. 확률 obablty 사람의 두뇌는 확률 문제를 푸는데 적합하지 않다. es Dacos 통계학 0반의 수강생은 0명이고 반의 수강생은 50명이다. 95점 이상을 받는 학생의 수가 50% 이상 일확률이더높은반은어느반인가? 0점을 받는 학생이 없을 확률이 더 높은 반 은어느반인가? obablty obablty. 네 가지 주요 개념 실험 (Expemet) (실험) 결과 (Sample Outcome) 표본 공간 (Sample Space) 사건 (Evet) obablty 3 실험(expemet)은 실행(u) 시 한가지의 결과(outcome)만 발생하는 과정 이며 실현된 결과(obsevato, sample pot) 를 실험의 결과(sample outcome)라고 한 다. 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합 을 표본공간(sample space)이라 한다. obablty 4 실험 Expemet 반복이 가능해야 한다. 한실험의결과는다른실험결과의영향 을 받지 않아야 한다. 최소한 이론적으로는 실험을 무한히 반복 할 수 있어야 한다. 각 실험의 결과들의 집합은 잘 정의되어 있어야 한다. obablty 5 결과(Sample Outcome)와 표본공간(Sample Space) 가능한 개별적인 실험 결과 s를 실험결과 혹은 결과(outcome)라 한다. 모든 결과의 집합을 표본공간(sample space)이라 하고 S로 표시한다. 각 결과는 표본공간의 한 요소이므로 s S 로 표시할 수 있다. obablty 6
사건 Evet 개별적인 결과 s, 전체 표본공간 S, 영공간 (ull space; 선형대수의 ull space와는 다름) 중에서 일부 혹은 전부를 골라서 모 아 놓은 것을 사건이라고 한다. 실험의 결과로 어떤 사건에 포함된 결과가 나타났을 경우 그 사건이 발생했다(The evet occus) 고 한다. obablty 7 동전 던지기 동전을 두 번 던질 경우 가능한 결과는 HH, HT, TH, TT 이고 이 결과들은 표본공간을 구성한다. S{ HH, HT, TH, TT}. 사건 를 앞면이 나온 경우로 정의하면 {HH,HT,TH}가 된다. obablty 8 집합의 연산 합집합 uo 집합들의 합: sum of sets, 合 集 合 교집합 tesecto 집합들의 공통부분: tesecto, 交 集 合 여집합(보집합) complemets complemetay set, 餘 集 合 obablty 9 와 B가 S위에 정의된 사건들인 경우 와 B의 교집합은 B로 표시하며 이 사 건의 결과는 와 B 모두에 포함되어있어 야 한다. 와 B의 합집합은 B로 표시하며 이 사 건의 결과는 와 B 중 적어도 하나의 사 건에는 포함되어있어야 한다. obablty 0 예 : 회로가 불완전하다. 는 x +x8을 만족시키는 x의 집합이다. B는 x +x6을 만족시키는 x의 집합이다. x +x-8(x+4)(x-), {-4,} x +x-6(x+3)(x-), B{-3,} 3 4 B{}, B{-4,-3,} obablty obablty
각각의 개폐기가 실패할 사건을 라 하면 이 회로가 불완전하기 위해선 각 경로가 와 3 4가 동시에 발생해야 한 다. 따라서 전체 회로가 불완전한 사건은 ( ) (3 4)로 표시할 수 있다 상호 배타적, 여집합 두개의사건와B가동일한결과를포함 하고 있지 않다면 이 두 사건은 상호배타 적(mutually exclusve)이라고 한다. B 의 여집합은 {s S s }으로 에 포 함되지 않은 결과들의 집합이다. obablty 3 obablty 4 Ve Dagams B Ve Dagams B B B S S obablty 5 obablty 6 Ve Dagams Ve Dagams B B S S obablty 7 obablty 8 3
Ve Dagams ( B ) ( B). 확률함수 obablty Fucto 확률에 대한 대부분의 수학적인 정의나 결 과들은 최근에 완성되었지만 9세기 이전 의 논의들과 크게 다르지 않다. B S 확률은 어떤 사건이 발생할지 확실히 모르 는 경우 일어날 가능성을 숫자로 표시한 것이다. 확률이 0인 사건은 일어날 수 없으 며 확률이 인 사건은 반드시 일어난다. obablty 9 obablty 0 확률함수의 정의 확률함수 ( )는 각 사건에 확률을 부여하 는 함수이다. :S [0,] 사건 에 대한 확률함수는 ()로 쓴다. 확률함수는 각 사건의 확률을 결정하는 함 수로서 보통 세 가지 방법으로 정의한다. obablty 고전적 확률 lasscal obablty 어떤 실험에서 m개의 서로 다른 실험 결과 가 모두 동일한 가능성으로 발생한다면 각 각의 결과가 나올 확률은 /m이고 실험을 번 반복했을 경우 평균적으로 어떤 특정 한 결과가 나오는 횟수는 /m이다. 동전을 한번 던졌을 경우 앞면이 나올 경 우를사건라고하면()/가된다. obablty 고전적 확률 lasscal obablty 문제점: 가능한 각 실험 결과가 일어날 확 률이 동일하지 않을 경우나 표본 공간이 무한한 경우 사용할 수 없다. 논리적이고 경험에 근거하지 않으므로 선 험적 확률(a po pobablty)이라고 부른 다. 실증적 확률 Empcal obablty Rchad vo Mses (883-953) 앞에서 언급한 실험을 무한히 반복해서 각 결과의 빈도가 수렴하면 그 극한 값을 실 증적 확률이라고 한다. 번의 실험에서 어떤 결과가 m번 발생했 을경우m/을빈도(fequecy)라한다. obablty 3 obablty 4 4
실증적 확률 Empcal obablty 문제점: 무한한 반복은 불가능하므로 lm m/의적당한근사치를얻기위해실험을 몇번반복해야하는가에대한답이없다. 우리는 앞으로 실제 확률과 m/가 어떻게 다른지를 통계적으로 분석하는 방법을 배 운다. obablty 5 주관적 확률 Subjectve obablty 객관적 확률의 문제점 삼돌이와 삼순이가 결혼할 확률은? 실험이 불가능할 경우 어떤 사건이 일어날 확 률은 알 수 없다. 많은 경우 개인의 의사결정은 주관적 확률에 근거한다. 동일한 사건에 대해 사람들은 다른 확률을 부여할수있다. obablty 6 공리적 확률 xomatc obablty de Kolmogoov (933) Foudatos of the Theoy of obablty 앞의 정의들은 실제 사건의 확률에 대한 것이고 통계학은 확률함수가 만족해야 할 기본적인 성질을 정의하고 그 성질을 만족 하는 확률함수를 연구하는 수학의 한 분야 이다. obablty 7 표본 결과의 수가 유한한 경우 xom : 를 S위에 정의된 사건이라고 하면 () 0 xom : (S) xom 3: 와 B가 S위에 정의된 상호 배 타적인 사건이라면 ( B)()+(B) obablty 8 참고: S가 무한한 경우 xom 4:,, 3, 을 S위에 정의된 사건이라고 하자. 만일 모든 j에 대해 j 라면 ( ) obablty 9 확률함수 의 기본적 성질. ( )-(). (S)( )()+( ). ( )0. ( )-(S)0 3. 만약 B라면 () (B). B (B ), (B)() (B ), 4. 모든 사건 에 대해, (). S 이므로성질3에의해. obablty 30 5
5.,, 3, 을 S위에 정의된 사건이 라고 하자. 만일 모든 j에 대해 j 라면 ( ) 6. ( B)()+(B)-( B) ()+ (B)[( B ) + (B ) + ( B)] + ( B) 어떤 정의를 따르던 Kolmogoov의 공리를 만족하지 않는 경우에는 체계적 분석이 불 가능하다. 다음 장에서 배울 확률변수 위에 정의된 확률함수의 경우 () 0, (S) 만 만 족하면 모든 공리를 만족한다. obablty 3 obablty 3 표본 공간의 성질 이산( 離 散 ) 확률함수(dscete pobablty fucto)과 연속 확률함수(cotuous pobablty fucto) 표본공간에 포함된 결과의 수에 따라 구분 한다. 이산과 연속 결과의 숫자가 유한(fte)하거나 무한하 지만 셀 수 있는(coutably fte) 경우 표본공간은 이산(dscete)적이라고 한다. 셀 수 없는 많은(ucoutably fte) 결 과로 이루어진 표본공간을 연속적 (cotuous)이라 한다. obablty 33 obablty 34, 이산확률함수 유한하거나, 무한하지만 셀 수 있는 결과 들로 구성된 표본공간 위에 정의된 함수가 다음의 성질을 만족하는 확률함수를 이산 확률함수라고 한다. () s 0 all s S () s ( ) ( s) all s 예 어떤 실험 결과가 s, s 오직 두 가지인 경 우어떤실수함수(s ), (s )가 확률함수 가되기위해서는 (s ) 0, (s ) 0 (s ) + (s ) obablty 35 obablty 36 6
outably may outcomes 앞면이 나올 확률이 p>0 인 동전을 반복해 서 던졌을 경우, 홀수 번째에 처음으로 앞 면이나올사건을라하고k번째에처음 으로 앞면이 나오는 사건을 k라고 하면 ( ) ( k ) + ( k 3) + ( k 5) + 4 p + ( p) p + ( p) p + p p( p) ( p) p 0 obablty 37, 연속확률함수 셀 수 없는 많은(ucoutably fte) 결 과로 이루어진 표본공간 위에 정의된 실수 함수 중 다음의 성질을 만족하는 확률함수 를 연속 확률함수라 한다. f ( y) 0 S f ( y) dy ( ) f ( y) dy obablty 38 f ( y) ( ) f ( y) dy ( ) 주의 f y 는 결과 y가 일어날 확률이 아니다. ()는 의 사건 에 대한 적분 값이다. f ( y) obablty 39 연속적인 표본공간에서 일반적으로 어떤 특정한 결과가 나타날 확률은 0이다. ( y' ) ( ) f ( y) y' f ( y) dy 0 결과는 y' obablty 40 dy 0 ( ) ( ) 일반적으로 f y < 이며 f y 는 보다큰값을가질수도있다. 예외도 있다. Y를 어떤 가전제품의 수명이 라고 하면 보통 (Y0)>0 이다. 조건부 확률 odtoal obablty 사건 의 발생 확률을 계산할 때, 어떤 사 건 B가 사전에 발생했다면 이 추가적인 정 보를이용해사건의발생확률을보다 정확하게 계산할 수 있다. 기호( B)는B가발생했을경우의조 건부 확률 (codtoal pobablty of gve B)이라고 읽는다. obablty 4 obablty 4 7
{,6} B를 표본공간으로 생각한다 B 7 4 6 4 6 3 5 S B obablty 43 obablty 44 oke deck에서 ace를 뽑았다. 이 카드가 club일 확률은? ce는 damod, heat, spade, club의 네 종류가 있다. ce가 나올 확률은 4/5이고 club ace가 나올 확률은 /5이므로 ace 를 뽑았을 경우 club일 확률은 ¼가 된다. 4 / 5 / 5 / 4 obablty 45 조건부 확률의 계산 ( ) ( S ) S ( ) ( S ) ( ) ( B) B, ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) 0 obablty 46 여러 단계의 조건부 확률 ( B )의 계산 D B라고 하면 ( B)( B)(B)이므로 ( B ) ( D ) ( D ) ( D ) ( B) ( B) ( B) ( B ) ( ) obablty 47 무조건부 확률의 계산 사건이 발생할 확률을 원인 별로 고려하여 전체 확률을 계산한다. 각 사건과 관련된 사전정보들을 체계적으 로 정리할 수 있다. 전( 全 )확률, ucodtoal pobablty, total pobablty라고 부르기도 한다. obablty 48 8
무조건부 확률의 계산 분할 atto: 표본공간 S위에 정의된 사건들의 집합,,, 이 다음의 성질 을 만족하면 S의 분할이라고 한다. 5. 모든에대해( )>0. 모든 j에 대해 j 3 4 7 6 S 3. S obablty 49 obablty 50 B B 4 3 B S B ( ) ( B ) ( B ) ( B ) 5 6 7 S B ( B ) ( B ) ( B ) by depede ce ( B) ( B ) + ( B ) + + ( B ) ( B ) ( ) + + ( B ) ( ) ( B) ( B ) ( ) obablty 5 obablty 5 항아리+항아리 항아리에개의빨강공과4개의흰공 이 들어있다. 항아리 에는 3개의 빨강 공과 개의 흰 공이 들어 있다. 항아리 에서 하나의 공을 항아리 로 옮 겼을 경우 항아리 에서 뽑은 공이 빨강일 확률은? obablty 53 항아리에서뽑은공이빨강일경우, 항아 리 에서 빨강 공을 뽑을 확률과 항아리에서뽑은공이흰색일경우, 항아 리 에서 빨강 공을 뽑을 확률을 따로 계산 하여 최종 확률을 계산한다. obablty 54 9
항아리에서뽑은공이빨강일사건을B 라하고 옮긴 공이 빨강일 사건과 흰색일 사건을 각각, w 라고 하자. ( B ) 4/5, ( ) / 6 ( B ) 3/ 5, ( ) 4/ 6 w w B B B w w ( B) ( B ) ( ) + ( B ) ( ) w w / 3 obablty 55 obablty 56 ()/6 (w)4/6 What you do t kow, does ot matte oke deck을 잘 섞은 후, 제일 위의 카드 를 빼버렸다. 이 경우 두 번째 카드가 ace 일확률은? (B)4/5 [(B )] ( B) (B )/5 [(B )] (B)3/5 [(B w)] 4 4 3 + 6 5 6 5 (B )/5 [(B w)] obablty 57 3 F, F N, S ( S ) ( S F ) ( F ) + ( S F ) ( F ) N N 3 5 4 5 + 4 5 48 5 obablty 58 4 5 위에서 구한 확률은 두 번째 카드가 ace일 확률과 동일하다. 이는 일반적인 원리로, 앞서 벌어진 사건 의 실체가 알려지지 않은 경우, 앞선 사건 은 이후에 벌어지는 사건의 확률에 아무런 영향을 주지 못한다. obablty 59 Tck 항아리에 세 개의 chp이 들어 있다. 하나 는 양쪽이 빨강, 또 하나는 양쪽이 파랑, 나머지 하나는 한쪽이 빨강, 다른 쪽이 파 랑이다. 하나의chp을뽑아책상위에올려놓았 을 때 윗면이 빨강이면 바닥 역시 빨강일 확률은? obablty 60 0
T, B,, bb, b ( B T ) ( B T ) ( T ) ( B T ) ( both ed ) / 3 ( ) ( T ) ( ) + ( T bb ) ( bb ) + ( T ) ( ) T ( B T ) b b + 0 + 3 3 3 ( B T ) / 3 ( T ) / 3 obablty 6 obablty 6 빨강이 있는 chp이 개이므로 ½이란 답 을 생각해 볼 수 있다. 하지만 이 값은 빨 강 파랑 chp을 꺼냈을 경우, 파랑이 위로 올 확률을 계산하지 않은 값이다. 항상빨강이위로오게놓는경우에는경 우에는 확률이 ½가 된다. 빨강이 위로 오는 경우의 수는 3가지이고 이 중 아래까지 빨강일 경우는 가지이다. obablty 63 사전 정보의 필요성 통계학 수업을 수강 중인 어떤 세 학생 의 키는 66cm이고 몸무게는 45kg이다. 서강대 남학생이 이런 체형을 가질 확률은 %, 여학생의 경우는 5%이다. 위에서 언급한 학생이 남학생일 확률은? obablty 64 Bayes theoem { },, 이 S의 분할이라고 하면 모 든 j 에 대해서 ( B) j ( B ) ( ) j ( B ) ( ) j ( j B) ( ) ( ) ( ) ( B ) ( ) ( j B) B ( j) ( j) ( ) ( ) ( ) ( ) B B B B j j j B B ( ) obablty 65 obablty 66
이 정리는 8년 Laplace에 의해 알려 지게되었지만이름은763년에이미그 결과를 지적한 Reveet Thomas Bayes 를 따라 지어졌다. 그 형태는 조건부 확률 의 단순한 변형에 불과하지만 현상에 대 한 인식에 차이를 보이며 이를 기반으로 Bayesas 과 o-bayesas 를 구분 한다. obablty 67 ( B) ( B) j j ( B) ( B ) ( ) ( B) 이 식은 사건 B가 일어났을 경우 j라는 원 인으로 일어날 확률 j B 이다. ( ) Bayes 정리를 이용하려면 를 알아야 하는데 많은 경우 이에 대한 정보가 없다. 많은 경우 개인적 경험이나 이론을 통해 구한 값을 사용한다. obablty 68 j ( j ) j Moty Hall oblem 상황 첫 번째 문을 선택하였다. Moty는세번째문을열어상품이없음을 보여 주었다. 첫 번째 문을 고집할 경우와 두 번째 문으 로 선택을 바꾸었을 경우 상품을 탈 확률 이 어떻게 다른지 계산해 보자. obablty 69 obablty 7 번째 문 뒤에 상품이 있을 사건을, Moty가 번째 문을 여는 사건을 O 라하면 ( ) / 3, ( ) / 3, ( ) / 3 3 ( ) /, ( O ), ( O ) 0 O3 3 3 3 ( O ) 3 ( O3 ) ( ) ( O3 ) ( ) + ( O3 ) ( ) + ( O3 3 ) ( 3 ) ()( / 3) ( / )( / 3) + ( / 3) + 0 3 obablty 76 Hoolga과 olygaph test 축구장에서 난동이 일어나 00명의 용의 자가 체포되었다. 폐쇄회로를 분석한 결과 사고엔 명이 관련된 것으로 확인되었지만 신상확인은 불가능한 상태이다. 용의자들에게 거짓말탐지기를 이용해 범 인을 찾아내려고 한다. obablty 77
거짓말 탐지기를 사용할 경우 거짓말을 할 경우 90%의 정확도로 잡아낼 수 있지만 진실을 말할 경우에도 %의 확률로 거짓 말을 한 것으로 판정한다. 용의자들에게 거짓말 탐지기를 사용할 경 우 거짓말 탐지기 검사로 유죄 판결을 받 은 사람이 무죄일 확률은? 는 용의자가 무죄, g는 용의자가 유죄 B는 거짓말 탐지기 시험을 거쳐 유죄로 판 명되는 사건이라고 하자. (B g)0.90 (B )0.98 혹은 (B )0.0 (g)0., ()0.88 obablty 78 obablty 79 ( B) ( B ) ( ) ( B ) ( ) + ( B ) ( ) ( 0.0)( 88 /00) ( 0.90)( /00) + ( 0.0)( 88 /00) 0.4 g g 실제 범인들의 숫자가 많을수록 실제로 무 죄인 사람이 무죄로 밝혀질 확률이 높다. 하지만 범인의 숫자가 작아질수록 무죄인 사람이 유죄로 나올 확률이 높아진다. ( B) ( 0.0)( 50 /00) ( 0.90)( 50 /00) + ( 0.0)( 50 /00) 0.0 ( B) ( 0.0)( 99 /00) ( 0.90)( /00) + ( 0.0)( 99 /00) 0.69 obablty 80 obablty 8 독립성 Idepedece 두개의사건와B가있을때, 만일 ( B)() (B) 이면 와 B는 독립적이라고 한다. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B B B B ( ) ( ) ( ) B B obablty 8 독립성을 이용한 계산 어떤 회사의 한 부서가 단체 생명 보험을 들었다. 세 명의 부서원이 050년 까지 살 아남을 확률은 각각 0.7, 0.9, 0.3이다. 이 사망 확률은 서로 독립적이라고 할 때 050년 이전에 정확히 한 명이 사망할 확 률은 얼마인가? obablty 83 3
사건을 는 가 050년까지 생존할 확률 E ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( E) ( ) + ( ) + ( ) 3 3 3 ( E) ( ) ( ) ( 3 ) + ( ) ( ) ( 3 ) + ( ) ( ) ( ) ( E) ( 0.7)( 0.9)( 0.7) + ( 0.7)( 0.)( 0.3) + ( 0.3)( 0.9)( 0.3) 0. 543 obablty 84 3 eople vs. olls 964년 L에서 꽁지머리의 금발 소녀가 한 여성 의 지갑을 훔쳐 콧수염과 턱수염을 기른 흑인 남 자가 운전하는 노랑색 자동차를 타고 도주하였 다. 경찰은 노랑색 자동차를 가진 콧수염과 턱수염 을기른흑인남자를잘아는금발꽁지머리여 자 Jaet olls라는 여자를 체포였다. obablty 85 물증은 없는 상황이었지만 검사는 통계 자료를 이용한 정황 증거로 Ms. olls의 유죄를 주장하 였다. 특성 노란색 자동차 콧수염 남자 꽁지머리 여자 금발 여자 턱수염을 한 흑인 차를 타고 다니는 다른 인종 couple 확률 /0 /4 /0 /3 /0 /000 obablty 86 검사는 이 여섯 개의 숫자를 모두 곱해 임 의의 couple이 이 조건을 만족시킬 확률은 백만 분의 이라고 주장하였다. 이 주장은 배심원들에게 받아들여져 배심 원들은 급 절도죄 평결을 내렸다. 이후 alfoa주 대법원은 이 판결이 애 매한 통계적 방법에 근거한 것으로 판단 해 alfoa주 고등법원으로 돌려 보냈다. obablty 87 반복되는 독립적 시행 하나의 실험이 다수의 하위 실험 (subexpemet)로 이루어진 경우 하위 실험은 시행(tal)이라고 한다. 시행이 독립적으로 이루어지는 경우 ( B )() (B) obablty 88 연타수안타 한국 프로 야구 연타수 안타 기록은 87년 5월 0일 과 5월 4일 사이에 삼성 유중일 선수가 세운 연속 안타이다. 한국 프로야구 최고의 타율은 98년 백 인천 선수의 0.4이다. 98년 어느 특정 한 날에서 시작해서 백인천 선수가 같은 기록을 세울 수 있었던 확률은? obablty 89 4
각 타석에서 안타를 칠 확률이 동일하다고 가정하고 번째 타석에서 안타를 칠 확률을 H라고 하면, ( 연속안타) ( H H H) ( H) ( H ) ( H) ( 0.4) 0. 00005806 obablty 90 Bthday oblem k명의 사람이 모였을 경우 최소한 두 명의 생일이 같을 확률은 얼마인가? 윤년을 제외하면 k명에게 생일을 배정하는 방법은 365 k 가지이다. 를 두 사람이 같은 날 태어난 사건으로 정의하면 사건 가 포함된 사건의 수 ( ) k 365 obablty 9 이 계산은 자체로는 아주 복잡하지만 명 이상의 생일이 같은 사건과 모두 생일이 다른 사건이 상호 배타적이란 사실을 이용 하면 쉽게 풀 수 있다. k 365 365 364 ( ) ( 365 k + ) k 365 부록 경우의 수를 세는 방법과 공식 복원 추출과 비복원 추출의 차이에 주의 k () 5 0.53 0.476 3 0.507 40 0.89 50 0.970 70 0.999 obablty 9 obablty 94 선험적 확률과 경우의 수 어떤 실험에서 모든 사건이 발생할 확률이 동일한 경우에, 각 사건의 확률은 결과로 나타날수있는모든개개의사건의수의 역수가 된다. 결과로 나타날 수 있는 개개의 사건의 수 를 경우의 수라고 부른다. 경우의 수와 겉보기 경우의 수 경우의 수는 모든 가능한 결과들의 숫자를 의미한다. 이에 반해 겉보기 경우의 수는 같아 보이는 결과들을 하나로 취급할 경 우 결과 들의 숫자를 의미한다. 동전 두 개를 던졌을 경우, 경우의 수는 4 이고 겉보기 수는 3이다. obablty 95 obablty 96 5
지난 수백 년 동안 대부분의 사람들은 주 사위 세 개를 던졌을 때 나타날 수 있는 결 과를 6가지가 아니라 56가지라고 믿었 다. 눈의 합이 9와 0인 결과의 겉보기 경우의 수는 같지만 실제 경우의 수는 다르다. (9)5/6, (0)7/6 우리 집 아이들 서강대 경제학과 이모 교수는 아이가 둘이 다. 이 두 아이 모두 여자일 확률은 얼마인 가? 한 아이는 딸이다. 모두 여자일 확률은? 작은 아이는 딸이다. 모두 여자일 확률은? obablty 97 obablty 98 순열 조합론 combatocs 순열 조합론의 응용 순열 조합론은 배열과 순서에 관련된 문제 를다루는수학의한분야로독립적인연 구는 Lebz에 의해 처음으로 이루어 졌다. (Dssetato de ate combatoa, 966) 기본적으로 네 가지의 범주로 구분할 수 이지만 실제 응용에서 그 구분은 쉽지 않 다. obablty 99 초기 통계학은 주로 수열 조합론과 관련된 확률을 계산하는 방법에 관련된 것이었다. 주사위나 카드 놀이에서 가능한 경우의 수 를 세는데 사용되는 방법이다. 모든 결과가 일어날 확률이 동일한 경우에 는 경우의 수에 근거한 /m모형으로 각 사 건의 확률 계산을 할 수 있다. obablty 00 순(서)열(odeed sequece) 순서열 중 한가지는 각각 의 결과를 갖는 k개의 opeato을 차례로 시행했을 경우 나타나는 결과(sequece)들의 숫자이고 다른 하나인 순열(pemutato)은 주어진 결과들로 이루어진 집합에서 k개의 결과로 구성할수있는결과(sequece)들의가짓 수를 의미한다. obablty 0 복원추출과 비복원추출 첫 번째 경우는 복원(wth eplacemet) 추출을 할 경우의 순열로 볼 수 있다. 일반적인 순열(pemutato)이나 조합 (combato)의 경우는 비복원(wthout eplacemet) 추출을 가정한다. obablty 0 6
순열의 숫자: 곱의 법칙 각각의 독립된 시행의 결과를 순서대로 배 열하는 문제에서 가능한 배열의 총 숫자를 계산하는 방법이다. 라는 opeato이 m개의 다른 결과로 나 타날 수 있고 B가 개의 다른 결과로 나타 날 수 있는 경우 조합 (,B)의 가능한 결과 는m 개이다. Opeato m Opeato B obablty 03 obablty 04 동일한 opeato이 k번 반복되는 경우, 이 는 복원 순열(pemutato wth eplacemet)로볼수있으며경우의숫자 는 k 가된다. 순열 emutatos (다른 것들). 서로 다른 결과가 인 k개의 opeatos 이 독립적으로 시행되었을 경우 총 가능 한 순열의 숫자 (곱의 법칙). 개의 서로 다른 원소(elemets)로 이루 어진 집합에서 반복 없이 k개를 순서대로 뽑아낼 수 있는 결과의 총 가짓수 obablty 05 obablty 06 전부 각기 다른 원소들의 순열. 개의 서로 다른 원소(elemets)로 이루 어진 집합에서 반복 없이 k개를 순서를 지키녀 뽑을 경우 순열의 총 숫자는 k 로표시하고! k ( )( ) ( k + ) ( k)! obablty 07 전부 다르지는 않은 원소의 순열 개의원소중개의서로다른종류가있 고 각 종류의 개수가,,일 경우 개 로 이루어진 가능한 순열의 총 숫자는!!!! 이 된다. 여기서. obablty 08 7
N을 총 가능한 숫자라고 하면 각 결과에는 (만약 구분이 가능하면) 각각!!...! 개의 유사한 배열이 가능하다. 가 나 B 다 따라서 구분이 가능할 경우 N!!...! 가지 방법으로 나열할 수 있다. 하지만 이 숫자는!과 동일하므로 N!!!! obablty 0 obablty 09 다항 계수!/(!!...!)은 다항계수(multomal coeffcet)라고 부른다. ( x + x + + ) x 의 일반항은 다음과 같다.! x x x!!! 조합 combatos 고스톱을 할 경우 어떤 순서로 패가 들어 왔는지는 중요하지는 않다. 많은 경우 원소들의 모임에서 그 순서는 중요하지 않은 경우가 많다. 순서를 무시한 k개의 원소의 묶음을 크기 가 k인 조합(combato)이라고 부른다. 반복이 허락되지 않을 경우, 개의 서로 다 른대상에서크기k인조합의숫자는 k 혹은 으로 표시하고 k k k! k!( k )! obablty obablty 개에서 k개를 선택하는 방법을 이라 고 표시하자. k 각 조합은 k!의 다른 방법으로 순서를 결정 할 수 있으므로 총 가능한 순열의 숫자는 k! k 가된다. 실제로 개의 원소 중에서 k개를 선택하는 방법은! ( k)! 가지 이므로! k! k ( k)! obablty 3 이항 계수 는 이항 계수(bomal coeffcet)라 k 고 부른다. ( x + y) k k x y k k 0 obablty 4 8
다항계수와 이항계수 이항 계수는 다항 계수의 특수한 경우이다. ( x + x + + x ) 에서 인 경우 이항 계수가 된 다.! k k x x! x x x k ( k)!!!!! 종류가두가지뿐이므로한가지의숫자가정해 지면 다른 것의 숫자는 자동적으로 결정된다. obablty 5 0 3 0 ascal s Tagle 0 3 + + k k k 3 3 3... 4... 6 obablty 6 3 3 조합 확률 (combatoal pobablty) 많은 경우 모든 가능한 경우를 아는 것 보 다는 어떤 조합이 발생할 수 있는 확률이 더 중요한 문제가 된다. 초기 ascal이나 Femat와 같은 수학자들 의공헌은이러한고전적인m/모형을통 해 이루어졌다. 로또 당첨 확률 지금 판매되는 로또는 부터 45까지의 숫 자중에자신이원하는6개의숫자를임의 로 고르는 '645' 방식이다. 등 당첨확률 은? 45 6 45! 6!39! 45 44 40 8,45,060 6 5 obablty 7 obablty 8 원숭이와 Hamlet 다음의 자모가 쓰여진 카드를 돌이 갓 지난 아이 에게 주었다. ㄱㄱㄱㄲㄴㄴㄴㄴㄷㄷㄷㄹㄹㅁㅁㅂ ㅅㅆㅆㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅈㅈㅏㅏㅏㅏㅏ ㅐㅓㅓㅓㅓㅔㅗㅗㅜㅡㅣㅣㅣㅣ 아이가 이 카드들을 무작위로 배열했을 경우 만 들 수 있는 문장 의 개수는 얼마인가? ㄱ 3, ㄲ, ㄴ 4, ㄷ 3, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅆ, ㅇ 6, ㅈ, ㅏ 5, ㅐ, ㅓ 4, ㅔ, ㅗ, ㅜ, ㅡ, ㅣ 4, 총 46장 총가짓수는 46! 3!!4!3!!!!!!6!!5!!4!!!!!4! 7.99834 0 45 obablty 9 obablty 0 9