QM6.4 6.4 제만효과 (The Zeeman Effect) * 제만효과 1. 제만효과 ; 균일한외부자기장 B ext 안에놓인원자의에너지준위변동 2. 전자에대한섭동항 Z B ext [6.68] 전자의스핀에의한자기모멘트 S [6.69] 전자의궤도운동에의한자기모멘트 L [6.70] 3. 섭동해밀토니안 Z L S Bext [6.71] * 제만효과취급요령 (case by case); 곧바로뒤이어나옴 ; 외부자기장의크기 ; 내부자기장의크기 ( 스핀-궤도결합관련 ) 1) ; 미세구조효과가훨씬크므로, Z 를작은섭동으로취급 2) ; 제만효과가훨씬크므로, 미세구조를섭동으로취급 3) ; 두항을동등하게취급하여제대로계산 과제 연습문제 6.20-1 -
6.4.1 약한자기장에의한제만효과 (Weak-Field Zeeman Effect) * 제만효과에의한에너지보정 ( ) 1; 계산과정 1. 좋은 양자수 ; [ 스핀-궤도결합의경우, 스핀과궤도각운동량의합 J L S는보존, L과 S가각각따로따로보존되지는않음 ] 고유상태로 사용 2. 제만효과에의한에너지보정 ; Z Z Bext LS [6.72] [ 설명 ; Z Z L S B B L S Bext LS ] 3. 여기서 L S J S, 또는 L S J L 로쓸수있는데, L 과 S 관련양 자수는좋은양자수가아니라서 L 또는 S 를곧바로알수없음. 그림 6.10 스핀 - 궤도결합하에서, L 과 S 는각각보존되지않는다. 이들은총각운 동량 J 를변화시키지않으면서세차운동을한다. 4. 해결책 ; 그림 6.10 참조 1) 총각운동량 J L S 는상수 2) L 과 S 는각각 J 를중심으로빠르게회전 ( 평균값이중요해짐 ) 3) S 의시간평균 ; S 를 J 방향으로투영시킨성분 S J S ave J [6.73] S Jcos [ 방향 ; J 방향. 크기 ; J cos ] 4) 여기서 S J =? ; S J [6.74] [ 설명 ; L J S L J S J S J S J S - 2 -
S J J S, 는좋은양자수설명끝 ] 5) 각운동량부분의기대치 ; LS S J [ 설명 ; L S J S 이므로 J J [6.75] LS JS JS ave J S J J S J J S J J J 을상쇄시키고, 를대입하여 LS J 설명끝 ] 6) 란데지인자 (Landé g-factor) ; [6.75] 의 J 앞에붙은인자 * 제만효과에의한에너지보정 ( ) 2; 결과 1. 에너지보정 (B 로설정 ); Z ext [6.76] [ 설명 ; Z Z Bext LS [6.72] Z Bext j j ll J J J 설명끝 ] 2. 보어마그네톤 (Bohr magneton); evt [6.77] 3. 수소원자바닥상태에너지 ; 미세구조보정및제만효과보정의결과 - 3 -
ev ± ext [6.78] [ 설명 ; (1) 미세구조보정 [6.67] ( ) (2) 란데지인자 (Landé g-factor) ; (3) 제만효과에너지보정 ; Z ext [6.76] ± 이므로 Z ext ± ± ext (4) 종합 ; ev ± ext [6.78] 설명끝 ] 4. 그림 6.11 에에너지준위를 의함수로표시. 그림 6.11 약한자기장에의한제만효과로수소원자바닥상태의에너지준위가갈 라지는양상. 위의에너지준위 ( 에해당 ) 는기울기가 1 이고아래의준위 ( 에해당 ) 는기울기가 -1 이다. 과제 통과 - 4 -
6.4.2 강한자기장에의한제만효과 (Strong-Field Zeeman Effect) * 제만효과에의한에너지보정 ( ) 1. 제만효과가미세구조효과에비해커짐. 제만효과를먼저고려하고, 그것을기초로하여미세구조고려. 좋은 양자수는 2. 제만효과의해밀토니안 ; Z ext [ 설명 ; Z L S Bext [6.71] B 로설정 Z L S Z ext 설명끝 ] 3. 섭동이없는 상태의에너지 ;( 제만효과포함 ) ev ext [6.79] [ 설명 ; ev ext ev ext ev ev ext ext 결과가 과무관하므로첨자에서 제외. 설명끝 ] 4. 미세구조를무시해도되면상황끝. 미세구조를고려해야하면계속진행. * 미세구조에의한에너지보정 ; 1. 미세구조효과추가보정 : - 5 -
fs so [6.80] [ 설명 ; 상대론적효과와스핀 - 궤도상호작용 ] 2. 스핀 - 궤도상호작용 S L [6.81] [ 교재정정 ; 설명 ;, ± 즉,, 마찬가지로, 설명끝 ] 3. 계산결과 fs ev [ 설명 ; 연습문제 6.22 관련 [6.82] [6.57] so S L [6.61] [6.64] fs so [6.80] so 1) 상대론적보정 ev ev - 6 -
ev ev 2) 스핀 - 궤도결합 so S L (1) [ 식 6.81 ] S L ev ev ev (2) ( 보어반지름이 ; 등등 m [4.72] 그리고 퍼텐셜에너지크기의 운동에너지 ev ) 3) 합한결과 ; (1) 과 (2) 를합하여 fs ev ev fs ev fs ev QED ] [ 식 6.82] 에서 [ ] 안에있는양은 인경우부정. 정확한값은 1. - 연습문제 6.24 참조. - 7 -
[ 설명 ; (1) 인경우,,,. 변동가능한것은 ± (2) 좋은상태 ; 서로같음. 약한장 ; 강한장 ; (3) 약한장에대하여계산한결과를이용해도무방함. fs [6.67] 이용 이므로 fs 설명끝 ] * 총에너지보정 ; 제만효과결과 ( 식 6.79) + 미세구조보정 ( 식 6.82) 과제 연습문제 6.22; 강의내용정리제출 - 8 -
6.4.3 중간정도의자기장에의한제만효과 * 섭동해밀토니안, 정규직교상태 1. 섭동해밀토니안 ; ext int 경우, Z 과 fs 의효과비슷함. 두항을같은조건에서취급. 두항을합하여섭동해밀토니안구성. Z fs [6.83] 2. 정규직교상태 ( 섭동이론적용기본상태 ); 경우에집중 ( 은너무간단, 초과는너무복잡 ) 좋은양자수로 선택 ( 도무방, 결과는같음 ) 3. 클렙시 - 고던계수 ( 표 4.8) 사용하여 를 의일차결합으로표현 * W 행렬 ; 행렬요소계산 I. fs 의행렬요소 ; 1. 미세구조 [6.66] 를계산할때, 정규직교상태로 사용했었음. 가 fs 의고유상태 대각성분외에는모두 0 [ 설명 ; fs - 9 -
직교조건에의하여, 대각성분외에는모두 0. 설명끝 ] 2. 이므로, 대각성분이 ev ev ( ev ) 3. 대각성분계산결과 ; fs fs ( ) fs fs fs fs ( ) ( ) ( ) ( ) fs ( ) fs ( ) fs ( ) II. Z 의행렬요소 ; 1. 제만효과의해밀토니안이 Z ext 로주어지므로행렬요소계산은 의일차결합을이용. 2. 는 Z 의고유상태. 대각성분외는모두 0. - 10 -
3. 은 와 의선형결합. 대각성분및 Z 그리고 Z 계산필요 4. 은 와 의선형결합. 대각성분및 Z 그리고 Z 계산필요 5. Z ext ext ext ( ext ) 6. Z Z Z Z 7., 관련계산 Z Z Z - 11 -
Z 8., 관련계산 Z Z Z Z III. W 행렬 ; 1. fs 의행렬요소 는모두 (-) 부호가붙어있음. Z 의행렬요소 는 (-) 부호가붙은것이조금많음. - 12 -
전체적으로 (-) 부호를붙이고대각화 나중에 (-) 부호떼어냄 ( 또는붙임, 마찬가지 ) 2. 위의계산결과들을모으고 (-) 부호를붙이면 W 행렬 이 가된다. 위식에서 와 는 ev 그리고 B B ext 로정의된다. * 고유치, 에너지준위 I. 고유치 ; 1. 행렬이블록으로되어있음. 고유치 4개는명백 ( 明白 ) 함. 부분행렬 ( 행렬 ) 둘에대해고유치를구하면됨. 2. 첫번째부분행렬 ( 관련 ) 특성방정식은 det ± ± [6.84] [ 설명 ; 특성방정식의풀이는 ± - 13 -
인데에너지준위에직접대입할수있도록 (-) 부호추가 ( 또는제거 ) ] 3. 두번째부분행렬 ( 관련 ) 특성방정식은 det ± ± [ 설명 ; 특성방정식의풀이는 ± 인데에너지준위에직접대입할수있도록 (-) 부호추가 ( 또는제거 ) ] II. 에너지준위 ; 1. 보어에너지에위의결과를보정하면표 6.2의결과를얻게된다. 표 6.2 인수소원자의경우제만효과와미세구조효과를포함하여계산한에너지준위들 2. 에너지준위가 의함수, 즉외부자기장 의함수. 그래프로그려보면, 약한자기장 ( ), 강한자기장 ( ) 각각에서의특성이잘나타남. 그림 6.12 인수소원자의경우제만효과가나타나는양상을외부자기 장의함수로표시하였다. (1) 외부자기장이없는경우 (); 미세구조와일치 (2) 약한자기장 ( ); 연습문제 6.21의결과 (3) 강한자기장 ( ); 연습문제 6.23의결과 과제 연습문제 6.25; 정리제출 - 14 -