유한차분법을 이용한 다중 기초자산 주가연계증권 가격결정

유한차분법을 이용한 다중 기초자산 주가연계증권 가격결정 이인범 *, 장우진 ** * 서울대학교 산업공학과 석사과정, 서울시 관악구 대학동 서울대학교 공과대학 39-315 **서울대학교 산업공학과 부교수, 서울시 관악구 대학동 서울대학교 공과대학 39-305 Abstract 주가연계증권은 국내에서 발행되는 대표적인 주식 연계 구조화 증권으로 2003 년부터 발행되기 시작했으며 발행금액이 급격히 증가하고 있다. 일반적으로 가장 많이 발행되는 주가연계증권의 형태는 두 개의 기초자산을 갖는 조기상환형 이다. 여기에 조기상환 배리어가 점점 하락하는 스텝다운형, 만기일 전 상방 배리어에 도달하면 낙- 아웃되는 하이파이브형, 그리고 원금보장 형태에 따라 종류가 나뉘는 등 투자자의 기호 충족을 위해 매우 다양한 형태의 주가연계증권이 발행되고 있다. 주가연계증권의 이론가격 계산을 위해서는 시뮬레이션과 편미분방정식의 유한차분법을 고려 해 볼 수 있다. 시뮬레이션 방법은 계산이 간단하며 다중 기초자산을 갖는 상품의 가격 계산시 효율이 뛰어난 장점이 있다. 유한차분법은 민감도 계산에 있어서는 더 정확한 값을 구할 수 있으나 2 차원 이상의 편미분방정식을 갖는 문제에서는 계산 효율이 급격이 떨어지는 문제가 발생한다. 이에 본 연구에서는 두 개의 기초자산을 갖는 주가연계증권의 가격을 유한차분법으로 계산하였다. 특히 교차미분항을 갖는 편미분방정식에 적합한 OSM 방법론을 적용하여 가격 및 민감도를 계산하였다. 또한 주가연계증권의 다양한 형태에 따른 가격 및 민감도 변화를 살펴보았다.

I. 서론 국내에서 주가연계증권의 발행규모가 지속적으로 증가하고 있는 금융상품이다. 주가 연계증권의 등장 이후 국내에서의 발행금액은 금격하게 증가하였는데 이는 투자자들의 다양 한 수요에 적합한 복잡한 구조의 상품 설계가 가능하다는 점 때문이다. 가장 안정적인 원금 보장형 상품으로부터 고수익을 추구하는 투자 자를 위해 원금 손실 가능성이 존재하지만 더 높은 이자를 지급하는 상품이 존재한다. 또한 대부분의 주가연계증권 상품이 조기상환 기회 를 제공하며 조기상환 차수가 증가함에 따라 배리어 수준이 점점 낮아지는 스텝다운형, 만 기전 어느 때라도 기초자산 가격이 일정 수준 을 넘어서면 조기상환 조건을 충족시키는 Hi- Five 형태와 같이 매우 다양상 상품이 실제로 출시되고 있다. 주가연계증권의 이론가는 투자자 입장 에서 투자의사결정의 중요한 판단 요인이 될 수 있고, 발행자 입장에서는 적절한 마진의 산 출 및 헷지운용에 있어 필수적이다. 따라서 이 론가 및 greek 계산을 위한 적절한 모형과 방 법론 선택이 필요하다. 먼저 2장에서는 일반적 인 옵션의 평가모형에 대해 살펴보고 3장에서 는 2장에서 살펴본 블랙숄즈 편미분방정식의 수치적 계산법을 알아본다. 4장에서는 예제상 품을 통해 계산된 주가연계증권의 이론가 및 greek을 분석하도록 한다. II. 평가모형 1. 단일자산 옵션 옵션 가격은 주가(S), 행사가격(K), 시 간(t), 변동성(σ), 무위험 이자율(r)에 대한 함 수이다. 이 모수들 중에 주가 S와 시간 t만이 변수이다. 따라서 옵션 가격을 V(S, t)로 나타 내기로 하자. 옵션 1개를 매수하고, 주식 Δ개 를 매도한 포트폴리오의 가치를 П라 하면, 주가는 다음과 같은 geometric Brownian Motion을 따른다고 가정한다. 시간이 t에서 t+dt로 변할 때, 포트폴리오 가 치의 변화는 옵션 가치의 변화와 기초자산 가 치의 변화에 의해 설명된다., Itô-Doeblin 공식에 의해,,,, 1 2, V z 는 V의 z에 대한 편미분을 나타내며 포트폴 리오 가치의 변화는 다음과 같다.,, 1 2, 1 여기서 추세항은 dt와 관련된 것이며, 확산항 은 ds에 관련된 항이다. 확산항은 포트폴리오 의 위험을 나타내고, 포트폴리오의 위험을 제 거하기 위해서는 만기 이전의 시점 t에서 기초 자산의 보유수량 Δ(t)를 다음과 같이 조정한다. t, St Δ(t)를 위와 같이 조정해주면(델타 헷징) 전체 포트폴리오의 위험은 제거되고, 무재정 조건 (No arbitrage condition)에 의해 무위험 포트 폴리오의 수익률은 무위험 이자율 r과 동일해 야 한다., 1 2, (1)식에 대입하여 정리하면,, 1 2,, 1 2,,, 0 2 (2)식은 Black-Scholes-Merton 편미분 방정 식 이며, 옵션의 만기 상환구조를 조건으로 편 미분 방정식의 해를 구하면 옵션의 가격결정 공식을 도출할 수 있다. 위 편미분 방정식을 도출하는 과정에 서 다음과 같은 가정들이 필요하다. 기초 자산의 움직임은 기하 브라운 운동을 따른다 무위험 이자율과 변동성은 상수이다. 기초 자산에서 지급되는 배당은 없다. 델타 헷징은 연속적으로 이루어진다. 거래 비용이 들지 않는다. 차익 거래 기회가 존재하지 않는다. 2. 다중자산 옵션 단일 기초자산에 대한 가치평가 모형 을 d개의 기초자산에 대한 모형으로 확장해 보 도록 한다. 각 자산 i는 다음의 기하 브라운 운 동을 따른다고 가정하자. 여기서 dx i 는 평균 E[dX i ]=0, 분산 E[dX i 2 ]=dt를 갖는 Wiener process의 증분을 나타낸다. 이러한 다중 자산 S 1,, S d 들과 시간 t에 대한 함수 V(S 1,, S d, t)를 가정하

면, Itô-Doeblin 공식에 의해, 1 2 다중자산 옵션 1개를 매수하고, 각각의 기초자 산을 Δ i 개씩 매도한 포트폴리오의 가치를 П라 하면,,,,, 포트폴리오 가치의 변화는 다음과 같다.,,, 1 2 단일자산의 경우와 마찬가지로, 각각의 기초자 산 i를 Δ t V S S,,S,t 만큼 보유하면 포 트폴리오의 위험이 제거되고 무위험 이자율 만 큼의 수익을 얻어야 한다. 정리하면, 1 2 0 특히 기초자산이 2개인 경우는, 1 2 III. 편미분 방정식의 수치해법 1 2 0 3 1. 격자를 이용한 이산화 편미분 방정식을 차분 방정식으로 이 산화 하면 편미분 방정식을 연립방정식 형태로 표현 할 수 있다. 이 연립방정식을 수치적으로 풀어서 편미분 방정식의 근사해를 구하는 것을 유한차분법이라 한다. 수치적으로 근사값을 구하기 위해서는 정의역을 유한한 범위로 한정해야 한다. 기초 자산 S와 시간 t에 대하여 한 구간의 크기를 각각 δs, δt라 하면 각 격자점에서의 값은 다음 과 같다. 이때 시간 t의 상한은 옵션의 만기 T이며 기초 자산인 주식의 가격이 취할 수 있는 범위는 무 한대이나 이 경우 충분히 큰 값으로 대치하여 계산하게 된다. 이렇게 전체 정의역을 이산화 하여 격자를 생성하여 각 격자점에서의 옵션 가격을 V 0 i I, 0 k K로 표현한다. 이 는 i번째 주가 격자와 k번째 시간 격자가 만나 는 점 에서의 옵션 가격을 의미한다. 2. 차분근사(difference approximation) 기초자산의 가격이 S일 때 tδt시점 에서의 옵션 가격을 태일러 전개하면,,,, 위 식에 각 격자점의 값을 대입하면, 이를 정리하여 쓰면 다음과 같은 δt의 정확 도를 갖는 차분근사식을 얻게 된다., 같은 방법으로 기초자산 S에 대한 차분근사식 을 구할 수 있다.,, 2 각각 전진차분근사, 후진차분근사, 중심차분근 사 라고 하며 중심차분근사의 경우 δt 의 정확도를 갖기 때문에 더 정확한 근사값을 계 산할 수 있다. 기초자산 S의 2차미분에 대한 다음과 같은 차분근사식을 구할 수 있다., 2 3. 초기조건과 경계조건 편미분방정식을 유한차분법을 이용하 여 수치해를 구하기 위해서는 정의역 구간 내 경계값들에 대한 정의가 필요하다. 옵션의 경 우 만기시점 T에서의 옵션 가치는 옵션의 payoff가 되므로 초기조건은 옵션의 payoff 값 이 된다. 또한 각 시점에서 기초자산의 값 S0,SIδS에 대한 경계조건이 필요하다. 콜 옵션의 경우 S=0일 때 옵션의 가치가 0이므로 경계조건은 V 0이 된다. 기초자산의 값이 클 경우 옵션의 payoff는 선형에 가깝기 때문 에 다음과 같이 경계조건을 표현할 수 있다., 0 이를 차분근사식으로 표현하면 2 대부분의 상품에 위 경계조건을 적용할 수 있 다. 3. 유한차분법

유한차분법을 이용한 편미분 방정식의 풀이 방법은 크게 양유한차분법(explicit FDM), 음유한차분법(implicit FDM), Crank-Nikolson 법 으로 나눌 수 있다. 양유한차분법은 편차분방정식을 이용 해서 어떤 시점에서의 해를 그 이전 시점에서 해들의 명시적 형태인 점화식으로 나타내는 것 이다. 양유한차분법의 단점은 시간간격을 충분 히 작게 하지 않으면 좋은 결과를 얻을 수 없 다는 것이다. 이러한 약점을 극복하기 위해서 음유한차분법을 사용할 수 있다. 음유한차분법 은 차분방정식을 연립방정식으로 간주하고 이 를 푸는 것이다. 음유한차분법을 이용해 블랙 숄즈 방정식 (2)에 대한 수치해를 구하는 과정 에 대해 알아본다. 간단한 표기를 위해 다음의 일반화된 형태의 방정식을 사용한다.,,, 0 (4) 시점 k에 대한 1차편미분은 전진차분근사를 사용하고, 기초자산에 대한 델타와 감마는 중 심차분근사를 사용하여 (4)를 차분방정식으로 나타낼 수 있다. 2 2 0 5 (5)를 정리하면 1 6 1 2 2 1 2, 방정식 (6)은 i0, ii일 때 성립하지 않으며 경계조건에 의해 나머지 두 방정식이 구해진다. (6 )를 행렬 형태로 나타내면, A 1B C 0 A 1B. 0. 0........ V V V V.......... V I V I V I V I 0......... 0. 1B I A I C I 0 1B I C I 위 행렬은 Ax B 형태이며 행렬 A의 차수는 I 1 I1이다. A의 첫번째 열과 마지막 열을 우변으로 넘겨 I 1 I1의 정방 행 렬을 만들면 역행렬을 구하여 k1시점의 옵 션 가치를 계산 할 수 있다. 이때 행렬의 크기 가 커지면 역행렬을 직접 계산하는데 한계가 있다. 따라서 LU decomposition, SOR(successive over-relaxation), 토마스 알 고리즘 등의 수치적 방법을 이용한 계산이 필 요하다. 4. 다중 기초자산 옵션에 대한 유한차분법 가장 많이 발행되는 형태의 주가연계 증권으로는 두 개의 기초자산의 움직임에 따라 상환액이 결정되는 종류의 상품이 있다. 다중 기초자산을 갖는 옵션의 가격을 계산하기 위해 서는 블랙숄즈 방정식 (3)을 계산해야 되는데 단일 기초자산의 경우와 마찬가지로 유한차분 법을 이용해 계산 가능하다. 특히 교차미분항 V 를 처리함에 있어 신중한 고려가 필요하다. S 다중 기초자산 옵션을 음유한차분법으로 계산 하는 알고리즘은 ADI(alternating direction implicit), Hopscotch method, OSM(operator splitting method)와 같은 여러 방법이 존재한 다. 이중 결과값의 오실레이션이 적다고 알려 진 OSM 방법을 이용한 풀이법을 선택한다. Fractional step 방법이라 불리는 operator splitting의 기본 아이디어는 다음과 같다. 다음의 미분방정식을 가정하자. 0 연산자 A 은 x방향에 대한 이산화를 의미하며 A 는 y방향에 대한 이산화를 의미하는 연산자 이다. 시간구간 Δt에 대해 한 단계의 해를 구 할 때 두 단계로 나누어 구하며 각 단계는 오 직 하나의 연산자만을 포함한다. 첫 번째 단계 는 1 st step 2 nd step U t 는 해 Ut 의 근사값이 된다. OSM방법을 편미분방정식 (3)에 대입하면 다음의 결과를 얻는다. 1 st step

1 2 1 2, 1, 1 2 1 2,, 1 4,,,, 2 nd step 1 2 1 2, 1, 1 2 1 2,, 1 4,,,, IV. 주가연계증권 이론가 계산 1. 예제상품 각종 지수와 주식을 기초자산으로 하는 주 가연계증권의 발행이 많이 이뤄지고 있으며 대 표적인 투자수단으로 자리잡고 있다. 만기 이 전에 특정 조건 충족시 조기상환 기회를 제공 하는 형태의 상품이 대부분을 차지하고 있다. 특히 다양한 투자자의 요구에 부응하기 위해 복잡한 형태의 상품이 개발되고 있다. 원금보 장 유무를 달리하기도 하며 knock-out 배리어 를 추가해 조기상환 평가일 전이라도 언제든 knock-out 배리어를 hitting하면 조기상환 조 건이 충족되는 형태를 Hi-Five형 ELS라 한다. 또한 조기상환 차수가 늘어날수록 배리어 수준 이 점점 하향되는 형태를 스텝다운형 이라 한 다. 본 연구에서 구현할 예제 상품은 두 개의 기초자산을 가지며 원금 손실의 가능성이 존재 하고, 스텝다운형과 Hi-Five조건을 모두 갖는 상품에 대한 가격을 유한차분법을 이용해 계산 하였다. 계산에 사용된 예제 상품은 다음과 같 다. 액면가격 100 기준가격 100 만기 3년 조기상환 정보 평가일 행사가격 이표금리 1차(6개월) 100% 4% 2차(12개 95% 8% Knock- In 조기상환 조건 월) 3차(18개 월) 4차(24개 월) 5차(30개 월) 90% 12% 85% 16% 80% 20% 기준가격의 70% 중간행사가격 이상의 경우 지정된 금리 지급 (1) 두 기초자산 모두 기준가격의 75% 이상이면 24%의 금리를 지급 만기상환 (2) 만기평가일 까지 기초자산 중 조건 하나라도 Knock-In가격보다 작은 적이 있는경우 원금손실 발생 <표1> 주가연계증권의 예제상품 2. 편미분방정식과 초기조건, 경계조건 (3)의 블랙숄즈 편미분 방정식을 이용 하며 경계조건은 S=0에서 V=0이고 S의 최대 값에서 감마를 0으로 하는 linear boundary condition을 사용한다. 초기조건으로는 만기시 수익에서 초기조건을 결정하며 Knock-In 배리 어를 Hitting한 경우와 그렇지 않은 경우로 나 누어 볼 수 있다. Knock-In 배리어를 처리하 기 위해서는 두 가지 계산이 필요하다. 하나는 Knock-In 배리어를 hitting한 경우의 가격이고 다른 하나는 구하고자 하는 ELS 가격이다. Knock-In 배리어를 hitting했다는 가정 하에 만기시 수익을 초기조건으로 설명하여 각 단계 마다 ELS가격을 계산하고, 만기 이전에 Knock-In Barrier를 hitting하지 않았다는 가 정하에서 계산한 값과 비교하여 주가가 Knock-In Barrier보다 작은 경우는 그 값을 hitting했다고 가정한 경우의 값으로 바꿔준다. 3. 계산결과 예제 상품에서 현재 시점에서 두 기초 자산의 가격이 모두 100이라 가정 하였으므로 격자 내 ELS 가격을 살펴보면 스텝다운형의 경우 87.9094로 나타났고 여기에 Hi-Five 구 조를 추가했을 때 가격은 91.1929로 계산되었 다. Hi-Five 구조는 투자자에게 유리한 조건으 로서 더 비싼 가격이 계산된 것은 당연한 결과 라 하겠다. 예제 상품의 액면가격은 100원으로 서 이론가와의 차이 만큼은 발행기관의 마진이 된다. 델타와 감마 greek값이 안정적으로 계산됨을 그래프를 통해 확인 할 수 있다. 이 는 주가연계증권의 이론값을 유한차분법으로

계산함에 있어 operator splitting method 방 법론의 선택이 적절함을 말해준다. Hi-Five 조 건을 추가한 경우 Knock-Out 배리어 부근에 서의 greek값의 변화가 매우 심하게 나타남을 확인 할 수 있다.주가가 배리어 값에 근접한 경우 조기상환의 유무가 판가름 되기 때문에 당연한 결과라 판단되며 직관과 일치한다. <그림4> 스텝다운형 감마2 <그림1> 스텝다운형 델타1 <그림5> 스텝다운형 만기일 payoff <그림2> 스텝다운형 델타2 <그림6> 스텝다운형 평가일 가격 <그림3> 스텝다운형 감마1

주가연계증권의 경우 기초자산의 가격이 상환 조건에 가까워짐에 따라 델타값이 엄청난 변화 를 보이게 되어 헷지운용이 매우 까다롭게 된 다. 따라서 주가연계증권의 적절한 헷지운용 방안에 대한 연구가 필요하다고 생각된다. 참고문헌 구본일, 엄영호, 지현준, 확률적 이자율 모형 하에서의 배리어 옵션 가격결정, 재무연구, 제 31호(2006) <그림7> Hi-Five형 델타1 김형태 선정훈, 주가연계증권(ELS)의 현황분 석과 활성화 방안, 이슈페이퍼 03-01, 한국증 권연구원, 2003.5 최병선, 계산재무론, 경문사, 2007 최병선, 금융파생상품의 수리적 배경, 경문사, 2004 Boyle, P. P. and Lau, S. H., Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method, The Journal of Derivatives, Vol.1(1994), pp. 6-14. <그림8> Hi-Five형 델타2 V. 결론 본 연구에서는 대표적인 투자상품으로 자리매김 한 주가연계증권(ELS)을 대상으로 유한차분법을 이용한 가치평가에 관해 살펴 보 았다. 특히 ELS를 발행하게 되면 발행자는 헷 지거래를 통해 투자자에게 수익을 돌려 주어야 하므로 정확한 greek값의 산출이 중요한 이슈 가 되며 이에 적합한 편미분방정식의 수치해법 인 유한차분법을 이용해 ELS의 가격 및 델타, 감마를 구하였다. 특히 다중기초자산을 갖는 경우 교차미분항의 존재는 결과값의 변동폭을 키울 수 있기 때문에 안정적인 결과를 산출한 다고 알려진 operator splitting method를 선 택하여 안정적인 결과가 계산됨을 확인할 수 있었다. 본 연구는 다음과 같은 한계점을 가지 고 있다. 첫째 이자율과 변동성이 일정하다는 가정 하에서 분석을 수행하였기 때문에 가정을 완화하여 이자율 및 변동성의 확률적 움직임을 반영한 추가적인 연구가 필요하다고 판단된다. 둘째로 주가연계증권의 발행 후 상환에 대비한 헷지 운용이 요구되지만 복잡한 구조를 갖는 Boyle, P. P. and Tian, Y., An Explicit Finite Difference Approach to the Pricing of Barrier Options, Applied Mathematical Finance, Vol. 5, 1998 Broadie, M., Glasserman, P., Kou, S., A continuity correction for discrete barrier options, Mathematical Finance 7, 1997. Broadie, M., Glasserman, P., Kou, S., Connecting discrete and continuous pathdependent options, Finance and Stochastics 3, 1999 Carr, P, Two extensions to barrier option valuation, Applied Mathematical Finance 2, 1995 D. J. Duffy, Finite Difference Methods in Financial Engineering, John Wiley & Sons Ltd, 1998 Domingo Tavella, Pricing Financial Instruments : The Finite Difference Methods, John Wiley & Sons, 2000

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