카페 http://cafe.daum.net/postmedu 메일 medu1234@hanmail.net 박혜향수학교육론 [2009 학년도 2 차를대비하기위해꼭읽어야할자료 ] * POSTMEDU - 1 월 2 주읽을자료 - 박혜향제공 POSTMEDU = Post Math Education 변화하는수학교육을위하여 P erfect O neself S mile T eacher M ind E njoy D ecide U nderstand 정확히안다. 스스로노력한다. 입꼬리를올려긍정적으로본다. 교사가된다. 마음으로공부한다. 수업을즐긴다. 판단력을기른다. 외우기보다이해한다. 완벽은힘들지만정확은쉽습니다. 정확히알도록노력하십시오. 스스로노력하여얻은것만이진정한지식입니다. 입꼬리를항상위로올려긍정적으로세상을보아야진정한교육자가됩니다. 언제나잊지마십시오. 교사가된다는것을요. 머리로공부하지말고마음으로공부하십시오. 교육은마음에있습니다. 모든것과잘놀아야성공합니다. 수학교육과잘놀아봅시다. 스스로결정하는판단력이필요합니다. 당연히주관적인판단이아니라객관적인판단이겠죠. 외우기보다이해하십시오. 수학교육은절대책몇번읽는것으로능력을판단할수없습니다.
2 주차에읽어야할자료 < 출처> 수학학습심리와교수- 학습전략, 박성택, 경문사, p.143~171 수학과교육의동향과교수 학습지도의실제 수학학습방법은다양한교수 학습방법을통한구체적인조작활동과사고과정을중시하 고, 수학적인개념, 원리, 법칙등을아동스스로가발견하고해결하는기회를제공하여논 리적이고합리적인사고력을길러풍부한창의력을지닌인간육성을강조하고있다. 이러한수학학습의방법의강조점을일선교사들은알고있음에도불구하고대부분의수 업현장에서는수학교육의본질에부합하는학습지도보다는결과중심의주입식지도사례 가많기에이에대한바람직한수학과교수 학습전략을우리의교육여건을감안하여실제현 장경험과수학학습이론을바탕으로하여제시하고자한다. 1. 학습위계에따르는기초학습을중시하는수학학습 Gagne 는인간의학습은단순한것에서복잡한것으로, 단편적인것에서일반적인것으 로, 또는저차원에서고차원에로나아가는위계를이루고있으며하위단계의학습은다음 단계의학습에필수적인선행요건이되고있다고한다. 계통성이뚜렷한수학학습에서는문 제해결에필요한하위학습요소를찾아내고이들을학습위계에따라학습순서를결정하여 학습할필요가있다. 학습자가선행학습요소를충분히학습하였을때, 후속학습을용이하게할수있다. 선행 학습요소가운데결손된것이무엇인지를발견하고이에대한교정학습을통하여보충시켜 두어야한다. 수학학습은체계적이고계통적이며논리적인위계를이루고있는것이특징이 다. 하위의선행학습이부족하면주어진문제를해결할수없는것이다. 그러므로, 다른어 떤교과보다도기초학습을충실히해두어야한다. 2. 인지경로를중시하는수학학습 Bruner 는인지적수업이론을대표하는사람이다. Bruner의인지발달경로에관한이론 에따르면 3 가지의표상단계로구분하고있다. 첫째단계는학습자에게제시하는개념, 지 식, 구조를이해하는데구체물그대로의제시를통해서표현하는작동적표상(enactive representation) 을, 둘째단계는개념을충분히이해하지않고도개념을나타내는그림이나 요약된도식에의해표현하는영상적표상(iconic representation) 을, 그리고, 셋째단계에 는법칙과원리에의해지배되는추상적이며상징적인논리적인명제에의해표현하는상징 적표상(symbolic representation) 으로발달수준에따르는인지과정을밝히고있다. Bruner 의인지과정의이론에따르는수학학습의전략으로 피감수가 5 이하인뺄셈 의학 습문제를예로들어보기로한다. 5-3 = 의인지과정에따른학습전략을소개하기로한다. 첫째단계인작동적표상단계에서는구체물조작활동으로학습한다. 이때뺄셈도입의 관점은대표적인것으로 제거형 과 비교형 이있다. 제거형은 쟁반에사과가 5개있는데 3 개를먹었다. 몇개남았는가? 와같은유형의문제로정적인것이있는데동적으로빼어내 - 2 -
는시차를달리하는관점이고, 비교형은 철수는구슬을 5 개, 순이는구슬을 3개가지고있 다. 누가몇개더가지고있는가? 와같은유형의문제로동시적으로비교하여학습하는 관점이다. 이단계에서는제거형과비교형의두관점에따라 이야기꾸미기 놀이를통해서 바둑알이나타일, 수막대등을가지고실제구체물조작활동을해보게하는것이뺄셈의 의미를보다명확하게파악할수있게될것이다. 이야기꾸미기 는교사만이하는것이아 니라아동들도주어진문제의뜻에맞는 습지도가될것이다. 이야기꾸미기 를시켜보는것이더의미있는학 둘째단계인영상적표상단계에서는수직선을이용하여학습한다. 수직선뛰기에의한 뺄셈공부는반드시 0 에서출발시키고, 1칸씩뛰게하며화살표의끝점이구하는답이된다 는사실을알게한다. 이와같은방법에따라 5-3 = 는 0에서오른쪽으로 1칸씩 5칸 을뛰고다시왼쪽으로한칸씩 3칸을뛰면화살표의끝점은 2 에오게된다. 이때 2가뺄 셈의답이된다. 이와같은수직선뛰기에의한계산공부는정수또는유리수의계산에서 도밀접한관련이있기때문에확실히해두어야한다. 마지막셋째단계인상징적표상단계에서는피감수가 5이하의뺄셈의학습을형식화해 주는단계이다. 이단계에서는 5-3 = 를가로형식의셈과세로형식의셈을병행해 서정확하고신속하게할수있는학습을한다. 이와같은 5-3 = 의인지과정에의한 3 단계학습이끝난후에다른 피감수가 5 이하인뺄셈 을아동개개인의능력수준에따라 1단계와 2단계학습을생략하고도바로 3 단계의학습에의해서학습할수도있게한다. 이상과같은생각에서볼때, 수학학습은조작( 구체) 영상( 반구체) 기호( 형식) 의인지 과정을중시하는학습전략이필요하다고본다. 3. 개인차를존중하는수학학습 민주주의는인간의불평등(human inequality) 을존중해주는사회이고, 공산주의는불평 등한인간을평등화시키려는사회이다. 인간은태어나는과정이불평등하기에우리교육에서도개인차(individual difference) 가 있기마련이다. 50명의아동이있는곳에 50개의개인차가있으므로교수방법도 50가지가 있어야한다. 아동의적성과현재의성취수준, 학습스타일등에있어서다양한개인차에 맞을만큼다양한학습전략이마련되어야한다. 어떤아동은단한번의설명으로곧이해를하는데비해어떤아동은같은설명을여러 번되풀이해주어야한다. Bloom은교수의질에있어서가장강조하는것으로학습의개별 화를소개한다. 아동개개인은지능, 적성, 흥미, 관심, 가정적배경등모든면에서차이가 있으므로교육은먼저아동의이와같은개인차를이해하고이것을학습목표달성에유기 적으로통합하여가능한데까지그능력을충분히발전시켜나가야할것이다. Piaget 에의하면학습을인지발달에종속되는것으로보고보존개념발달수준에적절한 학습이이루어져야만일반화가치가있고전이효과가있으며파지력이생긴다고한다. 이 러한보존개념형성시기는개인에따라 1~2 년의차이가있었다고한다. 이말은개인의능 력수준은차이가있으므로개인차를고려한학습전략이필요하다는뜻을내포하고있다. Piaget 의연구에의하면수의개념은수량의보존개념이형성되는시기가되어야수를 파악할수있다고한다. 그이전에수를학습하는것은형식적이고주입적인학습이되어 유의미한학습이되지못한다고한다. Piaget 의임상실험연구에의하면보존개념의형성시기는개인에따라차이가있지만 보통수준의아동의보존개념은다음과같은시기에형성된다고한다. - 3 -
< 수학과주요개념의보존개념형성시기> 한가지속성에의한분류(4~6 세) 두가지속성에의한분류(7~8 세) 위계적인분류(9~10 세) 수의보존성(6~7 게) 수의계열성(7~8 세) 분수의기초(6~7 세) 소수의기초(8 세) 덧셈과뺄셈의기초(6~7 세) 덧셈의교환성, 결합성의기초(8~9 세) 곱셈의기호, 곱셈구구(7~8 세) 곱셈의교환성, 결합성의기초(7~8 세) 나눗셈의기초(7~8 세) 유클리드기하도형의기초(6~7 세) 평형과수직(9 세) 삼각형의합동(9~11 세) 삼각형의닮음, 각의상등(12 세) 사각형의닮음(13 세) 길이의보존(7~8 세) 면적의보존(7~8 세) 무게의보존(9~10 세) 부피의보존(11~12 세) 시간의측정단위(8 세) 비와비례(11~12 세) 좌표평면(11~13 세) 순열의기초(8~9 세) 확률의기초(11~12 세) 포함관계의기초(8~9 세) 교집합(10 세) 합집합, 공집합(10~11 세) 귀납과연역의사고(11~12 세) 위와같은수학적인개념의보존개념형성시기가각개인에따라다르기때문에개인의 수준에맞는개인차를존중하는학습지도가필요하다. 한국과같은다인수학급에서의개인차를고려한학습지도는담임교사의지도의한계성 때문에어려운점이많다. 학급아동들의학력의개인차를줄이고, 학습부진아를구제하는 방법으로의사교환을통한소집단버즈형태라든가우수아가부진아를지도하는상호협력 학습체제가한국의교육여건에서는적절할것으로본다. 이상과같은생각에서볼때, 수학학습에서개인의능력수준이고려된학습전략이필요 하다고본다. 4. 귀납적사고과정이중심이되는수학학습 수학은추론활동없이는학습할수없다. 수학적인지식을논리적인추론활동을통해서 결과를즐거운마음으로이끌어낼수있도록해야한다. 수학을자율적이고효율적으로학습하는데는자신들이적절한추론방법을다양하게사 용하여논증하고사고과정과추측을합리화할수있도록자신감을갖게하는것이무엇보다 도중요하다. 추론활동을중시하는교실분위기는개방적이어야하고문제해결에관한토 론자들의상호의견이존중되어야하며사고활동의중요성을알고탐구심을가지고활동하여 야한다. 수학학습의추론활동으로는귀납과연역적사고과정이중심이되고있다. 아동들로하 여금다양한범례를통하여일반화된수학적지식을형성해나가는특수한사실에서일반적 인것을찾아내는추론을귀납적이라고하고, 논리적인규칙에따른명제의조작으로확실 히진( 참) 인보편원리를바탕으로하여여기에서특수한여러명제를이끌어내는추론을 연역적이라고한다. 귀납적추론에의한학습은다양한탐구활동의결과로얻어진자료들을축적하고결합하 는과정을통해서이론을구성하기때문에확률적인성격을지니고있어서결론이거짓이 될경우도있다. 이에대하여연역적인추론에의한학습은잠정적인가설에의한경험적인 자료를바탕으로하고있기때문에이미진리가주어졌거나확인된상태로논리적인순서에 - 4 -
따라도출되었기때문에필연적인성격을지니게되어그결과는항상진( 참) 이되는것이 다. 따라서, 귀납적인일반화는 신뢰롭다(truthful) 라고추론할수있는반면에연역적인일 반화는논리적규칙을고수한다면 타당하다(valid) 라고가정할수있다. 귀납적인추론은발견학습(discovery learning) 을선호하는것이분명하다. 학습자가그 들스스로관계를발견하도록충분한수의보기가제시되어야만한다. 이것은귀납추론에 서얻어진결과는항상진이아니기때문이다. 연역적인추론은학습자에게직접적으로개 념, 원리, 법칙등을소개하고여기에관련된구체적인사실또는보기를찾도록하기때문 에논리적해결과정에거짓이없는한얻어진결과는항상진( 참) 이되는특징을지니게된 다. 수학이라는학문은일반적으로연역적인과학으로생각하지만학습의방법으로써는발견 의방법(discovery method) 과관련된귀납적추론방법이초등학교단계에서효율적이라고 한다. Piaget에의하면구체적인조작기에지배적인역할을하고있던귀납적사고방식이 형식적조작기에이르면가설연역적(hypothetic deductive) 추론으로써특징을나타낸다고 하였다. 이것은 11~12세이전에는연역적추론을통한수학적인문제해결은어려울것으 로집작되어초등학교시기( 또는중학교초) 에연역추론에의한수학학습은무리라는시사 점을얻을수있다. 귀납적인추론에의한수학학습을강조하고있는대표적인학자로는 Piaget, Bruner, Skemp, Gagnè, Dienes 등을들수있다. 귀납추론은개개의특수한사실에서출발하여보편적인법칙또는성질을찾아내는추론 활동으로단한개의사실에대한추리에서적용될수없고여러개의것을통합하여일반 적인성질을발견하는추론이다. 특수 특수 특수 일반 특수 특수 특수 귀납 연역 예를들면, 삼각형의내각의합은 180 이다. 를직각삼각형, 정삼각형, 이등변삼각형, 일 반삼각형등의각각의내각의합을각도기로세각의각도를측정해서합을구해보거나세 각의크기를찢어모아보게하는활동으로 180 임을발견하는것까지는귀납추론이다. 귀납추론에서얻은결론은항상참이되는것이아니고어디까지나확률적이기때문에 거짓일수도있다. 예를들면, 천개의붉은사과를보고모든사과는붉다 라는귀납추론 의결론은사과에는파란사과도있기때문에거짓이되기도한다. 하지만귀납추론은발 견, 발명, 창조의근원이되는사고이다. 최소공배수와최대공약수사이의관계를예도들어보자. 이에관한학습을연역적으로 두수의곱은최소공배수와최대공약수의곱과같다. 는내용을설명식으로이해시키 고문제풀이에적용시키는것은아동들의인지발달단계에서볼때무리이다. 이문제를 귀납적인추론을통해서규칙성을아동스스로발견할수있도록한다. - 5 -
( 두수) ( 최소공배수) ( 최대공약수) ( A, B ) L ( 6, 8 ) 24 2 ( 4, 6 ) 12 2 ( 8, 12 ) 24 4 ( 15,10 ) 30 5 ( 2, 16 ) 16 2 G 위의특수한예들을보이고두수 A, B와최소공배수 L, 최대공약수 G사이의규칙성을 발견하게한다. 아동들의이해가부족할때는교사가힌트를조금씩준다. 그러면아동들은두수 A와 B 의곱은최소공배수 L과최대공약수 G 의곱과같다는사실을알아낼것이다. " 두수의곱은최소공배수와최대공약수의곱과같다." A B = L G 이식에서 변형시킬수있을것이다. A=(L G) B, B=(L G) A, L=(A B) G, G=(A B) L 등의다양한식으로 이상에서보는바와같이수학학습에서공식, 법칙, 성질등의문장수준으로된내용을 학습할때는귀납적인추론을통하여학습하는것이비교적인지발달수준이낮은단계에서 는바람직하다고보겠다. 추론이란이미알고있는판단으로부터새로운판단을이끌어내는사유작용이다. 수학학 습에서의추론은아동의내면화된행동이나사고의조작수준에서아동이자유로이탐색하 고의문을가지며스스로발견해나가는다양한추론활동을필요로한다. 이때교사는아 동으로하여금사고하게하고새로운해결책과새로운인지구조를발견하도록조력자, 사회 자, 촉매자, 조정자의역할을해야한다. 수학학습은계통적이고논리적이고연역적으로 만들어진수학 을구체적인사실들의관찰과실험으로부터일반적인사실을추론하는귀납 적인추론활동으로 만들어가는수학 으로학습하는것이중시되어야한다. 5. 적절한범례제시를통한수학학습 Skemp 는학습자가이미가지고있는개념보다고차인개념은정의만으로는이해할수 없고유일한방법은적절한범례의집합을경험하는일이라고주장하였다. 수학적인개념을 형성시키는데는반드시구체적이고적절한범례를제시하여공통적인속성을뽑아내는활 동이필요하다. 그리고범례들은대부분다른개념이기때문에이미학습자속에형성되어 있는지를확인해야한다. 이러한범례들은일상경험이나환경에의해서직접얻어지는것은추상도가높지못하기 때문에수학적인의미가포함된범례를착안제작하여제시할필요가있다. 범례제시를통 한학습만이아동들에게보다명확한개념이형성되어지적사고활동의범위를넓혀가는데 중요한핵심적인역할을할것이다. 아동들에게 자연수 의개념을형성시킬때자연수란 물건의개수를셀때와같이똑똑 떨어지는수를자연수라고한다.' 라는연역적인정의중심의설명식학습만으로그친다면 자연수의개념에대한학습효과를기대하기어려울것이다. 이때, 자연수개념의속성이 내포된정적인예( 정례)1,2,3... 등의범례를들어주고, 또자연수개념의속성이내포되지 - 6 -
않은소수(0.7, -1.3, ) 나분수(,, ) 등의부적인예( 반례) 를제시해보임으로써자 연수에대한개념이보다명확하게형성될것이다. 선분 을학습할때도선분이란 두점을 맺은곧은선 을뜻한다는정의식뜻풀이학습보다는선분이되는범례( 정례) 와선분이되 지않는범례( 반례) 를보여줌으로써선분의개념이보다명확해질것이다. Jacob는범례제시를통한수학적인개념형성과정을 1 주어진범례의각각을의식하는 단계, 2 범례에대하여서로다른점이떠오르게되어여러가지지각표상을하는단계, 3 지각표상에공통적인면이떠오르게하는단계, 4 공통적인점을언어로표현하는단 계의과정을밟아줄것을요구하고있다. 범례제시는정적인예와부적인예를혼합제시 하는것이효과적이다. 부적인예를정적인예보다많이제시하면아동들이사고의혼란을 일으키기때문에정적인예를더많이제시하는것이효과적인데정적인예와부적인예의 혼합비율은 3:1 이적절하다고한다. 범례제시방법은한번에한예를보여주고조금후에또한예를보여주는식의정적인 예와부적인예를번갈아가면서차례로제시하는 계시적제시법, 여러개의정적인예를 모아서보여주고난뒤에계속해서여러개의부적인예를모아서제시하는 초점제시법 정적인예와부적인예를혼합제시하여공통속성을발견한다음에정적인예와부적인예 를하나씩차례로새로운예를제시하여개념을확인하는 동시제시법 이있다. 이와같은범례제시방법은학습내용에따라차이가있겠지만대체적으로동시제시법 이계시적제시법, 초점제시법보다효과적이라고한다. 이상의내용에서볼때, 수학학습에서는적절하고충분한범례제시를통한학습전략이 필요하다고본다. 6. 알고리즘을개발하여적용하는수학학습알고리즘이란문제를해결해나가는단순하고객관적인순서의계열이라고정의할수있다. 알고리즘은하나하나의문제를풀기위한것이아니고같은유형의어떠한문제라도모두쉽게풀수있는문제풀이의단계적인순서를뜻한다. 알고리즘학습이혹시아동들의창의적사고활동을저해하는형식적이고기계적인주입식학습이되지않을까를우려하고있지만이것은알고리즘학습의근본취지를모르고하는이야기이다. 알고리즘학습은어디까지나충분한사고과정을중시한확실한이해를바탕으로하여문제를풀어가는가장쉬운방법의단계적인순서를만들어놓았기때문에수학학습의본질에저해된다고볼수없을것이다. 알고리즘을일방적으로주고이런순서로문제를풀면답이나온다는식의알고리즘을암기시켜기계적으로문제를해결시킬것이아니라그알고리즘을적용하면왜바른답이얻어지는가에이유나의미를이해시키는것이전제가되어야하겠다. 이러한알고리즘학습은누구이든지쉽게자주적으로학습할수있게하는토대가될것이다. 소수끼리의나눗셈을알고리즘학습으로해결하는구체적인예를들어보기로하다. 2.785 2.3 의몫을소수둘째짜리까지구하고나머지를알아보아라. 또검산을하여라 먼저이문제를본아동들은어떤순서로해결할것인가에어리둥절하게된다. 또이문제의몫을바르게구했더라도나머지의소수점을어디에다찍을것인가에당황하게된다. 그리고이문제의검산식은처음식으로할것인가? 소수점을이동한식으로할것인가에도혼란을일으키게된다. 이때교사가제수에소수점이있는나눗셈학습의알고리즘을제시하고이에따른나눗셈의계산순서로해결하게되면학습의경제성과효율성을가져올수있다. - 7 -
기본적으로나눗셈의알고리즘은 1 몫세우기, 2 곱하기, 3 빼기, 4 내리기의순서로 진행된다. 제수가소수인나눗셈의알고리즘은교사가다음과같은순서로만들어서지도한 다. 위와같은 < 제수가소수점이있는나눗셈의알고리즘> 제수의소수점이동 ( 제수가자연수가되도록소수점을이동하고, 피제수도여기에맞추어이동한다.) 몫의소수점정함 ( 피제수의이동된소수점과몫의소수점을일치시킨다.) 나눗셈하기 ( 소수점을무시하고자연수끼리의나눗셈을하는방법과동일하게계산을한다.) 나머지의소수점은처음피제수의소수점과일치 ( 나머지의소수점은처음피제수의소수점의위치와일치시킨다.) 검산식은처음식으로한다.( 검산은제수와피제수의소수점을이동시키지않은처음식으로한다.) 5단계의알고리즘에의한학습을하게되면초등학교에서가장어렵다는소수 가있는나눗셈도쉽게해결할것이다. 이상의내용에서볼때, 수학학습에서는알고리즘 을개발하여적용하는수학학습전략이필요하다고본다. 7. 다양한해결방법을찾게하는수학학습 주어진문제를한가지방법으로풀이하는것보다는여러가지방법으로풀이하게되면 그문제에관해서보다확실한이해를하고있다는증거이다. 수학적인사고력을신장시키는데는많은양의문제를결과중심으로답만을요구하는지 도를할것이아니라적은양의핵심적인문제를깊이있게다양한방법으로해결해보게 하는것이중요하다. 아동각자의특성에맞는다양한해결방법을활용하여여러가지관점 에서풀어보게한다. 이와같은다양한해결방법으로문제를풀어보는예를들어보기로한다. 3/4과 2/3 는어느쪽이큰가? 대부분의아동들은이문제를보는즉시두분수를통분하여 3/4-2/3 = 9/12-8/12 = 1/12 로계산하고, 3/4이 2/3보다크다는결과중심의답만알고다음문제풀이로넘어가 는경우가많다. 좀더많은시간을가지고또다른방법으로문제해결을해보게한다. 그러면다음과같은다양한풀이방법을찾아낼수있게될것이다. 1 3 4 과 2 3 의두분수의크기를그림 ( 면적 ) 으로나타내어대소를비교한다. 2 3 4 과 2 의두분수를수직선위에대응점으로나타내어대소를비교한다. 3 3 3 4 과 2 를동치분수로만들어분모가같은경우를찾아서대소를비교한다. 3 4 3 4 과 2 를동분모분수로만들어대소를비교한다. 3 5 3 4 과 1 과의차, 2 와과의차를구하여두분수의대소를비교한다 3 1. 6 분수의수열 1 2 < 2 3 < 3 4 < 4... 를만들어대소를비교한다. 5 앞에서보는바와같이두분수의대소비교를다양한방법으로확실하게이해하도록지 - 8 -
도하면학습의전이효과가나타나후속학습의효율성을높일수있다. 이상에서보는바와같이수학학습은주어진문제에대하여다양한해결방법을찾아보게 하는학습지도가필요하다. 8. 결과중심보다도학습과정이중시되는수학학습 학습이란아동자신의인지구조에적절한갈등이생겨평형상태가깨져이를회복하려 고할때일어나므로아동의관점에서보아관심을가실수있는것이어야한다. 그러므로 학습활동의전개는수용적학습방법이아닌능동적인학습방법을채택하여아동의인지 수준을최대한으로발전시켜나가야한다. 교사는아동에게주어진문제를다양한측면에서탐구하도록격려해주고질문하고그들에 게흥미, 관심, 갈등사태를주어계속해서분석하고서로관련지어볼수있게하여단순한 것에서복잡한것으로, 구체적인것에서추상적인것으로전개해나아가도록한다. 아동이왕성한의욕으로계속학습할수있도록하기위해서는교사는적정수준의인지 불균형을유지시켜줄수있어야한다. 따라서끊임없이적절한호기심과놀라움을제공해 주지못하면아동은곧싫증을느끼게된다. 수학학습은결과보다도과정중심이되어야한 다는사실을일선교사들은잘알고있지만실제학습지도에서는대부분의교사들이답만 을중시하는결과중심의학습지도를하고있다. 이점은하루빨리개선되어야할문제라 고본다. 과정을중시하는수학학습의구체적지도사례로초등학교 3 학년의 0이있는나 눗셈 을들어보기로한다. 먼저, 피제수와제수에 0 이있는나눗셈의식을말해보게한다. 대표적으로다음세가지의유형이정리될것이다. 1 0 5= ( 가) 2 0 0= ( 나) 3 5 0= ( 다) 위의문제를결과중심으로 ( 가) 는 0, ( 나) 는몫이너무많아서정할수없음, ( 다) 는몫을 구할수없음으로만지도한다면이지식은활용가치가없고쉽게망각하고말것이다. 이 문제에관해서학습과정을중시하여지도하는한방법을소개해보기로한다. ( 가) 형은쟁반에사과가한개도없다. 그런데사과를얻어먹겠다고 5 사람이모여들었다. 한사람이몇개씩나누어가질수있느냐? 의문제구성으로질문을하게되면쉽게한개 도가질수없음을알게되어몫이 0 임을발견할수있을것이다. ( 나) 형은 0 0 의몫은얼마라고생각하느냐? 하는질문으로예상을시켜보면 0을 0으로 나누면 0이라고대답하는경우와피제수와제수가같으면몫이항상 1이라는생각에서 0 0의몫도 1 이라고대답하는경우도있을것이다. 0 0의몫을 0 또는 1 이라고했을경 우, 검산식몫 제수+ 나머지 = 피제수에대입시켜볼때 0과 1 이모두몫이된다. 또몫을 2, 3, 0.7, 1... 등어떠한수를몫이라해도성립됨을알수있다. 이와같이 0 0의 2 몫은너무많아서 정할수없다. 로발견시키고발전적으로 부정 이라는수학적용어를사 용하게한다. ( 다) 형은 5 0 의몫을먼저예상시켜본다. 0 또는 5 라고대답하는경우가있을것이다. 나눗셈의검산식 피제수= 몫 제수+ 나머지 에의해서검산을해보면 0 과 5 모두가몫이 될수없음을알수있다. 따라서 0이아닌어떤수를 0 으로나눈다는것은도저히 불가능 하다. 라는것을발견시키고, 발전적으로 불능 이라는수학적용어를사용하게한다. - 9 -
( 가) 형 0 5 = 0 ( 참) 몫은 0 이다. ( 나) 형 0 0 = 0 ( 참) 0 0 = 1 ( 참) 0 0 = 0.7 ( 참) 0 0 = 1 2 ( 참) 몫이너무많아서정할수없다.( 부정 ) ( 다) 형 5 0 = 0 ( 거짓 ) 5 0 = 5 ( 거짓 ) 5 0 = 1 ( 거짓 ) 0으로나누는것은불가능하다.( 불능 ) 위에서 ( 가) 형은수학적으로지도할가치가있지만, ( 나) 와 ( 다) 형은모두제수가 0이되 는나눗셈으로수학에서취급할수없는문제임을알게한다. 여기에서부정, 불능을지도하는것이목적이아니고나눗셈에서제수가 0인것은취급할 수없다는사실을알게하는데목적이있다. 이와같은과정중심의학습을하게되면이 해가확실히되고망각이잘안되며학습의전이효과도기대할수있다. 이상과같은생 각에서볼때수학학습은답만을요구하는결과중심의학습보다는학습의과정을중시하 는전략이필요하다고본다. 9. 상호협력소집단구성에의한수학학습 상호협력소집단학습은학습능력의개인차를줄이고부진아구제를위해서 2~4명이 구성원이되어상호의사교환을통한학습으로우수아는학습강화를, 부진아를부진학습 요소의교정, 보충을, 교사는학습지도부담의경감을목적으로하는학습이다. 이와같이 학습의중요성은사고의생산성과협동성이길러진다는점이다. 1980년대까지미국의주된학습형태는학습의개별화였는데 1990년대부터는개별학습 이나경쟁학습의부족한점을보충하기위해서상호협력학습을새로운학습형태로권장 하고있다.(David Johnson, Roger Johnson, 수학교육에서의협력학습, NCTM 1989년보 제 21 장) 소집단학습에서아동들은자기의견이나생각을털어놓고모르는것은서로일러주고협 력해가면서문제를해결한다. 이것은인지적인학습에서만국한해서성과를올릴수있는 것이아니고인간적인면에서도서로이해하고그이해를통해서노력할수있는태도로길 러지게되는것이다. 소집단학습은아동스스로의능동적, 이용적, 통합적인생기있는학 습이될수있다. 따라서아동개인의학습이촉진되고학습성과도현저하게향상되어질 수있다. 소집단학습은참여자가다같이공유하는경험이므로각자는특이하게공헌을하 고공통적인문제를해결하는경험을하고지식을공유하게되고객관성에기초를두고있 으므로훌륭한토의의기본이되고집단사고는심사숙고의과정을밟게되어사고의생산 성과협동성, 훌륭한의사교환기술을얻게된다. 우리나라와같은다인수학급에서는교 사지도의한계성이문제가되기때문에이러한버즈학습의형태를필요로한다. 계통성이 뚜렷한수학학습을일제학습만으로지도한다면학습부진아가더욱늘어나게된다. 다른어 떤교과보다도개인차가심한수학학습을교사혼자만의개별학습지도로학습부진아를 구제한다는것은불가능하다. 이러한다인수학습에서의문제점을개선하는데는상호협력 소집단학습형태를도입하는것이우리나라와같은교육여건에서는필요한수학학습전 략이라고본다. - 10 -
10. 학습흥미와관심을유발하는수학학습 아동들은직접체험을통한조작적사고과정에서수학적개념이형성되어야한다. 수학 학습은재미있는것, 즐겁게할수있는것, 이해될수있는어떤영역안에위치한다. 논리 - 수학적구조의분야에있어서아동들은자신들이발견한것에한해서진정으로이해할수 있다고한다. 교사들이무엇이든지너무조급하게가르치려고애쓰고있어서아동스스로가 발견하려고하는것을막고있는것은수학학습의큰문제점이되고있다. 교사는반드시 아동들이학습에흥미와관심을가지고문제해결에적극적으로참여할수있도록환경을 조성해주어야한다. 교사는아동에게주어진문제를다양한측면에서탐구하도록격려해주 고, 질문하고, 그들에게흥미, 관심, 갈등사태를주어계속해서분석하고서로관련지어볼 수있게하며단순한것에서복잡한것으로, 구체적인것에서추상적인것으로전개해나가 도록한다. 아동이왕성한의욕으로계속학습할수있도록하기위해서는교사는적정수준의인지 불균형을유지시켜줄수있어야한다. 따라서끊임없이적절한호기심과놀라움을제공해 주지못하면아동은곧싫증을느끼게마련이다. 근본문제는아동의학습에대하여더많 은흥미를가지는데있다. Thorndike는학습이쉽게이루어질수있는몇가지의법칙 중에 효과의법칙 이라는것이있는데이것은학습하는것이학습자에게쾌감을주면줄 수록반응은강화되고, 반면에불쾌감이나고통을주면학습이약화된다는법칙이다. 흥미 와관심이없는수학학습은아동들에게고통만을안겨주는시간이된다. 수의대소관계 를나타내는부등호의도입을예로들어보기로하자. 부등호를아무런구체물조작이나필 요성을깨닫지못한상태에서형식적, 주입적으로지도한다면아동들은쉽게싫증을느끼게 될것이다. 아동들에게흥미와관심을불러일으킬수있는부등호도입의한학습방법을 소개하고자한다. 먼저부등호(<,>) 를노출시켜학습시킬것이아니라다음과같은단계적인다양한구체물 의조작활동을거친다음에수의대소비교에서부등호를사용하는것이간편하다는필요 에의해서기호를도입하는것이바람직하다. 철수네연못에서는물고기가 5 마리, 순이네연못에서는물고기가 4 마리놀고있습니다. 어느쪽연못에물고기가많은지알아보려고합니다. 어떻게하면쉽게알아볼수있을까 요? 이문제는 이야기꾸미기놀이 를통해서부등호기호를도입한다. 철수네연못과순이네 연못에서물고기가놀고있는장면을보이면서 3 일동안굶은악어가한마리나타났어요. 굶주린배를채우려고두연못을번갈아가면서쳐다보고있어요. 악어는어느쪽연못으로 갈까요? 입을어떻게벌리고물고기를잡아먹을까요? 이러한놀이를통해서악어는철수네 연못을택하게되고며칠굶은악어는물고기를한마리씩잡아먹기보다는 5마리씩통째로 잡아삼키려고할것이라는이야기꾸미기놀이에서악어가입을크게벌리고있는모양을 본떠서부등호기호를도입한다. 5는 4 보다큽니다. 를언어적으로표현하면길지만수학적인기호를사용한 5>4 를표현 하면간단하다는것을은근히이해시켜서스스로부등호기호사용의필요성과간편성을깨 우치게한다. 이와같이무조건부등호의기호를기억시키는주입적인학습방법보다는 이야기꾸미 기놀이 를통해서재미있게만들어가는수학학습방법이아동들의흥미와관심을가지게 된다. 이상의내용에서볼때교사의충분한교재연구로수학학습에서흥미와관심을유 발할수있는학습전략이필요하다고본다. 학습방법은마치예술가들의작품창출과정과도비슷하다. 그러기때문에아무리훌륭한 - 11 -
학습전략도개선의여지가있으며최선의방법이란존재하기어렵다. 그래도수학교육의 본질에서요구하고있는최적의효율적인학습전략을탐색하고실행하는데부단한연구가 있어야한다. 형식적이고도기계적인표준수업절차에따라판에박은듯한수업을융통성 도, 유연성도없이진행할것이아니라교사변인, 아동변인, 환경변인, 개별적독특성등을 고려하여자유로운분위기속에서만들어져있는수학을만들어가는수학학습으로전개하 는것이바람직하다고본다. 학급당아동수가 40명내외인우리나라에서의수학학습지도는학습의개별화가항상 문제가되고있다. 계통성이뚜렷한수학학습에서기초학습과선수학습이다른어떤교 과보다도중요하기때문에학습부진아에특별한관심있는학습전략을필요로한다. 이러한점을고려하여어떤학습절차의형식에얽매이지않고자유스럽게현장학습지 도에쉽게활용할수있는우리나라의교육여건과실정에알맞은수학학습전략 9가지를 제시해보았다. 수학교육의본질과목표면에서바라고있는기본정신을충분히반영할 수있는수학학습전략을계속적으로연구하여개발할필요가있다고본다. - 수고많으셨습니다.- [1주간단 test 모범답] [ 객관식 ] 1.(5) 2.(2) 3.(1) 4.(3) 5.(2) [ 주관식 ] 학생들에게다음의두표를소개하고각각을행렬로표현하도록기회를준다. [ 표1] 가, 나두회사의컴퓨터와프린터의판매가격표 회사 제품 컴퓨터 프린터 가 9 2 나 10 3 [ 표2] A, B 두학교에서구입하려는컴퓨터와프린터의수량표 제품 학교 A B 컴퓨터 5 3 프린터 6 2 이제학생들에게 A, B 두학교에서컴퓨터와프린터를각회사의제품으로살경우, 두 학교의구입비용은어떻게되는지계산해보아라. 고문제를던진다. 그러면학생들은그결 과를다음과같이나타낼수있고이를행렬로표현하여그결과를비교하게될것이다. 학교 A B 회사가 9 5+2 6 9 3+2 2 나 10 5+3 6 10 3+3 2 결국 임을알수있고두행렬의곱, 일때, 을이해하게된다. - 12 -