3. 원형축의비틀림 eal Foming CE Lab. Depamen of echanical Engineeing Gyeongsang Naional Univesiy, Koea
원형축의비틀림 문제의정의와가정 이론전개대상축의형상 : 원형축 (Cicula shaf), Shaf 용도 : 동력전달 (Powe ansmission), sping, ec., 이론전개를위한가정 ( 대칭성논리의적용을전제 ) End-effecs ae negligible (Sain Venan Pinciple) Unifom coss-secion Geomey and maeial ae aisymmeic Symmeic epansion and conacion ae negleced Lenghening and shoening ae negleced : wising momen oque 참고 : osion 문제는 echanically aisymmeic 문제가아님 ` Geomeically aisymmeic O O O O X aeial is aisymmeic O O O X Cicula shaf O O O X X
좌표계의설정, 용어정의, 이론전개개요 용어의정의 원통좌표계 φ : ngle of wis :Rae of wis d 변형률 중실축, 중공축 비틀림모멘트 동력, 축 (Shaf), Local coodinae sysem cosθ y sin θ θ (, y, ) (, θ, ) y θ y 이론전개개요 Refeence coodinae sysem 기하학적적합성 (Geomeic compaibiliy, 변형의기하학 (Geomey of defomaion) 응력 - 변형률의관계 (Sess-sain elaionship), 구성방정식 (Consiuive law) 힘의평형 (Foce equilibium)
원형축의비틀림 기하학적적합성 Geomey of defomaion, Geomeic compaibiliy Rule of symmey ( 대칭성의논리 ) Caviy upside down ssumed defomed pofile ssumed defomed shape 대칭성논리의적용법위 : 중실축, 중공축, 복합재료축 기하학적적합성조건에어긋남. 그원인은단면이불룩하게 ( 오목하게 ) 된다는가정이잘못된것에있음 기하학적적합성조건에어긋남. 즉중심을지나는선분이변형으로곡선이된다는가정이잘못되었음. 대칭성논리의결론 Diameical saigh line emains saigh line Plane secion, pependicula o he cenal line, emains plane
원형축의비틀림 변형률과비틀림각의관계 변형률성분 (Sain componens) ε γ γ y ε γ γ θ γ ε γ y yy y γ ε γ θ θ θ θ γ γ ε γ γ ε y θ 전단변형률 Δ γ θ 와회전각의관계 φ ( + Δ) Δφ 법선변형률 : ε ε ε θθ γ γ θ 가정으로부터 전단변형률 : 전단변형률 : γ Δφ φ( ) Δ φ γ Δ θ Δφ γ θ Δ γ θ plane θ plane γ γ γ θ γ θ Δ θ γ θ γ θ d i φ :ngle of wis i : Rae of wis d
좌표계와응력성분 (Sess componens) 원통좌표계와직각좌표계 응력텐서 Local coodinae sysem cosθ y sinθ θ (, y, ) (, θ, ) θ y y Refeence coodinae sysem plane y plane face σ y y y σ y yy σ face y yplane y face y σ θθ θ face ( θ ) face plane θ θ plane σ θ θ θ plane θ σ θ face
원형축의비틀림 후크법칙 응력 - 변형률의관계 (Sess-sain elaionship), 구성방정식 (Consiuive law) 비틀림시험에서후크법칙 인장시험에서후크법칙 θ φl Gγθ G G d L G 1 Gγ σ E G (1 + ν ) σ γ du ul Eε E E d L 1 E σ Eε ε 등방성재료의일반화된후크법칙 ( + ν ) ( + ν ) ( ) ε 1 E σ ν σ + σ ε 1 σ E ν σ + σ ε 1 σ E ν σ + σ 1 ( + ν ) γ 1 y y y E G yy ( ) yy yy ( ) yy 1 1 γ y y y E G 1 1 γ E G (, y θ, )
원형축의비틀림 힘의평형조건 힘의평형조건-단일재료축 df df d d G d d G d GJ d GJ : 비틀림강성 df d θ θ d GJ J J R 3 4 4 d π d π ( i ) Ri R R 단면극관성모멘트 d d π d d 힘의평형조건 - 복합재료축 d G1 d + G d ( G1J 1+ GJ ) d 1 d G i, G1 if 1 Gi d GJ 1 1+ GJ GJ 1 1+ GJ G if df d G d 응력분포 G 1 1 G
용어정의 ; +, B, B L L π φ B d d, J d GJ GJ GJ 3 B, L 4
한단고정 - 균일비틀림강성 - 비틀림모멘트축 예제 3.1 < F.B.D. > B, 힘의평형조건 ; + ; +, B, B 비틀림각의계산 L L π φ B d d, J d GJ GJ GJ 3 B, L 4 최대전단응력의계산 d d 16 J π d π d 3 ma 3 4
한단고정 - 불균일비틀림강성 - 비틀림모멘트축 예제 3. 힘의평형조건 : ; <F.B.D.> B C B + + B C B C B, B C BC, C C GJ 1 1 GJ 비틀림각의계산 : φc φcb + φb L L + GJ GJ BC, B, 1 1 1 최대전단응력의계산 : 1 B, BC, ma, ma J1 J
균일비틀림강성 - 동력전달축의비틀림 예제 3.3 < F.B.D. > L B L C 1 B 힘의평형조건 : φ C B C 1 C ma ; + B C B C + C B, B C BC, C B C 비틀림각도와최대전단응력 1 [( + ) L + L ] GJ ( B + C)( d/) J
기어를매개로한동력전달축 예제 3.4 힘의평형조건 1 1 F DC, ; F F 1 F θ 1 B, θ 1 F D 기하학적조건 θ θ θ θ 1 1 1 1 비틀림각의계산 1 B L, G J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L φc φcd + φd + GJ GJ L L GJ + GJ 1 L, G J 1 1 C L 1
균일비틀림강성 - 부정정계문제 예제 3.5 < F.B.D. > B C 힘의평형조건 기하하적적합성 :, B ; + C C BC, C C 1 φ C 1 φc φb + φcb [ L 1+ ( L ) ] GJ L L + L 점 B 의회전각도와최대전단응력 φ B B, L1 1 LL 1 LL 1 d GJ GJ GJ L1+ L GJ ( L1+ L), ma(, C) J ma ma ma
불균일비틀림강성 - 부정정계문제 예제 3.6 < F.B.D. > B C C B, ; + C C BC, C L XX φ B X GJ X X 1 1 1 1 1 1+ φ C L ( L ) φc φb + φcb + GJ GJ 힘의평형조건 기하하적적합성 : 점 B 에서의회전각도계산 1 1 1 Li X 1+ ( X ) Xi GJ i i X φ C X1+ X X 1 C X1 X +
축의설계 예제 3.11 주어진값 P 6 hp, n 38 pm, a 3, psi Ship 설계과정 P 6 6 hp 6 66 in lb /sec 1.716 1 in lb / sec π ad ad ω 38 pm 38 398 6 sec sec 3 P ω 4.31 1 in lb 1 d ( / ) 16 lb 16 ( 3 1 ) d 3 π d πd in πa 3 16 d 3.9 in π 3 ma 3 a 4 1 + a 1hp 76kg m / sec 1 1 76 lb f / sec.453.348
축의설계 예제 3.1 < F.B.D. > ω P ω P 8kW 8 N m/s 15H 15 ad 3 ad ω π π s s P 84.88 N m ω 16 d 4.3mm 3 π a
균일분포모멘트 - 한단고정축 예제 3.13 < F.B.D. > < ehod Ⅰ> q q : 단위길이당모멘트 ( ) ( L ) 힘의평형조건 ; ( ) + q ( L ) ( ) q ( L ) ( ) q ( L ) d GJ GJ q φ ( L ) + C GJ φ() C φ() q GJ 비틀림각과 - 비틀림모멘트와의관계 ( L ) B.C.
예제 3.13 계속 < ehod Ⅱ> ( ) 비틀림모멘트함수의계산 q ( L ) d q ( ) q q + C d ( L) q L+ C ( ) q ( L ) 비틀림각의함수의계산 1 차함수의비틀림모멘트 - 한단고정축 d ( GJ ) + q( ) GJ q + C d d d ( L) ( ), ( ) B.C. GJ L GJ d d GJ q( L) GJφ q( L) + C d φ() C B.C. q φ ( L ) GJ ( ) q ( ) Δ Δ 지배방정식의유도 ( + Δ) ; ( + Δ) ( ) + q( ) Δ ( +Δ) ( ) lim q ( ) Δ d q ( ) d dθ ( ) dθ ( ) GJ d GJ d d dθ GJ q( ) d d q ( ) : 하중밀도함수
예제 3.14 mad dql ma J 4J q, L, d, G ( ) q, φ() φ( L) d GJ GJ 1 q [ φ ] + C GJ φ () C 균일분포모멘트 - 양단고정축 - 부정정계 비틀림모멘트와비틀림각의관계 q ql φ ( L) L L ql φ ( ) (1 ) GJ L 최대전단응력의계산 B < F.B.D. > q L q 힘의평형조건 L ( L ) ; ( ) q B B φ ql ql ql ql
원형축의비틀림총정리 θ 대칭성논리 가정 : Sain ε γ θ γ γ ε γ γ γ θ ε θ θθ θ ε εθθ ε γ θ γθ d γ γ 변형의기하학 : θ γ γ θ Hooke s law ε 1 E σ ν σ + σ ε 1 θθ E σ ν σ + σ ε 1 σ E ν σ + σ γ θ G γ θ G γ G ( ) θθ θθ θ θ ( ) ( ) θθ U Sess G d G d θ d d L d LGJ 1 d; L GJ φ Foce equilibium θ J 복합축일경우 1 1 d GJ +... d G J + G J Sain enegy
원형축의변형에너지 Hooke s law P k, eq P, δ, φ L Gγ, φ, k GJ, eq GJ L Sess 1 G Sain γ G : shea modulus of elasiciy Sain enegy 1 1 L 1 1 U keqφ U U d JG L JG L JG 1 1 1 u γ G GJ 1 1 1 U udv dd d GJ d V LGJ L GJ L d