고등수학(B)_지도서

자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지44 경우의 수 순열과 조합 mac0 T

자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지45 mac0 T 상생활에서 일어나는 사건이나 현상은 놀랍고도 다양하다. 또한, 솜털 같은 뭉게구름 뒤에 거센 폭풍우가 오는 경우와 같이 예측하 일 기 어려운 사건들이 많이 있다. 그러나 이러한 현상들도 적당한 기준에 따라 일어날 수 있는 모든 경우를 분류하고 분석함으로써 다가올 상황을 예측할 수 있다. 단원의 흐름 이미 배운 내용 이번에 배울 내용 다음에 배울 내용 초등학교 6학년 합의 법칙 미적분과 통계 기본 경우의 수 곱의 법칙 중복조합 중학교 학년 순열 이항정리, 이항계수 경우의 수 조합 적분과 통계 원순열, 중복순열, 중복조합 이항정리, 이항계수

4 (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 6. 9,, 4, 6, 8 4., 5 5. 5, 4, 5, 6, 8 5.,,,,. _=6() y y y y y y y 6 4 4,. 6 A B AB 4 5,,, 4.. 9 9,5., 5..,,, 4.,. 5.,, 4 =4() 5 5 4 5_4=0() 5 A, B, C, D, E A, B,(A, B), (B, A). 5_4 =0() 6 46

자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지47 mac0 T 이태리의 수도사인 파촐리(Pacioli, L. ; 445~ 57)는 그의 저서 산술, 기하학, 비와 비례의 책 순열과 조합 이 단원을 배우면 합의 법칙, 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다. 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구할 수 있다. 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있다. 자 Summa de Arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita 에서 소위 problem of points 라고 불리우는 도박의 문제 를 소개하여 확률의 시초로서 평가받고 있다. 능력이 같은 두 도박사가 도박 경기를 중단해야 할 경우가 생겼다고 하자. 그러면 두 도박사가 건 돈 을 어떻게 분배해야 하는가에 대한 문제가 생긴 다. 이때, 두 도박사의 득점을 알고, 이기기 위하여 필요한 점수를 알면 이 문제를 해결할 수 있다. 이 와 같은 문제를 problem of points라고 한다. problem of points는 그 후 약 00년 동안 많은 사람들에 의해 연구되었으며, 카르다노(Cardano, G. ; 50~576)와 타르탈리아(Tartaglia, 합의 법칙과 곱의 법칙 N. F. ; 499~557)에 의하여 수학적인 접근 순열 이 이루어지기도 했다. 조합 6 그러나 이러한 문제의 해결에 큰 발전을 본 것은 파스칼(Pascal, B. ; 6~66)과 페르마 (Fermat, P. ; 60~665)에 의해서이다. 654년에 프랑스의 도박사인 수발리에 드 메레 중단원의 학습 목표 (de Mere, C.)는 다음과 같은 내용의 문제를 그. 합의 법칙, 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우 의 수를 구할 수 있다. 의 친구인 파스칼에게 질문하였다. 능력이 같은 두 도박사 A, B가 각각 프랑씩 돈. 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구할 수 있다.. 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있다. 을 걸고 승부하여 어느 쪽이든지 먼저 회 이기는 사람이 건 돈의 전부를 받기로 하였다. 지금 A가 두 번, B가 한 번 이긴 상태에서 경기를 중단한다 면 두 사람이 건 돈을 어떻게 분배하면 좋은가? 이 질문에 대하여 파스칼은 페르마와 서신 왕래를 통하여 의견을 교환하면서 이 문제를 풀었다. 이 단원의 역사 확률론의 역사 이렇게 시작된 확률론의 연구는 스위스의 수학자 베르누이(Bernoulli, J. ; 654~705)와 프랑 확률의 역사는 중세의 도박 문제에서 시작된다고 스의 수학자 드무아브르(de Moivre, A. ; 667 볼 수 있다. ~754)에 의하여 급속한 발전이 이루어졌다.. 순열과 조합 47

자습서-(44~6)-OK 009..6 0:56 PM 페이지48 mac0 T 소단원의 학습 목표. 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구할 순열과 조합. 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해한다. 합의 법칙과 곱의 법칙 학습 목표 합의 법칙, 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다. 수 있다. 한국이 6강에 진출할 경우의 수 다 가 서 기 / 한국, 토고에:로 이기다!! 프랑스,스위스와 0:0으로비기다. 어? 우리가6강에 올라가려면어떻게 돼야하는거지? 한국,프랑스와 :로비기다. 의 내용은 지난 006년 독일 월드컵에서 본선 G조에 속한 국가들 위 의 경기 결과에 대한 것이다. 이제 남은 경기는 토고와 프랑스 전, 다가서기 / 그리고 한국과 스위스 전이다. 이때, 한 해설 월드컵 본선 G조의 시합은 리그전으로 진행되었 다. 여기서 리그전이란 한 조에 속해 있는 여러 팀 이 일정한 기간 동안 상대팀과 모두 경기를 치루어 그 성적에 따라 순위를 결정하는 경기 방식을 말한 다. 리그전 방식은 참가한 팀에게 평등하게 시합할 국이 6강에 올라갈 경우의 수는 어떻 면 무조건 조 위 한국, 스위스 이기 나 비기면 진출 잡거 져도 토고가 佛 관계없 랑스-토고전 결과에 위스전에서이기면프 해졌다. 4일스 비기거나이기면역시 길이좀 더분명 라도토고가프랑스에 한국이 6강에 오르는 다. 스위스에지더 무)로 회전에오른 이무조건조 위(승 스가모두승 무를 과한다. 스위 전을통 프랑스 로회. 한국 다득점 우리가 최소한 조위 를이기면복잡해진다 방식은 골득실 고, 프랑스가토고 순위를 정하는 같은 나라들의 점이뒤진 한국이 스위스와비기 회전에서 승점이 득실에서스위스에 이번 대회 본선. 한국으로선골 기록하기 때문. ), 추첨의 순이다.com 승 골득실 다득점 )jhsung.chosun 동률팀 간의성적(승자 _성진혁기자(블로그. 상태이므로불리하다 한국의 수 6강 진출 경우의 비길 경우 질 경우 비기거나 질 경우 한국 프랑스 로 위 가려. 골득실 다득점으 로 위 가려. 무. 골득실 다득점으 한국 스위스 승 (승 무)로 진출 스위스 조 위 (승 무)로 진출 프랑스 조 위 이길 경우 탈락 한국 승 무 패 승 무)로 진출 스위스 조 위( 진출 (승 무패)로 비기거나 질 경우 한국 조 위 0일 -006년 6월 왼쪽의 신문 기사처럼 어떤 사건이 일어나는 모든 경우의 수를 알아볼 때 에는 같은 경우를 중복하지 않고, 또 어느 한 경우도 빠뜨리지 않고 헤아려 야 한다. 이때, 표를 만들거나 그림을 프랑스가 토고에 무) 한국이 스위스에 한국 조 위 (승 경기 결과에 관계없이 이길 경우 스위스 승 무. 이길 경우 게 될까? 그려 생각하면 편리하다. 조선일보- 64 수 있는 기회를 준다는 장점을 가지고 있다. 한편, 리그전과 대비되는 경기 방식으로 토너먼트 가 있는데, 토너먼트란 일정한 대진에 의해 승리한 팀만이 다음 회전에 진출하고 마지막에는 두 팀이 대전하여 우승팀을 가리는 방식의 경기로 시합이 진행되면서 차츰 시합 수가 줄어들어 참가자가 많 은 경우에도 비교적 짧은 시간에 경기를 치룰 수 있다는 장점이 있다. 리그전 방식은 토너먼트 방식에 비해서 순위를 결 정하기까지 시간이 많이 걸린다는 단점이 있다. 따 라서 리그전 방식과 토너먼트 방식의 장점을 절충 하여 예선은 토너먼트 방식으로 하고, 결승전은 리 그전을 실시하는 방식과 반대로 참가 팀을 몇 개의 조로 나누어 예선전은 리그전으로 하고 예선, 위 팀이 결선에 올라가 토너먼트전을 실시하는 방 식도 적용한다. 48 Ⅳ. 경우의 수 참고 경우의 수 경우의 수를 구할 때는 빠짐없이 중복되지 않게 모든 경우의 수를 생각한다. 이때, 사건이 동시에 일어날 수 있는 사건인지 아닌지를 파악해야 한다. 수형도나 표를 만들어서 그 규칙성을 찾으면 경우의 수를 구하기 편리하다.

0,,,,,.,,.,....... (,.), 5 7. 5 7. 5 7 65 65. +, +, ++..,.. +=5()., 5 7.. A, B, 8. A, B, (A, B ) 8 (, 6), (, 5), (4, 4), (5, ), (6, ) 5. 8 A B 5 6 5 5 4 5 4 5 5 6 5 5. 8 A 4 5 6 B 6 5 4 5. A x, B y 8. B 6 5 4 O 4 5 6 A 5. 49

, (, ) 4. 4 (, ), (, ), (, ). 8 (, 6), (, 5), (4, 4), (5, ), (6, ) 5. (6, 6).,, +5+=9() 4. 6 5 4 O 4 5 6 9. :, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 0 (0) 5: 5, 0, 5, 0, 5, 0 (6) 5 : 5, 0 () 0+6-=4() n(a'b)=n(a)+n(b) -n(a;b), A;B=A n(a'b)=n(a)+n(b) 66 4, 6,. 5 7 4+6=0(). A B m n, A B, A B m+n 5, 6, 9,, 5 5, 7 7, 4., 7, 5 7 5+=7() 0 4 4, 8,, 6, 0 5, 6 6,, 8., 4 6, 0 46 5+-=7(), 4. 0 5. 66. /. 5 9 4 8 B 4 4 4 4 4 A 50

0 a b... a... a, b, c a e b c, d d, e.,,, _=6() 67 67. a b..,,... a b a b a b. 6.. d a e d b e d c e (, ) (a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e).. A, B, A, B 6. A B 6 6 6 8. 5

6= _. 6 Δapple Δapple Δapple 9 Δapple Δapple 6 Δapple 8 Δapple 4 Δapple Δapple 6. A m, B n, A B m_n A, B, A, 4, 6 B,, 5, A B _=9 () 6. 6 _ 6= _,, _ _,, 6 _=9 () _ _ 4 4= _,,,, 4_=8() 7 7= _,,,,, 4_=() 00 00= _5,, 5, 5, 5 4 7 00 0 (a+b)(x+y+z) (a+b)(p+q)(x+y+z) 68 68 _=9() 0 0= 5,,,, 5, 5 4 =6() _=6() =() 5

y N,.,.. «P 69 A, B A={a, a, y, aμ} B={b, b, y,b«} A B A_B={(a,bΔ) a <A, bδ<b, A_B={i=,,, y, m, j=,,, y,n}.. n(a_b)=n(a)_n(b) A, B, C n(a_b_c)=n(a)_n(b)_n(c),,... 5

0, 4 «P P Permutation. 4 4,., 4... 4 =4(), n r n r, «P.,,, 4. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 P. «P., n, (n-), (n-). r n-(r-), (n-r+). r n {n-} {n-} {n-r+} «P «P =n_(n-)_(n-)_y_(n-r+) 70 70 7,,, 4,. 4_=() «P n r., «P =n(n-)(n-)y(n-r+) n 0,,, y, (r-) r 54

«P n r.. n r «P =n(n-)(n-)y(n-r+) (, 0<r n) r P =4 =4 P =5_4=0 6. 5000 m,,, 4. 6 `` `` `` `4` 4 6 5 4 P P =6_5_4_=60`() ( { 9 ( { 9 0 n(factorial) n n. «P r=n n n.. «P«=n(n-)(n-)_y, n n,.., «P«==n(n-)(n-)_y y, 0<r<n«P. «P =n(n-)(n-)_y_(n-r+) (n-r)_y «P =n(n-)(n-)_y_(n-r+)_ (n-r)_y «P = (n-r)! y, «P r=n «P«== 0! «P«= = (n-n)! 0! 0!=., «P r=0 «Pº= = = (n-0)!.. 7 P P P «P n r «P = (, 0 r n) (n-r)! 0 «P«=, 0!=, «Pº=. 7 7. n-(r-)=n-r+. «P, n r. 0 0 ºP =0_9=870() P =4 P =5_4_=60 P =7_6_5_4=840 «P =n(n-)(n-) () n. 808 (Kramp, C. ; 760~ 86).. 55

[ «P. «P =n(n-)(n-)y(n-r+) ( \ \ { \ 9 n «P = (n-r)! P, P n r,nr., «P = (n-r)! (n-)! «P = {(n-)-(r-)}! (n-)! «P = (n-r)! n 0!= =n(n-)! n=,. P =5_4=0, 4!..!!! 74 5! P 5!=5_4 =0 5! 5! 5_4 P = = = =0 (5-)!!,. 4 P, P. P _ P =4!_!=4_6=44`() P P _! 6! 0! 4! 7! 4. 7,. 6! 6_5_4 = 4! 4 =6_5=0 0! 7! =0_9_8=70 74 P =7! =7_6_5_4 =5040 5! P _!= _!=5!! P _!=5_4 P _!=0. 4 P. P. P _ P =5!_! =0_6 =70 () 56

자습서-(44~6)-OK 페이지57 조합 학습 목표 순열과 조합 009..6 0:56 PM 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있다. 다 가 서 기 / mac0 0 T 조합의 뜻과 조합의 수 탐 구 하 기 / 답사 장소 고르기 현주는 남한산성, 몽촌토성, 북한산성, 행주산성 중에서 세 곳을 골라 답 사하려고 한다. 다음 물음에 답하여 보자. 리그전의 시합 수 와우~! 오늘은농구응원가는날~! 사람들이많이왔네~. 4. 남한산성. 몽촌토성 그런데시합은전체 몇게임이나있는거야? 너무복잡하다y. 더쉽게구할수는 없는거야?. 북한산성 그러면 나수학에게 물어보자y. 4. 행주산성. 네 곳 중에서 세 곳을 골라 답사하는 순서를 정하는 가짓수를 구하여라.. 네 곳 중에서 순서를 생각하지 않고 세 곳을 고르는 방법을 모두 구하여라. 토너먼트 (tournament) 스포츠나 오락경기 등에서 횟수를 거듭할 때마다 패자 음y.전체0개팀이 참가해서리그전을하니깐 A와B가붙고, 또A와C가붙고, 어쩌구저쩌구y 프로농구팀0개팀이 출전한다고? 음y 그럼전체 45게임이치루어지겠네! 와~!나수학은 어쩜저리수학을 잘하는걸까? 알 아 보 기 / 조합의 뜻을 알아보고, 조합의 수를 구하여 보자. 네 개의 문자 a, b, c, d 중에서 순서를 생각하지 않고 세 개를 고르는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다. {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} 는 탈락해 나가고, 최후에 남는 두 사람 또는 두 팀으 로 하여금 우승을 결정하게 하는 경기 방식 리그전 (league match) 여러 팀이 일정한 기간에 같은 시합 수로 서로 대전 운 일반적으로, 서로 다른 n개의 물건 중에서 순서를 생각하지 않고 r개를 동 경기의 대전 방식에는 토너먼트와 리그전이 있다. 보통 예선은 리그전으로, 본선은 토너먼트로 진행된다. 모든 팀들이 같은 수의 시합을 하는 리그전에서 전체 시합 수를 간단히 택하는 것을 n개에서 r개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 는 Combination의 첫 글 자이다. 구하는 방법은 없을까? «C «C 의 C는 조합을 나타내 와 같이 나타낸다. (對戰)하여 그 성적에 따라 순위를 결정하는 경기 방식 이 단원을 공부하면서 그 방법을 알아보자. 보기 서로 다른 4개의 물건에서 개를 택하는 조합의 수는 C 이다.. 순열과 조합 75 75 76 Ⅳ. 경우의 수 76. {남한산성, 몽촌토성, 북한산성}, 소단원의 학습 목표 {남한산성, 몽촌토성, 행주산성},. 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있다.. 조합을 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. {남한산성, 북한산성, 행주산성}, {몽촌토성, 북한산성, 행주산성} 여기서 배우는 용어 및 기호 알아 보기 / 조합, «C 해설 조합에서는 순서를 생각하지 않는다. 모든 순열을 생각한 후에 똑같은 문자가 순서만 바뀐 모양을 모아 가지 경우로 생각하는 방법 탐구하기 /. P =4 =4(가지) 풀이 으로 조합의 수를 찾는다. «P 여기서 조합의 수 «C = 임을 알 수 있다. r!. 순열과 조합 57

«C. a, b, c, d., {a, b, c}!. abc, acb, bac, bca, cab, cba, C!. C P {a, b, c} abc, acb, bac, bca, cab, cba {a, b, d} abd, adb, bad, bda, dab, dba {a, c, d} acd, adc, cad, cda, dac, dca {b, c, d} bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb 4 P. C _!= P C. P 4 C = = =4 ()!, n r «C, r r!. n r «C _r!., n r «P. «C _r!=«p «P, «C = r!. n r «P «C = = (, 0<r n) r! r!(n-r)! 5!=5_4! (n-)!=(n-)_(n-)_ (n-4)_(n-5)!, «C r=0 «Cº= = 0!. 7! 7! C = =!(7-)!!4! 7_6_5 C = =5 0! 0! ºC = = 8!(0-8)! 8!! 0_9 ºC = =45 _ n «C =0 «C =«C «C =0 =0!(n-)! n(n-) =0, n(n-)=0! n -n-0=0, (n-5)(n+4)=0 næn=5 «C =«C =!(n-)! 5!(n-5)! 5!(n-5)!=!(n-)! 5_4_=(n-)(n-)(n-4) 60=n -9n +6n-4 n -9n +6n-84=0 (n-7)(n -n+)=0 næ5n=7 7» -9-6 -84 7-7 -4-84 «- -» 80 4 77 77 78 78 U={,,, 4, 5}.,,`,`4,`5 Δapple C C,, 4,`5 Δapple C _ C _;!;,`, 4 Δapple C C,,,`,`4,`5, 4,`5 Δapple C _ C _;!; «Cº «Cº= «C = r!(n-r)! r=0. 58

8.. 8, 8! 8_7_6 C = = =56`()!(8-)! C ºC ºC «C«50! ºC = =50!49! «C«= = 0! «C =«C = 4!(n-4)! 6!(n-6)! 4!(n-4)!=6!(n-6)! 4!(n-4)(n-5)(n-6)! «C =«C n 0. 4. =6_5_4!(n-6)! (n-4)(n-5)=0 n -9n-0=0 (n+)(n-0)=0 «C «C«0 0., 0 ºC º. 0 0 ºC º= ºC º., n r n r (n-r)., «C =«C«79 79 næ6n=0 0 4, 0! ºC = 4!6! 0_9_8_7 ºC = 4 ºC =0() «C = 5555 r!(n-r)!. 5! C =!! 5_4 C = C =0 0! ºC =!8! 0_9 ºC = _ ºC =45 n r n (n-r)., «C =«C«.. «C =«C«=«C n-=5 n=7, «C =«C«=«C n-4=6 n=0 «C =«C«r n-r «C«, r n-r «C. 59

000 0, 000 00 0, 00, 00, 00, 400 5 0 0, 0, 0, 0, 40, 50 6 _5_6=60() 0 60-=59() «P «C 4 0 5, 00 4, 000.. (, 0 ) n «P =70 «P =!_«P smile5 n «C =0 «P «P +4 «C =«P «P =n(n-)(n-)=70 n -n +n-70=0 (n-0)(n +7n+7)=0 næn=0 «P =!_«P n(n-)(n-)(n-)=6_n(n-) (n-)(n-)=6, n(n-5)=0 næ4n=5 80 5 6 A, B, C, D, E.,., C, A, 8,. 80 P =5!=0() i e 4!, i e!. 4!_!=48() s, m, l P,!. P _!=!=6() 4 «C =0 «P n(n-)(n-) =0_n(n-)! n-=60 n=6 «P +4 «C =«P n(n-)(n-) n(n-)+4_! =n(n-)(n-) 6+4(n-)=6(n-) n=5 5 5_4 C = =0() _ C 4 C =4() A 4 4_ C = =6() _ 6 8 8_7 C = =8() _ 60

,. 006-9[] (006 6 9 ),,. ( ). 0 4 5 6 7 8 9. (factorial). 8! 8? («P ). P n r («C ). C n r 8 8 808 (Barbier). 89 (Braille, L. ; 809~85), 6,.. 96 4 ( ).,,,.. 4 5 6 4, 4, 4,,,6,, 4,5.,,,, y`,., 456,, 456..,,, 4, 5, 6 =fl =64 64-=6().,.. 4 5 6 6