제 11 강 : 스핀의물리학 물리현상의원리 의류학과안보영 1. Spin 이란무엇인가? 원래자전이라는뜻이나여기선자전각운동량(Spin Angular momentum) 을줄여서 말한다. 회전운동의관성을지배하는크기를각운동량이라하고이것은운동량과 거리(Radius) 에비례한다. 궤도각운동량은회전관성을말하기때문에, 관성을 지배하는질량 m, 속도 v, 그리고반지름인 r 에비례한다. 궤도각운동량 L = mvr 부피가있는물체의자전각운동량은그물체를구성하는각질점들의 궤도각운동량의합으로생각할수있다. 축위의점은돌고있다하더라도도는지아닌지알수없다. 따라서 각운동량도없다. 또각운동량은 r에비례하는데도는중심으로부터 거리(radius) 가 0이므로각운동량역시 0 이되기때문이라고생각할수있다. 따라서이경우고전적인자전각운동량은 0 이어야한다.
* 각운동량의양자화(Angular Momentum Quantization) 전자나원자의경우에는아원자세계에서입자의성격만가지는것이아니라 파동의성격도가진다. 전자는크기가없기때문에자전각운동량을가질수 없음에도불구하고, 전자에는자전각운동량이있으며전자의자전각운동량은단 두가지의값만을가진다. +½ħ 와 -½ħ 즉, 축을중심으로오른쪽으로돌거나왼쪽으로돌거나둘중의한가지값을 가지며, 더빨리도더천천히도돌수없다. 전자의각운동량이존재하는것은신비한양자현상이며모든각운동량이양자화 되어있듯이자전각운동량또한양자화되어있다. 이때각운동량의단위인 ħ를 Joule-second의단위로따지면그크기가 10-34 밖에 되지않는다. 따라서보통의거시세계에서는너무나촘촘히있기때문에 각운동량이양자화되어있다는사실을확인할방법이없으나, ħ의크기가 중요해질정도의미시세계에서는양자화되어있음을확인할수있고또중요한 역할을한다. * Spin 의중요성 Spin 이며 은아래에설명하는바와같이물성을지배하는가장중요한성질중의하나 Spintronics 라는분야가생길만큼기술적으로도굉장히중요해지고있다. * 보어의원자모델 (Bohr Model of the Atom) 원자에는핵이있고그주위에전자가있는데, 보통은전자가전하를띄며 원운동을하고있다. 이때원운동은가속운동이고, 고전전자기학에의하면 가속운동을하는전하는빛을내며에너지를잃어궤도가점점떨어져야한다. 양성자의사이즈는 10-15 m 이고, 원자의사이즈는 10-10 m 이기때문에, 만약위와 같이전자가양성자안으로들어가게된다면원자는물질은존재할수없으며 따라서우리가아는형태의물질은존재할수없다. 그러나이러한일은절대로 일어나지않는데몇주전에이를하이젠버그의불확정성이론 (Heisenberg uncertainty principle) 으로설명한바가있다. 보어가그의원자모델을제안했을당시불확정성원리는아직나오지않았으므로 그는특별한허용된궤도가따로있다고가정함으로써원자의안정성문제를피해 갔다. 즉그는원자의안정성을설명한것이아니라가정하였다. 수소원자에서 전자의가장낮은상태의궤도반경은 0.53 A 이며, 이는보어반지름(Bohr
radius) 이라불린다. 다음궤도는 2 2 r B, 그다음궤도는 3 2 r B 로점점커진다. 어떤궤도만이허용되는가를설명하기위해보어는궤도의각운동량이양자화 되어있다는조건즉, L=nħ 을사용하였다. 나중에와서 n 은각운동량이아님이알려졌지만, 모든각운동량은양자화된다는 이야기는옳은것으로밝혀졌다. * 궤도각운동량양자화에대한드브로이 (De Broglie) 의해석 드브로이는보어의조건이정상파조건임을간파하였다. 파장의정수배가되는궤도만이허용된다고가정하면 즉둘레의길이가 n λ = 2 π r, 여기에서λ를양변으로나누고양변에 ħ 를곱하면 (ħ= h/2 π), ħn = (h/ λ)r 이되는데 h/ λ 는모멘텀 mv 이므로, 우변은 mvr 드브로이의이야기는보어의조건이된다. 즉 각운동량이되어 * 전자는두바퀴돌아야제자리에온다! 이런입장에서전자의각운동량이 ½ħ 임은무엇을이야기할까? ħn = ħ(2 π/ λ)r의 n에 1/2을대입하면 λ = 4πr 이되니
드브로이의입장에서는한바퀴가아니라두바퀴를돌아야한파장이된다는 것으로해석할수있다. 2. Spin 의존재와의미 입자의 Spin이라는것은자전각운동량인데크기가없는물체의성질이기 때문에궤도각운동량의합으로표시가불가하다. (ħ/2) n 은두바퀴를돌아야제자리로돌아오는성질과관련이있다. 실험적증명 : (Stern-Gerlach Experiment) * Stern-Gerlach Experiment 막대자석의자장내에못이있으면이못은자석이된다. 따라서다른자석이 있다고가정하자. 두자석사이에 N이 S를당기는것과 N이 N을미는힘중에서 S 가더가까이있으므로당기는힘이미는힘보다크다. 만약자장이균일하다면 위의두힘이같아져서로당기지않을것이다. 즉, 막대자석이만들어내는 자기장이균일하지않은것이자석과자석이끌리는이유이다. ( 중력의경우 조력에해당 ) 한편, 전하를가진입자가각운동량( 스핀) 을가지면그입자는작은막대자석이된다.
Spin + 전하 = 자석( magnetic moment) 실험에서불균일한자기장에전자를통과시켰을때, 전자가받는힘의크기는 전하와스핀(Sz) 의곱에비례한다. 스핀이양자화가되지않았다면그냥희미하게 스크린에모든전자가퍼져있을것이다. 그러나가운데에는아무것도없고두군데로나뉘는것은전자의 spin( 의크기) 이 ½ħ 이라는증거이다. 요약하여전자의스핀상태는두가지가있다. Spin up state일때는 Sz=+ ½ħ, Spin down state 일때는 Sz= ½ħ, 만약 Spin=1이면 Sz=1, 0, -1 의세개의값을가짐 전자의궤적은세 군데로나옴 만약 Spin=2이면 Sz= 2, 1, 0, -1, -2 의다섯개의값을가짐 다섯군데로 나옴 스핀의크기 S가 J 에의해서주어지면, Sz의값은 Jħ 에서 -Jħ까지의 2J+1 가지의값을갖는다. * 왜이것이중요한가? 답: spin이 statistics( 통계) 를결정한다.
물리는기본적으로임의의물체를가장기본적인단위로쪼개서그것의성질을조사하고, 어떤힘에의해모아져물체가만들어지고성질을가지는가를보는원자와입자를다루는학문이다. 모든물질에서물체의기본성질을잃지않는단위를분자라고하며분자는원자로구성되어있다. 원자는다시양성자(proton) + 중성자(neutron) 구성된핵(neutron) 과그주위에 전자(electron) 로나뉜다. 핵을다시쪼개면 proton 과 neutron 으로되어있는핵자(nucleon) 가있고, 이를 다시쪼개면 quark이있고이것들을연결하는 gluon 이라는입자가있다. 이렇게계속쪼개서가장기본적인우주의빌딩블록을보려고하는학문이 입자물리학이다. 우리가아는모든기본입자는스핀이있고, 기본입자를분류할 때 spin 에의해다음과같이분류한다. - 스핀이 ħ의정수배인것 0,1,2,3 등 Boson - 스핀이 ħ의반정수배인것 ½, 3/2, 5/2 등 Fermion 쉬운방법으로설명이안되는기본원리중하나는페르미온의경우파울리 배타원리가성립한다는것이다. * 파울리배타원리 (Pauli-principle) 어떤두입자도같은상태에있을수없다. 한상태에는한입자만있어야한다. 그러나상태를나타내는것은에너지뿐만아닌스핀도있으니 Fe rmion의경우spin up 과 down 이한한네지준위에들어갈수있다. 예로전자를 5개를넣으려면
적어도 3 개의에너지준위를사용하여야한다. 그러나보존의경우에는한 준위에다들어갈수있다. 이로인해입자집단의가장낮은상태인기저상태의성질이보존이냐 페르미온이냐에따라완전히다르며이것이스핀이지배기본물리법칙이다. Fermion에서는전자가 10 23 개가있다면그만큼계속차올라가야하므로굉장히 높은곳까지올라가게된다. Fermion이많이있으면모멘텀이많이있다는것을 의미하고, Electron은단순히숫자가많다는이유로모멘텀을가지고 pre ssure 를 가지게된다. 이때전자의개수가맨위에있는전자의에너지인 Fermi Energy를 결정한다. 또모멘텀을가지니압력도가지게되는데이를축퇴압이라한다. < 태양의종말> 태양은핵융합반응으로입자들을데운다. 에너지를가지니모멘텀을가지고그로 인해 pre ssure 를가진다. 이때밖으로나가는 pressure 와안으로들어오는중력이 비슷해야안정된별이다. 그러나 50 억년뒤태양의에너지가다고갈되게되면, 중력이밀고들어오게된다. 태양안에는굉장히많은핵이있고핵주위에전자들이충분히많이있는데 전자들은페르미온이니이렇게단순히전자들이많이있는것만으로도상당한 압력을갖게된다. 이힘(degeneracy pre ssure) 으로연료가다탄뒤에도어느 질량까진중력을버틸수있고, 그질량의한계를 Chandraska limit 이라고한다. ( 태양질량의 1.4 배정도) * 보스- 아인슈타인응축 (Bose-Einstein Condensation) Fermion과반대로 Boson 은무조건같은상태에있으려고하고, 많이있을때 생기는힘을 Bose-Einstein 응축이라한다. 각운동량과주기율표 * 상자안의입자(Particle in a box) 원자에서 Proton은 electron 을전기적으로속박하는것이다. 이를전하가도망하지 못하도록상자에가두어둔다고생각하면, 상자는 proton 의구속력을의미한다. 상자는보어의 radius 보다는커야한다. 상자에대한방정식을풀때상자안에 있는 particle이밖으로나올수없으며밖에는 wave가없고안에만 wave가 있다고하면양자역학적으로, 즉파동적으로설명이가능하다.
k=h/λ이므로, λ가길면모멘텀즉에너지가작아진다. 이는가장낮은상태에서 파장이최고로길다는것을의미한다. 가장긴파장의길이 = λ/2 = 상자의크기 L = λ/2 는정상파의조건이고이는상자안에있는전자의상태에해당된다. p = h/ λ = nh/2l (n= 정수), E= ½mv 2 = p 2 /2m = h 2 n 2 /8mL 2 노드와파장은곱해서일정하게되는반비례하는관계에있으므로, 파장은짧고에너지는높다. 노드가많으면 proton 주위에전자가어떻게생겼느냐에따라각운동량을결정한다. 수소원자의상태를나타내는것은노드의개수와각운동량의크기를합산한것이 보어의n( 주양자수) 라는복합체이기때문에기하학적인뜻은없다. n( 주양자수) = n r ( 노드의개수) + l ( 각운동량의양) + 1 E n = - 13.6eV/n 2 수소원자의경우에너지는각각의양자수가아니라그들의합에만의존한다. 양자역학의파동함수로이야기하면각운동량의크기 l은폴라앵글방향으로의 노드의개수를의미한다. 각운동량의축방향성분은외부자장이없는곳에서는 별로중요하지않다. 보어는각운동량이에너지를결정한다고했으나, 에너지는 각운동량만이아닌 radial 방향의파동도중요하다고나중에밝혀지게되었다.
1) n=1; l=0 일때, spinning up down으로 2 개가들어간다. +- 궤도가다차면 안정된원자가되는데이것이헬륨이다. 2) n=2; ㅣ=0 or 1 일때, l = 0 이면( 보어가틀린부분) spin 2 개, l=1 이면 3x2 = 6 개, 합8 개가들어갈수있다. 즉, 2+8 = 10개로두번째궤도가다차는 것이네온이다. 3) n=3; l=0, l=1. L=2 까지가능하므로, L=0 이면 spin 2, l=1 이면 spin 6, L=2 이면 spin=10 이므로, 총 18 개가들어갈수있다. 이것이아르곤이다. 이런것들이 효과이다. Puli-principle 을만족하는전자의성질과각운동량의양자화의 Summary of Key Points: 1. Spin 과각운동량으로원자를설명할수있다. 2. 모든각운동량은양자화되어(Quantization of Angular Momentum) 있다. 3. 이것은 Pauli-principle 의근거가되며주기율표를설명할수있다.