머 리 말
활동 1. 카드사와 할인점의 갈등 9 학생용 활동지 27 활동 2. 순수전략과 혼합전략 49 학생용 활동지 72 활동 3. 전략의 우월성 93 학생용 활동지 109 활동 4. 게임의 내쉬균형 126 학생용 활동지 148 활동 5. 보고서 발표 및 토론 175 183 1. 평가문제 2. 문항카드 형식 3. 수학일기 형식 4. 학생 교사 설문지 5. 산출물 평가지
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전개 단계 1단계 계획 수립하 기 2단계 지식 및 기능 습득 하기 활동명 카드사와 할인점의 갈등 - 확률과 기대값 게임의 표현과 혼합전략 전략의 우월성 주요 수업활동 단원소개 카드사와 할인점의 갈등 게임의 예 그래프 및 행렬의 정의 심화- 가위-바위-보게임 조별 탐구 주제 설정하기 관련자료 수집 방법 카드사와 할인점의 갈등 전략형게임의 표현(이론) 비스마르크해전(게임의 예) 배구의 전략(혼합전략의 필요) 순수전략과 혼합전략(이론) 심화-1차세계대전의 발발 수집한 자료 정리 및 주제 재검토. 다음시간까지 해야할 일 정하기. 카드사와 할인점. 강우월전략과 강열등전략(이론) 카드놀이 강열등전략의 제거(이론) 배구에서 강열등전략제거 심화-아브랑슈협곡전투 주요수업 형태 교사강의 모둠활동 전체토론 탐구 단계 예상 차시 60 모둠활동 안내 20 모둠활동 전체토론 50 조별발표 자료 수집 30 개인실습 개별피드백 모둠활동 개인실습 60 형식화한 게임검토 및 자료보완계획 모둠활동 자료 분석 20 3단계 수행 하기 내쉬 균형점 카드사와 할인점의 예측. 내쉬균형점.(이론) 내쉬균형점의 예 설정한 게임에서 전략의 우월성 발 표 및 보고서 계획 모둠활동 80 모둠활동 최종 마무 리 연구 결과 산출물 발표 모둠별 발표, 토론, 평가 모둠활동 발표 및 평가 80 160 평가 지식 및 개념 평가(지필) 학생설문지 교사설문지(프로그램평가) 산출물 평가 평가 방법 개념 이해에 대한 지필 고사 설문지통한 교사의 수업평가 수업진행에 대한 평가 보고서 및 산출물 평가 - 5 -
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학생은 확률과 기대값을 계산할 수 있다. 학생은 행렬의 정의를 알 수 있다. 학생은 게임이론의 역할을 알 수 있다. 교사용 학생용 카드사와 할인점의 갈등일지 필기도구, 활동지, 청색과 백색종이 쪽지, - 9 -
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4개 모두 백 4개 모두 청 2개 백 2개 청 모두 청 모두 백 3개 백 청 백 각 1억 각 -2억 1개 청 -3억 각 1억 청 백 1개 백 청 백 각 -1억 각 1억 3개 청 각 -1억 3억 - 14 -
[표 2-1]죄수의 딜레마 - 15 -
[그림 1-1]가위-바위-보게임을 하는 아이들 - 16 -
가위 1/18 0 0 가위(1/6) 바위 1/18-300 -100/6 보 1/18 100 100/18 가위 1/6 300 100/2 바위(1/2) 바위 1/6 0 0 보 1/6-200 -100/3 가위 1/9-100 -100/9 보(1/3) 바위 1/9 200 200/9 보 1/9 0 0-17 -
가위(p) 바위(q) 보(r) 가위 p/3 0 0 바위 p/3-300 -300p/3 보 p/3 100 100p/3 가위 q/3 300 300q/3 바위 q/3 0 0 보 q/3-200 -200q/3 가위 r/3-100 -100r/3 바위 r/3 200 200r/3 보 r/3 0 0-18 -
유 비 조 조 판 정 가 바 위 위 무 승 부 유 비 승 가 위 보 조 조 승 바 위 가 위 바 위 보 유 비 승 무 승 부 조 조 승 보 가 위 조 조 승 바 위 유 비 승 보 무 승 부 [그림 2]게임의 그래프 표현 - 19 -
- 20 -
열 행 - 21 -
문 제 1 유비 조조 확률 유비의 손실 기대값 가위 1/9 0 0 가위 바위 1/9 0 0 보 1/9 2 2/9 가위 1/9 10 10/9 바위 바위 1/9 0 0 보 1/9 0 0 가위 1/9 0 0 보 바위 1/9 5 5/9 보 1/9 0 0 문 제 2-22 -
유비(확률) 조조 확률 조조의 조조 유비의 유비의 계단 기대값 계단 기대값 가위(1/6) 1/18 0 0 0 0 가위(1/3) 바위(1/2) 1/6 10 10/6 0 0 보(1/3) 1/9 0 0 2 2/9 가위(1/6) 1/18 0 0 10 10/18 바위(1/3) 바위(1/2) 1/6 0 0 0 0 보(1/3) 1/9 5 5/9 0 0 가위(1/6) 1/18 2 2/9 0 0 보(1/3) 바위(1/2) 1/6 0 0 5 5/6 보(1/3) 1/9 0 0 0 0-23 -
y 1 t 1 x 문 제 3 문 제 4-24 -
조조 유비 1,000 5,000 10,000 1,000 1,000 5,000-1,000 5,000 1,000 5,000-5,000 10,000-10,000-10,000 10,000 유비 조조 1,000 10,000 1,000 1,000-1,000 10,000-10,000 10,000-25 -
- 26 -
장 점 단 점 - 27 -
- 28 -
풀 이. - 29 -
풀 이. - 30 -
4개 모두 백 4개 모두 청 2개 백 2개 청 모두 청 모두 백 3개 백 청 백 각 1억 각 -2억 1개 청 -3억 각 1억 청 백 1개 백 청 백 각 -1억 각 1억 3개 청 각 -1억 3억 - 31 -
[표 2-1]죄수의 딜레마 풀 이. 풀 이. - 32 -
<가위-바위-보게임을 하는 아이들> - 33 -
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- 35 -
풀 이. - 36 -
유 비 조 조 판 정 가 바 위 위 무 승 부 유 비 승 가 위 보 조 조 승 바 위 가 위 바 위 보 유 비 승 무 승 부 조 조 승 보 가 위 조 조 승 바 위 유 비 승 보 무 승 부 [그림 2]게임의 그래프 표현 - 37 -
열 행 - 38 -
문 제 1 유비 조조 확률 유비의 손실 기대값 가위 가위 바위 보 바위 가위 바위 보 보 가위 바위 보 풀 이. - 39 -
문 제 2 유비(확률) 조조 확률 가위(1/6) 조조의 계단 조조 기대값 유비의 계단 유비의 기대값 가위(1/3) 바위(1/2) 보(1/3) 가위(1/6) 바위(1/3) 바위(1/2) 보(1/3) 가위(1/6) 보(1/3) 바위(1/2) 보(1/3) 설 명. - 40 -
풀 이. 문 제 3 풀 이. 문 제 4-41 -
유비 조조 1,000 5,000 10,000 1,000 1,000 5,000-1,000 5,000 1,000 5,000-5,000 10,000-10,000-10,000 10,000 유비 조조 1,000 10,000 1,000 1,000-1,000 10,000-10,000 10,000-42 -
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번호 이름 학교 학년 E-mail 또는 연락처 조 명 이 유 번호 주제 장단점 및 특징 발표자 - 44 -
주제명 선택이유 담당자 해야할 일 기타 - 45 -
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학생은 전략형 게임의 구성요소를 알 수 있다. 학생은 주어진 게임을 전략형 게임으로 표현할 수 있다. 학생은 전략형게임이 주어졌을 때, 보수를 계산할 수 있다. 교사용 학생용 비스마르크 해전지도. 필기도구, 활동지. - 49 -
교수-학습 활동 예상 시간 유의점 전차시 학습검토. 활동안내와 학습목표를 이해시킨다. 학습 준비물을 확인한다. 5 10 분 프로젝트 전체 과정에 대해 서 설명하고, 이를 이해하도 록 한다. 카드사와 할인점의 갈등상황 표현하기 -활동지[활동 1] 전략형 게임의 표현 -게임이론에 관한 정의 및 형식화. -활동지[활동 2] 비스마르크 해전을 소개. -각 장군의 전략 예측하기 -활동지[활동 3] 카드사와 할인점의 타협 -활동지[활동 4] 배구에서의 공격 -활동지[활동 5] 순수전략과 혼합전략 -활동지 [활동 6] 카드 놀이 -활동지 [활동 7] 수집한 자료 정리 및 주제 재검토. 다음시간까지 해야할 일 정하기. 30 50 분 20분 수학에서 형식화의 중요성을 설명한다. 강의식 수업과 개별학습, 그 리고 토론시간을 적절히 사 용한다. 토론 수업에서는 가능하면 모두가 적극적으로 참여할 수 있도록 유도한다. 문제의 소재가 흥미로운 것 을 다룰 때 문제 외적 관심 때문에 본질적인 면이 소외 되지 않도록 유의한다. 확률을 다룰때는 도박과 관 련된 문제가 많이 나타나는 데 이경우에는 반드시 도박 의 나쁜점을 동시에 이야기 하도록 한다. 가능한 주제가 설정될 수 있 도로 유도한다.. 일상생활에 일어나는 여러 가지 게임 상황이 확률과 관계있으며 결정사항이 기댓값과 밀접하다. 5 10분 학생들이 다양한 의견을 제 시하고 적극적인 참여할 수 있도록 유도한다. - 50 -
대응 유형 끼치는 영향 카드사의 대응 끼치는 영향 - 51 -
인상유지 수용(고객) 수용(회사) 카드금지 인상철회 인상유지 인상철회 인상유지 인상철회 대응 유형 끼치는 영향 카드사의 대응 보수 순위 - 52 -
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할인점 카드사 - 54 -
카드사 수용 회사인상유지 할인점 수용 회사인상유지 - 55 -
라 바 - 56 -
2일 1일 2일 3일 북으로 정찰 남으로 정찰 북으로 정찰 남으로 정찰 케니장군 북으로 항해 남으로 항해 일본군 사령관 - 57 -
일본군 미군 북으로 항해 남으로 항해 북으로 정찰 2, -2 2, -2 남으로 정찰 1, -1 3, -3 미군 일본군 북으로 항해 남으로 항해 북으로 정찰 2 2 남으로 정찰 1 3-58 -
- 59 -
[2004년 9월 13일] S 할인점-B카드 사장 수수료 분쟁관련 첫 회동 [2004년 10월 12일] 카드 수수료, L마트, 1.7~1.9%로 인상 합의할 듯, E할인점도 이 달안으로 타결방침 정해 - 60 -
80% 90% 70% 50% 관우수비 장비수비 관우수비 장비수비 관우 장비 공명 수비 공격 관우 장비 관우 70% 90% 장비 80% 50% - 61 -
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1 H T H 1, -1-1, 1 T -1, 1 1, -1-64 -
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조조 유비 2 3 1-3,000 +4,000 4 +6,000-7,000-66 -
오-독 프-러 포기 지원 타협 세르비아에서의 러시아 영 향력 다소 유지 발칸반도에서 러시아 영향 력유지 세르비아 선동계속 오스트리아 제국 와해시작 공격 러시아 체면손상 및 발칸 반도에서의 영향력 상실 오스트리아가 제국유지하 고 세르비아 통치 전쟁 - 67 -
프-러 오-독 포기 지원 타협 2 1 공격 4 3 A B 1 5 2 (20, 20) (50, 10) 4 (10, 50) (30, 30) - 68 -
A B 1 5 2 2 4 4 1 3 2 5 6 4-69 -
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할인점 대응 끼치는 영향 카드사의 대응 끼치는 영향 - 72 -
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할인점 전략의 예 - 74 -
- 75 -
라바울 - 76 -
2일 1일 2일 3일 북으로 정찰 남으로 정찰 북으로 정찰 남으로 정찰 케니장군 북으로 항해 남으로 항해 일본군 사령관 미군 일본군 북으로 항해 남으로 항해 북으로 정찰 2, -2 2, -2 남으로 정찰 1, -1 3, -3 미군 일본군 북으로 항해 남으로 항해 북으로 정찰 2 2 남으로 정찰 1 3-77 -
- 78 -
[2004년 9월 13일] S할인점-B카드 사장 수수료 분쟁관련 첫 회동 [2004년 10월 12일] 카드 수수료, L마트, 1.7~1.9%로 인상 합의할 듯, E할인점도 이 달안으로 타결방침 정해 - 79 -
공격 수비 관우 장비 관우 장비 - 80 -
게임의 분석 - 81 -
- 82 -
1 H T H 1, -1-1, 1 T -1, 1 1, -1-83 -
- 84 -
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프-러 포기 지원 오-독 발칸반도에서 러시아 영향 세르비아에서의 러시아 영 력유지 세르비아 선동계속 타협 향력 다소 유지 - 2 오스트리아 제국 와해시작 - 1 공격 러시아 체면손상 및 발칸반 도에서의 영향력 상실 오스트리아가 제국유지하고 세르비아 통치 - 4 전쟁 - 3-87 -
A B 1 5 2 (20, 20) (50, 10) 4 (10, 50) (30, 30) A B 1 5 2 2 4 4 1 3-88 -
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검토사항 검토내용 구하지 못한 자료가 있다면 어 떻게 구할 것인가? - 90 -
검토 사항 검토내용 원래의 문제 수정된 문제 수정 이유 활동내용 활동 방법 - 91 -
담당 활동내용 활동 방법 - 92 -
학생은 순수전략과 혼합전략의 차이를 알 수 있다. 학생은 혼합전략의 보수함수를 계산할 수 있다. 보수행렬을 이용하여 전략을 예측할 수 있다. 교사용 학생용 교재 필기도구, 활동지, 계산기, - 93 -
교수-학습 활동 예상 시간 유의점 전시학습에 대한 간략한 정리. 수업안내와 학습목표를 이해시킨다. 학습 준비물을 확인한다. 5 10 분 프로젝트 전체 과정에 대해 서 설명하고, 이를 이해하도 록 한다. 카드사와 할인점 - 활동지 [활동 1] 강우월전략과 약우월전략 - 활동지 [활동 2]. 강열등전략. - 활동지 [활동 3]. 강열등전략의 제거 - 활동지 [활동 4] 배구에서의 공격전략 - 활동지 [활동 5] [ 심화] 아브랑슈협곡전투 - 활동지 [심화] 30 50 분 카드사와 할인점은 이전 시 간에 이루어졌던 내용과 연결 성 있게 도입한다. 이 활동으 로 전략의 우월성에 대해서 소개. 강우월전략과 약우월전략은 이론을 강의하는 시간이다. 적절한 학생활동이 이루어지 도록한다. 강열등전략은 강열등전략을 제거하는 방법을 강조한다. 강열등전략의 제거 및 배구 에서의 공격전략은 개인문제 풀이로 이루어질 수 있고 조 별시간이 이루어 질 수도 있 다. 형식화한 게임검토 및 자료보완계획 20분 가능한 주제가 설정될 수 있 도로 유도한다.. 일상생활에 일어나는 여러 가지 게임 상황이 확률과 관계있으며 결정사항이 기댓값과 밀접하다. 5 10분 학생들이 다양한 의견을 제 시하고 적극적인 참여할 수 있도록 유도한다. - 94 -
할인점 카드사 인상철회 인상유지 수용(회사) (6, 1) (1, 6) 수용(고객) (4, 2) (2, 5) 거부 (5, 3) (3, 4) [표 3-1] 카드사와 할인점의 게임 - 95 -
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유비 조조 자백 부인 자백 (-10, -10) (0, -30) 부인 (-30, 0) ( 0, 0) [표 3-2] 강우월전략의 예 - 98 -
c a (1, 1) (1, 1) b (1, 1) (1, 1) [표 3-3] 모두 약우월전략 조조 유비 c d e a 1, 1 10, 0 1, -1 b 0, 0 10, 2 0, -1 [표 3-4]약우월전략에서의 선택 d - 99 -
조조 유비 c d e a 2,1 3,0 1,-10 b 1,0 2,1 10,-10 [표 3-5] 강열등전략 - 100 -
유비 조조 c d e a 2,4 3,0 0,1 b 1,0 0,4 1,1 [표 3-6] 혼합전략에 의한 강열등전략 - 101 -
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유비 a 조조 c d e 2, 4 3, 0 0, 1 b 1, 0 0, 2 1, 1 [표 3-7] 강열등전략의 제거 이 활동을 통하여 혼합전략에서 강열등전략을 제거하는 연습을 한다. 강우월전략의 존재성 강열등전략의 존재성을 찾는 예제이다. - 103 -
수비 공격 관 우 장 비 공 명 관 우 70% 90% 90% 장 비 80% 50% 80% 공 명 70% 70% 60% [표 3-8] 배구에서의 강열등전략 찾기 공격 수비 관 우 장 비 공 명 관 우 7 9 9 장 비 8 5 8 공 명 7 7 6 [표 3-8]' 배구에서의 강열등전략 찾기 - 104 -
- 105 -
- 106 -
- 107 -
2 1 A B C D a 0, 6 2, 8 4, 4 10, 5 b 2, 2 3, 0 5, 3 7, 1-108 -
할인점 카드사 인상철회 인상유지 수용(회사) (6, 1) (1, 6) 수용(고객) (4, 2) (2, 5) 거부 (5, 3) (3, 4) [표 3-1] 카드사와 할인점의 게임 풀 이 - 109 -
- 110 -
- 111 -
유비 조조 자백 부인 자백 (-10, -10) (0, -30) 부인 (-30, 0) ( 0, 0) [표 3-2] 강우월전략의 예 - 112 -
c d a (1, 1) (1, 1) b (1, 1) (1, 1) [표 3-3] 모두 약우월전략 조조 유비 c d e a 1, 1 10, 0 1, -1 b 0, 0 10, 2 0, -1 [표 3-4]약우월전략에서의 선택 - 113 -
유비 조조 c d e a 2,1 3,0 1,-10 b 1,0 2,1 10,-10 [표 3-5] 강열등전략 - 114 -
유비 조조 c d e a 2,4 3,0 0,1 b 1,0 0,4 1,1-115 -
증 명 약속. - 116 -
- 117 -
유비 조조 c d e a 2, 4 3, 0 0, 1 b 1, 0 0, 2 1, 1 [표 3-7] 강열등전략의 제거 풀이 - 118 -
공격 수비 관 우 장 비 공 명 관 우 장 비 공 명 [표 3-8] 배구에서의 강열등전략 찾기 - 119 -
풀이 - 120 -
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- 122 -
2 1 A B C D a 0, 6 2, 8 4, 4 10, 5 b 2, 2 3, 0 5, 3 7, 1-123 -
주 제 경기자 경기자( )의 전략 경기자 ( )의 전략 필요한 자료요소 보완할 내용 - 124 -
담당 활동내용 활동 방법 - 125 -
학생은 확률과 기대값을 계산할 수 있다. 학생은 행렬의 정의를 알 수 있다. 학생은 확률함수를 만들 수 있다. 교사용 학생용 학생용 활동지, 필기도구, 활동지, 계산기, 1) 모든 유한전략형 게임은 적어도 하나의 내쉬균형점을 가진다고 내쉬가 증명을 하였다. 이 공로로 내쉬는 노벨경제학상을 받았다. - 126 -
교수-학습 활동 예상 시간 유의점 지난차시에 대한 정리. 활동안내와 학습목표를 이해시킨다. 학습 준비물을 확인한다. 5 10 분 프로젝트 전체 과정에 대해 서 설명하고, 이를 이해하도 록 한다. 카드사와 할인점 - 활동지 [활동 1] 내쉬균형점 - 활동지 [활동 2] 죄수의 딜레마. - 활동지 [활동 3] - 데이트의 갈등 게임. - 활동지 [활동 4] 멧돼지 사냥. - 활동지 [활동 5] 가위-바위-보게임. - 활동지 [활동 6] 혼합전략내쉬균형. - 활동지 [활동 7] 혼합전략 가위-바위-보내쉬균형. - 활동지 [활동 8] 혼합전략 데이트의 갈등 내쉬균형. - 활동지 [활동 9] 마지막 차시 활동에 관해서 설명한다. 설정한 게임에서 전략의 우월성 발표 및 보고서 계획 30 50 분 20분 카드사와 할인점에 대한 최 종결론을 예측한다. 내쉬균형점을 강의를 하면서 내쉬 균형점이 게임에서 가 지는 의미를 강조한다. 죄수의 딜레마와 데이트의 갈등게임, 멧돼지 사냥게임, 가위바위보게임은 내쉬균형 점을 찾는 연습문제이다. 생 략해도 수업의 전개에 어려 움은 없다. 학생개인풀이시 간으로 하여도 어려움이 없 을 것이다. 혼합전략의 정의만 소개하고 다음활동을 전개하여도 어려 움은 없다. 혼합전략 내쉬균형점을 찾는 예들을 다루면서 다른 쉬운 방법이 있는지에 대한 질문 도 제시한다. 가능한 주제가 설정될 수 있 도로 유도한다.. 일상생활에 일어나는 여러 가지 게임 상황이 확률과 관계있으며 결정사항 이 기댓값과 밀접하다. 5 10분 학생들이 다양한 의견을 제 시하고 적극적인 참여할 수 있도록 유도한다. - 127 -
[표 4-1] 카드사와 할인점 [표 4-2] 카드사와 할인점에서 강열등전략의 제거 - 128 -
[표 4-3]할인점의 최적대응 [표 4-4]카드사의 최적대응 할인점 - 129 -
q 1 1 p q 1 1 p - 130 -
- 131 -
[표 2-1]죄수의 딜레마 - 132 -
여 남 야구장 발레 야구장 (4,3) (0,0) 발레 (0,0) (3,4) 남 여 야구 발레 야구 (2,1) (0,0) 발레 (0,0) (1,2) 남 여 야구 발레 야구 (2,1) (0,0) 발레 (0,0) (1,2) - 133 -
참고 데이트의 갈등게임과 같은 기업의 게임이 어떤 상품의 모델에 관한 게임이다. 휴대폰이 보급되던 초기의 시절에는 회사와 상품이 다르면 밧데리 충전기를 서로 교환하여 사용할 수 없었다. 만약 밧데리 충전기의 모형이 같 다면 더 많은 사람들이 편하게 충전시킬 수 있고 이것은 더 많은 통신료를 이용할 수 있으므로 모든 회사에게 이득이 돌아간다. 그렇지만 자기의 모델 을 다른 회사의 모델로 바꾸게 되면 새로운 시설을 하여야 하고, 새로운 생 산공정, 고용자의 재교육등을 하여야 하므로 여러 가지 부대 비용이 들어간 다. 그러므로 각 회사는 자기의 모델로 통일시키고자 한다. 데이트의 갈등게 임으로서 예측할 수 있는 것은 두 기업의 제품 모델이 통일이 된다는 것이지 어느 방향으로 통일 될지는 알 수가 없다. - 134 -
유비 조조 멧돼지 산토끼 멧돼지 (5, 5) (0, 1) 산토끼 (1, 0) (2, 2) 유비 조조 가위 바위 보 가위 (0,0) (-300, 300) (100, -100) 바위 (300, -300) (0,0) (-200, 200) 보 (-100, 100) (200, -200) (0,0) - 135 -
유비 조조 가위 바위 보 가위 (0,0) (-300, 300) (100, -100) 바위 (300, -300) (0,0) (-200, 200) 보 (-100, 100) (200, -200) (0,0) - 136 -
모든 혼합전략 에대해서 - 137 -
유비 조조 가위 바위 보 가위 (0, 0) (-300, 300) (100, -100) 바위 (300, -300) (0, 0) (-200, 200) 보 (-100, 100) (200, -200) (0, 0) 유비 - 138 -
여 남 야구장 발레 야구장 (4,3) (0,0) 발레 (0,0) (3,4) 남자 여자 q 1 3/7 1 p - 139 -
q 1 4/7 1 p q 1 4/7 1 p - 140 -
유방 항우 a b a (10,000, 10,000) (30,000, 0) b (0, 30,000) (20,000, 20,000) 유방 항우 a b a (10,000, 10,000) (30,000, 0) b (0, 30,000) (20,000, 20,000) 유방 항우 a b a (10,000, 10,000) (30,000, 0) b (0, 30,000) (20,000, 20,000) - 141 -
항우 유방 - 142 -
협곡보강 동진 결정 미룸 공 격 미군은 공격을 격퇴할 것임 ; 협곡 유지됨 독일군이 돌파하여 협곡을 차단하고 미 제3군을 고립시 킬지 모름 필요하면 보강군을 동원할 수있을 것이므로 협곡유지됨 필요하지 않으면 보강군은 독일군 후방을 향하여 동진 하여 아마 독일 제 9군을 포 위 할 수 있을 것임 철 수 오지 않을 공격에 대비해 미 군 배치됨 독일 철수에 약한 압력 가해짐 독일 후퇴를 괴롭히기 위하 여 미군 이상적으로 배치됨 독일군 철수에 강한 압력 가 해짐 독일 후퇴를 괴롭히기 위한 동진 출발에 예비군 하루 늦 음; 독일군 철수에 보통정도 의 압력 가해짐 - 143 -
브래들리 q 1 1 p 클루게 - 144 -
q 1 q 1 1 p 1 p 조조 유비 돌진 멈춤 돌진 (-10, -10) (10, 0) 멈춤 (0, 10) (1, 1) - 145 -
유비 조조 돌진(고집) 멈춤(양보) 돌진(고집) (-10, -10) (10, 0) 멈춤(양보) (0, 10) (1, 1) 유비 조조 - 146 -
경제에서 겁쟁이게임 이 적용되는 상황을 살펴보자. 한 산업이 빠르게 성장하면 많은 새로운 기업이 그 산업에 진입한다. 예를 들면 최근에 휴대 폰 산업이 급속하게 성장하고 있으므로, 예전에는 대 기업에서만 휴대폰을 생산하던 것을 이제는 중소기업등 수많은 회사에서 휴대폰을 생산한다. 반 대로 한 산업이 사향길에 접어들게 되면 기존 기업들의 퇴출이 일어나게 된 다. 섬유 산업이 대표적으로 그런 산업중에 하나라고 볼 수도 있다. 이제 여러 기업들이 퇴출되고 단 두개의 기업만 남았다고 하자. 두 기업 모두 시장에 존재하는한 두 기업 모두는 적자를 면치 못한다. 반면에 하나의 기 업이 퇴출한다면 남아 있는 기업은 독점이 되어 이익을 볼 수 있다. 여기에 서 겁쟁이게임 과 같은 상황이 발생하는 것이다. - 147 -
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할인점의 보수 q 1 1 p - 149 -
카드사의 보수 q 1 1 p - 150 -
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여 남 야구장 발레 야구장 (4,3) (0,0) 발레 (0,0) (3,4) 여 남 야구 발레 야구 (2, 1) (0, 0) 발레 (0, 0) (1, 2) - 153 -
참고 데이트의 갈등게임과 같은 기업의 게임이 어떤 상품의 모델에 관한 게임이다. 휴대폰이 보급되던 초기의 시절에는 회사와 상품이 다 르면 밧데리충전기를 서로 교환하여 사용할 수 없었다. 만약 밧데리 충전기의 모형이 같다면 더 많은 사람들이 편하게 충전시킬 수 있고 이것은 더 많은 통신료를 이용할 수 있으므로 모든 회사에게 이득이 돌아간다. 그렇지만 자기의 모델을 다른 회사의 모델로 바꾸게 되면 새로운 시설을 하여야 하고, 새로운 생산공정, 고용자의 재교육등을 하여야 하므로 여러 가지 부대 비용이 들어간다. 그러므로 각 회사는 자기의 모델로 통일시키고자 한다. 데이트의 갈등게임으로서 예측할 수 있는 것은 두 기업의 제품 모델이 통일이 된다는 것이지 어느 방 향으로 통일 될지는 알 수가 없다. - 154 -
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유비 조조 가위 바위 보 가위 (0, 0) (-300, 300) (100, -100) 바위 (300, -300) (0, 0) (-200, 200) 보 (-100, 100) (200, -200) (0, 0) - 156 -
- 157 -
유비 조조 가위 바위 보 가위 (0, 0) (-300, 300) (100, -100) 바위 (300, -300) (0, 0) (-200, 200) 보 (-100, 100) (200, -200) (0, 0) - 158 -
유비 - 159 -
남 여 야구장 발레 야구장 (4,3) (0,0) 발레 (0,0) (3,4) - 160 -
q 1 1 p - 161 -
유방 항우 a b a b 항우의 보수함수 - 162 -
유방의 보수함수 - 163 -
협곡보강 동진 결정 미룸 공 격 미군은 공격을 격퇴할 것임 ; 협곡 유지됨 독일군이 돌파하여 협곡을 차단하고 미 제3군을 고립 시킬지 모름 필요하면 보강군을 동원할 수있을 것이므로 협곡유지 됨 필요하지 않으면 보강군 은 독일군 후방을 향하여 동진하여 아마 독일 제 9 군을 포위 할 수 있을 것임 철 수 오지 않을 공격에 대비해 미군 배치됨 독일 철수에 약한 압력 가해짐 독일 후퇴를 괴롭히기 위하 여 미군 이상적으로 배치됨 독일군 철수에 강한 압력 가해짐 독일 후퇴를 괴롭히기 위한 동진 출발에 예비군 하루 늦음; 독일군 철수에 보통 정도의 압력 가해짐 - 164 -
브래들리의 보수 q 1 1 p - 165 -
폰 클루게의 보수 - 166 -
조조 돌진 멈춤 유비 돌진 (-10, -10) (10, 0) 멈춤 (0, 10) (1, 1) - 167 -
유비의 보수 조조의 보수 - 168 -
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전 략 종 류 이 유 혼합전략이 가능한가? 혼합전략은 어떤 형태인가? 담당자 해야할 일 기타 - 170 -
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1 http://www.gametheory.net/ 2 http://www.seri.org/forum/nash/ 3 http://natogi.new21.org/technote/advanced/combi/a3008_001h01.html 4 http://www.eomzyzzang.0za.to/ - 172 -
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학생은 게임이론의 뜻을 알고 하나의 산출물을 만들어 낼 수 있다. 교사용 학생용 필기도구, 활동지, 계산기 - 176 -
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예 1 예 2 예 3 예 4 예 5 예 6-178 -
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주제연구의 필요성이 포함 되도록 지도 - 181 -
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평 가 게임 1 유비와 조조가 동전을 가지고 게임을 한다. 유비는 100원과 500원 동전을 가지고 있고, 조조는 50원, 100원, 500원 동전을 가지고 있다. 두 사람의 동전을 제시하여 제시한 금액이 합이 10원으로 홀수 이면 유비가 짝수이면 조조가 갖기로 하였다. 모두 50번의 게임을 실시 한다. 1. 조조가 50원, 100원, 500원의 비를 1: 2: 3의 비율로 제시할 때, 유비 는 100원, 500원을 1: 1의 비율로 제시한다. 이럴 때 유비의 기대값을 얼마인가? 2. 전략형게임을 구성하고 있는 요소에 대해서 설명하시오. 3. 게임 1 에서 사용하고 있는 동전은 100원짜리이다. 전략형 게임으로 표현을 하여 보시오. 유비 조조 4. 게임 1 의 내쉬균형점을 찾아보시오.. - 185 -
평가 풀이 게임 1 유비와 조조가 동전을 가지고 게임을 한다. 유비는 100원과 600원 동전을 가지고 있고, 조조는 100원, 200원, 500원 동전을 가지 고 있다. 두 사람의 동전을 제시하여 제시한 금액이 합이 100원으로 홀수이면 유비가, 짝수이면 조조가 갖기로 하였다. 모두 50번의 게임을 실시한다. 1. 조조가 100원, 200원, 500원의 비를 1: 2: 3의 비율로 제시할 때, 유 비는 100원, 500원을 1: 1의 비율로 제시한다. 이럴 때 유비의 기대값을 얼마인가? [풀이] 한번의 게임에서 기대값을 구해보면 원이다. 그러므로 50 게임 이후의 기대값은 원 이다 2. 게임 1을 전략형 게임으로 표현을 하여 보시오. 유비 조조 100원 200원 500원 100원 -100, 100 200, -200-100, 100 600원 100, -100-600, 600 500, -500 3. 강열등전략을 찾아보시오 [풀이] 유비는 두개의 전략 중 어느 전략도 다른 전략을 지배하지 못한 다. 그러므로 유비에게는 강열등전략이 존재하지 않는다. 조조의 경우를 살펴보면, 500원을 내는 경우는 이득은 100원과 같으나 잃는 경우는 100원의 경우보다 더 크게 잃으므로 500원의 전략은 100원의 전략에 지 배당한다. 그러므로 500원을 제시할 경우에는 차라리 100원을 제시하는 것이 유리하다. 따라서 조조의 경우에 500원의 전략이 강열등전략이다. - 186 -
4. 게임 1 3에서 강열등 전략을 제외하고 내쉬균형점을 찾아보시오. 풀이 유비 조조 100원 200원 100원 -100, 100 200, -200 600원 100, -100-600, 600 유비는 100원 과 600원의 전략을 의 전략을 선택하고 조조 는 100원과 200원의 전략을 의 전략을 선택한다고 하면 두 경기자의 보수는 다음과 같이 구할 수 있다. 유비의 보수 유비 가 되고 조조의 보수는 조조 따라서 두 사람의 선택기준을 (p, q)평면에 그려보면 8 / 1 7/10 따라서 유비는 p를 7/10으로 선택을 하고 조조는 q= 8/10으로 선택을 하는 것이 내쉬균형점이 된다. 내쉬균형점으로 경기가 진행될 때 기대값을 계산해보면 유비는 -40이고 조조는 +40이다. 따라서 유비에게 불리한 게임이다. 그리고 전체의 경기가 끝났을 때 유비는 2,000원을 잃을 것으로 예상된 다. - 187 -
(문제) 문제의 이름 학교 학년 반 번호 이 름 (정답) (풀이1) (풀이2) - 다른 방법 저자이름 책이름 페이 지 출판사 출판연 도 - 188 -
학 교 학년 년 월 일 이 름 제 목 : ( 생각나는 수업목표) 배운내용 : 수업에 관한 나의 생각 : 오늘의 특기사항 (수업시간에 생각한 다른 내용이나, 몸이 아파서 집중이 안되었다거나, 선생님에게 담배냄새가 나서 정신집중이 안되었다거 나 기타등등) - 189 -
부 록 1 매우 그렇다 2 그렇다 3보통이다 4그렇지 않다 5 전혀그렇지 않다 번호 설문내용 1 2 3 4 5 1 나는 이 프로그램에 참여할 자격이 있다고 생각한다 2 나는 프로그램에 참여한 다른 학생들과 비슷한 수준 이라고 생각한다. 3 이 수업의 내용은 어려웠다 4 이 수업의 내용은 나에게 흥미가 있었다. 5 이 수업은 평상시 학교수업보다 좋았다 선생님께서는 내가 궁금해 하는 것에 대해 잘 안내 6 를 해 주셨다. 7 선생님께서는 열심히 가르치셨다. 8 참여한 학생 수는 수업을 진행하는데 적절했다 9 시간에 활동을 위해 사용할 시간은 충분했다 10 수업도중 질문할 기회가 충분히 있었다. 11 각 주제에 관하여 깊이 있게 배웠다. 12 필요한 시설, 도구, 학습자료가 충분히 있었다 13 여러 가지 활동으로 수업이 진행되었다 14 프로그램 실시 동안 선생님 또는 다른 학생들과 의 견을 주고받을 기회가 있었다. 15 나는 이 프로그램에 적극 참여했다. 16 프로그램이 끝난 후 여러 가지 평가를 받았다. 17 18 19 20 프로그램 참여 후 나는 문제를 여러 가지 방향으로 생각하게 되었다 프로그램 참여 후 나는 문제를 남들과 다르게 풀려 고 생각하게 되었다 프로그램 참여 후 원인과 결과를 자세히 살펴보게 되었다. 프로그램이 끝난후 수학에 대해서 더 많이 알게 되 었다. - 190 -
번호 설문내용 1 2 3 4 5 21 22 23 24 25 프로그램이 끝난후 수학에 대해서 더욱 많이 관심을 가지게 되었다 프로그램 끝난후 나는 더욱 한문제를 풀려고 끈기있 게 노력하게 되었다 이 프로그램은 내가 나의 의견을 설득력있게 표현 하고 다른 사람의 의견을 비판적으로 들을 수 있게 되는데 도움을 주었다 이 프로그램은 다른 사람들과 협동하는 능력을 키워 주었다. 기회가 주어지면 다시 이런 프로그램에 참여하고 싶 다. [주관식] 26. 프로그램 실시 후 특히 좋았다고 생각되는 점 27. 프로그램의 개선되어야 할 점 28. 기타 의견 - 191 -
교사용 설문지 1 매우 그렇다 2 그렇다 3보통이다 4그렇지 않다 5 전혀그렇지 않다 번호 설문내용 1 2 3 4 5 1 2 3 4 이프로그램은 학생들의 개인차 (능력수준, 관심사, 학습속도등)를 고려한다. 이 프로그램은 수학영재들의 창의적 문제 해결력 계 발을 목표로한다. 이 프로그램은 수학 영재들의 탐구적 태도 계발을 목표로 하고 있다. 프로그램의 목적과 수준에 맞는 학생들이 판별되었 다. 5 판별된 학생들은 동질집단이다. 6 프로그램 실시 후 계속적 관찰에 의한 추후 판별이 실시되었다. 이 프로그램에 제시된 학습목표 및 활동들은 수학영 7 재아들의 특수한 욕구(지적, 창의적, 탐구)를 충족시 켜 주는데 적절했다. 8 프로그램의 내용 및 활동들이 프로그램의 학습목표 에 맞게 체계적으로 조직되어 있다. 9 이 프로그램은 수학영재들의 탐구적 태고 계발을 목표로 하고 있다. 10 이 프로그램의 난이도는 학생들의 지적수준에 적절 하다. 11 교사는 프로그램을 운영할 수 있도록 사전에 훈련 을 받았다. 12 교사는 프로그램을 운영하는데 부담을 느끼지 않았 다. 13 교사는 이 프로그램에 적극적으로 참여했다. 교사는 프로그램이 실시되는 동안 학생 들의 창의 14 성이나 지적호기심에 민감하게 반응한다 15 프로그램에 참여한 학생수는 프로그램의 효율적 운 영에 적절했다. 16 프로그램 실시를 위해 소요된 시간은 프로그램의 효율적인 운영에 적절했다. 17 학습자료나 교재들이 다양하게 사용되었다. - 192 -
번호 설문내용 1 2 3 4 5 18 프로그램에 제시된 여러 가지 활동(연사초청, 실험, 영상자료시청등)을 이용했다. 19 학생들은 이 프로그램에 적극적으로 참여했다 20 주어진 주제에 대해 깊이 있는 학습이 이루어 졌 다. 21 프로그램 실시동안 교사 학생, 학생학생간의 교류 가 있었다. 22 프로그램을 운영하는데 필요한 행정적 재정적 지원 이 있었다. 23 프로그램 실시후 과학 영재들에 대한 적절한 평가 가 이루어졌다. 24 창의적 문제해결 25 논리적 사고력 26 주제에 대한 지식 27 지적 호기심 28 과제 집착력 29 의사소통능력 30 구성원과의 협동능력 [주관식] 31. 프로그램실시 후 특히 좋았다고 생각되는 점 32. 프로그램의 개선되어야 할 점 33. 기타 - 193 -
번호 측정요소 측정의 근거 1점 2점 3점 4점 5점 1 독창성. 2 논리성 3 복합성 4 발전 가능성 5 변형 가능성 6 표현력 7 가치성 8 유기적 조직성 9 기능적 솜씨 10 유용성 기존의 것에서 탈피하여 참신하고 독특 한 아이디어를 제시하고 있다. 전개과정과 문제해결에서 전후가 명확하 며, 원인과 결과 및 사용되는 이론적 배경 이 분명하다. 몇 가지의 상이한 요소, 부분 또는 사용 수준들을 포함하고 있다. 앞으로 새로운 산출물들을 만들어 낼 수 있는 새로운 이이디어들을 많이 시사해 주고 있다. 사람들로 하여금 이 분야를 전혀 새로운 방식으로 보거나 생각하게 만들고 있다. 사물이나 자연 및 사회 현상을 수학적으 로 분명하게 표현하고 있다. 수학적으로 가치 있고, 중요한 것이라고 생각할 수 있다. 전체성, 즉 완전하다는 느낌을 가지게 해 주고 있다 이 산출물에는 논리적으로 치밀하며, 도 입 전개 결론에 이르는 전개과정이 높은 수준의 성취라고 할 수 있다. 실제에 적용하여 사용할 수 있음이 분 명하다. - 194 -