수 학 기본 실 력 100% 충전 개념 충전 수능 기초 연산서 고등 수학 (하) [정답 및 해설] 01-56수력충전 수학(하)-해설_ok.indd 오후 3:47

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1 수 학 기본 실 력 100% 충전 개념 충전 수능 기초 연산서 고등 수학 (하) [정답 및 해설] 01-56수력충전 수학(하)-해설_ok.indd 오후 3:47

2 Ⅰ 집합과명제 Ⅰ 1 집합 pp.10~37 3) A ={x x는 30 이하의 4의양의배수 } ={4, 8, 1, 16, 0, 4, 8} 이므로 n(a)=7 B ={x x는 3보다작은 5의양의약수 }={1} 이므로 n(b)=1 01 답 1) _ ) 3) 4) 5) _ 6) 7) _ 8) _ 9) 10) _ n(b)-n(a)=1-7=-6 06 답유한집합, 무한집합 0 답 1) 해설참조 ) A={, 4, 6} 07 답 1), ) < 3), 4) < 5), 1) 3) A={x x는 8보다작은 의양의배수 } 08 답 1) ² ), 3) ø 4) ² 5) < 6), 09 답 1) _ ) _ 3) _ 4) 5) _ 6) _ 03 답집합, 원소, 원소나열법, 조건제시법, 공집합 04 답 1) 무한집합 ) 유한집합 3) 유한집합 4) 무한집합 5) 무한집합 6) 유한집합 7) 유한집합 8) 유한집합 9) 무한집합 10) 유한집합 1) {, 4, 6, 8, y} : 무한집합 ) {1,, 4, 8} : 유한집합 3) {6, 7, 8, 9} : 유한집합 4) {6, 1, 18, 4, y} : 무한집합 5) {1, 3, 5, 7, 9, y} : 무한집합 6) 보다작은소수는없으므로 z : 유한집합 8) 외에소수중짝수는없으므로 z : 유한집합 9) {, 3, 5, 7, 11, y} : 무한집합 10) {5, 10, 15, 0, y, 95} : 유한집합 05 답 1) ) 3) -6 1) A={1, 3, 5, 7, 9} 에서 n(a)=5 B ={x x는 50보다작은 7의양의배수 } ={7, 14, 1, 8, 35, 4, 49} 이므로 n(b)=7 n(b)-n(a)=7-5= ) A={1,, 4, 8} 에서 n(a)=4 B ={x x는 0 이하의 3의양의배수 } ={3, 6, 9, 1, 15, 18} 이므로 n(b)=6 n(b)-n(a)=6-4= 1) 1<A 또는 {1},A 10 답 1) _ ) _ 3) 4) 5) 3), 4) {1. } 가집합 A의원소이므로 {1, }<A 또, {1, } 가집합 A의두원소 1, 를모은집합도되므로 {1, },A 11 답 1) ) _ 3) 4) 5) 6) _ 4), 5) z가집합 A의원소가되므로 z<a, 또 z를공집합으로본다면 z,a 6) {, 3}<A 1 답ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ ㄱ. z은모든집합의부분집합이므로 z,a ㄴ, ㄷ, ㄹ. 집합 A는 z, {z} 을원소로가지므로 z<a, {z}<a, {{z}},a 따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 13 답 1) z, {1}, {}, {1, } ) z, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7} ) {x x는 이상 8 이하의홀수 }={3, 5, 7} 이므로부분집합은 z, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7} 정답및해설

3 14 답 {0}, {0, 1}, {0, }, {0, 1, } 원소 0을제외한 {1, } 의부분집합인 z, {1}, {}, {1, } 의각각에원소 0을넣으면 {0}, {0, 1}, {0, }, {0, 1, } 15 답 z, {1}, {}, {1, } 3, 4를제외한 {1, } 의부분집합을구하자. 16 답 {a}, {a, e}, {a, o}, {a, e, o} 원소 a, i, u를제외한 {e, o} 의부분집합인 z, {e}, {o}, {e, o} 에 a를각각넣으면 {a}, {a, e}, {a, o}, {a, e, o} 17 답 1) A,B ) AøB 3) A,B ) A={10, 5}, B={5, 10, 15} 이므로 AøB 3) A={1,, 8, 16}, B={1,, 4, 8, 16} 이므로 A,B 18 답 A,B 1 답 1) Y,X ) X,Y 3) Y,X 4) X,Y 5) X,Y 6) X,Y 1) X={3, 6, 9, 1, 15, y}, Y={1, 4, 36, y} 이므로 Y,X ) X={1,, 5, 10}, Y={1,, 4, 5, 10, 0} 이므로 X,Y 3) xû`=1 jk x=ñ1 X={-1, 1}, Y={-1} 이므로 Y,X 4) 1보다작은자연수는없다. X=z, Y={, 3, 5, 7, y} 이므로 X,Y 5) X,Y 6) 6의양의약수는 1,, 3, 6이다. X={1,, 3, 6}, Y={1,, 3, 6, 7} 이므로 X,Y x(x-1)(x-)=0 x=0 또는 x=1 또는 x= 따라서 B={0, 1, } 이므로 A,B 19 답 1) a=, b=1 ) a=1, b=3 3) a=-4, b=- 4) a=-8, b=-6 5) a=5, b=-6 3) -a=4, =-b이므로 a=-4, b=- 4) -3=a+5, -b=6이므로 a=-8, b=-6 5) -a+1=-4, -3=b+3이므로 a=5, b=-6 0 답 1) z, {6}, {7} ) z, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3} 3) z 4) z, {1}, {}, {4}, {1, }, {1, 4}, {, 4} 5) z, {}, {3}, {5}, {, 3}, {, 5}, {3, 5} 6) z, {1}, {}, {3}, {6}, {1, }, {1, 3}, {1, 6}, {, 3}, {, 6}, {3, 6}, {1,, 3}, {1,, 6}, {1, 3, 6}, {, 3, 6} 3) X={} 이므로 z 4) X={1,, 4} 이므로 z, {1}, {}, {4}, {1, }, {1, 4}, {, 4} 5) X={, 3, 5} 이므로 z, {}, {3}, {5}, {, 3}, {, 5}, {3, 5} 6) X={1,, 3, 6} 이므로 답 1) B,A=C ) B,A,C 3) B,A,C 4) C,A,B 1) 집합 A, B, C를원소나열법으로각각나타내면 A={-1, 0, 1}, B={x -1<x<1, x는정수 }={0}, C={x -1ÉxÉ1, x는정수 }={-1, 0, 1} B, A=C ) A={, 4, 6}, B={, 4}, C={1,, 3, 4, 5, 6, 7} 이므로 B,A,C 3) 집합 A, B, C를수직선위에나타내면다음과같다. B,A,C 4) 집합 A, B, C를수직선위에나타내면다음과같다. C,A,B z, {1}, {}, {3}, {6}, {1, }, {1, 3}, {1, 6}, {, 3}, {, 6}, {3, 6}, {1,, 3}, {1,, 6}, {1, 3, 6}, {, 3, 6} 3 답부분집합, A,B, 서로같다, A=B, 진부분집합 Ⅰ 집합과명제 3

4 4 답 1) 16 ) 4 3) 3 4) 8 5) 16 6) 8 1) 집합 A의원소의개수는 4이므로집합 A의부분집합의 개수는 4 = 16 ( 개 ) 이다. 4) 집합 A의원소는 z, a, b의 3개이므로부분집합의개 수는 Ǜ =8( 개 ) 이다. 5) 집합 A의원소는 {1},, 3, 4의 4개이므로부분집합 의개수는 Ý`=16( 개 ) 이다. 6) 집합 A의원소는 {1, }, 3, 4의 3개이므로부분집합 의개수는 Ǜ =8( 개 ) 이다. 5 답 1) 15 ) 3 3) 31 4) 7 5) 15 1) 집합 A의원소의개수는 4이므로집합 A의진부분집합 의개수는 Ý`- 1 = 15 ( 개 ) ) Û`-1=3( 개 ) 3) Þ`-1=31( 개 ) 4) Ǜ -1=7( 개 ) 5) Ý`-1=15( 개 ) 6 답 ⑴ n ⑵ n -1 7 답 1) 8 ) 3) 8 4) 4 5) 4 6) 8 7) 8 주어진집합 A, B를벤다이어그램으로나타내면오른쪽과같다. 1) A;B={, 5} ) A'B={, 5, 8, 9, 10} 31 답 {, 6} A={, 4, 6, 8}, B={1,, 3, 6} 이고주어진그림의색칠한부분은 A;B를나타낸다. 두집합 A, B에공통으로속하는원소는, 6이므로이것 을원소나열법으로나타내면 {, 6} 이다. 3 답 1) z ) A 3) A 4) A 33 답 1) ; ) ' 34 답 {e, f } A={a, b, c, d}, B={b, c, e, f } 이고주어진그림에서색칠한부분은 B에만속하는원소들을나타내므로 B-A={e, f} 35 답 1) ) 1) 를반드시원소로갖는집합 A 의부분집합은 {}, {1, }, {, 3}, {, 4}, {1,, 3}, {1,, 4}, {, 3, 4}, {1,, 3, 4} 로 4-1 =Ǜ =8( 개 ) 3) ) -1 =( 개 ) 3) 5- =Ǜ =8( 개 ) 4) 5-3 =Û`=4( 개 ) 5) 4- =Û`=4( 개 ) 6) 5- =Ǜ =8( 개 ) 7) 7-4 =Ǜ =8( 개 ) 36 답ㄴ, ㅁ 8 답 1) 4 ) 8 3) 16 4) 3 5) 8 1) 집합 A의원소의개수는 4이므로, 4를원소로갖지않는부분집합의개수는 4- = 4 ( 개 ) 이다. ) 원소 5개중 개를제외한부분집합의개수는 5- =Ǜ =8( 개 ) 3) 원소 7개중 3개를제외한부분집합의개수는 7-3 =Ý`=16( 개 ) 4) 원소 10개중 5개를제외한부분집합의개수는 10-5 =Þ`=3( 개 ) 5) 원소 5개중 개를제외한부분집합의개수는 5- = 3 =8( 개 ) 9 답 ⑴ n-r ⑵ n-k 30 답 1) {, 5} ) {, 5, 8, 9, 10} ㄱ. A-z=A ( 거짓 ) ㄴ. A-A=z ( 참 ) ㄷ. ( 우변 ) =A-(A'B)=z ( 거짓 ) ㄹ. ( 우변 )=(A'B)-A는 B에만속하는원소들의집합을나타낸다. ( 좌변 )=A-B는 A에만속하는원소들의집합을나타낸다. ( 거짓 ) ㅁ. ( 좌변 )=(A'B)-B는 A에만속하는원소들의집합을나타낸다. ( 우변 )=A-(A;B) 역시 A에만속하는원소들의집합을나타낸다. ( 참 ) 따라서옳은것은ㄴ, ㅁ이다. 37 답 {, 5, 7} 주어진그림에서색칠한부분은 B C 을나타낸다. 즉, 10보다작은자연수에서집합 B의원소를빼면 B C ={, 5, 7} 4 정답및해설

5 38 답 1) {6, 10} ) {, 8, 10} 전체집합 U={, 4, 6, 8, 10} 이므로 6) 즉, A;B=z이므로두집합 A와 B는서로소이다. 1) A C =U-A={6, 10} ) B C =U-B={, 8, 10} 7) 두집합 A, B를수직선위에나타내면다음그림과같다. 39 답 1) ) 따라서 A;B={x 0<x<1}+z이므로두집합 A 와 B는서로소가아니다. 43 답 1) ) 3 3) 4 4) 1 5) 3 40 답 ⑴ 교집합, A;B ⑵ 합집합, A'B ⑶ 차집합, A-B ⑷ 여집합, A C 41 답 1) _ ) _ 3) 4) 5) 6) 7) _ 8) 9) _ 10) _ 1) A;B={4} 로 z이아니므로 두집합 A와 B는 ( 서로소이다, 서로소가아니다. ) ) A;B={b}+z 3) A;B=z 4) A;B=z 5) A;B=z 6) A;B=z 7) A;B={5}+z 8) A;B=z 9) A;B={6, 1, y}+z 10) A;B={3, 5, 7, y}+z 4 답 1) 서로소가아니다. ) 서로소이다. 3) 서로소이다. 4) 서로소가아니다. 5) 서로소이다. 6) 서로소이다. 7) 서로소가아니다. 1) A={1,, 3}, B={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y} 이므로 A;B={3}+z 따라서두집합 A와 B는서로소가아니다. ) A={-1, 0, 1, }, B={4, 5, 6} 이므로 A;B=z 따라서두집합 A와 B는서로소이다. 3) A={-1, 0, 1}, B={, 3, 4} 이므로 A;B=z 따라서두집합 A와 B는서로소이다. 4) A={, 4, 6, 8, 10, 1, y}, B={3, 6, 9, 1, 15, y} 이므로 A;B={6, 1, 18, y}+z 따라서두집합 A와 B는서로소가아니다. 5) A={, 4, 6, y}, B={1, 3, 5, y} 이므로 A;B=z 따라서두집합 A와 B는서로소이다. 44 답서로소 45 답 1) 같다 ) 같다 3) 같다 4) 같다 5) 같다 6) 같다 1) A;B={1}, B;A={ 1 } 이므로 A;B와 B;A는 ( 같다, 같지않다. ) ) A;B={a, b}, B;A={a, b} 이므로 A;B=B;A 3) A;B={4, 6}, B;A={4, 6} 이므로 A;B=B;A 4) A;B={3, 4}, B;A={3, 4} 이므로 A;B=B;A 5) A;B={3, 5, 7, 9}, B;A={3, 5, 7, 9} 이므로 A;B=B;A 6) A={1, 3, 9, 7}, B={, 3, 5, 7, 11, y} 이므로 A;B=B;A={3} A;B=B;A 46 답 1) 같다 ) 같다 3) 같다 4) 같다 5) 같다 1) A'B={1,, 3, 5} 와 B'A= {1,, 3, 5} 이므로 A'B와 B'A는 ( 같다, 같지않다. ) ) A'B={1,, 3}, B'A={1,, 3} 이므로 A'B=B'A 3) A'B={, 4, 6, 8}, B'A={, 4, 6, 8} 이므로 A'B=B'A 4) A'B={1,, 3, 5, 7}, B'A={1,, 3, 5, 7} 이므로 A'B=B'A 5) A={1,, 4, 8}, B={1, 3, 9, 7} A'B={1,, 3, 4, 8, 9, 7}, B'A={1,, 3, 4, 8, 9, 7} 이므로 A'B=B'A 47 답 ⑴ B;A ⑵ B'A Ⅰ 집합과명제 5

6 48 답 1) ) A'(B'C) ={, 4, 6, 8}'{1, 4, 8, 10} ={1,, 4, 6, 8, 10} A'B ' C (A'B)'C (A'B)'C ={, 4, 6, 8, 10}'{1, 4, 8} ={1,, 4, 6, 8, 10} ) 5 답 1) {1,, 3}, {1,, 3} ' ) {1,, 3}, {1,, 3} 3) {5, 7, 9, 13}, {5, 7, 9, 13} A B'C A'(B'C) 4) {1, 7, 9, 10}, {1, 7, 9, 10} 3) = 5) {1,, 3, 5}, {1,, 3, 5} 49 답 1) 1) A'(B'C)={1}'{, 3}= {1,, 3} ; 그런데 A'(B'C) = (A'B)'C 이므로 (A'B)'C= {1,, 3} A;B C (A;B);C ) A'(B'C)={1, 3}'{, 3}={1,, 3} ) (A'B)'C=A'(B'C)={1,, 3} 3) A'(B'C)={5, 7}'{5, 9, 13}={5, 7, 9, 13} 3) = A ; B;C A;(B;C) (A'B)'C=A'(B'C)={5, 7, 9, 13} 4) A'(B'C)={1, 7}'{1, 9, 10}={1, 7, 9, 10} (A'B)'C=A'(B'C)={1, 7, 9, 10} 5) A'(B'C)={1, 3, 5}'{, 3, 5}={1,, 3, 5} 50 답 1) = ) = (A'B)'C=A'(B'C)={1,, 3, 5} 1) A;(B;C)={1, 3, 5, 7}; {, 7} = {7} (A;B);C= {5, 7} ;{, 3, 7, 9}= {7} ) A'(B'C) ={1, 3, 5, 7}'{, 3, 4, 5, 7, 9} ={1,, 3, 4, 5, 7, 9} (A'B)'C ={1,, 3, 4, 5, 7}'{, 3, 7, 9} 51 답 1) = ) = ={1,, 3, 4, 5, 7, 9} 1) A;(B;C)={, 4, 6, 8}; {4, 8} = {4, 8} (A;B);C= {4, 8} ;{1, 4, 8} = {4, 8} 53 답 1) {1}, {1} ) {5}, {5} 3) {1, 5}, {1, 5} 4) {7}, {7} 5) {4, 5}, {4, 5} 1) (A;B);C={1};{1, }= {1} 그런데 A;(B;C) = (A;B);C이므로 A;(B;C)= {1} ) (A;B);C ={5};{, 3, 5} ={5} A;(B;C) =(A;B);C ={5} 3) (A;B);C ={1, 5};{1, 3, 5, 7} ={1, 5} A;(B;C)=(A;B);C={1, 5} 4) (A;B);C={5, 7};{4, 6, 7, 9, 11}={7} A;(B;C)=(A;B);C={7} 5) (A;B);C={, 4, 5};{4, 5, 6, 7, 8}={4, 5} A;(B;C)=(A;B);C={4, 5} 54 답 ⑴ A'(B'C) ⑵ A;(B;C) 6 정답및해설

7 55 답 1) ) A ; B'C A;(B'C) ) A'(B;C) ={, 4, 6, 8}'{4, 8} ={, 4, 6, 8} (A'B);(A'C) ={, 4, 6, 8, 10};{1,, 4, 6, 8} ={, 4, 6, 8} ' 59 답 1) ; ) ;, ; 3) B'A, B'C 4) B;A, B;C 5) ;, ; 6) C'A, C'B A;B 3) = 56 답 1) A;C (A;B)'(A;C) 60 답 1) {, 3} ) {, 3} 3) {1,, 3, 4} 4) {1,, 3, 4} 1) A;(B'C)={1,, 3};{, 3, 4, 5}={, 3} ) A ' B;C A'(B;C) ) (A;B)'(A;C)=A;(B'C)={, 3} 3) A'(B;C)={1,, 3}'{3, 4}={1,, 3, 4} 4) (A'B);(A'C)=A'(B;C)={1,, 3, 4} ; 61 답 1) {1,, 6} ) {1,, 6} 3) {1,, 4, 5, 6} 4) {1,, 4, 5, 6} A'B A'C (A'B);(A'C) 1) A;(B'C)={1,, 4, 6};{1,, 5, 6}={1,, 6} 3) = ) (A;B)'(A;C)=A;(B'C)={1,, 6} 57 답 1) = ) = 3) A'(B;C)={1,, 4, 6}'{, 5}={1,, 4, 5, 6} 4) (A'B);(A'C)=A'(B;C)={1,, 4, 5, 6} 1) A;(B'C)={1, 3, 5, 7};{1,, 3, 4, 5, 7} = {1, 3, 5, 7} (A;B)'(A;C)={5, 7}' {1, 3, 7} = {1, 3, 5, 7} ) A'(B;C) ={1, 3, 5, 7}'{, 4, 7} (A'B);(A'C) ={1,, 3, 4, 5, 7} ={1,, 3, 4, 5, 7};{1,, 3, 4, 5, 7} ={1,, 3, 4, 5, 7} 58 답 1) = ) = 1) A;(B'C)={, 4, 6, 8}; {1, 4, 8, 10} ={4, 8} (A;B)'(A;C)= {4, 8} '{4, 8}= {4, 8} 6 답 ⑴ (A;B)'(A;C) ⑵ (A'B);(A'C) 63 답 1) ) 3) = 64 답 1 ) ) 3) = 65 답 1) A ) A 3) A 4) z 5) U 6) A 7) U 8) z 9) B 10) U 11) z 66 답 ⑴ A, A ⑵A, z ⑶ U, A ⑷ U, z ⑸A ⑹ U, z Ⅰ 집합과명제 7

8 67 답 1 ) ) 76 답 1) 1 ) 3) 1 4) 5 5) 5 6) 13 1) n(a'b)=n(a)+n(b)-n(a;b) 이므로 3) = 68 답 1 ) ) 3) = 69 답 1) A C ) B C 3) B C, B 4) A C, A C n(a;b)=n(a)+n(b)- n(a'b) =5+4-8 = 1 ) n(a;b) =n(a)+n(b)-n(a'b) =6+3-7= 3) n(a;b)=+4-5=1 4) n(a'b) =n(a)+n(b)-n(a;b) =3+4-=5 5) n(a'b)=5+5-5=5 6) n(a'b)=6+7-0=13 70 답 A;B C 71 답 1) = ) = 1) A'B={, 3, 5} 이므로 (A'B) C ={4} A C ;B C ={4, 5};{3, 4}={4} ) A;B={} 이므로 (A;B) C ={3, 4, 5} A C 'B C ={4, 5}'{3, 4}={3, 4, 5} 77 답 1) 0 ) 3 1) n(a C )=n(u)-n(a)=50-30 = 0 ) n(b C )=n(u)-n(b)=50-18 = 3 78 답 1) 3 ) 34 3) 45 1) n(a C ) =n(u)-n(a)=55-3=3 ) n(b C ) =n(u)-n(b)=55-1=34 3) n(a C 'B C ) =n((a;b) C )=n(u)-n(a;b) =55-10=45 7 답 1) = ) = 79 답 ⑴ n(a)+n(b)-n(a;b) ⑵ n(u)-n(a) 1) A'B={1,, 3, 5} 이므로 (A'B) C ={4} A C ;B C ={1, 4};{3, 4}={4} ) A;B={, 5} 이므로 (A;B) C ={1, 3, 4} A C 'B C ={1, 4}'{3, 4}={1, 3, 4} 73 답 1) ㄹ, ㄴ ) ㄹ, ㄷ 3) ㄹ, ㄷ 4) ㄴ, ㄹ 5) ㄴ, ㄱ, ㄴ 6) ㄹ, ㄴ 7) ㄹ 74 답 1) U, A ) z, z 3) ;, ;, A C 'B 4) A;A C, U, U 5) A;A C, B;A C, B;A C, B;A C 6) B C, A;B, A;B, A;B 7) A, A C, z, B;A 75 답 ⑴ A C ;B C ⑵ A C 'B C 80 답 1) ) 3) 10 4) 10 1) n(a-b)=n(a)-n( A;B ) =30-8 = ) n(a;b C )=n(a-b)= 3) n(b-a) =n(b)-n(a;b) =18-8=10 4) n(b;a C )=n(b-a)=10 81 답 1) ) 3) 11 4) 11 1) n(a-b) =n(a)-n(a;b) =3-10= ) n(a;b C )=n(a-b)= 3) n(b-a) =n(b)-n(a;b) =1-10=11 4) n(b;a C )=n(b-a)=11 8 정답및해설

9 8 답 1) 1 ) 1 3) 1 4) 1 1) n(a-b) =n(a'b)-n(b)=15-3=1 ) n(a;b C )=n(a-b)=1 3) n(b-a) =n(a'b)-n(a)=15-14=1 4) n(b;a C )=n(b-a)=1 83 답 1) 4 ) 4 3) 1 4) 1 1) n(a-b) =n(a'b)-n(b)=40-36=4 ) n(a;b C )=n(a-b)=4 3) n(b-a) =n(a'b)-n(a)=40-8=1 4) n(b;a C ) =n(b-a)=1 84 답 n(a;b), n(a'b) 85 답 4 n(a'b'c) =n(a)+n(b)+n(c)-n(a;b)-n(b;c) -n(c;a)+ n(a;b;c) = = 4 86 답 n(a'b'c) = = 87 답 7 n(a'b'c)= =7 88 답 37 n(a'b'c)= =37 89 답 0 n(a;b;c) =n( A'B'C )-n(a)-n(b)-n(c) +n(a;b)+n(b;c)+n(c;a) = = 0 90 답 5 91 답 4 9 답 1 n(a;b;c)= =5 n(a;b;c) = =4 n(a;b;c)= =1 93 답n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(c;a)+n(a;b;c) Ⅰ 명제 pp.38~63 94 답 1) _ ) 3) 4) 5) _ 6) 7) 8) _ 9) 10) 11) 1) _ 참인명제 : ), 3), 10) 거짓인명제 : 4), 6), 7), 9), 11) 95 답 1) 판별할수없다. ) 참, 거짓 3) 조건 96 답 1) 판별할수없다. ) 거짓, 거짓, 거짓 3) 조건 97 답 1) 명제 ) 조건 3) 조건 4) 명제 5) 명제 6) 조건 7) 조건 8) 조건 98 답 명제, 조건 99 답 1) 는소수가아니다. ) 1은 3의배수가아니다. 3) '는유리수이다. 4) ) 1은집합 {3, 4} 의원소가아니다. 6) 0<z 7) 토마토는과일이아니다. 8) 6은무리수가아니다. 9) 직사각형은평행사변형이아니다. 10) '5는실수가아니다. 100 답 1) x 는 8 의배수가아니다. ) x는 10의약수가아니다. 3) x는 5 이하의소수가아니다. 4) x+0 5) x¾1 Ⅰ 집합과명제 9

10 6) x<-3 7) xé1 또는 x¾ 8) x<0 또는 x¾3 9) x+이고 x+3 10) 1Éx<3 11) x=1 또는 x=3 101 답 1) 거짓 ) 거짓 3) 참 4) 거짓 5) 참 6) 참 7) 거짓 8) 참 9) 거짓 10) 참 10 답 1) 거짓 ) 4는홀수가아니다. 3) 참 103 답 1) 거짓 ) 1은 4의배수가아니다. 3) 참 1) 1=4_N(N은자연수 ) 꼴로나타낼수없으므로 1은 4의양의배수가아니다. 따라서주어진명제는거짓이다. ) 1은 4의배수가아니다. 104 답 1) 참 ) '3 은유리수이다. 3) 거짓 1) '3은 ;ab;( 단, a, b는서로소인자연수 ) 꼴로나타낼수없으므로유리수가아니다. 따라서주어진명제는참이다. 105 답 1) 거짓 ) 3 은 5 의약수가아니다. 3) 참 1) 5=3_N(N은자연수 ) 꼴로나타낼수없으므로 3은 5의약수가아니다. 따라서주어진명제는거짓이다. 11 답 1) {4} ) {} 3) {1} 4) {, 3} 5) {1,, 3, 4, 5} 6) {, 3, 5, 7} U={1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 이므로 3) xû`+x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x=1 ( -3²U) 4) xû`-5x+6=0 (x-)(x-3)=0 x= 또는 x=3 113 답진리집합 114 답 1) {, 3} ) {3} 3) {3, 6} 4) {3, 4, 5, 6, 7} U={1,, 3, 4, y, 10} 1) 두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P={1,, 3} Q={, 3, 4, 5, 6, y, 10} 따라서 p 그리고 q 의진리집합은 P ; Q={, 3 } ) P={3, 6, 9}, Q={, 3, 5, 7} 이므로 p 그리고 q 의진리집합은 P;Q={3} 3) P={1,, 3, 6}, Q={3, 4, 5, 6, 7} 이므로 p 그리고 q 의진리집합은 P;Q={3, 6} 4) P={3, 4, 5, 6, 7}, Q={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 이므로 p 그리고 q 의진리집합은 P;Q={3, 4, 5, 6, 7} 106 답 ⑴ p ⑵ ~p 그리고 ~q ⑶ ~p 또는 ~q 107 답 1) 거짓, 참 ) {3} 3) 진리집합 108 답 1) 참, 참, 거짓, 거짓 ) {, 4, 6} 3) 진리집합 109 답 1) 거짓, 거짓, 참, 참 ) {1, } 110 답 1) 거짓, 거짓, 거짓, 참 ) {} 111 답 1) {3, 4, 5, 6, 7, 8} ) {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 3) {6, 7, 8} 4) {, 3, 4, 5} 5) z 6) {} 7) {1,, 4, 5, 8} 115 답 1) {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ) {, 3, 5, 6, 7, 9} 3) {1,, 3, 4, 5, 6, 7} U={1,, 3, 4, y, 10} 1) 두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P={1,, 3} Q={, 3, 4, 5, 6, y, 10} 따라서 p 또는 q 의진리집합은 P ' Q={1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ) P={3, 6, 9}, Q={, 3, 5, 7} 이므로 p 또는 q 의진리집합은 P'Q={, 3, 5, 6, 7, 9} 3) P={1,, 3, 6}, Q={3, 4, 5, 6, 7} 이므로 p 또는 q 의진리집합은 P'Q={1,, 3, 4, 5, 6, 7} 116 답 ⑴ P;Q ⑵ P'Q 10 정답및해설

11 117 답 1) 가정 : 어떤수는 5 이다. 결론 : 어떤수는 5의약수이다. ) 가정 : 어떤원의반지름의길이는 r이다. 결론 : 어떤원의넓이는 prû`이다. 3) 가정 : 수박이있다. 결론 : 과일이다. 4) 가정 : 어떤수는 4의약수이다. 결론 : 어떤수는 1의약수이다. 5) 가정 : x는실수이다. 결론 : xû`>0이다. 6) 가정 : 어떤수는홀수이다. 결론 : 어떤수는소수가아니다. 7) 가정 : xû`-9=0이다. 결론 : x-3=0이다. 118 답 1) 참 ) 거짓 3) 참 조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 1) P={3}, Q={-3, 3} 이므로 P,Q 참 ) P={4, 8, 1, 16, y}, Q={16, 3, 48, y} 이므로 13 답 1) 거짓 ) 참 3) 거짓 4) 참 5) 참 1) 소수가아닌 n이 4, 6으로존재하므로거짓 ) 짝수인 n이, 4, 6으로존재하므로참 3) 6보다작지않은 n이 6으로존재하므로거짓 4) 8보다작은 n이, 3, 4, 5, 6으로존재하므로참 5) nû`é0인 n이존재하지않으므로참 14 답 1) 거짓 ) 거짓 3) 거짓 4) 참 5) 참 15 답 1) 거짓 ) 거짓 3) 참 4) 참 5) 거짓 6) 참 1) 반례 x=-1 ) 반례 x=1 5) 반례 x=0 6) xû`-x-3=0 (x+1)(x-3)=0 x=-1 또는 x=3 16 답 ⑴ U, U ⑵ z, z PøQ 거짓 3) P, Q를수직선위에나타내면오른쪽과같다. 즉, P,Q이므로참 119 답 1) 거짓 ) 거짓 3) 참 17 답 1) 어떤실수 x 에대하여 xé0 이다. ) 어떤실수 x에대하여 x¾1이다. 3) 어떤실수 x에대하여 x>-1이다. 4) 어떤실수 x에대하여 xé1 또는 x>이다. 조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 1) p : 의양의배수, q:8의양의배수라고하면 P={, 4, 6, 8, 10, 1, y}, Q={8, 16, 4, 3, y} 이므로 PøQ 거짓 ) p : x는소수, q : x는홀수라고하면 P={, 3, 5, 7, 11, y}, Q={1, 3, 5, 7, 9, y} 이므로 PøQ 거짓 5) 모든실수 x에대하여 x¾5이다. 6) 모든실수 x에대하여 x<4이다. 7) 모든실수 x에대하여 x+>4이다. 8) 모든실수 x에대하여 x+1이고 x+이다. 18 답 1) 거짓 ( 반례 x=4 ) ) 어떤자연수 x는 18의약수가아니다. 3) 참 3) p : x>3, q : x>1 이라 고하면 P,Q 이므로참 10 답 ⑴ 가정, 결론 ⑵,,, 19 답 1) 거짓 ( 반례 x=0 ) ) 어떤실수 x 에대하여 xé0 이고 x¾0 이다. 3) 참 11 답 1) 참, 참 ) 참 3) 참 4) 거짓 5) 거짓 ) 0보다크지않은 x는없으므로참 3) 0보다큰 x가존재하므로참 4) 3보다크지않은 x가있으므로거짓 5) 3보다큰 x가하나도없으므로거짓 1 답 1) 거짓, 참, 참 ) 거짓 3) 참 4) 거짓 5) 참 130 답 1) 거짓 ( 반례 x=1 ) ) 어떤자연수 x에대하여 x는소수도합성수도아니다. 3) 참 131 답 ⑴ 어떤 x<u에대하여 ~p(x) ⑵ 모든 x<u에대하여 ~p(x) Ⅰ 집합과명제 11

12 13 답 1) 역 ) 대우 3) 역 4) 대우 5) 대우 6) 역 7) 대우 8) 역 9) 역 133 답역 : x 가 4 의양의배수이면 x 는 의양의배수이다, 참대우 : x가 4의양의배수가아니면 x는 의양의배수가아니다, 거짓 134 답역 : x가 8의양의약수이면 x는 의양의약수이다, 거짓대우 : x가 8의양의약수가아니면 x는 의양의약수가아니다, 참 135 답역 : x=1 이면 xû`=1 이다, 참 대우 : x+1 이면 xû`+1 이다, 거짓 136 답역 : x¾0 이면 x¾1 이다, 거짓 대우 : x<0이면 x<1이다, 참 137 답역 : 두쌍의대변의길이가각각같은사각형은평행사변형이다, 참대우 : 두쌍의대변의길이가각각같지않은사각형은평행사변형이아니다, 참 138 답거짓, 역 : 합동인두삼각형은닮음이다, 참 대우 : 합동이아닌두삼각형은닮음이아니다, 거짓 139 답참, 역 : ab=0 이면 a=0 이다, 거짓 대우 : ab+0 이면 a+0 이다, 참 140 답참, 역 : m 또는 n 이짝수이면 mn 은짝수이다, 참 대우 : m과 n이짝수가아니면 mn은짝수가아니다, 참 141 답 ⑴ q Ú p ⑵ ~q Ú ~p 14 답 1) q Ú ~p ) q Ú p 3) ~q Ú p 4) ~q Ú ~p 5) ~p Ú ~q 6) ~p Ú q 7) p Ú ~q 8) p Ú q 143 답 1) ) _ 3) _ 1) r Ú ~q가참이면그대우 q Ú ~r도반드시참이다. p Ú q, q Ú ~r가참이므로 p Ú ~r도참이다. 144 답 1) _ ) 3) ) ~ p Ú ~q 가참이면그대우 q Ú p 도반드시참이다. r Ú q, q Ú p가참이므로 r Ú p도참이다. 3) ) 에서 r Ú p가참이므로그대우 ~p Ú ~r도반드시참이다. 145 답 ⑴ ~q Ú ~p, 참 ⑵ q Ú p ⑶ p Ú r 146 답 1),, 충분, 필요 ),, 충분, 필요 3),, 충분, 필요 4)., 필요, 충분 5)., 필요, 충분 147 답충분조건 (p Ú q) a>0, b>0이면 a+b>0, (q Ú p) a=-1, b=이면 a+b>0이지만 a<0, b>0이다. 148 답 1) 참 ) 거짓 3) 충분조건 3) 필요조건조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P,Q 149 답 1) 참 ) 거짓 3) 충분조건 4) 필요조건조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라하고, P, Q를수직선위에나타내면다음그림과같다. P,Q 150 답 1) 거짓 ) 참 3) 필요조건 4) 충분조건조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P={1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50, 100}, Q={1,, 5, 10} P.Q 151 답 1) 거짓 ) 참 3) 필요조건 4) 충분조건조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P={5, 10, 15, 0, 5, 30, y}, Q={15, 30, 45, y} P.Q 15 답 ⑴ p jk q, 충분, 필요 ⑵ 충분, 필요 153 답 1) 참 ) 참 3) 필요충분조건 xû`=0을풀면 x=0이므로 x=0 HjK xû`=0 p HjK q 154 답 1) 참 ) 참 3) 필요충분조건 x=6을풀면 x=3이므로 x=3 HjK x=6 p HjK q 1 정답및해설

13 155 답 1) 참 ) 참 3) 필요충분조건 -x+6>0을풀면 x<3 x-3<0을풀면 x<3 p HjK q 156 답 1) 참 ) 참 3) 필요충분조건 x, y가실수이므로 xû`+yû`=0 HjK x=0, y=0 p HjK q 157 답 1) 충분조건 ) 필요조건 3) 필요조건 4) 필요조건 5) 필요충분조건 6) 충분조건 7) 필요충분조건 8) 충분조건 9) 필요조건 10) 필요조건 11) 필요충분조건 1) 충분조건 13) 필요조건 14) 충분조건 15) 충분조건 1) q:xû`-1=0을풀면 x=ñ1 즉, p jk q이므로 p는 q이기위한충분조건이다. ) 조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 따라서 Q,P이므로 p는 q이기위한필요조건이다. 3) 조건 p, q의진리집합을 P, Q라고하면 P={1,, 3, 4, 6, 1}, Q={1,, 3, 6} Q,P 따라서 p는 q이기위한필요조건이다. 4) 조건 p, q의진리집합을 P, Q라고하면 P={, 4, 6, 8, 10, 1, y}, Q={4, 8, 1, y} Q,P 따라서 p는 q이기위한필요조건이다. 5) p:xy=0을풀면 x=0 또는 y=0 p HjK q 따라서 p는 q이기위한필요충분조건이다. 6) 조건 p, q의진리집합을 P, Q라고하면 P,Q이므로 p는 q이기위한충분조건이다. 7) q : 3x=6을풀면 x=이므로 p HjK q 따라서 p는 q이기위한필요충분조건이다. 8) q : xû`=4를풀면 x=ñ이므로 p jk q 따라서 p는 q이기위한충분조건이다. 9) p : xû`=9를풀면 x=ñ3이므로 q jk p 따라서 p는 q이기위한필요조건이다. 10) p : xû`=yû`을풀면 x=ñy이므로 q jk p 따라서 p는 q이기위한필요조건이다. 11) p : xû`-x=0을풀면 x(x-1)=0 x=0 또는 x=1 p HjK q 따라서 p는 q이기위한필요충분조건이다. 1) p : xû`+yû`=0을풀면 x=y=0 q:x=0 또는 y=0 p jk q 따라서 p는 q이기위한충분조건이다. 13) p:xû`=5를풀면 x=ñ5 q:x-5=0을풀면 x=5 q jk p 따라서 p는 q이기위한필요조건이다. 14) 조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 P,Q이므로 p jk q 따라서 p는 q이기위한충분조건이다. 15) q : A-B=z이면 A,B이므로 p jk q 따라서 p는 q이기위한충분조건이다. 158 답 1) ) -14 3) 3 4) -6 1) p가 q이기위한충분조건이려면 집합 Q는다음그림과같아야한다. a¾ 따라서정수 a의최솟값은 이다. ) 집합 P는다음그림과같아야한다. -15<aÉ8 따라서정수 a의최솟값은 -14이다. 3) 집합 Q는다음그림과같아야한다. 즉, -a<-이고 a¾1이어야하므로 a>이고 a¾1 a> 따라서정수 a의최솟값은 3이다. 4) 집합 P는다음그림과같아야한다. 즉, -5<a+이고 a+6é7이어야하므로 a>-7이고 aé1-7<aé1 따라서정수 a의최솟값은 -6이다. Ⅰ 집합과명제 13

14 159 답 1) 4 ) 5 3) - 1) q Ú p, 즉 xû`-ax+4+0 Ú x-+0이참이므로대우인 x-=0 Ú xû`-ax+4=0도참이다. x=를 xû`-ax+4=0에대입하여성립해야하므로 4-a+4=0 a=4 ) q Ú p가참이므로두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 Q,P이어야한다. 즉, 집합 Q는다음그림과같아야한다. a¾5 따라서실수 a의최솟값은 5이다. 3) q Ú p가참이므로두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라고하면 Q,P이어야한다. 즉, 집합 P는다음그림과같아야한다. aé- 따라서실수 a의최댓값은 -이다. 160 답충분, 필요, 필요충분, p HjK q 161 답 1) < ) > 3) > 4) < 5) <, < 1) ('7-1)-('8-1)='7-'8<0 '7-1<'8-1 ) (3+'5)-('8+'5)=3-'8='9-'8>0 3+'5>'8+'5 3) (3' 10-)-4=3' 10-6=' 90-' 36>0 3' 10->4 4) (-' 1+'8)-(3'3-4') =-'3+'-3'3+4' =6'-5'3=' 7-' 75<0 -' 1+'8<3'3-4' 5) (-'3)-('3-3)=5-3'3=' 5-' 7<0이므로 -'3<'3-3 ('3-3)-('3-1)='3-='3-'4<0이므로 '3-3<'3-1 -'3<'3-3<' 답 1) A¾B ) AÉB 1) A-B =(3xÛ`-yÛ`)-(xÛ`-xy-3yÛ`) A¾B =xû`+xy+yû`=(x+y)û`¾0 ) A-B =(xû`-4xy-6yû`)-(xû`-yû`) AÉB =-xû`-4xy-4yû`=-(x+y)û`é0 163 답 1) A>B ) A>B 1) A-B= a 1+a - b 1+b = a(1+b)-b(1+a) (1+a)(1+b) a-b = (1+a)(1+b) a>b>0 에서 a-b > 0, 1+a>0, 1+b>0 이므로 a-b (1+a)(1+b) > 0 A > B ) A-B= a 1+a - b 1+b = a(1+b)-b(1+a) (1+a)(1+b) a-b = (1+a)(1+b) = (a-b) (1+a)(1+b) a>b>0 에서 a-b>0, 1+a>0, 1+b>0 이므로 (a-b) (1+a)(1+b) >0 A>B 164 답 ⑴ > ⑵ = ⑶ < 165 답 1) B>A>C ) C>B>A 3) B>C>A 1) AÛ`=('3+'6)Û`=9+6'=9+ É 7 BÛ`=(+'5)Û`=9+4'5=9+ É 80 CÛ`=(1+')Û`=9+4'=9+ É 3 É 80 > É 7 >' 3 이므로 BÛ` > AÛ` > CÛ` 그런데 A>0, B>0, C>0 이므로 B > A > C ) AÛ`=(+'5)Û`=9+4'5=9+' 80 BÛ`=(+'7)Û`=11+4'7=11+' 11 CÛ`=(3+'6)Û`=15+6'6=15+' 16 CÛ`>BÛ`>AÛ` 이고, A>0, B>0, C>0 이므로 C>B>A 14 정답및해설

15 3) AÛ`=4Û`=16=13+3=13+ ;4(; BÛ`=('6+'7)Û`=13+' 4 CÛ`=('+' 11)Û`=13+' BÛ`>CÛ`>AÛ` 이고, A>0, B>0, C>0 이므로 B>C>A 166 답 1) A>B ) A<B 3) A>B 4) A<B<C 1) A B = ={ 6 6 }1`5`={;6(;}`5`={;#;}1`5` > 1 A > B ) A B = ) A B = ) A B = 40 5 B C = ={ 500 ={ 34 0 ={ 4 30 ={ 5 A<B<C }`5`={;6$;}`5`={;3@;}`5`<1 A<B 6 5 }1`0`0`={;3*!;}1`0`0`>1 A>B }1`0`={;!5^;}1`0`<1 A<B 5 3 }1`0`={;@7%;}1`0`<1 B<C 답 ⑴ > ⑵ 1 > < 3 = 168 답 1) ) 3) 4) _ 5) _ 6) 7) _ 8) 1) xû`¾0 ) xû`¾0 3) x >- 4) x>- 5) x=-;3!; 일때, 부등식이성립하지않는다. 6) (3x+)Û`¾0 7) x>0 이므로 xé0 인경우부등식이성립하지않는다. 8) (x-1)û`¾0 이므로 (x-1)û`+>0 169 답 1) b, b, ¾ ) ¾, ¾, ¾, ¾, ¾ 3) ay-bx, ay-bx, ax+by, ax+by, bx 1) aû`-ab+bû``=aû`-ab+{;b;}`-{;b;}`+bû` ={a-;b;}`+;4#;bû` 그런데 {a- ;B; }`¾0, ;4#;bÛ`¾0 이므로 {a- ;B; }`+;4#;bÛ`¾0 aû`-ab+bû` ¾ 0 이때, 등호는 a-;b;=0, b=0 즉, a=b=0 일때성립한다. ) a + b ¾0, a+b ¾0이므로 ( a + b )Û` ¾ a+b Û`임을보이면된다. ( a + b )Û`- a+b Û` = a Û`+ a b + b Û`-(a+b)Û` =aû`+ ab +bû`-aû`-ab-bû`=( ab -ab) ab ¾ ab이므로 ( ab -ab) ¾ 0이다. ( a + b )Û` ¾ a+b Û` 즉, a + b ¾ a+b 단, 등호는 ab =ab, 즉 ab¾0일때성립한다. 3) (aû`+bû`)(xû`+yû`)-(ax+by)û` =aû`xû`+aû`yû`+bû`xû`+bû`yû`-(aû`xû`+abxy+bû`yû`) =aû`yû`+bû`xû`-abxy =( ay-bx )Û` 그런데 ( ay-bx )Û`¾0이므로 (aû`+bû`)(xû`+yû`)-( ax+by )Û`¾0 (aû`+bû`)(xû`+yû`)¾( ax+by )Û`` 이때, 등호는 ay= bx 일때성립한다. 170 답 1) -<k< ) k<-;!~; 3) k<-;3!; 또는 k>1 4) k<-1 1) xû`+kx+1>0이모든실수 x에대하여성립하려면 D=kÛ`-4 1 1=kÛ`-4 < 0 (k-)(k+) < 0 - <k< ) D ={-(k+1)}û`-kû`=k+1<0 k<-;!; 4 3) D ={-(k+1)}û`-4kû`=-3kû`+k+1 =-(3kÛ`-k-1)=-(3k+1)(k-1)<0 k<-;3!; 또는 k>1 4) k<0 yy ᄀ D =(k+1)û`-4k(k+1)=-3kû`-k+1 =-(3kÛ`+k-1)=-(3k-1)(k+1)<0 k<-1 또는 k>;3!; yy ᄂᄀ, ᄂ에서 k< 답 1) 1 ) 1 3) 4) a+ 1 a ¾ 5) 5 6) 4 1) a>0, b>0이고 a+b=이므로산술평균과기하평균의관계에의해 a+b¾' ab이므로 ¾' ab 1¾' ab 1¾ab ( 단, 등호는 a=b) 따라서 ab의최댓값은 1이다. Ⅰ 집합과명제 15

16 ) a>0, b>0 이고 ab=6 이므로산술평균과기하평균의 관계에의해 3a+b¾'Ä3a b 이므로 3a+b¾' 6ab=' 6 6=1 ( 단, 등호는 3a=b 일때 ) 따라서 3a+b 의최솟값은 1 이다. 3) a>0, b>0 이고 a+b=4 이므로산술평균과기하평 균의관계에의해 a+b¾'äa b 이므로 a+b¾' ab 4¾' ab ¾ab ( 단, 등호는 a=b 일때 ) 따라서 ab 의최댓값은 이다. 4) a>0 이므로 ;a!;>0 산술평균과기하평균의관계에의해 a+;a!;¾ Éa ;a!;= a+;a!;¾ { 단, 등호는 a=;a!; 일때 } 5) a>1 jk a-1>0 이므로 4 a-1 >0 a+ 4 a-1 =(a-1)+ 4 a-1 +1 산술평균과기하평균의관계에의해 (a-1)+ 4 a-1 +1¾¾(a -1) 4 a-1 +1 =4+1=5 따라서 a+ 4 의최솟값은 5이다. a-1 6) {a+;b!;}{b+;a!;}=ab ab { 단, 등호는 a-1= 4 a-1 일때 } =ab+ 1 ab + ¾¾äb 1 ab +=4 { 단, 등호는 ab= 1 ab 일때 } 따라서 {a+;b!;}{b+;a!;} 의최솟값은 4 이다. 173 답 1) ' 13 ) 3' 10 3) 5'6 4) ;5(; 5) 1 1) 코시-슈바르츠의부등식에의해 (Û`+3Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(x+3y)Û` xû`+yû`=4이므로 5¾(x+3y)Û` -' 13Éx+3yÉ' 13 { 단, 등호는 x = y 3 일때 } 따라서 x+3y의최댓값은 ' 13이다. ) 코시-슈바르츠의부등식에의해 (3Û`+1Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(3x+y)Û` xû`+yû`=9이므로 90¾(3x+y)Û` -3' 10É3x+yÉ3' 10 { 단, 등호는 x 3 =y일때 } 따라서 3x+y의최댓값은 3' 10이다. 3) 코시-슈바르츠의부등식에의해 (1Û`+3Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(x+3y)Û` xû`+yû`=15이므로 150¾(x+3y)Û` -5'6Éx+3yÉ5'6 { 단, 등호는 x= y 3 일때 } 따라서 x+3y의최댓값은 5'6이다. 4) 코시-슈바르츠의부등식에의해 (Û`+1Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(x+y)Û` x+y=3이므로 5(xÛ`+yÛ`)¾9 xû`+yû`¾;5(; { 단, 등호는 x =y일때 } 따라서 xû`+yû`의최솟값은 ;5(; 이다. 5) 코시-슈바르츠의부등식에의해 (1Û`+5Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(1x+5y)Û` 1x+5y=13이므로 169(xÛ`+yÛ`)¾169 xû`+yû`¾1 { 단, 등호는 x 1 = y 5 일때 } 따라서 xû`+yû`의최솟값은 1이다. 17 답 5 직사각형의가로와세로의길이를각각 x, y라하면 x+y= 0 x+y= 10 x>0, y>0이므로산술평균과기하평균의관계에의해 x+y ¾ ' xy 0<xyÉ 5 ( 단, 등호는 x=y일때 ) 따라서직사각형의넓이의최댓값은 5 이다. 174 답 3 x, y가실수이므로코시-슈바르츠의부등식에의해 (3Û`+4Û`)(xÛ`+yÛ`)¾(3x+4y)Û xû`+yû`=5이므로 65¾(3x+4y)Û 등호는 ;3{;=;4};, 즉 y=;3$;x일때성립하므로 xû`+yû`=5에 y=;3$;x를대입하면 x=3 ( x>0) 16 정답및해설

17 175 답 ⑴ 1 > ¾, ¾ 3 =, = 4 aû`, a b, a 5 ¾, ¾ ⑵ 1 ¾, a=b ¾, x a = y b 176 답짝수, k, k, 짝수 주어진명제의대우는 n이자연수일때, n이짝수이면 nû`도짝수이다. 이므로이명제가참임을보이면된다. 자연수 n이짝수이면 n= k `( 단, k는자연수 ) 로나타낼수있으므로 nû`=( k )Û`=4kÛ`=(kÛ`) 이때, kû`이자연수이므로 nû`은짝수이다. 따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제도참 이다. 177 답 1) ~ 4) 해설참조 1) 주어진명제의대우는 n이자연수일때, n이홀수이면 nû`도홀수이다. 이므로이명제가참임을보이면된다. n이홀수이므로 n=k-1( 단, k는자연수 ) 로나타낼수있으므로 nû`=(k-1)û`=4kû`-4k+1=(kû`-k)+1 이때, (kû`-k) 는 0 또는짝수이므로 nû`은홀수이다. 따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제도참이다. ) 주어진명제의대우는 x, y가자연수일때, x, y가모두홀수이면 xy는홀수이다. 이므로이명제가참임을보이면된다. 자연수 x, y가모두홀수이면 x=m-1, y=n-1( 단, m, n은자연수 ) 로나타낼수있다. 이때, xy=(mn-m-n)+1이므로 xy는홀수이다. 따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제는참이다. 3) 주어진명제의대우는 a, b, c가자연수일때, a, b, c가모두홀수이면 aû`+bû`+cû`이다. 이므로이명제가참임을보이면된다. a, b, c가모두홀수이면 aû`, bû`, cû`은모두홀수이므로 aû`+bû`은짝수, cû`은홀수가되어 aû`+bû`+cû`이다. 따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제도참이다. 4) 주어진명제의대우는 n이자연수일때, n이 3의배수가아니면 nû`은 3의배수가아니다. 이므로이명제가참임을보이면된다. n이 3의배수가아니면 n=3k-1 또는 n=3k- ( 단, k는자연수 ) 로나타낼수있다. Ú n=3k-1일때 nû` =(3k-1)Û`=9kÛ`-6k+1 =3(3kÛ`-k)+1 이므로 nû`은 3의배수가아니다. Û n=3k-일때 nû` =(3k-)Û`=9kÛ`-1k+4 =3(3kÛ`-4k+1)+1 이므로 nû`은 3의배수가아니다. 따라서주어진명제의대우가참이므로주어진명제도참이다. 178 답짝수, k, 짝수, 서로소 '를유리수라고가정하면 '= n ( 단, m, n은서로소인자연수 ) m 으로나타낼수있다. 위식의양변을제곱하여정리하면 nû`=mû` yy ᄀ이때, nû`이짝수이므로 n은짝수이다. 여기서, n= k (k는자연수 ) 로놓고이것을ᄀ에대입하면 (k)û`=mû`, 즉 mû`=kû` 이때, mû`이짝수이므로 m은짝수이다. 이것은 m, n이서로소인자연수라는가정에모순이다. 따라서 '는유리수가아니다. 179 답 ⑴ 정의 ⑵ 증명 ⑶ 정리 ⑷ 대우를이용한증명법 ⑸ 귀류법 Ⅰ 집합과명제 17

18 단원총정리문제 Ⅰ 집합과명제 , 5 05 C 답5 z 은원소가하나도없는집합이므로 n(z)=0 3 n({x x 는 3 보다작은자연수 }) =n({1, })= 5 n({, 3, 4})-n({3, 4})=3-=1 pp.64~65 08 답3 두집합 A, B가서로소이므로 A;B=z B;(A'B) =(B;A)'(B;B) =z'b=b 09 답4 {(A-B)'(A;B)}'B ={(A;B C )'(A;B)}'B 분배법칙 ={A;(B C 'B)}'B X C 'X=U =(A;U)'B =A'B=B A,B 따라서항상옳은것은 A-B=z이다. 0 답1 a+=1, 3=-b+1이므로 a=-1, b=- a+b=-3 03 답 =Ǜ =8( 개 ) 04 답 1, 5 U C =z 3 (A C ) C =A 4 A'A C =U 05 답 C B={, 4, 6, 8, y} 이므로 A;B={}+z 따라서 A와 B는서로소가아니다. A;C=z이므로 A와 C는서로소이다. A;D={1,, 3}+z이므로 A와 D는서로소가아니다. 따라서집합 A와서로소인집합은 C이다. 06 답 6 A-B C =A;(B C ) C =A;B={, 4} 이므로모든원소의합은 +4=6이다. 07 답4 구하는집합 X는원소 b, c를반드시포함하는집합 A의부분집합이다. 따라서구하는집합 X의개수는 4- =Û`=4( 개 ) 이다. 10 답3 n(a'b)=n(a)+n(b)-n(a;b) 이므로 n(a;b) =n(a)+n(b)-n(a'b) =+19-33=8 색칠한부분은 (A'B)-(A;B) 이므로 n((a'b)-(a;b)) =n(a'b)-n(a;b) =33-8=5 11 답5 명제 p Ú q가참이므로 P,Q이다. 또, 대우인 ~q Ú ~p도참이므로 Q C,P C 이다. 1 답 3-1<x-a<3에서각변에 a를더하면 -1+a<x<3+a 주어진명제가참이되려면 {x 1<x<3},{x -1+a<x<3+a} 이어야한다. 즉, -1+aÉ1이고 3É3+a 0ÉaÉ 따라서구하는정수 a는 0, 1, 로 3개이다. 13 답4 조건 (x-y)(y-z)(z-x)+0의부정은 (x-y)(y-z)(z-x)=0 x=y 또는 y=z 또는 z=x 따라서 x, y, z 중적어도두수는같다. 18 정답및해설

19 14 답4 주어진조건에서 a=0이면 ab=0이성립하므로 q Ú p는참이다. 따라서 q Ú p의대우인 ~p Ú ~q도참이다. 15 답 p : xû`+x+a+0, q : x+1+0이라고하자. p는 q이기위한충분조건이므로 p Ú q는참이고, 그대우인 ~q Ú ~p도참이다. 즉, x+1=0이면 xû`+x+a=0이다. 는참이므로 x=-1을 xû`+x+a=0에대입하면등식이성립해야한다. (-1)Û`+_(-1)+a=0 1-+a=0 a=1 16 답1 a+0 또는 b+0이라고가정하면 aû` > 0 또는 bû` > 0 aû`+bû` > 0 이것은 aû`+bû`=0이라는가정에모순이다. 따라서실수 a, b에대하여 aû`+bû`=0이면 a=b=0이다. Ⅱ 함수 Ⅱ 1 함수 pp.70~97 01 답 0 답 03 답 04 답 _ 05 답 _ 06 답 _ 07 답 _ 08 답 09 답 _ 10 답 11 답 _ 1 답함수가아니다. 13 답함수가아니다. 14 답함수이다, 정의역 : [;!;, 1], 공역 : {1,, 3}, 치역 : {1, } 15 답함수가아니다. 16 답함수이다, 정의역 : {1,, 3}, 공역 : {a, b}, 치역 :{a, b} 17 답함수가아니다. 18 답해설참조 정의역 : {x x 는모든실수 } 치역 : {y y¾-} Ⅱ 함수 19

20 19 답 해설참조 0 답 해설참조 1 답 해설참조 답 해설참조 정의역 : {x x+0인모든실수 } 치역 : {y y+0인모든실수 } 정의역 : {x x는모든실수 } 치역 : {y y는모든실수 } 정의역 : {x x는모든실수 } 치역 : {y y¾0} 정의역 : {x x는모든실수 } 치역 : {y y는모든실수 } 3) 1-'5는무리수이므로 f(1-'5)=-(1-'5)='5-1 4) 는유리수, '는무리수이므로 f()-f(')=(-1)-(-')=1+' 7 답 1) 5 ) 8 3) 1 1) f(3)=3+=5 ) f(0) =f(0-)=f(18) =f(18-)=f(16) =y=f(6)=6+=8 3) f()=+=4 f(8)=f(6)=y=f(6)=6+=8 f()+f(8)=4+8=1 8 답 1) - ) 3) -4 1) f(1)=1-3=- ) f(9) =f(3)=f(17)=f(11) =f(5)=5-3= 3) f()=-3=-1 f(30)=f(4)=f(18)=f(1)=f(6)=6-3=3 f()-f(30)=-1-3=-4 3 답 1) {0, 1, } ) {0, 1} 1) ) 치역 : {0, 1, } 치역 : {0, 1} f 4 답 ⑴ 대응, x 3Ú y ⑵ 함수, f : X 3Ú Y, X 3Ú Y 5 답 1) 1 ) 3 3) 9+4' 1) 3 은유리수이므로 f(3)=3-=1 ) '3 은무리수이므로 f('3)=('3)û`=3 3) 1+' 는무리수이므로 f(1+')=(1+')û`=9+4' 6 답 1) 4 ) -'5 3) '5-1 4) 1+' 1) 5 는유리수이므로 f(5)=5-1=4 ) '5 는무리수이므로 f('5)=-'5 9 답 1) f(x)= x+4 3 3) f(x+1)= 4x+6 3 1) f{ 3x-1 ) f(1-x)= -x+6 3 4) 14 3 }=x+1에서 3x-1 =t로놓으면 3x-1= t, 3x=t+1 x= t+1 3 f(t)= t+1 3 t 대신 x 를대입하면 f(x)= x = t+4 3 ) f(x)= x+4 이므로 x 대신 1-x를대입하면 3 f(1-x)= (1-x)+4 = -x ) f(x)= x+4 이므로 x 대신 x+1을대입하면 3 f(x+1)= (x+1)+4 = 4x ) f(x)= x+4 이므로 x 대신 5를대입하면 3 f(5)= 5+4 = 정답및해설

21 30 답 1) f(x)= xû`-5x+6 ) f(x+3)= xû`+x 3) f(-x)= xû`+x 4) f(x+)=xû`-x 5) 3 6) 10 1) f(x+3)=xû`+x 에서 x+3=t 로놓으면 x=t-3, x= t-3 f(t)={ t-3 t-3 }`+ = tû`-5t+6 t 대신 x 를대입하면 f(x)= xû`-5x+6 ) f(x)= xû`-5x+6 이므로 x 대신 x+3을대입하면 f(x+3)= (x+3)û`-5(x+3)+6 = xû`+x 3) f(x)= xû`-5x+6 이므로 x 대신 -x를대입하면 f(-x)= (-x)û`-5(-x)+6 = xû`+x 4) f (x)= xû`-5x+6 이므로 x 대신 x+ 를대입하면 f (x+)= (x+)û`-5(x+)+6 =xû`-x 5) f(x)= xû`-5x+6 이므로 x 대신 5를대입하면 f(5)= 5Û` =3 6) f(x)= xû`-5x+6 이므로 x 대신 -를대입하면 f(-)= (-)Û`-5 (-)+6 = =10 31 답 1) 1 ) 3) 64 1) f(x+y)=f(x)f(y) 의양변에 x=0, y= 0 을대입하면 f(0)=f(0)f(0) f(x)>0 이므로양변을 f(0) 으로나누면 f(0)= 1 ) f(x+y)=f(x)f(y) 에 x=;!;, y=;!; 을대입하면 f(1)=f {;!;}`f {;!;}, [f {;!;}]`=f(1)=4 f {;!;}= ( f(x)>0) 3) f(x+y)=f(x)f(y) 에 x=1, y=1을대입하면 f()=f(1)f(1)=4û`=16 x=1, y=를대입하면 f(3)=f(1)f()=4 16=64 3 답 1) 0 ) 3 3) -15 1) f(x+y)=f(x)+f(y) 에 x=0, y=0을대입하면 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 ) f(x+y)=f(x)+f(y) 에 x=1, y=1을대입하면 f(1+1)=f(1)+f(1), f()=f(1), 6=f(1) f(1)=3 3) f(x+y)=f(x)+f(y) 에 x=1, y=-1을대입하면 f(0)=f(1)+f(-1) 0=3+f(-1) f(-1)=-3 f(-)=f(-1)+f(-1)=-6 f(-3)=f(-)+f(-1)=-9 f(-4)=f(-3)+f(-1)=-1 f(-5)=f(-4)+f(-1)= 답 1) 0 ) -f(a) 3) 0 1) f(m+n)=f(m)+f(n) 에 m=0, n=0을대입하면 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 ) f(m+n)=f(m)+f(n) 에 m=-a, n=a를대입하면 f(-a+a)=f(-a)+f(a) f(0)=f(-a)+f(a), 0=f(-a)+f(a) f(-a)=-f(a) 3) f(a)+`f(-a) =f(a+a)+(-f(a)) =f(a)+f(a)-f(a) =0 34 답 ⑴ y=f(x), 함숫값 ⑵ k ⑶ ax+b=k 35 답 f+g f(x)=xû`, g(x)=x에서 f(-1)=(-1)û`=1, g(-1)=-1 f+g 36 답 f=g f(x)="½x½û`= x, g(x)= x f=g Ⅱ 함수 1

22 37 답 f+g f(x)=x- g(x)= xû`-4 x+ = (x+)(x-) =x- ( 단, x+-) x+ x=-에서 g(x) 는정의되지않는다. f+g 38 답 f+g f(x)=x, g(x)=-x에서 f(1)=1, g(1)=-1 f+g 39 답 f+g f(x)= x, g(x)=xû`에서 f()= =, g()=û`=4 f+g 40 답 a=3, b=-1 f=g가성립하기위해서는 Ú x=1일때, f(1)=a+b, g(1)= a+b= yy ᄀ Û x=일때, f()=a+b, g()=5 a+b= 5 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a= 3, b= 답 a=4, b=-1 f=g가성립하기위해서는 Ú x=1일때, f(1)=3, g(1)=a+b a+b=3 yy ᄀ Û x=일때, f()=7, g()=a+b a+b=7 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=4, b=-1 4 답 a=3, b=- f=g가성립하기위해서는 Ú x=-1일때, f(-1)=-a+b, g(-1)=-5 -a+b=-5 yy ᄀ Û x=1일때, f(1)=a+b, g(1)=1 a+b=1 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=3, b=- 46 답일대일대응, 해설참조함수 f(x)=x+는임의의두실수 xá, xª 에대하여 f(xá)=f(xª), 즉 xá+=xª+이면 xá= x 1 이다. 또, 치역과공역이모두실수전체의집합이다. 따라서이함수는일대일대응이다. 47 답일대일대응, 해설참조함수 f(x)=3x-는임의의두실수 xá, xª 에대하여 f(xá)=f(xª), 즉 3xÁ-=3xª-이면 xá=xª 이다. 또, 치역과공역이모두실수전체의집합이다. 따라서이함수는일대일대응이다. 48 답일대일대응이아니다, 해설참조함수 f(x)=xû`은 xá=-1, xª=1일때, f(xá)=f(-1)= 1, f(xª)=f(1)= 1 즉, xá+xª 이지만 f(xá)=f(xª) 인두실수 xá, xª 가존재한다. 따라서이함수는일대일대응이아니다. 49 답일대일대응이아니다, 해설참조함수 f(x)=xû`-5는 xá=-1, xª=1일때, f(xá)=f(-1)=-4, f(xª)=f(1)=-4 즉, xá+xª 이지만 f(xá)=f(xª) 인두실수 xá, xª 가존재한다. 따라서이함수는일대일대응이아니다. 50 답일대일대응이아니다, 해설참조함수 f(x)=는 xá+xª 일때, f(xá)=f(xª)=이므로일대일대응이아니다. 51 답 _ 5 답 53 답 _ 54 답 _ 43 답 서로같다, f=g 44 답 1) ㄱ, ㄷ, ㄹ ) ㄱ, ㄷ 3) ㄱ 55 답 _ 4) ㄴ 45 답 1) ㄱ, ㄷ, ㄹ ) ㄱ, ㄷ, ㄹ 3) ㄹ 4) ㄴ, ㅂ 56 답ㄱ, ㅂ 정답및해설

23 57 답 1) a=, b=-1 ) a=-, b=1 1) a>0이므로 x의값이증가하면 f(x) 의값도증가한다. 이함수가일대일대응이되려면 f(-1)=-3, f()= 3 -a+b=-3, a+b=3 a=, b= -1 ) a<0이므로 x의값이증가하면 f(x) 의값은감소한다. 이함수가일대일대응이되려면 f(-1)=3, f()=-3 -a+b=3, a+b=-3 a=-, b=1 58 답 1) a=, b=9 ) a=-, b=9 1) a>0이므로 x의값이증가하면 f(x) 의값도증가한다. 이함수가일대일대응이되려면 f(-4)=1, f(4)=17-4a+b=1, 4a+b=17 a=, b=9 ) a<0이므로 x의값이증가하면 f(x) 의값은감소한다. 이함수가일대일대응이되려면 f(-4)=17, f(4)=1-4a+b=17, 4a+b=1 a=-, b=9 59 답 -1 f(x)=xû`-x+k=(x-1)û`+k-1이므로 x¾3일때, x의값이증가하면 f(x) 의값도증가한다. 따라서함수 f가일대일대응이되려면 f( 3 )=이어야하므로 3Û`- 3+k= k= -1 `` 60 답 -11 f(x)=xû`-4x+k=(x-1)û`+k-이므로 ``` x¾4일때, x의값이증가하면 `f(x) 의값도증가한다. 따라서함수 f가일대일대응이되려면 f(4)=5이어야하므로 4Û`-4 4+k=5 k`= 답 3 f(x)=-xû`-x+k=-(x+1)û`+k+1이므로 ``` x¾1일때, x의값이증가하면 f(x) 의값은감소한다. 따라서함수 f가일대일대응이되려면 f(1)=0이어야하므로 -1-+k=0 k=3 6 답 f(x)=-xû`+x=-(x-1)û`+1 이므로그래프는그림과같다. 함수 f(x) 가집합 X에서집합 Y로 의일대일대응이되려면 k¾ 1 이어 야한다. f(k)= k- -kû`+k= k- kû`-k-=0 (k+1)(k-)=0 k=-1 또는 k= 그런데 k¾1이어야하므로 k= ` 63 답 f(x)=-xû`+x-1=-(x-1)û``이므로그래프는그림 과같다. 함수 f(x) 가집합 X에서집합 Y로의일대일대 응이되려면 k¾1이어야한다. f(k)=k-5 -kû`+k-1=k-5 kû`=4 k=- 또는 k= 그런데 k¾1이어야하므로 k= 64 답 - f(x)=xû`+x=(x+1)û`-1이므로그래프는다음그림 과같다. 함수 f(x) 가집합 X에서집합 Y로의일대일대 응이되려면 ké -1 이어야한다. f(k)=k+ kû`+k =k+ kû`+k-=0 (k+)(k-1)=0 k= - 또는 k=1 그런데 ké-1이어야하므로 k= - 65 답 -1 f(x)=xû`-4x=(x-)û`-4이므로그래프는오른쪽그림과같다. 함수 f(x) 가집합 X에서집합 Y로의일대일대응이되려면 ké이어야한다. f(k)=k+6, kû`-4k=k+6 kû`-5k-6=0 (k-6)(k+1)=0 k=-1 또는 k=6 그런데 ké이어야하므로 k=-1 Ⅱ 함수 3

24 66 답 3 67 답 1 68 답 3 69 답 3 70 답 7 함수 g 는항등함수이므로 g(x)= x 이고, g()= f(0)=g()=h(1)= 함수 f 는상수함수이므로 f(x)= 함수 h 는일대일대응이고, h(1)= 이므로 h()=h(0)+h(1) 을만족하려면 h(0)=0, h()= 1 이되어야한다. f()+g(1)+h(0)=+1+0= 3 함수 g 는항등함수이므로 g(x)=x 이고, g(1)=1 f(0)=g(1)=h(-1)=1 따라서함수 f 는상수함수이므로 f(x)=1 함수 `h 는일대일대응이고, h(-1)=1 이므로 h(-1)+h(1)=h(0) 을만족하려면 h(0)=0, h(1)=-1 f(0)g(-1)h(1)=1 (-1) (-1)=1 f(x) 가항등함수이어야하므로 f(x)=xû`-1= x xû`-x-1=0, (x+3)(x-4)=0 x=-3 또는 x=4 따라서구하는집합 X 는 {-3}, { 4 }, {-3, 4} 의 3 개이다. f(x) 가항등함수이어야하므로 f(x)=xû`-6=x xû`-x-6=0 (x+)(x-3)=0 x=- 또는 x=3 따라서구하는집합 X 는 {-}, {3}, {-, 3} 의 3 개이다. f(x) 가항등함수이어야하므로 f(x)=xǜ -xû`+=x xǜ -xû`-x+=0 (x-1)(xû`-x-)=0 (x-1)(x+1)(x-)=0 x=-1 또는 x=1 또는 x= 따라서구하는집합 X 는 {-1}, {1}, {}, {-1, 1}, {-1, }, {1, }, {-1, 1, } 의 7 개이다 답 ⑴ 일대일함수 ⑵ 일대일대응 ⑶ 항등함수 ⑷ 상수함수 7 답 360 주어진대응을함수 f : X Ú Y라고하면 f(1) 의값이될수있는것은 5, 6, 7, 8, 9, 10의 6 개 f() 의값이될수있는것은 f(1) 의값을제외한 5개 f(3) 의값이될수있는것은 f(1), f() 의값을제외한 4 개 f(4) 의값이될수있는것은 f(1), f(), f(3) 의값을제외한 3개따라서구하는일대일함수의개수는 6_5_4_3= 360 ( 개 ) 이다. 73 답 60 f(a) 가될수있는것은 d, e, f, g, h의 5개 f(b) 가될수있는것은 f(a) 를제외한 4개 f(c) 가될수있는것은 f(a), f(b) 를제외한 3개따라서구하는일대일함수의개수는 5_4_3=60( 개 ) 이다. 74 답 5 X={-1, 0, 1} 이므로 (-1)+(-1)=-, (-1)+0=-1, (-1)+1=0 0+0=0, 0+1=1, 1+1= Y={-, -1, 0, 1, } 따라서구하는상수함수는 5개이다. 75 답 3 X={-1, 1} 이므로 (-1)+(-1)=-, (-1)+1=0, 1+1= Y={-, 0, } 따라서구하는상수함수는 3개이다. 76 답 10 주어진대응을함수 f : X Ú X라고하면 f(1) 의값이될수있는것은 1,, 3의 3 개 f() 의값이될수있는것은 f(1) 의값을제외한 개 f(3) 의값이될수있는것은 f(1), f() 의값을제외한 1개따라서일대일대응의개수는 l=3 1= 6 ( 개 ) 항등함수의개수는 m=1( 개 ) 상수함수의개수는 n= 3 ( 개 ) l+m+n= 10 ( 개 ) 4 정답및해설

25 77 답 9 함수의개수 : l=4ǜ =64( 개 ) 상수함수의개수 : m=4( 개 ) 일대일함수의개수 : n=4_3_=4( 개 ) l+m+n=9 78 답 ⑴ n m ⑵ n(n-1)(n-)y (n-m+1) ⑶ n(n-1)(n-)y 1 ⑷ n 79 답 1) 8 ) 3) a 4) d 1) (g½f)(4)=g(`f(4))=g(b)=8 ) (g½f)(6)=g(`f(6))=g(c)= 3) (f½g)(c)=f(g(c))=`f()=a 4) (`f½g)(b)=f(g(b))=f(8)=d 80 답 1) 7 ) 5 3) -17 4) 15 1) f(-1)=-3 (-1)+1=4이므로 (g½f)(-1)=g(`f(-1)) =g(4) =;!; 4+5=7 ) f(3)=-3 3+1=-8이므로 (`f½f)(3)=f(`f(3)) =f(-8)=-3 (-8)+1 =5 3) g()=;!; +5=6이므로 (`f½g)()=f (g())=f(6) =-3 6+1=-17 4) g(0)=;!; 0+5=5이므로 (g½g)(0)=g(g(0))=g(5)=;!; 5+5= 답 1) 9 ) ;#; 3) 1 4) ) 4xÛ`+4x+1 6) 4x+3 7) xû`+1 8) xý` 1) f(-)= (-)+1=-3이므로 (g½f)(-)=g(f(-)) =g(-3)=(-3)û`=9 ) g{;!;}={;!;}`=;4!; 이므로 (`f½g){;!;}=f {g{;!;}}=f {;4!;}= ;4!;+1=;#; 3) g{-;!;}={-;!;}`=;4!; (g½g){-;!;}=`g{g{-;!;}}=g{;4!;}\ ={;4!;}`= ) f(5)= 5+1=11 이므로 (`f½f)(5)=f(`f(5))=f(11)= 11+1=3 5) (g½f)(x)=g(`f(x)) 6) (`f½f)(x)=f(`f(x)) =g(x+1)=(x+1)û`=4xû`+4x+1 =f(x+1)=(x+1)+1=4x+3 7) (`f½g)(x)=f(g(x))=f(xû`)=xû`+1 8) (g½g)(x)=g(g(x))=g(xû`)=(xû`)û``=xý` 8 답 1) -7 ) -9 3) - 83 답 3 1) ( f½f )('3)=`f (f('3)) =f ( ( '3)Û`+1) ( '3 은무리수 ) =f ( 4 ) =- 4+1 ( 4 는유리수 ) = -7 ) (`f½f)(-)=f(`f(-)) 3) (`f½f){ ' =f(- (-)+1)=f(5) =- 5+1=-9 ' ' }\=f {f { }\}\=f {{ }\`+1}\ =f {;#;}\=- ;#;+1=- (g½f)(x)=g(`f(x))=g(ax+b) =ax+b+c ax+b+c=3x- 는 x 에대한항등식이므로 a=3, b+c=- f(1)= 에서 a+b= abc=3 (-1) (-1)=3 b=-1, c=-1 84 답 1) ) 3 3) 4 4) 8 1) f(4)= ) (`f½f)(3)=f( f(3))=f(1)=3 3) (`f½f½f)() =f(`f(`f())) =f(`f(4))=f()=4 4) (`f½f½f)(1)+(`f½f)(4)+f(3) =f(`f(`f(1)))+f(`f(4))+1 =f(`f(3))+f()+1 =f(1)+4+1=3+4+1=8 Ⅱ 함수 5

26 85 답 1) ) 5 1) (`f½g)(4)=f(g(4))=f {;!; 4+5} =f(7)=3 7+1= ) (`f½g½g)()=f(g(g()))=f {g{;!; +5}} 4) (f½g)(x)=f(g(x))=f(kx-1) =(kx-1)+3=kx+1 (g½f)(x)=g(`f(x))=g(x+3)=k(x+3)-1 =kx+3k-1 f½g=g½f이므로 kx+1=kx+3k-1 =f(g(6))=f {;!; 6+5} 1=3k-1 k=;3@; =f(8)=3 8+1=5 86 답 1) 66 ) ) (f½g)(3)-(g½h)() =f(g(3))-g(h()) =f(3+3)-g{;!; +1}=f(6)-g() =( 6Û`-1)-(+3)=71-5=66 ) (g½h½f)(1)-(g½f½h)() =g(h(`f(1)))-g(`f(h())) =g(h( 1Û`-1))-g{ f {;!; +1}} =g(h(1))-g(`f()) =g{;!; 1+1}-g( Û`-1)=g{;#;}-g(7) ={;#;+3}-(7+3)= 답합성함수, g½f : X Ú Z 88 답 1) 1 ) 3) 0 4) ;3@; 1) (f½g)(x) =f(g(x))=f(kx+) =(kx+)+1=kx+ 3 (g½f )(x)=g(`f(x))=g(x+1) =k(x+1)+=kx+ k+ f½g=g½f이므로 kx+3=kx+k+ 3=k+ k= 1 ) (f½g)(x)=f(g(x))=f(-x-k) =(-x-k)+1=-x-k+1 (g½f)(x)=g(`f(x))=g(x+1) =-(x+1)-k=-x-1-k f½g=g½f이므로 -x-k+1=-x-1-k -k+1=-1-k k= 3) (`f½g)(x)=f(g(x))=f(3x+10)=3x+10+k (g½f)(x)=g(`f(x))=g(x+k)=3(x+k)+10 =3x+3k+10 f½g=g½f이므로 3x+10+k=3x+3k k=3k+10 k=0 89 답 1) ) 1 1) g(5)=g(`f( 1 ))=f(g(1))=f(3)= ) g(4)=g(`f(5))=f(g(5))=f()=1 90 답 1) (g½f)(x)=-x- ) (h½(g½f))(x)=-x+ 3) (h½g)(x)=-;!;x+;%; 4) ((h½g)½f)(x)=-x+ 5) = 1) (g½f)(x) =g(f(x))=g(x+1) =-(x+1)-1=-x- ) (h½(g½f))(x)=h((g½f)(x))=h(-x-) =;!;(-x-)+3=-x+ 3) (h½g)(x)=h(g(x))=h(-x-1) =;!;(-x-1)+3=-;!;x+;%; 4) ((h½g)½f)(x)=(h½g)(f(x))=(h½g)(x+1) =-;!;(x+1)+;%;=-x+ 91 답 1) 5 ) ;!; 1) (`f½f)(x) =f( f(x))=f(ax+b) =a(ax+b)+b=aû`x+ab+b 즉, aû`x+ ab+b =16x+5이므로 aû`= 16, ab+b =5 a= 4, b=1 ( a>0) 따라서 f(x)= 4 x+1이므로 f(1)= 5 ) (f½f)(x)=f ( f(x))=f(ax+b) =a(ax+b)+b =aû`x+ab+b 즉, aû`x+ab+b=x-1이므로 aû`=1, ab+b=-1 a=1, b=-;!; ( a>0) 따라서 f(x)=x-;!; 이므로 f(1)=1-;!;=;!; 6 정답및해설

27 9 답 1) -10 ) ) ( f½f½f )(k) =f ( f ( f (k))) =f (f (-k+)) =f (-(-k+)+) =f (k)=-k+ 따라서 -k+=1 이므로 k=-10 ) ( f½f`½f )(k) =f ( f ( f(k))) 93 답 -1, 1 94 답 1 =f ( f (k-1)) =f ((k-1)-1) =f (4k-3) 따라서 8k-7=1 이므로 8k=19 k= 19 8 =(4k-3)-1=8k-7 ( f½f)(x)=f( f(x))=f(ax)=a(ax)=aû`x aû`x= x 이므로 aû`=1 a=-1 또는 a= 1 ( f½f½f)(x)=f ( f ( f(x)))=f ( f (ax)) aǜ x=x 이므로 aǜ =1 a=1( a 는실수 ) 95 답 a=1, b=0 =f(aû`x)=aǜ x ( f½f)(x)=f ( f(x))=f (ax+b) =a(ax+b)+b =aû`x+ab+b aû`x+ab+b=ax+b 이므로 aû`=a, ab+b=b aû`=a 에서 aû`-a=0 a(a-1)=0 b=0 96 답 - h(`f(x))=g(x) 에서 a=1( a+0) f(x)=1 이되도록하는 x 의값을구하면 x+1=1 x=0 f(0)= 1 따라서 h(`f(0))=g(0) 이므로 h(1)=g(0)= - [ 다른풀이 ] h(`f(x))=g(x) 에서 h(x+1)=xû`- x+1=t 로놓으면 x= t-1 h(t)={ t-1 = tû`-t-7 4 h(1)= 답 ;3%; }`-= tû`-t+1 4 = - 이므로 - g(h(x))=f(x) 에서 x= 를대입하면 g(h())=f() 3h()+= +3=7 3h()=5 h()=;3%; 98 답 1) h(x)=x+4 ) k(x)=x+9 1) f(h(x))=g(x) 에서 h(x)-1=4x+7 h(x)=4x+8 h(x)=x+4 ) k(f(x))=g(x) 에서 k(x-1)=4x+7 x-1=t 로놓으면 x= t+1 k(t)=4 t+1 +7=t+9 k(x)=x+9 99 답 f(x)=x-5 (h½(g½f))(x)=((h½g)½f)(x)=(h½g)(`f(x)) =f(x)+ (h½(g½f))(x)=4x-8 이므로 f(x)+=4x-8 f(x)=4x 답 f(x)=-;!;x+3 f(x)=x-5 (h½(g½f))(x)=((h½g)½f)(x)=(h½g)(`f(x)) =-f(x)+4 (h½(g½f))(x)=;!;x+1 이므로 -f(x)+4=;!;x+1 f(x)=-;!;x 답 ⑴ +, 교환 ⑵ (h½g)½f ⑶ I½f Ⅱ 함수 7

28 10 답 1) f (x)= x-1 x 3) -1 4) ;!; 5) ;4%; ) f 3 (x)=x 1) f 1 (x)=(f½f)(x)=f(f(x))=f { 1-x } 1 = 1-1 = 1-x ) f 3 (x)=(`f½f )(x)=f(f (x)) 1 = x-1 1-x-1 x 1-x =f { x-1 x }= 1 1- x-1 = x 3) f (x)= x-1 x, f 3 (x)=x, 1 =x x-x+1 x f 4 (x)=(f½f 3 )(x)=f(`f 3 (x))=f(x) 이므로 f 100 (x)=f 3_33+1 (x)=f(x)= 1 1-x f 100 ()= 1 1- =-1 4) f 1004 (x)=f 3_334+ (x)=f (x)= x-1 x f 1004 ()= -1 =;!; 5) f 1500 (x)=f 3_500 (x)=f 3 (x)=x f 1500 {;4%;}=;4%; 103 답 1) 4 ) 8 3) n 1) f (x) =(`f½f)(x)=f(`f(x))=f( x ) = x =Û`x f (1)=4 ) f 3 (x)=(`f½f )(x)=f(`f (x)) =f(û`x)= Û`x=Ǜ x f 3 (1)=8 3) f (x)=û`x, f 3 (x)=ǜ x, y 이므로 f n (x)= n x f n (1)= n 1= n 104 답 Ú f n Û f n (a) 105 답 1) _ ) 3) _ 4) 5) _ 106 답 1) -;3@; ) ;3%; 3) -;3!; 4) 19 5) 1 1) f -1 (-1)=k 이므로 f(k)=-1 3k+1=-1, 3k=- ) f -1 (6)=k 이므로 f(k)=6 k=-;3@; 3) f -1 (0)=k이므로 f(k)=0 3k+1=0, 3k=-1 k=-;3!; 4) f -1 (k)=6이므로 f(6)=k k=3 6+1=19 5) f -1 (3-k)=0이므로 f(0)=3-k 3 0+1=3-k, k= k=1 107 답 역함수, f -1 : Y Ú X 108 답 5 역함수가존재하려면함수 f(x) 가일대일대응이어야하므로 3 +a=3 3-1, 3 +a=8 a= 답 0<a<1 역함수가존재하려면함수 f(x) 가일대일대응이어야하므로기울기인 a와 1-a의부호가같아야한다. a(1-a)>0, a(a-1)<0 0<a< 답 -1<a<3 역함수가존재하려면함수 f(x) 가일대일대응이어야하므로기울기인 1+a와 3-a의부호가같아야한다. (1+a)(3-a)>0, (a+1)(a-3)<0-1<a<3 111 답 1 f(x)=xû`+4x-4=(x+)û`-8이고, 함수 `f의역함수가존재하므로함수 `f는일대일대응이다. 함수 f의정의역과치역이같으므로 k¾- yy ᄀ f(k)=k에서 kû`+4k-4=k kû`+3k-4=0, (k+4)(k-1)=0 k=1( ᄀ ) 11 답 8 f(x)=xû`-x-40=(x-1)û`-41이고, 함수 `f의역함수가존재하므로함수 f는일대일대응이다. 또, 함수 `f의정의역과치역이같으므로 k¾1 yy ᄀ f(k)=k에서 kû`-k-40=k kû`-3k-40=0, (k-8)(k+5)=0 k=8( ᄀ ) 3k+1=6, 3k=5 k=;3%; 113 답일대일대응, 증가, 감소 8 정답및해설

29 114 답 1 (f½(`f½g) -1 ½f )(1)=(`f½g -1 ½ f -1 ½f)(1) =(`f½ g -1 )(1)=`f(g -1 (1)) g -1 (1)=k라고하면 g(k)=1, kû`+1=1 k=0 ( 구하는값 )=f(g -1 (1))=f( 0 ) = 0 +1= 답 3 ( f½(`f½g) -1 ½f){;!;}=(`f½g -1 ½f -1 ½f ){;!;} =(`f½g -1`){;!;}=f {g -1 {;!;}} g -1 {;!;}=k라고하면 g(k)=;!;, k+=;!; k=-;#; ( 구하는값 )=f {g -1 {;!;}}=f {-;#;}=- {-;#;}=3 116 답 6 ( f½g) -1 (3)=k라고하면 ( f½g)(k)=3 f(g(k))=3, g(k)+1=3 g(k)=1, 3k-=1 k=( f½g) -1 (3)=1 h(x-1)=4x-3에서 x-1=3이면 x= h(3)=4-3=5 (f½g) -1 (3)+h(3)=1+5=6 117 답 h(x)=x+ (`f½h -1 ½g -1 )(x)=x에서 ( g ½h) -1 (x)=f -1 (x) (g½h)(x)=f(x), g(h(x))=4x+1 h(x)-3=4x+1, h(x)=4x+4 h(x)= x+ 118 답 h(x)=x+5 (`f -1 ½g -1 )(x)=x+에서 (g½f) -1 (x)=x+이므로 (g½f )(x+)=x x 대신 x-를대입하자. (g½f )(x)=x- ((h½g)½f)(x)=x+1에서 (h½(g½f))(x)=x+1 h(x-)=x+1 x 대신 x+를대입하자. h(x)=(x+)+1=x 답 h(x)=4x+1 f -1 ½g -1 ½h=f 이므로 g -1 ½h=f½f h=g½f½f h(x)=g(`f(`f(x)))=g(`f(x))=g( x) =g(4x)=4x+1 10 답 1) ) ;3@; 3) 5 4) -4 1) g -1 (a)=k 라고하면 g(k)= a k+1=a k=a-1 (`f½g -1 )(a) =f(g -1 (a))=f(a-1) 3a-1= 5 에서 a= =3(a-1)+=3a-1 ) g -1 (a)=k 라고하면 g(k)=a k+1=a k=a-1 ( f½g -1 )(a)=f(g -1 (a))=f(a-1) 3a-1=1 에서 a=;3@; =3(a-1)+=3a-1 3) f -1 (a)=k 라고하면 f(k)=a 3k+=a, 3k=a- k= a- 3 (g½f -1 )(a)=g(`f -1 (a))=g{ a- 3 a+1 3 = a- 3 = 에서 a= 5 +1= a+1 3 4) f -1 (a)=k 라고하면 f(k)=a 3k+=a, 3k=a- k= a- 3 (g½f -1 )(a)=g(`f -1 (a))=g { a- 3 a+1 3 = a- 3 =-1 에서 a=-4 +1= a 답 1) -1 ) 3 3) 4) 3 1) (g½f )(x)=x 에서 g 는 f 의역함수이므로 ( f -1 ½g -1 ½f )(1)=( g ½g -1 ½f )(1) } } =( g ½g -1 )(`f(1)) =f(1)= -1 ) ( f -1 ½g -1 ½f )(3)=(g½g -1 ½f )(3) =f (3)=3 Ⅱ 함수 9

30 3) (g½f -1 ½g -1 )(1)=(g½g½g -1 )(1)=g(1) g(1)=f -1 (1)=k 라고하면 f(k)= 1 k-3= 1 k= 4) (g½f -1 ½g -1 )(3)=( g½g½g -1 )(3)=g(3) g(3)=f -1 (3)=k 라고하면 f(k)=3 k-3=3 k=3 1 답 1) 6 ) -8 3) 3 1) ( f½g)(x)=f(g(x))=f {;!;x+b} =a{;!;x+b}-= a x+ab- a x+ab-=x+6이므로 a =1, ab-=6 a=, b=4 a+b=6 ) f(x)=x-, g(x)=;!;x+4 에서 g -1 (`f(1))=g -1 ( 1-)=g -1 (0) g -1 (0)=k 라고하면 g(k)=0 ;!;k+4=0 g -1 (`f(1))=-8 k=-8 3) f -1 (g(0))=f -1 {;!; 0+4}=f -1 (4) 14 답 ⑴ I, I ⑵ f ⑶ g -1, f -1 ⑷ g -1 ½f 답 y=-;!;x+;!; y=-x+1을 x에대하여풀면 x= -y +1 x= -;!; y+;!; x와 y를서로바꾸면 y= -;!;x+;!; 16 답 y=x-;3!; y=;!;x+;6!; 을 x에대하여풀면 ;!;x=y-;6!; x=y-;3!; x와 y를서로바꾸면 y=x-;3!; 17 답 y=-;3!;x+;3%; y=-3x+5를 x에대하여풀면 3x=-y+5 x=-;3!;y+;3%; x와 y를서로바꾸면 y=-;3!;x+;3%; 18 답 y=-x+4 y=-;!;x+를 x에대하여풀면 f -1 (4)=k 라고하면 f(k)=4 ;!;x=-y+ x=-y+4 k-=4 k=3 f -1 (g(0))=3 13 답 1) - ) 4 3) 6 1) (f½g)(x)=f(g(x))=f(-bx+4) =(-bx+4)+a=-bx+4+a -bx+4+a=-x+1이므로 -b=-1, 4+a=1 a=-3, b=1 a+b=- ) f(x)=x-3, g(x)=-x+4에서 g -1 (f(3))=g -1 (3-3)=g -1 (0) g -1 (0)=k라고하면 g(k)=0 -k+4=0 k=4 g -1 (f(3))=4 3) f -1 (g(1))=f -1 (-1+4)=f -1 (3) f -1 (3)=k라고하면 f(k)=3 k-3=3 k=6 f -1 (g(1))=6 x와 y를서로바꾸면 y=-x+4 19 답 y=-x+;!; x와 y를서로바꾸면 y+4x-1=0, y=-4x+1 y=-x+;!; 130 답 y=;3!;x x와 y를서로바꾸면 3y-x=0, 3y=x y=;3!;x 131 답 y=3x-;#; x와 y를서로바꾸면 y-6x+3=0 y=6x-3 y=3x-;#; 30 정답및해설

31 13 답 y=5x-11 x와 y를서로바꾸면 y-5x+11=0 y=5x 답 1) a=-3, b=7 ) a=, b=1 3) a=-, b= 4) a=;!;, b=-3 1) f(3)=-에서 3a+b= - yy ᄀ g(4)=f -1 (4)=1에서 f(1)=4 a+b= 4 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-3, b= 7 ) f(1)=3에서 a+b=3 yy ᄀ g(5)=f -1 (5)=에서 f()=5 a+b=5 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=, b=1 3) f()=-에서 a+b=- yy ᄀ g(-8)=f -1 (-8)=5에서 f(5)=-8 5a+b=-8 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-, b= 4) f(5)=-;!; 에서 5a+b=-;!; yy ᄀ g(-)=f -1 (-)=에서 f()=- a+b=- yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=;!;, b= 답 1) -1 ) -;!; 3) - 1) f=f -1 이므로 ( f½f)(x)=( f½f -1 )(x)=x ( f½f)(x) =f ( f(x))=f(kx+) =k(kx+)+=kû`x+k+ kû`x+k+= x 이므로 kû`=1, k+= 0 k= -1 ) f=f -1 이므로 (f½f)(x)=x (f`½f)(x) =f(`f(x))=f(kx+1) =k(kx+1)+1=4kû`x+k+1 4kÛ`x+k+1=x 이므로 4kÛ`=1, k+1=0 k=-;!; 3) f=f -1 이므로 (f½f)(x)=x (`f½f)(x)=f(`f(x))=f {;!;kx+3} kû` 4 =;!;k {;!;kx+3}+3 = kû` 4 x+;#;k+3 kû` x+;#;k+3=x이므로 =1, ;#;k+3=0 4 k=- 135 답 Ú 일대일대응 Û x, y Ü x, y 136 답 b 137 답 a 138 답 a f -1 (d)= c 이므로 ( f½f) -1 (d) =( f -1 ½f -1 )(d)=f -1 (`f -1 (d)) =f -1 (c)= b ( f -1 ½f -1 ½f -1 )(d)=f -1 ( f -1 ( f -1 (d))) g=f -1 이므로 =f -1 ( f -1 (c))=f -1 (b) =a (g½g)(c)=(f -1 ½f -1 )(c)=f -1 (f -1 (c)) 139 답 c, b =f -1 (b)=a f( f(a))=f(b)=c ( f½f) -1 (d)=( f -1 ½f -1 )(d)=f -1 ( f -1 (d)) =f -1 (c)=b f( f(a))=c, ( f½f) -1 (d)=b 140 답 {-;(;, -;(;} 함수 y=f(x) 의그래프와함수 y=f -1 (x) 의그래프의교 점은함수 y=f(x) 의그래프와직선 y=x 의교점과같으 므로 ;3!;x-3= x 에서 ;3@;x=-3 x= -;(; 따라서구하는교점의좌표는 { -;(;, -;(; } 이다. Ⅱ 함수 31

32 141 답 (-1, -1) x+1=x에서 x=-1 따라서구하는교점의좌표는 (-1, -1) 이다. 14 답 (, ) -x+6=x에서 3x=6 x= 따라서구하는교점의좌표는 (, ) 이다. 143 답 {-;3!;, -;3!;} -;!;x-;!;=x에서 ;#;x=-;!; x=-;3!; 따라서구하는교점의좌표는 {-;3!;, -;3!;} 이다. 144 답 1) a=3, b=-1 ) a=;!;, b=1 3) a=-, b= 1) 함수 f(x)=ax+b의그래프가점 P(1, ) 를지나므로 a+b= yy ᄀ함수 f(x) 의역함수의그래프가점 Q(-4, -1) 을지나므로함수 f(x)=ax+b의그래프는점 (-1, -4 ) 를지난다. -a+b= -4 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a= 3, b= -1 ) 함수 f(x)=ax+b의그래프가점 P(-, 0) 을지나므로 -a+b=0 yy ᄀ함수 f(x) 의역함수의그래프가점 Q(3, 4) 를지나므로함수 f(x)=ax+b의그래프는점 (4, 3) 을지난다. 4a+b=3 yy ᄂᄀ과ᄂ을연립하여풀면 a=;~!;, b=1 3) 함수 f(x)=ax+b의그래프가점 P(-1, 4) 를지나므로 -a+b=4 yy ᄀ함수 f(x) 의역함수의그래프가점 Q(-, ) 를지나므로함수 f(x)=ax+b의그래프는점 (, -) 를지난다. a+b=- yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-, b= 145 답 ⑴ (b, a) ⑵ y=x Ⅱ 유리함수와무리함수 pp.98~ 답 1) 분수식 ) 분수식 3) 다항식 4) 분수식 5) 다항식 147 답 148 답 149 답 150 답 151 답 6) 분수식 7) 다항식 8) 분수식 3x+1 (x+1)(x-1) 1 x+1 + x-1+ x-1 = (x+1) = 3 x+ 1 (x+1)(x-1) (x+1)(x-1) 4x-1 (x-1)(x+) 1 x x+ = x++3(x-1) (x-1)(x+) = 4x-1 (x-1)(x+) x+3 x x = x+3 x-1-5 x-1 = x+3-5 x-1 4 (x+3)(x-1) = x- x-1 = (x-1) x-1 = x+ x+3 - x- x-1 = (x+)(x-1)-(x-)(x+3) (x+3)(x-1) = (xû`+x-)-(xû`+x-6) (x+3)(x-1) 4 = (x+3)(x-1) x+ x+1 _ x+1 x+ = x+ 15 답 x x+ x+1 _ xû`+x x+ = 153 답 x+1 _ x(x+1) x+ = x x+ 1 x(x-1) x+1 xû`+x _ x+ xû`-1 = x+1 x(x+) _ x+ (x-1)(x+1) 154 답 x-1 x 155 답 xû`-1 xû`+x _ x+ x x+4 xǜ +3x xû`-16 _ x-4 xû`+3 = = 1 x(x-1) x+1 = (x-1)(x+1) x(x+) _ x+ x+1 = x-1 x x(xû`+3) (x+4)(x-4) _ x-4 xû`+3 = x x+4 3 정답및해설

33 156 답 a xyû` 157 답 158 답 6aǛ b xǜ yǜ Ö 3aÛ`b xû`y = 6aǛ b _ xû`y xǜ yǜ 3aÛ`b = x x+1 a xy x x-1 Ö x+1 x-1 = x x-1 _ x-1 x+1 = x x+1 x (x+1)û` x xû`-1 Ö x+1 x-1 = x (x+1)(x-1) _ x-1 x+1 = x (x+1)û` 159 답 x(x-1) x+ xû`-x x+1 Ö xû`-4 xû`-1 = x(x-) x+1 = x(x-1) x+ 160 답 ⑴ 유리식 ⑵ 분수식 ⑶ 1 A+C B A-C B _ (x-1)(x+1) (x-)(x+) 3 AC BD 4 AD BC 161 답 1) 무리식 ) 유리식 3) 무리식 4) 유리식 5) 무리식 6) 유리식 7) 무리식 8) 무리식 16 답 1) x¾-;3%; ) xé;#; 3) x> 4) -ÉxÉ3 5) -ÉxÉ1 1) 'Ä3x+5 의값이실수이려면 3x+5¾0 이어야하므로 x¾ -;3%; ) 3-x¾0 이어야하므로 3¾x xé;#; 3) x->0 x> 4) 'Ä3-x+'Ä3x+6 의값이실수이려면 3-x¾0 이고, 3x+6¾0 이어야하므로 - ÉxÉ 3 5) x+¾0 이고, 1-x¾0 이어야하므로 x¾- 이고, xé1 -ÉxÉ1 163 답 'Äx+1-1 x 'Äx+1+1 = x('äx+1-1) ('Äx+1+1)( 'Äx+1-1 ) = x('äx+1-1) x = 'Äx 답 'Äx+ 1 'Äx+-'Äx- + 1 'Äx++'Äx- = 'Äx++'Äx-+'Äx+-'Äx- ('Äx+-'Äx-)('Äx++'Äx-) 'Äx+ = (x+)-(x-) = 'Äx+ 165 답 '3+1 1 'x-1-1 'x+1 = 'x+1-('x-1) ('x-1)('x+1) = x-1 x='3 을대입하면 x-1 = '3-1 = 166 답 ' 1 'x-1-1 'x+1 = x-1 x='+1 을대입하면 x-1 = ' = ' ' =' ' 167 답 --' ('3+1) = '3+1 x= 1 '+1 = '-1 ='-1이므로 ('+1)('-1) 'x-1 'x+1 + 'x+1 'x-1 = (x+1) x-1 = ' '- = '('+) ('-)('+) = (+') - =--' 168 답 1) 4 ) ' 3) 4) '+1 1) x+y=(+')+(-')=4 ) x-y=(+')-(-')=' 3) xy=(+')(-')=4-= 4) 'x+'y 'x-'y = ('x+'y)û` ('x-'y)('x+'y) = x+y+' xy x-y = 4+' ' =' 답 ⑴ 무리식 ⑵ ¾ ⑶ 유리식 170 답 1) 다항함수 ) 분수함수 3) 다항함수 4) 분수함수 5) 다항함수 6) 분수함수 7) 분수함수 8) 분수함수 9) 다항함수 Ⅱ 함수 33

34 171 답 1) {x x+0 인실수 } ) {x x+1 인실수 } 3) [x x+;#; 인실수 ] 4) {x x+1, x+-1인실수 } 5) {x x는모든실수 } 17 답 ⑴ 유리함수 ⑵ 유리함수, 다항, 분수 ) y=- 에서 y+1=x x+ y=- x+ -1 3) y= 에서 y+3= x x-4 4) y=- 3 x 에서 y+1=- 3 x y= x-4-3 y=- 3 x 답 179 답 1) a=0, b=5 ) a=, b=0 3) a=-3, b=-1 1) 함수 y= 1 x +5 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 y 축 의방향으로 5 만큼평행이동한것이므로 a=0, b=5 이다. 174 답 ) 함수 y= 1 x- 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 x 축 의방향으로 만큼평행이동한것이므로 a=, b=0 이다. 3) 함수 y= 1 x+3-1 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 x 축의방향으로 -3 만큼, y 축의방향으로 -1 만큼평 행이동한것이므로 a=-3, b=-1 이다. 175 답 180 답 1) a=0, b= 1) a=-1, b=0 3) a=4, b=-3 1) 함수 `y=- x =- x + 의그래프는함수 y=- x 의 그래프를 y 축의방향으로 만큼평행이동한것이므로 a=0, b= 이다. 176 답 ) 함수 y=- x+1 의그래프는함수 y=- x 의그래프 를 x 축의방향으로 -1 만큼평행이동한것이므로 a=-1, b=0 이다. 3) 함수 y=- x-4-3 의그래프는함수 y=- x 의그래 프를 x 축의방향으로 4 만큼, y 축의방향으로 -3 만큼 평행이동한것이므로 a=4, b=-3 이다. 177 답 ⑴ 0 ⑵ x 축, y 축 ⑶ 1, 3,, 4 ⑷ 원점 178 답 1) y= 1 + ) y=x-1 x+ -1 3) y= x-4-3 4) y=- 3 x -1 1) 함수 y= 1 의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의 x 방향으로 만큼평행이동하면 y- = 1 y= 1 x- 1 + x 답 1) ) x=0, y=- 3) {x x+0 인실수 } 4) {y y+- 인실수 } 34 정답및해설

35 1) 함수 y= 1 x - 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 18 답 1) y 축의방향으로 - 만큼평행이동한것이다. ) x=-1, y=0 3) {x x+-1 인실수 } 4) {y y+0 인실수 } 1) 함수 y= 1 x+1 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 183 답 1) x 축의방향으로 -1 만큼평행이동한것이다. ) x=-, y=-1 3) {x x+- 인실수 } 4) {y y+-1 인실수 } 1) 함수 y= 1 x+ -1 의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 184 답 1) x 축의방향으로 - 만큼, y 축의방향으로 -1 만큼평 행이동한것이다. ) x=1, y=3 3) {x x+1 인실수 } 4) {y y+3 인실수 } 1) 함수 y=- x-1 +3 의그래프는함수 y=- x 의그래 프를 x 축의방향으로 1 만큼, y 축의방향으로 3 만큼평 행이동한것이다. 185 답 1) ) 3) 4) _ 5) 5) y= 1 +에 x=0을대입하면 y=;3%; x 답 1) ) 3) 4) _ 5) 6) _ 6) 함수 y= 3 의그래프를평행이동한것이다. x 187 답 1) 3 ) 4 3) 1) 유리함수 y= 1 의그래프의점근선의방정식은 x-3 x= 3, y=0 이므로유리함수의그래프가직선 y=-x+k 에대하여대칭이려면직선 y=-x+k 가 두점근선의교점 ( 3, 0) 을지나야한다. 0= -3 +k k= 3 ) 유리함수 y=- 1 의그래프의점근선의방정식은 x+4 x=-4, y=0 이므로유리함수의그래프가직선 y=x+k 에대하여대칭이려면직선 y=x+k 가두 점근선의교점 (-4, 0) 을지나야한다. 0=-4+k k=4 3) 유리함수 y= 1 +1의그래프의점근선의방정식은 x-1 x=1, y=1 이므로유리함수의그래프가직선 `y=-x+k 에대하여대칭이려면직선 `y=-x+k 가 두점근선의교점 (1, 1) 을지나야한다. 1=-1+k k= 188 답 ⑴ p, q ⑵ x+p, y+q ⑶ x=p, y=q ⑷ (p, q) 189 답 1) y= 3 + ) 해설참조 x-1 3) x=1, y= 4) {x x+1 인실수 } 5) {y y+ 인실수 } 1) y= x+1 x-1 = (x-1)+3 = 3 x-1 x-1 + ) 함수 y= x+1 x-1 의그래프는함수 y= 3 x 의그래프를 x 축의방향으로 1 만큼, y 축의방향으로 만큼평 행이동한것이다. Ⅱ 함수 35

36 190 답 1) y= 1 x+ + ) 1) y= 1 x- = 1 (x-1) ` y= 1 의그래프를 x축의방향으로 1만큼평행이동 x ) y= 4x+1 x = 1 x + y= 1 의그래프를 y축의방향으로 만큼평행이동 x 3) y= 4x-3 x+ = (x+)-7 x+ =- 7 (x+1) + y=- 7 의그래프를 x축의방향으로 -1만큼, y축 x 의방향으로 만큼평행이동 4) y= x ;!;(x-)+1 x- = x- = 1 (x-1) +;!; y= 1 의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의방 x 향으로 ;!; 만큼평행이동 5) y= x+1 x = 1 x +1 3) x=-, y= 4) {x x+- 인실수 } 5) {y y+ 인실수 } 1) y= x+5 x+ = (x+)+1 = 1 x+ x+ + ) y= x+5 x+ 의그래프는함수 y= 1 의그래프를 x축의 x 방향으로 - 만큼, y 축의방향으로 만큼평행이동한 것이다. 191 답 1) y=- x-3-1 ) 3) x=3, y=-1 4) {x x+3 인실수 } 5) {y y+-1 인실수 } 1) y= -x+1 x-3 = -(x-3)- =- x-3 x-3-1 ) y= -x+1 x-3 의그래프는함수 y=- x 의그래프를 x 축 의방향으로 3 만큼, y 축의방향으로 -1 만큼평행이동 한것이다. 19 답 1) ) 3) _ 4) 5) _ 6) 7) _ y= 1 의그래프를 y축의방향으로 1만큼평행이동 x 6) y= 3x+1 x = 1 x +;#; y= 1 의그래프를 y축의방향으로 ;#; 만큼평행이동 x 7) y= 5x ;%;(x-)+5 x- = x- = 5 (x-1) +;%; y= 5 의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의 x 방향으로 ;%; 만큼평행이동 193 답 1) _ ) _ 3) 4) _ 5) 6) 7) _ y= -x-1 x-1 = -(x-1)- x-1 1) y= x+1 x- = (x-)+5 x- ) y= x+3 x- = (x-)+5 x- 3) y= x-5 x-3 = (x-3)- x-3 =- x-1-1 = 5 x- + = 5 (x-1) +1 =- x ) y= 3x-6-3x+5 = -3x+6 3x-5 = -(3x-5)+1 3x-5 = 1 3x-5-1 5) y= x+ x+ = (x+)- x+ 6) y= -x+1 x-3 = -(x-3)- x-3 7) y= -3x+3 x-7 =- x+ + =- x-3-1 = -3(x-7)+ = x-7 x 정답및해설

37 194 답 1) [y yé1 또는 y¾;%;] ) {y yé1 또는 y¾4} 1) y= x-1 x-1 = (x-1)+1 = 1 x-1 x-1 + 이므로 주어진함수의그래프는함수 y= 1 의그래프를 x축의 x 방향으로 1만큼, y축의방향으로 만큼평행이동한 것이다. 따라서 0Éx<1 또는 1<xÉ3 에서함수 y= x-1 x-1 의그래프는 오른쪽그림과같으므로 치역은 [y yé1 또는 y¾ ;%; ] ) y= 3x-1 x-1 = 3(x-1)+ x-1 = +3이므로주어진 x-1 함수의그래프는함수 y= 의그래프를 x축의방향으 x 로 1 만큼, y 축의방향으로 3 만큼평행이동한것이다. 따라서 0Éx<1 또는 1<xÉ3 에서 함수 y= 3x-1 x-1 의그래프는 오른쪽그림과같으므로치역 은 {y yé1 또는 y¾4} 195 답 y= k x-p +q 196 답 1) k=4, p=3, q= ) k=, p=, q=-1 1) 주어진함수의그래프의점근선의방정식이 x=3, y= 이므로 y= k + (k+0) yy ᄀ x-3 로놓고, 이그래프가점 (1, 0) 을지나므로 0= k k= 4 k= 4 를ᄀ에대입하면 y= 4 x-3 + k= 4, p= 3, q= ) 주어진함수의그래프의점근선의방정식이 x=, y=-1 이므로 y= k -1 (k+0) yy ᄀ x- 로놓고, 이그래프가점 (0, -) 를지나므로 -= k -1 k= 0- k= 를ᄀ에대입하면 `y= x- -1 k=, p=, q= 답 1) a=1, b=-4, c=- ) a=1, b=4, c= 1) 주어진함수의그래프의점근선의방정식이 x=, y=1 이므로 y= k x- +1 (k+0) yy ᄀ 로놓고, 이그래프가점 (0, ) 를지나므로 = k k= - k= - 를ᄀ에대입하면 y= - a= 1, b= -4, c= - x- +1= x-4 x- ) 주어진함수의그래프의점근선의방정식이 x=-, y=1 이므로 y= k +1 (k+0) yy ᄀ x+ 로놓고, 이그래프가점 (0, ) 를지나므로 = k +1 k= 0+ k=를ᄀ에대입하면 y= x+4 +1= x+ x+ a=1, b=4, c= 198 답 a=, b=-1, c=1 방법 1 점근선의방정식이 x=-1, y= 이므로 y= k + (k+0) yy ᄀ x+1 로놓고, 이그래프가점 (, 1) 을지나므로 1= k + k= k= -3 을ᄀ에대입하면 y= -3-3+(x+1) += = x-1 x+1 x+1 x+1 a=, b= -1, c= 1 방법 y= ax+b x+c = a(x+c)-ac+b x+c = -ac+b x+c +a yy ᄀ 이므로이그래프의점근선의방정식은 x=-c, y=a a=, c=1 yy ᄂ 또, ᄀ의그래프가점 (, 1) 을지나므로 1= -ac+b +a yy ᄃ +c Ⅱ 함수 37

38 ᄂ을ᄃ에대입하면 1= -+b +1 + b= -1 a=, b= -1, c= 답 a=3, b=-4, c= 점근선의방정식이 x=-, y=3 이므로 y= k +3 (k+0) yy ᄀ x+ 으로놓고, 이그래프가점 (4, -) 를지나므로 -= k +3 k= k=-30 을ᄀ에대입하면 y= -30 3x-4 +3= x+ x+ a=3, b=-4, c= 00 답 a=4, b=0, c=1 점근선의방정식이 x=-1, y=4 이므로 y= k +4 (k+0) yy ᄀ 1+1 로놓고, 이그래프가점 (1, ) 를지나므로 = k +4 k= k=-4 를ᄀ에대입하면 y= -4 4x +4= x+1 x+1 a=4, b=0, c=1 01 답최댓값 :, 최솟값 : ;4%; y= x+ x+1 = (x+1)+1 = 1 x+1 x 주어진함수의그래프는함수 y= 1 의그래프를 x축의방향 x 으로 -1 만큼, y 축의방향으로 1 만큼평행이동한것이다. 0ÉxÉ3에서함수 y= x+ 의그래프는다음그림과같 x+1 으므로 Ú x=0 일때, 최댓값은 Û x=3 일때, 최솟값은 ;4%; 0 답최댓값 : ;3%;, 최솟값 : 0 y= x-1 x-1 = (x-1)+1 x-1 = 1 x-1 + 이므로주어진함수의그래프는함수 y= 1 x 의그래프를 x 축의방향으로 1 만큼, y 축의방향으로 만큼평행이동한 것이다. -ÉxÉ;!; 에서함수 y= x-1 x-1 의그래프는 그림과같으므로 Ú x=- 일때, 최댓값은 Û x=;!; 일때, 최솟값은 03 답 -1 함수 y= 1 +a의그래프의 x+ 개형은다음그림과같다. 따라서 x=-1 일때최댓값, x=3 일때최솟값을갖는다 =;3%; 1 +=0 ;!;-1 즉, x=3 일때 y=-;5$; 이므로 -;5$;= a a=-1 04 답 1 05 답 함수 y=- 1 +a의그래프의 x-1 개형은다음그림과같다. 따라서 x= 일때최솟값, x=4 일때최댓값을갖는다. 즉, x=4 일때 y=;3@; 이므로 ;3@;=- 1 +a a=1 4-1 k +q, a, b, k x-p 06 답 y= x x-1 주어진함수를 x 에대하여풀면 y= y(x-)=x, xy-y=x x(y-1)=y x= y y-1 y= x-1 x-1 x x- 에서 x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y= y - O x x x 38 정답및해설

39 07 답 y= x-1 x- y= x-1 에서 y(x-)=x-1 x- xy-y=x-1 x(y-)=y-1 x= y-1 y- x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y= x-1 x- 08 답 y= 3x-1 x+3 y= 3x+1 에서 y(-x+3)=3x+1 -x+3 -xy+3y=3x+1 x(y+3)=3y-1 x= 3y-1 y+3 x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y= 3x-1 x+3 09 답 a=3, b=-6 y= 6x+1 이라고하면 y(x+a)=6x+1 x+a xy+ay=6x+1 x(y-6)=-ay+1 x= -ay+1 y-6 x 와 y 를서로바꾸면 y=f -1 (x)= -ax+1 x-6 = -3x+1 x+b a=3, b=-6 10 답 a=-1, b=3, c=- 11 답 1 y= x+3 이라고하면 y(x+a)=x+3 x+a xy+ay=x+3 x(y-)=-ay+3 x= -ay+3 y- x 와 y 를서로바꾸면 y=f -1 (x)= -ax+3 x- = x+b x+c a=-1, b=3, c=- f(x)= x+1 x+1 을 y= 이라고하면 x-a x-a y(x-a)=x+1 xy-ay=x+1 x(y-1)=ay+1 x= ay+1 y-1 f -1 (x)= ax+1 x-1 그런데 f=f -1 이므로 x+1 x-a = ax+1 x-1 1 답 - f(x)= ax-3 x+ ax-3 을 y= 이라고하면 x+ y(x+)=ax-3, xy+y=ax-3 x(y-a)=-y-3 x= -y-3 y-a f -1 (x)= -x-3 x-a 그런데 f=f -1 이므로 ax-3 x+ = -x-3 x-a 13 답 ⑴ Ú x=f -1 (y) Û x, y Ü 정의역 14 답 -;!; ⑵ -dy+b cy-a, -dx+b cx-a 방법 1 (g½f)(4)=g ( f(4))=g { 방법 4 }=g { ;3$; } 4-1 ;3$;-1 ;3!; = = = -;!; ;3$;- -;3@; a=1 a=- (g½f)(x)=g ( f(x))= f(x)-1 f(x)- x x-1-1 = x x-1 - = x-(x-1) x-(x-1) = 1 -x+ (g½f )(4)= 1-4+ = -;!; 15 답 - ( f -1 ½f½f -1 )(x)=(i½f -1 )(x)=f -1 (x) ( f -1 ½f½f -1 )(1)=f -1 (1) 이때, y=f(x) 라고하면 y= 3x+1 x-1 이므로 y(x-1)=3x+1, xy-y=3x+1 x(y-3)=y+1 x= y+1 y-3 f -1 (x)= x+1 x-3 ( f -1 ½f½f -1 )(1)=f -1 (1)= =- Ⅱ 함수 39

40 16 답 13 (g -1 ½f ) -1 ()=( f -1 ½g)()=f -1 (g()) 이때, y=f(x) 라고하면 y= x+ x-1 이므로 y(x-1)=x+, xy-y=x+ x(y-1)=y+ x= y+ y-1 f -1 (x)= x+ x-1 g()= +1 =;4%; 이므로 + (g -1 ½f ) -1 ()=f -1 (g())=f -1 {;4%;} 17 답⑴ g ( f(x)) ;4%;+ = =13 ;4%;-1 ⑵ 1 g ( f -1 (x)) ( f -1 ½g)(x), f -1 (g(x)) 18 답 1) ) 3) 4) _ 5) _ 6) 7) 8) 9) 10) 19 답 1) {x x¾-} ) {x xé4} 3) [x x¾-;5@;] 4) {x xé5} 5) {x x¾} 1) 무리함수 y='äx+ 의정의역은 x+¾ 0 으로부터 {x x¾ - } ) 4-x¾0 xé4 {x xé4} 3) 5x+¾0 5x¾- x¾-;5@; [x x¾-;5@;] 4) 5-x¾0 xé5 {x xé5} 5) x-4¾0 x¾ {x x¾} 0 답 ⑴ 무리함수 ⑵ 무리함수, 0 1 답정의역 : {x x¾0}, 치역 : {y y¾0} 함수 y='x(x¾0) 에서 x 를 y 에대한식으로나타내면 x=yû` (y¾0) x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y= xû` (x¾0) 역함수의그래프를이용하여함수 y='x 의그래프를그리면그림과 같다. 정의역 : {x x¾ 0` } [ 치역 : {y y¾ 0` } 답정의역 : {x xé0}, 치역 : {y y¾0} 함수 y=' -x`(xé0) 에서 x 를 y 에대한식으로나타내면 -x=yû`, x=-yû`(y¾0) x 와 y 를서로바꾸어역함수를 구하면 y=-xû`(x¾0) 함수 `y=' -x 의그래프를 그리면그림과같다. 정의역 : {x xé0} [ 치역 : {y y¾0} 3 답정의역 : {x x¾0}, 치역 : {y yé0} 함수 y=-'x(x¾0) 에서 x 를 y 에대한식으로나타내면 x=yû`(yé0) x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y=xû`(xé0) 함수 y=-'x 의그래프를그리면 그림과같다. 정의역 : {x x¾0} [ 치역 : {y yé0} 4 답정의역 : {x xé0}, 치역 : {y yé0} `` 함수 y=-' -x (xé0) 에서 x 를 y 에대한식으로나타내면 yû`=-x, x=-yû`(yé0) x 와 y 를서로바꾸어역함수를구하면 y=-xû`(xé0) 함수 `y=-' -x 의그래프를 그리면그림과같다. 정의역 : {x xé0} [ 치역 : {y yé0} 5 답⑴ Ú {x x¾0}, {y y¾0} Û {x xé0}, {y y¾0} ⑵ Ú {x x¾0}, {y yé0} Û {x xé0}, {y yé0} 40 정답및해설

41 6 답 1) y=-' x ) y=' -x 3) y=-' -x ) 3) 1) 7 답 1) y=-'ä-3x ) y=' 3x 3) y=-' 3x ) 1) 3) 8 답 y=' ax, y='ä-ax, y=-' ax, y=-'ä-ax 3) y=' 3x-5에서 y+5=' 3x이므로이함수의그래프는함수 `y=' 3x의그래프를 y축의방향으로 -5만큼평행이동한것이다. a=0, b=-5 4) y='äx++5에서 y-5='äx+이므로이함수의그래프는함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 -만큼, y축의방향으로 5만큼평행이동한것이다. a=-, b=5 5) y='ä3-x+1에서 y-1="ã-(x-3) 이므로이함수의그래프는함수 y=' -x의그래프를 x축의방향으로 3만큼, y축의방향으로 1만큼평행이동한것이다. a=3, b=1 6) y='ä1-x-에서 y+="ã-(x-1) 이므로이함수의그래프는함수 y=' -x의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의방향으로 -만큼평행이동한것이다. a=1, b=- 9 답 1) y='ä3x+3+1 ) y='ä6x 답해설참조 3) y='ä-x+-3 4) y='ä-5xä ) y=-'ä6x-1+3 6) y=-'ä7x ) y=' 3x에서 y-1="ã3(x+1) y='ä3x+3+1 함수 y='äx+1의그래프는함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 -1만큼평행이동한것이므로그림과같다. ) y=' 6x 에서 y-="ã6(x-1) y='ä6x-6+ 3) y='ä-x에서 y+3="ã-(x-1) y='ä-x+-3 4) y='ä-5x에서 y-3="ã-5(x+) y='ä-5xä ) y=-' 6x에서 y-3=-"ã6(x-) 3 답해설참조 함수 y='x+1의그래프는함수 y='x의그래프를 y축의방향으로 1만큼평행이동한것이므로그림과같다. y=-'ä6x-1+3 6) y=-' 7x에서 y+1=-"ã7(x-5) y=-"ã7x 답 1) a=8, b=0 ) a=3, b=0 3) a=0, b=-5 4) a=-, b=5 33 답해설참조 함수 y='äx+1+1의그래프는함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 -1만큼, y축의방향으로 1만큼평행이동한것이므 O 5) a=3, b=1 6) a=1, b=- 로그림과같다. 1) 함수 y='äx-8의그래프는함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 8만큼평행이동한것이다. 34 답해설참조 a=8, b=0 ) y='äx-6에서 y="ã(x-3) 이므로이함수의그래프는함수 y=' x의그래프를 x축의방향으로 3만큼평행이동한것이다. a=3, b=0 함수 y=-'äx+의그래프는함수 y=-'x의그래프를 x축의방향으로 -만큼평행이동한것이므로그림과같다. Ⅱ 함수 41

42 35 답해설참조 함수 y=-'äx+-의그래프는함수 y=-'x의그래프를 x축의방향으로 -만큼, y축의방향으로 -만큼평행이동한것이므로그림과같다. 36 답해설참조 함수 y=' -x+의그래프는함수 `y=' -x의그래프를 y축의방향으로 만큼평행이동한것이므로그림과같다. 41 답해설참조, 정의역 : {x xé-}, 치역 : {y y¾1} y='ä-x-4+1에서 `` y="ã-(x+)+1 4 답해설참조, 치역 :{y 0ÉyÉ'-1} y='ä3-x-1에서 y="ã-(x-3)-1 정의역이 {x 1ÉxÉ} 이므로 Ú x=1일때, y='ä3-1-1='-1 Û x=일때, y='ä3--1=0 치역 :{y 0ÉyÉ'-1} 37 답해설참조 함수 y='ä3-x에서 y="ã-(x-3) 이므로이함 수의그래프는함수 `y=' -x의그래프를 x축의 방향으로 3만큼평행이동한것이므로그림과같다. 38 답해설참조 함수 y='ä3-x+에서 y="ã-(x-3)+이므로 이함수의그래프는함수 y=' -x의그래프를 x축의방향으로 3만큼, y축의방향으로 만큼평행이동한것이므로그림과같다. 43 답해설참조, 치역 :{y '3+1ÉyÉ4} y='ä3x-3+1 에서 y="ã3(x-1)+1 정의역이 {x ÉxÉ4} 이므로 Ú x= 일때, y='ä3-3+1='3+1 Û x=4 일때, y='ä =4 치역 : {y '3+1ÉyÉ4} 44 답 ⑴ 1 p, q Ú {x x¾p}, {y y¾q}, Û {x xép}, {y y¾q} ⑵ y='äa(x-p)+q, Ú [x x¾- b ], {y y¾c} a Û [x xé- b ], {y y¾c} a 39 답해설참조, 정의역 : {x x¾}, 치역 : {y y¾0} y='ä3x-6에서 y="ã3(x-) 45 답 a=1, b=1, c= 주어진무리함수의그래프는함수 y=' ax (a>0) 의그래프 를 x 축의방향으로 -1 만큼, y 축의방향으로 만큼평행 이동한것이므로 40 답해설참조, 정의역 : {x x¾}, 치역 : {y y¾1} y='äx-4+1에서 y="ã(x-)+1 y= Éa(x+ 1 )+ yy ᄀ주어진그래프가점 (0, 3) 을지나므로 3='a+, 'a=1 a= 1 a= 1 을ᄀ에대입하면 y= Éx+ 1 + b= 1, c= 4 정답및해설

43 46 답 a=', b=, c=-1 주어진무리함수의그래프는함수 y=a'x(a>0) 의그래프를 x축의방향으로 -만큼, y축의방향으로 -1만큼평행이동한것이므로 y=a'äx+-1 yy ᄀ주어진그래프가점 (0, 1) 을지나므로 1=a'-1, a'= a=' a='를ᄀ에대입하면 y=''äx+-1 a=', b=, c=-1 47 답 a=4, b=4, c=-1 주어진무리함수의그래프는함수 y=' ax(a>0) 의그래프를 x축의방향으로 -1만큼, y축의방향으로 -1만큼평행이동한것이므로 y="ãa(x+1)-1 yy ᄀ주어진그래프가점 (0, 1) 을지나므로 1='a-1, 'a= a=4 a=4를ᄀ에대입하면 y ="Ã4(x+1)-1 ='Ä4x+4-1 a=4, b=4, c=-1 50 답 M=1, m=0 함수 y='äx-1-1의그래프는함수 y='x의그래프를 x 축의방향으로 1 만큼, y축의방향으로 -1 만큼평행이동한것이므로그래프는그림과같다. Ú x= 5 일때, 최댓값 M='Ä5-1-1=1 Û x= 일때, 최솟값 m='ä-1-1=0 51 답 M=, m=1 함수 y='äx+1-1의그래프는그림과같다. Ú x=8일때, 최댓값 M='Ä8+1-1= Û x=3일때, 최솟값 m='ä3+1-1=1 5 답 M=5, m=1 y=1+'äx+, 즉 y="ã(x+1)+1의그래프는그림과같다. 48 답 a=-;3$;, b=;3$;, c= 주어진무리함수의그래프는함수 y=-' ax(a<0) 의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의방향으로 만큼평행이동한것이므로 y=-"ãa(x-1)+ yy ᄀ주어진그래프가점 (-, 0) 을지나므로 0=-"Ãa(--1)+, -'Ä-3a=- 'Ä-3a=, -3a=4 a=-;3$; a=-;3$; 를ᄀ에대입하면 y=-¾ -;3$;(x-1)+=-¾ -;3$;x+;3$;+ a=-;3$;, b=;3$;, c= 49 답 Ú - b a, c Û 대입 Ú x=7일때, 최댓값 M=1+'Ä 7+=5 Û x=-1일때, 최솟값 m=1+"ã (-1)+=1 53 답 1 함수 y='ä-x+a-의그래프는함수 y=' -x의그래프를평행이동한것이므로 x의값이증가할때, y의값은감소한다. 따라서 x= -3 일때최댓값, x= 4 일때최솟값을갖는다. x= -3 일때, 최댓값이 이므로 ='Ä3+a-, 'Ä3+a=4 3+a=16 a=13 y='ä-x+13- 따라서 x= 4 일때, 최솟값은 y='ä-4+13-=1 Ⅱ 함수 43

44 54 답 1 함수 y='äx+a-1의그래프는함수 y=' x의그래프를평행이동한것이므로 x의값이증가할때, y의값도증가한다. 따라서 x=0일때최솟값, x=6일때최댓값을갖는다. x=6일때, 최댓값이 3이므로 3='Ä 6+a-1 4='Ä1+a 16=1+a a=4 y='äx+4-1 x=0일때, 최솟값은 y='ä 0+4-1=1 55 답 Ú f(q), f(p) Û f(p), f(q) 57 답 1) k>;4%; ) k<1 또는 k=;4%; 3) 1Ék<;4%; Ú 직선 y=-x+k가점 (1, 0) 을지날때, 0=-1+k k=1 Û 함수 y='ä1-x의그래프와직선 y=-x+k가접할때, 'Ä1-x=-x+k, 1-x=xÛ`-kx+kÛ` xû`-(k-1)x+kû`-1=0 이이차방정식의판별식을 D라고하면 D={-(k-1)}Û`-4(kÛ`-1)=0, -4k+5=0 k=;4%; 56 답 1) k>;4%; ) k<1 또는 k=;4%; 3) 1Ék<;4%; 함수 y='äx+1의그래프는함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 -1 만큼평행이동한것이고, 직선 y=x+k는기울기가 1이고 y절편이 k이다. Ú 직선 y=x+k가점 ( -1, 0) 을지날때, 0=-1+k k= 1 Û 함수 y='äx+1의그래프와직선 y=x+k가접할때, 'Äx+1=x+k의양변을제곱하여정리하면 x+1=xû`+kx+kû` xû`+(k-1)x+kû`-1=0 이이차방정식의판별식을 D라고하면 D=(k-1)Û`-4(kÛ`-1)=0-4k+5=0 k= ;4%; 1) 만나지않는다. k` > `;4%; ) 한점에서만난다. k<1 또는 k= ;4%; 3) 서로다른두점에서만난다. 1Ék< ;4%; 58 답 1) k<-;4%; ) k>-1 또는 k=-;4%; 3) -;4%;<kÉ-1 Ú 직선 y=x+k가점 (1, 0) 을지날때, 0=1+k k=-1 Û 함수 y=-'ä1-x의그래프와직선 y=x+k가접할때, -'Ä1-x=x+k, 1-x=xÛ`+kx+kÛ` xû`+(k+1)x+kû`-1=0 이이차방정식의판별식을 D라고하면 D=(k+1)Û`-4(kÛ`-1)=0, 4k+5=0 k=-;4%; 59 답 ⑴ y=f(x), y=g(x) ⑵ D=0 60 답 y=;!;(x-4)û`-3 (xé4) 함수 y=4-'äx+6의치역이 {y yé 4 } 이므로역함수의정의역은 {x xé 4 } 이다. y=4-'äx+6에서 y-4=-'äx+6, (y-4)û`=x+6 x=;!;(y-4)û`-3 x와 y를서로바꾸어역함수를구하면 y=;!;(x-4)û`-3 (xé 4 ) 44 정답및해설

45 61 답 y=(x-1)û`+1 (x¾1) 함수 y='äx-1+1의치역이 {y y¾1} 이므로역함수의정의역은 {x x¾1} 이다. y='äx-1+1에서 y-1='äx-1, (y-1)û`=x-1 x=(y-1)û`+1 x와 y를서로바꾸어역함수를구하면 y=(x-1)û`+1 (x¾1) 6 답 k=8, y=8-xû` (x¾0) 함수 y='äk-x의역함수의그래프가점 P(, 4) 를지나고, 점 P(, 4) 와직선 y=x에대하여대칭인점은점 ( 4, ) 이다. 따라서함수 y='äk-x의그래프는점 ( 4, ) 를지난다. 즉, ='Äk-4이므로 4=k-4 k= 8 y='ä8-x의양변을제곱하면 yû`=8-x x=8-yû` x와 y를서로바꾸어역함수를구하면 y= 8-xÛ` (x¾0) 63 답 k=10, y=xû`-10 (x¾0) 함수 y='äx+k의역함수의그래프가점 P(4, 6) 을지나고, 점 P(4, 6) 과직선 y=x에대하여대칭인점은점 (6, 4) 이다. 따라서함수 y='äx+k의그래프는점 (6, 4) 를지난다. 즉, 4='Ä6+k이므로 16=6+k k=10 y='äx+10의양변을제곱하면 yû`=x+10 x=yû`-10 x와 y를서로바꾸어역함수를구하면 y=xû`-10 (x¾0) 64 답 Ú x, y Û x, y Ü 정의역, 치역 단원총정리문제 Ⅱ 함수 01, 답, 4 f(xy)=f(x)+f(y) yy ᄀ ᄀ에 x=1, y=1 을대입하면 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0 f(1)+f()=f() ᄀ에 y=;[!; 을대입하면 f(1)=f(x)+f {;[!;} 0=f(x)+f {;[!;} f(x)=-f {;[!;} f()=-f {;!;} pp.16~17 ᄀ에 y=x 를대입하면 f(xû`)=f(x) f(x)=;!; f(xû`) f()=;!; f(4) f(1)+f()=f()=-f {;!;}=;!; f(4) 따라서구하는것을모두고르면, 4 이다. 0 답 3 함수 y=-x+b 를 f(x)=-x+b 라고하면함수 f(x) 는 감소함수이다. 따라서함수 f(x) 가집합 X 에서집합 Y 로의일대일대응 이되려면 f(a)=6, f(3)=0 -a+b=6, -3+b=0 a=-3, b=3 a+b=0 03 답 5 04 답 (`f½f)(x) =f(`f(x))=f(x+a) =(x+a)+a=4x+3a 4x+3a=bx+3 이므로 4=b, 3a=3 a=1, b=4 a+b=5 (g½f)(x)=g( f(x))=g(ax+b)=ax+b+c ax+b+c=x+ 이므로 a=, b+c= f(0)=1 에서 b=1 c=1 abc= 1 1= Ⅱ 함수 45

46 05 답 답 4 ( f½f)(x) =f( f(x))=f(3x+a) =3(3x+a)+a=9x+4a 9x+4a=bx+8 이므로 9=b, 4a=8 a= a+b=+9=11 함수 f 의역함수가존재하려면함수 f 는일대일대응이어야 하고, 직선 f(x) 의기울기는양수이므로 f(1)=a, f()=b a=f(1)=3 1-=1, b=f()=3 -=4 ab=4 07 답 4 ( f½( f½g) -1 ½f )(a) =( f½g -1 ½f -1 ½f )(a) g -1 (a)=k 라고하면 g(k)=a kû`=a 08 답 9 k='a ( k>0) ( f½( f½g) -1 ½f)(a)=f('a)='a 'a=4 이므로 'a= a=4 =( f½g -1 )(a)=f (g -1 (a)) 함수 f 의역함수가함수 g 이므로 f -1 =g, 즉 g -1 =f g(7)=f -1 (7) f -1 (7)=k 로놓으면 f(k)=7 k-1=7, k=8 k=4 g(7)=4 g(7)+g -1 (3)=4+f(3)=4+ 3-1=9 09 답 4 y= k +3의그래프가점 (3, 1) 을지나므로 x- 1= k +3 k=- 3- 따라서 y= - x- a=3, b=-8, c=- 10 답 -+3(x-) +3= = 3x-8 x- x- 이므로 abc=48 점근선의방정식이 x=-1, y= 이므로 y= k + (k+0) yy ᄀ x+1 로놓고, 이그래프가점 (1, 0) 을지나므로 0= k + k= k=-4를ᄀ에대입하면 y= -4 x- += x+1 x+1 이므로 a=, b=-, c=-1 a+b+c=-1 11 답 4 함수 y= x+3 x+a = (x+a)+3-a x+a 의그래프의개형은오른쪽그림과 같다. a> 이므로 x=0 일때 최댓값, x= 일때최솟값을갖는 다. 즉, x=0 일때 y=1 이므로 1= 3 a a=3 = 3-a x+a + 따라서구하는최솟값은 x= 일때이므로 =;5&; 1 답 f(x)= 을 y= +1이라고하면 x-k x-k 1 1 =y-1, x-k= x-k y-1 f -1 (x)= 1 x-1 +k f=f -1 이므로 13 답 x= 1 y-1 +k 1 x-k +1= 1 +k k=1 x-1 f (x)=( f½f )(x)=f(f(x))= x-1 x -1 = -1 x-1 x-1 x f 3 (x)=( f ½f )(x)=f (`f(x))= -1 x-1 x -1 =x 함수 f 3 (x)=f 6 (x)=f 9 (x)=y=f 3k (x) (k 는자연수 ) 이므로 f 11 (10)=f (10)= =-;9!; 14 답 Ú 직선 y=ax+1 이점 {;#;, 0} 을지날때, 0=;#;a+1 a=-;3@; Û y='äx-3 의그래프와직선 y=ax+1 이접할때, 'Äx-3=ax+1, x-3=aû`xû`+ax+1, aû`xû`+(a-1)x+4=0 이이차방정식의판별식을 D 라고하면 D =(a-1)û`-4aû`=0, 3aÛ`+a-1=0 4 (3a-1)(a+1)=0 Ú, Û 에서 -;3@;ÉaÉ;3!; m+n=-;3@;+;3!;=-;3!; a=;3!; ( a+-1) 46 정답및해설

47 Ⅲ 경우의수 A B - C C - B Ⅲ 1 합의법칙과곱의법칙 pp. 13~ 답 6 +4=6( 가지 ) B B C A - C C - A A - B B - A 0 답 10 치마의종류는 7가지, 바지의종류는 3가지이므로 7+3=10( 가지 ) 03 답 7 04 답 7 3++=7( 가지 ) 두주사위에서나오는눈의수를순서쌍으로나타내면 Ú 눈의수의합이 4인경우 (1, 3), (, ), (3, 1) 의 3가지 Û 눈의수의합이 5인경우 (1, 4), (, 3), (3, ), (4, 1) 의 4가지두사건은동시에일어날수없으므로구하는경우의수는합의법칙에의하여 3+4=7( 가지 ) 05 답 6 5의배수가적힌공은 5, 10, 15, 0으로 4가지 8의배수가적힌공은 8, 16으로 가지 1부터 0까지의자연수중 5와 8의공배수가없으므로합의법칙에의하여 4+=6( 가지 ) 06 답 5 학교에서도서관까지가는버스노선은 3개, 지하철노선은 개이므로학교에서도서관까지버스또는지하철을타고가는방법의수는합의법칙에의하여 3+=5( 가지 ) 07 답 1 C A- B - B B A - B B - A 따라서배열하는방법의수는 1 가지이다. 08 답 1 ㄱ ㄱ - ㄴ ㄴ ㄷ 09 답 10 답 3 ㄷ ㄴ - ㄷㄷ - ㄴㄱ - ㄷㄷ - ㄱㄱ - ㄴㄴ - ㄱ ㄱㄱ - ㄷㄷ - ㄱㄷ - ㄱ - ㄱ ㄱㄱ - ㄴㄴ - ㄱㄴ - ㄱ - ㄱ 따라서배열하는방법의수는 1( 가지 ) 이다. A, B, C 세명의학생의신발을각각 a, b, c 라하자. 자기신발이아닌신발을신는경우를 구해보면오른쪽과같다. 따라서구하는경우는 가지이다. 계수가큰문자 x 의값을기준으로경우를나누면 Ú x=0 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (0, 5) Û x=1 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (1, 3) A B C b - c - a c - a - b A B - C B C - B C- B - B Ü x=일때, 순서쌍 (x, y) 는 (, 1) Ý x=3일때, 순서쌍 (x, y) 는 (3, -1) 따라서구하는순서쌍의개수는 3 이다. Ⅲ 경우의수 47

48 11 답 3 계수가큰문자 y의값을기준으로경우를나누면 Ú y=0일때, 순서쌍 (x, y) 는 (10, 0) Û y=1일때, 순서쌍 (x, y) 는 (6, 1) Ü y=일때, 순서쌍 (x, y) 는 (, ) Ý y=3일때, 순서쌍 (x, y) 는 (-, 3) 따라서구하는순서쌍의개수는 3이다. 1 답 5 계수가큰문자 x의값을기준으로경우를나누면 Ú x=0일때, y+z=5 순서쌍 (y, z) 는 (5, 0), (3, 1), (1, ) Û x=1일때, y+z= 순서쌍 (y, z) 는 (, 0), (0, 1) Ü x=일때, y+z=-1 순서쌍 (y, z) 는없다. 따라서구하는순서쌍의개수는 5이다. 13 답 ⑴ 사건 ⑵ 경우의수 ⑶ m+n 14 답 6 등산로입구에서쉼터까지가는방법은 가지, 쉼터에서약수터까지가는방법은 3가지따라서구하는방법의수는 _3=6( 가지 ) 이다. 15 답 8 곱의법칙에의하여 _4=8( 가지 ) 16 답 4 남학생대표를뽑는방법은 4가지, 여학생대표를뽑는방법의수는 6가지따라서구하는방법의수는곱의법칙에의하여 4_6=4( 가지 ) 17 답 30 초등학교교사대표를뽑는경우는 3가지, 중학교교사대표를뽑는경우는 가지, 고등학교교사대표를뽑는경우는 5가지따라서구하는방법의수는곱의법칙에의하여 3 5=30( 가지 ) 18 답 35 짝수는일의자리의숫자가 0,, 4, 6, 8인수이므로 5가지, 십의자리의숫자는 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9인수이므로 7가지따라서 30 이상의두자리자연수중에서짝수의개수는 5_7=35( 개 ) 19 답 10 5의배수는일의자리의숫자가 0, 5인수이므로 가지, 십의자리의숫자는, 3, 4, 5, 6인수이므로 5가지따라서 0 이상 70 미만인두자리자연수중에서 5의배수의개수는 _5=10( 개 ) 0 답 9 36을소인수분해하면 36= _3 의양의약수 1,, Û` 의 3 개 3 의양의약수는 1, 3, 3Û` 의 3 개즉, 각각의양의약수에서하나씩택하여곱하면이들은모두 36의양의약수가된다. 따라서 36의양의약수의개수는곱의법칙에의하여 3_3= 9 ( 개 ) 이다. 1 답 10 48을소인수분해하면 48=Ý`_3 Ý`의양의약수는 1,, Û`, Ǜ, Ý`의 5개 3의양의약수는 1, 3의 개따라서 48의양의약수의개수는곱의법칙에의하여 5_=10( 개 ) 이다. 답 90` 40을소인수분해하면 40= 3 _5 3 의양의약수는 1,, Û`, Ǜ 5의양의약수는 1, 5 40의양의약수의총합은 3 의양의약수와 5의양의약수의곱의합이므로 ( 약수의총합 )=( Û` + Ǜ )( )= 90 3 답 을소인수분해하면 70=_5_7 의양의약수는 1, / 5의양의약수는 1, 5 / 7의양의약수는 1, 7 70의양의약수의총합은 의양의약수, 5의양의약수, 7의양의약수의곱의합이므로 ( 약수의총합 )=(1+)(1+5)(1+7)= 정답및해설

49 4 답 6 B에칠할수있는색은 3가지, A에칠할수있는색은 B에칠 한색을제외한 가지, C에칠 할수있는색은 A, B에칠한색을제외한 1가지, D에칠 할수있는색은 B, C에칠한색을제외한 1가지이다. 따라서칠하는경우의수는 3 1_1=6( 가지 ) 이다. 5 답 48 A에칠할수있는색은 4가지, B에칠할수있는색은 A에칠한색을제외한 3가지, C에칠 할수있는색은 A, B에칠한색을제외한 가지, D에칠 할수있는색은 A, C에칠한색을제외한 가지이다. 따라서칠하는경우의수는 4_3 =48( 가지 ) 이다. 6 답 70 B에칠할수있는색은 5가지, A에칠할수있는색은 B에칠 한색을제외한 4가지, E에칠 할수있는색은 A, B에칠한색을제외한 3가지, C에칠 할수있는색은 B에칠한색을제외한 4가지, D에칠할 수있는색은 C, E에칠한색을제외한 3가지이다. 따라서칠하는경우의수는 5_4_3_4_3=70( 가지 ) 이다. 7 답 ⑴ m_n ⑵ (p+1)(q+1)(r+1) ` 31 답 10 6명중순서를고려해서 3명을뽑아나열하는경우의수와같으므로 6 P 3 =6_5_4=10( 가지 ) 3 답 0 5개중 개를뽑아일렬로나열하는것이므로경우의수는 5P =5_4=0( 가지 ) 33 답 840 7개중 4개를뽑아일렬로나열하는것이므로경우의수는 7P 4 =7_6_5_4=840( 가지 ) 34 답 4 4개중 4개를뽑아일렬로나열하는것이므로경우의수는 4P 4 =4_3 1=4( 가지 ) 35 답 1) 1 ) 1 3) 3 1) 위원장으로반드시 A가뽑혀야하므로 A를고정시키고나머지 4명중에서 명을뽑아나열하는것과같다. 따라서구하는경우의수는 4 P =4_3=1( 가지 ) 이다. ) 서기로 C가뽑혀야하므로 C를고정시키고나머지 4명중에서 명을뽑아나열하는것과같다. 따라서구하는경우의수는 4 P =4_3=1( 가지 ) 이다. 3) 위원장으로 A, 부위원장으로 E가뽑혀야하므로 A, E 를고정시키고나머지 3명중에서 1명을뽑아나열하는것과같다. 따라서구하는경우의수는 3 P 1 =3( 가지 ) 이다. 36 답 84 Ⅲ 순열과조합 pp. 136~143 8 답 1) 3 P ) 3 P 3 3) 4 P 4) 4 P 3 9 답 1) 10 ) 1 3) 10 4) 10 5) 336 1) 6 P 3 =6_5_4=10 ) 8 P 0 =1 3) 5 P 4 =5_4_3_=10 4) 5 P 5 =5_4_3 1=10 5) 8 P 3 =8_7_6= 답 30 6명중순서를고려해서 명을뽑아나열하는경우의수와같으므로 6 P =6_5=30( 가지 ) 5개의문자를일렬로나열하는방법의수는 5!=10( 가지 ) 모음은 O, E, A의 3개이므로양끝에모음이오도록나열하는방법의수는 3P _3!=36( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 10-36=84( 가지 ) 이다. 37 답 36 7명중에서 명을뽑는방법의수는 7 P =4( 가지 ) 회장과부회장을남학생중에서모두뽑는방법의수는 3P =6( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 4-6=36( 가지 ) 이다. 38 답 6 np =30 에서 n(n-1)=30=6_5 n=6 Ⅲ 경우의수 49

50 39 답 10 n(n-1)=90=10_9 n=10 40 답 6 41 답 7 4 답 8 n(n-1)(n-)=10=6_5_4 n=6 n(n-1)(n-)=5n(n-1) n-=5 n=7 n(n-1)(n-)(n-3)=30n(n-1) (n-)(n-3)=30=6_5 n=8 43 답 7 4n(n-1)(n-)=n(n-1)(n-)yy(n-5) (n-3)(n-4)(n-5)=4=4_3_ n=7 44 답 1) 48 ) 96 3) 18 4) 60 1) 먼저첫번째자리에는 0 이올수없으므로 0 을제외한 4 가지가올수있다. 나머지자리에는첫번째자리에쓰인숫자를제외한 4 개의숫자중 개를뽑아나열하면되므로이경우의수는 4 P = 1 ( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 4 _1= 48 ( 가지 ) ) 먼저첫번째자리에는 0이올수없으므로 0을제외한 4가지가올수있다. 나머지자리에는첫번째자리에쓰인숫자를제외한 4 개의숫자중 3개를뽑아나열하면되므로 4P 3 =4_3_=4( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 4_4=96( 가지 ) 이다. 3) 일의자리에는 1, 3 중어느하나가오면되므로이때의경우의수는 가지, 백의자리에는 0이오면안되고, 일의자리에쓰인숫자가올수없으므로 3가지가올수있다. 나머지자리에는백의자리, 일의자리에쓰인수를제외한수 3가지가올수있다. 따라서구하는경우의수는 _3_3=18( 가지 ) 이다. 4) Ú 일의자리에 0이쓰인경우 1,, 3, 4 중에 3개를뽑아나열하면되므로이때의경우의수는 4 P 3 =4_3_=4( 가지 ) Û 일의자리에 가쓰인경우천의자리에는 0이올수없으므로 0, 를제외한 3 가지가올수있고, 나머지자리에는천의자리와일의자리에쓰인숫자를제외한 3가지중 개를뽑아나열하면된다. 이때의경우의수는 3_ 3 P =3_3_=18( 가지 ) Ü 일의자리에 4가쓰인경우 Û와마찬가지로 18가지이다. 따라서 Ú, Û, Ü으로부터구하는경우의수는 =60( 가지 ) 이다. 45 답 1) 54 ) 14 1) Ú 35 인경우 : 1,, 4를일렬로나열하면되므로이때의경우의수는 3!=6( 가지 ) 이다. Û 4 인경우 : 1,, 3, 5를일렬로나열하면되므로이때의경우의수는 4!=4( 가지 ) 이다. Ü 5 인경우 : Û의경우와같으므로 4가지이다. Ú, Û, Ü으로부터구하는경우의수는 6+4+4=54( 가지 ) 이다. ) 5의배수는일의자리의수가 5이어야한다. Ú 1 5인경우 :, 3, 4를일렬로나열하면되므로이때의경우의수는 3!=6( 가지 ) 이다. Û 5인경우 : 1, 3, 4를일렬로나열하면되므로이때의경우의수는 3!=6( 가지 ) 이다. Ü 31 5인경우 :, 4를일렬로나열하면되므로이때의경우의수는!=( 가지 ) 이다. Ú, Û, Ü으로부터구하는경우의수는 6+6+=14( 가지 ) 이다. 46 답 1) 40 ) cabed 1) bdcea보다앞에배열되는문자의수를구해보면 a Û 4!=4( 가지 ) ba Û 3!=6( 가지 ) bc Û 3!=6( 가지 ) bda Û!=( 가지 ) bdcae Û 1가지 bdcea Û 1가지따라서 bdcea는 40번째에배열된다. ) a Û 4!=4( 가지 ) b Û 4!=4( 가지 ) 이므로 49번째에는 cabde가배열된다. 따라서 50번째에배열되는문자는 cabed이다. 50 정답및해설

51 47 답 1) 144 ) 7 3) 144 4) 7 1) 여자 3 명을한명으로생각하여남자 3 명과나열하면 4 명을일렬로세우는것과같으므로이때의경우의수는 4!( 가지 ) 이고, 여자들끼리서로자리를바꾸는경우의 수가 3!( 가지 ) 이다. 따라서구하는경우의수는 4!_3!=144( 가지 ) 이다. ) 남자 3 명또는여자 3 명을먼저세우는경우의수는 각각 3!=6( 가지 ) 여남여남여남 남여남여남여 이때, 여자또는남자가맨앞에서는경우는 가지이다. 따라서구하는경우의수는 _6_6=7( 가지 ) 이다. 3) 양끝에남자를세우는경우의수가 3P =3_=6( 가지 ) 이고, 그각각의경우에대하여 4 명을일렬로세우는경우의수는 4!=4( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 6_4=144( 가지 ) 이다. 4) 남자를한묶음, 여자를한묶음으로생각하면이들을 배열하는경우의수는 가지이다. 한편남자끼리, 여자끼리모두각각자리를서로바꿀 수있으므로이때의경우의수는 3!_3!=36( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 _36=7( 가지 ) 이다. 48 답 ⑴ 순열, n P r ⑵ 1 n(n-1)(n-)y(n-r+1) n! (n-r)! 3 n!, 1, 1 49 답 1) 3 C ) 5 C 3 3) 6 C 4 4) 3 C 50 답 1) 3 ) 3 3) 6 4) 답 8 1) 3 C 1 = 3! 1!! =3 ) 3 C = 3!!1! =3 3) 4 C = 4!!! =6 4 ) 5 C 3 = 5! 3!! =10 nc = n(n-1) =8 n(n-1)=56=8_7 _1 n=8 5 답 5 nc 3 = n(n-1)(n-) = n(n-1)(n-)=5_4_3 n=5 53 답 4 n+c n = n+ C 이므로 (n+)(n+1) =15 (n+)(n+1)=6_5 _1 n=4 54 답 5 nc + n C 3 =0 에서 n(n-1) _1 + n(n-1)(n-) = n(n-1)+n(n-1)(n-)=10 n(n-1)(n+1)=10 (n+1)n(n-1)=6_5_4 n=5 55 답 15 6C = 6!!4! = 6_5 =15( 가지 ) _1 56 답 10 10C 3 = 10! 3!7! = 10_9_8 =10( 가지 ) 답 10 5C = 5!!3! = 5_4 =10( 가지 ) _1 58 답 56 8C 3 = 8! 3!5! = 8_7_6 =56( 가지 ) 답 6 D 가반드시뽑혀야하므로미리뽑아놓고 A, B, C, E 의 4개의문자중에서 개를뽑는방법과같다. 따라서구하는방법의수는 4 C = 4! =6( 가지 ) 이다.!! 60 답 81 장미 송이를반드시포함하는경우는다음과같이 3 가지 가있다. Ú 장미 송이, 튤립 송이를뽑는경우의수 4C _ 5 C = 4!!! _ 5! =6_10=60( 가지 )!3! Û 장미 3 송이, 튤립 1 송이를뽑는경우의수 4C 3 _ 5 C 1 = 4 C 1 _ 5 C 1 =4_5=0( 가지 ) Ü 장미 4 송이를뽑는경우의수 4 C 4 =1( 가지 ) Ú~Ü 에의하여구하는경우의수는 =81( 가지 ) 이다. Ⅲ 경우의수 51

52 61 답 10 특정한남학생 1명을이미뽑았다고하면남학생 명, 여학생 3명, 즉총 5명중에서 명을뽑는방법의수와같다. 따라서구하는방법의수는 5C = 5!!3! = 5_4 =10( 가지 ) _1 6 답 1 4) 남학생 4 명중에서 명을뽑는방법의수는 4C = 4! =6( 가지 )!! 여학생 3 명중에서 명을뽑는방법의수는 3C = 3! =3( 가지 )!1! 뽑힌남학생 명을먼저세우는 방법의수는 가지, 그사이에 여학생을세우는방법의수는 남 여 여 남 특정한남학생 1 명, 여학생 1 명을이미뽑았다고하면남 학생 3 명, 여학생 4 명, 즉총 7 명중에서 명을뽑는방법 의수와같다. 따라서구하는방법의수는 7C = 7!!5! = 7_6 =1( 가지 ) _1 63 답 1) 43 ) 16 3) 144 4) 16 1) 남학생 4 명중에서 명을뽑는방법의수는 4 C = 4!!! = 6 ( 가지 ) 여학생 3 명중에서 명을뽑는방법의수는 3 C = 3!!1! = 3 ( 가지 ) 뽑힌 4 명을일렬로세우는방법의수는 4!= 4 ( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 6_3_4!= 43 ( 가지 ) ) 남학생 4 명중에서 명을뽑는방법의수는 4C = 4! =6( 가지 )!! 여학생 3 명중에서 명을뽑는방법의수는 3C = 3! =3( 가지 )!1! 뽑힌남학생 명을하나로생각하면 3 명을일렬로세우 는방법의수는 3!=6( 가지 ) 이고남학생 명이자리를 바꿀수있으므로 가지이다. 따라서구하는방법의수는 6_3_6_=16( 가지 ) 3) 남학생 4 명중에서 명을뽑는방법의수는 4C = 4! =6( 가지 )!! 여학생 3 명중에서 명을뽑는방법의수는 3C = 3! =3( 가지 )!1! 뽑힌남학생 명, 여학생 명을각각하나로생각하면 명을일렬로세우는방법의수는!=( 가지 ) 이고각 각이자리를바꿀수있으므로!_!=4( 가지 ) 이다. 따라서구하는방법의수는 6_3 4=144( 가지 ) 64 답 답 4 3P =3_=6( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 6_3 6=16( 가지 ) 직선은 개의점을지나게하여만들수있으므로 5C = 5!!3! =10( 개 ) 삼각형은 3 개의점을이어만들수있으므로 4C 3 = 4! 3!1! =4( 개 ) 66 답 18 삼각형은 3 개의점을이어서만들수있으므로 6C 3 = 6! =0( 가지 ) 이고, 이때일직선위의세점이선 3!3! 택된경우에는삼각형을만들수없으니까 가지를빼주어 야하므로만들수있는삼각형의개수는 0-=18( 개 ) 이다. 67 답 1) 100 ) 30 1) 5 개의가로선중 개를뽑는방법의수는 5C = 5!!3! =10( 개 ) 5 개의세로선중 개를뽑는방법의수는 5C = 5!!3! =10( 개 ) 따라서구하는직사각형의개수는 10_10=100( 개 ) ) Ú 한변의길이가 1 인정사각형의개수는 4_4=16( 개 ) 68 답 18 Û 한변의길이가 인정사각형의개수는 3_3=9( 개 ) Ü 한변의길이가 3 인정사각형의개수는 _=4( 개 ) Ý 한변의길이가 4 인정사각형의개수는 1( 개 ) 따라서구하는정사각형의개수는 =30( 개 ) 3 개의가로선중 개를택하는방법의수는 3 C = 3!!1! =3( 개 ) 4 개의세로선중 개를택하는방법의수는 4 C = 4!!! =6( 개 ) 평행사변형은가로선 개와세로선 개를택하면만들어지므로 구하는평행사변형의개수는 3_6=18( 개 ) 5 정답및해설

53 답 단원총정리문제 Ⅲ 경우의수 Ú 두주사위의눈의수의합이 8 인경우는 pp.144~145 (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) Û 5 가지 Û 두주사위의눈의수의합이 9 인경우는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) Û 4 가지 Ú, Û 는동시에일어날수없으므로구하는경우의수는 합의법칙에의해 5+4=9( 가지 ) 0 답 4 Ú A Ú B Ú D 로가는방법의수는곱의법칙에의하여 _=4( 가지 ) Û A Ú C Ú D 로가는방법의수는곱의법칙에의하여 _1=( 가지 ) Ü A Ú B Ú C Ú D 로가는방법의수는곱의법칙에 의하여 _3_1=6( 가지 ) Ý A Ú C Ú B Ú D 로가는방법의수는곱의법칙에 의하여 _3_=1( 가지 ) Ú~Ý 는동시에일어날수없으므로합의법칙에의하여 =4( 가지 ) 03 답 1 계수가큰문자 x 의값을기준으로경우를나누면 Ú x=0 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (0, 9) Û x=1 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (1, 6) Ü x= 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (, 3) Ý x=3 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (3, 0) Þ x=4 일때, 순서쌍 (x, y) 는 (4, -3) 따라서구하는순서쌍의개수는 4 이다. 04 답 3 60 을소인수분해하면 60=Û`_3_5 Û` 의양의약수는 1,, Û` 의 3 개 3 의양의약수는 1, 3 의 개 5 의양의약수는 1, 5 의 개 따라서구하는양의약수의개수는곱의법칙에의하여 3 =1( 개 ) 05 답 4 100을소인수분해하면 100=Û`_5Û` Û`의양의약수는 1,, Û` 5Û`의양의약수는 1, 5, 5Û` 100의양의약수의총합은 Û`의양의약수와 5Û`의양의약 수의곱의합이므로 ( 약수의총합 )=(1++Û`)(1+5+5Û`)=17 06 답 48` A에칠할수있는색은 4가지, C에칠 할수있는색은 A에칠한색을제외한 3가지, B와 D에칠할수있는색은 A, C에칠한색을제외한 가지이다. 따라서구하는경우의수는 4_3 =48( 가지 ) 07 답 180 A에칠할수있는색은 5가지 B에칠할수있는색은 A에칠한색을 제외한 4가지 C에칠할수있는색은 A, B에칠한색을제외한 3가지 D에칠할수있는색은 A, C에칠한색을제외한 3가지 따라서구하는방법의수는 5_4_3_3=180( 가지 ) 이다. 08 답 3 그림과같이의 4개의자리여여여에남자 4명을일렬로세우면된다. 여자 3명을일렬로세우는방법의수는 3!=6( 가지 ) 남자 4명을세우는방법의수는 4!=4( 가지 ) 따라서구하는방법의수는 6_4=144( 가지 ) 09 답 지영이는반드시뽑는다고하므로나머지 4명중 1명을뽑으면되므로 4 P 1 =4( 가지 ) 지영이가회장또는부회장이되는경우는 가지이므로구하는경우의수는 _4=8( 가지 ) 이다. 10 답 18 먼저백의자리에 0이올수없으므로 0을제외한 3가지가올수있다. 나머지자리에서백의자리에쓰인숫자를제외한 3개의숫자중 개를뽑아나열하면되므로이경우는 3P =6( 가지 ) 이다. 따라서구하는세자리의자연수의개수는 3_6=18( 가지 ) 이다. Ⅲ 경우의수 53

54 11 답 3 서로다른지우개 4 개중에서 개를꺼내는방법의수는 4C = 4! =6( 가지 )!1! 서로다른볼펜 5 개중에서 3 개를꺼내는방법의수는 5C 3 = 5! =10( 가지 ) 3!! 따라서구하는방법의수는 6_10=60( 가지 ) 1 답 31 7 개의점에서 3 개를택하는경우의수는 7C 3 = 7! =35( 가지 ) 3!4! 직선위의 4 개중 3 개를택하는경우의수는 4C 3 = 4! =4( 가지 ) 3!1! 직선위의점으로삼각형을만들수없으므로구하는삼각 형의개수는 35-4=31( 개 ) 4 색문제 제주도를제외한내륙의인접한 13개의도의경계를색칠하기로구분하려면몇개의색이필요할까? 도의경계가확실하려면인접한도끼리는다른색으로칠해야한다. 어떤지도든지 4가지색만으로인접한영역을구분하여칠할수있다는것을특별히 4색문제라고한다. 영국의구드리라는사람이영국의지도의영역을색칠하다가 인접한영역을같은색으로칠하는경우가없게하려면최소몇가지색이필요한가? 라는의문을갖게되었는데이것이 4색문제의시초였다. 이문제를유한개의경우로나누어서컴퓨터를 100시간을가동하여결국 4색문제를증명했다. 최초로컴퓨터의도움을받아푼문제가 4색문제이다. 54 정답및해설

55 쉬어가는 코너 한국에 대한 재미있는 통계 5 1. 세계에서 가장 많은 발음을 표기할 수 있는 나라(참고로 한글은 4개 문자로 11,000개, 일본은 300개, 중국어는 400개를 표기할 수 있다.). 평균 지능지수가 세 자리인 세 나라 중 하나(홍콩 다음으로 위) 3. 일하는 시간 세계 위, 평균 노는 시간 세계 3위인 잠 없는 나라 4. 문맹률 1% 이하인 유일한 나라 5. 메모리 반도체, 선박 건조율 세계 1위 6. 초고속 인터넷 사용률, 인터넷 이용 시간 세계 1위 7. 노약자 보호석이 있는 5개 나라 중 하나 8. 기네스북에 등재된 기타를 가장 빨리 치는 사람 중 5명 한국인 9. 남녀 평등부가 있는 유일한 나라 10. 양치질을 하루 3번 하라고 가르치는 유일한 나라(참고로 다른 나라는 아침과 점심 사이 한 번과 잠자기 전 한 번) 11. 음악 수준이 가장 빠르게 발전한 나라 1. 세계 애니메이션 업계의 실무를 거의 다 담당하고 있는 나라 13. 중국 옆에 있는 나라 중 한 번도 지도에 중국이라고 표기된 적이 없었던 나라 14. 문자가 없는 나라에 문자를 UN이 제공하는 문자 한글 15. 아나바다 운동을 처음 시작한 나라 16. IMF 위기를 최단 시간에 극복한 나라 17. 세계에서 여자가 가장 예쁜 나라 18. 세계 10대 거대 도시 중 한 도시를 보유한 나라(서울은 세계 4대 거대 도시) 19. 고층 빌딩의 멋진 야경을 볼 수 있는 세계 10개국 중 하나 0. 미국도 무시하지 못하는 일본을 무시하는 전세계에서 가장 배짱있는 나라 1. 외국갈 때는 외국어를 공부해가는 몇 안 되는 나라. 세계 각 우수 대학의 1등을 휩쓸고 있는 한국인 3. GDP 세계 10위, 세계 군사력 6위를 보유하고도 개발도상국, 중진국이라며 선진국을 본 받자는 나라 (005년 IMF통계 GDP : 미국-일본-독일-영국-프랑스-중국-이탈리아-스페인-캐나다-한국, 004년 영국 왕립 합동 군사 연구소 통계 군사력 :미국-중국-러시아-프랑스-영국-한국) 4. 자동차 생산량 세계 6위 5. IT산업 일본 제치고 세계 1위, 휴대폰 보급률 세계 1위 [출처: cafe.daum.net/musicgarden] 수력충전 수학(하)-해설_ok.indd 오후 3:49

56 쉬어가는코너 큰수들의표현 현대에서필수적인컴퓨터의사용으로수에대한여러표현들을듣게됩니다. 몇십년전에는비트, 바이트, 킬로바이트, 메가바이트라는용어를흔히썼었습니다. 요즘은데이터사용량을기가바이트라는용어가널리쓰이고있습니다. 그런데이따금하드디스크데이터용량을테라바이트라는용어로표현하기시작했습니다. 이렇게엄청난수들을표현하는것이얼마나가능할지궁금해집니다. 아래는과거에썼던용어들, 현재쓰고있는용어들, 미래에쓸용어들입니다. 비트 (Bit) 바이트 (Byte) 1Byte=8Bit 킬로바이트 (KB=KiloByte) 메가바이트 (MB=MegaByte) 기가바이트 (GB=GigaByte) 테라바이트 (TB=TeraByte) 페타바이트 (PB=PetaByte) 엑사바이트 (EB=ExaByte) 제타바이트 (ZB=ZettaByte) 요타바이트 (YB=YottaByte) 브론토바이트 (VB=VrontoByte) 락시아바이트 (RB=RocksiaByte) 에르키스틴바이트 (OB=OrkistinByte) 큐타바이트 (QB=QutaByte) 엑스싸인트 (XC=X Cient) 1 KB=1,04 Byte 1 MB=1,048,576 Byte 1 GB=1,073,741,84 Byte 1 TB=1,099,511,67,776 Byte 1 PB=1,15,899,906,84,64 Byte 1 EB=1,15,91,504,606,846,976 Byte 1 ZB=1,180,591,60,717,411,303,44 Byte 1 YB=1,08,95,819,614,69,174,706,176 Byte 1 VB=1,37,940,039,85,380,74,899,14,4 Byte 1 RB=1,67,650,600,8,9,401,496,703,05,376 Byte 1 OB=1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 Byte 1 QB=1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 Byte 1 XC=1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 Byte 56