자유로운연결구조를갖는복잡동적망의동기화 논문 60-8-20 Synchronization of a Complex Dynamical Network with Free Coupling Matrix 이태희 * 박주현 권오민 ** 이상문 *** (Tae Hee Lee Ju H. Park Oh-Min Kwon Sang-Moon Lee) Abstract - This paper considers synchronization problem of a complex dynamical network. For the problem, the virtual target node is chosen as one of nodes in the complex network and only one connection is needed between an isolate target node and virtual target node not any more connections. Moreover, our synchronization scheme does not need additional conditions and information of coupling matrix comparing with existing works. Based on Lyapunov stability theory, a design criterion for a novel adaptive feedback controller for the synchronization between the isolate target node and another nodes of the complex network is proposed. Finally, the proposed method is applied to a numerical example in order to show the effectiveness of our results. Key Words : Complex network, Synchronization, Free coupling matrix, Adaptive conltrol method 1. 서론먹이사슬, 전력망, 월드와이드웹, 신경망, 통신망등의자연적, 물리적현상들을표현하는데있어탁월한복잡계망은오늘날에비선형동특성을연구하는과학자들의관심을집중시키는연구분야로서자리매김하고있다 [1-3]. 복잡계망이란여러개의시스템이독립적으로존재하지않고서로가서로에게영향을주며그물망처럼얽혀있는하나의큰시스템을말한다. 이러한복잡계망은 small-world network, scale-free network 등과같이커플링행렬의구조를정의함에따라여러가지종류의모델로표현된다. 하지만지금까지잘알려진바와같이이러한모델들은몇가지기본적인커플링행렬의제약이따른다. 예를들어커플링행렬이대칭행렬 [4] 이거나, 한행의각항들의합이 0이거나 [5], 행렬을대각화할수있는 [6] 등의제약들이있다. 이러한제약들은복잡계망의수학적인분석을용이하게하며, 제어적인문제의처리를쉽게할수있는장점이있다. 하지만월드와이드웹이나신경망과같은대부분의실제적인복잡계망의구조는이러한제약들을만족하지않는다. 반면에커플링행렬의제약이존재하지않는복잡계망에관한소수의연구가존재하는데 [7], 이커플링행렬을따로프리커플링행렬이라일컫는다. 복잡계망에대한다양한연구분야중에서도동기화에관 * 정회원 : 영남대공대전기공학과박사과정 교신저자, 정회원 : 영남대학교전기공학과교수 E-mail : jessie@ynu.ac.kr ** 정회원 : 충북대학교전기공학과조교수 *** 정회원 : 대구대학교전자공학부조교수접수일자 : 2011년 5월 16일최종완료 : 2011년 7월 26일 한연구는매우관심있는연구주제이다 [4-9]. 이복잡계망의동기화에관한연구는크게두가지관점으로분류되는데하나는내부동기화 [4-5],[7] 이고다른하나는외부동기화 [8-9] 이다. 먼저내부동기화란하나의복잡계망에서시스템을구성하는각각의노드들의응답이하나의목표노드의응답을따라가는것을말한다. 다음으로외부동기화란둘이상의복잡계망들이서로같은응답을보이는것을말한다. 본논문에서는복잡계망의내부동기화에대한연구를진행할것이다. 앞서정리했듯이, 복잡계망의내부동기화에관한연구는각각의노드들의응답을목표노드의응답과같아지게만드는것이주된목적이다. 선행된많은연구 [4-7] 에서는복잡계망외부에새로운독립된목표노드를하나구성하여이새로운노드와복잡계망을구성하고있는각각의노드와의일대일연결을통하여복잡계망을구성하고있는각각의모든노드들이새로운목표노드의응답을따라가는내부동기화에관해다루고있다. 하지만이는목표노드와이미존재하는복잡계망의각각의노드들과의일대일연결이수행되어져야하는단점이있다. 만약다루어야할복잡계망이 개의노드들로구성되어져있다면, 위의방식은목표노드와복잡계망을구성하는각각의노드들과 개의일대일연결을새롭게구성해주어야동기화가가능하다. 이는실제적인측면에서볼때매우어렵고비효율적이다. 앞서언급된내용들을계기로하여, 본논문에서는커플링행렬의제약이없는복잡계망의내부동기화에관한연구를진행할것이다. 또한독립된목표노드와복잡계망을구성하고있는 개의노드들과의 개의새로운일대일연결을구성하지않고, 복잡계망을구성하고있는노드들중의한노드를가상의목표노드로설정하고, 새로운연결없이기존의복잡계망을구성하고있는노드들간의연결을이용하여가상의노드와다른노드들간의동기화를수행한 1586
Trans. KIEE. Vol. 60, No. 8, AUG, 2011 후, 독립된목표노드와가상의목표노드간의한개의새로운일대일연결만을통하여기존의연구결과와같은결과를나타내는제어기를설계하는연구를수행할것이다. 이를위하여, 가상의목표노드와복잡계망을구성하는각각의노드들사이에는적응이득을가지는피드백제어기설계할것이며, 독립된목표노드와가상의목표노드사이의동기화에는 제어기법 [10] 이사용되어질것이다. 제어기법을사용하여설계된제어기의조건은선형행렬부등식 (LMI) 항으로유도되어진다. 선형행렬부등식을이용한접근법은주어진문제의해결에있어수학적인이점과명료성때문에매우각광받고있는기법이다. 이선형행렬부등식항은다양한볼록최적화알고리듬에의해서쉽게해를찾을수있다 [11]. 참조 2. 본논문에서는대칭행렬, 등과같 은커플링행렬의제약을설정하지않으므로어떠한커플링행렬도사용이가능하다. 2. 문제제시 다음과같은서로같은 개의노드로구성된복잡계망을고려하자. (1) 여기서 는 번째노드의상태벡터이며, 는비선형함수, 는 번째제어입력, 는커플링행렬로써만약 번째노드가 번째노드에의해영향을받는다면 는 0이아니고, 영향을받지않는다면 0으로표현되는행렬이다. 동기화를달성하기위하여, 다음과같이오차벡터를정의하자. (2) (3) 여기서복잡계망내부의노드중첫번째노드 를가상의목표노드로설정하였고, 는다음의식으로구성된최종적으로동기화시킬독립된목표노드이다. 정의 1. 만약모든복잡계망을구성하는모든 번째노드에대해서 lim 이될때, 그복잡 계망은점근적으로내부동기화가이루어졌다고한다. 참조 1. 대부분의선행연구 [4-7] 에서는오차벡터를 로정의하여각각의노드들과독립된목표노드사이에 개의일대일연결을새롭게구성해주어야했다. 하지만본논문에서는오차벡터를 (2), (3) 식과같이정의하여기존에구성되어져있는복잡계망의연결을이용하여내부동기화를달성하는연구를제안한다. 그림 1의 (a) 는많은선행연구들에서다루어진독립된목표노드 와복잡계망의각노드들간의 개의일대일연결을통한동기화구조이며, (b) 는본논문에서제안하는복잡계망의동기화를위한기본구조이다. (a) 그림 1 (a) 기존의 ( b ) 본논문의복잡계망의동기화를위한기본구조 Fig. 1 The framework for s ynchronization of a complex network (a) in previous work (b) in this paper (b) 정의 2. ( 동기화 [12]) 만약오차함수가다음의조건 (4) 을만족한다면오차시스템 (2) 는 동기화되었다고한다. 여기서 는양의대칭행렬이며, 는외란함수, 상수 는 노름경계또는외란감쇠상수이다. 참조 3. 노름은다음과같이정의된다. 여기서 는 에서 로의전달함수이다. 따라서식 (4) 의부등식은 과같음을알수있다. 보조정리 1. (Shur complement [11]) 다음을조건 을만족하는주어진행렬 가있다면, 다음의두식은동치이다. 1. 2. or 가정 1. 본논문에서다룰복잡계망 (1) 의벡터함수 는다음의 Lipschitz 조건을만족한다. 여기서 은양의상수이다. 본논문에서사용되는 Lipschitz 상수는다음과같이정의된다. 자유로운연결구조를갖는복잡동적망의동기화 1587
전기학회논문지 60 권 8 호 2011 년 8 월 오차시스템 (3) 의동특성식은다음과같다. (5) 식 (5) 는가정 1에의해, 다음의식으로표현할수있다. (6) 여기서 이다. 식 (6) 은오차의정의에의해다음과같이변형될수있다. (7) 여기서 이다. 또한오차시스템 (2) 의동특성식은다음과같다. 여기서 이다. (8) (11) 복잡계망 (1) 의모든노드들은독립된목표노드인 로동기화된다. 증명. 먼저독립된목표노드와가상의목표노드사이의오차의동특성식 (8) 에이론 1에서제안한제어입력 을인가하면, (12) 를얻게된다. 여기서본논문의첫번째목적은독립된목표노드의상태 와가상의목표노드의상태 간의동기화를달성하는제어기를설계하는것이다. 따라서복잡계망의다른노드들의커플링항을외란입력으로생각하고이외란입력에강인한제어기를설계하면위의오차식 (12) 에관한동기화를달성할수있다. 식 (12) 의커플링항을외란입력 로표현하면, 다음과같이다시표현할수있다. (13) 다음으로, 이론 1에서나타낸제어기 (10) 을다른오차동특성식 (7) 에인가하면, (14) 를얻을수있다. 여기서 이다. 이제다음의리아푸노프함수를고려하자. (15) 3. 본론본논문에서는프리커플링행렬을가지는복잡계망의내부동기화를위한제어기설계문제에대하여다룰것이다. 이론은두부분으로나뉘는데, 독립된목표노드 와가상의목표노드 사이의동기화를위한제어기의설계와복잡계망내부의가상의목표노드 와다른노드들간의동기화를위한제어기의설계이다. 정리 1. 만약다음의조건 (9) ( 여기서 은양의상수, 행렬 는 차단위행렬, 행렬 는양행렬, 이다.) 을만족하는오차시스템 (8) 을위한제어기 이존재하고, 오차시스템 (7) 을위한제어기와적응칙을다음과같이설계할때 (10) 여기서 는가상의상수이고후에정의될것이다. 먼저리아푸노프함수 (15) 를미분하면다음과같다. 여기서 이다. 다음으로리아푸노프함수 (16) 을미분하게되면, (16) (17) (18) 1588
Trans. KIEE. Vol. 60, No. 8, AUG, 2011 을얻게된다. 여기서 이고, 이다. 식 (18) 에가정 1을적용하면다음의상계을얻을수있다. (19) 따라서전체리아푸노프함수는 (20) 여기서 이고행렬 는 이다. 으로두고, 만약식 (19) 의행렬 가양행렬이되는상수 가존재한다면, 식 (20) 로부터 (21) 의식을얻게된다. 여기서, 행렬 가양행렬이되기위해서는먼저다음의부등식 을만족해야만한다. 식 (21) 을적분하면 를얻게된다. 여기서 이므로, 정의 2의식 (4) 를만족하게되고본오차시스템은 동기화가이루어짐을알수있다. 참조 4. 상수 은제어기에는사용되지않고리아푸노프함수내에서만존재하는가상의수이다. 따라서 우리는행렬를양행렬로만드는 를아무런제약없이어떠한수든지선택할수있다. 참조 5. 정리1에서제안한선형행렬부등식 (9) 를만족하는행렬 와 는매틀랩의 LMI Toolbox[11] 를이용하여쉽게구해질수있다. 이를바탕으로제어기 의제어이득 는 로구해진다. 4. 수치예제 다음의 3차원혼돈로렌츠시스템으로이루어진 10개의노드를가진복잡계망을고려하자. (22) 외란감쇠상수 로설정하였고, 립쉬츠상수는, 각노드의초기치는0에서 1사이의랜덤함수를사용하여설정하였고, 프리커플링행렬은다음과같이설정하였다. 그림 2 제어입력이없는복잡계망 (21) 의각상태궤적 Fig. 2 State ev olution of complex network ( 21 ) without control input 자유로운연결구조를갖는복잡동적망의동기화 1589
전기학회논문지 60 권 8 호 2011 년 8 월 먼저이론 1의선형행렬부등식의조건 (9) 를만족하는제어입력 의이득 를다음과같이구할수있다. 그림 2는제어입력을인가하지않았을때의복잡계망 (21) 의각상태별상태궤적을그린그림이다. 그림에서보는바와같이제어입력이없는상태에서는각각의노드들의상태들이서로일치하지않음을알수있다. 그림 3은본논문에서설계된제어기를인가하였을경우, 그에따른오차 의궤적을나타낸그림이다. 그림 3으로부터본논문에서제안된제어기가프리커플링행렬을가지는복잡계망의내부동기화를달성하였음을알수있다. 또한우리는커플링행렬의어떠한정보도이용하지않고제어입력의변수 가시스템의변수 를추정함으로써동기화를달성한다. 변수 의추정결과를보여주기위하여추정변수의초기치를 으로설정했다. 그림 4 에는변수의추 정치가실제변수의값 으로각각수렴함을 보여준다. 3. 결론본논문에서는프리커플링행렬을가지는복잡계망의내부동기화에관한연구를수행하였다. 독립된목표노드와복잡계망내부의한개의노드간의하나의일대일연결을통하여전체노드들과독립된목표노드간의동기화를달성하였으며제안된제어기의안정성을리아푸노프안정성이론을바탕으로증명하였다. 제어기설계에있어 제어기법을사용하여안정화된제어기의존재조건을선형행렬부등식의형태로제시하였으며, 매틀랩의 LMI toolbox를이용하여제안된선형행렬부등식의조건을만족해는적절한해를계산하였다. 마지막으로적절한수치예제를제시하여제안된제어기의효용성을도시하였다. 감사의글 This work was supported by Yeungnam University. Also, this research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology (2010-0009373). 참고문헌 그림 3 수치예제의오차궤적 Fig. 3 E rror s ignals of example 그림 4 추정된변수 Fig. 4 Estimated parameters [1] S.H. Strogatz, Exploring complex networks, Nature, vol. 410, pp. 268-276, 2001. [2] S.N. Dorogovtesev, J.F.F. Mendes, "Evolution of networks," Advances in Physics, vol. 51, pp. 1079-1187, 2002. [3] M.E.J. Newman, "The structure and function of complex networks," SIAM Review, vol. 45, pp. 167-256, 2003. [4] J. Zhou, J.A. Lu, J. Lu, "Pinning adaptive synchronization of a general complex dynamical network," Automatica, vol. 44, pp. 996-1003, 2008. [5] W. Yu, G. Chen, J. Lü, "On pinning synchronization of complex dynamical networks," Automatica, vol. 45, pp. 429-435, 2009. [6] L. Wang, H.P. Dai, H. Dong, Y.Y. Cao, Y.X. Sun, "Adaptive synchronization of weighted complex dynamical networks through pinning," Eur. Phys. J. B, vol. 61, pp. 335-342, 2008. [7] L. Xiang, J.J.H. Zhu, "On pinning synchronization of general coupled networks," Nonlinear Dynamics, DOI 10.1007/s11071-010-9865-5, 2010. [8] D. Xu, Z. Su, "Synchronization criterions and pinning control of general complex networks with time delay," Applied Mathematics and Computation, vol. 215, pp. 1593-1608, 2009. [9] S. Zheng, Q. Bi, G. Cai, "Adaptive projective synchronization in complex networks with 1590
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