모든점들의사상이며, 이는고정링크의속도사상이다. 7. 어떤링크에있는한점의절대속도는 O 로부터점의사상까지의선으로표현된다. 임의의두점 와 Q 사이의속도차벡터는사상점 로부터사상점 Q 까지의선으로표현된다. 18

19 가정 : 움직이는점 이좌표계를따라이동하는경로, 즉상대위치벡터의끝점의궤적을알고있다. z y x / 상대변위 : / +.5 Apparent elocity of a t in a Moving Coord. Sys + t t t t t t / lim lim lim 상대속도벡터 (apparent-velocity vector) dt d t t / / 0 / lim / + 상대속도식 ( apparent-velocity equation) 19 19

20 .5 Apparent elocity of a t in a Moving Coord. Sys HE에게는링크 에형성된경로가고정된것처럼보이고, 움직이는점은이경로를따라 에서 로이동. ( 점 C는점 경로의곡률중심 ) 를기준으로한짧은거리의경우, 그경로는 C 를중심으로하고곡률반지름이 ρ 인원호 를따라이동 이경로에접하고양의운동방향을양으로하는 단위벡터를정의 : û ûu t ( 접선벡터와곡률중심 C 에의해평면형성 ) 이평면에수직한방향중한쪽을양의쪽으로 잡아단위벡터를정의 : t û 곡률중심방향법선벡터형성 : b n b ˆ uˆ u uˆ t / / d lim t 0 t dt / s d lim t 0 t t dt / / uˆ ds dt b ds uˆ dt b 0

21 예제. 예제. 슬라이더 - 크랭크기구의역전이그려져있다. 크랭크인링크 는 6 rad/s ccw 의각속도로구동된다. 링크 은링크 를미끄럼이동하며 A 에서크랭크에피봇지지되어있다. 링크 의각속도를구하라. dimension in inches A E + AE AE A ( 6 rad/s) ft 9 ft/s 1 + B B B A B /??? A D BD B (?? A+ B A B ) / BD B D 7.ft/s 11.6 /1ft BD 점 B 은링크 에부착, 점 B 는링크 에부착 00 / rad/s ( B A B, A B ccw D BD B 의위치를결정 ) 1

22 예제. 예제. 비행기가중심이 C 이고반지름이 5 km 인원형경로를 00 km/h 의속도로이동하고있다. 로켓은비행기에서 0 km 떨어진곳에서직선경로를 000 km/h 의속도로이동하고있다. 비행기의조종사가바라보는로켓의속도는얼마인가? 00 km/s 5km C C C 60 rad/h ccw 로켓 과그위치가일치하면서비행기의회전좌표계에부착되어있는점 를정의 + 00 km/h+ (60 rad/h)(0 km) 100 km/h 조종사에게는로켓이 100 km/h 의속도로뒤로밀리는것으로관측

23 예제..6 Apparent Angular elocity 상대각속도 (apparent angular velocity): 개의강체가서로다른각도로회전할때, 이두강체사이의벡터차 / / : 강체 에부착되어함께회전하는관측자에게보이는물체 의각속도

24 .7 Direct Contact and olling Contact 직접접촉 (direct contact) 점 에서링크 와 사이에는회전과미끄럼이발생 slip 과의공통법선방향성분은같다. 총상대속도 slip 직접접촉경계면내에서의상대미끄럼이동속도

25 .7 Direct Contact and olling Contact 구름접촉 (rolling contact) / 0 ( 속도의구름접촉조건 ) ( 구름접촉을하는두점의절대속도는같다 ) given 속도차 B 를계산 속도다각형상에 의위치를결정 과를사용하여에대한연립방정식을세우면속도사상점 C 를결정 C CA C 과는각각와에서결정. C CA 5

26 .8 Systematic Strategy for elocity Analysis 두점의위치일치하는경우일치하지않는경우 동일한강체에있는경우자명한경우 : 속도차 : Q Q 서로다른강체에있는경우상대 (apparent) 속도 : 일반적인경우 : 단계사용 + i j i / j i / j ( 여기서경로는기지값 ) 구름접촉속도 i and j i j / 0 Q + Q j Q Q 상대속도를사용할경우에는식을사용불가능 속도차를사용하는경우에는 를사용가능 ( 단지하나의링크만관련되어있기때문에 ) 6

27 .9 Analytic Methods 해석적방법의예 (Crank-slider) 기하관계 : r sinθ l sinφ x r cosθ+ l cosφ Φ 를소거하고 x 에대해구하면, x r cos θ + l r sin θ x& r sinθ+ l r sin θ r sin θ 7

28 .10 Complex-Algebra Methods 차원벡터의복소극좌표형태 : AB C C A B r 1 r r jθ e d jθ & e & + dt j & θe 루프폐쇄방정식 : r 1 jθ : 크기와방향일정 θ r r : 크기일정, 변화 : 크기, 방향미지 r 1+ r r 기하관계 : 루프폐쇄방정식 1 r1 + r rr 1 θ r cosθ r1 r cos j θ & jθ jθ r e r& e + j & θ r θ tan r sinθ jθ 시간미분 : where θ, θ e & & (note: 상대속도식 C / Q & θ & & C + C 의극좌표형태, θ ) r C, r, r C C / 8

29 .10 Complex-Algebra Methods 실수부와허수부로분리 r& 미지수와에대하여풀면 r sinθ r& cosθ r sinθ r cosθ r& sinθ+ r cosθ r& r sin ( θ θ) r cos( θ ) θ r jθ 점 의변위 : e 점 의속도 : 수평성분과수직성분 x y B j j B B e r r jθ cos( θ θ ) e r θ θ jθ B cos( ) sin r r B cos( θ θ) cos r 9 θ θ

30 예제.5 예제.5 절링크에서입력링크의각속도사이의관계식을구하라. 루프폐쇄방정식 : r + r + r r 0 루프폐쇄방정식시간미분 : re 1 jθ1 jθ jθ jθ 1 + re + re re jr & θ 실수항과허수항으로분리 & θ, & θ & θ ( ), 에대해풀면 & θ & θ jθ jθ jθ e + jr e jr e 0 0 ( 극좌표형태 ) r cosθ+ r cosθ r cosθ 0 r sinθ+ r sinθ r sinθ 0 r sin ( θ θ) r, r sin ( θ θ ) r sin ( θ θ) sin ( θ θ ) 0

31 .11 The ector Method 체이스변위해석법을기구속도해석에적용한방법 루프폐쇄방정식 : r 1+ r r 속도관계식 : 시간에관하여미분 d & ˆ ˆ & ) ˆ j ( jj & jj+ jj dt & ˆ ( kˆ & + ˆ ) ˆ j j j ( j : 일정, 링크와함께회전 ˆ& ˆ ( kˆ ˆ )) j j j j 루프폐쇄방정식의시간미분 ˆ ˆ r ( k r ) rr + r k r r,r 1 ˆr 1 ( ˆ ( 크기와방향이상수 미지수 ) & ˆ ˆ ) r&, 기하제약조건단위벡터 ˆr 가 k ˆ rˆ 에수직 rˆ ( ˆ ˆ k r ) 0 ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ r r k r ) k r ) 1

32 ˆr 에대해풀면 에대해풀면 r ˆ ( ˆ r ( ˆ ) ˆ k r k r ) cos( θ θ) r r ˆi ˆj kˆ Qkˆ rˆ sin ˆ cos ˆ θi+ θj cosθ sinθ 0, kˆ rˆ ( kˆ rˆ ( ˆ ˆ ) k r ) sinθ sinθ+ cosθ cosθ cos( θ θ) r& ˆ ˆ ) ˆ r ( k r r r sin ( θ ) θ sinθ ˆi + cos θ Q k ˆ rˆ ) r& ˆj sin ( θ ( θ )

33 예제.6.1 The Method of Kinematic Coefficients 입력위치변수에관하여미분하여해를구하는해석적방법. bar linkage mechanism 루프폐쇄방정식 : 스칼라표현 r 1 + r + r r 운동계수법은입력위치변수인 r 0 r1 cosθ1+ r cosθ+ r cosθ r cosθ 0 r1 sinθ1+ r sinθ+ r sinθ r sinθ 0 θ 에관하여미분 sinθθ+ r sinθθ r sinθ dθ dθ where θ and θ cosθθ r cosθθ r θ dθ dθ r1 cos 1차운동계수 st -order kinematic coefficient 1 st

34 예제.6.1 The Method of Kinematic Coefficients 행렬표현 ( 행렬식 r r sinθ 1 cosθ rr sin( θ ) θ r sinθ θ r sinθ r cosθ θ r cosθ (i) θ 인경우, (ii) θ ± 180 의경우 θ θ 0) 링크 과 의 1 차운동계수 θ r sin ( θ θ) r sin ( θ θ) and θ r sin ( θ θ ) r sin ( θ θ ) θ and θ 링크 과 의각속도 r r sin ( θ sin ( θ θ) θ ), r r sin ( θ sin ( θ θ) θ )

35 예제.6 예제.6 크랭크 에의해반시계방향으로 900 rev/min ccw 의일정한각속도로구동된다. 커플러링크및출력링크의각속도와점 E 및 F의순간속도를구하라. 피벗 A 에대한점 E 의위치 x y E E 주어진링크길이와규정된입력각 대한위치해석링크 과 의 1 차운동계수 링크 과 의각속도 r r + ) E r EB r cosθ+ reb cos( θ φ r sinθ+ reb sin ( θ φ) θ 10 에 θ 0.9, θ θ θ r sin ( θ θ) r sin ( θ θ ) r sin ( θ θ) r sin ( θ θ ) 0.718, θ 5.6 rad/s ccw θ 9.6 rad/s ccw where φ tan 1 ( /10 )

36 예제.6 점 E 의 1 차운동계수 ( 입력조인트변위에대하여미분 ) θ x sin sin ( ) E r θ reb θ φ θ.191 in/rad y cos + cos( ) E r θ reb θ φ θ in/rad 점 E 의속도 : ( x ˆi + y ˆ) j 6.8 ˆ i+ 7.8ˆj E E E ft/s 같은방법으로계산하면 점 F 의속도 : 0.60ˆi +.8 ˆj F ft/s 6

37 .1 The Method of Kinematic Coefficients Slider-Crank mechanism 루프폐쇄방정식 r1 + r + r r 0 스칼라표현 r θ + r cos θ + r cos θ r cos θ 0 r 입력변수에관하여미분 1 cos 1 r1 sinθ1+ r sinθ+ r sinθ r sinθ 0 r sinθ θ r sinθθ cosθ r cosθ θ 1+ r cosθθ sinθ where dθ θ and θ dr dθ dr 행렬표현 링크 과 의 1 차운동계수 : r r sinθ cosθ cos( θ θ) θ r sin ( θ θ ) r sinθ θ cosθ r cosθ θ sinθ and θ cos( θ θ) r sin ( θ θ ) 7

38 예제.7 예제.7 편심슬라이더-크랭크기구가슬라이더 에의해현재상태에서왼쪽으로 C 10 m/s 로구동되고있다. 점 D의순간속도및링크 와 의각속도를각각구하라. 링크치수와규정된입력위치 링크 과 의 1 차운동계수 : θ θ 5 θ 7, r 16m cos( θ θ) 19.77, θ r sin ( θ θ ) 에대하여위치해석을하면 cos( θ θ) r sin ( θ θ ) 5.6 rad/m 링크 과 의각속도 : 피벗 A 에대한점 D 의위치 x y θ r & rad/s ccw, θr& 5.5 rad/scw where r& 10m r D r + r DB cosθ+ r cos ( θ ) 1 where β tan (50 /80) 1.01 sinθ+ r sin ( θ ) D r DB β D r DB β 8

39 예제.7 9 점 D의 1차운동계수 ( 입력변위 r 에대하여미분 ) x sin sin ( ) D r θ θ rdb θ β θ 1.11 m/m y cos cos( ) D r θ θ + reb θ β θ m/m 점 D 의속도 : ( ˆi + y ˆ) j r& 11.ˆ.07 ˆ i+ j D xd D ft/s

40 예제.8 예제.8 다음기구는바퀴가지면에미끄러지지않고 구르고있다. 바퀴의반지름은 10 cm 이다. 입력링크 의길이는 15cm 이다. 핀 B 에서 바퀴의중심 G 까지의거리는 5cm 이며, 핀 O 에서접촉점 C 까지의거리는 0cm 이다. 그림에서의위치, 즉 다음을구하여라. θ 90 (a) 링크 과 의 1 차운동계수 인경우에 (b) 입력링크가 10 rad/s ccw 의일정각속도로회전하고있는경우, 링크 과 의각속도 (c) 바퀴중심의속도 벡터루프폐쇄방정식 r + r + r + r r 스칼라표현 r θ + r cosθ + r cosθ + r cosθ r cosθ 0 cos r sinθ+ r sinθ+ r sinθ+ r7 sinθ7 r9 sinθ9 0 0

41 예제.8 θ θ 9 0 입력변수에관하여미분 ( 대입 ) r sinθ r sinθθ r sinθ θ r9 r cosθ+ r cosθθ + r sinθ θ 0 0 where θ 미끄러짐이없는구름접촉조건 r ) dθ θ dθ,, dθ dθ r 9 dr9 dθ ( 링크 와 의 1 차운동계수와접촉점의위치 ) 9 ρ ( θ θ7 θ 70 0 θ ) (ρ는바퀴의반지름, 7 로일정 는벡터 7의수직방위에대한링크 의위치에서나오는작은각변위 ) θ 7 미소변위의경우 ( θ7 r ρ 9 θ 행렬형태로표현 r r sinθ cosθ ρ r sinθ θ r sinθ r cosθ θ r cosθ 링크 과 5 의 1 차운동계수 : θ r [ ρ θ r sin ( θ θ )] cos rr sin ( θ θ) and θ where r [ r sin ( θ θ ) ρ θ ] cos 1

42 예제.8 θ θ θ r r ( r + ρ), θ 0, θ r + ρ 그림에표시된위치의경우 90, 0, 90 θ 0 and θ 1 rad/rad 10 rad/s ccw 점 G 인바퀴중심의속도 9 r θ ( 100 mm/rad)(10 rad/s) m/s 0 G 9 r ρ 9 θ r 9 ρ 100 mm/rad ( )

43 예제.9 예제.9 기어 이입력기어 에미끄러지지않고구르고있다. 기어 의반지름은기어 의바퀴반지름의절반이며, 링크 5의길이는입력기어반지름의 배이며, 핀 A 에서핀 B 까지의거리는기어 의반지름의절반이다. 표시된위치, 즉링크 5가수평상태일때, (i) 링크,, 5의 1차운동계수 (ii) 입력기어가 10 rad/s ccw 의일정한각속도로회전하고있는경우에링크,, 5 의각속도를각각구하라. 루프폐쇄방정식 r + r r + r 스칼라표현 r θ + r cosθ r cosθ + r cosθ 0 입력변수 θ cos r sinθ+ r sinθ r5 sinθ5+ r1 sinθ1 0 에관하여미분 r sinθθ r sinθθ + r5 sinθ 5θ5 0 cosθθ + r cosθθ r5 sinθ 5θ5 0 5 where,, 5 r dθ dθ dθ θ dθ θ dθ θ dθ ( 링크,, 5 의 1 차운동계수 )

44 ρ ( θ θ ρ θ θ 구름접촉조건 ) ( ) ρ 미소변위에대하여 θ θ ) ρ ( θ ) 행렬형태 ( θ θ θ ( ρ 을대입 ) ρ r r sinθ r cosθ + r 링크 과 5 의 1 차운동계수 : θ sinθ cosθ r 5 sinθ5 θ r r 5 cosθ5 θ + r cosθ sinθ r r5 sin ( θ θ5 ) r r sin ( θ θ ) and θ [ r sin ( θ θ ) + r sin ( θ )] where r5 θ5 θ 90, θ 90, θ5 0 그림위치의경우 ( ): 링크 j 의각속도 rad/s ccw j θ j r 5 ( r + r ) θ 일때기어 과링크 및 의각속도. rad/s, +. rad/s, θ 9

45 .1 The Method of Kinematic Coefficients 운동계수는위치만의함수로서직접적으로시간의함수가아니다. 1 차운동계수의단위는규정된입력과고려중인변수에따라다르다. 입력 ψ 각θ i 상관각도 θ j 의변수상관크기 r j 의변수 ( 운동계수부호는 ( 운동계수부호는 입력과무관함 ) 입력과무관함 ) θ ψ & θ j j j d j θ dψ θ j ( 무차원, rad/rad) r & r ψ& r j rj j dr j dψ r j ( 길이, 길이 /rad) 입력 ψ 크기r i θ ψ& θ j j j dθ j dψ (1/ 길이, rad/ 길이 ) r & ψ& r j rj j dr j dψ ( 무차원, 길이 / 길이 ) 5

46 .1 Instantaneous Center of elocity 강체 는복합운동 : 점 A에서속도A 와각속도 점 I 는 IA A A 에대해수직방향에위치하고 는의방향으로부터방향으로회전. 점 I 의위치를결정. IA A I A A + IA + A + A IA A + ( A ) ( ) A A A 0 정해진특정점 I 의절대속도 0 ( 고정링크에있는일치점으로간주 ) 점 I 는링크 1 과 의순간중심 6

47 .1 Instantaneous Center of elocity 순간중심의표시 I I : 링크 과 의순간중심. (,) 순간중심궤적 (centrode) : 순간중심의경로. 순간중심의개수 : N n( n 1) ( n :number of links) 7

48 8.1 Instantaneous Center of elocity 반경 인원반이미끄럼없이 의속도로구를경우. 미끄럼이없으므로 C점의속도는 0 이다. 이때 C에서본 B의상대속도를생각하면이는항상 CB의직각방향이된다. vb vc+ vb / C vb / C CB 다른 A, D점에도같은방법이성립된다. 원반의실제중심은 A 점이지만 C 점처럼운동중에순간적으로회전중심처럼보이는점이생긴다. B v D v B 이를순간중심 (Instant Center) 이라한다. ure rotation 되는점즉, r 만으로점의선속도계산가능 D A C v A E v E 지면 : 링크 1 (frame)

49 9.1 Instantaneous Center of elocity ( 공유점 ) 즉순간중심이란 : 어느순간에두링크사이의상대속도가없는점. ( 상대운동이있다면순수회전만으로다른점의속도표현불가, 상대속도고려해야하므로 ) 순간중심의물체내에있을수도, 물체밖에있을수도있다.

50 50.1 Instantaneous Center of elocity 점 A 의속도로부터점 B 의속도를계산하는경우를상기 즉, 순간중심을이용하면순수회전속도식만으로링크및링크위의점의속도를구할수있다.

51 .1 Instantaneous Center of elocity Case Study: 두점의방향을아는물체의순간중심 서로상대운동을하는두물체는순간중심을가짐. 지면이물체 1. 따라서 1 는물체 1 에있는물체 의회전중심임. 순간중심을구하기위해서는기구상의두점의속도의방향만알면됨. 51

52 5.1 Instantaneous Center of elocity A A A A A A B B r A B B r A B C r B B r A r B r B C C v r A A v r B B r r B A v A

53 5.1 Instantaneous Center of elocity 순간중심의예 링크에서 B점은링크에수직방향 C점은미끄럼면에수직한운동을한다. 이때 B, C 점의운동을공통으로만족하는중심은그림과같이구해진다. 이점이링크의순간중심 (Instant Center) 이다. v의속도를알면중심으로부터의거리로나누면각속도를구할수있다. 또한링크의임의의점 x의속도도각속도와거리로부터구할수있다.

54 5 예제 The wheel rolls to the right without slipping, with its center O having a velocity v o m/s. Locate the instantaneous center of zero velocity and use it to find the velocity of point A for the position indicated. θ0 A ro 00mm O r00mm v o m/s o C v o OC v A AC

55 55 예제 Arm OB of linkage has a clockwise angular velocity of 10 rad/s in the position shown where θ5. Determine the velocity of A, the velocity of D, and the angular velocity of link AB for the instant shown. C A 150mm D 00mm B 150mm 150 mm Body extended O θ5 O BC v B BC

56 56.1 Instantaneous Center of elocity 1차순간중심선정규칙 (rimary Instant Centers)

57 .1 Instantaneous Center of elocity 바닥링크 1 의움직이던정지해있던상대속도가없어야그점을중심으로다른링크가간적으로회전하는것처럼될수있음. 두링크의유일한운동방향은공통접선방향이므로, 상대회전의중심인미끄럼접촉의순간중심은공통법선위에있어야하며동시에케네디정리에따라직선 1-1 상에있어야한다. 57

58 58 Direct contact mechanism II 접선성분이같아야 sliding 이없어구름접촉이됨. 그러기위해서는앞의그림에서 E F 인경우밖에없고, 즉접촉점이중심선위에있어야한다. ( 즉상대접선성분이 zero)

59 .1 Instantaneous Center of elocity 절링크의속도순간중심 속도순간중심의갯수 n ( n 1) ( 1) N 6 순간중심 개 ( 1, ), (, ), (, ), (,1 ) 쉽게구해짐. ( 1, ) 순간중심 1개 : 왼쪽그림과같이상대적으로쉬움 나머지 순간중심 1 개 : (,)???? Aronhold Kennedy Theorem for Three Centers 59

60 60.1 Aronhold-Kennedy Theorem of Centers Aronhold-Kennedy Theorem for Three Centers ( 연결에상관없이 ) 서로상대운동을하는세개의강체가공유하는순간중심은모두동일직선상에있다.

61 .1 Aronhold-Kennedy Theorem of Centers 링크 를포함하는 body 와링크 을포함하는 body 의속도계산에공통적으로사용할수있는 Instantaneous center 로이해!!! ( 즉, (,) 점의속도를알면링크 위의점의속도를구할수있고, 링크 위의점의속도를구할수있다 ( 반대도마찬가지 ).) 정확한 Q 점의위치는 Link와 link의각속도크기와방향에의존 물체 와 에대한순간중심을구하면 ( 번링크가회전하는 번링크상의점혹은반대 ): 상대속도가없어야그점을중심으로다른링크가순간적으로회전하는것처럼될수있음. 61

62 6.1 Aronhold-Kennedy Theorem of Centers In the case of complex mechanism Tick

63 .1 Aronhold-Kennedy Theorem of Centers 절링크기구 1 ) 원주상에 개의점표시 점: 링크 선: 두링크사이의순간중심 ) 개의점을선으로연결 개의순간중심 ) ( 1,),(, ), (,),(,1) 점1 과 연결 순간중심 순간중심 QKennedy 정리 ) 점와 연결 순간중심 순간중심 ( 1,) ( 1,) 와 (,) 및( 1,) 와 (,) 의교점 (,) (,1) 와 ( 1,) 및(,) 와 (,) 의교점 rimary instant center 를먼저찾은후나머지복잡한순간중심을 circle diagram method 로찾는다. 각삼각형은 개의링크를연관시키는 개의순간중심을의미 ( 일직선상에존재, 앞증명그림참고 ) 6

64 .15 Locating Instant Centers of elocity 구름접촉기구 역전된슬라이더 - 크랭크기구 I A ˆ / / / A / A / / 6

65 .15 Locating Instant Centers of elocity 캠 - 종동절기구 세개의링크, 세개의순간중심 (1,), (1,) 는직관적으로구함 하프조인트에 가상의유효링크도입, 또는 미끄럽이발생하는 의한 (,) 는구하기어려움 공통접선에대한공통법선 65

66 66.15 Locating Instant Centers of elocity 슬라이더 - 크랭크기구 미끄럼조인트는 슬라이더 ( 1, ) 슬라이더의순간중심 기구학적으로 ( ) 에수직하고거리는 에위치 운동미끄럼방향 무한대에 피벗된무한히 긴링크

67 67.15 Locating Instant Centers of elocity 슬라이더 - 크랭크기구의모든순간중심구하기

68 68 예제 다음그림은암석분쇄기이다. 모든순간중심을찾아라.

69 69

70 70

71 예제.10 예제.10 링크 1 과 사이를구름접촉으로가정하고모든순간중심을찾아라. 1 자유도기구에서는모든순간중심의위치가기하형상자체에의해서만특정되며작동속도와는아무상관이없다. 71

72 7.16 elocity Analysis Using Instant Centers 기본사항 (Key facts for velocity calculation using instant center concept) 1. 한회전체내에있는점들의선속도의크기는회전반지름에정비례한다. ( 회전반지름은점에서순간중심까지의거리 ). 한점의선속도의방향은그점의회전반지름에수직한방향. 하나의순간중심은두물체의공유점이고크기와방향이같은선속도를갖는다.

73 .16 elocity Analysis Using Instant Centers 순간중심을이용한속도해석 C점의의미 : 링크1위의임의의점과 링크위의임의의점의속도가같은점 C점은순간적고정피벗 상대속도 ( AC) ( AO ( AO ) ( AC) ) D점의 D D D ( 상대속도 D ( OD) ( OD) ( O D ) ( OD) 의미 : 링크위의임의의점과 링크 위의임의의점의속도가같은점 쉽게 링크 1 이고정이므로링크 의회전에의해속도결정 계산 0) 7

74 .16 elocity Analysis Using Instant Centers 순간중심을모두구한경우 도해법으로링크장치의속도를쉽게해석 A B C ( AI ) 1, A ( AI 1,) ( BI 1,) B ( BO ) ( CI 1, ) 7

75 75 예제.11 크랭크각속도속도를구하라. 가주어졌을때, 그림과같은순간에서점 B, D, E 의

76 예제.11 순간중심을사용하는속도해석의순간중심연결선방법. 1. 주어진속도와구해야할속도와관련된 개의링크번호를확인한다 ( 링크 1).. 단계 1의링크로정의되는 개의순간중심의위치를찾아연결선을그린다.. 공통순간중심을속도가주어진링크의점으로보고그속도를구한다.. 공통순간중심의속도를알면, 이점을속도를구하고자하는링크의점으로잡는다. 그러면이링크에있는다른점의속도를구할수있다. 76

77 77 예제 다음그림은선박에사용되는승강단용자동자기체결버팀대이다. 링크 가일정한속도 rad/sec 로시계방향으로회전한다면링크 의각속도는?

78 78 알려진것 : 링크 의속도 알고자하는것 : 링크 의속도 v 9ft B r B / sec v ( ) 7.ft / sec v C 1.8ft / sec 1.8ft / sec.6rad 5.ft / sec 번링크상의점 C 의속도를구하려면속도를알고있는 번링크와 번링크를연관시킬수있는두링크의공유점 () 의속도를구해야한다. 이러한 () 를이송점 (transfer point) 이라함.

79 예제.1 그림은어떤장치가운데링크만일부나타낸것으로, 다른부분은하우징안에들어있지만순간중심 의위치는그림으로알수있다. 속도 C 를오른쪽으로 10 m/s 로발생시키는데필요한크랭크의각속도를구하라. I I I 1 rad/s 10m/s 0.5m ccw 79

80 .17 The Angular elocity Theorem I 0 I1 I 크기만을고려하면, /1 /1 /1 /1 I I I I 1 1 ( 각속도비의정리 ) I I I I 1 1 각속도비의정리 (angular-velocity theorem) 제 의물체에대하여평면운동상태에있는임의의두점의각속도비는공통순간중심에의해분할되는순간중심연결선의각각의분절의길이에반비례 물체 i 에대한물체 j 와 k 의운동을일반적인형태로나타내면, k / i j / i I I jk jk I I ij ik 80

81 .18 elationships b/w 1 st order Kinematic Coefficient and Instant Centers 1 차운동계수는속도의순간중심위치로나타낼수있다. Slider-Crank mechanism 링크 j 의각속도의연쇄법칙링크 j 의 1차운동계수 : I, 1 i Ij Iij j θ ji j θ j ij 1i ij 1j : 입력링크 i 와링크 j 의 1차운동계수 : 링크 i 와 j 의상대순간중심 I I1 θ, θ I I 1 i I I I I 1 1 I in, 10in 15in, 11.in 1 I I 1I 1 II 1 II 1 in 11.in θ θ in 1.in 9. rad/s ccw rad/s ccw, 9.7 rad/s ccw 81

82 .18 elationships b/w 1 st order Kinematic Coefficient and Instant Centers bar linkage mechanism 링크 j 의각속도의연쇄법칙 링크 j 의 1 차운동계수 : 1 j I ij I 1 j 1 1 θ and θ I I j θ j r& i 1 θ I I 1 51 mm, 185mm 이므로 θ 0.051m 1 θ m rad/m 5.1 rad/m r& 10 m/s 이값들과입력속도로, 196 rad/s ccw, 5.1 rad/s cw 8

83 링크에고정되어있는점 의속도 1 차운동계수 ˆ)ψ& ˆ ( or ˆ j i t y x u + ( : 기구를구동시키는일반입력속도 ) 속도크기 ψ& r p p y x r + ± ( 입력위치의순간변화가양이면 + 부호, 음이면 부호사용 ).18 elationships b/w 1 st order Kinematic Coefficient and Instant Centers ψ& 점의궤적에대한단위접선벡터점의궤적에대한단위법선벡터 j i ˆ ˆ ˆ + t r y r x u j i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + t b n r x r y u u u 8 8

84 .19 Freudenstein s Theorem 드래그 - 링크기구 출력속도와입력속도의비가극한값이되는 위상을구하는문제 Freudenstion 정리 절링크기구는입력각속도에대한출력각속도의비가극한값이될때동일직선축이커플러링크에수직을이룬다. II1 + I I 1 I I 1 1 동일직선축 Freudenstion 정리의역 1 / 절링크기구의각속도비의극한값은동일직선축이종동절 ( 링크 ) 에수직할때발생 8

85 .0 Indices of Merit: Mechanical Advantage 기계적이득 : 입력힘 ( 토크 ) 에대한출력힘 ( 토크 ) 의비 T T T IA ID 입력동력 - 출력동력 T ID CD BA IA CD BA sinγ sinβ 전달각 γ : 커플러와종동링크사잇각. 기구의최상상태 : 전달각이 90 직전또는직후. 토글 (toggle) 위치 : 기계적이득이극한값 ( 무한대 ) 가되는위상. 85

86 .0 Indices of Merit: Mechanical Advantage 압력각 (pressure angle) : 정합기어나캠 - 종동절기구에서이득지수로사용출력힘의방향과이출력힘이가해지는점의속도방향사이의예각. ( r θ θ θ sin ) ( r sin ) ( r sin ) cosθ) ( r cosθ) ( r cosθ) Jacobian의행렬식 : ( r r sinθ r sinθ rr r cosθ r cosθ sin ( θ θ ) 이행렬값이작아지면기계적이득도작아지며기구는힘전달, 운동전달, 제작오차에대한민감도등모든면에서기능이저하된다. 86

87 .0 Indices of Merit: Mechanical Advantage 기계적이득 예 1 순간중심 : 절링크장치 ( ) ( ) 1 m r r A in in out F F in out in 1 ( 1) ( ) r r in 1 out in out ( 1 ) ( 1 ) F ( MA..) lbf out Fout in 1 1 링크와 out in out 토글위치 이일직선이면, 분모가 m A : 대부분의경우바람직스럽지못함. stopper를두어진행을방해함. zero 87

88 .0 Indices of Merit: Mechanical Advantage 기계적이득 예 암반파쇄기 ν Fout rin in m A F r in 순간중심 out out r r in out ( ) ( ) ( ) : 1 1 r ( 1) m in ( 1) A r ( ) ( ) out 1 1 ( BO B' ) r sinγ ( AA' ) r sinν O m ( 1) ( ) A 1 r r in out r sinγ r sinν 전달각 크랭크와 γ 0 커플러 or 180 링크 과링크 링크 과링크 o o m A 가일직선 사이의각도 이일직선 0 ν 0 o or 180 ( 암반파쇄기 ) o m A 88

89 89.1 Centrodes 중심궤적 (centrode): 속도순간중심의연속적인위치 순간중심을형성하기위해서는 개의링크가필요 하나의순간중심에는 개의중심궤적이관련 고정중심궤적 (fixed centrode): 원래고정인링크 1 에투영된순간중심의궤적 이동중심궤적 (moving centrode): 커플러링크를일시적으로고정링크로전환했을때투영된순간중심의궤적

90 .1 Centrodes 순간중심궤적사이의구름접촉 구름접촉의순간점 하나의강체의다른물체에대한평면운동은하나의순간중심궤적의다른순간중심궤적위에서의구름운동과완전히일치한다. 90

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770>

<B4EBC7D0BCF6C7D02DBBEFB0A2C7D4BCF62E687770> 삼각함수. 삼각함수의덧셈정리 삼각함수의덧셈정리 삼각함수 sin (α + β ), cos (α + β ), tan (α + β ) 등을 α 또는 β 의삼각함수로나 타낼수있다. 각 α 와각 β 에대하여 α >0, β >0이고 0 α - β < β 를만족한다고가정하 자. 다른경우에도같은방법으로증명할수있다. 각 α 와각 β 에대하여 θ = α - β 라고놓자. 위의그림에서원점에서거리가