工學碩士學位請求論文

工學碩士學位請求論文 시변주파수분석과적응알고리즘을이용한 충격위치탐지와잡음제거 Study of Estimation of Impulse Position and Noise Cancellation By Using the Time-Frequency nalysis and daptive lgorithm 4 年 月 仁荷大學校大學院 機械工學科 固體및生産工學專攻 黃盛煜 I

工學碩士學位請求論文 시변주파수분석과적응알고리즘을이용한 충격위치탐지와잡음제거 Study of Estimation of Impulse Position and noise Cancellation By Using the Time-Frequency nalysis nd daptive lgorithm 4 年 月 指導敎授李相權이論文을碩士學位論文으로提出함仁荷大學校大學院機械工學科 固體및生産工學專攻 黃盛煜 II

이論文을黃盛煜의碩士學位論文으로認定함 4 年 月 主審 副審 委員 III

요약문 구조물내부에누락된미세한금속파편이존재할경우안전에심각한문제를유발한다. 따라서금속파편의존재유무의감시는가속도계를구조물에부착하여금속파편이가격할때발생하는충격신호를분석함으로써가능하다. 일반적으로금속파편이구조물표면을가격할때가속도계를통하여측정되는신호는정상신호 Stationary signal 가아니고비정상신호 Non-Stationary signal 이므로고전적주파수분석보다, 비정상신호의분석에유용한새로운분석기법이필요하다. 본연구에서는먼저비정상신호의분석을위한 STFT, 웨이블렛기법및위그너빌기법에대해서연구하였다. 그리고평판의강성을이론적으로유도하여평판의위상파와군파의속도를구하여금속파편의존재유무뿐만아니라충격지점을정확하게판별하였다. 그리고구조물내에배경잡음이존재할경우순음성분과백색잡음을제거하기위해서스펙트럼감산법과 LMS 알고리즘을이용해잡음을제거하고비교해보았다. 그결과잡음이제거되고위치를완벽하게추정할수있었다. I

BSTRCT In case of existence of a broen piece the safety of system will be critical. Therefore the monitoring of existence of a piece is needy and it is possible by measuring the acceleration impulsive signal. But because impulse signal is transient and non-stationary signal, conventional time-frequency method is difficult for analyzing the signal. To analysis of non-stationary signal, a useful and powerful time-frequency method is needy. In this paper, STFTShort Time Frequency Transform, Wavelet Transform and Wigner-ville Distribution are introduced and studied. In result, Wavelet Transform is useful in analysis on flexural wave. nd we can successfully estimate position of impulse by using Trianguation Method. Furthermore when the impulse signal is embed in sinusoidal signal and white noise, it is difficult to analyze. Therefore to cancel the noise, spectrum subtraction and LMS Least Mean Square Method is introduced. nd LMS Method is useful in noise cancellation II

목 차 요약 I BSTRCT II 목차 III Figure index IV 제 장서론 제 장비정상신호해석 3. STFTShort Time Fourier Transform 3. 연속웨이브렛변환 CWT 이론 5.3 위그너-빌 Wigner-Ville Transform 이론 8 제 3 장위치추정및배경잡음제거 3. 굽힘파 의군속도, 도달시간 3. 삼각법을이용한위치추정 3 3.3 스펙트럼감산법을이용한잡음제거 6 3.3 Least Mean Square Method 을이용한잡음제거 9 제 4 장시뮬레이션 6 4. 평판의이론적인굽힘파의군속도와실험을통한군속도비교 7 4. 위치추정 3 4. 배경잡음제거성과비교 37 제 5 장결론 45 참고문헌 46 III

LIST OF FIGURES Fig.. Short Time Fourier Transform 4 Fig.. Morlet wavelet function 6 Fig..3 Window of wavelet function 7 Fig. 3..a The Shape of S Fig. 3..b The Shape of S Fig. 3.. Bloc Diagram of The Spectrum Substraction 7 Fig. 3.3 Mathematical Expression of The Spectrum Subtraction. 8 Fig. 3.4 The Optimization Process of The LMS lgorithm 9 Fig. 3.5 Structure of The Least Mean Square lgorithm. Fig. 3.6 Bloc Diagram of The daptive Line Enhancer 5 Fig. 3.7 Bloc Diagram of The Two-Stage Least Mean Square lgorithm 5 Fig. 4. Measured Signal 8 Fig. 4. Wavelet transform of Measured Signal 9 Fig. 4.3 Time Delay 9 Fig. 4.4 Comparision of Theorical Velocity and Experimental Velocity 3 Fig. 4.5 Experiment of Impulse position 3 Fig. 4.6 Measured group wave Signal 3 Fig. 4.7 Wavelet Transform of S signal 3 Fig. 4.8 Wavelet Transform of S signal 33 Fig. 4.9 Wavelet Transform of S signal 33 IV

Fig. 4. Time Delay of Three Wave 34 Fig. 4. Impulse Position Estimation 34 Fig. 4. Measured group wave Signal 35 Fig. 4.3 Wavelet Transform of S signal 35 Fig. 4.4 Wavelet Transform of S signal 36 Fig. 4.5 Wavelet Transform of S signal 36 Fig. 4.6 Time Delay of Three Wave 37 Fig. 4.7 Impulse Position Estimation 37 Fig. 4.8 a Spectrum substraction of Impulse signal + white noise 4 Fig. 4.8b LMS daptive Filter of Impulse signal + white noise 4 Fig 4.9a Spectrum substraction of Impulse signal + white noise +sinusoidal 4 Fig 4.9b LMS daptive Filter of Impulse signal + white noise +sinusoidal 4 Fig. 4. a Spectrum substraction of Impulse Frequency-Modulation + white noise 4 Fig. 4. b LMS daptive Filter of Impulse Frequency-Modulation + white noise 4 Fig. 4. a Spectrum substraction of Experiment signal + white noise + sinusoidal 43 Fig. 4. b LMS daptive Filter of Experiment signal + white noise + sinusoidal 43 Fig. 4. a Wavelet Transform of Spectrum substraction 44 Fig. 4. b Wavelet Transform of LMS daptive Filter 44 V

제 장서론 구조물의안전진단을위해서결함진단이나금속파편의유무를감시하는방법이있다. 결함진단은결함의크기나종류에따라진단방법이나가진방법이달라진다. 결함의정도가큰경우에는통상적인진동신호분석방법 정재파동 standing wave 에의한주파수응답함수 을사용할수있다. 그러나결함의크기가매우작은경우에는정재파동 standing wave 에의한분석을적용하기어렵기때문에전파파동 propagation wave 을이용하여결함을진단하게된다. 현재전파파동으로구조물을가진하는방법중가장많이사용되는방법은피에조-재료를이용한가진방법이있으며협대역주파수대역을가지는특징이있어사용자가원하는주파수대역을선택할수있는장점이있지만가진하는방법이번거러운단점이있다. 특히본연구에서는구조물내부에금속파편이존재할경우치명적인손상을가할수있으므로금속파편의유무판별과충격지점을추정해야할필요성이있다. 따라서본연구에서는금속파편에의한충격파와같은광대역신호로구조물이가진되어충격파가전달될때금속파편을찾아내는새로운방법을연구하였다. 금속파편에의해전달되는과도충격파는광대역신호이며분산 dispersion 의특징이있다. 이러한분산적인신호는각주파수별전달속도가달라측정위치와발생시간에따라다르다. 이러한왜곡을고려하고광대역의과도신호를분석하기위해서각주파수별로판단할수있는신호처리기술이필수적이다.. 즉신호의시간-주파수특성을분석하지않으면결함의위치는고사하고, 결함의유무도파악할수없게되므로, 구조물내에서전달되는과도신호의시간-주파수분석특

성이뛰어난해석방법의개발이요구된다. 시간-주파수해석기법으로 STFT, 웨이블렛과위그너빌을연구하였다. 하지만 STFT 는시간, 주파수분해능이낮아과도신호의정확한분석에어려움이있었다. 웨이블렛과위그너빌은높은시간, 주파수분해능으로과도적인비정상신호분석에뛰어난효과가있었다. 한편충격파중에서가장큰크기로전파하는굽힘파의경우저주파에서속도가낮고고주파에서속도가높은특징을가지고있다. 이러한특징으로인해고주파에서시간분해능이좋고저주파에서주파수분해능이좋은웨이블렛이탁월한분석의결과를가져옴을알수있다. 웨이블렛분석기법을이용하여충격파의충격지점위치를거의정확하게판별할수있었다. 한편구조물이작동되고있을시에는기계적인회전체운동에의한순음이발생하고유체의흐름에따라백색잡음이발생할우려가있어신호분석에어려움이있을수있다. 이러한잡음을제거하기위해서스펙트럼감산법과적응필터를이용하였고두기법을연구, 비교한결과적응필터기법이백색잡음이클경우탁월한효과가있음을알았다.

제 장 이론해석. STFTShort Time Fourier Transform STFT 는목적에맞는적절한윈도우함수를이용하여시간에따라윈도우를이동해가면서푸리에변환을순차적으로실행함에의해이루어지며푸리에변환과는달리시간과주파수측면에서동시에사건의발생을관찰할수있는스펙트럼분석법이다. STFT 는다음과같이정의된다 []. S f, t = x t h τ t exp jπfτ dτ. xt 는입력신호이며 ht 는윈도우함수, τ 는윈도우의중심을나타낸다. 한편본연구에서는 STFT 의윈도우함수로서적절한메인로브 main lobe 대역폭과사이드로브서프레션 side lobe suppression 을제공하는 Hanning 윈도우함수를이용하였다 []. Hanning 윈도우의정의는다음과같다. h =.5 cos π + N FFT,,, Λ, N FFT =. N FFT 는푸리에변환에적용되는데이터의개수이다. Fig.. 는식. 에대한그림적표현이다. 여기서검은색으로표현된 부분이퓨리에변환을위한짧은구간의창문으로서함수 ht 로서표현되며 창문의폭은 t 이며창문의형태 shape 는다양하게있다. 일반적으로식. 와같은해닝창문 Hanning Window 을사용한다. 이러한창문은 t= 부터 3

시작하여 t=t max 까지이동한다. 이때창문을 Overlap 하는경우가있으며 일반적으로 5% Overlap 하여사용한다. Fig.. Short Time Fourier Transform Sf,t 는시간과주파수축에대한 차원배열이되며창문의사이즈에따라서시간분해능 Time Resolution 이결정된다. 시간의분해능을증가시키기위해서는창문의사이즈를축소하면된다. 이경우불확실성의원리에의해서이창문속에있는데이터에대한퓨리에변환을취한값들의주파수분해능이나쁘게된다. 일반적인 STFT 는다음의불확실성법칙 Uncertainty Principle, t ω / 의영향을받아서시간및주파수분해능을동시에향상시킬수가없는결점이있다. 4

.. 연속웨이브렛변환 CWT 이론최근많은분야에서응용되기시작한웨이브렛변환은주파수대역에따라다양한시간-주파수분해능을제공하는해석기법으로특히짧은시간에급격한변화를갖는신호를분석하는데탁월한특징이있다. 웨이브렛변환은크게연속웨이브렛변환과이산웨이브렛변환 discrete wavelet transform 으로나뉘게되며연속웨이브렛변환의경우스케일변수로모웨이브렛의확장과이동을쉽게조절할수있기때문에신호의주파수특성을주요하게분석하고자할때유리한점을지니고있다 [3-8]. 본논문에서는모어렛웨이브렛 morlet wavelet 을모웨이브렛 mother wavelet 으로하는연속웨이브렛변환기법을사용하였다. 입력신호를 st 로하는연속웨이브렛변환 CWT 은다음과같이정의된다. t b CWT a, b = s t Ψ.3 a a * 여기서 * ψ t 는모웨이브렛함수이며켤레복소수형태를띤다. 본연구에서는 모웨이브렛함수로서 Fig.. 과같은형태를가지는모어렛웨이브렛함수를사 용하였으며다음식으로표현될수있다. c ψ t = exp t exp jπf t.4 5

Fig.. Morlet wavelet function 식. 를식. 에대입하면연속웨이브렛변환은다음과같이쓰여질수있 다. CWT a, b = a c s texp t b exp j a t b π f.5 a c 여기서는모웨이브렛함수의초기시간폭과주파수영역에서의대역폭을 결정해주는변수값으로일반적으로 f 5.3364 π c = 의값을취한다 [6][7]. 의 c 값은분석하고자하는신호의성향이나사용자의목적에맞도록바꿔줄수있다. a 는스케일변수로모웨이브렛함수의확장과주파수영역에서의대역폭 이동을결정해준다. 실제모웨이브렛함수의확장및압축은 c t b a exp 에서 c a 와초기값 c a = 의비에따라결정이되며 a 값이 가되면모웨이브렛함수의시간폭은 a 가 일때의 배가되고 6

주파수영역에서의대역폭은 배가된다. 또한주파수영역에서모웨이브렛 함수의대역폭의이동은 exp j f t b a f π 에서 a 의값에따라결정이 되며이값이대역의중심주파수가된다. a 은에너지평균화를위한 항으로만일정상음에대한신호분석을하고자할때는 a 의형태를사용하는 것이유리하다. 그러므로 a 는주파수와역으로관계가있으며 b 는시간축의이동에관계한다. Fig..3 은여러단계의 a 값에대한창문사이즈를표현한것으로각 Mother Wavelet 이위치하는주파수에서파형이변화함을보여준다. 이러한원칙하에웨이브렛변환의특징은불확실성의원칙은따르면서도시간- 주파수분해능을주파수별로조정이가능하다. Fig..3 Window of wavelet function 7

.3 위그너-빌해석 Wigner-Ville distribution 앞에서논의된퓨리에변환은무한대시간의창문을이용하며, STFT 그리고웨이브렛변환은주어진짧은구간의창문을이용하였다. 그러나백색잡음속에충격파신호가묻혀있다면퓨리에변환을통하여이충격파신호에포함된주파수성분을명확히찾아내기는어렵다. 이경우에주로사용되는방법으로자기상관함수 auto correlation 의퓨리에변환이다. 신호 st 의자기상관함수의퓨리에변환을주파수스펙트라 frequency spectra 라불린다. 유사하게비정상상태의충격파신호가백색잡음속에숨겨져있다면, 이신호 st 에대한순간자기상관함수 instantaneous auto correlation 의퓨리에변환을이용한다면, 비정상상태의충격파신호도보다명확히찾을수있다. 이것을수학적으로표현하면다음식과같다. τ τ W t f s t s t e jπfτ, = + * d τ.6 이관계식을위그너분포 Wigner distribution 라불린다. 이방법을전자신호처리학회에빌 Vill 이소개함으로서위그너-빌분포의함수가널리사용하게되었다. 여기에사용되는창문은일반퓨리에변환과같이무한대시간이다. 그러나실제로컴퓨터를이용하여위그너분포를구하려면무한대의창문을사용할수없으므로 STFT 처럼짧은구간의창문을이용한다. 이러한창문 ht 을이용한위그너분포를가상위그너분포 pseudo Wigner distribution 이라불린다. 따라서가상위그너분포는다음과같이표현된다. W pw T w τ τ τ τ t f s t s t h h e jπfτ, = + * d τ.7 T w 8

여기서 T w 가창문의사이즈이다. 이경우에시간분해능은창문의이동이, STFT 혹은웨이브렛변환처럼창문사이즈혹은시간이동 factor b 만큼이동하지않고, 연속적으로모든데이터에대해서이루어지므로시간분해능이완벽하다. 그러나주파수분해능은창문의사이즈에따라서영향을받는다. 그러나이방법의문제는신호 st 에대한변환이아니고 st 의곱으로나타나는자기상관함수의변환을이용함으로, 만약신호 st 가두개의신호 예제 : 두개이상의 sine 신호혹은두개이상의충격파 항으로이루어져있다면간섭항 cross 이나타난다. 이러한갑섭항은원래신호에대한혼선을불러일으킨다. 이러한혼선을방지하기위해서간섭항을제기하기위한 Kernel 이필요하다. Kernel 은신호의형태에따라서다양한형상을가진다. 따라서 Kernel 을이용한위그너분포를 Cohen 이처음발견하였으므로일반적으로 Cohen 분류의이중선형변환 Bilinear Time Frequency Transform 이라불린다. 이것의수학적인표현은다음과같다. τ τ jπ ξt+ fτ ξu Sc t, f = Φ ξ, τ s u + s* u e dτ.8 여기서 Φξ,τ 를 Kernel 함수라불린다. 결론적으로위그너분포를이용한비정상상태의신호를성공적으로완성하려면이 Kernel 함수의바른선택과새로운 Kernel 함수의설계에달려있다. 일반적으로많이사용되는 Exponential Kernel 은원점에서 을가지고지수함수로 차원적으로감소하는함수가된다. 이 ernel 함수는다음과같이표현된다. 9

ξ τ / σ Φ ξ, τ = e.9 제 3 장위치추정및배경잡음제거 3. 굽힘파 의군속도, 도달시간금속파편에의한충격지점의위치를추정하기위해서는충격파의속도와각센서의상대위치와도달시간이필요하다. 충격파의속도를구하기위해여기서구조물에가해진충격에의해서굽힘파 와 Extentional waves 가발생함을이용하였다. 파 wave 에는크게 Fig3.a 처럼 Symmetry Mode 와 Fig 3. b 의 ntisymmetry Mode 로크게나뉜다. 각각의최저차인 Extentional waves 는고주파이고 Low mplitude 가지고있으며굽힘파 는저주파이고 High mplitude 를가진다. Low mplitude 의 Extentional waves 보다 굽힘파 가 High mplitude 를가지므로백색잡음이존재할때판별이 용이하므로저주파필터링 5Hz~65Hz 신호처리를이용하여구조물의손상검출과위치와크기를연구하고자한다. 특별히굽힘파 는주파수마다다른속도를가지는 dispersive 분산적인 의특징을가진다. 먼저위상속도를구하기위해서평판의강성계수는식 3. 과같다.

Fig. 3..a The Shape of S Wave Fig. 3..b The Shape of Wave Eh EI = 3. µ ρ 평판의강성계수를알면굽힘파의주파수별위상속도는식 3. 와같다 V phase / 4.5 = EI πf 3. 일반적으로위와같이굽힘파의위상속도를구할수있지만고주파에서값이 커지기때문에식 3.4 와같이보상식 [9] 을사용한다.

E ρ µ.5 V S = 3.3 V phase.8 f.5 = VS VS + 4.5hf 3.4 위의식에서굽힘파는주파수의제곱근에비례함을알수있고고주파일수록속도가큼을알수있다. 위식은각각의주파수에대한위상파이다. 하지만실제구조물에서측정되는충격파는군파의형태이며군속도를가진다. 따라서가속도계센서에 wave 는군속도로도달된다. 위상속도와군속도는파수 와주파수 w 의관계에서식 3.5 와같다. 따라서이와같은군속도가위치추정에이용된다. V phase ω =, V group = ω 3.5

3. 삼각법을이용한위치추정 삼각법 [] 은세개의센서를이용하여음원의위치를추정하는기법이다. 우 리가한쌍의센서들사이에서음파의도달시간의차이는두센서들로부터오는 음파의거리차이때문에생긴다는것을알수있다. 이와같이센서사이의거리 와도달시간의차이로음원의위치를알수있다. 삼각법은세개의센서간의 상대거리와각센서의도달시간의상대적인시간차와음파의속도를가지고음 원의위치를추정한다. 먼저첫번째센서를 S 라고하고두번째와세번째센서를각각 S,S 라고 하자. 이때알고있는음원의속도는 V 이고, 음파가 S 에도착한시간은 t 이고 S,S 에각각도달한시간을 t,t 이라고하자. 첫번째센서의위치를 기준으로정하므로원점으로설정한다. 따라서 S 과 S 는기준점 S 으로부터 상대적인거리 δ 와 δ 을가짐을알수있다. 상대적인거리차인 δ 와 δ 는 센서사이의상대적인도달시간차와속도로써아래와같이식 3.6 을구할수 있다. δ = V t, δ = V t 3.6 t t 위의식은기준센서인 S 에도달시간에대한각센서 S,S 의상대적인 도달시간차와속도로구해진것이다. 음원의위치는기준점에대해서 직교좌표계로표현할수있다. + y r 3.7 x = 그리고센서 S 과음원의위치관계식은다음식 3.8 으로표현된다. 3

x x + y y = r 3.8 δ 마찬가지로센서 S 와음원의위치관계식은식 3.9 와같다. x x + y y = r 3.9 δ 위의두식 3.8, 3.9 에서아래의두식 3., 3. 을얻을수있다. + yy = x + y δ r 3. xx δ + yy = x + y δ r 3. xx δ 이제위의두식을이용해서직교좌표계에서극좌표계로바꾸어서식 3., 식 3.4 로표현하자. r x = cosθ + y cosθ + δ 3. r x = cosθ + y cosθ + δ 3.3 여기서 = x + y δ, = x + y δ 와같다. 식 3.,3 은식 3.4 를만족해야하며 δ x cosθ + y cosθ + δ x cosθ + y cosθ + 3.4 거리를다음과같이식 3.5 으로나타낼수있다. 4

cos cos cos cos δ θ θ δ θ θ + + = + + = y x y x r 3.5 위의식에서각항을다음식 3.6 으로나누면 / ] [ y y x x + 3.6 식 3.7 과같다. / / ] [ cos ] [ cos y y x x x x y y x x x x + + + θ θ / ] [ y y x x + = δ δ 3.7 위의식은삼각함수계산법에의해서 φ θ φ θ φ θ sin sin cos cos cos + = 을이용할수있다. 여기서, 에관한식이므로두식이관련이있음을알수있다. 앞의복잡한식을간단히 θ cos θ sin = K cos φ θ 로나타낼수있다. 이때 / ] [ y y x x K + = δ δ 이고 φ 에대해서식 3.8 과같이정의할수있다. tan x x y y = φ 3.8 5

이때 tanφ 는원점센서 S 에대한 S 의상대위치 x, y,s 의 상대위치 x, y 와원점센서에대한 S 과 S 의도달시간차, t t, t t 을알고속도를알고있으므로위의 φ 에대해서구할수 있다. φ = α + mπ, m =, ±, Λ 3.9 식 3.9 에서 φ 을알고 K 를구할수있으므로 cos θ φ = K 에서 θ 을알수 있다. 그러므로 r 은앞에식에서알수있으므로거리,r 과 θ 로음원의 위치를구할수있다. 3.3 스펙트럼감산법을이용한잡음제거스펙트럼감산법은신호에배경잡음이더해진신호로부터배경잡음만을주파수영역에서제거하여역퓨리에변환을취함으로배경잡음이제거된신호를얻는방법이다. 스펙트럼감산법에대한도식적인방법은그림.3. 에나타난바와같다. 그림.3. 에서 yt 는충격파 st 가발생하여충격파에배경잡음에부가된 신호이며, nt 는배경잡음을나타내는신호이다. 스펙트럼감산법의수학적인 표현은그림 3.3 과같다. 6

Fig. 3.. Bloc Diagram of The Spectrum Substraction 스펙트럼감산법의기본원리는그림.3. 에서보여주는바와같이먼저 배경잡음이부가된충격파 yt 에대하여퓨리에변환을취하여 Yω 를구한다. 그리고충격파가발생하기전에배경잡음만이존재하는경우에배경잡음신호 nt 에대하여퓨리에변환을취하여 Nω 을구한다. 여기서 Yω 신호의 크기 Yω 으로부터배경잡음의크기 Nω 을제거하면예측된 신호 S ϖ 의크기 S ϖ 을구할수있다. 이신호에대한역퓨리에변환은 신호 st 에대한충분한정보를주지못한다. 이유는위상에대한정보가 부족하기때문이다. 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t s e S S Y H e Y N Y e S S N Y S t n t s t y e Y Y t n e N N t s e S S y y y y n s j j Na i i j Na i i j j j = = = = = + = = = = = = ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Fig. 3.3. Mathematical Expression of The Spectrum Substraction 실제충격파에대한위상정보는신호 yt 에내포되어있으므로 yt 의위상스펙트럼 φ y ω st 을이용해야한다. 마지막으로위상스펙트럼을포함하는충격파에대한스펙트럼 Sω 에대하여역퓨리에변환을취하면예측된충격신호 을얻을수가있다. 이방법에대한성공여부는배경잡음에대한정보를얼마나알고있느냐에달려있다. 즉배경잡음이충격파가발생하는경우와스펙트럼이서로다르면배경잡음이충분히제거되지않는결점이있다. 8

3.4 Least Mean Square Method 을이용한잡음제거 LMS 알고리즘은그림.3.3 에서보여주는바와같이초기출발점 W 으로부터 최적값, 에도달하는방법을 Least Square Method 를사용하여접근한다. W opt 필터입력에대한데이터정보를모두알고있다면 Fig.3.4a 와같이필터의최적값에쉽게도달한다. 그러나실제상황에서필터입력은계속변화함으로 Fig3.4b 와같이최적값에도달하기위해서는이리저리이동하여최적값에가까이가려고하지만최적값에는근처에도달하지만완전한최적값에는도달하지못한다. 그리고얼마나안정적으로최적값에도달하는지는적응계수 μ 와필터의차수 M 에상당한영향을받는다. 너무급히적응하면안정도가문제가되므로주의해서선정해야한다. Fig. 3. 4. The Optimization Process of The LMS lgorithm 9

이러한필터매개변수에대한최적값선정방법에대하여서는정해진규칙이 없는것이적응필터의적용을어렵게하는요인이다. 그림.3.5 의적응필터의 구조를자세히들여다보면서 LMS 알고리즘에대해서알아보자 []. Fig. 3.5. Structure of The Least Mean Square lgorithm 그림 3.5 은적응필터의구조를보여주고있다. 오차신호 e 는기준신호 d 와필터출력의차이로서계수들을변화시키는데이용된다. 이산시간 의 X 입력벡터는식 3. 과같다. [ x, x,, x L T X = Λ ] 3. 가변필터계수는 W 는식 3. 와같다.

T L w w w W ],,, [ = Λ 3. 번째순차에서적응필터의출력신호는식 3. 과같다. T T W X X W y = = 3. 여기서입력신호와기준신호는정적과정 stationary 이라고가정한다. 필터의차수는 M 이라하고간단하게벡터 W 로나타내면시간 에서오차신호는식 3.3 와같이계산이될수있다. e y d e = T X d W = T W X d = 3.3 따라서오차의제곱은식 3.4 와같다. T T T W X X W W X d d e + = 3.4 알고리즘의성능을평가하는기준으로많이사용되는 MSE 는식 3.5 과같다. T T T W X X E W W X d E d E e E ] [ ] [ ] [ ] [ = T T W R W W P d E = ] [ 3.5

위에서입력신호의자기상관 auto correlation 행렬은식 3.6 이다. T R = E [ X X ] 3.6 입력신호와기준신호사이의상호상관 cross correlation 벡터는 식 3.7 이다. P = E d X ] 3.7 [ 식 3.5 으로부터평균자승오차 MSE: mean square error 는필터계수 제곱의함수임을알수있으며이는 MSE 가최소가되는최적필터계수를 구하는것으로서아래식과같이각샘플시간마다필터의계수는 MSE 곡선의 음의기울기방향으로수정되고결국최적의계수로수렴하게된다. W + = + µ 3.8 W 여기서 µ 는수렴속도및수렴후오차를결정하는적응상수이고 일반적으로필터계수벡터 W 가수렴하기위해서는 < µ < / λ 범위안의 max 값을가져야한다. λ max 는입력상관행렬 input correlation matrix R 의 최대고유치 eigen-value 를의미하며 정의한다. 는 MSE 의기울기이고다음과같이

ξ ξ ξ ξ T = = [ Λ ] 3.9 W w w w M LMS 알고리즘은계산량이비교적적고수식이간단하기때문에널리 사용되는대표적인적응알고리즘의하나로기울기를오차제곱의평균에대한기울기대신에현재의순간적인기울기값으로정의함으로써최급강하법 Steepest descent method 의기본적인골격이유지되므로기울기근사알고리즘이라고도한다. 즉 LMS 알고리즘에서의기울기는현재의순간적인기울기값으로정의되고이를수식으로나타내면다음과같다. e e T = [ Λ ] 3.3 w wl e e T = e [ Λ ] 3.3 w wl LMS 알고리즘은식 3.8 의기울기에식 3.3 을대입하여얻을수있으며 수식으로표현하면식 3.3 와같다. W + µ e X 3.3 = W + 여기서 X, W, e 는각각입력벡터, 계수벡터, 오차신호이며 µ 는 필터의수렴속도와 misadjustment 을좌우하는적응상수이다. 계수가최적으로 수렴하기위한 µ 의범위는아래와같다. 3

< µ < where λ max = 행렬 R 의최대고유치 3.33 λ max 위의식에서알수있듯이 LMS 알고리즘은적응도중에항상고정된 적응상수 µ 값을사용한다. 따라서 µ 값이클때는적응속도는빠르나적응후의안정성이떨어져 misadjustment 가크고반대로 µ 값이작으면적응후의 misadjustment 가작아서안정성은좋으나적응속도가느리게되는 trade-off 의문제가발생하게된다. 그러므로시스템에따라적응속도와수렴후안정성을적절히안배한적응상수값을사용하지만이또한입력신호에대한사전정보가없으면적응상수의값을적절히선택하는것이어렵다는문제점이있다. Fig.3.6 는 daptive Line Enhancer 의도식적인그림이다. 아래와같은필터는기준신호에대한정보가없을때정현신호를찾아내는기법으로많이쓰이고있다. 즉구조물내에순음이존재할경우지연된잡음이섞인신호를입력신호로하여완벽하게순음을추정할수있다. 4

Fig. 3.6. Bloc Diagram of The daptive Line Enhancer Fig. 3.7. Bloc Diagram of The Two-Stage Least Mean Square lgorithm Fig.3.7 는 단계적응필터와 단계적응필터의흐름도이다. 위와같이 단계적응필터에서신호속에섞여있는공진이나기계회전체운동과같은즉, 순음성분의잡음을완전하게제거할수있다. 이는비교적간단하고쉽게적용하였다. 왜냐하면순음성분은거의정상신호이고일정한주파수를가져필터의출력값으로쉽게추출된다. 따라서필터의오차값으로충격파와 5

백색잡음이나올수있다.Fig 3.7 의 단계에서붉은색원안의값이백색잡음이 섞인충격파신호이다. 이렇게찾아낸충격파와백색잡음에서 단계로 적응필터를적용시켜충격파를찾아낼수있다. Fig 3.7 의 단계에서붉은색원안의값이바로우리가찾고자하는충격파신호이고오차값으로백색잡음이빠져나가게된다. 하지만충격파에섞여있는백색잡음을제거하는문제는힘들다. 그이유는실제충격파의고유치가분명하지않아서백색잡음과혼돈이될수있는우려가있기때문이다. 극히짧은시간이기때문에적응하기위해서필터길이를짧게하고지연을작게하여야한다. 이를위해서잡음에대해더욱더강건하게하기위해서필터계수를작게하여정교하게잡음을제거하였다. 단점은적응하는데시간이걸려충격파의처음부분을놓칠수있는단점이있다. 하지만최초의충격파보다뒷부분도저주파로써여기서찾고자하는충격파의뒷부분을찾을수있다. 이렇게백색잡음에서찾아낸충격파를이용 Wavelet 변환에적용시켜구조물내의충격지점을추적할수있다. 6

제 4 장 시뮬레이션 4. 평판의이론적인굽힘파의군속도와실험을통한군속도비교평판에서의굽힘파의군속도는식 3.4 와같이이론적으로구할수있었다. 실험적인방법으로평판의중앙에일정거리를두고가속도계를설치하고강구로가진한다음군파가가속도계에도착하는시간을측정하여웨이블렛분석하면주파수별군파의속도를알수있다. E = ρ µ.5 V S 4. V phase.8 f.5 = VS VS + 4.5hf 4. V phase ω =, V group = ω 4.3 식 4.3 에서군속도를유도하면식 4.4 처럼간단하게표현할수있다. V group = 3.6 V S hf V phase VS + 9hf 4.4 실험적으로구한군파는아래와같이센서간거리를지연시간으로나누면간 단하게실험적으로구할수있다. 실험을위해먼저두께 cm, 길이.m 의정 방형알루미늄 L6 평판에강구를가진하여두개의가속도계로측정하였다. 7

V G = Dist S S Delay Time 4.5 충격지점으로부터각각.m,.m 떨어진위치에서측정된신호이다. 처음의포락선을그리는파형이군파이다. 거리에따라서감소하고시간이지연됨을알수있다. Fig.4. 는측정된신호에대한웨이블렛분석이다. 각주파수에최대값을이으면군파의도착시간이된다. 그러므로 Fig 4.3 에서처럼시간차를가지는두개의군파를얻을수있고이시간차를이용하여실제측정된속도를구할수있다. 거리차는.m 가된다. 이론속도와측정속도를비교하면 Fig 4.4 와같이거의일치함을알수있다. Fig 4. Measured Signal 8

Fig 4. Wavelet transform of Measured Signal Fig 4.3 Time Delay 9

Fig. 4.4 Comparision of Theorical Velocity and Experimental Velocity. 4. 위치추정위치추정하기위해서가로, 세로.m,.m 의평판위의가운데에서 Fig 4.5 와같이평판위에가속도계를설치하고 번가속도계로부터.m,.5m 위치에충격을가하였다. 각가속도계로부터측정된신호들은 Fig 4.6 과같이표현된다. 웨이블렛분석하면 Fig 4.7 Fig4.9 와같다. 웨이블렛분석결과주파수당최대값을연결하면 Fig 4. 처럼가속도계에도착하는군파의주파수별시간을알수있으므로각가속도계에대한상대도착시간을구하고 Fig 4.5 의상대위치와군속도를이용하여최종적으로충격지점을추정할수있다. Fig 4. 은 499Hz 와 3897Hz 에서추정하였고충격위치를거의맞게추정하고있음을알수있다. 이번에는음원의위치를바꿔서 번가속도계로부터.m,.m 의위치에 3

가하였다. 마찬가지로측정된신호는 Fig 4. 와같다. 이렇게측정된신호를웨이브렛분석을 Fig 4.3 - Fig 4,5 처럼하여각주파수별도달시간을알수있다. 분석된도달시간은 Fig 4.6 과같고최종적으로위치를추정하면 Fig 4.7 과같이거의음원의위치를정확하게추정하고있음을알수있다. Fig. 4.5 Experiment of Impulse position 3

Fig. 4.6 Measured group wave Signal Fig. 4.7 Wavelet Transform of S signal 3

Fig. 4.8 Wavelet Transform of S signal Fig. 4.9 Wavelet Transform of S signal 33

Fig. 4. Time Delay of Three Wave Fig. 4. Impulse Position Estimation 34

S Signal cc cc cc Time -..4.6.8 S Signal x -3 Time -..4.6.8 S Signal x -3 Time -..4.6.8 x -3 Fig. 4. Measured group wave Signal 45 4 S signal 6 5 Frequency 35 3 5 4 3..4.6.8 x -3 -..4.6 Time.8 x -3 Fig. 4.3 Wavelet Transform of S signal 35

45 4 S signal 6 5 Frequency 35 3 5 4 3..4.6.8 x -3 -..4.6.8 Time x -3 Fig. 4.4 Wavelet Transform of S signal 45 4 S signal 6 5 Frequency 35 3 5 4 3..4.6.8 x -3 -..4.6.8 Time x -3 Fig. 4.5 Wavelet Transform of S signal 36

45 4 S group wave S group wave S group wave Frequency 35 3 5.5.5 Time x -3.35.3.5. Fig. 4.6 Time Delay of Three Wave Position True Impact.m,m S S S Estimated45Hz Extimated539Hz Y axis.5..5 -.5...3 X axis Fig. 4.7 Impulse Position Estimation 37

4.3 배경잡음제거성과비교앞에서보듯이잡음을제거하기위해서스펙트럼감산법과 LMS 적응필터가있다. 본장에서는여러가지시뮬레이션과실제평판신호로써잡음제거의효과를비교하도록하자. 잡음중에서도백색잡음을제거하는것은많이힘들고어려운과제이다. 특히실제신호처럼극히비정상적인신호이고원신호와잡음간의고유치크기의차이가작아원전신호자체가잡음으로잘못인식이될수있는위험이있기때문에잡음제거에는상당한기술과사용자의노력이필요하다. 일정주파수를가지고있는충격신호에대한잡음제거성과를비교한그림은 Fig 4. 에서보여진다. 첫번째줄의그림은잡음이없을때의일정주파수충격신호의시간과주파수도메인의그림이고두번째줄의그림은잡음이섞인후의시간, 주파수도메인에대한그림이다. 세번째줄의그림은제거된잡음이고네번째는백색잡음이섞인신호에서추출해낸충격파신호이다. Fig. 4.a 는스펙트럼감산법을이용하였고 Fig. 4.b 는 LMS 적응필터를이용하였다. 그림에서알수있듯이스펙트럼감산법이용추출방식은전시간대에걸쳐잡음이분포되어있어분간하기힘들지만적응필터를이용한추출방법은전반부시간대의백색잡음이완전히제거되고충격신호부분에서추출되어충격파의분간이확실하다. Fig. 4.3 은회전체기계의순음성분이나공진이있고백색잡음이가미된 경우이다. Fig4.3a 에서스펙트럼감산법에서순음성분이제거되었지만여전히백색잡음이많아분간이힘들었다. Fig. 4.3b 는적응필터를이용하여먼저 차필터에서순음성분을완전히제거하고 차필터에서 Fig.4.b 와같이정교하게광대역백색잡음을제거하였다. 그결과마찬가지로충격신호의시작부분을찾아낼수있었다. 이제실제신호에더욱더근사하게하여일정 38

주파수가아니라시간에따라서변화하는충격신호를이용하자. Fig.4.4 의 a 에서먼저스펙트럼감산법을이용하였다. 역시전시간대에걸쳐백색잡음이여전히남아있음을알수있다. 하지만 b 에서적응필터를사용하면앞의일정주파수충격신호보다는약간흐리지만역시충격파의시작부분이확실이드러나고전반부의백색잡음이완전히제거되었음을알수있다. 이제실제신호를적용시켜보자. 평판실험의위치추정때사용되었던신호를원신호로하고순음과백색잡음을가미시켜스펙트럼감산법과적응필터의성능을비교하였다. Fig 4.5a 에서볼수있듯이그결과역시스펙트럼감산법은여전히전반부에백색잡음이남아있고더욱더원신호의시작부분을찾기가힘들다. 하지만적응필터의경우 Fig 4.5b 에서전반부의백색잡음은완벽하게제거되어원신호의시작부분이여실하게드러나고스펙트럼분석에서도원신호스펙트럼분석과거의일치하고있다. 이제실제로잡음이제거되고추출된원신호를웨이블렛분석하여군파의 특징이드러나는지 Fig. 4.6 의 a 는스펙트럼감산법이용잡음제거의 웨이블렛분석하였다. 스펙트럼감산법을이용한결과군파의도착하는시간인최대선이불규칙하게섞임을알수있다. 하지만 Fig 4.6b 에서는적응필터이용시깨끗하게기울기를가지고있는군파도달시간이확실하게보여진다. 고주파에서는빠르게저주파에서는느리게도착함을이론상에서도보았듯이실험에서도확인된다. 39

y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec Fig. 4.8 a x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Spectrum substraction of Impulse signal + white noise y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec Fig. 4.8 b x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 LMS daptive Filter of Impulse signal + white noise 4

y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Fig. 4.9 a Spectrum substraction of Impulse signal + white noise +sinusoidal y -.5 y+n -.5 n -.5 ye Fig. 4.9 b -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 LMS daptive Filter of Impulse signal + white noise +sinusoidal 4

Fig. 4. a y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Spectrum substraction of Impulse Frequency-Modulation + white noise y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Fig. 4. b LMS daptive Filter of Impulse Frequency-Modulation + white noise 4

y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Fig. 4. a Spectrum substraction of Experiment signal + white noise + sinusoidal y -.5 y+n -.5 n -.5 ye -.5 Timesec x 4 x 4 x 4 FrequencyHz x 4 Fig. 4. b LMS daptive Filter of Experiment signal + white noise + sinusoidal 43

7 7 6 6 6 5 frequency 5 4 5 4 4 3 3 3 5 55 3 4 5 x -3-5 3 Time 4 5 x -3 Fig. 4. a Wavelet Transform of Spectrum substraction 7 7 6 6 6 5 frequency 5 4 5 4 4 3 3 3 84 3 4 5 - x -3-4 3 Time 4 5 x -3 Fig. 4. b Wavelet Transform of LMS daptive Filter 44

제 5 장결론 본연구에서는삼각법을사용하여충격파의충격위치를추정하였습니다. 삼각 법이용에는센서간의상대위치, 충격파의속도, 각센서당도착지연의상대적인 시간차가필요하다. 센서의상대위치는실험장비설치시 알수있지만속도와 도달지연시간차는이론적인식과정확한분석을필요로한다. 속도를구하기위해서먼저충격파의형태와속도를알아야한다. 앞에서유도했듯이충격파중에서도굽힘파가제일크므로관측이용이하다. 굽힘파의군파의이론적인속도와실제측정된속도를비교한결과거의일치함을알수있었다. 이와같이속도를알고다음으로도달시간에대한자세한분석이필요한데이를위해서고도의시간-주파수분석이필요하다. 왜냐하면주파수별속도가다른특징을가지고있으므로연속웨이브렛변환방법을이용하여충격파의도달시간을분석하였다다른방법도많았지만고주파에서시간분해능이저주파에서주파수분해능이높은웨이브렛변환방법이가장탁월했고이를이용하여각센서의주파수별도착시간을정확하게분별하여충격지점을추정한결과거의일치함을알수있었다. 한편구조물의가동시생기는회전체운동의순음성분과공진, 백색잡음때문에웨이브렛분석이어려운경우가있다. 이를위하여스펙트럼감산법과적응필터를이용하여잡음을제거하는시뮬레이션을하였는데적응필터가우수함을검증할수있었다. 45

참고문헌 [] Koenig, R. The sound spectrogram, J. coust. Soc. m., Vol.8, p9-46, 946 [] Jeong, Hyu and Ih, Jeong Guon, 999, Implementation of the New lgorithm Using the STFT with Variable Frequency Resolution for the Time-Frequency uditory Model J.udio eng. Soc., vol. 47, no.4, pp. 4-5. [3] Lee, S. K., 999, 웨이브렛변환을이용한감쇠율예측과승용차하쉬니스평가에의응용, 한국소음진동공학회, 제 9권 3호. [4] Inoue, H., Kishimoto, K., and Shibuya, T., 996, Experimental Wavelet nalysis of Flexural Waves in Beams, Experimental Mechanics, vol. 36, no. 3, pp. -7. [5] Daubbechies, I., 99, The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal nalysis, IEEE Trans. Information Theory, vol. 36, no. 5, pp. 96-5. [6] Strang, G., and Nguyen, T., 997, Wavelets and Filter Bans, Wellesley-Cambridge Press. [7] Vetterli, M., and Herley, G., 99Sep., Wavelets and Filter Bans: Theory and Design, IEEE Trans. Signal Process., vol. 4, pp. 7-3. [8] Qian, S., and Dhen, D., 996, Joint Time-Frequency nalysis, Prentice-Hall, Chap. 4, pp. 75-99. [9] 한남대, 996, Development of Loose Part Signal Location Estimating, KERI/CM-46/96 최종보고서, 한국원자력연구소 []. Tobias., 976, coustic-emission source location in two dimensions an array of three sensors, NON-DESTRUCTIVE, p9-. [] 김현태, 박장식, 999, 적응잡음제거기를위한정규부호화알고리즘의수렴특성분석, 한국통신학회논문집제 4 호제 6B 호, 한국통신학회. 46