7. 상미분방정식. 서론 자연현상 물리법칙적용 수학적표현 미분방정식 자연현상뿐아니라공학적인문제에서도미분방정식이많이활용되나공학분야대부분의미분방정식들은해석적으로는풀리지않고수치적인접근방법을필요로한다. 일반적으로공학분야미분방정식은. Smpled 된 equton 을해석적으로푸는방법. Orgnl Equton 을 ppromte 하게푸는방법등두가지방법으로해를찾을수있는데 정확한 Error estmton 이가능한두번째방법이선호되며수치해석적방법이이에해당한다. 상미분 / 편미분 선형 / 비선형 omogeneous/nonomogeneous Intl vlue problem/boundr vlue problem
. Intl vlue Problems d t or t b wt α dt t or ec I 0 N were b / N t 를 부터 만큼씩증가시켜가면서 값을구하는문제 t 에서 d/dt 값을알고있다고할때 t 에서의 값을어떠한방법으로구할것인가가궁극적인문제
. lor Metod! n! " n ' o o n to to o L R n Euler Metod t Emple 다음방정식에대해 0 에서주어진초기조건을이용 구간간격 0.5 로 4 에서의 값을구하시오. d d 3 0 8.5 초기조건 : 0 에서 0.5 0 0 * 0.5 0 8.5 0.5 8.5 * 0.5 5.5 rel vlue 3.875.0 0.5 0.55.5 * 0.5 5.5 [-*0.5 3 *0.5 0*0.5 8.5] * 0.5 5.875 rel vlue 3.0
세련되지않은 Euler 법의가상 code C C C C C set ntegrton rnge 0 4 Intlze vrbles set step sze nd determne number o clculton steps d 0.5 nc / d output ntl condton PRIN Loop to mplement Euler s metod nd dspl results DO nc dd - 3 0 8.5 dd * d d PRIN
세련된 모듈화된 Euler 법가상 code Mn Progrm C Assgn vlues or [ntl vlue o dependent vrble] [ntl vlue o ndependent vrble] [nl vlue o ndependent vrble] d [clculton step sze] out [output ntervl] C m 0 pm pm DO end out IF end > HEN end d CALL Integrtor end m m pm pm IF EXI DISPLAY RESULS END b Routne to te one output step SUB Integrtor end DO IF end < HEN end CALL Euler new new IF EXI c Euler s metod or sngle ODE SUB Euler new CALL Dervs dd new dd * d Obtn Dervtve SUB Dervs dd dd
Euler metod 에서 error 를줄이는방법은 구간간격 를줄인다. lor seres 에서고차항을이용한다. 앞의문제에서 를 0.5 로줄였을때효과 고차 lor metod ' t t! t t t t d t ' t t t dt [ / t / d / dt] [ / t / d / dt] d t " t t dt Emple t or 0 t wt 0 0.5 & 0.
. Modcton o te Euler Metod Euler metod 에서오차가발생하는근본원인은구간시작점에서의도함수를전체구간에적용하기때문이다. 이를보완하는두가지방법 : Heun metod Mdpont metod Heun Metod 구간의시작점과끝점에서도함수를구하고두값의평균을취함 예측자방정식 predctor equton o 의추정값을사용구간의끝점에서의도함수를계산 ' o 구간평균기울기를계산 ' ' ' 평균기울기를이용하여 값을근사 o o 수정자방정식 corrector equton Emple 0.8 ' 4e 0.5 인함수 4 에서의적분값을구하라. 구간간격은 이고초기값은 0 에서. 0 o ' o 4e 0.5 3 ' 3 5 o o o 0.8 ' 4e 0.5 5 6.4064 ' ' ' / 3 6.4064 / 4.7008 o o ' 4.7008 6.7008 더이상의 값변화가없을때까지 및 의계산을반복할수있다.
도함수가종속변수 t 또는 만의함수인상미분방정식에서는예측자계산이필요없고이기법은다음과같이간략하게표현된다. 이는사다리꼴적분공식과정확하게같은표현이다. Mdpont Metod 구간의평균도함수값을구하기위해 Heun metod 에서는양끝점값의평균을내는반면 Mdpont 법에서는중앙점에서의 값을 Euler 법으로예측하고 값을구한후이 값을이용하여구간끝점 에서의 값을선형보간으로예측한다. 중앙점에서의 값예측 / 중앙점에서의기울기계산 ' / / / 중앙점기울기를평균기울기로가정 값근사 / / 기울기가 만의함수일경우적분에서의 mdpont 법과같은표현이됨. /
0 Euler s metod or sngle ODE SUB Euler new CALL Dervs dd new dd * Smple Heun wtout Corrector SUB Heun new CALL Dervs dd e dd * CALL Dervs e dd Slope dd dd / new Slope * b Mdpont metod SUB Mdpont new CALL Dervs dd m dd * / CALL Dervs / m dmd new dmd * c Heun wt Corrector SUB HeunIter new es 0.0 mt 0 CALL Dervs dd e dd * Iter 0 DO eold e CALL Dervs e dd Slope dd dd / e Slope * ter ter e e eold/e * 00% IF e es OR ter > mt EXI new e
.3 Runge-Kutt Metod RK 법은고차도함수를계산하지않으면서높은 lor 급수의정확도를얻을수있는기법으로 앞의 Euler Heun Mdpont 법모두 RK 라불리는 sngle-step metod 의일종이며 다음의일반적인형태를가진다. φ Eq. 여기서 φ 는구간상에서대표적인기울기를나타내는 증분함수 ncrement uncton 이며다음의일반적표현을가짐. p q φ L n n 3 p q q M n pn qn qn L qn n n n 인 차 RK 법은 Euler 법이되고 n 이선택되면 p q 값들은 Eq. 을 lor 급수전개하여같은식이되도록하여결정한다.
차 RK 법의유도 Eq. q p 을 와 에대해 차 lor 전개! ' d d '! d d Eq.3 RK 법의기본개념은식 와 3 이같아지도록 p q 값들을구하는것 O q p q p 3 O q p ] [ ] [ 3 O q p Eq.4 Eq.3 Eq.4 관계로부터 p q 세개의연립방정식이 4 개의미지수를가지므로미지수중하나의값을가정해야하고 이에따라여러개의 차 RK 법이존재하게된다.
일때 p q 수정자가한번반복되는 Heun 법에해당 일때 0 p q Mdpont 법에해당 3 일때 p q Rlston 법 3 3 4 3 3 3 3 4 4
3 차 Runge-Kutt 법 4 3 6 3 도함수가 만의함수라면 Smpson /3 공식에해당 4 차 Runge-Kutt 법 clsscl 4 차 RK 법 3 4 6 3 4 3 도함수가 만의함수이면역시 Smpson /3 공식에해당 clsscl 4 차 RK SUB RK4 new CALL Dervs m * / CALL Dervs / m m * / CALL Dervs / m 3 e 3 * CALL Dervs e 4 Slope **3 4/6 new Slope *
.4 Metods or Sstems o Equtons d d d d M d n d L n L n n L n n 개의초기조건을필요 Emple 다음연립미분방정식을구간간격 0.5 로.0 에서풀어라 d 0.5 d 초기조건 d d 4 0.3 0. 0 4 0 6 Euler 법 0.5 4 [-0.5 * 4] * 0.5 3 0.5 6 [4 0.3*6-0.*4] * 0.5 6.9 두번째식에서 에 첫번째식에서계산한 3 이아닌 0 4 를사용했음에유의 0 0.5.0.5.0 4 3.5.6875.6565 6 6.9 7.75 8.4455 9.094087 4 차 RK 법 0 0.5.0.5.0 4 3.534.467.88953.47577 6 6.857670 7.6306 8.36886 8.946865
Mn Progrm C Assgn vlues or n number o equtons [ntl vlues o n dependent vrbles] [ntl vlue o ndependent vrble] [nl vlue o ndependent vrble] d [clculton step sze] out [output ntervl] C m 0 pm DO n pm DO end out IF end > HEN end d CALL Integrtor end m m pm DO n pm IF EXI DISPLAY RESULS END c Clsscl 4 차 RK SUB RK4 new CALL Dervs DO n m * / CALL Dervs / m DO n m * / CALL Dervs / m 3 DO n e 3 * CALL Dervs e 4 DO n Slope * *3 4/6 Slope * b Routne to te one output step SUB Integrtor n end DO IF end < HEN end CALL RK4 n IF EXI d Obtn Dervtve SUB Dervs d d d
3. Boundr vlue Problems d d Emple ' 0 0 40 L 00 0 0.0 L 0 Ect soluton : 73.453e 0. 53.453 e -0. 0
3. Sootng Metod Lner Sootng Metod d d ' 0 문제의 차방정식을두개의 차상미분방정식으로분해 d d dz d z ' 위방정식들을풀기위해서는 z 의초기값이필요하다. 초기값 z00 을가정하고두개의연립방정식을 4 차 RK 로풀면 0 68.3797 이얻어진다. 이는경계조건 000 과다르다. 따라서 z00 인또다른초기값을가정하여계산을실행한다. 이때는 0 85.8980 이얻어진다. 본래의상미분방정식은선형이므로다음값들은선형적으로변한다. z0 0 0 68.3797 z0 0 0 85.8980 따라서이들로부터 0 00 갖게하는 z0 값을계산할수있다. 0 0 z 0 0 00 68.3797.6907 85.8980 68.3797 Nonlner Sootng Metod 비선형문제의경우 0 값이 z0 에따라선형적으로변하지않기때문에위의마지막식으로주어진 0 값을갖게하는 z0 값을결정할수없다. 비선형방법의근간은주어진 z0 로부터 0 값이구해지는과정을하나의함수로간주하고 0 z0 z 0 0 0 인 nonlner equton 을푸는것이다. 고차방정식에적용하는경우상당히복잡하고어렵다. 다른대안을찾을필요가있다. nte-derence metod 유한차분법
3. Fnte Derence Metod Lner Fnte Derence Metod 0 ' d d 방정식에있는도함수를유한제차분들로근사시키는것이다. 미분방정식이연립방정식으로변환된다. d d 0 ' 방정식에 차도함수가포함되어있으면이역시차분화한후 항별로재정리한다. ' ' ' ' M 앞의열전달문제에네개의내부절점 을적용하면 00.8 0.8 0.8 40.8.04.04 0.04 0 0.04 4 3 {} {65.9698 93.7785 4.538 59.4795}
Nonlner Fnte Derence Metod 원래미분방정식이선형이아닐때는위에서얻었던연립방정식 ' ' ' ' M 도비선형이된다. 이방정식들은비선형연립방정식풀이기법으로푼다. Problem 다음의비선형미분방정식을 FDM 을이용해푸시오. ' 3 8 " 3 or 3 7 3 43/3