6 강 : 상대성이론 기계공학부박동우, 정영석
1. 빛의매질 빛이라는것은전자기파의일종이라는것이막스웰에의해밝혀졌다. 사람들은 궁금해졌다. 빛이파동이라면빛의매질이무엇인가에대하여말이다. 그때까지만해도 파동은매질을통해전파된다는것을알고있었다. 예를들어목소리는공기의떨림을 매개체로사람의귀로전달되고끈의파동은끈을통해전파되는것이다. 즉임의의모든 역학적파동은매질이필요하다. 매질이없다는것은생각할수없었던사람들은의문이 들었다. 태양과지구사이가빈공간이지만빛이전파가되고유리를통해, 즉유리내의 물질을통해전파가되는괴상망측한현상을보고매질이없는파동을생각할수 없었으므로 Ether 라는매질을가정하였다. 그리고이 ether를발견하고자많은사람들이 노력하였는데그중주목할만한사람은미국물리학의아버지라고부를수있었던 Michelson 이었다. 그는간섭계라는기구를이용하여빛의파장의 1/100정도를측정할수 있는실험을고안하였다. 이는빛의간섭현상을이용해빛의파장의 1/100정도의길이를 측정할수있는기구였다. 그래서빛의파장이 6000 A 이라면 60 A 을측정할수있는 기구였다. 2. Michelson 의간섭계실험 Michelson 은다음과같은실험을했다. 우주공간에 ether가꽉차있고태양에대해서 정지해있다고생각한다. 그렇게되면지구는태양에대하여 < 그림 1> 과같이 30km/sec의 속도로공전을하기때문에지구의입장에서는 ether가지구주위를동에서서쪽으로 30km/sec 의속도로지나가는것으로보인다. 즉이는 < 그림 2> 와같이 ether라는강을 지구가헤엄쳐가는형상으로볼수있다. 이러한강물모형을생각하여다음과같이실험을 진행한다.
< 그림 3> 과같이강물에대하여두가지왕복경로를생각한다. < 그림 4> 와같이 원판을하나설정하여 L=1m 가되도록왕복경로에대한모델을만든다. 이렇게되면두 경로간에시간차가존재를할것이고빛의속도를 30만 km/sec라는것을이미알고 있었으므로시간차는빛의속도를곱함으로써거리차로환원될수있다. 이거리차가빛의 파장의 1/100 정도가되면간섭계로측정할수있어야한다. 이두가지경로에대하여 시간차및거리차를계산해보면다음 < 표 1> 과같다. 여기서는 1보다크므로이보다크다. 따라서시간차는로근사된다. 따라서여기에빛의속도를곱하여거리차를구하면이다. 따라서빛의경우파장이 6000 A 이므로이다. 따라서 Michelson 간섭계의 경우빛파장의 1/100정도를측정할수있다고하였으므로이보다더큰 1/60정도에 해당하는거리차를측정할수있어야한다. 즉이 Michelson 의간섭계를통해서는빛이 매질이있다고하면생길수있는효과를볼수있어야한다. 그리고나중에사람들은
L=10 m 로도모델을만들어실험을하였다. 즉 1/60의값이 1/6, 즉더큰거리차가 얻어지므로더욱더쉽게측정할수있었겠지만결과는모든사람을놀라게하였다. 즉이 길이차를재지못하였다. 이실험에대해전세계가논란에휩싸였다. 이러한실험결과로크게두가지주장이 제기되었다. 우선그당시굉장히유명했던로렌츠라는물리학자는지구가움직이는 방향으로측정길이가 로줄어든다고주장했고이를로렌츠수축이라고한다. 제랄드라는사람이같은의견주장했다. 피츠 그러나한가지실험의결과를해석하기위해서 길이가수축이된다는가정을하는것은, 행정을할경우 위인설관( 爲人設官 ) 과같은 것이어서이론적으로도이는현상론적이론이라하여좋은이론이아니다. 또다른의견은 Ether 가존재하지않는다는주장이다. 이는 Michaelson 실험결과에부합하지만, 이는매질 없이빛이어떻게진행하는가? 모든파의진행은매질에대한속도인데, 빛의속도는 무엇에대한속도인가? 등의더큰문제를발생시킨다. 여우를피하려다호랑이를만난 격이된셈이다. 이렇게사람들이우왕좌왕할무렵에아인슈타인이등장한다. 3. 아인슈타인의등장과특수상대성이론 특허청에근무하던아인슈타인이 1905 년에세가지논문을발표했다. 그중하나는바로 특수상대성이론, 즉빛과움직이는물체의동역학에대한이론이었다. 그논문에서 아인슈타인은 2 가지의공리를내세웠다. 하나는갈릴레오가처음이야기했던상대론이었다. 상대론이란모든관성계에서물리법칙이같다는것이다. 두번째공리는빛의속도에관한 공리였다. 이것은빛의절대성에관한것으로모든관성계에서빛의속도는 c(=300,000 km/sec) 로써같다는것을말한다. 아인슈타인은 ether는관측할수없기때문에없다고 하였다. 빛이어떻게전파하느냐에대해서는아인슈타인도답하지않았다. 그리고빛의 속도는무엇에대한속도인가에대한답변으로는빛의속도는누가봐도똑같다고하였다. 이답변은그즉시상식적인논란을일으키는내용이었다. 그이유는다음그림의 기차에서킨손전등의예를통해알수있다.
< 그림 5> 와같이기차에서손전등을키면손전등에서나오는빛의속도는원래의빛의 속도인 c에기차의속도 v를더한속도 c+v 가되어야할것이다. 뉴턴역학의경우를통해 본갈릴레이상대론의중요한점은속도의차이는아무런차이도만들어내지않는다는 점이다. 다시말해좌표계를바꾸면얼마든지달라질수있는것이물체의속도인데빛의 속도는절대적으로모든좌표계에서같다라는것을보여주기위해상대론을들고나온 것이다. 이는빛의속도는일반적인속도가아니라는것을의미한다. 즉특수상대성 이론에서제 1 공준이하는역할은제 2 공준을합리화하는역할에불과하다. 빛의속도는 속도가아니라물리법칙의일부라는것이다. 이물리법칙이라는것이모든관성계에서 똑같아야하기때문에논리적으로빛의속도가모든관성계에서똑같아야하는것이다. 이를수식적으로도이해할수있다. 빛의파동의크기를 A라하면빛의파동방정식은 로주어진다. 식에서볼수있듯이막스웰의방정식에는빛의속도가방정식에들어가있다. 이것은뉴턴 방정식과매우다르다. 뉴턴방정식은 F=ma 로써속도라고하는양이들어가있지않다. 예를들어 v 속도로달리는관측계, 좌표계에서어느물체의위치를본다고하면물체의 좌표는 x+vt 가될것이다. 하지만두번미분을하고나면이항은아무것도아니다. 이것이갈릴레이의상대론을이야기할때속도라고하는양이아무것도아닌이유이다. 그런데파동방정식에는빛의속도가포함된다. 이것이바로키포인트다. 한편위와같은 변환은갈릴레이의변환이라고하는데이갈릴레이의변환에대해서막스웰의방정식은 불변이아니다. 뉴턴방정식은갈릴레이변환에대해서불변이지만막스웰의방정식에 이러한것들을적용하면방정식이엉클어진다. 그래서아인슈타인은수학적으로 x와 t가 어떻게변환을해야막스웰의방정식이모든관성계에서같은형태를갖는지에대하여 관심을가졌다. 아인슈타인은빛의절대성을가정을하고, 겉보기에말이안되는이 공리가말이되게하기위해서어떻게해야되느냐는방향으로밀고나간것이다. 속도라고하는것은단위시간당달린거리이다. 수식으로나타내면. 우리가 알고있는보통의 x와 t 의관계를통해서는빛의속도를일정하게할수없다. 결국 속도라는것은시간분의공간이므로 속도를불변하게만들려면시간과공간의변환의 rule 이달라져야한다는점을인식한다. 즉관측자가달리면서봐도빛의속도가똑같게 만들려면시간과공간이어울려섞여야한다. 아인슈타인은갈릴레이변환을대치하는 관성계사이의연결식을만들었는데오늘날이는로렌츠변환이라불린다. 이변환을 사용하여아인슈타인은제2공준의결과로서 4가지의중대한결과를만들어낸다. 여기서는 로렌츠변환없이직관적인논증을통해아인쉬타인의결과를이해하도록하자. 4. 4 가지의중대한결과 1 동시성의상대화
< 그림 6> 과같이기차가있다. 한사람은안에타고있고다른한사람은밖에서관측을 한다. 기차의정중앙에서라이터를키면빛은기차의앞, 뒤쪽으로갈것이다. 기차의 앞쪽으로도달하는사건을 A, 뒤에도달하는사건을 B라고하면타고있는사람이 보기에는동시이다. 하지만기차밖에서보면빛이도착하기위해 A의경우는도착점이 원래보다멀어지고 B의경우는가까워지므로 A의사건은 B 의사건보다늦게일어난다. 제 2 공준을인정하면모든좌표계에서빛의속도가같기때문이다. 이것은같은두개사건들이누가보면동시에일어나고누가보면동시에일어나지않는 다는것을의미한다. 즉어떤두사건이동시에일어나느냐는것은절대적이아니라 상대적인것이다. 여기서제 2 공준을안쓰면어떻게달라지는지파악해보자. 제 2 공준을 적용하지않는다면빛이 A로가는경우빛의속도는 c+v로빨라지고 B로가는경우는 c-v 로느려진다. A의경우먼거리를빨리달리고 B의경우짧은거리를천천히달리니 결과적으로시간은똑같이걸린다. 제 2 공준을적용했을때(< 그림 7>, < 표2>) 와 적용하지않았을때(< 그림 8>, < 표3>) 를비교해보면다음과같다.
즉 < 표 2> 에서는밖에서관측하였을경우 A와 B가동시에일어나지않고안에서관측하 였을경우동시에일어나동시의상대성이일어난다. < 표 3> 에서는밖에서관측하였을때 와안에서관측하였을때모두 A와 B 가동시에일어난다. 여기서제 2 공준이동시성의상 대화를가져왔다는점을알수있다. 2 시간팽창및지연 기차안에서빛을천장에쏘아다시되돌아오는실험을생각한다. 빛이떠나는사건을 A, 바닥으로돌아오는사건을 B라고하면 A와 B 는기차안에서보면 < 그림 9> 와같이같은 장소에서일어나는실험이다. 기차밖에서보면빛이진행되는동안기차또한이동하고 안에서보나밖에서보나빛을쏜사람이다시받아야하므로빛의경로는 < 그림 10> 과 같다. < 그림 10> 에서피타고라스의정리를적용한다. 밖에서이사건을봤을때총소요 시간을 t 이라하고안에서봤을때총소요시간을 t 라고하면다음과같다.
여기서 된다. Michelson 실험에서나왔던 가또발생한다. 즉 t 는 t의 배만큼곱한것이 기차안에서봤을때두사건은같은장소에서일어나고밖에서봤을때는다른 곳에서일어난다. =2라면밖에서의시간이안에서의시간보다 2 배더걸린다. 다시 말하면, 기차밖에서의 2년이기차안에서는 1 년이된다. 즉밖의사람은 달리고있는 기차안에서는시간이천천히간다. 라고생각하게된다. 이를통해 달리는시계는천천히 간다. 라고할수있다. 상대론초기에시간팽창은 쌍둥이파라독스 를야기시켰다. 즉 쌍둥이가있는데동생이로켓을타고멀리떨어진별까지갔다오면형은동생이나이를덜 먹었다고생각할것이다. 하지만동생의입장에서는자신이가만히있고우주가갔다 왔으므로형이나이를덜먹었다고생각할수있다. 그러나두사람말이전부맞을수는 없고, 둘중의한사람의생각은거짓이된다. 결과는지구에남아있는형의말이사실이다. 왜냐하면특수상대성이론은관성계를기초하여만든이론이기때문이다. 동생의경우 갔다가다시오는, 즉방향을전환하므로가속운동을하는것이고가속운동계에서는 특수상대성이론은적용이되지않기때문이다. 3 공간수축 이현상은 < 그림 11> 과같이달리는바퀴는달리는방향으로줄어들어보인다는것을 말한다. 이것은시간팽창원리를역으로생각해보면쉽게이해할수있다. < 그림 11> 예를들어 < 그림 12> 와같이길이 L 이있고우주선을타고지구에서알파별로가면거리, 속도, 시간의관계는 L=vt 로나타낼수있다. 하지만우주선안의사람의입장에서는 < 그림 13> 과같이자기는가만히있고 L 이라는길이가왼쪽으로달리는것처럼보인다. 후자가잰길이와시간을 L',t' 이라하면 L =vt 이될것이다. 여기서후자의경우, 즉 우주선안에있는사람의입장에서봤을때에는자신의앞에길이 L의왼쪽끝이있다가 다른끝이오는것이므로같은장소에서일어난사건이다. 이때앞서시간팽창에서 설명하였듯이두사건이같은장소에서일어나는계에서의시간간격이 가장짧으므로 t 이짧다. 즉 t =t 이다. ( 이렇게같은장소에서일어날때의시간간격을고유시간이라고 한다.) 따라서 L =L/ 가된다. 즉달리는길이는수축되어보인다는것을의미한다.
E 4 세상에서가장유명한이식이의미하는것은질량이변하면질량만큼에너지가생긴다는 것이다. 빛의경우는정지질량은없고에너지가있기때문에관성질량이있고중력질량이 있다. 즉물리적인질량이있다. < 그림 14> 와같이마찰이없는기차를생각하고한쪽 끝에방사선물질을묻힌다. < 그림 14> 이제방사선물질에서감마선이나간다. 감마선은에너지가높은빛이며빛은모멘텀을 가지고있다.(ex: 빛바람개비) 이빛의모멘텀을 p라고하면 cp=e 라는관계가있다. 이 관계는막스웰방정식으로부터유도될수있다. 즉이미알고있었고실험적으로도증명된 식이었다. 그렇다면모멘텀보존법칙에의해기차는굉장히미미하지만왼쪽으로만큼 움직일것이고 MV=p 여야모멘텀이보존이될것이다. 이제빛이오른쪽으로 L만큼 이동하여오른쪽벽에도달하여벽이모멘텀을흡수하면기차는다시정지한다. 이동안에 전체질량중심은움직이면안된다. 이를위해선오른쪽으로움직인빛이얼마간의질량 을가지고움직였다고볼수밖에없다. 이것이핵심이다. 이제작은계산을하여 얼만큼의질량이움직였는지를살펴보자. 질량중심이움직이지않을조건은다음과같다. " "
이식에서움직인빛의질량을계산하면. 즉빛은자기가가지고있는에너지의 배에해당하는질량을가지고서오른쪽으로 이동해줘야전체적으로균형이맞는것이다. 이로써적어도빛의경우에대해서는 이성립한다는사실을확인할수있다. 정지질량이있는경우에이공식을 유도하는것은약간의미적분이필요하므로여기선생략한다.