정역학 [Statics] 2017 학년도제 2 학기 김진오교수 교재 : F. P. Beer, E. R. Johnston, D. F. Mazurek Vector Mechanics for Engineers - STATICS, 11th edition in SI units McGraw-Hill, 2016. 내용 : 제1장서론 [Introduction] 제2장질점의정역학 [Statics of Particles] 제3장강체 : 힘의등가계 [Rigid Bodies: Equivalent Systems of Forces] 제4장강체의평형 [Equilibrium of Rigid Bodies] 제5장분포력 : 도심과중심 [Distributed Forces: Centroids and Centers of Gravity] 제6장구조물의해석 [Analysis of Structures] ( 생략 ) 제7장내력과내모멘트 [Internal Forces and Moments] ( 생략 ) 제8장마찰 [Friction] 제9장분포력 : 관성모멘트 [Distributed Forces: Moments of Inertia] 제10장가상일의방법 [Method of Virtual Work] ( 생략 )
제 0 장정역학이란? 0.1 기계공학이란? 과학 [science] = = 공학 [engineering]= = = cf. 기술 [technology]= 기계공학 [mechanical engineering] = mechanics ( 역학 ) : 힘이작용하고있는물체의정지상태또는운동상태를묘사하고예측하는응용과학 Newton의법칙매질상태종류특성정적 static 동적 dynamic 강체정역학 statics 동역학 dynamics 고체 solid 변형체고체역학 solid mechanics 진동학 vibration 액체 liquid 유체 fluid 기체 gas 유체역학 fluid mechanics fluid dynamics 열역학 = 열에너지를다루는학문 정역학 - 1 -
0.2 정역학 [Statics] 정역학 ( 정지하고있는물체에작용하는 ) 힘 [force] 의평형 [equilibrium] 을다루는학문 힘 [ 물체 ] 동역학 힘 [force] 과운동 [motion] 의관계를다루는학문 힘 [ 물체 ( 질량 )] 고체역학 힘 [force] 과변형 [deformation] 의관계를다루는학문 힘 [ 물체 ] 유체역학 유체 ( 액체와기체 ) 에대하여힘과평형, 운동, 변형등을다루는학문 물체질점 [particle] : 은고려되나가무시되는물체강체 [rigid body] : 과가고려되나변형은무시되는물체변형체 [deformable body] : 변형이고려되는물체유체 [fluid] : 용기에의해형상이결정되는물체 ( 액체, 기체 ) 교과목윤곽 [outline] 1. 서론 [introduction] 2. 질점의정역학 [statics of particles] 3. 강체 : 등가계 [equivalent system] 4. " : 평형 [equilibrium] 5. " : 도심과중심 [centroids and centers of gravity] 8. " : 마찰 [friction] 9. " : 관성모멘트 [moment of inertia] 교과목연계 기초공학수학 물리학 정역학 고체역학 동역학 진동학 - 2 -
제 1 장서론 [Introduction] p.1 1.1 역학이란무엇인가? [What is Mechanics?] p.2 역학 = 힘이작용하고있는물체의상태또는상태를묘사하고예측하는응용과학 [applied science that describes and predicts the conditions of of bodies under the action of forces] 1.2 기본개념과원리 [Fundamental Concepts and Principles] p.3 역학의기본개념공간 [space] : 특정기준점 ( 원점 ) 으로부터세방향으로측정된길이 시간 [time] : 동적 [dynamic] 현상에수반되는변수예. 질량 [mass] 힘 [force] : 작용점 [application point], 크기 [magnitude], 방향 [direction]. 에의해표현 역학의기본원리 p.4 평행사변형법칙 : 힘의합성 [addition] 합력 [resultant] = 두힘과같은크기의변을가진평행사변형의대각선 Newton의운동법칙 (17세기후반 ) 1. 2. 3. *. 전달성의원리 [transmissibility] 강체의한점에작용하는힘을크기와방향이같지만다른점에작용하는힘으로대치하여도 강체의평형상태나운동상태가변하지않는다, 1.3 단위계 [Systems of Units] p.5 국제단위계 [International System of Units] = SI단위계 (Syst e`me International d'unités) 기본단위 : 길이 (m), 질량 (kg), 시간 (s), 전류 (A), 온도 (K), 물질의양 (mol), 조도 (cd) candele 보조단위 : 평면각 (rad), 입체각 (sr) steradian 유도단위 : 면적 (m 2 ), 속도 (m/s), 가속도 (m/s 2 ), 힘 (kg m/s 2 ), 표 1.2 p.8 힘 : 1 N (newton) 1 kg m/s 2 ( = ) 예. 무게 : = 중력가속도 = 9.81 m/s 2 = 1 kg 이면 = (1 kg) (9.81 m/s 2 ) = 배수 da(10), h(10 2 ), k(10 3 ), M(10 6 ), G(10 9 ), T(10 12 ), P(10 15 ), E(10 18 ) 표 1.1 d(10-1 ), c(10-2 ), m(10-3 ), (10-6 ), n(10-9 ), p(10-12 ), f(10-15 ), a(10-18 ) - 3 -
서양단위계 [U.S. Customary Units] p.9 길이 : foot (ft) 1 ft = 0.3048 m, 1 mi = 5,280 ft, 1 in = 힘 ( 무게 ) : pound (lb) 1 lb = 0.4536 kgf 중력가속도 = 32.2 ft/s 2 질량 : slug 1 lb = (1 slug) (1 ft/s 2 ) pound mass (lbm) 1 lb = (1 lbm) (32.2 ft/s 2 ) ft 1.4 단위계변환 [Converting Between Two Systems of Units] p.10 길이단위 [Units of Length] 1 ft = 0.3048 m m 1 mi = 1.609 km 1 mi = (5,280 ft) = ft 1 in = 25.4 mm 1 in = ( m ft) = ft 힘단위 [Units of Force] 1 lb = 4.45 N 1 lb = (0.4536 kg) (9.807 m/s 2 ) = 질량단위 [Units of Mass] lb 1 slug = 14.59 kg 1 slug = fts kg ms = ms = 14.59 kg lb 1 lbm = 0.453 kg 1 lbm = fts kg ms = ms = 0.453 kg 표 1.3 p.12 1.5 문제풀이방법 [Methods of Solving Problems] p.12 SMART 1. Strategy 전략 : 문제파악 ( 자료, 정보, 개념 ) 2. Modeling 모델링 : 문제정의 자유물체도작성 3. Analysis 해석 : 식 ( 역학의기본원리에근거 ) 해 ( 수치계산 ) 4. Reflect & Think 검토 : 과정의타당성, 결과의정확성및의미 1.6 수치정확도 [Numerical Accuracy] p.14 해의정확도에영향을주는항목 : (1) 주어진데이터의정확도 ( 공학적으로대개 0.2% 이상오차 ) (2) 행해진계산의정확도 유효숫자 [significant figures] 세자리 1로시작되는숫자는네자리예. 50 m, 15 N, 253.42 kn, 2,192 kg = 3.1415926-4 -
제 2 장질점의정역학 [Statics of Particles] p.15 질점 [particle] : 합력 ( 合力 ) [resultant] (2. 1~2 절, 4 절 ) 평형 [equilibrium] (2. 3 절, 5 절 ) 2.1 평면에서힘의합성 [Addition of Planar Forces] p.16 2.1A 질점에작용하는힘 : 두힘의합력 p.17 [Force on a Particle: Resultant of Two Forces] 힘 [force] : 한물체의다른물체에대한작용 [action] 작용점 [point of application], 크기 [magnitude], 방향 [direction] 으로표시 ( 그림 2.1) : 질점에서는힘들이한점에작용 : 숫자와단위. 예 : 1000 N = 1 kn : 작용선 [line of action] 과부호 [sense] 합력 ( 合力 ) [resultant] : [equivalent force] ( 그림 2.2) p.17 = 두가지이상의힘들이작용할때이들과같은효과를갖는하나의힘 평행사변형법칙 [parallelogram law] R = P + Q 합력 = 두힘과같은크기의변을가진평행사변형의 2.1B 벡터 [Vectors] p.17 스칼라 [scalar] : 크기만갖는물리량. 예 : 벡터 : 을갖는수학적표현. 예 : 힘, 변위 [displacement], 속도 [velocity], 가속도 [acceleration], 운동량 [momentum], 평행사변형법칙에의해합성 [addition]. 등벡터 [equal vector] : 크기와방향이같은두벡터, 작용점에관계없이동일. ( 그림 2.3) 부벡터 [negative vector] : 크기가같고방향이반대인벡터. -P ( 그림 2.4) 고정벡터 [fixed vector] : 작용점이정의된벡터예. (= 유한한벡터 [bound vector]) 미끄럼벡터 [sliding vector] : 작용선을따라이동할수있는벡터. 예. recall 자유벡터 [free vector] : 공간상에서자유롭게움직일수있는벡터. 예. - 5 -
2.1C 벡터의합성 [Addition of Vectors] p.18 교환적 [commutative] : P + Q = 평행사변형법칙적용 ( 그림 2.5) 삼각형법칙 [triangle rule] ( 그림 2.6) 벡터의뺄셈 = 부벡터의덧셈 P - Q = ( 그림 2.7) p.19 결합적 [associative] : P + Q + S = (P + Q) + S = 다각형법칙 [polygon rule] ( 그림 2.8) 스칼라와벡터의곱 [product of a scalar and a vector] 예 : ( 그림 2.9) 예제 [Sample Problem] 2.1 두힘의합력 p.22 삼각형법 [trigonometry] 사인 [sine] 공식 sin sin sin 코사인 [cosine] 공식 cos cos cos 예.< 연습 2.20> p.27 두힘 P 와 Q 가그림과같이저장소 (storage bin) 뚜껑에작용한다. = 60 N 이고 = 48 N 일때, 두힘의합력의크기와방향을삼각법 (trigonometry) 을사용하여구하여라. 자유물체도 힘삼각형 P Q R P 70 80 Q 80 = 60 N, = 48 N = 80 + 70 = 150 코사인공식 = cos = = (60 N) 2 + (48 N) 2-2 (60 N)(48 N) cos150 = 10,892 N 2 합력의크기 = 104.4 N 사인공식 sin sin sin = N sin = N sin150 = 0.2874 = sin -1 (0.2874) = 16.71 합력의방향 = 180 -(80 + 16.71 ) = 83.29 합력 R = - 6 -
2.1D 동일점에작용하는여러힘의합력 p.20 [Resultant of Several Concurrent Forces] 다각형법칙 = 평행사변형법칙반복적용 ( 그림 2.10) 2.2B절방법이 2.1E 힘의분해 [Resolution of a Force into Components] p.20 힘의성분 [components] : 효과가같은하나의힘으로대치될수있는둘이상의힘들 힘의분해 : 힘을성분들로대체하는과정 F = P + Q ( 그림 2.11) 무수히많은성분들의조합이존재함. 1. 두성분중하나인 P 를아는경우 두번째성분 Q = P 의종점을 F 의종점에연결. ( 그림 2.12) 2. 각성분의작용선을아는경우 F 의종점을지나고작용선에평행한선들. ( 그림 2.13) 3. 한성분의방향을알고다른성분의크기를최소로하려는경우 예제 2.2 예제 2.2 바지선 [barge] 을이끄는두예인선 [tugboat] 로프의인장력 [tension] p.23 연습 주의사항 : 0. 표지불필요 1. 첫페이지상단에학번, 이름, 협력자기재 [ 누락시 0.5점감점 ] 2. 이해한만큼만기재 [ 이해않고베끼면문제수 (-1) 점 ] 3. 근거및과정중요 ( 관련식기재후, 수치대입계산과정, 결과제시 ) 4. 수업시작전제출 [ 기한후제출하면 0% 인정 ] 5. 한문제당 1점씩으로채점한후학기말에총점 0.5 ( 예, 50점 0.2 = 10점 ) - 7 -
2.2 성분에의한힘의합성 [Adding Forces by Components] p.29 2.2A 힘의직각성분과단위벡터 p.29 [Rectangular Components of a Force: Unit Vectors] 힘의분해 ( 평행사변형 ) 의특수한경우 서로직각인두성분으로분해 ( 직사각형 ) 예. ( 그림 2.14, 2.15) 단위벡터 [unit vectors] : 예. 축방향인단위벡터 i, 축방향단위벡터 j ( 그림 2.16) 힘의직각성분벡터성분 : F, F F =, F = ( 그림 2.17) 스칼라성분 :, F = i + j 예 [Example] 1. =, = 예 2. tan = = 예 3. 예.< 연습 2.25> p.36 부재 가부재 에선 방향으로힘 P를가한다. 힘 P의수평성분크기가 325 N일때, (a) 힘 P의크기, (b) 그힘의수직성분을구하여라. = 325 N = = tan -1 (1.1077) = 47.9 P y P (a) = P x = cos N = cos = 484.7 N = (b) tan = = tan = (325 N) (1.1077) = 360.0 N 또는 = = (484.7 N) sin47.9 = 359.6 N P y = 2.2B 와 성분의합에의한힘의합성 p.32 [Addition of Forces by Summing and Components] 한질점에작용하는여러힘들의합력의성분 = 주어진힘들의스칼라성분들의합 P + Q + S = R = i + j = Σ (= = Σ (= 또는 R = ( 그림 2.21) 예제 2.3 한지점에작용하는여러힘들의합력 p.34 연습 - 8 -
2.3 평면에서힘과평형 [Forces and Equilibrium in a Plane] p.39 2.3A 질점의평형 [Equilibrium of a Particle] p.39 평형 [equilibrium] : 작용하는모든힘의예. 두힘의경우 ; 가같고, 같은에있으며, 이반대. ( 그림 2.22) 일반적으로 R (= ΣF) = 0 ( ( 그림 2.23b) 또는 Σ = 0, Σ = 0 ( 그림 2.23a) cf. 동적평형 ΣF = a ΣF + (- a ) = 0 - a : 2.3B 뉴튼의운동제 1 법칙 [Newton's First Law of Motion] p.40 = 질점에작용하는힘의합력이 0인경우 ( 처음에정지해있던질점은 ) 정지상태를유지하거나 ( 처음에운동하던질점은 ) 직선상을일정한속도로운동한다. 운동제 2 법칙 ( 가속도법칙 ) 의특수한경우. ΣF = 0 a = v = 2.3C 자유물체도와문제풀이 p.40 [Free-Body Diagrams and Problems Solving] 자유물체도 [free-body diagram] 작용하는 [applied] 모든힘들을보여주는독립적인도표 예. 그림 2.24 p.41 (d) rectangular components SMART 방법 (1.5절) 1. Strategy 전략 : 문제파악 ( 자료, 정보, 개념 ) 2. Modeling 모델링 : 문제정의 3. Analysis 해석 : 평형방정식설정 ( 방법 1:, 방법 2: 방정식풀이 4. Reflect & Think 검토 : 과정의타당성, 결과의정확성및의미 - 9 -
예제 2.4 하역 [unloading] 작업로프 [rope] 의인장력 p.42 예제 2.5 경사면롤러 [roller] 위의화물 [package] p.43 예제 2.6 범선 [sail boat] 의저항력 예.< 연습 2.70> p.51 1,800 N의하중 Q가도르래 에작용하고, 이도르래는줄 위를구를수있다. 이도르래는다른줄 에의해그림에보인위치에멈춰있고, 이줄은도르래 를지나며하중 P 를지탱한다. (a) 줄 의장력, (b) 하중 P의크기를구하라. = 1,800 N, = 55, = 25 자유물체도 [free-body diagram] 힘삼각형 [force triangle] < 방법 1 : 직각성분 > Σ = 0 : Σ = 0 : = + = 55 + 25 = 80 1 2 (a) 1 sin + 2 cos (cos sin + sin cos) - cos = 0 cos = sin = = 1,048.4 N = (b) 1 cos - cos - cos = 0 cos cos = cos = (1,048 N) = 607.9 N = < 방법 2 : 힘삼각형 > = 90 - = 90-55 = 35, = 90 - = 90-25 = 65 sin = sin sin = sin sin = (1,800 N) sin = 1,048.4 N = 1,048 N sin = sin sin = sin sin = (1,800 N) sin = 1,656.5 N = (1,656.5 N) - = (1,656.5 N) - (1,048.4 N) = 608.1 N = 608 N 연습 - 10 -
2.4 공간에서힘의합성 [Adding Forces in Space] p.52 2.4A 공간에서의힘의직각성분 [Rectangular Components of a Force in Space] 단위벡터 i, j, k ( 그림 2.27) F = i + j + = = F = cos, = cos, = ( 그림 2.26) 예 2.4. 500 N 의힘이,, 축과각각 60, 45, 120 를이루고있다. p.54 = =, = 방향여현 [direction cosine] cos =, cos =, cos = ( 그림 2.28) 예 2.5. 힘 F 가 = 20 N, = -30 N, = 60 N 의성분을가지고있다. p.55 힘의크기 : = = N N N = 70.0 N 방향 : = = cos -1 N = cos -1 0.2857 = 73.4, N = = 115.4, = = 31.0 예제 2.7 탑 [tower] 의버팀줄 [guy wire] 의힘 p.58 예.< 연습 2.76> p.63 스프링 와기둥 의각도가 30 이다. 스프링의장력이 40 N일때, (a) 원판의 지점에 가해지는힘의,, 성분, (b) 그힘의방향을규정하는각도,, 를구하여라. = 30, = 35, = 40 N (a) 힘의성분 = = (40 N) cos30 = = = = sin cos = (40 N) sin30 cos35 = = = - sin sin = -(40 N) sin30 sin35 = (b) 힘의방향 : = = cos -1 = cos -1 0.4095 = 65.8 = = = cos -1 = cos -1 (-0.2868) = - 11 -
2.4B 힘의작용선상의두점과힘크기에의해정의되는힘 p.56 [Force Defined by Its Magnitude and Two Points on Its Line of Action] 두점 ( ), ( ), 힘의크기 ( 그림 2.29) =, =, =, = 단위벡터 = i j k F = = i j k 예.< 연습 2.86> p.64 프레임 가 지점에서마찰없는고리를지나는줄 로지지되어있다. 줄의장력이 385 N일때, 줄이 지점에가하는힘의성분들을구하여라. = 385 N = = (480 210) mm = 270 mm, = = -400 mm, = = 600 mm = = mm mm mm = 770 mm F = = N = [(270 mm) i +(-400 mm) j +(600 mm) k ] mm = (135.0 N) i + (-200 N) j + (300 N) k 힘의성분 : =, =, = 2.4C 공간에서의동일점에작용하는힘의합성 p.57 [Addition of Concurrent Forces in Space] 합력 R = ΣF 성분 = Σ, = Σ, = Σ 크기 = 방향 cos =, cos =, cos = 예제 2.8 벽 [wall] 을지지하는케이블들의합력 p.59 연습 - 12 -
2.5 공간에서힘과평형 [Forces and Equilibrium in Space] p.66 ΣF = 0 Σ = 0, Σ = 0, Σ = 0 예제 2.9 케이블에매달린물체에작용하는인장력 p.67 예.< 연습 2.102> p.71 그림과같이세개의줄로기구를매어놓았다. 기구에의해 에 800 N 의수직힘이가해질 때각각의줄의장력을구하여라. P = d AB = (-4.20 m) i + (-5.60 m) j = m m = 7.00 m = m [(-4.20 m) i + (-5.60 m) j] = -0.60 i - 0.80 j T AB = = (-0.60 i - 0.80 j) d AC = (2.40 m) i + (-5.60 m) j + (4.20 m) k = m m m = m = 7.40 m [(2.40 m) i + (-5.60 m) j + (4.20 m) k] = 0.3243 i - 0.7568 j + 0.5676 k T AC = = (0.3243 i - 0.7568 j + 0.5676 k) d AD = (-5.60 m) j + (-3.30 m) k = m m = m = 6.50 m [(-5.60 m) j + (-3.30 m) k] = -0.8615 j - 0.5077 k T AD = = (-0.8615 j - 0.5077 k) 에서 ΣF = 0 Σ = 0 ; -0.60 + 0.3243 + 0 + 0 = 0 1 Σ = 0 ; -0.80-0.7568-0.8615 + = 0 2 Σ = 0 ; 0 0.5676-0.5077 + 0 = 0 3 1 = = 0.5405 1 3 = = 1.1180 3 2-0.80 (0.5405 ) - 0.7568-0.8615 (1.1180 ) + = 0 N (2.1524) + = 0 = = 372 N 1 = 0.5405 (372 N) = 201 N, 3 = 1.1180 (372 N) = 416 N 연습 - 13 -