Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee 743 I. 서론 우리는경로적분을사용하면고전역학의작용량으로부터 양자역학을기술할수있어매우편리하고양자역학에대한 또다른이해가가능함을잘알

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여은 뇌
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74 Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 8864, Korea (Received 5 March 016 : revised 19 April 016

1 New Physics: Sae Mulli, Vol. 66, No. 6, June 016, pp Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 8864, Korea (Received 5 March 016 : revised 19 April 016 : accepted 1 April 016) Quamtum field theories are investigated from the point of view that Fermi fields form an extended Clifford algebra. Although we consider cases where only Fermi fields exist and the degrees of freedom are finite, the result can be extended to other cases. If we hermitize all of the Fermi fields, those fields form a Clifford algebra, and the Hilbert space becomes a representation space of the Clifford algebra. Once a Hamiltonian is given, the quantum mechanics of the system is determined. In the cases of Fermi field theories, the Lagrangian is written by using anti-commuting Grassmann variables. Several ways can be used to get the Lagrangian from the Hamiltonian. One can find the Lagrangian by comparing the equation of motion in quantum mechanics with the Euler-Lagrange equation from the Lagrangian or by finding expressions for the path integrals for this system. We obtain path integral formulae by using this Clifford algebra formalism, and those formulae are shown to have forms that are more general than the usual ones. PACS numbers: Ca, z, Ef, xk Keywords: Fermi field, Path integral, Clifford algebra 페르미장, 클리포드대수그리고경로적분 황철회 이해원 충북대학교물리학과, 청주 8644, 대한민국 (016 년 3 월 5 일받음, 016 년 4 월 19 일수정본받음, 016 년 4 월 1 일게재확정 ) 페르미장들이확장된클리포드대수를형성한다는관점에서양자장이론을연구하였다. 여기서는페르장 으로이루어진자유도가유한한계를다루었지만일반적인경우에도확장된다. 페르미장을모두에르미트화 하면페르미장들은클리포드대수를형성하게되는데이때힐버트공간은클리포드대수의표현공간이된다. 해밀토니안이주어지면이계의양자역학은결정된다. 페르미장의경우에는라그랑지안은반교환하는 동적변수로표현이된다. 이해밀토니안으로부터라그랑지안을구하는데에는여러방법이있다. 양자역학의 운동방정식과라그랑지안으로부터얻은오일러 - 라그랑쥬방정식을비교하거나경로적분관계식을구하여 라그랑지안을얻는방법이있다. 본연구에서는크리포드대수의성질을사용하여경로적분을구하였는데 널리사용되는것보다좀더일반적인표현을얻을수있었다. PACS numbers: Ca, z, Ef, xk Keywords: 페르미장, 경로적분, 클리포드대수 hwlee@hep.chungbuk.ac.kr This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License ( which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

2 Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee 743 I. 서론 우리는경로적분을사용하면고전역학의작용량으로부터 양자역학을기술할수있어매우편리하고양자역학에대한 또다른이해가가능함을잘알고있다 [1,]. 페르미장등반 교환하는동적변수가있는경우는그라스만 (Grassmann) 변수에대한경로적분이된다 [3,4]. 본논문에서는페르미 장을모두에르미트화하여디락행렬의 γ µ 와같은클리포드 (Clifford) 대수의생성자 (generator) 로간주하고이들로 표현된일반적인양자장론에서의경로적분을유도할것 이다. 일반적으로는생성및소멸연산자를사용하여경 로적분식을얻으나여기서는클리포드대수만을사용하여 결과를얻을것이다. 이렇게하면조금더일반적인형태의 경로적분을얻을수있다. II. 에르미트페르미장 대표적인페르미장인디락장 Ψ( x) 는다음과같은반교환 (anti-commutation) 관계식을만족시킨다. {Ψ i ( x), Ψ j ( x )} = δ( x x )δ ij, {Ψ i ( x), Ψ j ( x )} = 0 = {Ψ i ( x), Ψ j ( x )}. 그러나 Ψ 를에르미트 (Hermite) 장 Φ 을사용하여 Ψ i = 1 (Φ 1 i + iφ i ), Ψ i = 1 (Φ 1 i iφ i ), 와같이표현하면반교환관계식은다음과같이된다. {Φ l i( x), Φ m j ( x )} = δ ij δ lm δ( x x ). 이제 Φ l i ( x) 를내부첨수 (index) l, i와공간첨수 x 를통합하여하나의첨수 a로나타내어 Φ a 라쓰기로하면반교환 관계식은 {Φ a, Φ b } = δ ab 과같은모양으로더욱간단하 게쓸수있게된다. δ ab 과같은표현은연속적인첨수에 대해서는델타함수그리고불연속적인첨수에대해서는 크로네커델타를의미한다. 그리고같은첨수가두번나오는 경우는그첨수에대한합산을의미하는데연속적인첨수에 대해서는적분을의미한다. 즉위의디락장의경우에는 a = l i d x 를의미한다. 그러나본연구에서우리는일반적인페르미장이론을 대상으로할것이다. 위와같은방법으로모든페르미장을 에르미트화하여모두 ϕ a 와같이나타낼수있을것이다. 그러면 {ϕ a, ϕ b } = δ ab (1) ϕ a = ϕ a () 가된다. 또한여기서는편의상첨수 a 가불연속인경우를 다룰것이지만 x 와같은연속적인첨수를포함하는경우에 도많은결과들이제한이있지만대부분확장된다. 그리고 a 는 a = 1,,, N 의값을취한다. 본논문에서는 N 이 짝수인경우만고려한다. 또한여기서는식 (1) 에서볼수 있는바와같이양의정부호 (positive definite) 인힐버트 (Hilbert) 공간을가지고있는장이론만고려한다 1. ϕ a 를 파동함수 u i 를사용해다른페르미장 a i 로나타낼수 있을것이다. ϕ a = i u i aa i. 실수행렬 u i a 는다음과같은직교성 (orthogonality) 조건을 만족시킨다. u i au j a = δ ij, a i u i au i b = δ ab. 이렇게되면 a i 도같은반교환관계식을만족시킨다. {a i, a j } = δ ij. 결국이반교환식관계식이 O(N) 변환에대해불변인것을 보여준다. 에르미트연산자인 a i 를두개씩묶어다음과같이새로운 연산자 b k 를정의하고파동함수 u i 도두개씩묶어복소수 파동함수 v k 를정의한다. b 1 = 1 (a 1 + ia ), v 1 = 1 (u 1 + iu ) b = 1 (a 3 + ia 4 ), v = 1 (u 3 + iu 4 ) 이렇게하면반교환관계식은 {b k, b l } = δ kl, {a i, a j } = δ ij {b k, b l } = 0 = {b k, b l } {b k, a i } = 0 = {b k, a i} 가된다. 위와아래에서첨수 i 는짝을짓지않은경우를 가르킨다. 이제 ϕ a 는다음과같이쓸수있게된다. ϕ a = k (v k ab k + v k a b k ) + i u i aa i. (3) 1 이경우일반적으로쓰면 {ϕ a, ϕ b } = η ab 와같은꼴이나 ϕ a 를재정의하면 δ ab 와같이된다. 또한부정부호 (indefinite) 인경우는추후에다룰예정이다. 이 O(N) 은반교환자 (anticommutator) 의대칭성을의미하는것으로해밀토니안이주어진물리계의대칭성을의미하는것은아니다. 실제물리계의대칭성은 O(N) 보다크게작게된다.

3 744 New Physics: Sae Mulli, Vol. 66, No. 6, June 016 위와같은짝짓기는 v k 를순허수이고반대칭인행렬의고 유벡터로취함으로자연스럽게행하여진다. 이를위해 ϕ a 의이차항들로이루어진가장일반적인해밀토니안을생각 하여보자. H 0 = 1 ϕ a M ab ϕ b. a,b M 를 a b 에대해대칭항과반대칭항으로나누면 M = M S + M A 로쓸수있는데대칭항인 a,b ϕ am S ab ϕ b 는 c- number 가되므로무시한다. 한편해밀토니안은에르미 트가되어야하므로 H 0 = H 0 이고따라서 M ab = M ab 가된다. 즉 M ab 는반대칭이고순허수인행렬이다. H 0 를 대각선꼴로쓰기위해서는행렬 M 의고유벡터를구해야 한다. 바로 v k 와 u i 가이에해당된다. Mv k Mv k = m k v k Mu i = 0. = m k v k 여기서 m k 는 0 이아닌실수이고 u i 는고유값이 0 인고유 벡터이다. 이 v k 로부터대응되는 b k 를얻을수있고 a i 도 결정된다. 이제해밀토니안은다음과같이대각선꼴이된다. H 0 = 1 k m k (b k b k b k b k ). (4) 위에서볼수있는바와같이제로모드에해당되는 a i 는 별도의클리포드대수를형성한다. 이러한예는초끈이론의 Ramond 섹터에서볼수있다. 또한위에서 m k > 0 라고 하지않았음에유의하라. 다음은힐버트공간을구성하는것인데일반적으로진 공상태 0 를먼저정의하고이를기준상태로하고연산 자들을작용시켜다른상태벡터를얻게된다. 그러나사실 기준상태가유일한것은아니다. 따라서본논문에서는 이를고정시키지않고쓰기로한다. 이렇게되면무엇이 생성연산자가될지는그기준상태에의해결정된다. III. 라그랑지안 에르미트페르미장 ϕ a 로표현된가장일반적인해밀토 니안 H(ϕ) 에대응되는라그랑지안은무엇일까? 곧보여주 겠지만라그랑지안으로부터해밀토니안을구하는표준화된 방법을맹목적으로사용하면틀린결과를준다. 라그랑지안 으로부터얻어지는오일러 - 라그랑쥬방정식과해밀토니안 으로부터얻어지는양자역학의운동방정식이같은결과를 주어야한다. 그러나양자역학의경우에는 ϕ a 와같은연산자의순서 가중요하게되어양자역학의관계식 Q = i[h, Q] 를고전 랑그랑지안에서얻어지는오일러 - 라그랑쥬방정식과직접 비교할수없다. 페르미장의경우곧기술하겠지만고전 랑그랑지안의경우는반교환하는그라스만 (Grassmann) 변수가 ϕ a 의역할을하므로해밀토니안도모든 ϕ a 들에 대해반대칭화 (antisymmetrization) 되어있다고해야할 것이다. 또한해밀토니안은 ϕ a ϕ a 에대해불변이라고 가정한다. 이경우아래와같이쓸수있다. [H, ϕ a ] = H {ϕ b, ϕ a } = H η ba = i ϕ b ϕ ϕ a. b 위에서는일반적으로 {ϕ b, ϕ a } = η ba 라놓았다. 라그랑지안은그라스만변수 ξ a 로표현되는양으로아 래와같이놓자. L(ξ, ξ, t) = a,b ϵ ab ξ a ξb H(ξ, t). (5) 반교환하는변수 ξ a (t) 에대해변분을취하여오일러 - 라그 랑쥬방정식을구하면다음과같다. 두식을비교하면 ϵ ba ξb = ϵ ab ξb H(ξ). ξ a iη ab = ϵ ab + ϵ ba (6) 를얻는다 3. η ab = δ ab 이므로 ϵ ab = i δ ab 로하면된다. 다음장에서경로적분을사용하여해밀토니안과랑그랑지 안과의관계에대해좀더알아볼것이다. IV. 클리포드대수 σ a ϕ a 라하면 σ a 는다음의클리포드대수관계식을 만족시킨다. {σ a, σ b } = δ ab. (7) 여기서 a 는 1 부터 N 까지변하는첨수이고본연구에서 는 N 이짝수인경우를고려한다고이미언급하였다. 이 3 이식에의해 ϵ ab 가유일하게결정되지않는데다른것으로택하여도작용량은같게되어오일러 - 라그랑쥬방정식은같게된다.

4 Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee 745 경우디락행렬의 Γ 5 와같은양을도입할수있다. 즉 Γ = ( i)σ 1 σ ( i)σ 3 σ 4 와같이정의하면 {Γ, ϕ a } = 0, Γ = 1, Γ = Γ (8) 가된다 4. 이제이계에서의힐버트공간은이클리포드대 수의기약표현 (ireducible representation) 의공간이고그 차원은 N/ 이될것이다. 그라스만변수 ξ a 에의한적분으로표현된다음과같은 양을고려하여보자. I( α α ) d N ξ i N/ e Γξ ϕ α α e Γξ ϕ. (9) 여기서 d N ξ = dξ 1 dξ dξ N 이고 ξ ϕ = a ξ aϕ a 이다. 앞으로의계산에다음의관계식이유용하게쓰인다. [Γξ ϕ, Γξ ϕ] = ξ ξ e Γξ ϕ = a e Γξaϕa. (10) 우선 N = 인경우를먼저계산하여보자. 이경우힐버트 공간은 차원으로 σ 1 과 σ 는각각파울리행렬 σ x 와 σ y 로 볼수있고 Γ = σ z 와같다. ξ ϕ = 1 (ξ 1 σ x + ξ σ y ) 이다. 상태벡터는 Γ = σ z 의고유값에따라 1 또는 1 로나타 내자. 계산은간단한데그결과는다음과같이요약된다. I( γ γ ) = γδ γγ. (11) 위에서 γ, γ = ±1 이다. N = 의경우에는모든연산자 Ω 에대해 I(Ω) 가항상 I 에비례함에유의하여라. 위의그라 스만변수적분에서 dξ 1 dξ ξ 1 ξ = dξ 1 ξ 1 dξ ξ = 1 을사용하였다. 규격화된일반적인상태벡터 α = c c 1 1 의경우 I( α α ) = c 1 c 1 가된 다. c 1 = 1 c 1 이므로 I() = 1 이면 c 1 = 0 이고 I() = 1 이면 c 1 = 0 가된다. 다른표현으로하면 I() = 1 이면 Γ α = α 이고 I() = 1 이면 Γ α = α 이다. 물론의이의역도성립된다. 이와같은성질들은일반적인 N 에대해서도맞는다. 일반적인 N 의경우를증명하기위해서먼저아래의관 계식을유도하여보자. tri( A B ) = N/ B Γ A. (1) 두행렬 P 와 Q 가그라스만수를포함하고있으면 tr(p Q) = tr(qp ) 같은식은더이상성립되지않는다. 그라스만수의 4 장론에서 Γ 와비슷한것이나오는예로초끈이론에서 GSO 사영 (projection) 을할때사용하는 G 패리티라고불리우는 ( 1) F 이있다. 홀짝성에따라 P = P e + P o 와 P = Q e + Q o 같이쓰면 tr(p Q) = tr(qp Q o P o ) 와같을것이다. 이결과를사 용하면 tri( A B ) = = d N ξ i tr{ A B N/ sinh (Γξ ϕ)} d N ξ i tr{ A B (Γξ N/ a ϕ a )} a = N/ B Γ A. 그라스만변수에대한적분관계식 dξ ξ f(ξ) = 0 으로부터다음의적분식을얻는다. 0 = d N ξ e Γξ ϕ B A e Γξ ϕ i N/ ξ a ξ a 에대한미분은피적분함수에대해변분 ξ a ξ a + δξ a 를취해서얻을수있다. δ ( e Γξ ϕ A B e Γξ ϕ) = Γδξ ϕe Γξ ϕ A B e Γξ ϕ + e Γξ ϕ A B e Γξ ϕ Γδξ ϕ. 위결과를얻으려면 e M+m = e m 1 [m,m] e M = e M e m+ 1 [m,m] 과같은관계식을사용하여약간의계산을 해야한다. 이제상태벡터 A 와 B 가모두 Γ 의고유상태 라고하자. 그러면우변의둘째항안의 Γδξ 를왼쪽끝으로 움직일수있다. 두상태의 Γ 고유값이같으면 δξ a Γ[ϕ a, e Γξ ϕ A B e Γξ ϕ ], 두상태의 Γ 고유값이다르면 δξ a Γ{ϕ a, e Γξ ϕ A B e Γξ ϕ } 가된다. ξ a 에대한미분은바로 δξ a 오른쪽에있는항이된 다. 따라서적분을하면첫번째경우에는 [ϕ a, I( A B )] = 0, 두번째경우에는 {ϕ a, I( A B )} = 0 가된다. 모든 ϕ a 에대해성립하므로다음과같은결론을얻는다. 두상태 A 와 B 의 Γ 고유치가같으면 I( A B ) I, 다르면 I( A B ) Γ 이다. 이제 A = B 인경우를생각하여보자. 위결과와식 (1) 를사용하면 A 의 Γ 고유치가 1 이면 I( A A ) = 1 이고 1 이면 I( A A ) = 1 임을쉽게알수있다. 이 제이의역을증명하기위해 I( A A ) = ±1 라고하자. A = A 1 + A 1 와쓸수있다. 여기서 A 1 와 A 1 의 Γ 고유치는각각 1 과 1 이다. 위의결과에의하면 I( A A ) = A 1 A 1 A 1 A 1 + (Γ 항 )

5 746 New Physics: Sae Mulli, Vol. 66, No. 6, June 016 가된다. 위에서 Γ 항은 A 1 와 A 1 둘중하나라도 0 이면없어지는항이다. I( A A ) = ±1 이고 A 1 A 1 + A 1 A 1 = 1 이므로결국 A 1 = 0 또는 A 1 = 0 가 된다. 다. 6 결과를요약하면다음과같다 5. I( α α ) = ±I 이면 Γ α = ± α 이다. 또한이의역도성립된다. 따라서앞으로는 Γ α = ± α 가되는 α 만을고려한 또한이러한 α 에대해다음의관계식이성립됨을 쉽게보일수있다. α ϕ a α = 0. (13) V. 경로적분 해밀토니안 H(ϕ, t) 로기술되는양자역학계에서 B U(t, t) A 와같은양을계산한다고해보자. 여기서유니터리연산자 U(t, t) 는 T exp( i t dth(t)) 와같이 쓸수있다. 여기서 T 는시간순서정렬 (time ordering) 을의미한다. t 에서 t 까지의시간간격을 t = t 0 < t 1 < t < < t M < t M+1 = t 와같이잘게나누자. 그 러면 U(t, t) = U(t M+1, t M ) U(t k+1, t k ) U(t 1, t 0 ) 가 된다. t k+1 t k = ϵ 이아주작을때에는 U(t k+1, t k ) exp{ ih(t k )ϵ} 로놓을수있다. 따라서대표적으로 exp{ ih(t)ϵ} 에주의를집중시켜 보자. 전절의결과를사용하면다음과같이된다. d e ih(t)ϵ N ξ d N ξ = i N/ i N/ 또한 e Γξ ϕ α α e Γξ ϕ e ih(t)ϵ e Γξ ϕ α α e Γξ ϕ. t 가된다. 여기서 ξ a ξ a ξ a ϵ, ξ ξ = (ξ ξ) ξ ξ ξϵ 그리고 α ϕ a α = 0 를사용하였다. 아래와같이새로운라그랑지안을정의를하면 L α (ξ, ξ, t) = i ξ ξ α H(ϕ + Γξ, t) α, (14) 더욱간단하게쓸수있게된다. α e Γξ ϕ e ih(ϕ,t)ϵ e Γξ ϕ α e il α(ξ, ξ,t)ϵ + O(ϵ ). 위의결과를 t 0 부터 t M+1 까지의모든시점에적용하면 아래의식을얻는다. B U(t, t) A = (±1) lim M M+1 k=0 d N ξ(t k ) i N/ Ψ B(ξ(t M+1 )) e i t t dtl α (ξ, ξ,t) Ψ A (ξ(t 0 )). 여기서전역적인수 (±1) 는 α 의 Γ 고유값이나적분에서 그라스만수교환에따른부호를감안해넣은것이다. 또한 Ψ B 와 Ψ A 는아래와같이정의되어있다. Ψ B(ξ) = B e Γξ ϕ α, Ψ A (ξ) = α e Γξ ϕ B. 이두파동함수는다음과같은직교관계를만족시킨다. d N ξ i N/ Ψ B(ξ)Ψ A (ξ) = ± B A 결국아래와같이일반적인경로적분꼴로쓸수있게된다. B U(t, t) A (15) = (±1) [dξ]ψ B(ξ(t )) e i t dtl t α (ξ, ξ,t) Ψ A (ξ(t)). 또한상태벡터 α 에대해해밀토니안 H(ϕ, t)) 가이미표 준정렬 (normal ordering) 되어있다면 α H(ϕ + Γξ, t) α = H(ξ, t) (16) 를사용하면 e Γξ ϕ ϕ a e Γξ ϕ = ϕ a + Γξ a 가되어 L α (ξ, ξ, t) = L(ξ, ξ, t) 가되게된다. α e Γξ ϕ e ih(ϕ,t)ϵ e Γξ ϕ α = e 1 ξ ξ α e Γ(ξ ξ) ϕ e ih(ϕ+γξ,t)ϵ α e i( i ξ ξ α H(ϕ+Γξ,t) α )ϵ + O(ϵ ) 5 수학적귀납법을사용하는증명도가능하다. 6 -Γ 도 Γ 의모든성질을만족시키기때문에부호 ± 의절대적인의미는없다. 또한 ϕ a 의짝짓기순서에따라서도 Γ 의부호가달라진다. 따라서항상 Γ α = α 로잡을수있으나여기서는부호를구분하기로한다. VI. 결론해밀토니안 H 가상태벡터 α 에대해표준정렬되어있다면기존의경로적분과같아진다는것을보였다. 그러나본논문의결과는조금더많은것을포함하고있다. α 는 Γ 의고유벡터이기만하면되고그에따라식 (14) 으로주어지는라그랑지안을사용하면된다.

6 Fermi Fields, Clifford Alegebras and Path Integrals Cheolhoi Hwang Haewon Lee 747 감사의글이논문은 014학년도충북대학교학술연구지원사업의연구비지원에의하여연구되었습니다. REFERENCES [1] R. P. Feynman, The Principle of Least Action in Quantum Mechanics (Princeton University, 194). [] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, New York, 1965). [3] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Cambridge University Press, 1995). [4] L. S. Brown, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 199).

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