Asia-pacific Journal of Multimedia Services Convergent with Art, Humanities, and Sociology Vol.7, No.6, June (2017), pp

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윤재 동방
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1 Vol.7, No.6, June (2017), pp 뉴턴만유인력법칙의 달시험 은어디서잘못되었나? 맹성렬 1) Where Goes Wrong with the Isaac Newton s Gravitational Moon Test? Sung-Lyul Maeng 1) 요약 아이쟉뉴턴의만유인력법칙은물체간의끌어당기는힘이그질량의곱에비례하고상호거리의제곱에반비례된다는것이다. 그는이와같은자신의이론을 1687년초판발행한 < 프린키피아 > 에서만유인력의 달시험 을통해실증했다. 여기서뉴턴은클라우스호이겐스등의달이지구중심으로부터지구반경의 60배떨어진원궤도를돈다는주장과쟝피카르가측정한지구평균반지름 6,372킬로미터를이용해달이지구인력에끌려서떨어지는가속도가지구표면에서측정되는자유낙하가속도의 1/60 2 이됨을증명했던것이다. 그는달구심가속도의 602배가 m/s 2 이며, 이값이당시알려진지표면에서의중력가속도 m/s 2 으로부터 0.3% 벗어남을보임으로써 1% 이내의정확도로자신의만유인력법칙이증명되었다고했다. 하지만, 지표면에서의표준중력가속도는 m/s 2 로당시뉴턴이생각했던것보다크다. 1717년과 1726년에출판된개정판에서뉴턴은피카르의측정치가아닌리차드노우드의지구반경측정치 6,413킬로미터를사용함으로써 달시험 의정확도를더높이고있는데이수치를사용하면계산치가 m/s 2 가되어지표면에서의표준중력가속도에서겨우 0.06% 벗어난다. 그런데, 오늘날알려진지구평균반지름은 6,360킬로미터로피카르의측정치가노우드의측정치보다실제값에더가깝다. 그럼에도불구하고노우드의측정치를대입했을때실제값에더가까운이유는뭘까? 뉴턴이처음이문제에도전했을때한가지간과한중요한사실이있었다. 그것은달의질량이지구질량에비해무시할수없을만큼크기때문에달이지구중심을도는대신지구와달의무게중심주위를돈다는사실이다. 이런점을고려하고지구중심에서달까지의거리가지구반경의 60.27배이며지구평균반지름이 6,360킬로미터라는최근측정치를반영해새로이계산을해보면, 달의구심가속도로부터구해지는지구표면의중력가속도가 m/s 2 이된다. 그런데, 지표면에서의표준중력가속도는지구자전에의한원심가속도성분을포함하고있어만유인력법칙을증명하는데쓸수없으며, 대신극지에서의중력가속도 m/s 2 를사용하는것이바람직하다. 이경우약 0.02 % 의차이가나뉴턴의만유인력법칙이 0.1% 이내의정확도로성립함을확인할수있다. 핵심어 : 아이쟉뉴턴, 달시험, 지구평균반지름, 지구표면의중력가속도, 지구와달의무게중심 Received (April 11, 2017), Review Result (April 25, 2017) Accepted (May 2, 2017), Published (June 30, 2017) Dept. Electrical & Electronic Engineering, Woosuk Univ., Samrye-Ro 443, Samrye-Eup, Wanju, Jeonbuk, Korea sunglyulm@gmail.com Copyright c 2017 HSST 287

2 Where Goes Wrong with the Isaac Newton s Gravitational Moon Test? Abstract Isaac Newton s law of universal gravitation is that the pulling force between objects is proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the mutual distance. In his book Principia published in 1687, Newton proved the law through the Moon test. Here Newton quotes the authority like Christiaan Huygens to arrive the value of the mean distance of the Moon from the center of the Earth as 60 times the radius of the earth. Also he quotes Jean Picard to determine the average radius of the earth as 6372 kilometers. By doing these, he discusses whether the free fall acceleration of Moon is close to the value of 1/60 2 of the gravitational acceleration on the surface of Earth. He shows that 60 2 times the acceleration of the Moon was m/s 2 and this value is only 0.4% smaller than the gravitational acceleration of m/s 2 on the Earth surface which was known as the standard at the time. However, the standard gravitational acceleration on the surface is m/s2, which is larger than Newton thought at the time. In the editions published in 1717 and 1726, Newton used the 6413-kilometer Earth's radius measured by Richard Norwood, not Picard's, to increase the accuracy of the Moon test, which yields a calculated value of m/s 2, which is only 0.06% off the gravitational acceleration on the ground surface. By the way, the Earth's average radius known today is 6,360 km, which means that Picard's value is better than Norwood's. Why, nevertheless, is it closer to the standard value when the Norwood s measurement is applied? When Newton first challenged this problem, he overlooked a very important fact ; The moon orbits the baricentre of the earth-moon system, not the center of the Earth. Taking this into consideration, the acceleration of gravity on the surface of Earth can be deduced as m/s 2, which is about 0.2% off the standard value. However, since the standard gravitational acceleration on the earth's surface includes the centrifugal acceleration component due to the earth's rotation, it can not be used to prove the gravitational law. Instead, it is preferable to use the gravitational acceleration of m/s 2 at the poles of the Earth. In this case, we can confirm that the difference of about 0.02% or Newton's law of gravitation is within 0.1% accuracy. Key words: Isaac Newton, Moon test, Earth average radius, Gravitational acceleration on the surface of Earth, Baricentre of the Earth-Moon system 1. 서론 사학자들로부터기계론적세계관을형성할수있는주춧돌을놓아오늘날의세계를신의섭리와무관한과학중심의문명으로이끌었다고평가받는아이작뉴턴 (Isaac Newton) 이사실은독특한신학관을갖고있었으며, 신비주의자였다는사실이최근밝혀졌다.[1] 그는우주의법칙이제대로작동하기위해신의도움이필요하다고생각했고, 그런신의지혜가이미오래전에인류문명에전달되었다고믿었다. 그대표적인증거가바로이집트의기자대피라미드였다.[2] 1646년에옥스퍼드대학천문학과의존그리브즈 (John Greaves) 교수가기자대피라미드의내부를탐사하고쓴책 < 피라미도그라피아 Pyramidographia> 가출간되었다. 뉴턴은그책에서제시한측량수치들중에서지구크기에대한정보가담긴 성스러운큐빗 (sacred cubit) 값을얻으려고노력했다. 하지만, 거기엔전형적인고대이집트측정단위인 왕의큐빗 (royal cubit) 만존재했다. 뉴턴은어쩔수없이이런저런가정을통해성스러운큐빗이왕의큐빗의 6/5라고결론짓고존그리브즈가대피라미드에서얻은왕의큐빗값인 미터로부터성스러운큐빗을계산했다. 그결과 미터가나왔다.[3,4] 그렇다면, 아이작뉴턴은이수치가지구크기와어떤관계가있다고보았을까? 288 Copyright c 2017 HSST

3 Roijen Vol.7, No.6, June (2017) 1617 년자신의이름을딴광학법칙으로유명한네덜란드의수학자스넬 (Willebrord van Snell) 은고대그리스학자에라토스테네스에관한책 < 바타비아의에라토스테네스 (Eratosthenes Batavus)> 에자신의지구크기측정결과를실었는데이책에서그는지구평균반 지름이대략 6,147 킬로미터가되는것으로기술했다.[5] 이수치의천만분의일은 미터로뉴 턴이구한신성한큐빗과상당히비슷하다. 뉴턴도그렇게생각했을까? 아마도그랬을것이다. 참 고삼아말하자면, 현재우리가사용하는 1 미터는 1671 년에프랑스에서측정된지구북극에서적도 까지의평균자오선길이의천만분의일로정해졌다. 아이작뉴턴이지구크기를구하려고했던 데에는그의만유인력법칙 (the law of universal gravitation) 을증명하는데정확한지구크기를알 아야할필요가있었기때문이었다. 뉴턴의만유인력법칙은모든물체와물체사이에는그두물체의질량의곱에비례하고거리의 제곱에반비례하는힘이작용한다는것이다. 이법칙은 1687 년에출판된그의대표저서 < 프린키 피아 (Principia)> 에정리되어있는데, 뉴턴은이법칙이성립함을증명하기위해이른바 달시험 (Moon-test) 을도입했다. 뉴턴은벤델린 (Godefroy Vendelin) 과호이겐스 (Christiaan Huygens) 등이 측정한지구중심에서달중심까지의거리가지구반지름의약 60 배라는사실로부터지구가달에 미치는힘이지구표면의물체에미치는힘의 이라고가정했다. 뉴턴의제2법칙에의하면가 속도는힘에비례하므로달이지구로떨어지는가속도는지표면에서사과가떨어지는가속도의 이어야한다. 2. 달시험 공식유도 2.1 프린키피아에기술된달의구심가속도로부터지표면의중력가속도를유도하는방법 그림1에서 C는지구중심이다. A는현재달중심의위치이고, D는 1분후에달중심이놓일위치다. R은지구중심과달중심간의거리다. 뉴턴은 = 1분경과후달이지구쪽으로떨어지는거리 BD를다음과같은식으로어림했다. 등가속도운동에서 의관계가성립하고달이중력가속도 으로 1 분동안 자유낙하하는경우그이동거리는지표면근처에서 1 초동안자유낙하하는거리와같아서 이성립하고이관계로부터지표면근처의중력 가속도 가얻어진다. 뉴턴은이계산식에서달의공전주기를 39,343 분 (27 일 7 시간 Copyright c 2017 HSST 289

4 Where Goes Wrong with the Isaac Newton s Gravitational Moon Test? 43분 ) 으로계산해 을대입했다. 이로부터 의계산식도출 된다. [ 그림 1] 지구주변을도는달의궤도를원으로근사한도식 [Fig. 1] A schematic diagram of the orbit of the moon that circles around the earth 이제남은문제는지구평균반경 를구하는것이었다. 뉴턴은이문제를이미 1660년대중반부터고민하고있었다. 하지만, 당시까지정확한지구크기가측정되지않았다.[6] 만일여기에뉴턴이구한신성한큐빗값으로부터추정되는지구평균값 6,287킬로미터를대입하면어떻게될까? 이경우 이얻어지는데이값은당시뉴턴이알고있던지표면에서의중력가속도 보다 1.6% 작은수치다. 스넬이측정한지구평균반경값인 6,147킬로미터를대입하면 이나와그차이는 3.8% 로더벌어진다. 뉴턴이이문제를해결한것은 1671년에프랑스천문학자쟝피카르 (Jean-Luc Picard) 에의해측량된후 1684년에발표된지구의둘레길이 4만 42킬로미터로부터구한지구평균반경 6,372 킬로미터를접하면서였다. 뉴턴은이값을대입해 을얻었고, 만유인력이거리의제곱에반비례한다는자신의법칙이 0.3% 이내의오차로맞아떨어진다고보았다.[7][8] 2.1 달에작용하는원심력으로부터달의구심가속도와지표면의중력가속도관계유도 뉴턴은반경이 인속이텅빈구 ( 球 ) 의내면에서접선속도 로회전하는물체가구의내면에 작용하는힘이 에비례함을알고있었다. 그의제 2 법칙에의하면힘은질량과가속도의곱으로 290 Copyright c 2017 HSST

5 Vol.7, No.6, June (2017) 표시되는데, 은바로가속도의단위를갖고있으므로바로이값이원심가속도에해당한다. 따 라서, 달이지구중심에서 만큼떨어져지구주변을접선속도 으로회전한다면달의원 심가속도는 이될것이다. 그런데, 달이이탈하지않고궤도를그리며지구둘레를돈다면, 반대쪽 ( 지구쪽 ) 으로의구심가속도 이존재하는것이틀림없다고생각했다. 달이대 체로원궤도를돈다고근사하고달의공전주기를 라고하면, 달의접선속도 이 되므로, 이성립한다. 그런데, 당시알려진케플러제 3법칙에따르면, 이 에비례해야하므로 를상수라고할때 의관계가성립한다. 뉴턴의제 2 법칙에따르면, 힘은질량과가속도의곱에비례해야하므로질량이 인달이지구 의중력에끌려서지구로떨어지는가속도를 이라할때 이성립하며, 달 이지구표면으로바싹다가와낙하한다고가정할때 의관계또한성립해야 한다. 따라서, 이된다.[9] 2.2 달의주기로부터구심가속도의직접계산 달의구심가속도 이므로, 이된다. = 2,360,580 s (27일 7시간 43분 ) 을대입 하여정리하면, 가되어뉴턴이계산한것과동일한식이된다. 3. 뉴턴, 개정판에서지구크기측정치를바꾸다 년에리차드노우드 (Richard Norwood) 라는영국항해가겸측량가가지구극반지름을약 6,413 킬로미터로측정해냈던일이있었다. 그런데, 뉴턴은 1717 년과 1726 년의 < 프린키피아 > 개정판 에서이결과를피카르의결과대신사용했다.[10] 왜그랬을까? 노우드의측정치를사용해계산 하면 가되어 보다 0.3% 커지며, 이보다 0.3% 작은피카르의 Copyright c 2017 HSST 291

6 Where Goes Wrong with the Isaac Newton s Gravitational Moon Test? 측정치와오차측면에서별차이가없다. 뉴턴이이런결정을내린이유는당시새로이보정된지표면에서의중력가속도값을접했기때문이다. 당시에극지에서의중력가속도 와적도에서의중력가속도 가새로이알려졌다.( 오늘날정밀측정된적도에서의중력가속도는 이다.)[11,12] 따라서, 피카르의지구반지름을사용해계산한지표면중력가속도보다노우드의측정치를사용해계산했을때의중력가속도값이 달-시험 결과를설명하는데더유리하다. 그런데, 오늘날정밀측정에의해알려진지구표준반지름은 6,360킬로미터로 [13] 디카르의측정치가실제값에더가깝다. 왜실제에가까운지구반지름을사용할때뉴턴이예측한측정치에서더벗어나는것일까? 뉴턴의 달시험 에뭔가문제가있는것이틀림없다. 도대체무엇이문제일까? 적도에서의중력가속도가극지보다작은것은적도반지름이 6,378킬로미터로극반지름 6,357킬로미터보다큰이유도있지만, 그보다는극지엔없지만적도에는지구자전에의한원심가속도가존재하는데크게기인한다. 만유인력법칙을증명하려면지구자전에의한효과를제거해야하므로극지에서의중력가속도 를기준으로계산하는것이옳다.( 오늘날결정된지구의평균반지름은 6,360킬로미터로극반지름에매우근접한값이므로극지에서의중력가속도가원심가속도를제거한지구표면에서의평균중력가속도라고볼수있다.) 4. 지구 - 달계의무게중심 (baricentre) 문제 4.1 뉴턴의지구 - 달무게중심보정시도 뉴턴의 달시험 의문제는달의질량이지구질량에비해무시할수있을만큼작지않다는사실을고려하지않았다는데있다. 이경우달이일방적으로지구주변을회전하는것이아니라지구와달이두천체를포함하는체계의무게중심을회전하는양상을띄게된다.[14] 뉴턴은 1712년의첫번째개정판에서이문제를다루었다. 이문제를제대로풀려면달의질량을알아야했는데, 뉴턴은달의질량이지구의약 1/40 정도인것으로계산했고 ( 실제로는약 1/81), 그결과지구-달체계의무게중심이지구바깥에있다고생각했다.( 실제로는지구중심에서약 4,700킬로미터떨어진곳에있다.) 이런잘못된가정에도불구하고뉴턴은당시구해진측정치를짜맞추어자신의만유인력법칙이정확히기술하고있다고주장했다.[15][16] 292 Copyright c 2017 HSST

7 Vol.7, No.6, June (2017) [ 그림 2] 무게중심위치표시가된지구 - 달계 [Fig. 2] A schematic diagram of the earth-moon system marked with barycentre 4.2 정밀한지구 - 달무게중심을대입한계산결과 정밀측정된지구의평균반지름은 6,360 킬로미터이고, 지구와달간의평균거리는 이 며, 달과지구질량비 이므로,[17] 지구 - 달체계의무게중심은지구중심에서 떨어진곳에있다. 지구 - 달체계의무게중심에서달까지의거리를 이라고하면, = 가된다. 달은지구중심둘레 를회전하는것이아니고지구 - 달계의무게중심을회전하므로보정된달의구심가속도 은 다음과같다., = 2,360,580s, 을대입하고풀면, 이고, = 6,360 킬로미터를대입하면, 지표면에서의평균가속도는 로구해진다. 이값은지구표면에서의표준중력가속도 m/s 2 보다 0.2% 정도큰값이다.[18] 그런데, 뉴턴의 달-시험 에서구한평균중력가속도는지구의표준중력가속도보다는극지에서의중력가속도와비교해야한다. 적도에서의중력가속도가극지보다작은것은적도반지름이극반지름보다큰이유도있지만, 그보다는극지엔없지만적도에는지구자전에의한원심가속도가존재하는데크게기인한다. 극지에서의지구반지름은 6,357킬로미터로오늘날결정된지구의평균반지름인 6,360킬로미터와거의같고, 지구자전에의한원심력효과도없으므로극지에서의중력가속도 가지표면에서의평균가속도에근접하는값이라고볼수있다. 이처럼극지에서의중력가속도는 g = m/s 2 로계산된지표면에서평균가속도와 0.02% 차이밖에나지않으므로 0.1% 이내의정확도로뉴턴의만유인력법칙이성립함을확인할수있다. Copyright c 2017 HSST 293

8 Where Goes Wrong with the Isaac Newton s Gravitational Moon Test? 5. 결론 뉴턴은지상에서사과가지구중심을향해자유낙하하는것과동일한힘이달에작용한다고생각했다. 또, 질량이있는물체사이에는그거리의제곱에반비례하여힘이작용한다는만유인력법칙을생각했다. 그는달이지구중심에서지구반경의 60배정도떨어져있다는당시측정치와프랑스학자디카르가측정한지구평균반지름을사용해 < 프린키피아 > 에서자신의만유인력법칙을증명하려했으나무시할수없는오차가발생함을깨달았다. 그래서, 나중에개정판에서잘못측정된지구반지름값을사용하는오류를저질렀다. 이런문제가발생하는이유는달의질량이지구질량에비해무시할수없을만큼커서생긴것으로달은지구중심둘레를도는것이아니라지구-달계의무게중심주변을돈다. 본논문에서는이런점을고려해다시보정된값을구했다. References [1] M. White, Isaac Newton, the Last Sorcerer, Fourth Estate, London (1997). [2] Isaac Newton & F. Cajori, Sir Isaac Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy and His System of the World, University of California Press (1946), p.663. [3] C. Piazzi Smyth, Life and Work at the Great Pyramid, Vol.2 (1867), pp [4] J. Y. Simpson, Is the Great Pyramid of Gizeh a Metrological Monument? A. and C. Black (1868), pp [5] M. Allaby, Earth Science: A Scientific History of the Solid Earth, Infobase Publishing (2009), p.26. [6] J. Herivel, The Background to Newton's PRINCIPIA: A Study of Newton's Dynamical Researches in the Years , Oxford at the Clarendon Press; First Edition (1965), pp [7] J. Narrien, An Historical Account of the Origin and Progress of Astronomy: With Plates Illustrating Chiefly the Ancient Systems, Baldwin (1833), pp [8] C. Subrahmanyan, Newton's Principia for the Common Reader, Clarendon Press (1995), pp [9] I. B. Cohen, A Guide to Newton s Principia, in Isaac Newton, The Principia : Mathematical Principles of Natural Philosophy, University of California Press (1999), pp [10] P. Broughton, Norwood, Richard, in Biographical Encyclopedia of Astronomers, Edited V. Trimble, T. R. Williams, K. Bracher, R. Jarrell, J. D. Marché, and F. J. Ragep, Springer Science & Business Media (2007), Vol.2, p.840. [11] H. S. Padamsee, Unifying the Universe: The Physics of Heaven and Earth, CRC Press (2002), p.593. [12] J. Lastovicka, Geophysics and Geochemistry, Vol. 1, EOLSS Publications (2009), p.47. [13] T. Howard, Space Weather and Coronal Mass Ejections, Springer Science & Business Media (2013), p.xii. 294 Copyright c 2017 HSST

9 Vol.7, No.6, June (2017) [14] V. Szebehely, Theory of Orbit: The Restricted Problem of Three Bodies, Elsevier (2012) [15] R. S. Westfall, Newton and the Fudge Factor, Science (1973), Vol.179, pp [16] N. Kollerstrom, Newton s Lunar Mass Error, Journal of the British Astronomical Association (1985), Vol. 95, pp [17] N. Kollerstrom, Newton s Two Moon-tests, The British Journal for the History of Science (1991), Vol.24, pp [18] S.-L. Maeng, A Study on a Problem of the Isaac Newton s Moon Test of the Law of Gravitation, Convergence Research Letters (2017), Vol.3, No.1, pp Copyright c 2017 HSST 295

차 례 4

제 50 회전국과학전람회 2004. 07. 20 차 례 4 - 1 - 표 2. 천체의화각 표 1. 초점거리와화각 - 2 - 그림 1. 목성의표면구조 - 3 - 그림 2. 목성위성의상호현상 - 4 - π 공전속도 원궤도의반지름 π 그림 3. 케플러회전 - 5 - 표 3. 목성의궤도자료 표 4. 목성의물리자료 표 5. 4 대위성의궤도자료및물리자료 - 6 - 그림