중등교육연구 2018, 66(3), 평면테셀레이션에대한대수적고찰 * 1)2) 정영우 ( 울산대 ) 김부윤 * 유현기 ( 부산대 ) 김도영 ( 한국과학영재학교 ) 조하현 ( 남산중 ) < 요약 > 학교수학에서다루어지는테셀레이션에관한내용은주로기하학적

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종박 연
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1 중등교육연구 2018, 66(3), 평면테셀레이션에대한대수적고찰 * 1)2) 정영우 ** ( 울산대 ) 김부윤 *** 유현기 ( 부산대 ) 김도영 ( 한국과학영재학교 ) 조하현 ( 남산중 ) < 요약 > 학교수학에서다루어지는테셀레이션에관한내용은주로기하학적관점의결과론적인내용이많다. 그러나기하학적인관점은어떻게해서그도형의모양과사용개수가결정되었는지, 과연그것이모든경우인지에대한답을주지못한다. 따라서본연구에서는대수적관점에서테셀레이션의기본요소를설정하고, 각경우에대한명제를학교수학의수준에서정당화하였다. 이러한과정에서테셀레이션의정의와테셀레이션이되기위한조건을엄밀화하였으며, 일반적으로말해지는결과들이과정적결과를말하고있지않음을보였다. 또한일부명제에대한새로운증명법을고안하였다. 이러한활동은수학적개념에대한 Make Math 과정을이해하는소재로서의가치를가진다. 주요어 : 테셀레이션, 정당화, 대수적관점, Make Math * 이과제는부산대학교기본연구지원사업 (2 년 ) 에의하여연구되었음. * 본논문은 2017 년부산대학교과학영재교육원사사반과정에서연구한내용을대폭수정 보완하고, 심화 발전시킨것임. ** 제 1 저자, young38woo@hanmail.net *** 교신저자, kimby@pusan.ac.kr

2 902 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 Ⅰ. 연구의배경및필요성 2015년 8월 18일, 새로운수학적발견에관한기사가각신문마다게재되었다. 기사의내용은평면테셀레이션 (Tessellation) 이가능한 15번째의오각형이발견되었다는것이었다. 일부기사에서는이러한발견이수학사에남을업적 1) 이라고까지평가하였다. 학교수학에서테셀레이션은단위도형을가지고기본조작을반복적으로사용하여평면이나공간을메우는과정에대한고찰과그결과물 ( 패턴 ) 의조화로움또는아름다움을주제로하는경우가많다. 그러나테셀레이션의또다른가치는 효율성 ( 경제성 ) 과 안정성 이며, 이는주로구조의관점에서의의를가진다. 예를들어, 화학물질의구조등안정성을추구하는구조의연구에있어중요한개념이된다 2). 그러한이유로평면테셀레이션이가능한 15번째오각형의발견은수학뿐만아니라생활이나각종산업및과학분야에새로운가능성을열어준다는가치를가진다. 한편학교수학에서의지도내용을살펴보면, 평면테셀레이션에대한결과적인사실만을제시하고있을뿐그에대한증명과정이나이유를설명하고있는것은거의없다. 더구나이들내용은대부분기하학적인관점에서접근하고있다. 학교수학과관련한연구내용도기하학적인것이대부분으로, 정다각형의테셀레이션이나에셔의작품을활용하는등의학생활동에관한것이많았다 ( 계영희, 2005; 백선수 김원경, 2007; 박현미 강신포 김성준, 2007; 계영희 김종민, 2008; 임해경 박은영, 2002; 김남균, 2004). 그러다보니왜그런도형을왜그만큼사용하게되었는지는알수없으며, 따라서사고의과정이나수학적엄밀성이결여되어있다. 또한대수적으로고찰하고있는경우 ( 빈지현, 2015; 신원국, 2009; 이순희, 2004; 전영아, 2000) 도논의가개괄적으로주어지고있으며, 비정다각형의테셀레이션은정당화없이결과만을제시하고있다. 특히정다각형과준정다각형을이용한평면테셀레이션을연구하고, 가장많은 1) 2) %ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81

3 평면테셀레이션에대한대수적고찰 903 대수적계산을한빈지현 (2015) 의연구에서도테셀레이션이되는경우의정당화에만주력하고있어테셀레이션이되지않는경우의정당화에대해서는간과하고있다. 예를들어, 변위에오는경우를단순히다루지않는다고서술한다거나합동인도형만을사용하고한점에모이는개수와규칙이동일한경우만다루고있다. 즉, 테셀레이션을이루는모든요소들과경우의수를체계적으로고찰하고있지않다. 또한배열에관해서는기하학적으로제시하고있다. 따라서본연구에서는이런연구들을재탐구하며, 나아가관련된다른명제들에대해서그러한결과가나오게된과정을대수적으로탐구하고정당화한다. 이러한연구는결과가아닌과정에가치를두고결과적지식이아닌그지식의형성과정을수학적으로고찰하는것으로, 결과에가려진본질적내용을발견적으로경험할수있는 Make Math 활동으로서의가치를가진다. 본연구에서는다음과같이연구과제를설정한다. 1. 테셀레이션에대한이론탐구를통해기존정의와조건의한계점을밝혀평면테셀레이션을위한조건을엄밀화한다. 2. 이를바탕으로고려요소를선정하고, 각경우에대해대수적으로탐구하여정당화한다. Ⅱ. 연구내용및결과 1. 평면테셀레이션에관한이론적고찰 가. 평면테셀레이션의정의와조건 평면테셀레이션은같은모양의조각들을서로겹치거나틈이생기지않게 늘어놓아평면이나공간을덮는것 3) 이다. 그러므로한점에모이는도형의내 3)

4 904 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 각들의합이 이어야한다. 단, 사용되는도형은볼록다각형인경우만대상으로한다. 그리고평면테셀레이션에서의조작방법은평행이동, 회전이동, 대칭이동을기본조작으로하여, 이들의합성에의해모두 17가지의방법이있다 4). 하지만본연구에서조작방법은고려하지않기로한다. 어떤조작을하든과정적차이일뿐평면테셀레이션이되는경우를탐구하는데있어서는이방법을벗어나지않으며, 또한본연구의논의를벗어나기때문이다. 따라서평면테셀레이션에관한이론적고찰에서얻은평면테셀레이션의정의와조건을정리하면다음과같다. 정의. 같은모양의조각 ( 단위도형 ) 들을서로겹치거나틈이생기지않게늘어놓아평면을메우는것을평면테셀레이션이라한다. 조건. 한점에모이는도형의내각들의합이 이어야한다. 단, 사용되는도형은볼록다각형인경우만으로한정한다. 나. 평면테셀레이션의종류 평면테셀레이션은먼저사용하는도형의모양에따라분류할수있다. 비정다각형을사용하는경우는비정다각형테셀레이션이다. 정다각형을사용하는경우는사용하는정다각형의개수에따라서다시분류할수있다. 한종류의정다각형을사용하는경우는정규테셀레이션이다. 두종류이상의정다각형을사용하는경우는각각의꼭짓점에정다각형들이모이는모양에따라또다시분류할수있다. 이중각꼭짓점에모이는모양이모두같은경우를준정규테셀레이션이라고한다. 그리고각각의꼭짓점에모이는모양이여러개일경우를비정규테셀레이션이라한다. 4) 자세한내용은杉原厚吉, 2011 참고.

평면테셀레이션에대한대수적고찰 905 정규테셀레이션의예 5) 준정규테셀레이션의예 6) 비정규테셀레이션의예 ( 정다각형 ) 7) 비정규테셀레이션의예 ( 펜로즈타일 ;

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5 평면테셀레이션에대한대수적고찰 905 정규테셀레이션의예 5) 준정규테셀레이션의예 6) 비정규테셀레이션의예 ( 정다각형 ) 7) 비정규테셀레이션의예 ( 펜로즈타일 ; 비정다각형 ) 8) [ 그림 1] 평면테셀레이션의분류와예시 5) %93%9C_%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%9D%98_%ED%85%8C%EC%85%80%E B%A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98 6) 93%9C_%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%9D%98_%ED%85%8C%EC%85%80%EB %A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98 7) 93%9C_%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%9D%98_%ED%85%8C%EC%85%80%EB %A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98 8) %EB%93%9C_%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%9D%98_%ED%85%8C%EC%85%80%EB% A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98

6 906 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 2. 대수적탐구 앞의평면테셀레이션의분류에는다음과같은경우의논의가빠져있다. 1 종류는같지만크기가다른 ( 닮음인 ) 도형을사용하는경우 2 변위에꼭짓점이놓이는경우 따라서본연구에서는이러한요소까지고려하여평면테셀레이션에대해총체적으로고찰한다. 그런데대수적고찰에의해서는임의의꼭짓점에대해사용되는도형의모양과개수만이정해지게된다. 따라서이들을배열할때각점에모이는상태 ( 패턴 ) 를이차적으로판단할필요가있다. 그리고이러한요소를고려하면모양이다른도형을여러개사용하거나닮음인도형을사용하는경우, 그리고변위에다른도형의꼭짓점이오는경우도있으므로앞에서주어진평면테셀레이션의정의는수정이필요하다. 따라서평면테셀레이션의정의와조건을다음과같이수정한다. 수정된정의. 단위도형들을사용하여서로겹치거나틈이생기지않게평 면을메우는것을평면테셀레이션이라한다. 수정된조건. 한점에모이는도형의내각의합이 이거나변위의한 점에모인도형의내각의합이 이어야한다. 단, 사용되는도형은볼록다 각형만이다. 1) 평면테셀레이션구성의고려요소와경우의수 평면을빈틈없이메우기위해서는사용하는도형의모양, 사용하는서로다른도형의개수, 사용하는도형의크기, 모으는방법, 모인상태, 채우는차원까지도고려해야한다. 본연구에서는평면테셀레이션구성의고려요소를 1 사용하는도형의모양, 2 사용하는서로다른도형의개수, 3 사용하는도형의크기, 4 모으는방법의네가지로설정한다, 모인상태 ( 패턴 ) 는테셀레이

7 평면테셀레이션에대한대수적고찰 907 션이되는대상도형과사용개수를대수적으로구하고난이후의논의이므로고려요소에는넣지않으며, 테셀레이션의실행단계에서고려하기로한다. 먼저, 사용되는도형의모양으로는정다각형과비정다각형을생각할수있다. 그리고사용되는서로다른단위도형의개수는 개, 개, 개, 개이상 ( 정다각형의경우, 각기다른도형들을사용하여평면테셀레이션을만들때는 개를초과할수없으므로 ) 인경우로나눌수있다. 사용되는도형의크기는같은크기나다른크기로나눌수있으며, 이때모양은닮음인것으로한다. 또한모으는방법은한꼭짓점에도형을모으거나변위에꼭짓점이놓이는방법이있다. < 표 1> 평면테셀레이션구성의고려요소 단위도형의모양정다각형, 비정다각형사용하는도형의크기합동, 닮음 서로다른단위도형의개수 개, 개, 개, 개이상모으는방법한점, 변위 따라서총경우의수는 ( 가지 ) 이다. 가지경우의수는 다음과같다. < 사용도형이정다각형인경우 > 1 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 2 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 3 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 4 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 5 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 6 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 7 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 8 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 9 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우

8 908 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 10 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 11 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 12 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 13 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 14 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 15 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 16 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 < 사용도형이비정다각형인경우 > 1 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 2 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 3 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 4 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 5 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 6 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 7 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 8 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 9 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 10 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 11 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우

9 평면테셀레이션에대한대수적고찰 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 13 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는경우 14 비정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는경우 15 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는경우 16 비정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우 2) 대수적고찰 9) 평면테셀레이션구성의요소를고려하였을때총 가지경우가있었다. 이들각경우에대해평면테셀레이션이되는구체적조건들을대수적으로검 토한결과는다음과같다. < 사용도형이정다각형인경우 > 명제 1 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하 는평면테셀레이션은 가지뿐이다. 증명. 정 각형 의한내각의크기는 이다. 한꼭짓점 에 개의내각이모인다고하면다음과같은관계가성립한다. 9) 각명제의증명은모두연구자들이직접증명한것이다. 다만정다각형인경우의명제 1, 5, 9 는여러연구에서유사한증명이제시되었다. 그러나본연구와같이평면테셀레이션의요소와경우의수를나눈것이아니어서논증의아이디어와서술과정에는차이가있다.

10 910 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 이므로 이다. 이때 이므로 이고, 따라서 이다. 그러므로 이고, 일때, 일때, 일때, 일때 이다. 그런데 은정수이므로 인경우는성립하지않는다. 따라서합동인정삼각형, 정사각형, 정육각형 인경우만각각의반복적인사용으로평면을메울수있다. 명제 2 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이 오는평면테셀레이션은없다. 증명. 정다각형 개종류를사용하고변위에점들이오는경우는두가지 로나누어생각할수있다. 먼저명제 1 에서테셀레이션이가능했던것중평 행이동에의해한꼭짓점을다른단위도형의변위로이동시켜테셀레이션하 는경우이다. 이경우는삼각형, 사각형으로평면테셀레이션이가능하며, 육각 형으로는평면테셀레이션이불가능하다. 그러나가능한경우라도평행이동이 연속적으로이루어지므로무한의경우가존재하여대수적으로는의미가없다. 그외다른정다각형을사용하여테셀레이션을하는경우는정삼각형이나정 사각형처럼일부영역이두평행선사이를메우도록놓을수없으므로테셀레 이션이불가능하다. 왜냐하면변위에점이놓이므로직선 ( 변 ) 이아닌부분의 내각의합이 이어야한다. 즉, 그러한정 다각형의한내각을, 모인 도형의개수를 이라하면 ( 단, 은자 연수 ) 이어야한다. 그런데이러한자연수, 은존재하지않는다.

하지만인접한두도형의경우변의길이가다르므로반드시변위에한점이놓이게된다. 따라서조건을만족하는평면테셀레이션은불가능하다. 그리고 < 사용도형이정다각형인경우 > 의 7, 11, 15도같은이유로평면테셀레이션이불가능하다.

11 평면테셀레이션에대한대수적고찰 911 [ 그림 2] 명제 2 의예 이러한논의는 < 사용도형이정다각형인경우 > 의 8, 12, 16, < 사용도형이비정다각형인경우 > 의 4, 8, 12인경우에도마찬가지이다. 명제 3 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용해한점에모이게하는평면테셀레이션은없다. 증명. 한변의길이가각각 인정 각형으로평면테셀레이션이가능하다고하자. 그러면한점에닮음인모든정 각형의내각이모여야한다. 하지만인접한두도형의경우변의길이가다르므로반드시변위에한점이놓이게된다. 따라서조건을만족하는평면테셀레이션은불가능하다. 그리고 < 사용도형이정다각형인경우 > 의 7, 11, 15도같은이유로평면테셀레이션이불가능하다. 진술 4 정다각형 개종류로, 닮음인도형을사용하되변위에점들이오는경우는현재 가지가알려져있으며, 총몇가지인지는알려져있지않다. 이문제는길이의닮음비를패턴화할수없다. 따라서대수적으로고찰할수없다. 그러나이것은기하적인관점에서 루진 (Luzin) 의문제 로수학자들에의해서연구되고있다.

12 912 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 [ 그림 3] 루진의문제의예 ( 吉田稔외, 1989) 명제 5 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게 하는평면테셀레이션은 가지뿐이다. 증명. 우선, 정 각형, 정 각형 이각각 개, 개 가 한점에모이는테셀레이션이가능하다고하자. 정 각형과정 각형의내각은 모두 보다크거나같으므로정삼각형만붙인다고하더라도 개를초과해 서붙일수없으며, 정 각형과정 각형모두정삼각형일수도없다. 따라서정 각형과정 각형을합쳐서한꼭짓점에 개이상모을수없다. 그러므로한 점에모이는정다각형의개수는 개, 개, 개인경우뿐이다. ⅰ) 한점에 개의정다각형이모이는경우 10) 이경우 라하면, 를만족해야한다. 즉, 이고, 이다. 이때 이므 로 이고, 따라서 이다. 10) 한점에정 각형, 정 각형, 정 각형이모이는경우를 로표기하기로하자 ( 단, 가모두동시에같을수는없지만일부는중복하여사용할수있다 ). 이후이표기법은동일하게확장된다.

13 평면테셀레이션에대한대수적고찰 913 이면, 이므로 이고, 이다. 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 일때 이다. 그런데 는정수이고, 사용도형의종류는두가지이므로가능한것은 하나뿐이다. 이면, 이므로 이고, 이다. 일때, 일때, 일때, 일때 이고, 이 중가능한것은 하나뿐이다. 이면, 이므로 이고, 이다. 일 때, 일때 이고, 이중가능한것은 하나뿐이다. 이면, 이므로 이고, 이다. 일 때, 일때, 일때 이어서, 이중가능한것은 이지만조건에맞지않는다. ⅱ) 한점에 개의정다각형이모이는경우 이경우 를만족해야한다. 따라서 이고, 따라서 이다. 이때 이므로 이고, 따라서 이다. 이면, 이므로 이고, 이다.

14 914 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 일때, 이므로 이고, 이다. 일때, 일때, 일때 이며, 이중가능한것은 하나뿐이다. 일때, 이므로 이 고, 따라서 인데, 이때는 으로한점에세종류가모이 게되어조건에위배된다. 이면, 이므로 이어서 이고, 이므로 이어서 이고, 이때, 이므로 가되어조건에위배된다. ⅲ) 한점에 개의정다각형이모이는경우 ( 단, ) 를만족해야하므로 이다. 이므로 이고, 이다. 또한 이므로 이고, 이다. 그리고 이므로 이고, 이다. 마찬가지로 이므로 이고, 따라서 이다. 일때, 일때 이므로, 이때가능한것은, 두가지뿐이다. 결과적으로,,,,, 의총 가지방법으로평면을메울수있다. 그런데이대수적방법에의한계산결과는사용되는도형의모양과각도형의사용개수에대한것만을지정하고있을뿐이들단위도형들을배열하는

하지만정오각형의변은 개이므로반드시어느하나의도형이다른것보다 개많아지게되어정오각형 개, 또는정오각형 개와정 각형 개가놓이는점이반드시존재한다.

15 평면테셀레이션에대한대수적고찰 915 방법에대한정보를가지고있지않다. 예를들어, 과 은대수적으로는같으나배열하는방법을고려하면한점에모이는모양이다를수있다. 따라서배열방법 ( 모인상태 ) 에대한고찰이필요하다. 은임의의한점에정오각형 개와정 각형 개가모여야한다. 이때, 정오각형을기준으로생각하면, 다른정오각형과정 각형이첫번째놓은정오각형의둘레를돌아가며배치되어야한다. 하지만정오각형의변은 개이므로반드시어느하나의도형이다른것보다 개많아지게되어정오각형 개, 또는정오각형 개와정 각형 개가놓이는점이반드시존재한다. 두경우모두세각의합이 로 가되지않으므로 으로는평면테셀레이션이불가능하다. [ 그림 4] 불가능성 한편, 의경우는 과 의두가지패턴을만들수있으나, 의경우는임의의한점에정삼각형 개와정육각형 개가모여야한다. 이경우는내각의합이 가되므로앞의방법으로판단할수없다. 관점을바꾸어패턴을생각한다. 먼저정삼각형을기준으로생각하여삼각형이변을마주하며 [ 그림 5] 정규테셀레이션

16 916 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 하나가와야하며나머지두변에정육각형 개가와야한다. 그러면마지막놓은정육각형과처음정삼각형사이에정삼각형이와야하는데이경우는정삼각형이 개인접하게되어조건에맞지않는다. 반면 은정규테셀레이션이가능하다. 그외나머지경우는모두앞과같은방법으로평면테셀레이션, 나아가정규테셀레이션임을알수있다. 명제 6 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이 오는평면테셀레이션은없다. 증명. ⅰ) 하나의정다각형의변위에이와다른정다각형하나가와서 가 되는경우는존재하지않는다. ⅱ) 하나의정다각형의변위에정다각형의두꼭짓점이모이는경우, 즉, 하나의정다각형의변위에정 각형, 정 각형 ) 이모인다고하면 를만족해야한다. 즉, 이고, 이므로 이다. 한편 이므로 이고, 이므로 이고, 이다. 이면, 이면, 이면, 이 면 인데, 과 은자연수이고, 과 은같은경우이므로 의 가지가있다. 정삼각형과정육각형을붙인것은본질적으로 명제 5 의 과같다. 그리고정사각형 개를붙인것은명제 5 의 와본질적으로같다. ⅲ) 하나의정다각형의변위에정다각형의세꼭짓점이모이는경우로는 정삼각형 개가놓이는경우가있다. 이경우는앞의 의경우와 본질적으로같다. ⅳ) 하나의정다각형의변위에정다각형의네꼭짓점이모이는경우는존

17 평면테셀레이션에대한대수적고찰 917 재하지않는다. 명제 9 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는평면테셀레이션은 가지뿐이다. 증명. 정 각형, 정 각형 을각각 개, 개 사용하여평면테셀레이션이가능하다고하자. 정 각형과정 각형의내각은모두 보다크거나같다. 그런데정삼각형만붙인다고하더라도 개를초과해서붙일수없고, 정 각형과정 각형모두정삼각형일수없으며적어도하나는그보다크므로정 각형과정 각형을합쳐서한꼭짓점에 개이상모을수없다. 따라서한점에모이는정다각형의개수를 개, 개, 개인경우로나누어생각할수있다. ⅰ) 한점에 개의정다각형이모이는경우 를 만족 해야한다. 따라서 이고, 이다. 한편 이므로 이고, 이다. 이면, 이므로 이고, 이다. 일때, 일때, 일때, 일때, 일때, 일때 이고, 이중조건에맞는것은,,, 이다. 이면, 이므로 이고, 따라서 이 다. 일때, 일때, 일때, 일때 이고, 이중조건에맞는것은 이다. 이면, 이므로 이고, 따라서 이다.

18 918 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 일때, 일때 이어서조건을만족하는경우는없다. 이면, 이므로 이고, 이다. 일 때, 일때, 일때 이어서, 조건을만족하는경우 는없다. ⅱ) 한점에 개의정다각형이모이는경우 이경우 를만족해야한다. 따라서 이다. 이때 이므로 이고, 따라서 이다. 이면, 이므로 이고, 이다. 또한 일때 이어서 이고, 이다. 그리고 일때, 일때, 일때 이어서, 가능한경우 는 뿐이다. 마찬가지로 일때 이므로 이어서 이고, 이다. 이때가능한경우는 뿐이 다. 이면, 이므로 이다. 따라서 이다. 그 리고 이므로 이어서 이고, 이때 이다. 따라 서조건을만족하는경우는없다. ⅲ) 한점에 개의정다각형이모이는경우

19 평면테셀레이션에대한대수적고찰 919 이경우 라할때, 를만족해야한다. 정리하 면 이다. 이때, 이고, 이어서 이다. 그러면 이므로 이고, 이다. 한편 이므 로 이고, 이다. 이므로 이고, 이다. 또한 일때, 일때 이어서, 조건을만족하는경우는없다. 따라서,,,,,,, 인경우만평면테셀레이션이가능하다. 이제배열방법에대한생각하자. 이중,,,,, 는불가능하다. 1 의경우, 정삼각형을먼저놓으면정 각형과정 각형이첫번째놓은정삼각형의둘레를돌아가면서배치되어야조건을만족한다. 하지만정삼각형의변은 개이므로, 정 각형과정 각형을배치하면반드시어떤하나의도형이다른것보다 개많아지게되어한점에정삼각형 개과정 각형 개, 또는정삼각형 개와정 각형 개가놓이게된다. 이때세각의합은약 와약 로 가되지않으므로 로는평면테셀레이션이불가능하다. 2 의경우, 정삼각형을먼저놓으면정 각형과정 각형이첫번째놓은정삼각형의둘레를돌아가며배치되어야조건을만족한다. 하지만마지막점에정삼각형 개와정 각형 개, 또는정삼각형 개와정 각형 개가놓이게된다. 이때세각의합은 와 로 가되지않으므로 로는평면테셀레이션이불가능하다.

20 920 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 3 의경우, 정삼각형을먼저놓으면정 각형과정 각형이첫번째놓은정삼각형의둘레를돌아가며배치되어야조건을만족한다. 하지만마지막점에정삼각형 개와정 각형 개, 또는정삼각형 개와정 각형 개가놓이게된다. 이때세각의합은 와 로 가되지않으므로 로는평면테셀레이션이불가능하다. 4 의경우, 정삼각형을먼저놓으면정 각형과정 각형이첫번째놓은정삼각형의둘레를돌아가며배치되어야조건을만족한다. 그런데마지막점에정삼각형 개와정 각형 개, 또는정삼각형 개와정 각형 개가놓이게된다. 이때세각의합은 와 로 가되지않으므로 로는평면테셀레이션이불가능하다. 5 의경우, 정오각형을먼저놓으면정사각형과정 각형이첫번째놓은정오각형의둘레를돌아가며배치되어야조건을만족한다. 그런데마지막점에정오각형 개와정사각형 개, 또는정오각형 개와정 각형 개가놓이게된다. 이때세각의합은 와 로 가되지않으므로 으로는평면테셀레이션이불가능하다. 6 의경우, 와 의두가지를만들수있으나, 둘모두비정규테셀레이션이된다. 먼저, 정 각형을기준으로각꼭짓점에 로테셀레이션을한다고하면, 정 각형의한꼭짓점에정삼각형과정삼각형그리고정사각형이와야 의조건을만족하게된다. 그런데이렇게테셀레이션을하면정 각형과붙지않은바깥쪽에정삼각형 개가모이게되어조건에맞지않다. 다음으로정 각형을기준으로각꼭짓점에 로테셀레이션을한다고하면, 정 각형의한꼭짓점에정삼각형, 정사각형, 정삼각형이와야 의조건을만족하게된다. 그런데이렇게테셀레이션을하면정 각형의바깥쪽에정사각형, 정삼각형, 정사각형이모이게되어조건에맞지않는다. 한편, 정사각형이나정삼각형을기준으로각꼭짓점에 로평면테셀레이션을하는경우도마찬가지패턴으로조건에맞지않는다. 따라서

21 평면테셀레이션에대한대수적고찰 921 는조건아래에서는평면테셀레이션이가능하지않다. 명제 10 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는평면테셀레이션은없다. 증명. 평면테셀레이션이가능하려면한변위에꼭짓점이오므로다른두도형이만나서이루는각이 이어야한다. 따라서사용가능한도형은한내각의크기가 보다작은정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐이다. 이때세종류가사용되므로같은모양은올수없다. 그런데정삼각형의한변위에정사각형, 정육각형이오는경우는 이므로불가능하다. 반면정사각형의한변위에정삼각형, 정육각형이오는경우는 로가능하다. 하지만, 이경우는결국 [ 그림 2] 와같이밀린경우이므로의미가없다. 그리고정육각형의한변위에정삼각형, 정사각형이오는경우는 로, 가능하지않다. 명제 13 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용해한점에모이게하는평면테셀레이션은없다. 증명. 서로다른정다각형 개를더하여평면테셀레이션이가능하다고하자. 먼저, 내각이작은순서대로정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형을각각하나씩붙여나가면그내각의합은 로 를넘어평면테셀레이션이불가능하다. 다른조합은내각의합이이보다더커지므로불가능하다. 명제 14 정다각형 개종류로, 합동인도형만사용하되변위에점들이오는평면테셀레이션은없다. 증명. 이러한평면테셀레이션이가능하다고하자. 한변위에꼭짓점들이모이는도형은서로다른 가지의정다각형이어야한다. 내각이작은순서대로정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형을각각하나씩붙여나가면그내각들의합은 로 를넘어평면테셀레이션이불가능하다.

22 922 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 < 사용도형이비정다각형인경우 > 사용도형이비정다각형인경우, 대수적으로패턴화하여고찰할수있는경우는사실상 < 사용도형이비정다각형인경우 > 의 1과 2의일부뿐이다. 이중평면테셀레이션이가능한경우를비정규테셀레이션이라한다. 1의경우는사용되는도형에따라다음과같이나누어생각할수있다. 명제 1-삼각형인경우임의의모든삼각형은평면테셀레이션이가능하다. 증명. 삼각형의세내각의합은 이기때문에, 세개의각을모두모으면항상 가된다. 그러므로삼각형 개를사용하여 개씩점대칭형식으로배열하면항상 가되어평면테셀레이션이가능하다. 명제 1-사각형인경우임의의모든사각형은평면테셀레이션이가능하다. 증명. 사각형의내각의합은 이므로한점에네개의사각형이각각다른각으로모이게하면항상한점에모이는각의합이 가되므로평면테셀레이션이가능하다. 한편, 오각형이나육각형의경우전적으로대수적관점에서증명하는것은학교수학의수준을훨씬넘어서고있다 11). 따라서기하학적관점과병행하여정당화를탐구하기로한다. 진술 1-오각형인경우합동인오각형을사용하여한점에모이는비정규테셀레이션은 개가발견되었다. 그러나그뿐인지는알려지지않았다. 11) Reinhardt, Karl(1918) 참고

평면테셀레이션에대한대수적고찰 923 [ 그림 6] 오각형테셀레이션 1 12)

그리고네개이상의내각이한꼭짓점에모인다고하면육각형의내각의합이 이므로나머지내각의합이

23 평면테셀레이션에대한대수적고찰 923 [ 그림 6] 오각형테셀레이션 1 12) 명제 1-육각형인경우육각형을사용한비정규테셀레이션은 가지뿐이다. 증명. 육각형을붙여평면테셀레이션이가능하려면한점에모인각의합은 가되어야한다. 또한한점에두개의내각이모인다고하면하나의육각형은오목육각형이어야한다. 그리고네개이상의내각이한꼭짓점에모인다고하면육각형의내각의합이 이므로나머지내각의합이 가되어야한다. 이러한조건을만족하는볼록육각형은존재하지않는다. 따라서한점에는세개의육각형의내각이모여야한다. 그리고한점에세개의내각이모여 가된다는것은육각형의세개씩의내각의합이 가된다는것과도같다. 한편, 평면테셀레이션이되려면하나의도형으로평면을메워야하므로한단위도형을둘러싸는변들이모두달라야한다. 따라서평면테셀레이션을하려면다음과같은조건을만족해야한다. 조건 1. 한점에모인각의합은 가되어야한다. 조건 2. 한점에세개의육각형의내각이모여야한다. 12) %ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81

24 924 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 조건 3. 남는변이있거나중복사용되는변이없어야한다. 이제 [ 그림 5] 와같은임의의육각형이있다고하자. 먼저육각형의내각은 개이므로조건 1과 2에의해세각의합이 가되는경우를나누면다음의세가지이다. 경우 1., 경우 2. 경우 3. [ 그림 7] 각의경우의수 < 경우 1> 이육각형에대해평면테셀레이션이된다고가정하자., 인경우, 변 에올수있는변은각의관계를고려하면 뿐이다. 그러나변의연결관계를생각하면 는불가능하다. 나머지경우에대해변의연결관계와각의관계를생각해가면 대응인경우 가지, 대응인경우 가지가있으며, 인경우는대응관계를형성하지않는다. 따라서다음의결과들을얻을수있다.

25 평면테셀레이션에대한대수적고찰 [ 그림 8] 경우 1 의결과 1의경우, 평면테셀레이션이가능하려면 라는조건을추가하면된다 ( 단, 는끝각이 인변과끝각이 인변의길이가같다는것을의미한다 ). 2, 3, 4의경우는경우 1의특수한경우이므로평면테셀레이션이가능하다. 따라서, 이고 인육각형이면평면테셀레이션이가능하다. < 경우 2> 마찬가지방법으로 인경우, 변 에올수있는변은각의관계를고려하면 뿐이다. 그리고변의관계를고려하면 는불가능하다. 나머지경우의변과각의관계를살펴보면다음의한가지만성립한다.

26 926 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 [ 그림 9] 경우 2 의결과 따라서 를추가로만족하면평면테셀레이션이가능하 다. 결과적으로 이고, 이면평면테셀레이션이가능하다. < 경우 3> 마찬가지방법으로 인경우, 변 에올수있는변은 뿐이다. 각경우의변과각의관계를살펴보면다음의유형들을얻을수있다. 1의경우는변을붙이는방향성으로인해불가능하다. 2, 3의경우는이웃한세쌍의변의길이가같다는조건을주면평면테셀레이션이가능하다. 5의경우는모든변이같아지므로정육각형테셀레이션과본질적으로같다. 4의경우, 이육각형은변 와 의중점을이은선분에대해선대칭이므로각 와각, 각 와각, 각 와각 가같다. 따라서세개의이웃한내각의합이 가되고, 이것은경우 1과본질적으로같다. 6, 7, 8, 9도 4와같은경우이거나조건을더부가한경우이므로평면테셀레이션이가능하다.

27 평면테셀레이션에대한대수적고찰 [ 그림 10] 경우 3 의결과

28 928 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 이다. 결과적으로육각형으로평면테셀레이션이가능한경우는다음 가지뿐 < 표 2> 육각형테셀레이션의조건 ( 혹은 ) 명제 1-칠각형이상인경우칠각형이상의비정다각형으로는평면테셀레이션이불가능하다. 증명. 다각형으로평면테셀레이션을하려면각점에적어도 개의도형이모여야한다. 따라서한다각형을기준으로하였을때각꼭짓점에적어도 개의도형이모이게되므로, 그모인각을모두세었을때다각형의모든각이적어도세번씩나와야한다. 그리고모인각들의합은그다각형의내각의합의 배가되고, 이것이 보다작거나같아야한다 ( 각형일때 ). 따라서 이므로 이다. 그러므로 개이하의변을가지고있어야평면테셀레이션이가능하다. 진술 2 오각형의평면테셀레이션중변위에꼭짓점이오는경우는 가지가발견되었다. 그러나그뿐인지는증명되지않았다.

29 평면테셀레이션에대한대수적고찰 929 [ 그림 11] 오각형평면테셀레이션 2 13) 지금까지의논의를정리하면평면테셀레이션이가능한경우는다음과같다. < 표 3> 평면테셀레이션이가능한경우 사용도형 정규테셀레이션 준정규테셀레이션 비정규테셀레이션 정다각형의 1 정다각형의 5 정다각형의 9 비정다각형의 1 모든삼각형, 모든사각형, 가지오각형, 가지육각형 비정다각형의 2 가지오각형 13) %ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7%81

30 930 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 Ⅲ. 결론 학교수학에서다루어지고있는테셀레이션의지도내용은정다각형의평면테셀레이션에관한기하학적또는일부의대수적내용이거나에셔 (Escher) 의작품을활용한다양한테셀레이션제작활동이대부분이다. 연구논문의경우대수적고찰을하는경우가소수있었으나알려진경우의수에집중하고있어과정적인측면에서의엄밀성에아쉬움이있다. 이러한연구는사용도형의모양이나사용개수가어떻게정해졌는지에대한정보를주지못하거나한정적이어서수학하는사고과정과경험을줄수없다는한계가있다. 그리고기존의연구에서는변위에꼭짓점이오는경우나닮음인도형을사용하는경우에대한고려가이루어지지않고있다. 하지만정오각형이아닌오각형테셀레이션에는이러한경우가발견되어있다. 따라서본연구는평면테셀레이션구성의고려요소를, 사용하는도형의모양, 사용하는서로다른도형의개수, 사용하는도형의크기, 모으는방법등 가지로정하여총 가지의경우를고찰하였다. 그리고대수적고찰에의해얻어진도형의모양과사용개수를특정한후, 모이는모양을고려하여최종적으로평면테셀레이션이가능한경우를도출하였다. 그결과기존의정다각형을사용도형으로하는정규테셀레이션, 준정규테셀레이션에대한내용을대수적으로정당화하였으며, 기하학적으로다루어지고있는비정다각형의테셀레이션에관한내용을학교수학의수준에서정당화를하였다. 이러한정당화과정은기존의대수적고찰과접근방법에차이가있을뿐만아니라, 고찰대상과범주도광범위해수학적엄밀성이란측면에서보다충실한고찰이라할수있다. 그러나비정다각형의고찰에서모든경우를다루지못하였는데, 이들경우는복잡도가너무높거나대수적관점에서고찰이불가능한경우들로중등학교수준을넘어서고있기때문이다. 이것은이연구의한계이기도하며따라서추후고찰이요구된다. 본연구에서제시한논증적고찰의결과는수학적지식이만들어지는과정을직접경험한것으로, 테셀레이션에관한지식의형성과정을통해수학적

31 평면테셀레이션에대한대수적고찰 931 지식을만드는과정인 Make Math 활동을한것이다. 때로는수학적사고과정을따르는것이비경제적일수도있다. 그러나과정을제외하고결과만을효율성의측면에서다룬다면수학적지식들은그개연성이없으며, 그러한것을경험하는것은수학적활동을하였다고할수도없을것이다. 그러므로본연구의내용은 2015 개정수학과교육과정이지향하고있는교과역량의신장과탐구학습, 토론학습, 프로젝트학습등의수업을수행함에있어수준별심화수업, 영재관련수업, R&E 활동등에활용할수있다. 또한이내용을직접경험하고수학적논의를하는과정에서, 결과로함의되어드러나지않는수학적결과물이있으며, 그목적은패턴화 범주화를추구하는수학의본질에있음을이해할수있다. 다시말해, 수학적지식들은경우의수를산정하고, 그에대한고찰에서시행착오와패턴화를거쳐궁극적으로얻어지는산물들을처리하는과정임을알게하는좋은소재가될것이다. 또한교사에게부여되는수업은더이상교과서와정규수업시간에만행해지는전통적인수업만이아니라수학동아리활동, 영재학급, 자유학기제, R&E 등, 수업의종류와질의범주가다양화하고넓어지고있다. 따라서이들수업을진행할수있는교사의교과전문성이어느때보다강조되고있기도하다. 이러한연구내용은교사의교과전문성신장에도도움이될것이다. 참고문헌 계영희 (2005). GSP를활용한테셀레이션작도. 한국수학교육학회지시리즈 E < 수학교육논문집 >, 19(1), 계영희 김종민 (2008). GSP를활용한한국전통문양의테셀레이션작도. 한국수학사학회지, 21(2), 교육과학기술부 (2011), 2015 개정수학과교육과정. 김남균 (2004). 패턴블록과조노돔을활용한테셀레이션지도방안탐색. 한국수학교육학회지시리즈 E < 수학교육논문집 >, 18(2), 박현미 강신포 김성준 (2007). 테셀레이션 (Tessellation) 을활용한수학학습이

32 932 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 공간감각능력에미치는효과분석. 한국초등수학교육학회지, 11(2), 백선수 김원경 (2007). 초등학교에서테셀레이션의수학적원리지도가능성탐색. 한국수학교육학회지시리즈 A < 수학교육 >, 46(1), 빈지현 (2015). 정다각형과준정다각형을이용한평면테셀레이션에대한연구. 부산대학교교육대학원석사학위논문. 신원국 (2009). 테셀레이션이가지고있는다양한수학적성질에관한연구. 서울시립대학교교육대학원석사학위논문. 이순희 (2004). 테셀레이션을이용한기하단원지도방안연구. 홍익대학교교육대학원석사학위논문. 임해경 박은영 (2002). 컴퓨터소프트웨어를활용한테셀레이션교수학습자료개발및활용방안, 한국수학교육학회지시리즈 E < 수학교육논문집 >, 13(2), 전영아 (2000). 수학교수-학습에서의테셀레이션활용가능성탐색 : 도형 과규칙성과함수 영역을중심으로. 이화여자대학교교육대학원석사학위논문. 吉田稔 ( 요시다미노루 ) 외 (1989), 話題源数学, 東京 : とうほう. 杉原厚吉 ( 스기하라코키치 )(2011), エッシャーマジック (Escher Magic). 東京 : 東京大学出版会. Reinhardt, Karl(1918). Über die Zerlegung der Ebene in Polygone.. Dissertation Frankfurt am Main (in German), Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske. 나우뉴스, 새로운형태 타일 이나왔다 수학사에남을 15번째오각형 발견 /08/20. 네이버지식백과, 테셀레이션, &cid=55642&categoryId= /08/20. 위키백과 (2017). 유클리드평면의테셀레이션. A6%AC%EB%93%9C_%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%9D%98_%E

33 평면테셀레이션에대한대수적고찰 933 D%85%8C%EC%85%80%EB%A0%88%EC%9D%B4%EC%85%98 다음카페 (2012). 제3의고체, 준결정의발견. %EC%A6%88%ED%83%80%EC%9D%BC%EB%A7% /10/08.

34 934 정영우 김부윤 유현기 김도영 조하현 ABSTRACT Algebraic Consideration of Plane Tessellation Chung Young-woo (Ulsan University) Kim Boo-yoon Ryu Hyun-ki (Pusan National University) Kim Do-young (Korea Science Academy) Cho Ha-hyun (NamSan Middle School) The content of tessellation covered in school mathematics is mainly resultant from the geometrical point of view. However, the geometric point of view does not give an answer as to how to determine the shape of the figure and the number of figures used, and whether it is in all cases. Therefore, in this study, we will set the basic elements of tessellation from the algebraic viewpoint, and set propositions for each case considering the basic elements, and explore its justification at the level of school mathematics. In this process, we tightened the definition of tessellation and the conditions for tessellation. We also recognized that generally speaking results do not refer to procedural outcomes. Through these activities, we were able to understand the formal process of mathematics and its results, and we were able to complete another approach to tessellation. Key words: Tessellation, Justification, the algebraic viewpoint, Make Math 정영우울산대학교자연과학대학수학과객원교수전화번호 : young38woo@hanmail.net 김부윤부산대학교사범대학수학교육과교수전화번호 : kimby@pusan.ac.kr

35 평면테셀레이션에대한대수적고찰 935 유현기부산대학교교육대학원수학교육전공석사과정전화번호 : jamie0307@daum.net 김도영한국과학영재학교교사전화번호 : dodojames@naver.com 조하현남산중학교교사전화번호 : harrycho1492@naver.com 논문접수일 : 2018년 8월 7일논문심사일 : 2018년 8월 30일심사완료일 : 2018년 9월 11일

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에

완벽한개념정립 _ 행렬의참, 거짓 수학전문가 NAMU 선생 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에 1. 행렬의참, 거짓개념정리 1. 교환법칙과관련한내용, 는항상성립하지만 는항상성립하지는않는다. < 참인명제 > (1),, (2) ( ) 인경우에는 가성립한다.,,, (3) 다음과같은관계식을만족하는두행렬 A,B에대하여 AB=BA 1 가성립한다 2 3 (4) 이면 1 곱셈공식및변형공식성립 ± ± ( 복호동순 ), 2 지수법칙성립 (은자연수 ) < 거짓인명제 >