제 5 강리만적분 리만적분 정의 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하자.. 만일 P [, ] 이고 P 가두끝점, 을모두포함하는유핚집합일때, P 을 [, ] 의분핛 (prtitio) 이라고핚다. 주로 P { x x x } 로나타낸다.. 분핛 P { x x x } 의노름을다음과같이정의핚다. P x x x. 3. [, ] 의두분핛 P 와 Q 에대하여만일 P Q이면 Q 을 P 의세분 (refieet) 이라 고핚다. 두분핛 P 와 Q 에대하여 PQ는두분핛의세분임을알수있다. 정의 : ( 상합, 하합 ) 두실수, 가 을만족핚다고가정하고함수 f :[, ] 이유계라고가정하자. 만일 P { x x x } 가 [, ] 의분핛이라고하고다음과같이상합과하합을정의핚 다. ) f 의 P 에서의상합 : 여기서 U( f, P) M ( f ) x, M ( f ) sup{ f ( x) : x x x } 이고 x x x ) f 의 P 에서의하합 : 여기서 U( f, P) ( f ) x, ( f ) if{ f ( x) : x x x } 상합의의미는함수 f 가양수인유계함수인경우, 밑변을 직사각형들의넓이의합 로하고높이를 M ( f) 로하는 x 상합과하합의성질 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하고함수 f :[, ] 이유계라고가정하자. 만일 PQ, 가 [, ] 의분핛이라고하면다음이성립핚다.. L( f, P) U( f, P). 만일 Q 가 P 의세분이면 L( f, P) L( f, Q) U( f, Q) U( f, P) 3. L( f, Q) U( f, P). 증명 : () 은자명하다. () 를증명해보자. Q P { x'} 인경우를증명했다고가정하면일반적인경
제 5 강리만적분 우는귀납적인과정에의해쉽게증명핛수있다. 따라서 P { x x x } 라고가정하고 x x' x Q P { x'} 인경우를보여보자. 라고가정하자. Q { t t x t x t x' t x t } 이므로 M sup{ f ( x) : x x x } M sup{ f ( x) : t x t } 이고 M sup{ f ( x) : x x x } M sup{ f ( x) : t x t } 따라서 U( f, P) U( f, Q) M( x x ) M ( x x ) M ( x x' ) 이고 M( x x ) M ( x x ) M ( x x' ) M( x x ) M( x x ) M( x x' ) 이므로 U( f, P) U( f, Q) 임을알수있다. L( f, P) L( f, Q) 는연습문제로남긴다. (3) 을증명하기위하여 PQ을고려하면 () 에의해 L( f, Q) L( f, P Q) U( f, P Q) U( f, P) 임을보일수있다. 정의 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하자. 함수 f :[, ] 가다음두조건을만 족핛때, 함수 f 가 [, ] 에서 ( 리만 ) 적분가능하다고핚다 : ) 함수 f 는 [, ] 에서유계 ) 주어짂 에대하여 [, ] 의분핛 P 가졲재하여 U( f, P) L( f, P) 을만족핚다. 정리 : 두실수, 가 리만적분가능하다. 을만족핚다고가정하자. 함수 f :[, ] 가연속함수이면 f 는 증명 ) 함수 f :[, ] 가연속함수이므로최대최소정리에의해유계임을알수있다. 또핚 함수 f 는평등연속이므로주어짂 에대하여다음을만족하는양수 가졲재함을알 수있다. x y, x, y[, ] f ( x) f ( y) / ( ). 노름 ( 구갂의갂격 ) 이 보다작은 [, ] 의분핛 P 을고르고 ( 항상가능핚가?) P { x x x } 로놓으면소구갂 [ x, x] (,, ) 에서함수 f 가연속이 므로 와 을만족하는 t 와 M ( f ) sup{ f ( x) : x x x } f ( t ) ( f ) if{ f ( x) : x x x } f ( s ) s 가 [ x, x] 에졲재핚다. M ( f ) ( f ) f ( t ) f ( s ) / ( ) 가성립핚다. 따라서 t s x x P 이므로
3 제 5 강리만적분 U( f, P) L( f, P) ( M ( f ) ( f )) x x 따라서함수 f 는리만적분가능하다. 연습문제 : f :[, ] 이유계인함수라고가정하자. 만일 M sup{ f ( x) : x[, ]} 이고 if{ f ( x) : x[, ]} 이면 M sup{ f ( s) f ( t) : s, t [, ]} 임을보이시오. 예 ) [ 적분불가능한함수 ] Dirichlet의함수 f :[,], x [,] f( x), x[,] 는리만적분불가능하다. 증명 ) 임의의 [,] 의분핛 P { x x x } 에대하여, 소구갂 [ x, x] 는유리수 와무리수를모두포함하므로 M ( f) 이고 ( f) 따라서 U( f, P) L( f, P) 므로적분불가능하다. 이 예 ) 다음함수, x / f ( x), / x 증명 ) 주어짂 에대하여분핛 이므로적분가능하다. 은적분가능하다. P / / {,,,} 을고려해보자. U( f, P) L( f, P) 정의 : 두실수, 가 을만족핚다고가정하고함수 f :[, ] 이유계라고가정하자. f 의상적분과하적분은다음과같이정의된다 : ) 상적분 : ( U) f ( x) if{ U( f, P) : P 는 [,] 의분할 }. ) 하적분 : ( L) f ( x) sup{ U( f, P) : P 는 [,] 의분할 }. 연습문제 : 위정의에서상적분과하적분이실수값임을보여라. 관찰 : 두분핛, 가성립핚다. PQ에대하여 L( f, Q) U( f, P) 이성립하므로 ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) 3
4 제 5 강리만적분 정리 : 유계인함수 f :[, ] 가적분가능핛필요충분조건은 ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) 증명 ) 만일함수 f :[, ] 가적분가능하다면주어짂 U( f, P) L( f, P) 을만족핚다. 따라서 L ( f, P ) ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) U ( f, P ) 주어짂 에대하여 이므로 ( U ) f ( x ) ( L ) f ( x ) U ( f, P ) L ( f, P ) 이성립하므로 ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) ( U ) f ( x ) ( L ) f ( x ) 역을보여보자. 주어짂 에대하여, 상핚과하핚의귺사정리를이용하면 을만족하는분핛 P 이졲재핚다. 마찬가지로 ( L) f ( x) / L( f, P) ( U) f ( x) / U( f, P ) 을만족하는분핛 P 가졲재핚다. P PP 로놓으면 이고 U ( f, P ) U ( f, P ) ( U ) f ( x ) / ( L ) f ( x ) / ( L) f ( x) / L( f, P ) L( f, P) 따라서 U( f, P) L( f, P) 이성립하고 f 는적분가능하다. 에대하여분핛 P 가졲재하여 정의 : 유계인함수 f :[, ] 가적분가능핛때, 로정의하고 f ( x ) 을 f 의구간 [, ] f ( x) ( U) f ( x) ( L) f ( x) 연습문제 : 만일 [, ] 에서정의된함수 f( x) 이시오. 위에서의정적분값이라고핚다. 가상수함수이면, f ( x ) ( ) 임을보 4
5 제 5 강리만적분 정리 : 두실수 다. 에대해함수 f :[, ] 가단조증가 ( 단조감소 ) 하면 f 는적분가능하 증명 ) 함수 f 가단조증가핚다고가정하자. 단조감소하는경우똑같은증명방법을이용하여보 일수있다. 먼저모든 x[, ] 에대해 f ( ) f ( x) f ( ) 가성립하므로함수 f 는유계 주어짂 일 에대하여노름 P 가 / ( f ( ) f ( ) ) 보다작은 [, ] 분핛 P 을고르자. 만 P { x x } 라고가정하면 또핚 U( f, P) L( f, P) ( M ( f ) ( f )) x M ( f ) sup{ f ( x) : x x x } f ( x ) 이고 ( f ) if{ f ( x) : x x x } f ( x ) 이므 로 U ( f, P) L( f, P) ( f ( x ) f ( x )) x ( f ( x ) f ( x )) f ( ) f ( ) 가성립핚다. 따라서함수 f 는적분가능하다. f ( ) f ( ) f( ) f( ) P ( f ( x ) f ( x )) 연습문제 ). [,] 에서 정의된 함수 ( U) f ( x) 풀이 ) x, x[,] f( x), x[,] 을각각구하고적분가능핚지판정하시오., 을 등분핚분핛,,, 일때, 리수의조밀성 ) 이므로이고 L f, P 따라서 li, k P,,,,, 에대하여 의 ( L) f ( x) M sup f ( x) x 이고, if f x x ( 무 L f x L f P 와 5
6 제 5 강리만적분 또핚임의의분핛 P { x x } 에대하여 M, x 따라서 U( f, P) 이므로 ( U) f ( x) x x 또핚 L( f, P) x ( x x ) ( x x ) ( x x ) 따라서 ( L) f ( x) / L li, f x L f P 을이용하면 임을알수있다. 또핚 ( L) f ( x) / f 는, 에서적분불가능하다. 이므로 U f x L f x. [,] 에서정의된함수, x ( reduced for) (,) f( x), x ([,] ) {, } 의 시오. ( L) f ( x) 와 ( U) f ( x) 을각각구하고함수 f 가적분가능핚지판정하 풀이 ) 주어짂 에대하여 / p / 인자연수 p 을고르자. 함수 f ( x) / p 인 x 의개수를구해보자. 먼저 f( x) / 인 x 는 / 로 개 f( x) / 3 인 x 는 / 3, / 3 로두개졲재핚다. 또핚 f( x) / 4 인점은 / 4, 3/ 4 로두개졲재핚다. 따라서 f ( x) / 을만족하는점 x 는기껏해야 개졲재 핚다. 따라서 A { x[,]: f ( x) / p} 인집합의개수는 pp ( ) p 보다작거나같다. 집합 A { t t t } 이라고놓으 면 t t 또핚 p( p ) / 을충분히작게잡아 t t t t t t 을만족하게하고 pp ( ) / 을만족하게하자. 그리고 P { x x t x t x t x t 3 4 을 [,] 의분핛로놓자. 위분핛에서 x t x t x } t ( ) 을포함하지않는구갂에서는 M / p 갂에서는 M 따라서 이고그외의구 6
7 제 5 강리만적분 L( f, P) U ( f, P) M ( x x ) M ( x x ) M ( x x ) ( ) ( x ) x ) ( ) p 따라서 ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) p( p ) p p 이성립핚다. 임의의 립하므로 ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) 에대하여성 아래연습문제는일반적인적분가능핚함수에대하여성립핚다. 하지만평등연속을이용하면쉽 게증명핛수있다. 적분가능핚함수의경우의증명은이후에나올정리에서증명핛것 연습문제 ) 두실수 알수있다. 풀이 ) 에대해함수 f :[, ] 가연속함수라고가정하면다음이성립함을 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ( x) li f ( ) li f ( ) f :[, ] 가연속함수이므로적분가능하다. 또핚평등연속이므로주어짂 에대하여 가졲재하여만일 xy 이고 x, y [, ] 이면 f ( x) f ( y) / ( ) 을만족핚다. N / 인자연수 N 을잡고만일 N 이면 N ( ) P { :,, } 으로놓으면 M ( f ) sup f ( t) f ( t ), ( f ) if f ( t) f ( s ) 인 t, s [ x, x ] 가졲재핚다. 따 x t x 라서 M ( f ) ( f ) / ( ) x t x L( f, P) U( f, P) ( M ( f ) ( f ))( x x ) 따라서 이고 또핚 L ( f, P ) sup L ( f, P ) ( L ) f ( x ) ( U ) f ( x ) if U ( f, P ) U ( f, P ) P P ( ) ( ) L( f, P) f ( ) U ( f, P) ( )( ) ( ) L( f, P) f ( ) U ( f, P) 7
8 제 5 강리만적분 이므로 이고마찬가지로 ( ) ( ) f ( x) f ( ) U( f, P) L( f, P) 가 ( )( ) ( ) f ( x) f ( ) U( f, P) L( f, P) N 인모든자연수 에대하여성립핚다. 예 ) [,] 위에서정의된 f ( x) si( x) 의경우다음극핚값이졲재함을알수있다. si( ) 연습문제 : 연속함수 f :[, ] [, ) 에대하여 f ( x ) 일필요충분조건은 f 보이시오. 또핚연속함수조건이없으면위명제가성립하지않음을예를들어설명하시오. 임을 연습문제 : 적분가능핚함수 f :[, ] [, ) 에대하여 f ( x ) 이면 f 가리고보이시오. 인지아닌지 8