한국해안 해양공학회논문집 /ISSN 1976-819(Print), ISSN 88-7(Online) Journal of Korean Society of Coastal and Ocean Engineers 7(3), pp. 159~167, Jun. 015 http://dx.doi.org/10.9765/kscoe.015.7.3.159 진행파동장하해저지반내잔류간극수압의해석해 An Analytical Solution of Progressive Wave-Induced Residual Pore-Water Pressure in Seabed 이광호 * 김동욱 ** 김도삼 *** 김태형 *** 김규한 **** 류흥원 ** Kwang-Ho Lee*, Dong-Wook Kim**, Do-Sam Kim***, ae-hyung Kim***, Kyu-Han Kim**** and Heung Won Ryu** 요지 : 본연구에서는잔류간극수압의추정에관한기존의해석해에서지적된오류를수정한새로운해석해를제시한다. Fourier급수전개법과변수분리법으로산정된해석해의타당성은기존의해석해, 수치해석해및실험결과와비교 검토로부터검증된다. 무한 ( 깊은 ) 두께의본해석해는기존의해석해보다는수치적분등이수행될필요가없는보다간단한식이다. 유한두께에관한해석해에지반두께를매우작게한경우극한의얕은두께로점근적인접근은가능하지만, 지반두께를매우크게한경우극한의무한두께로접근은불가능하며, 유한두께와무한두께의사이에는불연속적인영역이존재한다. 핵심용어 : 해저지반, 진행파, 잔류간극수압, 해석해, 무한두께 Abstract : In this paper, the errors found in the existed analytical solutions described the mechanism of residual pore-water pressure accumulation were examined and a new analytical was proposed. he new analytical solution was derived by using a Fourier series expansion and separation of variables was verified by comparison with the existed both analytical and numerical solutions and experimental result. he new analytical solution is very simple that there is no need for numerical integration for deep soil thickness. In addition, the solutions of the residual porewater pressure for finite, deep, and shallow soil thickness reveled that it is possible to approach from finite to shallow soil thickness, but not possible to deep soil thickness because there was discontinues zone between finite and deep soil thickness. Keywords : seabed, progressive waves, residual pore-water pressure, analytical solution, deep soil thickness 1. 서론 파동으로인한해저지반거동의평가는 offshore mono-pile, 방파제, 파이프라인과플랫폼등의많은해양 해안구조물의설계에서매우중요한항목이며, 파동으로인한간극수압의예측은액상화나세굴과같은지반불안정해석에서주된요소이다. 여기서, 간극수압은진동간극수압과잔류간극수압으로분류되고, 이들은현장관측과실험으로부터각각다른메커니즘으로발생하는것으로알려져있다 (Zen and Yamazaki, 1991). 전자는과도혹은진동간극수압으로부터발생되고, 간극수압의변동에서진폭감쇠및위상지연이수반된다 (Yamamoto et al., 1978; Jeng, 1997). 후자는반복하중하의흙체적감소에의한간극수압의축적으로부터발생되는것으 로알려져있다 (Seed and Rahman, 1978). 주기적인단순반복하중을받는포화비점성토질에서는잔류간극수압이나타나지않지만, 느슨한포화실트나가는모래에서간극수압은반복하중의횟수에따라증가하며 (Seed and Lee, 1966; Seed et al., 1978), 이때반복하중에의한간극수압의축적이배수에의한소산을초과하는경우간극수압의純축적으로이어진다. 따라서, 상재하중의대부분을간극수가지지하고, 경우에 따라유효응력이크게감소되는수준까지간극수압이증가할수있고, 따라서액상화에의한지반파괴가발생될수있다. 일반적으로지진하중에의한액상화는오래전부터많은사례연구와현장관측등을통하여발생메커니즘과해석법등이잘정립되어왔다 ( 예로, Seed and Idriss, 1971, 198; Castro, 1975; Ishihara, 1993; Ishihara et al., 1993; Hamada et al., * 가톨릭관동대학교에너지자원플랜트공학과 (Dept. of Energy Resources and Plant Eng., Catholic Kwandong Univ., Gangwon) ** 한국해양대학교토목환경공학과 (Dept. of Civil and Environmental Eng., Korea Maritime and Ocean Univ., 77 aejong-ro, Yeongdo-ku, Busan) *** 한국해양대학교건설공학과 (Corresponding author: Do-Sam Kim, Dept. of Civil Eng., Korea Maritime and Ocean Univ., 77 aejong-ro, Yeongdo-ku, Busan 606-791, Korea, el:8-51-410-4463, Fax:8-51-403-0656, kimds@kmou.ac.kr) **** 가톨릭관동대학교토목공학과 (Dept. of Energy Resources and Plant Eng., Catholic Kwandong Univ., Gangwon) 159
160 이광호 김동욱 김도삼 김태형 김규한 류흥원 1994). 반면에, 파동환경하간극수압의축적이현지시험으로부터관측은되었지만, 그의해석법은 de Alba et al. (1976) 과 Seed and Rahman (1978) 의의한반복하중과간극수압의축적과의관계가제안된이후인것으로판단된다. 잔류간극수압에관한실험연구로진행파에대한 Clukey et al. (1985), Sassa et al. (001), 완전중복파에대한 Kirca et al. (013) 및원심모형기에의한 Sassa and Sekiguchi (1999) 의연구등을들수있고, 수치연구로 random-walk모형에기초한 Sumer and Cheng (1999), two-layer모델에기초한 Sassa et al. (001), 유한요소법에기초한 Sassa and Sekiguchi (001), Biot형의기초방정식에기초한 Sawicki and Mierczynki (005) 의연구등을들수있으며, 해석해의유도에대해서는 Fourier급수전개법에기초한 McDougal et al. (1989), Cheng et al. (001), Jeng (008), Laplace변환법에기초한 Jeng et al. (006), Jeng and Seymour (007) 등의연구를들수있다. 여기서, 주된해석해는 McDougal et al. (1989), Cheng et al. (001) 및 Jeng et al. (006) 에의해각각유도되었으며, 모두 Biot (1941) 의저류방정식에기초한 1차원압밀방정식을기초방정식으로적용하고있다. 여기서, Jeng et al. (006) 은 McDougal et al. (1989) 과 Cheng et al. (001) 의정식화과정에오류가있는것으로지적하고, 새로운 Laplace변환법에기초한해석법을제안하고있다. 본연구에서는 McDougal et al. (1989) 과 Cheng et al. (001) 에서지적된오류를수정하고, Jeng et al. (006) 의해석해와는다른형태의해석해를제시함과동시에 Cheng et al. (001) 과 Jeng et al. (007) 의연구결과및 Clukey et al. (1983) 의실험결과와비교하여해의타당성을검증하고, 또한유한, 무한및얕은두께의해저지반에대한잔류간극수압의해의특성을논의한다..1 정식화. 해석이론.1.1 지배방정식과경계조건본연구에서는해저지반내잔류간극수압의동적응답을모델화하기위하여 McDougal et al. (1989), Cheng et al. (001) 및 Jeng et al. (006) 과같이 Biot압밀방정식 (Biot, 1941) 을사용한다. Fig. 1의선형규칙진행파동장하해저지반에대해정의되는좌표계에서균질등방토질에관한 Biot압밀방정식은다음과같이주어진다 (Biot, 1941). -------- P x -------- P ρgn ζ ------------- P ------ K t ρg ----- ---- ξ χ ----- ----- K t x 여기서, x와 z는수평과연직좌표, P는정수압을기준으로파동으로인한간극수압, K는흙의투수계수, ρ는간극수의밀도, g는중력가속도, n 는흙의간극률, t는시간, ζ 는간극수의압축률로포화도와겉보기체적탄성계수와관련되며, ξ 와 (1) Fig. 1. Definition of wave-seabed interaction system. χ 는각각 x와 z방향의지반변위이다. 유효응력개념과 Hooke법칙으로부터다음의평형방정식이얻어진다. G ξ -------------- G ----- ----- ξ χ ----- P ------ 1 µ x x x G χ -------------- G ---- ----- ξ χ ----- P ------ 1 µ x 여기서, G는흙의전단탄성계수, µ 는흙의 Poisson비이다. 해저지반내연직깊이의함수인간극수압의응답에서연직방향으로는위상차가발생되지않는것으로알려있다 ( 예로, Yamamoto et al., 1978). 따라서, 일정수심상에서선형규칙진행파만이존재하는경우진동간극수압을한주기에걸쳐평균하면 0으로주어지고, 간극수압에서잔류성분만이존재하게된다. 해저지반내잔류간극수압은수평위치와관련된시간의위상차를제외하면동일한연직깊이인다른수평위치에서동일하므로해저지반내잔류간극수압의변동은일정수심상의선형규칙진행파에한정하면 1차원문제로고려될수있고, 따라서식 (1)~(3) 은다음과같이주어진다. ρgn ζ ------------- P ------ K t ρg ----- χ P --------- -------- K t G ------------- 1 µ χ P ------- ------ 1 µ 식 (4) 와 (5) 으로부터 χ를소거한결과식을 z에관하여적분하면다음의식이도출된다. P ------ c P t v -------- s 식 (6) 이통상지진압밀방정식으로불리며, s는적분상수로후술하는잔류간극수압의원천항 (source term) 과연관되고, c v 는압밀계수로다음과같이주어진다. c v GK ------- -------------------------------------------------------- 1 ( µ ) ρg ( 1 µ ) n ζ G( 1 µ ) 다음으로, 식 (6) 을파의한주기 에걸쳐시간평균하면잔류간극수압에대한다음과같은지배방정식이얻어진다. () (3) (4) (5) (6) (7)
진행파동장하해저지반내잔류간극수압의해석해 161 ----- u u c t v ------- f (8) k 0 의밀도, 는정지토압계수이다. 여기서, u는잔류간극수압, f는잔류간극수압의원천항으로, 각각다음과같이각각정의된다. 1 u -- t P d t t f 1 -- t s d t t (9) (10) 간극수압의축적, 즉잔류간극수압의거동에대한해석해를도출하는문제는식 (8) 의해석해를유도하는것으로귀착되고, 따라서다음과같은경계및초기조건을부과할수있다 (McDougal et al., 1989). u( 0, t) 0 u ----------------- ( ht, ) 0 uz0 (, ) 0 (11) (1) (13) 여기서, h는해저면상에서해저지반하의불투수층까지지반두께를나타내며, 식 (11) 과 (1) 는각각해저면상 z 0에서잔류간극수압이 0이고, z h의불투수층을통한흐름이없다는것을의미하며, 식 (13) 은초기조건으로잔류간극수압의초기분포가 0이라는것을나타낸다..1. 잔류간극수압의원천항잔류간극수압의해석해를유도한 McDougal et al. (1989), Cheng et al. (001) 및 Jeng et al. (006) 은잔류간극수압의원천항이지진시간극수압의발달과유사하게전개될수있는것으로가정하고, 단순전단에서하중반복횟수와잔류간극수압의발달관계를도출한 de Alba et al. (1976) 에의한실험관계식, 잔류간극수압의발생비와반복비사이에 Seed et al. (1975) 에의한관계식및액상화에대한반복횟수와반복전단응력비사이에 Seed and Rahman (1978) 에의한관계식등을적용하여다음과같은잔류간극수압의원천항을제시하고있다. σ f 0 τ ------ ---------- ασ 0 1 (14) 여기서, α와 는흙의종류와상대밀도의함수인무차원계수, τ 는해저지반내에서최대전단응력으로진동간극수압의해석으로부터산정될수있고, σ 0 는유효상재하중으로다음의식으로주어질수있다. σ 0 ρ sub gz 1 k 0 --------------- 3 (15) 여기서, ρ sub ρ s ρ 으로흙의수중질량중량이며, ρ s 는흙.1.3 진행파동장하전단응력 Fig. 1에나타내는바와같이수심 d, 파장 L 혹은주기 및파고 H를갖는선형규칙진행파로인하여지반두께 h를갖는해저지반내에서발생되는최대전단응력은진동간극수압의해석으로부터다음과같이주어질수있다 ( 예로, Yamamoto et al., 1978). τ() z A 1 e kz A e kz A 3 ze kz A 4 ze kz A 5 e kδz A 6 e kδz (16) 여기서, A j ( j 1~6) 는진동간극수압의해석으로부터산정되는복소미정계수, k는진행파의파수, δ 는다음의식으로정의되는복소계수이다. δ 1 i-------- ω c v k 여기서, ω 는진행파의각주파수를나타낸다.. 해석해의유도 (17) 유한두께를갖는해저지반에대해경계치문제는식 (8) 과 (11)~(13) 으로주어진다. 잔류간극수압의원천항은시간과는무관한항이기때문에잔류간극수압 u를시간과무관한항 u 1 과시간의함수인항 u 와의합으로다음과같이나타낸다. uzt (, ) u 1 () z u ( zt, ) (18) 식 (18) 을고려하면경계치문제에관한식 (8) 과 (11)~(13) 은다음과같이재구성된다. u c 1 () z v ---------------- fz () u 1 ( h) --------------- 0 u ( zt, ) u ------------------ c ( zt, ) t v -------------------- u ( ht, ) ------------------- 0 u ( 0, t) u 1 ( 0) u 1 () z u ( z, 0) 0 (19) (0) (1) () (3) (4)..1 유한두께의해저지반에대한해석해 u 1 () z 에관하여 f() z 를주기 4h인기함수의변화를고려한 Fourier급수전개법과열전도방정식의형으로주어지는 u () z 에변수분리법을적용하여식 (19)~(4) 로부터유한두께의해저토층내잔류간극수압에관한해석해를산정하면다음과같이도출될수있다.
16 이광호 김동욱 김도삼 김태형 김규한 류흥원 uzt (, ) a n sin k n --- z 1 exp cv k --- n t h h n 1 여기서, a n 과 k n 은다음의식으로주어진다. a n h h -------- f()sin z k n --- z dz c v k 0 n h ( n 1)π k n --------------------- (5) (6) (7) 한시간에서는다음의식으로나타난다. u( zt, ) a ------ c zh 1 3 --z v (33)..3 무한 ( 깊은 ) 두께의해저지반에대한해석해 h L>1/인무한 ( 깊은 ) 두께의토층에서전단응력을다음과같이나타낼수있다 ( 예로, Yamamoto et al., 1978). 식 (5) 는 Cheng et al. (001) 과 Jeng et al. (006) 에의한결과와동일하지만, McDougal et al. (1989) 의결과와는유사하다. 무한시간에서는다음의식으로나타난다. uzt (, ) a n sin k n --- z h n 1 (8).. 얕은두께의해저지반에대한해석해 h L<1/0 (L은진행파의파장 ) 인얕은두께의토층에서전단응력은다음의식에나타내는바와같이해저표면상에서 0 을갖고연직깊이의증가와더불어거의선형적으로증가하는것으로알려져있다 ( 예로, Yamamoto et al., 1978). τ mp 0 z (9) 여기서, p 0 는해저표면상에서파로인한최대동압을나타내며, 계수 m은식 (16) 과 (9) 를등치하고, 토층의전연직깊이에대해적분하면 (McDougal et al., 1989; Jeng et al., 006) 다음과같이얻어진다. m ----------------- [ A δk h 1 kδ( e kh 1) A kδ( e kh 1) A 3 δ{ khe kh ( e kh 1) } p 0 (30) A 4 δ{ khe kh ( e kh 1) } A 5 ke ( kδh 1) A 6 ke ( kδh 1) ] 한편, 식 (14) 에 (15) 과 (9) 의결과를대입하면잔류간극수압의원천항은다음과같이주어진다. f() z ρ sub g( 1 k 0 ) -------------------------------- 3 3mp ------------------------------------ 0 αρ sub g( 1 k 0 ) 1 z (31) 식 (18)~(4) 에 (31) 을고려하고, Fourier급수전개법및변수분리법을적용하여얕은토층에관한잔류간극수압의해석해를산정하면다음과같이얻어질수있다. uzt (, ) τ p 0 kze kz (34) 식 (34) 과 (15) 를 (14) 에대입하여다음의관계식을나타낼수있다. f() z -- 1 p ------- 0k 1 ρ sub g( 1 k 0 ) -------------------------------- α 3 다음과같은무차원변수를도입한다. Z z -- h c v t ----- h c U v ---------------- p 0 k --------------- 1 1 k --------------- 0 1 ρ sub gh 3 αρ sub g 3 1 1 ze kz 1 u (35) (36) (37) (38) 식 (36)~(38) 을 (18)~(4) 에적용하면다음과같이무차원화된지배방정식과경계조건을나타낼수있다. U 1 ( Z) ------------------- Ze ΛZ Z (39) U 1 ( Z) ---------------- 0 Z on Z 1 (40) U ( Z, ) U ---------------------- ( Z, ) ------------------------ Z (41) U ( Z, ) ---------------------- 0 Z U( 0, ) 0 on Z 1 (4) (43) UZ0 (, ) 0 (44) 여기서, Λ kh 로무차원파수를나타낸다. U 1 ( Z) 의해석에 Fourier 급수전개법과 U ( Z, ) 의해석에변수분리법을각각적용하여경계조건을만족하는 UZ (, ) U 1 ( Z) U ( Z, ) 의해를산정하면다음과같이주어질수있다. ------ a c zh 1 3 --z v 4h 3 ( ----------- 1)n sin k n --- z k 4 k n h exp n cv --- h t n 1 (3) UZ (, ) F sink n nz[ 1 exp( k n ) ] n 1 (45) 식 (3) 는 Jeng et al. (006) 의결과와동일하고, McDougal et al. (1989) 와는유사하지만, 본계산에서 McDougal et al. (1989) 의결과를수정 확장한결과이다. 무 F n 여기서, 계수은다음과같이주어진다. F n --- k n ( 1) n 1 e Θ ----------------------- k n Θ k --------------- Θ n Θ k n Θ ---------------------- k n Θ ( k n Θ ) (46)
진행파동장하해저지반내잔류간극수압의해석해 163 여기서, Θ Λ 이다. 식 (45) 와 (46) 은 McDougal et al.(1989) 의무차원과정에서지적된오류를수정하여새롭게산정된결과이며, 차원량으로나타내면다음의식과같다. uzt (, ) n 1 (47) 무한시간에서잔류간극수압은식 (47) 로부터다음과같이주어질수있다. uzt (, ) sin k n --- z h (48) 이상의무한 ( 깊은 ) 지반에대해산정된잔류간극수압의결과는 Laplace변환법으로부터얻어진 Jeng et al. (006) 와 Jeng and Seymour (007) 의결과와는전혀다른형태의식이며, 이에대해서는후술한다. 3.1 검증 ρ sub gh 3 ---------------- p 0 k --------------- 1 1 k 0 c v αρ sub g --------------- 1 1 3 F n sin k n --- z h k 1 exp n cv --- t h ρ sub gh 3 ---------------- p 0 k --------------- 1 1 k --------------- 0 1 1 c v αρ sub g 3 3. 해석결과 F n n 1 Fig. 는 able 1에나타내는파랑조건과지반물성치를적용하여무한시간에서 Cheng et al. (001) 의수치해와해석해및본해석해의결과를비교한것이다. 여기서, Fig. (a) 는 h L<1/0의조건을만족하는얕은두께의토층, (b) 는 1/ 0< h L<1/의조건을만족하는유한두께의토층, (c) 는 h L>1/의조건을만족하는깊은두께의토층에대한결과로각각은유한두께의토층에대해전개된해석해에각토층의조건을적용하여산정한것이며, 따라서본연구에서제시하는얕은및무한 ( 깊은 ) 토층에대한해석해의식 (33) 과 (48) 로부터추정된결과가아니다. 여기서, Cheng et al. (001) 은유한두께의토층에대해서만해석해와수치해를제 시하고있고, 본연구와같은얕은및무한 ( 깊은 ) 토층에대한해석해를제시하고있지않다. 그림으로부터모든두께의토층에서해저지반내연직깊이가깊어질수록잔류간극수압이증가하고, 해저불투수층에서잔류간극수압의기울기가 0으로주어지며, 셋해석결과에서연직깊이의변화에따른잔류간극수압의변화특성이완전히일치하므로본해석해의타당성을검증할수있다. 다음의 Fig. 3은 able 에서제시된계산조건으로수행된무한시간에서 Jeng et al. (006) 과본연구의해석해에의한결과및 Clukey et al. (1983) 에의한실험결과를각각비교한것이며, 토층의두께가 0.< h L<0.3의범위에있으므로두해석해에서는유한두께의토층에대한결과식이각각적용되었다. Jeng et al. (006) 과본연구에서제시한유한두께의토층에관한해석해의결과가동일하므로그림으로부터두해석해의결과가거의동일하다는것을알수있 able 1 Wave and soil conditions Waves and soil thickness Values Wave period (s) 1.76 Wave height H(m) 0. Water depth d(m) 0.5 Soil thickness h(m) 0.088 0.84 1.73 Poisson's raio µ 0.49 Porosity n 0.46 Shear modulus G(kN/m ) 560 Permeability (m/s) 4.0 10-8 Compressibility of pore-water ζ 0 Unit weight of soil γ s (N/m 3 ) 18,306 Unit weight of water γ w (N/m 3 ) 9,806 Coefficient of lateral earth pressure k 0 0.4 Consolidation coefficient c v (m/s ) 1.157 10-4 α 0.46-0.165 Fig.. Comparison of analytical and numerical solutions of residual pore-water pressure.
164 이광호 김동욱 김도삼 김태형 김규한 류흥원 Fig. 3. Comparison of analytical and experimental solutions of residual pore-water pressure. able. Wave and soil conditions Waves and soil thickness CASE-1 CASE- Wave period (s) 1.76.0 Wave height H(m) 0. 0.1 Water depth d(m) 0.5 Soil thickness h(m) 0.84 Poisson's raio µ 0.49 Porosity n 0.46 Shear modulus G(kN/m ) 5.6 10 5 Permeability (m/s) 4.0 10-8 Compressibility of pore-water ζ 0 Unit weight of soil γ s (N/m 3 ) 18,306 Unit weight of water γ w (N/m 3 ) 9,806 Coefficient of lateral earth pressure k 0 0.4 Consolidation coefficient c v (m/s ) 0.0001165 α 0.46-0.165 다. 그리고, 실험결과와비교하면해저지반내연직깊이가깊어질수록잔류간극수압이증가하는경향은일치하지만, Fig. 3(a) 의경우는 (b) 보다해석해에의한결과와실험결과에서차이가다소크고, 전체적으로실험치가크게나타나는것을알수있다. 이것은 Fig. 3(a) 의파형경사가더크며, 따라서파의비선형성에더큰영향을받은것으로추정된다. 또한, 지반의비등방성과소성거동및지반내간극수의 non- Darcy 흐름등을고려하면본해석해의유도과정에서도입된이론의범주내에서는합리적인일치성을나타내는것으로판단된다. 3. 얕은두께 able 1의조건을사용하여본유한두께에관한식 (8) 과얕은두께에관한 (33) 으로부터산정된결과를각각 Fig. 4(a) 와 4(b) 에도시한다. 그림에서적용된지반두께는각각 h 3cm, 5cm, 7cm 및 8.8cm의경우로모두 h L<1/0인얕은두께의해저지반조건에상당한다. 일반적으로유한두께에관한식 (8) 에서지반두께를극한적으로작게하면얕 Fig. 4. Residual pore-water pressure head.
진행파동장하해저지반내잔류간극수압의해석해 165 은두께에관한식 (33) 의결과로수렴될것으로추정될수있으며, 이러한사실을 Fig. 4로부터확인할수있다. 즉, 그림에서 h 8.8cm 7cm 5cm 3cm로지반두께가점점작아질수록두결과에서차이가점점줄어들고, h 3cm 와 5cm의경우는두결과가거의일치한다. 따라서, 유한두께에관한식 (8) 에서잔류간극수압의응답은지반두께를작게하면점근적으로극한상태의 (33) 에서잔류간극수압의응답에접근된다는것을확인할수있다. 그리고, Fig. 4(a) 와 (b) 의두결과로부터해저지반내연직깊이가깊을수록, 또한지반두께가두꺼울수록잔류간극수압에의한압력수두가증가한다는사실을알수있다. 3.3 무한 ( 깊은 ) 두께다음에나타내는 Fig. 5는유한두께의해저지반에관한식 (8) 에 able 1의파랑및지반조건을적용하여잔류간극수압에의한압력수두를도시한결과이다. 그림에서는 h L>1/ 인조건을만족하는여러종류의지반두께를적용하여지반두께의변화에따른해석해의거동을나타낸다. 여기서, 지반두께가두꺼워질수록잔류간극수압에의한압력수두가증가하고, 어떤연직깊이이하에서는균등한값을나타내며, 균등한압력수두가나타나는연직깊이는지반두께가두꺼워질수록깊어진다는것을알수있다. 한편, 식 (8) 에서 able 1의조건하 h L>13 cm의경우는해석해가발산하여결과가산정될수없으며, 이의경우는무한 ( 깊은 ) 두께의해저지반에관한식 (48) 로부터추정되어야한다. able 1의조건하에이를나타낸것이 Fig. 6의결과이다. Fig. 6(a) 로부터 h 173 cm, 13 cm의결과가식 (8) 에의한 Fig. 5의결과와는달리보다큰값을가진다는것을알수있다. 이로부터유한두께에관한식 (8) 로부터무한두께인 (48) 으로의점근적인접속이불가능하며, 두식에의한결과사이에두식으로부터얻어질수없는불연속의어떤영역이존재한다는것을알수있다. 따라서, 무한 ( 깊은 ) 두께의해저지반에관해서는식 (34) 와는다른보다합당한전단응력으로부터새로운추정식이산정될필요가있는것으로판단된다. 다음으로, 연직깊이를차원량으로나타낸 Fig. 6(b) 로부터지반두께와의관계없이동일한잔류간극수압의수두가얻어진다는것을확인할수있고, 무차원량으로나타낸 Fig. 6(a) 에서차이를나타내는것은무차원화로적용되는지반두께 h의값이다르기때문이다. 한편, Jeng and Seymour (007) 은무한두께의해저지반에서경계조건식 (1) 대신에다음과같은경계조건을부과하고있다. u(, t) 0 (49) Fig. 5. Residual pore-water pressure head by Eq. (8) for finite soil thickness of this study. 따라서, 무한지반에대해식 (11), (13) 및 (49) 을만족하는 (8) 의해로 Laplace변환법을적용하여다음의해석해를제시하고있다. Fig. 6. Residual pore-water pressure head obtained by Eq. (48) for deep soil thickness of this study.
166 이광호 김동욱 김도삼 김태형 김규한 류흥원 uzt (, ) e rc v λ t --------- A 1 ----- λz 1 λz c v λ 3 e 1 -- π ------------------ sin( rλz)dr 0 rr ( 1) (50) 여기서, λ k 이고, A는다음의식으로정의된다. ρ A sub g( 1 k 0 ) -------------------------------- 3 3p 0 k ------------------------------------ αρ sub g( 1 k 0 ) 1 (51) 식 (50) 에서 t 의경우우변의반무한적분항은 0으로수렴되기때문에정상상태의잔류간극수압은다음의식으로표현될수있다. uz () ---------1 A λz ----- 1 λz e c v λ 3 (5) e λz 0 식 (5) 에서 z 에서이므로 극한치는다음의 식으로나타난다. A u( ) --------- c v λ 3 (53) 여기서, 식 (53) 은 Jeng and Seymour (007) 의경계조건식 (49) 를만족하지않는모순점이나타난다. 한편, 무한 ( 깊은 ) 두께의해저지반에대해동일한잔류간극수압의해석해를나타내는 Jeng et al. (006) 에서는식 (49) 대신에다음의경계조건을부과하고있다. u( ht, ) ----------------- 0 or u(, t) 0 (54) 식 (50) 은 (54) 의첫번째경계조건을만족하므로 Jeng and Seymour (007) 에의한경계조건식 (49) 는오류로판단된다. 다음의 Fig. 7에나타내는결과는식 (5) 에나타낸 Jeng and Seymour (007) 의해석해로부터진행파의주기를파라미터로산정된잔류간극수압의압력수두를나타내고있다. 그림으로부터진행파의주기 1.76s에서가장큰값을나타내고, 그이후주기가증가하면역으로값의크기가감소한다. 따라서, 진행파의주기와잔류간극수압은선형관계로주어지지않고, 잔류간극수압이최대로되는어떤주기가존재한다는것을알수있다. 다음으로, 진행파주기 1.76s로고정된본해석해에의한 Fig. 6의결과와 Jeng and Seymour (007) 의식 (5) 에의한 Fig. 7의결과중에진행파 주기 1.76s의결과를비교하면두결과는완전히동일하다는것을확인할수있다. 따라서, 무한두께의해저지반에대해새롭게산정된본연구의해석해식 (47) 및 (48) 은 Jeng and Seymour (007) 에의한해석해식 (50) 및 (5) 와동일한잔류간극수압을나타낸다. 이로부터본연구의결과는 Jeng et al. (006) 에의해지적된 McDougal et al. (1989) 에서의오류를수정하여재산정된해석해인것으로판정된다. 여기서, 본해석해의식 (47) 과 (48) 에포함된지반두께 h는계산과정에서소거되어연직깊이에따른잔류간극수압의값에는영향을미치지않는다는것을 Fig. 6(b) 로부터알수있다. Fig. 7. Residual pore-water pressure head obtained from Eq. (5) presented by Jeng and Seymour (007) for deep soil thickness. 4. 맺음말 본연구에서는 Fourier급수전개법과변수분리법을적용하여 Jeng et al. (006) 에의해지적된 McDougal et al. (1989) 에서의오류를수정한얕은, 유한및무한 ( 깊은 ) 두께의해저지반에서잔류간극수압을나타내는해석해를재산정하였다. 특히, 무한 ( 깊은 ) 두께의경우는 Laplace변환법에의한 Jeng and Seymour (007) 의해석해와의비교 검토및유한두께의경우는기존의해석해, 수치해석및실험결과와의비교 검토로부터본해석해의정당성을확인할수있었다. 여기서, 무한 ( 깊은 ) 두께의본해석해는 Jeng and Seymour (007) 의해석해보다는수치적분등이수행될필요가없는보다간단한식으로판단된다. 또한, 본연구및기존의연구에서유한두께의해석해에지반두께의극한적으로작게한경우얕은두께로점근적인접근은가능하지만, 지반두께의극한적으로크게한경우무한두께로의접근은불가능하며, 따라서유한두께와무한두께의사이에는불연속적인영역이존재한다는것을알수있었다. 이에대한하나의대책으로식 (34) 에나타낸전단응력에 e kz 와 e kδz 의항을부가한새로운전단응력의추정식으로부터잔류간극수압을재추정할필요가있을것으로판단된다. 감사의글 이연구는해양수산부 / 한국해양과학기술진흥원의연구과제 (PJ00538) 로수행된연구임. References Biot, M. A.(1941). General theory of three-dimensional consolidation, J. Applied Physics, 1, 155-164.
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