3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로

3.2 함수의정의 Theorem 6 함수 f : X Y 와 Y W 인집합 W 에대하여 f : X W 는함수이다. Proof. f : X Y 가함수이므로 f X Y 이고, Y W 이므로 f X W 이므로 F0이만족된다. 함수의정의 F1, F2은 f : X Y 가함수이므로성립한다. Theorem 7 두함수 f : X Y 와 g : X Y 에대하여, f = g f(x) = g(x) for all x X Proof. f = g 를가정하자. 그러면임의의 x X 에대하여 y = f(x) (x, y) f (x, y) g y = g(x) 따라서, f(x) = g(x). 역으로, 모든 x X에대하여 f(x) = g(x) 라하자. 그러면 (x, y) f y = f(x) y = g(x) (x, y) g 따라서 f = g. Theorem 8 두함수 f : A C, g : B D에서정의역의교집합 A B 의임의의원소 x에대하여 f(x) = g(x) 일때 f와 g의합 f g는다음과같이정의된함수 h = f g : A B C D와같다. 여기서 { f(x) x A h(x) = g(x) x B Proof. f 와 g 가함수이므로 f A C, g B D 이므로 h = f g (A C) (B D) (A B) (C D) 1

따라서 F0을만족한다. 모든 x A B 에대하여 h(x) 는정의된다. 즉, F1을만족한다. 이제 F2를확인하자. x A B이면다음의세경우가있다. (1) x A B (2) x B A (3) x A B (1) 의경우 h(x) = f(x) 이므로 F2를만족하고, (2) 의경우 h(x) = g(x) 이므로 F2를만족한다. (3) 의경우 f(x) = g(x) 이므로 F2를만족한다. 즉, h는 F2를만족한다. Exercise 정의역과공역이같은두함수 f : X Y, g : X Y 에대하여, f g 이면 f = g임을증명하여라. Proof. Theorem 7을이용하여증명한다. 임의의 x X에대하여 y = f(x) 라하자. 그러면, f g이므로 (x, y) f = (x, y) g = y = g(x) 따라서모든 x X에대하여 f(x) = g(x) 이다. 즉, Theorem 7에의하여 f = g. 3.3 단사, 전사, 전단사함수 Exercises 1. f : A B 가단사함수이고 C A 일때, 제한함수 f C : C B 가 단사함수임을보여라. 2

풀이. f C (x 1 ) = f C (x 2 ) = f(x 1 ) = f(x 2 ) (f C 의정의 ) = x 1 = x 2 (f 는 injective( 단사 )) 2. 집합 A 에대하여 f = {(x, (x, x)) x A} 라하면, f : A I A 는전단사함수임을보여라. 풀이. 항등함수의정의는 I A = {(x, x) x A} 이고함수 f 는다음과같이정의된다. f(x) = (x, x) for all x A (1) f 가단사함수임을보이자. f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 1 ) = (x 1, x 1 ) = (x 2, x 2 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ( 순서쌍의정의 ) (2) f 가전사함수임을보이자. 임의의 (x, x) I A 에대하여, I A, x A의정의에의하여 x A. f의정의에의하여 f(x) = (x, x). 따라서, 모든 (x, x) I A 에대하여, f(x) = (x, x) 인 x A가존재한다. 3. 두함수 f : A B, g : C D에대하여, 두함수의곱f g : A C B D을다음과같이정의한다. f g(x, y) = (f(x), g(y)) for every (x, y) A C 3

(1) f g : A C B D 가함수임을증명하여라. (2) f 와 g 가단사 ( 전사 ) 함수면, f g 도단사 ( 전사 ) 함수임을보여라. 풀이. (1) F0. f : A B 와 g : C D 가함수이므로 f A B, g C D = f g (A B) (C D) = (A C) (B D) F1. f : A B와 g : C D 가함수이므로, 임의의 x A, y C에대하여, f(x) B, g(y) D가각각존재한다. 그러면 (f(x), g(y)) B D이고 f g(x, y) = (f(x), g(y)). F2. f : A B와 g : C D 가함수이므로, (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) 이면 (f(x 1 ), g(y 1 )) = (f(x 2 ), g(y 2 )). 따라서 f g 는함수이다. 4. 자연수집합 N과짝수의집합사이에일대일대응이존재함을보여라. 풀이. f : N {n N n = 2k for some k N} 을다음과같이정의하자. 모든 n N에대하여, f(n) = 2n. 그러면 f는전단사함수이다. 5. 자연수집합 N과홀수의집합사이에일대일대응이존재함을보여라. 풀이. f : N {n N n = 2k 1 for some k N} 을다음과같이정의하자. 모든 n N에대하여, f(n) = 2n 1. 그러면 f는전단사함수이다. 6. 집합 A와 B는각각 a, b개의원소를지닌집합일때, a > b이면, 두집합 A, B 사이에단사함수는존재하지않음을보여라. 풀이. a > b이므로처음 b개의원소는집합 B의원소와대응시키면남아있는원소는이미대응된원소와대응된다. 따라서단사함수가될수없다. 4

7. 위문제에서 a b 이면, 두집합 A, B 사이에단사함수의갯수는 a! (b a)! 임을설명하여라. 3.4 집합의상과역상 Theorem 9 함수 f : X Y 에대하여, A, B가 X의부분집합일때, A B = f(a) f(b) C, D 가 Y 의부분집합일때, C D = f 1 (C) f 1 (D) Proof. y f(a) = y = f(a), a A = y = f(a), a B ( 가정 A B) = y f(b) x f 1 (C) = f(x) C = f(x) D ( 가정 C D) = x f 1 (D) Theorem 10 함수 f : X Y 에대하여, {C i } 은 X 의부분집합족 이고 {D i } 은 Y 의부분집합족이라할때, 다음의관계가성립한다. (1) f( C i ) = (2) f( C i ) 5

(3) f 1 ( D i ) = f 1 (D i ) 따라서 (4) f 1 ( D i ) = f 1 (D i ) Proof. (1) y f( C i ) y = f(x) for some x C i y = f(x) for some x C i, for some i I y for some i I y f( C i ) = (2) 모든 i I 에대하여 C i C i 이므로정리 9 에의하여 f( C i ) for all i I 따라서 (3) f( C i ) 따라서 x f 1 ( D i ) f(x) D i f(x) D i for some i I x f 1 (D i ) for some i I x f 1 (D i ) f 1 ( D i ) = f 1 (D i ) (4) (3) 의증명에서 을 로바꾸고, for some 을 for all 로바꾸면된다. 6

Exercise 함수 f : X Y 가단사함수이면 f( C i ) = Solution. 정리 10의 (2) 에서 f( C i ) f(c i) f( C i ) 을보이면된다. 는증명되었으므로 y = y for all i I 그러면 y = f(x i ), for all x i C i. 가정에서 f : X Y 가단사함수이므로 x i 들은모두같다. 이를 x 0 라하면 x 0 C i for all i I. 따라서 y = f(x 0 ), = y = f(x 0 ), 따라서 f( C i ). = y f( C i ) x 0 C i for all i I x 0 C i Exercise 함수 f : X Y 에대하여, B 와 C 가 Y 의부분집합일때, f 1 (B C) = f 1 (B) f 1 (C) Solution. x f 1 (B C) f(x) B C f(x) B and f(x) / C x f 1 (B) f 1 (C) 그러므로 x f 1 (B C) x f 1 (B) f 1 (C). 따라서 f 1 (B C) = f 1 (B) f 1 (C) 7

3.5 함수의합성과역함수 Theorem 13 함수 f : X Y 가전단사함수이면, f 1 : Y X도전단사함수이다. Proof. 1. f 1 : Y X는함수임을보이자. f X Y 이므로, 역그래프의정의에의하여 f 1 Y X이다. 따라서 F 0 을만족한다. f : X Y 가전단사함수이므로임의의 y Y 에대하여 x X가유일하게존재하여 (x, y) f 이다. 따라서 (y, x) f 1. 즉, F 1 이만족된다. F 2 가성립함을보이기위하여 (y, x 1 ) f 1 and (y, x 2 ) f 1 = (x 1, y) f and (x 2, y) f = y 1 = y 2 2. f 1 : Y X 가단사함수임을보이자. f 1 (y 1 ) = x = f 1 (y 2 ) = y 1 = f(x) = y 2 = y 1 = y 2 3. f 1 : Y X가전사함수임을보이자. x를 X의임의의원소라하자. 그러면 f(x) = y Y 이므로 x = f 1 (y). Theorem 14 함수 f : X Y 가가역함수이면, f : X Y 는전단사함수이다. Proof. 1. f : X Y 는단사함수이다. f(x 1 ) = y = f(x 2 ) = (y, x 1 ) f and (y, x 2 ) f = (x 1, y) f 1 and (x 2, y) f 1 = x 1 = x 2 8

위의마지막 = 은 f 1 이함수이므로성립한다. 2. f : X Y 는전사함수이다. 임의의 y Y 에대하여, f가역함수 f 1 을가지므로 f 1 (y) = x임 x X가존재한다. 더우기 y = f(x) 를만족하므로 f : X Y 는전사함수이다. Theorem 15 함수 f : X Y 가가역함수이면, f 1 f = I X and f f 1 = I Y Proof. f : X Y 가역함수 f 1 : Y X 를가지므로 y = f(x) x = f 1 (y) 따라서 이고 (f 1 f)(x) = f (f(x)) = f 1 (y) = x = I X (x) (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)) = f(x) = y = I Y (y) Theorem 16 두함수 f : X Y 와 g : Y X에대하여 g f = I X 이고 f g = I Y 가성립하면, f : X Y 는전단사함수이고, g = f 1 이다. Theorem 17 f : X Y 가단사함수이면, g f = I X 를만족하는함수 g : Y X가존재한다. 역으로, g f = I X 를만족하는함수 g : Y X가존재하면, f : X Y 가단사함수이다. Theorem 18 두함수 f : X Y, g : Y X에대하여 (1) f와 g가단사함수이면, g f도단사함수이다. (2) f와 g가전사함수이면, g f도전사함수이다. (3) f와 g가전단사함수이면, g f도전단사함수이다. 9

Proof. (1) (g f)(x 1 ) = (g f)(x 2 ) = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )). g가단사함수이므로 f(x 1 ) = f(x 2 ) 이고 f가단사함수이므로 x 1 = x 2 이다. 따라서 g f는단사함수이다. (2) 임의의 x X에대하여 g : Y X가전사함수이므로, g(y) = x를만족하는 y Y 가존재한다. 또한, f : X Y 가전사함수이므로 y에대하여 f(x 0 ) = y를만족하는 x 0 X가존재한다. 따라서 (g f)(x 0 ) = g(f(x 0 )) = g(y) = x 이므로 g f도전사함수이다. (3) (1) 과 (2) 에의하여 f와 g가전단사함수이면, g f도전단사함수이다. Exercise 1. 함수 f : X Y 에대하여, I Y f = f 이고 f I X = f 임을증명하여라. Solution. 항등함수의정의와 6 쪽의 Theorem 7 에의하여 (I Y f)(x) = I Y (f(x)) = f(x) (f I X )(x) = f(i X (x)) = f(x) 2. 두함수 f : X Y, g : Y X 에대하여, g f 가단사함수이면 f 가 단사함수임을보여라. Solution. g : Y X 가함수이고, g f 가단사함수이므로 f(x 1 ) = f(x 2 ) = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = (g f)(x 1 ) = (g f)(x 2 ) = x 1 = x 2 10

3. 두함수 f : X Y, g : Y X에대하여, g f가전사함수이면 g가전사함수임을보여라. Solution. g f : X X가전사함수이므로, 임의의 x X에대하여 (g f)(x 0 ) = x를만족하는 x 0 X가존재한다. y 0 = f(x 0 ) 라하면 y 0 Y 이고 g(y 0 ) = g(f(x 0 )) = x를만족하므로 g가전사함수이다. 4. 두함수 f : X Y, g : Y X에대하여, g f가전단사함수이면 f가단사함수, g는전사함수임을보여라. Solution. g f 가전단사함수이면, g f 가단사 ( 전사 ) 함수이므로, 2(3) 에의하여 f(g) 는단사 (, 전사 ) 함수이다. 5. f가단사함수, g는전사함수이지만 g f가전단사함수가아닌예를하나들어보아라. Solution. X = {1, 2}, Y = {1, 2, 3} 라하자. f : X Y 는 f(1) = 1, f(2) = 3으로정의하고 g : Y X를 g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 1로정의하면 (g f)(1) = (g f)(2) = 1이되어 g f가전단사함수가아니다. 11