슬라이드 1

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시연 어금
5 years ago
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1 장연립방정식을 풀기위한반복법. 선형시스템 : Guss-Sedel. 비선형시스템

2 . 선형시스템 : Guss-Sedel (/0) 반복법은초기근을가정한후에더좋은근의값을추정하는체계적인절차를이용한다. G-S 방법은선형대수방정식을푸는반복법중에서 가장보편적으로사용되는방법이다. 개의방정식에서 인 ( 대각원소들이모두 0 이아닌 ) 경우를다루자. j j b j b j j j 여기서 j b j j 현재반복단계 j- 이전반복단계 j Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

3 . 선형시스템 : Guss-Sedel (/0) 의초기값들을가정한다. ( 예 ) 모두 0 수렴상태를점검한다. ε j j j 00% ε s 새로계산된 값이바로다음방정식의 값에대입된다 : Guss-Sedel 참고로 Jcob 반복법에서는새로계산된 값이 그다음단계의계산에서대입된다. Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

4 . 선형시스템 : Guss-Sedel (/0) 반복법의원리 () Guss-Sedel 법과 (b) Jcob 법 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

5 예제. (Guss-Sedel 법 ) (/) Q. Guss-Sedel법을사용하여다음연립방정식의해를구하라 참고로정해는 T { }.5 7 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

6 예제. (Guss-Sedel 법 ) (/) 풀이 ) 첫번째반복 ; ; 7 0 라고놓고 을구하고 구한값을대입하여 와 를구한다 (0) 0.(0) (.66667) 0.(0) (.66667) 0.(.79454) Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

7 예제. (Guss-Sedel 법 ) (/) 두번째반복 (.79454) 0.( ) 9. 0.( ) 0.( ) ( ) 0.(.49965) 오차를추정하면 ε 00%.5% ε.8%; ε 0.076%; Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

8 . 선형시스템 : Guss-Sedel (4/0) 수렴과대각지배 Guss-Sedel법은단일방정식의근을구하는고정점반복법과일맥상통한다. 수렴조건 > j j j 대각지배시스템 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

9 . 선형시스템 : Guss-Sedel (5/0) MATLAB M- 파일 : GussSedel ew ew ew b b b ew ew old ew old old 행렬형태로표시하면 { } { d} [ C]{ } { d} b b b / / / [ C] 0 / / / 0 / / / 0 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

10 . 선형시스템 : Guss-Sedel (6/0) [Guss-Sedel 법으로해를구하는 MATLAB M- 파일 ] ucto GussSedel(Abesmt) % GussSedel (Abesmt): % Guss-Sedel method % put: % A coecet mtr % b rght hd sde vector % es (optol) stop crtero (%) (deult ) % mt (optol) m tertos (deult 50) % output: % soluto vector Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

11 . 선형시스템 : Guss-Sedel (6/0) [Guss-Sedel 법으로해를구하는 MATLAB M- 파일 ] % deult vlues rg<4 mt50; ed rg< es0.0000; ed [m] sze(a); m ~ error('mtr A must be squre'); ed C A; or : C() 0; () 0; ed Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

12 . 선형시스템 : Guss-Sedel (6/0) [Guss-Sedel 법으로해를구하는 MATLAB M- 파일 ] '; or : C(:) C(:)/A(); ed or : d() b()/ A(); ed ter 0; whle () old ; dsp(') Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

13 . 선형시스템 : Guss-Sedel (6/0) [Guss-Sedel 법으로해를구하는 MATLAB M- 파일 ] or : () d() - C(:)*; () ~ 0 e() bs((() - old())/()) * 00; ed ed ter ter ; m(e)<es ter > mt brek ed ed Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

14 . 선형시스템 : Guss-Sedel (7/0) >> A [ -. -.;. 7 -.;. -. 0] A >> b[7.85; -9.; 7.4]; >> GussSedel(Ab) Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

15 . 선형시스템 : Guss-Sedel (8/0) Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

16 . 선형시스템 : Guss-Sedel (9/0) 이완법 수렴속도를개선하기위함새로운값을계산한후 그값을현재와직전에계산된결과의가중평균으로놓음 ew λ ew λ old ( ) Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

17 . 선형시스템 : Guss-Sedel (0/0) 가중인자 λ: 0 λ - λ 수정되지않음 Guss-Sedel법 - 0 λ 하이완법 수렴하지않는시스템을수렴하도록만들거나 진동을감쇠시켜수렴을빠르게함 - λ 상이완법 현재계산된값에큰비중을둠새로운값을정해로더가까이가도록함수렴하는시스템의수렴속도를증가시키기위함연속상이완법 (successve overrelto SOR) 이라고도함 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

18 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법. 비선형시스템 (/6) 다음의비선형방정식을고려해보자 ) ( 0 ) ( 0 ) (

19 . 비선형시스템 (/6) 연속대입법 고정점반복법과 Guss-Sedel법과같은전략을사용함수렴의여부는방정식을어떻게수식화하는가에달려있음초기가정값이정해에충분히가깝지않으면발산할수있음비선형방정식의해를구하는데한계가있음 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

20 예제. ( 비선형방정식에대한연속대입법 ) (/) Q. 연속대입법을이용하여다음방정식의근을결정하라 참고로정해는 와 이다. 처음계산을위해해를.5 와.5 로가정한다. Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

21 예제. ( 비선형방정식에대한연속대입법 ) (/) 풀이 ) 0 첫번째반복 57 0 (.5) (.49)(.5) 두번째반복 0 (.49) ( 0.090)( 4.756) 이상의결과에서이접근법은발산할것으로보임 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

22 예제. ( 비선형방정식에대한연속대입법 ) (/) 원래의방정식을다른형태로바꾸어계산해보자 첫번째반복 (.5) (.7945) 두번째반복 (.8605) (.9405) 따라서이방법은정해 와 에수렴하는결과를산출한다. Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

23 . 비선형시스템 (/6) Newto-Rphso 법 접선이 축과만나는교점으로근을추정하기위해도함수 ( 기울기 ) 를계산하였음 차 Tylor 급수전개로도유도가가능 ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 여기서 근의초기가정값 접선이 축과만나는교점 두변수에대한 Tylor 급수전개는다음과같다. ( ) ( ) ( ) ( ) Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

24 . 비선형시스템 (4/6) 근의추정값에대해 0라고놓으면 Crmer 공식을사용하면 하첨자 가붙은모든값 ( 가정이나추정 ) 들은알려져 있기때문에미지수는 과 이다. 두식에서나타나는분모를시스템의 Jcob 행렬식이라고한다. 선형방정식 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

25 예제. ( 비선형방정식에대한 Newto-Rphso 법 ) (/) Q. 여러방정식에대한 Newto-Rphso 법을이용하여 다음식의근을구하라 처음계산은해를.5 와.5 라고가정하고시작한다. Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

26 예제. ( 비선형방정식에대한 Newto-Rphso 법 ) (/) 풀이 ) 초기값.5와.5에서의편도함수를계산한다. 0 0 (.5).5 (.5) (.5)(.5).5 첫번째반복을위해 Jcob 행렬식을구한다. 6.5(.5).5(6.75) 56.5 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

27 예제. ( 비선형방정식에대한 Newto-Rphso 법 ) (/) 초기가정값에서의함수값을계산하면다음과같다. (.5).5(.5) (.5)(.5) 첫번째반복을통해계산한수치해는다음과같다..5(.5).65(.5) (6.5) (.5)(6.75) 이러한과정을만족할만한수치해를얻을때까지반복한다. Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법

28 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법. 비선형시스템 (5/6) 두방정식에대한 Newto-Rphso 법은 개의연립방정식에대해서도일반화가가능하다. k 번째방정식에대한 Tylor 급수전개는다음과같다. 행렬표기법을사용하여간단히나타내면 k k k k k k k } ]{ [ } { } ]{ [ Z Z

29 Appled Numercl Methods 장연립방정식을풀기위한반복법. 비선형시스템 (6/6) 여기서 [Z] 위치 에서계산된편도함수로구성된 Jcob 행렬초기값최종값위치 에서계산된함수값 Z ] [ T } { } { T T } {

장연립방정식을풀기위한반복법 12.1 선형시스템 : Gauss-Seidel 12.2 비선형시스템 12.1 선형시스템 : Gauss-Seidel (1/10) 반복법은초기근을가정한후에더좋은근의값을추정하는체계적인절차를이용한다. G-S 방법은선형대수방정

장연립방정식을풀기위한반복법 12.1 선형시스템 : Gauss-Seidel 12.2 비선형시스템 12.1 선형시스템 : Gauss-Seidel (1/10) 반복법은초기근을가정한후에더좋은근의값을추정하는체계적인절차를이용한다. G-S 방법은선형대수방정 . 선형시스템 : GussSedel. 비선형시스템. 선형시스템 : GussSedel (/0) 반복법은초기근을가정한후에더좋은근의값을추정하는체계적인절차를이용한다. GS 방법은선형대수방정식을푸는반복법중에서 가장보편적으로사용되는방법이다. 개의방정식에서 인 ( 대각원소들이모두 0 이아닌 ) 경우를다루자. j j b j j b j j 여기서 j b j j j 현재반복단계