올림포스수학 ( 상 ) 정답과풀이

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1 올림포스수학 ( 상 ) 정답과풀이

2 정답과풀이 01 다항식의연산 기본유형익히기 유제 1. 4xǛ -5xÛ`+x Ⅰ. 다항식 본문 8~9 쪽 1. A-B+3C =(xǜ +xû`-3x)-(3xû`+x-5)+3(xǜ +x+1) =(xǜ +xû`-3x)+(-6xû`-x+10)+(3xǜ +6x+3) =(1+3)xǛ +(1-6)xÛ`+(-3-+6)x+(10+3) =4xǛ -5xÛ`+x+13 4xǛ -5xÛ`+x x-3 xû`+x-1 3xǛ +ax +b 3xǛ +3xÛ` -3x -3xÛ`+(a+3)x +b -3xÛ` -3x +3 (a+6)x +b-3 나머지가 x+3 이므로 a+6=, b-3=3 따라서 a=-4, b=6 이므로 a+b=-4+6= 유형확인 본문 10~11 쪽. (x+3)(xû`-4x+7)(xý`+3xû`-x-5) =x(xû`-4x+7)(xý`+3xû`-x-5) +3(xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-x-5) (xû`-4x+7)(xý`+3xû`-x-5) 의전개식에서 xû`항은 (xû`)(-5)+(-4x)(-x)+7(3xû`) =( )xÛ` =19xÛ` (xû`-4x+7)(xý`+3xû`-x-5) 의전개식에서 xǜ 항은 (xû`)(-x)+(-4x)(3xû`)=(-4-1)xǜ =-16xǛ 따라서 (x+3)(xû`-4x+7)(xý`+3xû`-x-5) 의전개식에서 xǜ 항은ᄀ에서 x(19xû`)+3(-16xǜ )=(19-48)xǛ =-9xǛ 이므로 xǜ 의계수는 -9이다 ab+bc+ca=;!;{(a+b+c)û`-(aû`+bû`+cû`)} =;!;(0Û`-4)=-1 이므로 aû`bû`+bû`cû`+cû`aû` =(ab+bc+ca)û`-abc(a+b+c) =(-1)Û`-0= xÛ`+9yÛ`+zÛ`-1xy-6yz+4zx (-A+B)-{B-(A-B)} =-A+B-(B-A+B) =-A+B-3B+A =-A-B =-(4xÛ`-x+1)-(-xÛ`+3x-4) =-4xÛ`+x-1+xÛ`-3x+4 =-3xÛ`-x A+B=xÛ`+8x-3 A-B=xÛ`+x-1 yy ᄂᄀ + ᄂ을하면 3A=3xÛ`+9x-15 A=xÛ`+3x-5 ᄂ에서 xû`+3x-5-b=xû`+x-1 B=-xÛ`+x+7 X-A=B에서 X =A+B =(xû`+3x-5)+(-xû`+x+7) 올림포스 수학 ( 상 )

3 =xû`+3x-5-xû`+4x+14 =-xû`+7x+9 다른풀이 위의풀이에서ᄀ-ᄂ을하면 A+B=-xÛ`+7x+9 07 (x+3)ǜ -(x+)(xû`-x+4) =(xǜ +9xÛ`+7x+7)-(xǛ +8) =9xÛ`+7x+19 따라서 x의계수는 7이다 (x+a)(x+b)(x+1) ={xû`+(a+b)x+ab}(x+1) =xǜ +(a+b+1)xû`+(ab+a+b)x+ab 이므로 xû`의계수는 a+b+1, x의계수는 ab+a+b이다. xû`의계수가 7이므로 a+b+1=7 a+b=6 x의계수가 14이므로 ab+a+b=14 ab=14-6=8 따라서 aû`+bû`=(a+b)û`-ab=6û`-_8=36-16= (1+x+xÛ`+3xǛ +4xÝ`)Û` =(1+x+xÛ`+3xǛ +4xÝ`)(1+x+xÛ`+3xǛ +4xÝ`) 이식의전개식에서 xý`항은 1_4xÝ`+x_3xǛ +xû`_xû`+3xǜ _x+4xý`_1=18xý` 따라서 xý`의계수는 18이다 <xû`+1, xû`+x> =(xû`+1)û`-(xû`+1)(xû`+x)+(xû`+x)û` =(xý`+xû`+1)-(xý`+xǜ +xû`+x)+(xý`+xǜ +xû`) =xý`+xǜ +xû`-x+1 따라서 xû`의계수는 이다. 06 (x-3y+z)û`={x+(-3y)+z}û` =(x)û`+(-3y)û`+zû`+_x_(-3y)+_(-3y)_z +_z_x =4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-1xy-6yz+4zx 4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-1xy-6yz+4zx 08 ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라하자. 직육면체의겉넓이가 94이므로 (ab+bc+ca)=94 ab+bc+ca=47 DBÓ Û`+BGÓ Û`+GDÓ Û`=100 이므로 (aû`+bû`)+(bû`+cû`)+(cû`+aû`)=100 aû`+bû`+cû`=50 ᄀ, ᄂ에서 (a+b+c)û` =aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) =50+_47=144 이때 a+b+c>0이므로 a+b+c=1 따라서직육면체의모든모서리의길이의합은 4(a+b+c)=4_1= =a로놓으면 999_(1000Û` ) =(a-1)(aû`+a+1) =aǜ -1Ǜ =1000Ǜ -1 =10á`-1 따라서 k=-1 10 aû`-bû`=', ab=-;!; 이므로 (aǜ -bǜ )(aǜ +bǜ )=aß`-bß`=(aû`-bû`)ǜ +3aÛ`bÛ`(aÛ`-bÛ`) =(')Ǜ +3{-;!;}`_' ='+ 3' 4 = 11' 4 yy ᄂ 48-1 정답과풀이 3

4 정답과풀이 11 3x+1 xû`-x+ 3xǛ -xû`+3x+7 3xǛ -3xÛ`+6x xû`-3x+7 xû` -x+ -x+5 위의나눗셈에서 a=3, b=-3, c=-, d=5 이므로 a+b+c+d=3-3-+5=3 3 따라서 X-A=B에서 X =A+B=(A+B)+A =(-xû`+3xy-4yû`)+(-xû`+xy-yû`) =-3xÛ`+5xy-6yÛ` yy ➌ -3xÛ`+5xy-6yÛ` 단계 채점기준 비율 ➊ 3A+3B를구한경우 30`% ➋ 주어진식을연립하여 A를구한경우 40`% ➌ 다항식 X를구한경우 30`% 1 x-1 xû`-x+b xǜ -3xÛ` +ax - xǜ -xû` +bx -xû`+ (a-b)x - -xû` +x -b (a-b-1)x +b- 위의나눗셈에서 xǜ -3xÛ`+ax- 를 xû`-x+b 로나누었을 때의몫이 x-1, 나머지가 (a-b-1)x+b- 이다. 이때나머지가 0 이어야하므로 a-b-1=0, b-=0 따라서 a=5, b= 이므로 a+b=5+=7 4 0 xǜ +xû`+x=a 라하면 ( 주어진식 ) =(A+)(A-)=AÛ`-4 yy ➊ =(xǜ +xû`+x)û`-4 =xß`+xý`+xû`+(xþ`+xǜ +xý`)-4 yy ➋ =xß`+xþ`+3xý`+xǜ +xû`-4 yy ➌ xß`+xþ`+3xý`+xǜ +xû`-4 단계 채점기준 비율 ➊ 공통부분을 A로놓고식을간단히한경우 30`% ➋ 전개공식을이용한경우 40`% ➌ 다항식을정리한경우 30`% 서술형 연습장 01-3xÛ`+5xy-6yÛ` 0 xß`+xþ`+3xý`+xǜ +xû`-4 03 몫 : 3x+5, 나머지 : - 01 A+B=-xÛ`+3xy-4yÛ` 에서 3A+3B=-3xÛ`+9xy-1yÛ` 이므로다음과같이다항식 A 를구할수있다. 3A+3B=-3xÛ`+9xy-1yÛ` - 3B-A= 7xÛ`-xy-yÛ` 5A=-10xÛ`+10xy-10yÛ` A=-xÛ`+xy-yÛ` 본문 1 쪽 yy ➊ yy ➋ 03 다항식 f(x) 를 x+3 으로나누었을때의몫이 3x+ 이 고나머지가 이므로 f(x)=(x+3)(3x+)+=3xû`+11x+8 yy ➊ 3x+5 x+ 3xÛ`+11x +8 3xÛ` +6x 5x +8 5x+10 - yy ➋ 따라서몫은 3x+5, 나머지는 -이다. yy ➌ 몫 : 3x+5, 나머지 : - 단계 채점기준 비율 ➊ `f(x) 를구한경우 30`% ➋ 나눗셈을계산한경우 40`% ➌ 몫과나머지를구한경우 30`% 4 올림포스 수학 ( 상 )

5 01 내신 + 수능 고난도문항 ;a!;+;b!;+;c!;=-1 에서 ;a!;+;b!;+;c!;= ab+bc+ca abc 이므로 =-1 본문 13 쪽 ab+bc+ca=-abc aû`+bû`+cû`=4에서 aû`+bû`+cû`=(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) 4=(-4)Û`-(ab+bc+ca) 따라서 ab+bc+ca=-4, abc=4이므로 {;a!;}`+{;b!;}`+{;c!;}`= 1 aû` + 1 bû` + 1 cû` = bû`cû`+aû`cû`+aû`bû` aû`bû`cû` = (ab+bc+ca)û`-abc(a+b+c) (abc)û` = (-4)Û`-_4_(-4) 4Û` = =a, ' 018=b로놓으면 (017+' 018)Ǜ +(017-' 018)Ǜ =(a+b)ǜ +(a-b)ǜ =(aǜ +3aÛ`b+3abÛ`+bǛ )+(aǜ -3aÛ`b+3abÛ`-bǛ ) =aǜ +6abÛ` =a(aû`+3bû`) 이므로 (017+' 018)Ǜ +(017-' 018)Ǜ 017 (a+b)ǜ +(a-b)ǜ = a = a(aû`+3bû`) a =(aû`+3bû`) =(017Û`+3_018) 이때 017Û`의일의자리의수는 9이고, 3_018의일의자리의수는 4이며, _(9+4) 의일의자리의수는 6이므로 _(017Û`+3_018) 의일의자리의수는 6이다. 따라서구하는일의자리의수는 6이다. 4 0 m+n =(ax+by)+(bx+ay) =a(x+y)+b(y+x)=(x+y)(a+b) =(-3)_1 =-3 한편 xû`+yû`=(x+y)û`-xy=(-3)û`-_1=7 aû`+bû`=(a+b)û`-ab=1û`-(-1)=3 이므로 mn =(ax+by)(bx+ay)=abxû`+aû`xy+bû`xy+abyû` =ab(xû`+yû`)+(aû`+bû`)xy =(-1)_7+3_1 =-4 따라서 mǜ +nǜ =(m+n)ǜ -3mn(m+n) =(-3)Ǜ -3_(-4)_(-3) =-7-36 = 정답과풀이 5

6 정답과풀이 1. 0 나머지정리 기본유형익히기 유제 몫 : xû`-x+1, 나머지 : 9 Ⅰ. 다항식 본문 16~17 쪽 xû`-1=a+b(x-1)+c(x-1)(x-) 의우변을정리하면 xû`-1=cxû`+(b-3c)x+a-b+c 양변의동류항의계수를비교하면 c=, b-3c=0, a-b+c=-1 따라서 a=1, b=6, c=이므로 a+b+c=9 9 다른풀이 주어진등식의양변에 x=1을대입하면 -1=a이므로 a=1 등식의양변에 x=를대입하면 8-1=a+b이므로 b=6 또한양변의이차항의계수가서로같아야하므로 c= 따라서 a=1, b=6, c=이므로 a+b+c=9. 나머지정리에의해 RÁ=f(1)=1+a+3=a+4 Rª=f(-1)=1-a+3=-a+4 이때 RÁ-Rª=0이므로 (a+4)-(-a+4)=0, a=0 a=10이므로 f(x)=xû`+10x+3 따라서 f(x) 를 x-5로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 f(5)=5û`+10_5+3= f(x) 가 xû`-3x+=(x-1)(x-) 로나누어떨어지므로 f(x) 는 x-1로도나누어떨어지고, x-로도나누어떨어 진다. 인수정리에의해두등식 f(1)=0, f()=0이모두성립한다. f(1)=1+a-7+b=0에서 a+b=6 f()=8+4a-14+b=0에서 4a+b=6 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=0, b=6이므로 f(x)=xǜ -7x+6 따라서 f(x) 를 x+로나누었을때의나머지는 f(-) =(-)Ǜ -7_(-)+6 =1 다른풀이 f(x)=xǜ +axû`-7x+b를 xû`-3x+로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x) =xǜ +axû`-7x+b=(xû`-3x+)q(x) =(x-1)(x-)q(x) f(1)=1+a-7+b=0 f()=8+4a-14+b=0 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=0, b=6이므로 f(x)=xǜ -7x+6 따라서 f(x) 를 x+로나누었을때의나머지는 f(-) =(-)Ǜ -7_(-)+6 =1 4. 먼저 xǜ -5xÛ`+5x+6 을 x- ;#; 으로나누었을때의몫 과나머지를조립제법을이용하여구하자. ;#; 몫은 xû`-x+, 나머지는 9이므로 xǜ -5xÛ`+5x+6={x-;#;}(xÛ`-x+)+9 ={x-;#;}_(xû`-x+1)+9 =(x-3)(xû`-x+1)+9 따라서구하는몫은 xû`-x+1, 나머지는 9이다. 몫 : xû`-x+1, 나머지 : 9 6 올림포스 수학 ( 상 )

7 유형확인 본문 18~19 쪽 등식 (x-)(xû`+)p(x)=xý`+axû`+b 는 x 에대한 항등식이고, 우변의최고차항의계수가 1 이므로 P(x)=x+c(c 는상수 ) 로놓을수있다. (x-)(xû`+)(x+c)=xý`+axû`+b 에서 (xǜ -xû`+x-4)(x+c)=xý`+axû`+b xý`+(c-)xǜ +(-c)xû`+(c-4)x-4c=xý`+axû`+b 이식은 x에대한항등식이므로 c-=0, -c=a, c-4=0, -4c=b 즉, a=-, b=-8, c=이므로 a+b= (xû`+3x-)ü`=a xß`+a xþ`+y+aáx+a¼의양변에 x=1을대입하면 (1+3-)Ǜ =a +a +y+aá+a¼ 따라서 a¼+aá+y+a +a =Ǜ = xǜ +ax+b를 xû`+3x+로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면나머지가 3x+1이므로 xǜ +ax+b=(xû`+3x+)q(x)+3x+1 xǜ +ax+b=(x+1)(x+)q(x)+3x+1 y ᄀᄀ은 x에대한항등식이므로양변에 x=-1을대입하면 -1-a+b=- a-b=1 yy ᄂᄀ의양변에 x=-를대입하면 -8-a+b=-5 a-b=-3 yy ᄃᄂ, ᄃ을연립하여풀면 a=-4, b=-5 따라서 a+b= 다항식 f(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지가 -4 이므 로나머지정리에의해 f(-1)=-4 따라서다항식 xû`f(x)+3을 x+1로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 (-1)Û`_f(-1)+3=1_(-4)+3=-1 05 f(x) 를 xû`-3x+ 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)=(x-1)(x-)q(x)+3x- ᄀ ᄀ의양변에 x=1을대입하면 f(1)=1 따라서다항식 f(x-3) 을 x-로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 f(_-3)=f(1)=1 다른풀이 f(x) 를 xû`-3x+로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)=(x-1)(x-)q(x)+3x- ᄀᄀ의 x 대신 x-3을대입하면 f(x-3) =(x-4)(x-5)q(x-3)+6x-11 =(x-)(x-5)q(x-3)+6(x-)+1 =(x-){(x-5)q(x-3)+6 }+1 따라서 f(x-3) 을 x-로나누었을때의나머지는 1이다. 06 f(4)=3 항등식 f(x)=g(x)(x-)+3 에 x= 를대입하면 g(x)-x를 x-4로나누었을때의나머지는 5이므로나머지정리에의해 g(4)-_4=5 g(4)=13 따라서다항식 f(x)g(x) 를 x-4로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 f(4)g(4)=3_13= 다항식 f(x)=xǜ +axû`+bx+6 을 x-1 로나누었을때 의나머지가 3 이므로나머지정리에의해 f(1)=1+a+b+6=3 a+b=-4 f(x) 가 x+로나누어떨어지므로인수정리에의해 정답과풀이 7

8 정답과풀이 f(-)=-8+4a-b+6=0 a-b=1 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-1, b=-3이므로 ab=(-1)_(-3)=3 yy ᄂ 3 b=0 또, r=a_=;!;_=1이고, -1+r=-1+1=c이므로 c=0 따라서 a+b+c=;!;+0+0=;!; 08 f(x)=xǜ -3xÛ`+kx+4 가 x+ 로나누어떨어지므로 인수정리에의해 f(-)=-8-1-k+4=0 k=-8이므로 f(x)=xǜ -3xÛ`-8x+4 따라서 f(x) 를 x-로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 f()= = 에의해 다항식 f(x-) 가 x+1 로나누어떨어지므로인수정리 f(-1-)=f(-3)=0 다항식 f(x+) 가 x-1로나누어떨어지므로인수정리에의해 f(1+)=f(3)=0 따라서 f(x)=xǜ +xû`+ax+b에서 f(-3)= a+b=0-3a+b=9 f(3)=7+18+3a+b=0 3a+b=-45 yy ᄂᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-9, b=-18이므로 a+b=-9-18= a 3 b -1 p q r 4 c 위의조립제법에서 3+p=4이므로 p=1 이때 a=p=1이므로 a=;!; 또, q=a_4=;!;_4=이고, b+q=b+=이므로 11 다항식 xý`+axû`+1을 x+1로나누었을때의몫 Q(x) 를 조립제법을이용하여구하면 a a-1 a a+1 -a-1 a+ Q(x)=xǛ -xû`+(a+1)x-a-1 이때 Q(x) 를 x+1로나누었을때의나머지가 이므로나머지 정리에의해 Q(-1)=-1-1-(a+1)-a-1= 즉, -a-4=이므로 a=-3이다. 3 1 f(x)=a(x-1)ǜ +b(x-1)û`+c(x-1)+d 로놓으면 f(x)=(x-1){a(x-1)û`+b(x-1)+c}+d 이므로 f(x) 를 x-1로나누었을때의몫은 a(x-1)û`+b(x-1)+c이고나머지는 d이다 =d =c 1 1=a =b 첫번째조립제법에서 a(x-1)û`+b(x-1)+c=xû`-3이고 d=1 또, a(x-1)û`+b(x-1)+c=(x-1){a(x-1)+b}+c이 므로 xû`-3을 x-1로나누었을때의몫은 a(x-1)+b이고 나머지는 c이다. 두번째조립제법에서 a(x-1)+b=x+1이고 c=- 8 올림포스 수학 ( 상 )

9 또, a(x-1)+b=x+1에서 a=1, b= 따라서 a=1, b=, c=-, d=1이므로 abcd= 서술형연습장 본문 0 쪽 xû`+x+4 `f(x)=xû`ầ +xú`ầ +xþ`+1 이라하고 f(x) 를 x-1 로나누 었을때의나머지를 R 라하면 f(x)=(x-1)q(x)+r yy ➊ 이때 f(1)=r이고 f(1)=1û`ầ +1Ú`ầ +1Þ`+1=4이므로 R=4 yy ➋ 즉, xû`â`+xú`â`+xþ`+1=(x-1)q(x)+4이므로이항등식의양변에 x=-1을대입하면 (-1)Û`ầ +(-1)Ú`ầ +(-1)Þ`+1=(-1-1)Q(-1)+4 =-Q(-1)+4 따라서 Q(-1)=1이므로 Q(x) 를 x+1로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 1이다. yy ➌ 단계 채점기준 비율 ➊ 나머지정리를활용한경우 30`% ➋ f(x-) 를몫과나머지로나타낸경우 40`% ➌ a의값을구한경우 30`% 03 다항식 f(x) 를 xû`-x+1로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지가 4x+이므로 f(x)=(xû`-x+1)q(x)+4x+ yy ➊ 이때 Q(x) 를 x+1로나누었을때의나머지는 이므로몫을 Q'(x) 라하면 Q(x)=(x+1)Q'(x)+ yy ᄂ yy ➋ ᄀ, ᄂ에서 f(x) =(xû`-x+1){(x+1)q'(x)+}+4x+ =(xǜ +1)Q'(x)+xÛ`+x+4 yy ➌ 따라서 f(x) 를 xǜ +1로나누었을때의나머지는 xû`+x+4 이다. yy ➍ xû`+x+4 단계 채점기준 비율 ➊ f(x) 를 Q(x) 로나누었을때의몫과나머지로나타낸경우 30`% ➋ Q(x) 를몫과나머지로나타낸경우 30`% ➌ f(x) 를 Q '(x) 로나누었을때의몫과나머지로나타낸경우 30`% ➍ 나머지를구한경우 10`% 단계채점기준비율 ➊ f(x) 를몫과나머지로나타낸경우 30`% ➋ R의값을구한경우 30`% ➌ Q(x) 를 x+1로나눈나머지를구한경우 40`% 내신 + 수능 고난도문항 본문 1 쪽 0 f(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지가 8 이므로나머지 정리에의해 f(-1)=8 yy ➊ f(x-) 를 (x-1)û`으로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면나 머지가 ax+이므로 f(x-)=(x-1)û` Q(x)+ax+ yy ➋ ᄀ에 x=1을대입하면 f(-1)=a+ 이때 f(-1)=8이므로 a+=8에서 a=6 yy ➌ xÛ`-11x (xû`-3x-1)ǜ =a xß`+a xþ`+y+aáx+a¼ 은 x 에대한항등식이다. ᄀ에 x=1을대입하면 (_1Û`-3_1-1)Ǜ =a +a +y+aá+a¼ a¼+aá+y+a +a =-8 yy ᄂᄀ에 x=-1을대입하면 {_(-1)Û`+3-1}Ǜ =a -a +y-aá+a¼ a¼-aá+aª-y-a +a =64 yy ᄃᄂ + ᄃ에서 (a¼+aª+a +a )=56이므로 정답과풀이 9

10 정답과풀이 a¼+aª+a +a =8 4 0 다항식 f(x) 를 (x-1)û`(x-) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x) 라하면 f(x)=(x-1)û`(x-)q(x)+r(x) 이때 f(x) 를 (x-1)û`으로나누었을때의나머지가 x-5이고, R(x) 는이차이하의다항식이므로 R(x) 를 (x-1)û`으로나누었을때의나머지가 x-5이어야한다. R(x)=a(x-1)Û`+x-5(a는상수 ) 로놓으면 f(x)=(x-1)û`(x-)q(x)+a(x-1)û`+x-5 한편 f(x) 를 x-로나누었을때의나머지가 3이므로나머지정리에의해 f()=a-3=3 따라서 a=6이므로구하는나머지는 R(x)=6(x-1)Û`+x-5=6xÛ`-11x+1 6xÛ`-11x+1 03 A, B, C, D 의부피는각각 xǜ, xû`, 4x, Ǜ 이므로 A 1 개, B 1 개, C p 개, D q 개의부피의총합은 xǜ +1_xÛ`+p_4x+q_Ǜ =xǜ +4xÛ`+4px+8q 한편한모서리의길이가 x+k인정육면체의부피는 (x+k)ǜ =xǜ +3kxÛ`+3kÛ`x+kǛ 이때등식 xǜ +4xÛ`+4px+8q=xǛ +3kxÛ`+3kÛ`x+kǛ 이 x에대한항등식이므로 4=3k, 4p=3kÛ`, 8q=kǛ 따라서 k=8, p=48, q=64이므로 k+p+q= =10 03 인수분해 기본유형익히기 1. ⑴ (x-y-5z)û` ⑵ (x+y)(x-y)û`. ⑴ (x+1)û`(xû`+x+3) ⑵ (xû`-4x+5)(xû`+4x+5) 3. (aû`+bû`)(a+b+1) 4. (x+1)(x-)(xû`+x+1) 유제 Ⅰ. 다항식 본문 4~5 쪽 1. ⑴ xû`+yû`+5zû`-xy+10yz-10zx =xû`+(-y)û`+(-5z)û`+x(-y)+(-y)(-5z) =(x-y-5z)û` +(-5z)x ⑵ xǜ +yǜ -xy(x+y) =(x+y)(xû`-xy+yû`)-xy(x+y). ⑴ xû`+x=x 로놓으면 =(x+y)(xû`-xy+yû`-xy) =(x+y)(xû`-xy+yû`) =(x+y)(x-y)û` ⑴ (x-y-5z)û` ⑵ (x+y)(x-y)û` (xû`+x)û`+4xû`+8x+3=(xû`+x)û`+4(xû`+x)+3 =XÛ`+4X+3 =(X+1)(X+3) =(xû`+x+1)(xû`+x+3) =(x+1)û`(xû`+x+3) ⑵ xý`-6xû`+5 =(xý`+10xû`+5)-16xû` =(xû`+5)û`-(4x)û` =(xû`+5-4x)(xû`+5+4x) =(xû`-4x+5)(xû`+4x+5) ⑴ (x+1)û`(xû`+x+3) ⑵ (xû`-4x+5)(xû`+4x+5) 3. aû`+bû`+(aǜ +bǜ )+ab(a+b) =aû`+bû`+(a+b)(aû`-ab+bû`)+ab(a+b) =aû`+bû`+(a+b){(aû`-ab+bû`)+ab} =aû`+bû`+(a+b)(aû`+bû`) =(aû`+bû`)(a+b+1) (aû`+bû`)(a+b+1) 10 올림포스 수학 ( 상 )

11 4. f(x)=xý`-xû`-3x- 라하면 f(-1)=1-+3-=0, f()= =0 이므로 f(x) 는 x+1, x- 를인수로갖는다 따라서위의조립제법에의하여 xý`-xû`-3x-=(x+1)(x-)(xû`+x+1) 유형확인 (x+1)(x-)(xû`+x+1) 본문 6~7 쪽 (a+4b-c)(a-b-c) (xû`+5x+5)û` a+b, b+c, a=c 인이등변삼각형 ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)û`(x+)(x-3) a=8 이므로인수분해공식에의해 N=aǛ +6aÛ`+1a+8=(a+)Ǜ =(8+)Ǜ =30Ǜ =7000 따라서 N 100 =70 0 3x+y=a, 3y=b 라하면 (3x+y)Ǜ -7yǛ =aǜ -bǜ =(a-b)(aû`+ab+bû`) =(3x+y-3y){(3x+y)Û`+(3x+y)_3y+9yÛ`} =(3x-y)(9xÛ`+15xy+13yÛ`) 따라서 p=15, q=13이므로 pq=15_13= aû`-8bû`+cû`+ab-bc-ca =aû`+bû`+cû`+ab-bc-ca-9bû` =(a+b-c)û`-(3b)û` ={(a+b-c)+3b}{(a+b-c)-3b} =(a+4b-c)(a-b-c) (a+4b-c)(a-b-c) 04 xû`-x=x로놓으면 (xû`-x)û`+3xû`-3x-10 =(xû`-x)û`+3(xû`-x)-10 =XÛ`+3X-10=(X+5)(X-) =(xû`-x+5)(xû`-x-) =(xû`-x+5)(x-)(x+1) 따라서 a=-1, b=5, c=-, d=1 또는 a=-1, b=5, c=1, d=-이므로 a+b+c+d= xû`=x, yû`=y로놓으면 3xÝ`-11xÛ`yÛ`-4yÝ` =3XÛ`-11XY-4YÛ` =(3X+Y)(X-4Y) =(3xÛ`+yÛ`)(xÛ`-4yÛ`) =(3xÛ`+yÛ`)(x-y)(x+y) 따라서 a=1, b=이므로 a+b=1+=3 06 (x+1)(x+)(x+3)(x+4)+1 ={(x+1)(x+4)}{(x+)(x+3)}+1 =(xû`+5x+4)(xû`+5x+6)+1 이때 xû`+5x=x로놓으면 (xû`+5x+4)(xû`+5x+6)+1 =(X+4)(X+6)+1 =XÛ`+10X+5 =(X+5)Û` =(xû`+5x+5)û` 따라서 (x+1)(x+)(x+3)(x+4)+1=(xû`+5x+5)û` (xû`+5x+5)û` 다른풀이 (xû`+5x+4)(xû`+5x+6)+1에서 xû`+5x+4=y로놓으면 (xû`+5x+4)(xû`+5x+6)+1 =Y(Y+)+1 정답과풀이 11

12 정답과풀이 =YÛ`+Y+1 =(Y+1)Û` =(xû`+5x+5)û` 07 4xÛ`+yÛ`-4xy-x+y-6 =(4xÛ`-4xy+yÛ`)-(x-y)-6 =(x-y)û`-(x-y)-6 이때 x-y=x로놓으면 (x-y)û`-(x-y)-6 =XÛ`-X-6 =(X-3)(X+) =(x-y-3)(x-y+) 즉, 4xÛ`+yÛ`-4xy-x+y-6=(x-y-3)(x-y+) 따라서주어진다항식의인수인것은 5 x-y-3이다. 5 다른풀이 주어진식을 y에대한내림차순으로정리하면 yû`-(4x-1)y+4xû`-x-6 =yû`-(4x-1)y+(xû`-x-3) =yû`-(4x-1)y+(x+1)(x-3) =(y-x-)(y-x+3) =(x-y+)(x-y-3) 08 조건 ( 가 ) 에서 (b-c)a+bc-bû` =(b-c)a-b(b-c) =(b-c)(a-b)+0 이므로 b+c, a+b 조건 ( 나 ) 에서 (b-c)aû`-(bû`-cû`)a+bû`c-cû`b =(b-c)aû`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) =(b-c){aû`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) (b-c)(a-b)(a-c)=0이므로 a=b 또는 b=c 또는 c=a yy ᄂ따라서ᄀ, ᄂ에서주어진삼각형은 a+b, b+c, a=c인이등변삼각형이다. a+b, b+c, a=c인이등변삼각형 09 aû`b+ab-aû`-4a+b- 를 b 에대하여내림차순으로 정리하여인수분해하면 (aû`+a+1)b-(aû`+a+1) =(a+1)û`b-(a+1)û` =(a+1)û`(b-) 위의식의값이 75=5Û`_11이므로 (a+1)û`(b-)=5û`_11 a, b는자연수이므로 a+1=5, b-=11 따라서 a=4, b=13이므로 a+b=4+13= f(x)=xǜ -11xÛ`+0x-1 라하면 f()= =0 이므로 f(x) 는 x-를인수로갖는다. 조립제법을이용하여인수분해하면 이때 xû`-7x+6=(x-)(x-3) 이므로 f(x)=(x-)(xû`-7x+6)=(x-)û`(x-3) 따라서 a=-, b=, c=-3이므로 a+b+c=-++(-3)= ⑴ f(x)=3xǜ +xû`+x-1 이라하면 f { ;3!;}=;9!;+;9@;+;3@;-1=0 이므로 f(x) 는 x-;3!; 을인수로갖는다. 따라서조립제법을이용하여인수분해하면 ;3!; f(x)={x-;3!;}(3xû`+3x+3)=(3x-1)(xû`+x+1) ⑵ f(x)=xý`-3xǜ -3xÛ`+11x-6이라하면 f(1)= =0 1 올림포스 수학 ( 상 )

13 1 이므로 f(x) 는 x-1 을인수로갖는다. 조립제법을이용하여인수분해하면 따라서 f(x)=(x-1)(xǜ -xû`-5x+6) 이때 g(x)=xǜ -xû`-5x+6 이라하면 g(1)=1--5+6=0 이므로 g(x) 는 x-1 을인수로갖는다. 다시조립제법을이용하여인수분해하면 따라서 f(x)=(x-1)û`(xû`-x-6)=(x-1)û`(x+)(x-3) ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)û`(x+)(x-3) h(x)=xý`+xǜ -7xÛ`-0x-1 라하자. h(-1)=0, h(-)=0 이므로인수정리에의해 h(x) 는 x+1 과 x+ 를인수로가진다 위의조립제법을이용하여 h(x) 를인수분해하면 h(x) =(x+1)(x+)(xû`-x-6) =(x+1)(x+)(x+)(x-3) =(x+1)(x-3)(x+)û` 이때 f(x) 와 g(x) 가모두 x-a 를인수로가져야하므로 [ f(x)=(x+)(x+1) 또는 [ f(x)=(x+)(x-3) g(x)=(x+)(x-3) g(x)=(x+)(x+1) 따라서 f()+g() =(+)(+1)+(+)(-3) =1-4=8 서술형 연습장 본문 8 쪽 (a+b)(b+c)(a+c) 03 a=-14, b= =x로놓으면 'Ä30_3_34_36+16 ='Äx(x+)(x+4)(x+6)+16 yy ➊ ='Ä{x(x+6)}{(x+)(x+4)}+16 = ¹(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16 이때 xû`+6x=x라하면 "Ã(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16='ÄX(X+8)+16 ="ÃXÛ`+8X+16 ="Ã(X+4)Û` = X+4 =X+4=xÛ`+6x+4 yy ➋ =30Û`+6_30+4=1084 이므로 'Ä30_3_34_36+16=1084 yy ➌ 084 단계 채점기준 비율 ➊ 주어진식을 x에관한식으로나타낸경우 30`% ➋ 다항식을인수분해한경우 40`% ➌ 주어진식의값을구한경우 30`% 0 (b+c)aû`+(bû`+bc+cû`)a+bû`c+bcû` =(b+c)aû`+(b+c)û`a+bc(b+c) =(b+c){aû`+(b+c)a+bc} yy ➊ =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(a+c) yy ➋ (a+b)(b+c)(a+c) 단계 채점기준 비율 ➊ 공통인수를찾은경우 50`% ➋ 다항식을인수분해한경우 50`% 정답과풀이 13

14 정답과풀이 03 xǜ -xû`+4x-8 을인수분해하면 xǜ -xû`+4x-8=xû`(x-)+4(x-)=(x-)(xû`+4) xǜ -xû`+4x-8이일차식 x+b( b는정수 ) 를인수로가지므로 b=- yy ➊ f(x)=xü`+3x+a라할때, f(x) 가일차식 x-를인수로 가지므로인수정리에의해 f()=ǜ +3_+a=0, 14+a=0 따라서 a=-14 yy ➋ a=-14, b=- 단계 채점기준 비율 ➊ b의값을구한경우 50`% ➋ a의값을구한경우 50`% + 내신수능고난도문항본문 9쪽 - a a a+8-4 a 위의조립제법에서 xǜ +axû`+(a+4)x+4=(x+){xû`+(a-4)x+1} 이때 xǜ +axû`+(a+4)x+4가계수가모두정수인세개의일차식으로인수분해되므로 xû`+(a-4)x+1=(x+m)(x+n)(m, n은정수 ) 즉, xû`+(a-4)x+1=xû`+(m+n)x+mn에서 a-4=m+n, 1=mn이어야한다. mn=1를만족시키는두정수 m, n의순서쌍 (m, n) 은 (1, 1), (6, ), (4, 3), (3, 4), (, 6), (1, 1), (-1, -1), (-, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -), (-1, -1) 의 1개이다. 위의각순서쌍에대하여정수 a(=m+n+4) 의값을구해보면차례로 18, 14, 14, 15, 18, 9, -1, -10, -7, -6, -6, -10 이다. 따라서정수 a는 -1, -10, -7, -6, 14, 15, 18, 9의 8 개이다 (xû`-4x+3)(xû`-1x+35)+k =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k =(xû`-8x+7)(xû`-8x+15)+k 이때 xû`-8x=x로치환하면 (xû`-8x+7)(xû`-8x+15)+k=(x+7)(x+15)+k =XÛ`+X+105+k =(X+11)Û`+k-16 =(xû`-8x+11)û`+k-16 이때주어진식이 x에대한이차식의완전제곱꼴로인수분해되려면 k-16=0이어야하므로 k=16이다 조건 ( 가 ) 에서 (a-b)cû`+(aû`-ab-bû`)c+aǜ -abû` =(a-b)cû`+(a-b)(a+b)c+a(a-b)(a+b) =(a-b){cû`+(a+b)c+a(a+b)} =(a-b)(c+a)(c+a+b) =0 이때 a, b, c는삼각형의세변의길이이므로 c+a>0, c+a+b>0 따라서 a=b이다. 조건 ( 나 ) 에서 4a+b-5c=4a+a-5c=0이므로 6a=5c, c=;5^; a 즉, 삼각형 ABC 는세변의길이가각 A 0 f(x)=xǜ +axû`+(a+4)x+4라하면 f(-)=-16+4a-4a-8+4=0 이므로다항식 f(x) 는 x+를인수로갖는다. 각 a, a, ;5^;a 인이등변삼각형이다. 이때밑변의길이가 ;5^;a 인삼각형 ABC 의높이를 h 라하면피타고라스 B a 3 a 5 h a C 14 올림포스 수학 ( 상 )

15 정리에의해 h=¾äû`-{;5#;a}`= "Ã5aÛ`-9aÛ` =;5$;a 5 이므로삼각형 ABC 의넓이는 0 (x+y)û`=xû`+xy+yû`=(xû`+xy+yû`)+xy 3Û`=10+xy 에서 xy=-1 이므로 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -3xy(x+y)=3Ǜ -3_(-1)_3=36 5 ;!;_;5^;a_;5$;a=;!5@;aÛ`=48 에서 aû`=100, 즉 a=10이다. 따라서삼각형 ABC의세변의길이는각각 a=10, b=10, c=1이므로둘레의길이는 a+b+c= = (a-)(a+)(aû`-a+4)(aû`+a+4) ={(a+)(aû`-a+4)}{(a-)(aû`+a+4)} =(aǜ +Ǜ )(aǜ -Ǜ ) =(10+8)(10-8) =36 36 대단원종합문제 본문 30~33 쪽 01 5xÛ`-7x (x-5)ǜ 08 (x+a)(x+a)(x-a) x xǜ -xû`-4x (x+y)(y+z)(z+x) 01 다른풀이 (A B) A =(A-B) A A B =A-B 이므로 =(A-B)-A=A-4B =xû`-3x+-4(-xû`+x-) =xû`-3x++4xû`-4x+8 =5xÛ`-7x+10 =(xû`-3x+)-(-xû`+x-) =xû`-3x++xû`-x+4 =3xÛ`-5x+6 (A B) A =(3xÛ`-5x+6) (xû`-3x+) =(3xÛ`-5x+6)-(xÛ`-3x+) =6xÛ`-10x+1-xÛ`+3x- =5xÛ`-7x+10 5xÛ`-7x 주어진등식은 xǜ +axû`+3x+1=(x-1)(x+1)p(x)+bx ᄀ의양변에 x=1을대입하면 a+5=b, a-b=-5 ᄀ의양변에 x=-1을대입하면 a-3=-b, a+b=3 ᄂ, ᄃ을연립하여풀면 a=-1, b=4 따라서주어진등식은 xǜ -xû`+3x+1=(xû`-1)p(x)+4x a+b=3이므로위등식에 x=3을대입하면 3Ǜ -3Û`+3_3+1=(3Û`-1)P(3)+4_3 8=8P(3)+1 따라서 P(3)= 05 이므로 yy ᄂ yy ᄂ f(x) 를 x- 로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지가 4 f(x)=(x-)q(x)+4 Q(x) 를 x+3으로나누었을때의나머지는 3이므로나머지정리에의해 Q(-3)=3 따라서 f(-3)=(-3-)q(-3)+4=(-5)_3+4=-11 이므로 xf(x) 를 x+3으로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 (-3)_f(-3)=(-3)_(-11)=33 정답과풀이 15

16 정답과풀이 06 7xǛ +64yß` =(3x)Ǜ +(4yÛ`)Ǜ =(3x+4yÛ`)(9xÛ`-1xyÛ`+16yÝ`) 이때 9xÛ`-1xyÛ`+16yÝ`은정수계수범위에서더이상인수분해되지않으므로 p=-1, q=16 따라서 p+q=-1+16= x-7=x 라하면 (x-7)ǜ +6(x-7)Û`+1(x-7)+8 =XǛ +6XÛ`+1X+8 =XǛ +3_XÛ`_+3_X_Û`+Ǜ =(X+)Ǜ =(x-7+)ǜ =(x-5)ǜ (x-5)ǜ 08 다른풀이 xǜ +axû`-4aû`x-4aǜ =xû`(x+a)-4aû`(x+a) =(x+a)(xû`-4aû`) =(x+a)(x+a)(x-a) (x+a)(x+a)(x-a) f(x)=xǜ +axû`-4aû`x-4aǜ 이라하자. f(-a)=0이므로조립제법을이용하여인수분해하면 -a 1 a -4aÛ` -4aǛ -a 0` 4aǛ 1 0-4aÛ` 0 f(x) =xǜ +axû`-4aû`x-4aǜ =(x+a)(xû`-4aû`) =(x+a)(x-a)(x+a) 09 ㄱ. 다항식 f(x) 를 g(x) 로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지가 R(x) 이므로 f(x)=g(x)q(x)+r(x) 이때 R(x) 의차수는 g(x) 의차수보다작다. ㄴ. f(x)=xǜ +x, g(x)=xû`이면 xǜ +x=xû`_x+x 즉, f(x)=g(x)_x+x이므로 f(x) 를 g(x) 로나누었을때의몫은 Q(x)=x, 나머지는 R(x)=x이다. 그런데 xǜ +x=x(xû`+1) 이므로 f(x) 를 Q(x)=x로나누었을때의몫은 xû`+1, 나머지는 0이다. ㄷ. f(x)-q(x) =g(x)q(x)+r(x)-q(x) ={ g(x)-1}q(x)+r(x) 이때 R(x) 의차수는 g(x)-1의차수보다작으므로 f(x)-q(x) 를 g(x)-1로나누었을때의나머지는 R(x) 이다. 이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다 P(x) 를 x- 로나눈몫이 Q(x), 나머지가 5 이므로 P(x)=(x-)Q(x)+5 또한 Q(x) 를 x-1로나눈몫을 QÁ(x) 라하면나머지가 3이므로 Q(x)=(x-1)QÁ(x)+3 yy ᄂᄂ을ᄀ에대입하면 P(x) =(x-){(x-1)qá(x)+3}+5 =(x-)(x-1)qá(x)+3x-1 따라서 R(x)=3x-1이므로 R(3)=3_3-1= f(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지가 16 이므로나머 지정리에의해 f { -;!;}=16 (x-1)û` f(x) 를 x+1로나누었을때의나머지를 R라하면나머지정리에의해 R={-;!;-1} f { -;!;}=;4(;_16=36 (x-1)û` f(x) 를 x+1로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지는 36이므로 (x-1)û` f(x)=(x+1)q(x)+36 ᄀ의양변에 x=1을대입하면 0=3_Q(1)+36 따라서 Q(1)=-1이므로 Q(x) 를 x-1로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 -1이다 올림포스 수학 ( 상 )

17 1 다항식 f(x) 를 (x+)û` 으로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면나머지가 x+1 이므로 f(x)=(x+)û`q(x)+x+1 xf(x) =x(x+)û`q(x)+xû`+x =x(x+)û`q(x)+(xû`+4x+4)-7x-8 =x(x+)û`q(x)+(x+)û`-7x-8 =(x+)û`{xq(x)+}-7x-8 따라서 xf(x) 를 (x+)û`으로나누었을때의나머지는 -7x-8이다. -7x-8 13 f(x)=xǜ -axû`-bx+9a, g(x)=xû`-b 라하자. g(x) 가일차식 x-a 로나누어떨어지므로인수정리에의해 g(a)=aû`-b=0 b=aû` 이때 f(x)=xǜ -axû`-bx+9a가 xû`-b로나누어떨어지므로 f(x) 는일차식 x-a로도나누어떨어진다. 따라서인수정리에의해 f(a) =aǜ -aǜ -ab+9a =-a(b-9)=0 이때 a>0이므로 b=9 따라서ᄀ에서 a=3 (a>0) 이므로 a+b=3+9=1 14 f(4)=3 f(x)=g(x)(x-)+3 에 x= 를대입하면 다항식 f(x)g(x-1) 을 x-4로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 f(4)g(4-1)=f(4) g(3)=3 g(3)=4 따라서 g(3)=8이므로 g(x)+xû`을 x-3으로나누었을때의나머지는나머지정리에의해 g(3)+3û`=8+9= 나눗셈 다항식 xǜ +axû`+bx-4 가 (x+1)û` 을인수로가지려면 (xǜ +axû`+bx-4)ö(x+1) 의나머지는 0이고, ᄀ의몫을 x+1로다시나누었을때의나 머지도 0이어야한다 a b a+1 a-b a-1 -a+b+1 a-b-5-1 -a+ 1 a- -a+b+3 위의조립제법에서 xǜ +axû`+bx-4를 x+1로나누었을때의 나머지는 a-b-5이고, 이때의몫 xû`+(a-1)x-a+b+1 을 x+1로나누었을때의나머지는 -a+b+3이다. 다항식 xǜ +axû`+bx-4가 (x+1)û`으로나누어떨어지려면두 등식 a-b-5=0, -a+b+3=0이모두성립해야한다. 위의식을연립하여풀면 a=-, b=-7이므로 a+b=-9 16 xǜ -xû`y-xyû`+yǜ =xû`(x-y)-yû`(x-y) =(x-y)(xû`-yû`) =(x-y)û`(x+y) 이때 x='5+'3, y='3-'5이므로 x+y='3, x-y='5 따라서 xǜ -xû`y-xyû`+yǜ =(x-y)û`(x+y) =('5)Û`_'3=40' f(x)=3xǜ +7xÛ`-4 라하면 f(-1)=-3+7-4=0 이 므로 f(x) 는 x+1 을인수로갖는다. 조립제법을이용하여 f(x) 를인수분해하면 f(x)=(x+1)(3xû`+4x-4)=(x+1)(x+)(3x-) 따라서 a=1, P(x)=3x-이므로 P(a)=P(1)=3-=1 정답과풀이 17

18 정답과풀이 18 f(x) 를 x-9 로나누었을때의나머지는 f(9) 이므로 f(9)=a_10ǜ +b_10û`+c_10+d=438 이때 a, b, c, d 는각각 10 보다작은자연수이므로 a=, b=4, c=3, d=8 f(x)=(x+1)ǜ +4(x+1)Û`+3(x+1)+8 따라서 f(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지는나머지정리에 의해 f(1)=_ǜ +4_Û`+3_+8= = f(x)=xû`+ax+b 라하고다항식 xç` f(x) 를 (x+)û` 으 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면나머지는 n+1 (x+) 이 므로 x n f(x)=(x+)û`q(x)+ n+1 (x+) ᄀ의양변에 x=- 를대입하면 (-) n f(-)=(-+)û`q(-)+ n+1 (-+) 이므로 f(-)=0 f(x)=xû`+ax+b=(x+)(x-c)(c 는상수 ) 로놓을수있 으므로 x n f(x)=x n (xû`+ax+b)=x n (x+)(x-c) 한편ᄀ에서 x n f(x)=(x+){(x+)q(x)+ n+1 } 이므로ᄂ, ᄃ에서 x n (x-c)=(x+)q(x)+ n+1 위등식의양변에 x=- 를대입하면 yy ᄂ yy ᄃ (-) n (--c)= n+1 yy ᄅ 그런데 n 이홀수일때 (-) n =- n 이므로ᄅ에서 - n (--c)= n+1 -(--c)=, +c= c=0 이므로 f(x)=xû`+ax+b=(x+)(x-c) 에서 xû`+ax+b=(x+)x=xû`+x 따라서 a=, b=0 이므로 aû`+bû`=4 4 0 xû`-3x-4=(x+1)(x-4), xû`+4x+3=(x+1)(x+3) 이므로조건 ( 가 ) 에서 f(x) 는 x+1, x-4, x+3 을모두인수로가져야한다. 즉, f(x) 중에서가장차수가낮은것은삼차식이고, g(x)=k(x+1)(x-4)(x+3)(k 는 0 이아닌상수 ) 로놓을수있다. 이때조건 ( 나 ) 에서나머지정리에의해 f(5)=96, 즉 g(5)=96 이므로 g(5)=k(5+1)(5-4)(5+3)=48k=96 k= 따라서 g(x)=(x+1)(x-4)(x+3) 이므로 g()=_3_(-)_5= p(x)=xǜ +3xÛ`-13x-15 라하면 p(-1)= =0 이므로인수정리에의해다항식 p(x) 는 x+1을인수로갖는다 위의조립제법에서 xǜ +3xÛ`-13x-15 =(x+1)(xû`+x-15) =(x+1)(x-3)(x+5) 다항식 f(x) 를 xü`+3xû`-13x-15로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)=(x+1)(x-3)(x+5)q(x)+xû`+x 이므로 f(xû`) =(xû`+1)(xû`-3)(xû`+5)q(xû`)+(xû`)û`+xû` =(xý`-xû`-3)(xû`+5)q(xû`)+xý`+xû` = (xý`-xû`-3)(xû`+5)q(xû`)+(xý`-xû`-3)+3xû` +3 =(xý`-xû`-3){(xû`+5)q(xû`)+1}+3xû`+3 즉, 다항식 f(xû`) 을 xý`-xû`-3으로나누었을때의나머지는 3xÛ`+3이므로 R(x)=3xÛ`+3 따라서 R()=3_Û`+3=15 h(x)=xý`+xǜ -7xÛ`-0x-1 라하자. h(-1)=0, h(-)=0 이므로 h(x) 는 x+1 과 x+ 를인수 로가진다 올림포스 수학 ( 상 )

19 위와같이조립제법을이용하여 h(x) 를인수분해하면 h(x) =(x+1)(x+)(xû`-x-6) =(x+1)(x+)(x+)(x-3) =(x+1)(x-3)(x+)û` 따라서 f(x)g(x)=(x+1)(x-3)(x+)û` 이므로 f(x), g(x) 가될수있는경우는다음과같다. Ú à f(x)=(x+1)(x+) g(x)=(x-3)(x+) Û à f(x)=(x-3)(x+) g(x)=(x+1)(x+) Ü à f(x)=(x+1)(x-3) g(x)=(x+)û` Ý à f(x)=(x+)û` g(x)=(x+1)(x-3)` 위의모든경우에대하여조건 ( 가 ) 를만족시키는실수 a 는 -, -1, 3 의 3 개가존재한다. 그런데 Ú 또는 Û 인경우에는 f(x)+g(x) =(x+){(x+1)+(x-3)} =(x+)(x-1) 이므로ᄀ중에서 ( 나 ) 를만족시키는실수 a 는 - 의한개가 존재한다. 한편 Ü 또는 Ý인경우에는 f(x)+g(x)=(x+1)(x-3)+(x+)û`=xû`+x+1 이므로ᄀ중에서 ( 나 ) 를만족시키는실수 a는존재하지않는다. 따라서 f(x)+g(x)=(x+)(x-1) 이므로 f(-3)+g(-3)=(-3+)(-3-1)=8 8 3 xǜ +(y+5)xû`+(5y+3)x+3y를 y에대한내림차순으로정리하여인수분해하면 (xû`+5x+3)y+xǜ +5xÛ`+3x =(xû`+5x+3)y+x(xû`+5x+3) =(xû`+5x+3)(x+y) =(x+1)(x+3)(x+y) 즉, 이직육면체의세모서리의길이는 x+1, x+3, x+y이다. 이때 x>1, y>1이므로세모서리의길이중가장작은것은 x+1이다. 이직육면체의면중에서넓이가가장큰면의넓이는 (x+3)(x+y) 이므로구하는두면의넓이의합은 (x+3)(x+y)=4xû`+4xy+6x+6y 따라서 xy의계수는 4이다. 4 삼차다항식 P(x)-3 은 (x-)û` 으로나누어떨어지므로 P(x)-3=(x-)Û`(ax+b)( 단, a, b 는상수 ) y ᄀ y ➊ 로놓을수있다. ᄀ에 x=1을대입하면 P(1)-3=a+b, 6-3=a+b a+b=3 yy ᄂ ᄀ에 x=3을대입하면 P(3)-3=3a+b, 8-3=3a+b 3a+b=5 yy ᄃ ᄂ, ᄃ을연립하여풀면 a=1, b= yy ➋ 따라서 P(x)-3=(x-)Û`(x+) 이므로 P(x) =(x-)û`(x+)+3 =(xû`-4x+4)(x+)+3 =xǜ -xû`-4x+11 yy ➌ xǜ -xû`-4x+11 단계 채점기준 비율 ➊ P(x)-3=(x-)Û`(ax+b) 로놓은경우 30`% ➋ a, b의값을구한경우 40`% ➌ P(x) 를내림차순으로나타낸경우 30`% 5 y+z=w 라하면 (x+y+z)ǜ =(x+w)ǜ =xǜ +wǜ +3xw(x+w) =xǜ +(y+z)ǜ +3x(y+z)(x+y+z) =xǜ +yǜ +zǜ +3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z) yy ➊ 이므로 (x+y+z)ǜ -xǜ -yǜ -zǜ =3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z) yy ➋ =3(y+z)(yz+xÛ`+xy+xz) =3(y+z){xÛ`+(y+z)x+yz} =3(y+z)(x+y)(x+z) =3(x+y)(y+z)(z+x) yy ➌ 정답과풀이 19

20 정답과풀이 3(x+y)(y+z)(z+x) 단계 채점기준 비율 ➊ (x+y+z)ǜ 을전개한경우 30`% ➋ 주어진식을전개한경우 30`% ➌ 주어진식을인수분해한경우 40`% 04 복소수와이차방정식 기본유형익히기 유제 ⑴ 11 ⑵ xÛ`-x+=0 Ⅱ. 방정식과부등식 본문 37~39 쪽 1. (x-1)+x(x-3)i=y 에서 복소수가서로같을조건에의하여 x-1=y, x(x-3)=0 x(x-3)=0에서 x=0 또는 x=3 x=0이면 y=-1 x=3이면 y= y>0에서 x=3, y=이므로 x+y=3+=5 5. a=a 에서복소수 a 의 ( 허수부분 )=0 b =-b 에서복소수 b 의 ( 실수부분 )=0 즉, 실수 a, b 에대하여 a=a, b=bi 꼴로나타나므로 a+b=+3i 에서 a+bi=+3i 복소수가서로같을조건에의하여 a=, b=3 이므로 a=, b=3i 그러므로 a b = 3i = i 3i Û` = i -3 =- 3 i É{ a b }= 3 i 따라서 a b _É{ a b }=- 3 i_ 3 i=- 4 9 i Û`= (1+15-1) =13 i(1+141 i) i 1i 148 i+18 i Û` =13 i(1+13 i)+ 1 i Û` =16 i-6-413i 올림포스 수학 ( 상 )

21 =16 i-6-16 i+ =-4-16 i 따라서 a=-4, b=-16 이므로 ab= 이차방정식 xû`+x+k-3=0 의판별식을 D 라하면 서로다른두허근을가지므로 D 4 =1Û`-(k-3)<0 -k+4<0 k> 따라서정수 k의최솟값은 3이다 이차방정식의근과계수의관계에의하여 a+b=3, ab=-1 ⑴ aû`+bû` =(a+b)û`-ab=3û`-_(-1) =9+=11 ⑵ aû` b + bû` aǜ +bǜ = =-(aǜ +bǜ ) a ab 이때 aǜ +bǜ =(a+b)ǜ -3ab(a+b) =3Ǜ -3_(-1)_3 =36 이므로 aû` b + bû` a =-(aǜ +bǜ )=-36 ⑴ 11 ⑵ 이차방정식 xû`-x+3=0의두근이 a, b이므로근과계수의관계에의하여 a+b=;!;, ab=;#; 그러므로 1 a + 1 b = a+b ;!; ab = ;#; 1 a _ 1 b = 1 ab =;3@; =;3!; 따라서 xû`의계수가 3이고 1 a, 1 을두근으로하는이차방정 b 식은 3[xÛ`-{ 1 a + 1 b }x+ 1 ab ]=0 3{xÛ`-;3!; x+;3@;}=0 3xÛ`-x+=0 유형확인 3xÛ`-x+=0 본문 40~41 쪽 xÛ`+8x-16= z=z 에서 z는실수이어야한다. z가실수가되려면 z의 ( 허수부분 )=0이어야하므로 x+1=0에서 x=-1 0 (1+i)xÛ`-(1-3i)x=-i에서 (xû`-x)+(xû`+3x)i=-i x가실수이므로복소수가서로같을조건에의하여 xû`-x=, xû`+3x=- xû`-x=에서 xû`-x-=0, (x+1)(x-)=0 이므로 x=-1 또는 x= xû`+3x=-에서 xû`+3x+=0, (x+1)(x+)=0 이므로 x=-1 또는 x=- ᄀ, ᄂ에서 x=-1 03 z=a+bi ( 단, a, b는실수, a+0, b+0) 라하면 z =a-bi이다. ㄱ. z+z =(a+bi)+(a-bi)=a 따라서 z+z 는실수이다. ㄴ. (1+z)(1+z )=1+z+z +zz =1+(z+z )+zz 이때ㄱ에서 z+z 는실수이고 yy ᄂ -1 정답과풀이 1

22 정답과풀이 zz =(a+bi)(a-bi)=aû`-(bi)û` =aû`-(-bû`)=aû`+bû` 이므로 zz 는실수이다. 따라서 z+z, zz 가모두실수이므로 (1+z)(1+z ) 도실 수이다. ㄷ. z = a+bi z a-bi = (a+bi)û` (a-bi)(a+bi) aû`+abi+bû`i Û` = aû`+bû` = aû`-bû` aû`+bû` + ab aû`+bû` i ab+0 이므로 z z 는실수가아니다. 이상에서실수인것은ㄱ, ㄴ이다. 04 (3+i)(-1+i) i =-3+3i-i+i Û`+ 5(1-3i) (1+3i)(1-3i) =-5+i+ 5(1-3i) 1Û`-(3i)Û` =-5+i+ 5(1-3i) 10 =-5+i+;!;-;#; i=-;(;-;!; i 따라서 a+b=-;(;-;!;=-5 1-i 05 z= 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -i =-i이므로 1+z+zÛ`+y+zÚ`ầ =1+(-i)+(-i)Û`+(-i)Ǜ +y+(-i)ú`ầ =(1-i+i Û`-i Ǜ )+(i Ý`-i Þ`+i ß`-i à`)+i `-i á`+i Ú`ầ =(1-i-1+i)+(1-i-1+i)+1-i-1=-i a =-&'¾;bA; 이고 a+0, b+0이므로 a>0, b<0에서!b!#ab-1a 1b+!#b!#b-!$4bÛ` =!#ab-!#ab+!$-b i_!$-b i- b =-bi Û`+b=b+b=4b 3 07 (1+i)x+(1-i)y=-3에서 (x+y)+(x-y)i=-3 복소수가서로같을조건에의하여 x+y=-3, x-y=0 위의두식을연립하여풀면 x=-1, y=- 14x1y+ 148x 14-8 = y =1 i_1 i+ 18i 1i =i Û`+14 =-+=0 4 이차방정식 xû`-6x+a+1=0이실근을가지려면판별식을 D라할때, D =(-3)Û`-(a+1)¾0, 8-a¾0 4 aé8 따라서정수 a의최댓값은 8이다 이차식 xû`+kx+k+3이완전제곱식이므로이차방정식 xû`+kx+k+3=0은중근을갖는다. 이차방정식 xû`+kx+k+3=0의판별식을 D라할때, D 4 =kû`-(k+3)=0 kû`-k-3=0 (k-3)(k+1)=0 k=3 또는 k=-1 이때 k>0이므로 k=3이다. 3 올림포스 수학 ( 상 )

23 10 주어진이차방정식이중근을가지므로판별식을 D 라할때, D 4 ={-(k+a)}û`-(kû`+k+aû`)=0 ak-k=0 k(a-1)=0 이식이 k의값에관계없이항상성립하므로 a-1=0 따라서 a=1 11 이차방정식 4xÛ`-x+1=0에서근과계수의관계에의하여 a+b=- - =;!;, ab=;4!; 이므로 4 aû`-ab+bû`=(a+b)û`-3ab 그러므로방정식 f(x-3)=0 의두근의합은 a b+3 = a+b+6 = -5+6 = 1 이차방정식 xû`+ax+b=0의계수가실수이므로한근이 1+i이면다른한근은 1-i이다. 이차방정식의근과계수의관계에의하여 (1+i)+(1-i)=-a에서 a=- (1+i)(1-i)=1Û`-(i)Û`=1+4=5=b 따라서 a+b=-+5=3 3 ={;!;}`-3_;4!; =;4!;-;4#;=-;!; 서술형 연습장 i 0 M=1, m= 본문 4 쪽 1 이차방정식의근과계수의관계에의하여 a+b=-4, ab=-3이므로 1 a + 1 b = a+b ab = 4 3 그러므로 (a+b)+{ 1 a + 1 b }= =- 8 3 (a+b){ 1 a + 1 b }=-4_ 4 3 = 따라서 a+b, 1 a + 1 을두근으로하고 xû`의계수가 3인 b 이차방정식은 3[xÛ`-{-;3*;}x-;;Á3 ;;]=0 이므로 3xÛ`+8x-16=0 13 3xÛ`+8x-16=0 이차방정식 f(x)=0의두근을 a, b라하면 f(a)=0, f(b)=0이고 a+b=-5 이때방정식 f(x-3)=0의두근은 x-3=a, x-3=b 를만족시키므로 x= a+3, x= b+3 01 z=a+bi(a, b는실수 ) 라하면 z =a-bi이므로 (1-i)z+i z =(1-i)(a+bi)+i(a-bi) =(a+bi-ai-bi Û`)+(ai-bi Û`) =(a+bi-ai+b)+(ai+b) =(a+b)+bi yy ➊ 즉, (a+b)+bi=-3i이므로복소수가서로같을조건에 의하여 a+b=, b=-3 yy ➋ 따라서 a=8, b=-3이므로구하는복소수 z는 z=8-3i yy ➌ 8-3i 단계 채점기준 비율 ➊ 복소수의연산을한경우 50`% ➋ 복소수가서로같을조건을이용한경우 0`% ➌ 복소수 z를구한경우 30`% 0 이차방정식 xû`-x+k-1=0 이서로다른두실근을가 지려면판별식을 DÁ 이라할때, DÁ=1-4(k-1)>0, 4k<5 k<;4%; 정답과풀이 3

24 정답과풀이 에서정수 k의최댓값은 1이므로 M=1 yy ➊ 이차방정식 xû`-x+k+3=0이서로다른두허근을가지려 면판별식을 Dª 라할때, Dª=1-4 (k+3)<0, 8k>-3 k>-;;ª8 ;; 에서정수 k의최솟값은 -이므로 m=- yy ➋ M=1, m=- 단계 채점기준 비율 ➊ M의값을구한경우 50`% ➋ m의값을구한경우 50`% 03 이차방정식 xû`-(kû`+k-3)x+4k-3=0 의두근을 a, b 라하면두실근의절댓값이같고부호가서로다르므로 a+b=0, ab<0 yy ➊ 이차방정식의근과계수의관계에의하여 a+b=kû`+k-3=0, ab=4k-3<0 yy ➋ kû`+k-3=0에서 (k+3)(k-1)=0이므로 k=-3 또는 k=1 yy ➌ 이중 ab=4k-3<0을만족시키는 k의값은 k=-3이다. yy ➍ -3 단계 채점기준 비율 ➊ a, b의조건을구한경우 30`% ➋ 두근의합과곱을구한경우 0`% ➌ 이차방정식의해를구한경우 30`% ➍ k의값을구한경우 0`% 자연수 k에대하여 z 4k-3 =-i, z 4k- =-1, z 4k-1 =i, z 4k =1 이므로 z 4k-3 +z 4k- +z 4k-1 +z 4k =0에서 z 4k-3 +z 4k- +z 4k-1 =-1 그러므로 f(1)+f()+f(3)+y+f(n)=-1을만족시키는자연수 n은 n=4k-1(k는자연수 ) 꼴이므로이러한 150 이하의자연수 n은 k=1에서 k=37까지총 37개이다. 0 0이아닌복소수 a에대하여 a=a+bi (a, b는실수 ) 라하자. ㄱ. aû`+a Û`=0을만족시키는복소수 a는 (a+bi)û`+(a-bi)û`=aû`-bû`=(aû`-bû`)=0 에서 a=b 또는 a=-b를만족시키는복소수 a는무수히많다. ㄴ. aa =-1에서 (a+bi)(a-bi)=aû`+bû`=-1을만족시키는실수 a, b는존재하지않으므로복소수 a는존재하지않는다. aû` (a+bi)û` ㄷ. b+0일때 = a-a (a+bi)-(a-bi) 이므로 = aû`+abi-bû` bi = aû`-bû` bi a+ (bû`-aû`)i =a-bi b +a= (bû`-aû`)i +a b 두복소수가서로같을조건에의하여 bû`-aû` =-b에서 b bû`-aû`=-bû` 즉, aû`=3bû`을만족시키는실수 a, b는무수히많으므로복소수 a는무수히많다. 따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다 내신 + 수능 고난도문항 '5 z= 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = 1-i+i Û` = -i 1Û`-i Û` =-i 본문 43 쪽 03 이차방정식 xû`+3x-1=0 의두근이 a, b 이므로근과 계수의관계에의하여 ab=-1 a=- 1 b, b=- 1 a 이때 bf(a)=1, af(b)=1이므로 f(a)=-a, f(b)=-b 에서 f(a)+a=0, f(b)+b=0 4 올림포스 수학 ( 상 )

25 즉, a, b는이차방정식 f(x)+x=0의두근이다. f(x)+x=a(xû`+3x-1) (a+0) 이라하면 f(0)=-a=1에서 a=-1이므로 f(x)+x=-(xû`+3x-1) f(x)=-xû`-4x+1 그러므로이차방정식 f(x)=0은 -xû`-4x+1=0이므로근과계수의관계에의하여 p+q=-4, pq=-1 (p-q)û` =(p+q)û`-4pq =(-4)Û`-4_(-1)=0 따라서 p-q =!$(p-q)û`=130= Ⅱ. 방정식과부등식이차방정식과이차함수 기본유형익히기 유제본문 46~47쪽 이차함수 y=xû`+kx+3k+1 의그래프가 x 축에접하 므로이차방정식 xû`+kx+3k+1=0 의판별식을 D 라할때, D=kÛ`-4 (3k+1)=0 kû`-4k-8=0 이방정식은서로다른두실근을가지므로이차방정식의근과계수의관계에의하여모든실수 k의값의합은 4이다. 4. 함수 y=-xû`-5x+8의그래프와직선 y=3x+k가만나므로이차방정식 -xû`-5x+8=3x+k, 즉 xû`+8x+k-8=0의판별식을 D라할때, D 4 =4Û`-_(k-8)¾0 3-k¾0 ké16 따라서정수 k의최댓값은 16이다 y=xû`-6x+k =(xû`-3x)+k = {x-;#;}`+k-;(; 이차함수 y=xû`-6x+k 는최솟값 k-3 을가지므로 k-;(;=k-3 에서 k=-;#; 한편 y=-xû`+4kx+4=-(x-k)û`+4+4kû`에서이차함수 y=-xû`+4kx+4는 x=k일때최댓값 4+4kÛ`을갖는다. 따라서구하는최댓값은 4+4kÛ`=4+4_{-;#;}`=4+9=13 3 정답과풀이 5

26 정답과풀이 4. f(x)=axû`-ax+b=a(x-1)û`-a+b 에서 a>0 이 고, 꼭짓점의 x 좌표가 1 이므로 x=1 에서최솟값, x=- 에서 최댓값을갖는다. 즉, f(1)=-a+b=-1 f(-)=8a+b=6 두식을연립하여풀면 a=3, b= 따라서 f(x)=3xû`-6x+ 이므로 f(-1)=3+6+=11 유형확인 `m 01 1 본문 48~49 쪽 이차함수 y=xû`-x+a 의그래프와 x 축이만나는점의 x 좌표는방정식 xû`-x+a=0 의실근과같으므로이차방정식 의근과계수의관계에의하여 -+b=, -b=a 가성립한 다. 따라서 a=-8, b=4이므로 a+b=-8+4= 이차함수 y=xû`-ax+aû`+a-의그래프가 x축과만나기위해서는이차방정식 xû`-ax+aû`+a-=0이실근을가져야하므로판별식을 D라할때, D =(-a)û``-(aû`+a-)¾0, -a+¾0 4 aé 따라서정수 a의최댓값은 이다. 03 이차함수 y=xû`-(k+a)x+kû`-5k+aû`의그래프가 x축에접하려면이차방정식 xû`-(k+a)x+kû`-5k+aû`=0의판별식을 D라할때, D ={-(k+a)}û`-(kû`-5k+aû`)=0, ak+5k=0 4 k(a+5)=0 ᄀ이 k의값에관계없이성립하므로 a+5=0 a=-;%; 04 5 이차방정식 xû`+ax-3=0의두 근은이차함수 f(x)=xû`+ax-3의 - 1 그래프와 x축의교점의 x좌표와같으므로 a<-, 1<b<가성립하려면이차함수 y=f(x) 의그래프는오른쪽그림과같다. a b x 이차함수 y=f(x) 의그래프에서 f(-)<0, f(1)<0, f()>0 이므로 f(-)=(-)û`+a(-)-3=1-a<0 에서 a>;!; f(1)=1û`+a-3=a-<0 에서 a< f()=û`+a-3=a+1>0 에서 a>-;!; ᄀ, ᄂ, ᄃ을모두만족시키는 a 의값의범위는 ;!;<a< 따라서정수 a 는 1 로 1 개이다. 05 yy ᄂ yy ᄃ 이차함수 y=xû`+ax의그래프와직선 y=bx+c가만나는점의 x좌표는이차방정식 xû`+ax=bx+c, 즉 xû`+(a-b)x-c=0의실근과같다. 이때이차방정식 xû`+(a-b)x-c=0의한근은 +'3이고, a, b, c가유리수이므로다른한근은 -13이다. 이차방정식의근과계수의관계에의하여 (+'3)+(-'3)=-a+b (+'3)(-'3)=-c 따라서 a-b=-4, c=-1이므로 a-b+c=-4-1=-5 3 참고 a, b, c가유리수일때, 이차방정식 axû`+bx+c=0의한근이 p+q1r이면다른한근은 p-q1r이다. ( 단, p, q는유리수, 'r 는무리수이다.) 6 올림포스 수학 ( 상 )

27 06 이차함수 y=xû`-3x+4 의그래프와직선 y=m(x-1) 이접하려면 xû`-3x+4=mx-m 에서이차방정식 xû`-(3+m)x+(4+m)=0 의판별식을 D 라할때, D={-(3+m)}Û`-4(4+m)=0 mû`+m-7=0 이이차방정식은서로다른두실근을가지므로이차방정식의근과계수의관계에의하여모든실수 m의값의합은 -이다. 07 이차함수 y=xû`+3x+k의그래프가직선 y=-x-1보다항상위쪽에있으려면이차함수 y=xû`+3x+k의그래프가직선 y=-x-1과만나지않아야하므로 xû`+3x+k=-x-1, 즉이차방정식 xû`+4x+k+1=0의판별식을 D라할때, D 4 =Û`-(k+1)<0 k>3 따라서정수 k의최솟값은 4이다 이차함수 y =xû`+4x+aû`+a =(x+)û`+aû`+a-4 는 x=-에서최솟값 aû`+a-4를갖는다. b=-, aû`+a-4=에서 aû`+a-6=0 (a+3)(a-)=0 a<0이므로 a=-3 y=-3xû`-x+5 =-3{x+;3!;}`+5+;3!; =-3{x+;3!;}`+;;Á3 ;; 따라서 x=-;3!; 일때, 최댓값 ;;Á3 ;; 을갖는다 이차함수 y=xû`+x+a+3의그래프가 x축에접하므로이차방정식 xû`+x+a+3=0의판별식을 D라할때, D 4 =1Û`-(a+3)=0 a=- 그러므로이차함수 y=xû`-x+4=(x-1)û`+3은 x=1일때, 최솟값 3을갖는다 y =xû`-kx-kû`+k+1 =(x-k)û`-kû`+k+1 에서주어진이차함수는 x=k일때, 최솟값 -kû`+k+1을갖는다. 즉, f(k)=-kû`+k+1 =- {kû`-;!; k}+1 =- {k-;4!;}`+;8(; 따라서이차함수 f(k) 는 k=;4!; 일때, 최댓값 ;8(; 를갖는다 이차함수 y=xû`-3x+a의그래프와직선 y=x-1의한교점의 x좌표가 1이므로 x=1은이차방정식 xû`-3x+a=x-1, 즉 xû`-5x+a+1=0의한실근이다. x=1을대입하면 1-5+a+1=0에서 a=3 따라서 y=xû`-3x+3= {x-;#;}`+;4#; 이므로 x=;#; 일때, 최 솟값 ;4#; 을갖는다. 1 xû`-x=t로놓으면 t=(x-1)û`-1이므로 -1ÉxÉ 일때 -1ÉtÉ3 이때주어진함수는 y=tû`-6t+3=(t-3)û`-6 따라서 -1ÉtÉ3이므로 t=-1일때, 최댓값 10을갖는다 함수 y y= xû`-4x-5 y = xû`-4x-5 = (x+1)(x-5) = (x-)û` 의그래프는오른쪽그림과같다. x=-1 또는 x=5일때 y=0, -1 O 5 6 x 정답과풀이 7

28 정답과풀이 x=일때 y=9, x=6일때 y= 4Û`-9 =7이므로 -1ÉxÉ6에서함수 y= xû`-4x-5 는 x=일때최댓값 9, x=-1 또는 x=5일때최솟값 0을갖는다. 따라서구하는최댓값과최솟값의합은 9+0=9 4 D =1-(3k+4)¾0, 3kÉ-3 4 ké-1 Û f()>0 에서 4-4+3k+4>0 3k>-4 k>-;3$; yy ➊ yy ➋ 14 정사각형구역의한변의 길이를 x`m 라하면 x>0 직사각형구역의가로의길이는 (70-4x)`m 이때 70-4x>0 에서 x< 135 두구역의넓이의합을 y`mû` 라하면 y =(x+70-4x)x =(70-3x)x =-3xÛ`+70x =-3(x-45)Û`+3_45Û` x`m x`m x`m x`m yy ᄂ 따라서ᄀ, ᄂ의조건을만족하는 x 의값에대하여두개의구 역의넓이의합은 x=45 일때최댓값을가지므로구하는정사 각형구역의한변의길이는 45`m 이다. 01 서술형 01 -;3$;<kÉ-1 0 k=-1 또는 k=;;á3 ;; 03 9'3 `mû` 연습장 이차방정식 xû`-x+3k+4=0 에서 f(x)=xû`-x+3k+4 라하자. 이차방정식 f(x)=0 의두근이모두 보다작으려면이차함수 y=f(x) 의 그래프가오른쪽그림과같아야한다. Ú 이차방정식 f(x)=0 의판별식을 D 라할때, 45`m 본문 50 쪽 y=f(x) x Ü f(x)=xû`-x+3k+4=(x-1)û`+3k+3에서대칭축이 x=1이므로조건을만족시킨다. yy ➌ Ú~Ü 에서조건을만족하는실수 k의값의범위는 -;3$;<kÉ-1 yy ➍ -;3$;<kÉ-1 단계 채점기준 비율 ➊ 판별식을만족시키는조건을구한경우 30`% ➋ f()>0을만족시키는조건을구한경우 30`% ➌ 대칭축조건을구한경우 30`% ➍ k의값의범위를구한경우 10`% 0 f(x) =-xû`+kx-3k =-(x-k)û`+kû`-3k yy ➊ Ú k<-3일때 -3ÉxÉ3에서이차함수 f(x)=-xû`+kx-3k의최댓값은 f(-3) 이므로 f(-3)=-9-6k-3k=4, 9k=-13 k=-:á9 : 이때 k<-3을만족시키지않는다. yy ➋ Û -3Ék<3일때 -3ÉxÉ3에서이차함수 `f(x)=-xû`+kx-3k의최댓값은 `f(k) 이므로 kû`-3k=4, kû`-3k-4=0 (k-4)(k+1)=0 k=4 또는 k=-1-3ék<3에서 k=-1 yy ➌ Ü k¾3일때 -3ÉxÉ3에서이차함수 `f(x)=-xû`+kx-3k의최댓값은 `f(3) 이므로 8 올림포스 수학 ( 상 )

29 f(3)=-9+6k-3k=4, 3k=13 k=:á3 : 이때 k¾3 이므로조건을만족시킨다. Ú~Ü 에서 k=-1 또는 k=;;á3 ;; yy ➍ yy ➎ k=-1 또는 k=;;á3 ;; 단계채점기준비율 ➊ f(x) 의식을변형한경우 10`% ➋ k<-3일때조건을만족하는 k의값이존재하지않음을안경우 0`% ➌ -3Ék<3 일때 k 의값을구한경우 30`% ➍ k¾3 일때 k 의값을구한경우 30`% ➎ k 의값을구한경우 10`% 01 내신 + 수능 고난도문항 본문 51 쪽 두삼각형 OAA', OBB' 는닮은삼각형이고, 두삼각형 OAA', OBB' 의넓이의비가 1`:`4 이므로 OÕA'Ó`:`OÕB'Ó=1`:` 이다. 그러므로점 A' 의 x좌표를 a(a>0) 라하면점 B' 의 x좌표는 -a이다. 4-xÛ`=kx에서이차방정식 xû`+kx-4=0은근과계수의관계에의하여 a_(-a)= -4 =-, -aû`=-이므로 a=1 a+(-a)=-;k;, -1=-;K; 따라서 k= 4 03 그림과같이천막을삼각형 ABC 라하고, 출입문을직사각형 DEFG 라하자. 변 EF 의중점을 M, EÕMÓ=MFÓ=xm, DEÓ=ym 라하면 60ù BEÓ=(3-x)`m 이고 tan`60ù=13 이므로 DEÓ = y BEÓ 3-x =13에서 B 6 m D y`m A G E x`m M x`m F y=13 (3-x) yy ➊ 그러므로출입문의넓이 S 는 S=xy=13x(3-x) =13 [-{x-;#;}`+;4(;] C yy ➋ 따라서출입문의넓이 S 는 x=;#; 일때최댓값 9'3 `mû` 를갖 는다. yy ➌ 9'3 `mû` 단계채점기준비율 ➊ 출입문의높이를식으로나타낸경우 30`% ➋ 출입문의넓이를식으로나타낸경우 30`% ➌ 넓이의최댓값을구한경우 40`% 0 f(x)= xû`-3x-4 xû`-3x-4 (xé-1 또는 x¾4) =à -xû`+3x+4 (-1<x<4) 직선 y=x+k가점 (-1, 0) y=f(x) y y=x+ká 을지날때의 k의값을 ká, 함수 f(x)=-xû`+3x+4의그 y=x+kª 래프와직선 y=x+k가접할 O 때 k의값을 kª 라하면 -1 4 x ká<k<kª 일때, y=f(x) 의그래프와직선 y=x+k가서로 다른네점에서만난다. Ú 직선 y=x+ká이점 (-1, 0) 을지날때, ká= Û 함수 f(x)=-xû`+3x+4의그래프와직선 y=x+kª 가 접할때이차방정식 -xû`+3x+4=x+kª, 즉 xû`-x+kª-4=0의판별식을 D라하면 D=1-4(kª-4)=0, kª=;;á4 ;; Ú, Û 에서 <k<;;á4 ;; 따라서정수 k 는 3, 4 로 개이다. 정답과풀이 9

30 정답과풀이 03 므로 f(x)=xû`+5x+ 에서 f(a)=b, f(b)=a 를만족시키 aû`+5a+=b bû`+5b+=a yy ᄂᄀ-ᄂ에서 (aû`-bû`)+5(a-b)=-(a-b) (aû`-bû`)+6(a-b)=0 (a-b)(a+b+6)=0 a+b이므로 a+b=-6 yy ᄃᄀ + ᄂ에서 (aû`+bû`)+5(a+b)+4=a+b (a+b)û`-ab+4(a+b)+4=0 ᄃ에서 36-ab-4+4=0 ab=8 yy ᄅᄃ, ᄅ에서 y =(x-a)(x-b)=xû`-(a+b)x+ab =xû`+6x+8=(x+3)û`-1 이므로 x=-3일때, 최솟값 -1을갖는다 여러가지방정식과부등식 1. ⑴ x=1 또는 x= 3Ñ 기본유형익히기 ⑵ x= -1Ñ17 i 3. ⑴ à x=-3 x=1 또는 à y=- y= 또는 x= 1Ñ17 i ⑵ à x=-1 x=- 또는 à y=- y= 유제 Ⅱ. 방정식과부등식 본문 55~57 쪽 ⑴ xǜ -4xÛ`+x+1=0 에서 f(x)=xǜ -4xÛ`+x+1 이 라하면 f(1)=1-4++1=0 이므로 f(x) 는인수정리에 의하여 x-1 을인수로갖는다. 조립제법을이용하여방정식 의좌변을인수분해하면 f(x)=(x-1)(xû`-3x-1)=0 에서 x-1=0 또는 xû`-3x-1=0 따라서 x=1 또는 x= 3Ñ149+4 = 3Ñ1313 이다. ⑵ xý`+3xû`+4=0 에서 xû`=x 로치환하여도인수분해가어려 우므로주어진식을 AÛ`-BÛ` 의꼴로변형한다. (xý`+4xû`+4)-xû`=0, (xû`+)û`-xû`=0 (xû`+x+)(xû`-x+)=0 이므로 xû`+x+=0 에서 x= -1Ñ17 i xû`-x+=0 에서 x= 1Ñ17 i 따라서 x= -1Ñ17 i 또는 x= 1Ñ17 i 이다. ⑴ x=1 또는 x= 3Ñ1313 ⑵ x= -1Ñ17 i 또는 x= 1Ñ17 i 30 올림포스 수학 ( 상 )

31 . xü`-1=0 에서 (x-1)(xû`+x+1)=0 이므로 xü`=1, xû`+x+1=0 이다. 또한자연수 n 에대하여 x 3n =(xǜ )Ç`=1Ç`=1 이므로 1+x+xÛ`+xǛ +y+xþ`ầ =1+x+xÛ`+xǛ (1+x+xÛ`)+y+xÝ` `(1+x+xÛ`) =0 3. x-y=-1 ⑴ à xû`-xy-yû`=-7 yy ᄂᄀ에서 y=x+1 yy ᄃᄃ을ᄂ에대입하면 xû`-x(x+1)-(x+1)û`=-7 xû`-xû`-x-xû`-x-1=-7 -xû`-4x+6=0 xû`+x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x=-3 또는 x=1 ᄃ에대입하면연립방정식의근은 à x=-3 x=1 또는 à y=- y= ⑵ à x+y=-3 xy= ᄀ에서 y=-3-x ᄃ을ᄂ에대입하면 x(-3-x)= xû`+3x+=0 (x+1)(x+)=0 x=-1 또는 x=- ᄃ에대입하면연립방정식의근은 à x=-1 x=- 또는 à y=- y=-1 ⑴ à x=-3 x=1 또는 à y=- y= 다른풀이 yy ᄂ yy ᄃ ⑵ à x=-1 x=- 또는 à y=- y=-1 ⑵ à x+y=-3 에서 x, y를두근으로갖는 t에대한이차방정 xy= 식은 tû`+3t+=0이므로 (t+1)(t+)=0에서 t=-1 또는 t=- 따라서연립방정식의근은 à x=-1 x=- 또는 à y=- y=-1 x-3éx-1 4. à 5x-¾x+4 yy ᄂ ᄀ에서 xé yy ᄃ ᄂ에서 3x¾6, x¾ yy ᄅ ᄃ, ᄅ을수직선위에나타내면 ᄃ ᄅ 오른쪽그림과같으므로ᄃ, ᄅ에서공통부분은 x=이다. x 따라서주어진연립부등식을만족시키는정수 x의개수는 1이다. 5. Ú x<-1일때, -3(x+1)-(x-1)É5, 5x¾-6, x¾-;5^; 즉, -;5^;Éx<-1 Û -1Éx<1일때, 3(x+1)-(x-1)É5, xé0 즉, -1ÉxÉ0 Ü x¾1일때, 3(x+1)+(x-1)É5, 5xÉ4, xé;5$; 이므로조건을만족시키지않는다. Ú~Ü에의해ᄀ -;5^;ÉxÉ 따라서최댓값과최솟값의합은 0+{-;5^;}=-;5^; ᄂ yy ᄂ 0 x 5 xû`-x-8<0 6. à xû`-5x-6¾0 yy ᄂᄀ에서 (x-4)(x+)<0 -<x<4 yy ᄃᄂ에서 (x-6)(x+1)¾0 xé-1 또는 x¾6 yy ᄅ 정답과풀이 31

32 정답과풀이 ᄃ, ᄅ을수직선위에나타내면오른쪽그림과같으므로ᄃ, ᄅ의공통범위는 -<xé-1 따라서정수 x는 -1로 1개이다. 유형확인 ᄅ ᄅ ᄃ x 본문 58~59쪽 03 xý`-6xû`+1=0 에서 xý`-xû`+1-4xû`=0 (xû`-1)û`-(x)û`=0 (xû`+x-1)(xû`-x-1)=0 xû`+x-1=0 또는 xû`-x-1=0이므로 x=-1ñ1 또는 x=1ñ1 이중양수인것은 -1+1, 1+1이므로양수인모든실근의합은 (-1+1)+(1+1)= f(x)=xý`+xǜ +3xÛ`-x-4라하면 f(1)=0, f(-1)=0이므로인수정리에의하여 f(x) 는 (x-1)(x+1) 을인수로갖는다. 조립제법을이용하여좌변을인수분해하면 (x-1)(x+1)(xû`+x+4)=0 주어진사차방정식의두허근 a, b는이차방정식 xû`+x+4=0 의두근이므로근과계수의관계에의하여 ab=4 5 0 계수가모두실수이고한근이 1+i이므로켤레복소수 1-i도근이다. 1+i, 1-i를두근으로하는이차방정식은 xû`-x+=0이므로주어진삼차방정식의좌변은다음과같이인수분해된다. xǜ +axû`+bx-6 =(xû`-x+)(x-3) =xǜ -5xÛ`+8x-6 따라서 a=-5, b=8이므로 a+b=-5+8= 삼차방정식 xǜ -1=0의모든계수가실수이고 xǜ -1=(x-1)(xÛ`+x+1)=0의한허근이 x이면켤레복소수 x 도근이다. xǜ =1, x Ǜ =1이므로 xú`ầ =xá`_x=x, xþ`=xǜ _xû`=xû` x Ú`ầ =x á`_x =x, x Þ`=x Ǜ _x Û`=x Û` 이성립하고 xû`+x+1=0이므로 xû`+1=-x x Û`+x +1=0이므로 x Û`+1=-x 이다. 따라서 xú`ầ 1+xÞ` + x Ú`ầ 1+x Þ` = x 1+xÛ` + x 1+x Û` = x -x + x -x =-1-1=- 05 xǜ =-1에서 xǜ +1=0, 즉 (x+1)(xû`-x+1)=0이므로이차방정식 xû`-x+1=0의한허근이 x이다. 이때이차방정식 xû`-x+1=0의모든계수가실수이므로 x 도이이차방정식의근이다. 이차방정식의근과계수의관계에의하여 x+x =1, xx =1 x+1 x+1 _ x +1 x +1 = xx +(x+x )+1 4xx +(x+x )+1 = =;7#; 3 3 올림포스 수학 ( 상 )

33 06 4xÛ`-yÛ`=0 à 8xÛ`-xy-yÛ`=1 yy ᄂ ᄀ의좌변을인수분해하면 (x+y)(x-y)=0 에서 y=-x 또는 y=x Ú y=-x 일때, ᄂ에대입하면 8xÛ`+xÛ`-4xÛ`=1, 6xÛ`=1, xû`= x=ñ1 x=1 일때, y=-1 x=-1 일때, y=1 Û y=x 일때, ᄂ에대입하면 8xÛ`-xÛ`-4xÛ`=1, xû`=1, xû`=6 x=ñ16 x=16 일때, y=16 x=-16 일때, y=-16 Ú, Û 에서연립방정식의해는 à x=1 x=-1 x=16 또는 à 또는 à y=-1 y=1 y=16 또는 à x=-16 y=-16 따라서 x+y의값은차례로 -31, 31, 516, -516이므로 x+y의최댓값은 516이다 y=-x를 xû`+yû`=a에대입하면 xû`+(-x)û`=a xû`-4x+4-a=0을만족시키는실수 x가존재하려면이이차방정식의판별식을 D라할때, D 4 =(-)Û`-_(4-a)¾0 a-4¾0, a¾ 따라서정수 a의최솟값은 이다. 3x-3<x-1 08 à x-1¾x+k yy ᄂᄀ에서 x<, x<1 yy ᄃᄂ에서 x¾k+1 yy ᄅ연립부등식을만족시키는정수ᄃᄅ x의개수가 3이되려면정수 -3 k+1-1 x 중 -, -1, 0만이연립부등 식의해가되어야하므로그림과같이 -3<k+1É- 따라서 -4<kÉ-3이다 주어진연립부등식은 à 7x-a<x-1 x-1<4x-5 ᄀ에서 5x<a-1, x< a-1 5 ᄂ에서 x>4, x> 주어진연립부등식의해가없으려면오른쪽그림과같이두부등식ᄃ, ᄅ의공통부분이없어야하므로 a-1 É, a-1é10 5 aé11 따라서정수 a의최댓값은 11이다. 10 Ú x<3일때, -(x-3)+3x¾4 x+6¾4 x¾-이므로 -Éx<3 Û x¾3일때, (x-3)+3x¾4 5x-6¾4 5x¾10 x¾이므로 x¾3 Ú, Û에서 x¾- 따라서정수 x의최솟값은 -이다. yy ᄂ yy ᄃ yy ᄅᄃᄅ a Ú x<-1일때, -(x+1)-(x-)é7, -xé6, x¾-3이므로 -3Éx<-1 Û -1Éx<일때, (x+1)-(x-)é7, 3É7 항상성립하므로 -1Éx< x 1 정답과풀이 33

34 정답과풀이 Ü x¾일때, (x+1)+(x-)é7, xé8, xé4이므로 ÉxÉ4 Ú~Ü 에서 -3ÉxÉ4 따라서정수 x의개수는 4-(-3)+1=8 3 ᄀ, ᄂ의공통부분은 1<a<3 따라서부등식을만족하는정수 a의개수는 1이다. 서술형연습장 본문 60 쪽 1 xû`- x -1<0 에서 x Û`- x -1<0 ( x -4)( x +3)<0 그런데 x +3>0이므로 x -4<0 x <4에서 -4<x<4 따라서 a=-4, b=4이므로 b-a=4-(-4)= f(x)=xû`-(k-1)x+(k+) 라하면함수 y=f(x) 의그래프는아래로볼록하므로모든실수 x에대하여 f(x)¾0이기위해서는함수 y=f(x) 의그래프가 x축과접하거나 x축보다위에있어야한다, 즉, 이차방정식 f(x)=0의판별식을 D라할때, D={-(k-1)}Û`-4(k+)É0, kû`-6k-7é0 (k+1)(k-7)é0-1éké7 따라서정수 k의개수는 7-(-1)+1= 이차방정식 xû`+x+(aû`-8)=0이서로다른두실근을가지므로판별식을 DÁ이라할때, DÁ =1Û`-(aÛ`-8)>0, 9-aÛ`>0, (a+3)(a-3)<0 4-3<a<3 이차방정식 xû`+(a-1)x+(a-1)=0이서로다른두허근을가지려면판별식을 Dª 라할때, Dª=(a-1)Û`-4(a-1)<0 (a-1)(a-5)<0 1<a<5 yy ᄂ ;3@; 0 0, 1 03 ÉxÉ5 xǜ +(a+1)xû`+ax-a=0에서 f(x)=xǜ +(a+1)xû`+ax-a라하면 f(-1)=0이므로인수정리에의하여 x+1을인수로갖는다. 조립제법을이용하여방정식의좌변을인수분해하면 -1 1 a+1 a -a -1 -a a 1 a -a 0 (x+1)(xû`+ax-a)=0이므로 x=-1 또는 xû`+ax-a=0 yy ➊ 주어진삼차방정식이중근을가지려면이차방정식 xû`+ax-a=0의한근이 x=-1이거나 -1이아닌중근을가져야한다. Ú x=-1을근으로가질때 (-1)Û`-a-a=0 이므로 a=;3!; xû`+;3@;x-;3!;=0 (x+1){x-;3!;}=0 yy ➋ 따라서주어진식은 (x+1)û`{x-;3!;}=0 으로 x=-1 을중 근으로가진다. Û 중근을가질때이차방정식 xû`+ax-a=0의판별식을 D라하면 D =aû`+a=0, a(a+1)=0 4 a=0 또는 a=-1 yy ➌ a=0이면 f(x)=(x+1)xû`=0으로 x=0을중근으로갖는다. a=-1이면 f(x)=(x+1)(xû`-x+1)=0 (x+1)(x-1)û`=0으로 x=1을중근으로갖는다. Ú, Û 에서모든실수 a의값의합은 34 올림포스 수학 ( 상 )

35 yy ➍ 단계채점기준비율 0 ➊ 삼차식을인수분해한경우 30`% ➋ -1 을중근으로가질때 a 의값을구한경우 30`% ➌ 이차방정식이중근을가질조건을구한경우 30`% ➍ 모든실수 a 의값의합을구한경우 10`% x+¾x+a à 3x-5É-x+a-1 yy ᄂ ᄀ에서 xé-a ᄂ에서 4xÉa+4 xé a+ Ú -a¾ a+, 즉 aé;3@; 일때 연립부등식의해가 xé1 이되려면 yy ➊ a+ =1에서 a=0 yy ➋ Û -a< a+, 즉 a> 3 일때연립부등식의해가 xé1이되려면 -a=1에서 a=1 yy ➌ Ú, Û에서실수 a의값은 0 또는 1이다. yy ➍ 0, 1 단계 채점기준 비율 ➊ 각부등식의해를구한경우 30`% 03 ➋ aé;3@; 일때, a 의값을구한경우 30`% ➌ a>;3@; 일때, a 의값을구한경우 30`% ➍ a 의값을구한경우 10`% 산책로의폭이 x`m이므로 x>0 산책로의넓이는 (18+x)(1+x)-18_1=4xÛ`+60x 이므로 136É4xÛ`+60xÉ400 34ÉxÛ`+15xÉ100 Ú xû`+15x¾34에서 yy ➊ xû`+15x-34¾0 (x+17)(x-)¾0 xé-17 또는 x¾ x>0이므로 x¾ yy ➋ Û xû`+15xé100 xû`+15x-100é0 (x+0)(x-5)é0-0éxé5 x>0이므로 0<xÉ5 yy ➌ Ú, Û 에서공통부분은 ÉxÉ5 yy ➍ ÉxÉ5 단계 채점기준 비율 ➊ 산책로의넓이를식으로나타내어부등식을세운경우 30`% ➋ 이차부등식의해를구한경우 30`% ➌ 이차부등식의해를구한경우 30`% ➍ 조건을만족시키는연립부등식의해를구한경우 10`% 01 내신 + 수능 고난도문항 본문 61 쪽 xý`-(a+1)xû`+aû`+a-6=0에서 xû`=x라하면 XÛ`-(a+1)X+(a+3)(a-)=0 {X-(a-)}{X-(a+3)}=0 X=a- 또는 X=a+3 xû`=a- 또는 xû`=a+3 a<-3일때 f(a)=0 a=-3일때 f(a)=1-3<a<일때 f(a)= a=일때 f(a)=3 a>일때 f(a)=4 따라서 f(-5)+f(-3)+f(-1)+f()+f(4)+f(6) = =14 4 정답과풀이 35

36 정답과풀이 0 이차방정식 xû`-(m+4)x-m=0 이 -ÉxÉ 에서 실근을가지려면 f(x)=xû`-(m+4)x-m 이라할때 y=f(x) 의그래프가 -ÉxÉ에서 x축과만나야한다. Ú `f(-) f()é0인경우 그림과같이 y=f(x) 의그래프가 -ÉxÉ에서 x축과만난다. y y y=f(x) y=f(x) 03 ABÓ=3x, ADÓ=3x+6 이라하자. 삼각형 BCPÁ 의넓이 SÁ 은 SÁ=;!;_(3x+6)_3x =;(;(xû`+x) 사각형 PÁQªQÁPª 의넓이 Sª 는삼각형 PÁQªD의넓이에서삼각형 PªQÁD의넓이를뺀값과같으므로 Sª=;!;{x(x+4)-x(x+)}=;#;(xÛ`+x) O - x O - x 그러므로 f()=û`-(m+4)-m=-5m-4, f(-)=(-)û`+(m+4)-m=3m+1 이므로 (-5m-4)(3m+1)É0 (5m+4)(3m+1)¾0 에서 mé-4 또는 m¾-;5$; Û `f(-) f()>0 인경우 이차방정식 xû`-(m+4)x-m=0 의판별식을 D 라할때, D 4 ={-(m+)}û`+m¾0 mû`+5m+4¾0 (m+4)(m+1)¾0 mé-4 또는 m¾-1 f()=-5m-4>0 에서 m<-;5$; f(-)=3m+1>0 에서 m>-4 y y=f(x) O - x yy ᄂ yy ᄃ 대칭축이 x=m+ 이므로 -<m+< 가성립해야한 다. -<m+< 에서 -4<m<0 ᄀ, ᄂ, ᄃ, ᄅ에서 -1Ém<-;5$; Ú, Û 에서 mé-4 또는 m¾-1 이다. ᄀ ᄂ ᄃ ᄅ yy ᄅ ᄀ ` ` 이중 -5ÉmÉ5 를만족시키는 m 의값의범위는 -5ÉmÉ-4 또는 -1ÉmÉ5 이므로정수 m 의개수는 +{5-(-1)+1}=9 x 4 SÁ-Sª=;(;(xÛ`+x)-;#;(xÛ`+x)=3(xÛ`+x) 9ÉSÁ-SªÉ4 에서 9É3(xÛ`+x)É4 3ÉxÛ`+xÉ8 à xû`+x¾3 xû`+xé8 yy ᄂᄀ에서 xû`+x-3¾0 (x+3)(x-1)¾0 xé-3 또는 x¾1 yy ᄃᄂ에서 xû`+x-8é0 (x+4)(x-)é0-4éxé yy ᄅᄃ, ᄅ에서 -4ÉxÉ-3 또는 1ÉxÉ x>0이므로 1ÉxÉ 변 AB의길이 3x는 1ÉxÉ에서 x=1일때최솟값 3, x= 일때최댓값 6을갖는다. 따라서최댓값과최솟값의합은 3+6=9 9 대단원종합문제 본문 6~65 쪽 xé3 또는 x¾9 36 올림포스 수학 ( 상 )

37 x 01 1+i = x(1-i) (1+i)(1-i) = x-xi y 1-i = y(1+i) (1-i)(1+i) = y+yi 이므로 x 1+i + y 1-i = x-xi = x+y =4+3i + y+yi + -x+y i 복소수가서로같을조건에의하여 x+y =4, -x+y =3 x+y=8, -x+y=6 위의두식을연립하여풀면 x=1, y=7 따라서 xy=7 0 할때,, 7 이차방정식 xû`+(-m)x+3m=0 의판별식을 D 라 D 4 =(-m)û`-3m=0 mû`-4m+4-3m=0 mû`-7m+4=0 근과계수의관계에의하여 m의값의합은 7이다 f(x)=xû`-(k-3)x+k-라하면 f(0)<0일때, x축과서로다른두점에서만나고두점의 x좌표의부호가다르다. f(0)=k-<0 k< 따라서정수 k의최댓값은 1이다. 04 x에대한이차방정식 xû`-mx+m+=0의한근이다른근의 배이므로두근을 a, a라하면근과계수의관계에서 a+a=m a_a=m+ yy ᄂ ᄀ에서 a= m 이고이식을ᄂ에대입하면 3 mû` 9 =m+ mû`-9m-18=0 따라서모든상수 m 의값의합은근과계수의관계에서 ;(; 이다. 5 3x+y=5 05 à xû`+yû`=5 yy ᄂᄀ에서 y=5-3x yy ᄃᄃ을ᄂ에대입하면 xû`+(5-3x)û`=5, xû`+5-30x+9xû`=5 10xÛ`-30x+0=0, xû`-3x+=0 (x-1)(x-)=0 x=1 또는 x= ᄃ에대입하면 x=1일때 y=이므로 x-y=-1 x=일때 y=-1이므로 x-y=3 따라서 x-y의최솟값은 -1이다. 06 이차함수 y=xû`+(k-3)x+k의그래프가 x축과만나지않으려면이차방정식 xû`+(k-3)x+k=0이실근을갖지않아야한다. 이차방정식 xû`+(k-3)x+k=0의판별식을 D라할때, D=(k-3)Û`-4k<0, kû`-6k+9-4k<0 kû`-10k+9<0 (k-1)(k-9)<0 1<k<9 따라서정수 k의개수는 9-1-1= z =(x+i)(x-3i)+(xû`+4xi)i =xû`-xi-3i Û`+xÛ` i+4x i Û` =(xû`-4x+3)+(xû`-x)i z가실수가되려면 ( 허수부분 )=0이되어야하므로 xû`-x=0, x(x-)=0 x=0 또는 x= 이때 x=0이면 z=3, x=이면 z=-1이므로 z가음의실수가되도록하는 x의값은 이다. 5 정답과풀이 37

38 정답과풀이 08 { 1+i 1 { 1-i 1 }4`=[{ 1+i 1 i }`]`={ }`=i Û`=-1 1-i -i }4`=[{ }`]`={ 1 }`=(-i)û`=-1 n 이홀수이므로 { 1+i 1 }4n +{ 1-i 1 }4n =(-1)Ç`+(-1)Ç` 09 =-1+(-1) =- - x=1+13 i 에서 x-1=13 i ᄀ ᄀ의양변을제곱하면 xû`-x+1=-3 xû`-x+4=0이므로 xǜ +4xÛ`-8x+16 =x(xû`-x+4)+6xû`-1x+16 =6(xÛ`-x+4)-8 = 이차방정식 xû`-4x-3=0의두근이 a, b이므로근과계수의관계에의하여 a+b=4, ab=-3 한편 aû`-4a-3=0에서 aû`-4a=3이므로 aǜ -4aÛ`+b(a+3) =a(aû`-4a)+ab+3b =3a+ab+3b =3(a+b)+ab =3_4+(-3) =1-3= 이차방정식 xû`-(aû`-3a-18)x-a+3=0의두실근의절댓값은같고부호가서로다르므로두근을 a, -a라하면근과계수의관계에의하여 a+(-a)=aû`-3a-18=0 (a+3)(a-6)=0 a=-3 또는 a=6 또한 a_(-a)=-a+3<0이므로 a>3 따라서 a=6 3 1 방정식 f(x) =에서 f(x)= 또는 f(x)=-이고, 함수 y=f(x) 의그래프는 x축과두점 (-1, 0), (3, 0) 에서만난다. f(x)=a(x+1)(x-3) 으로놓으면 y y=f(x) f(x) =a(xû`-x-3) =a(x-1)û`-4a 에서축의방정식이 x=1 이므로그 림에서방정식 f(x)= 는서로다 른두실근 x=a 또는 x=d 를가지 며 a+d =1에서 a+d= a b c d -1 O y= x y=- 한편방정식 f(x)=- 는서로다른두실근 x=b 또는 x=c 를가지며 b+c =1 에서 b+c= 따라서구하는모든서로다른실근의합은 a+b+c+d=(a+d)+(b+c)=+= 이차함수 y=xû`-x+3 의그래프와직선 y=kx-1 이접 하려면 xû`-x+3=kx-1, 즉이차방정식 xû`-(k+1)x+4=0 의판별식을 D 라할때, D=(k+1)Û`-4_4=0 (k+1-4)(k+1+4)=0, (k-3)(k+5)=0 k=3 또는 k=-5 k는양수이므로 k=3 k=3을ᄀ에대입하여접점의좌표를구하면 xû`-4x+4=0 (x-)û`=0에서 x= x=를 y=3x-1에대입하면 y=5 따라서 a=, b=5이므로 k+ab=3+_5=13 14 xǜ =1의한허근이 x이므로 xǜ =1이다. xǜ =1에서 xǜ -1=(x-1)(xÛ`+x+1)=0 즉, xû`+x+1=0의한허근이 x이므로 xû`+x+1= 올림포스 수학 ( 상 )

39 1+x+3xÛ`+4xǛ +5xÝ` =1+x+3xÛ`+4+5x 따라서 a=, b=4 이므로 a+b=+4=6 15 =5+7x+3xÛ` =5+7x+3(-x-1) =+4x -xû`+ax+b>x+1 에서 xû`+(-a)x+(1-b)<0 의해가 -1<x<3 이고이차항의계수가 1 이므로 (x+1)(x-3)<0 xû`-x-3<0 -a=-, 1-b=-3 따라서 a=4, b=4이므로 a+b=4+4=8 16 이차함수 f(x)=xû`-kx+3-k y 에대하여 0ÉxÉ일때항상 f(x)é0 을만족시키려면오른쪽그림에서 f(0)é0, f()é0이어야한다. O f(0)é0에서 3-kÉ0, k¾3 f()é0에서 4-4k+3-kÉ0, 5k¾7, k¾;5&; ᄀ, ᄂ에서 k¾3 따라서상수 k의최솟값은 3이다. 3 y=f(x) x yy ᄂ 17 이차함수 y=f(x) 의그래프는아 y x=1 y=f(x) 3 래로볼록이고조건 ( 가 ) 에서직선 x=1 에대하여대칭이고조건 ( 나 ) 에서 x축과서로다른두점에서만난다. ㄱ. 0ÉxÉ4에서 y=f(x) 는 x=1일때최솟값, x=4일때최댓값을갖는다. O 1 4 x ㄴ. 이차부등식 f(x)<0의해가 a<x<b이면이차방정 식 f(x)=0의두근이 a, b이고, 그래프가 x=1에대하여 대칭이므로 a+b =1에서 a+b=이다. ㄷ. 이차방정식 f(x)=0의두근을 a, b라하면 f(a)=0, f(b)=0이므로 f(x-)=0의두근은 a+, b+이다. 즉, (a+)+(b+)=(a+b)+4=+4=6 따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다. 18 f(x)=a(x+)(x-4) 라하면 y=f(x) 의그래프가점 (0, -8) 을지나므로 -8=a (-4) 에서 a=1 f(x) =(x+)(x-4) =xû`-x-8 =(x-1)û`-9 로꼭짓점의좌표가 (1, -9) 이다. f( x )= à (x-1)û`-9 (x¾0) (-x-1)û`-9 (x<0) 이고 f( x )+k=0의서로다른실근의개수는곡선 y=f( x ) 와직선 y=-k의교점의개수와같다. 그래프에서 y y=f( x ) k=6, 7 일때 g(6)=g(7)= k=8 일때 g(8)=3 y=f(x) 의꼭짓점이 (1, -9) 이므로 g(9)=, g(10)=0 따라서 g(6)+g(7)+g(8)+g(9)+g(10) = =9 O x y=-6 y=-7 y=-8 y=-9 y=-10 9 x+y+xy=-5 à xû`+yû`-(x+y)=1 yy ᄂ x+y=u, xy=v 라하면 ᄀ에서 u+v=-5 ᄂ에서 uû`-u-v=1 ᄃ에서 v=-u-5 를ᄅ에대입하면 uû`-u-(-u-5)=1 uû`+u-=0, (u+)(u-1)=0 u=- 또는 u=1 이때ᄃ에서 u=-일때 v=-3 u=1일때 v=-6 yy ᄃ yy ᄅ 정답과풀이 39

40 정답과풀이 Ú x+y=-, xy=-3 인경우 x, y 를두근으로하는 t 에대한이차방정식은 tû`+t-3=0, (t+3)(t-1)=0 t=-3 또는 t=1 à x=-3 y=1 또는 à x=1 y=-3 Û x+y=1, xy=-6인경우 x, y를두근으로하는 t에대한이차방정식은 tû`-t-6=0, (t+)(t-3)=0 t=- 또는 t=3 à x=- y=3 Ú, Û 에서 à x=-3 y=1 또는 à x=3 y=- 또는 à x=1 x=- 또는 à 또는 à x=3 y=-3 y=3 y=- 따라서 xû`+yû`의값은 10 또는 13이므로최댓값은 13이다. 5 0 x-1 + x+3 <10에서 Ú x<-3일때, -(x-1)-(x+3)<10, -3x-5<10 x>-5 그런데 x<-3이므로 -5<x<-3 Û -3Éx<1일때, -(x-1)+(x+3)<10, x+7<10 x<3 그런데 -3Éx<1이므로 -3Éx<1 Ü x¾1일때, (x-1)+(x+3)<10, 3x+5<10 yy ᄂ 3 {x-;3%;}(x+5)<0, (3x-5)(x+5)<0 3xÛ`+10x-5<0 1 5 f(x)=xǜ -(a+3)xû`+4ax-aû`이라하면 f(a)=aǜ -(a+3)aû`+4aû`-aû`=0이므로인수정리에의하여 x-a를인수로갖는다. 조립제법을이용하여인수분해하면 a 1 -a-3 4a -aû` a -3a aû` 1-3 a 0 (x-a)(xû`-3x+a)=0 yy ➊ 서로다른세실근을가지려면 xû`-3x+a=0이 a가아닌서로다른두실근을가져야하므로 aû`-3a+a+0, aû`-a+0, a(a-)+0 a+0이고 a+ yyᄀ yy ➋ 또한 xû`-3x+a=0의판별식을 D라할때, D=9-4a>0 a<;4(; ᄀ, ᄂ을만족하는자연수 a 는 1 로 1 개이다. yy ᄂ yy ➌ 단계 채점기준 비율 ➊ 삼차식을인수분해한경우 40`% ➋ x=a와다른두근을가질조건을구한경우 30`% ➌ 판별식을이용하여조건을만족하는자연수 a 의개수를구한경우 30`% x<;3%; 그런데 x¾1이므로 1Éx<;3%; yy ᄃᄀ, ᄂ, ᄃ에의하여주어진부등식의해는 -5<x<;3%; 따라서해가 -5<x<;3%; 이고이차항의계수가 3인이차부등식은 이차항의계수가 a(a>0) 이며해가 -3<x<3 인이차 부등식은 a(x+3)(x-3)<0 이므로 f(x)=a(x+3)(x-3) 이라하면 f(6-x) =a(6-x+3)(6-x-3) =a(9-x)(3-x) =a(x-9)(x-3) yy ➊ yy ➋ 40 올림포스 수학 ( 상 )

41 따라서 f(6-x)¾0은 a(x-9)(x-3)¾0이므로주어진부등식의해는 xé3 또는 x¾9이다. yy ➌ xé3 또는 x¾9 07 평면좌표와직선의방정식 Ⅲ. 도형의방정식 단계 채점기준 비율 ➊ 해가주어질때부등식을구한경우 30`% ➋ `f(6-x) 를구한경우 40`% ➌ 이차부등식의해를구한경우 30`% (10, 4) :ª9 : 기본유형익히기 유제본문 69~71쪽 1. 점 P(a, b) 는 x 축위의점이므로 b=0 점 P(a, 0) 은두점 A(-, 4), B(3, 5) 에서같은거리에있 으므로 APÓ=BPÓ 에서 APÓÛ`=BPÓ Û` (a+)û`+(-4)û`=(a-3)û`+(-5)û` aû`+4a+4+16=aû`-6a a=14, a=;5&; 따라서점 P 의좌표는 {;5&;, 0} 이므로 a+b=;5&;+0=;5&;. 평행사변형의대각선은서로다른것을이등분하므로선분 AC의중점과선분 BD의중점은일치한다. 선분 AC 의중점은 { 1+(-3) (-1, 4) 선분 BD 의중점은 { -5+a 즉, -5+a a+b=3+9=1 3., 5+3 } 에서, -1+b } =-1, -1+b =4에서 a=3, b=9이므로 5 세점 A(4, 7), B(a, b), C(c, d) 를꼭짓점으로하는 삼각형 ABC 의무게중심의좌표는 { 4+a+c 3 이므로 4+a+c =8에서 a+c=0 3 7+b+d =5에서 b+d=8 3, 7+b+d } 3 정답과풀이 41

42 정답과풀이 선분 BC 의중점의좌표는 { a+c a+c = 0 =10 b+d = 8 =4, b+d } 이므로 따라서선분 BC 의중점의좌표는 (10, 4) 이다. 4. (10, 4) x축의양의방향과 60ù의각을이루는직선의기울기는 tan 60ù='3이므로점 (-, 1) 을지나고기울기가 '3인직선의방정식은 y-1='3(x+) 에서 y='3x+'3+1 이직선이점 (-1, a) 를지나므로대입하면 a=-'3+'3+1=' 두점 A(-1, 1), B(5, 3) 을지나는직선의기울기는 (-1) =;6@;=;3!; 이므로이직선에수직인직선의기울기는 -3이다. 그러므로기울기가 -3이고 y절편이 6인직선의방정식은 y=-3x+6 따라서 a=-3, b=6이므로 a+b=-3+6= x-4y+1=0 의기울기가 ;4#; 이므로구하는직선의기울 기는 -;3$; 이다. 구하는직선의방정식을 y=-;3$;x+n 으로놓으면 4x+3y-3n=0 원점과직선ᄀ사이의거리가 1이므로 -3n "Ã4Û`+3Û` =1 3n =5 양변을제곱하면 9nÛ`=5에서 nû`=:ª9 : :ª9 : 유형확인 본문 7~73 쪽 점 P(a, b) 가직선 y=x+1 위의점이므로 b=a+1 a-b=-1 APÓ=BPÓ 에서 APÓ Û`=BPÓ Û` 이므로 (a-1)û`+(b+)û`=(a-3)û`+(b-1)û` 4a+6b=5 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-;1á0;, b=;1»0; 따라서 a+b=-;1á0;+;1»0;=;5$; 0 A(-1, ), B(3, 0), C(-, -5) 에서 ABÓ='Ä16+4='0, BCÓ='Ä5+5='50, CAÓ='Ä1+49='50 이므로 BCÓ=CAÓ 인이등변삼각형이다. 03 yy ᄂ 4 세점 A(, 0), B(7, -), C(3, -1) 을꼭짓점으로 하는삼각형 ABC 의외심의좌표를 O(a, b) 라하면 OAÓ=OBÓ=OCÓ OAÓ Û`=OBÓ Û` 에서 (a-)û`+bû`=(a-7)û`+(b+)û` 10a-4b=49 OAÓ Û`=OCÓÛ` 에서 (a-)û`+bû`=(a-3)û`+(b+1)û` a-b=3 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=: 6 :, b=:á6»: 따라서 a+b=: 6 :+:Á6»:=:ª3 : yy ᄂ 4 올림포스 수학 ( 상 )

43 04 세점 A(, 1), B(4, 5), C(4, 0) 에대하여 A 의이 등분선이변 BC 와만나는점이 D(a, b) 이므로 ABÓ : ACÓ=BDÓ : DCÓ ABÓ="Ã(4-)Û`+(5-1)Û`='5 ACÓ="Ã(4-)Û`+(0-1)Û`='5 ABÓ : ACÓ= : 1 이므로점 D 는선분 BC 를 : 1 로내분한다. 따라서점 D(a, b) 에대하여두점 B(4, 5), C(4, 0) 의 x 좌 표가 4 로같으므로 a=4, b= _0+1_5 +1 따라서 a+b=4+;3%;=:á3 : = 5 3 참고삼각형 ABC에서 A의이등분선이변 BC와만나는점을 D라하면 ABÓ : ACÓ=BDÓ : DCÓ 가성립한다. 05 두점 A(-3, ), B(6, -4) 에대하여선분 AB를 m : n으로내분하는점의좌표는 { 6m-3n m+n, -4m+n } m+n 이점이 x축위의점이므로 y좌표가 0이된다. -4m+n=0, n=m 에서 m : n=1 : m, n이서로소인두자연수이므로 m=1, n= 따라서 m-n=1-=-1 06 B A D C 세점 A(, 3), B(a, -b), C(3-b, a-1) 을꼭짓점으로하는삼각형 ABC의무게중심의좌표가 (7, 5) 이므로 +a+3-b =7에서 a-b= b+a-1 =5에서 a-b=13 3 두식을연립하여풀면 a=19, b=3이므로 a+b=19+3= 07 세점 A(, 0), B(3, 1), C(1, 5) 에대하여각변의내분점을구하면 P { 1_3+_ 1+ Q { 1_1+_3 1+ R { 1_+_1 1+, 1_1+_0 } 에서 P {;3&;, ;3!;} 1+, 1_5+_1 } 에서 Q {;3&;, ;3&;} 1+, 1_0+_5 } 에서 R {;3$;, :Á3¼:} 1+ 삼각형 PQR 의무게중심 G(a, b) 에대하여 3a=;3&;+;3&;+;3$;=:Á3 :=6, 3b=;3!;+;3&;+:Á3¼:=:Á3 :=6 이므로 3(a+b)=3a+3b=6+6=1 다른풀이 삼각형 ABC의각변 AB, BC, CA를각각 m : n으로내분하는점을각각 P, Q, R라할때, 삼각형 PQR의무게중심 G(a, b) 는삼각형 ABC의무게중심과일치하므로세점 A(, 0), B(3, 1), C(1, 5) 에대하여삼각형 ABC의무게중심을구하면 a= 따라서 3(a+b)=3(+)=1 08 =, b= = 3 직선 (a+1)x+by-3=0이 x축의양의방향과이루는각의크기가 45ù이므로 b+0이고 y=- a+1 x+;b#;에서 b - a+1 =tan 45ù=1, a+1=-b b 이직선이점 (3, 0) 을지나므로 3(a+1)+0-3=0에서 a=0 a=0을ᄀ에대입하면 b=-1 따라서 a-b=0-(-1)=1 09 세점 A(-1, ), B(4, -k), C(k+1, -5) 가한직선위에있으려면두직선 AB, AC의기울기가서로같아야하므로 (-k)- 4-(-1) = -5- (k+1)-(-1), -k 5 = -7 k+ 정답과풀이 43

44 정답과풀이 -kû`-k=-35, kû`+k-35=0 따라서근과계수의관계에의하여모든실수 k 의값의곱은 -35 이다 두직선의방정식 x+y+4=0, x-y+=0 을연립하 여풀면두직선의교점은 (-, 0) 이다. 직선 x+y+7=0 에평행하면기울기가같으므로 y=-;!;x-;&; 에서구하는직선의기울기는 -;!; 이다. 그러므로점 (-, 0) 을지나고, 기울기가 -;!; 인직선의방정 식은 y-0=-;!;(x+) 에서 y=-;!;x-1 따라서 A(-, 0), B(0, -1) 이므로삼각형 OAB 의넓이는 ;!; 1=1 다른풀이 두직선 x+y+4=0, x-y+=0 의교점을지나는직선의 방정식은 x+y+4+k(x-y+)=0(k 는실수 ) 으로나타낼수있다. (+k)x+(1-k)y+(4+k)=0 이직선이직선 x+y+7=0 과평행하므로 +k 1 = 1-k + 4+k 7 4+k=1-k, 3k=-3 에서 k=-1 이때 1-k + 4+k 이다. 7 k=-1 을ᄀ에대입하면 x+y+=0 따라서 A(-, 0), B(0, -1) 이므로삼각형 OAB 의넓이는 ;!; 1=1 11 두직선 x+ay-1=0, 5x+(-3a)y+=0 이서로 수직이되려면 1_5+a_(-3a)=0 3aÛ`-a-5=0 근과계수의관계에의하여모든실수 a 의값의곱은 -;3%; 이다. 5 1 점 (0, k) 에서두직선 x+3y=1, 3x-y=4에이르는거리가같으므로 0+3k-1 = 0-k-4 "ÃÛ`+3Û` "Ã3Û`+(-)Û` 3k-1 = k+4 3k-1=Ñ(k+4) 3k-1=k+4에서 k=5 3k-1=-(k+4) 에서 5k=-3, k=-;5#; 따라서모든실수 k 의값의합은 5+{-;5#;}=:ª5ª: 다른풀이 점 (0, k) 에서두직선 x+3y=1, 3x-y=4에이르는거리가같으므로 0+3k-1 = 0-k-4 "ÃÛ`+3Û` "Ã3Û`+(-)Û` 3k-1 = k+4 양변을제곱하면 9kÛ`-6k+1=4kÛ`+16k+16 5kÛ`-k-15=0 따라서주어진이차방정식은서로다른두실근을가지고, 근과 계수의관계에서모든실수 k 의값의합은 :ª5ª: 이다. 13 3x-y+-k(x+y)=0에서 (3-k)x-(k+1)y+=0 원점과이직선사이의거리는 "Ã(k-3)Û`+4(k+1)Û` = "Ã5kÛ`+k+13 이므로이값이최대가될때분모 "Ã5kÛ`+k+13 은최소가된다. 즉, 5kÛ`+k+13=5 {k+;5!;}`+: 5 : 에서 k=-;5!; 일때분모가최소가되므로거리는최대가된다. 44 올림포스 수학 ( 상 )

45 서술형 연습장 01 (4, 5) x+y=0 또는 7x-7y-4=0 01 A(1, ), B(4, 8), C(7, 5) 에서 P(a, b) 라하면 PAÓ Û`=(a-1)Û`+(b-)Û` PBÓ Û`=(a-4)Û`+(b-8)Û` PCÓ Û`=(a-7)Û`+(b-5)Û` PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û` =3aÛ`-4a+66+3bÛ`-30b+93 본문 74 쪽 yy ➊ =3(aÛ`-8a+16)+3(bÛ`-10b+5)+36 =3(a-4)Û`+3(b-5)Û`+36 이때 a, b가실수이므로 (a-4)û`¾0, (b-5)û`¾0 즉, PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û`¾36 yy ➋ 따라서 PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û` 의값이최소일때점 P 의좌표는 (4, 5) 이다. yy ➌ 참고 삼각형 ABC 와임의의점 P 에대하여 (4, 5) PAÓ Û`+PBÓ Û`+PCÓ Û` 의값이최소가되는점 P 는삼각형 ABC 의무게중심이다. 단계채점기준비율 ➊ PÕAÓÛ`, PBÓ Û`, PCÓ Û` 을각각구한경우 30`% ➋ 거리의제곱의합을정리하여식으로나타낸경우 40`% ➌ 최솟값을갖는점 P 의좌표를구한경우 30`% 03 구하는각의이등분선위 의임의의점 P(X, Y) 에대 하여점 P 에서두직선 Q P 3x-4y-=0 3x-4y-=0, R 4x-3y-=0 4x-3y-=0에내린수선의발을각각 Q, R라하면 PQÓ=PRÓ 이므로 3X-4Y- = 4X-3Y- 'Ä9+16 'Ä16+9 3X-4Y-=Ñ(4X-3Y-) 즉, 3X-4Y-=4X-3Y- 또는 3X-4Y-=-(4X-3Y-) 이므로 X+Y=0 또는 7X-7Y-4=0 따라서구하는직선의방정식은 x+y=0 또는 7x-7y-4=0 yy ➊ yy ➋ yy ➌ x+y=0 또는 7x-7y-4=0 단계채점기준비율 ➊ 각의이등분선의성질을안경우 30`% ➋ 점과직선사이의거리공식을이용하여식을나타낸경우 30`% ➌ 각을이등분하는직선의방정식을구한경우 40`% 0 평행하므로 두직선 ax+3y+3=0, (b-)x-3y+5=0 이서로 a b- = 3 +;5#; 에서 a=-b+, a+b= yy ➊ -3 두직선 ax+3y+3=0, bx+y+1=0 이서로수직이므로 ab+6=0 에서 ab=-6 따라서 aǜ +bǜ =(a+b)ǜ -3ab(a+b) yy ➋ =Ǜ -3_(-6)_=44 yy ➌ 44 단계채점기준비율 ➊ 두직선이서로평행할조건을구한경우 40`% ➋ 두직선이서로수직일조건을구한경우 40`% ➌ 식의값을구한경우 0`% 01 + 내신수능고난도문항본문 75쪽 01 0 (0, -1) 03 3 삼각형 OAP 의넓이가삼각형 OBP 의넓이의 4 배가되 도록하는점 P 는선분 AB 를 4 : 1 로내분하는점과 4 : 1 로 외분하는점이다. y y Pª B PÁ B A O x A O x 정답과풀이 45

46 정답과풀이 두점 A(-, -1), B(3, 4) 에서선분 AB 를 4 : 1 로내분하 는점을 PÁ(xÁ, yá) 이라하면 xá= 4_3+1_(-) =:Á5¼:=, 4+1 yá= 4_4+1_(-1) =:Á5 :=3 4+1 이므로 PÁ(, 3) 선분 AB 를 4 : 1 로외분하는점을 Pª(xª, yª) 라하면 xª= 4_3-1_(-) =:Á3 :, 4-1 yª= 4_4-1_(-1) =:Á3 : 4-1 이므로 Pª {:Á3 :, :Á3 :} 따라서 PÁPªÓ=¾ {:Á3 :-}`+{:Á3 :-3}`= y 축위를움직이는점 P 에대하여 세점 A, B, P 가삼각형을이룰때, APÓ<ABÓ+BPÓ 이므로 APÓ-BPÓ<ABÓ 한편 APÓ+ABÓ>BPÓ 이므로 APÓ-BPÓ>-ABÓ 즉, -ABÓ<APÓ-BPÓ<ABÓ 에서 APÓ-BPÓ <ABÓ y P O A B x 직선 AB 가 y 축과만나는점을 P' 이라하면점 P 가점 P' 과일 치할때 APÓ-BPÓ = AP'Ó-BP'Ó =ABÓ yy ᄂ ᄀ, ᄂ에서 APÓ-BPÓ ÉABÓ 이므로 APÓ-BPÓ 의최댓값은 ABÓ 이다. 두점 A(, 3), B(4, 7) 을지나는직선의방정식은 y-3= (x-) 따라서 y=x-1 이므로 P(0, -1) 이다. (0, -1) y O D P A C B x 즉, PAÓ+PBÓ+PCÓ+PDÓ 가최소가되려면점 P는두직선 AC와 BD의교점에위치해야한다. 네점 A(, 4), B(3, 3), C(, -1), D(1, ) 에대하여직선 AC의방정식은두점의 x좌표가 로같으므로 x= 직선 BD의방정식은 y-= 3- (x-1) 에서 3-1 y=;!;x+;#; ᄀ, ᄂ을연립하여풀면점 P 의좌표는 P {, ;%;} 따라서선분 AP 의길이는 APÓ= 4-;%; =;#; y O D A P C B x yy ᄂ 3 03 PAÓ+PCÓ 가최소가되려면점 P 는선분 AC 위에있어 야하고 PBÓ+PDÓ 가최소가되려면점 P 는선분 BD 위에있 어야한다. 46 올림포스 수학 ( 상 )

47 1. 08 원의방정식 기본유형익히기 유제 Ⅲ. 도형의방정식 1. (x-)û`+(y-3)û`=9 또는 (x+4)û`+(y+3)û`= : 4»: 본문 78~79 쪽 x 축에접하는원의중심의좌표를 (a, b) 라하면반지름 의길이는 b 이므로원의방정식은 (x-a)û`+(y-b)û`=bû` 이다. 중심 (a, b) 는직선 y=x+1 위에있으므로 b=a+1 반지름의길이가 3이므로 b =3, 즉 b=ñ3 yy ᄂᄀ, ᄂ에서 a=, b=3 또는 a=-4, b=-3 따라서구하는원의방정식은 (x-)û`+(y-3)û`=9 또는 (x+4)û`+(y+3)û`=9 (x-)û`+(y-3)û`=9 또는 (x+4)û`+(y+3)û`=9. xû`+yû`+ax+4y=0에서 {x+;a;}`+(y+)û`= aû` 4 +4 따라서 k>0 이므로 k=3 이다. 다른풀이 3 원 (x-1)û`+yû`=5의중심의좌표를 C(1, 0) 이라하고점 C 와직선 y=x+k, 즉 x-y+k=0 사이의거리를 d라하면 d= _1-0+k "ÃÛ`+(-1)Û` = k+ '5 이때 k는양수이므로 d= k+ '5 원의반지름의길이는 '5 이므로원과직선이접하려면 d='5, 즉 k+ ='5 이어야한다. '5 따라서 k=5-=3 4. 원 (x-)û`+yû`=5의중심의좌표를 C(, 0) 이라하자. 직선 PC의기울기는 -0 =이고접선과직선 PC는서로 3- 수직이므로접선의기울기는 -;!; 이다. 따라서구하는접선은점 P(3, ) 를 지나고기울기가 -;!; 인직선이므로 이직선의방정식은 y-=-;!;(x-3) y 7 O 1 7` y=--x+- ` P C 7 (x-)û`+yû`=5 x 즉, 중심의좌표는 {-;A;, -} 이고반지름의길이는 aû` ¾ +4이므로 4 aû` -;A;=3, b=-, r=¾ 4 +4 따라서 a=-6, b=-, r='13 이므로 aû`+bû`+rû`= =53 y=-;!;x+;&; 이때직선 y=-;!;x+;&; 이 x축, y축과만나는점의좌표는각각 (7, 0), {0, ;&;} 이므로구하는도형의넓이는 ;!;_7_;&;=: 4»: : 4»: 3. (x-1)û`+yû`=5 에 y=x+k 를대입하면 (x-1)û`+(x+k)û`=5 5xÛ`+(k-1)x+kÛ`-4=0 이차방정식ᄀ의판별식을 D라할때, D =(k-1)û`-5(kû`-4)=0, -kû`-4k+1=0 4 kû`+4k-1=0, (k+7)(k-3)=0 유형확인 본문 80~81 쪽 01 5p 정답과풀이 47

48 정답과풀이 01 원의중심의좌표를 (0, b), 반지름의길이를 r 라하면원 의방정식은 xû`+(y-b)û`=rû` 이원이두점 (-3, 0), (4, -1) 을지나므로 9+bÛ`=rÛ` 16+(-1-b)Û`=rÛ` yy ᄂᄀ, ᄂ에서 9+bÛ`=16+(b+1)Û`, 9+bÛ`=16+bÛ`+b+1 9=b+17, b=-4 따라서 rû`=5이므로구하는원의넓이는 prû`=5p 5p 다른풀이 구하는원의중심의좌표를 A(0, b) 라하고 B(-3, 0), C(4, -1) 이라하면 ABÓ=ACÓ 이어야하므로 "Ã(-3)Û`+(-b)Û`="Ã4Û`+(-1-b)Û` 양변을제곱하면 9+bÛ`=16+bÛ`+b+1 b=-4 따라서원의반지름의길이는 ABÓ="Ã(-3)Û`+4Û`=5이므로원의넓이는 5p이다. 0 중심이직선 y=-x+ 위에있으므로중심의 y 좌표를 a 라하면 x 좌표는 -a 이다. 이때이원이직선 y=-1에접하고점 (, 7) 을지나므로 a>-1이고반지름의길이는 a-(-1)=a+1이어야한다. 따라서원의방정식은 (x-+a)û`+(y-a)û`=(a+1)û` 이원이점 (, 7) 을지나므로 (-+a)û`+(7-a)û`=(a+1)û` aû`+49-14a+aû`=aû`+a+1, aû`-16a+48=0 (a-4)(a-1)=0 따라서 a=4 또는 a=1이므로 p+q=4+1= 주어진원의중심이제 1 사분면위에있어야하므로반지 름의길이를 r 라하면원의방정식은 (x-r)û`+(y-r)û`=rû` ( 단, r>0) 이원이점 (1, ) 를지나므로 (1-r)Û`+(-r)Û`=rÛ` rû`-6r+5=0, (r-1)(r-5)=0 따라서 r=1 또는 r=5이므로구하는두원의둘레의길이의합은 p+10p=1p 04 xû`+yû`+8x-ay+4a-1=0에서 (x+4)û`+(y-a)û`=aû`-4a+17 따라서주어진도형은중심이 (-4, a) 이고반지름의길이가 "ÃaÛ`-4a+17인원이다. 이때 aû`-4a+17=(a-)û`+13은 a=일때최솟값 13을갖는다. 따라서이원의넓이의최솟값은 13p이다 xû`+yû`+8x-6y-k+15=0에서 (x+4)û`+(y-3)û`=k+10 y xû`+yû`+8x-6y-k+15=0 이방정식이원을나타내려면 k+10>0, 즉 k>-5 3 이어야한다. 이원의중심이 (-4, 3) 이고반지름의 -4 O x 길이가 'Äk+10이므로이원위의모든점이제사분면위에 있으려면 'Äk+10<3 yy ᄂ 이어야한다. ᄂ의양변을제곱하면 k+10<9, k<-;!; ᄀ, ᄃ을동시에만족시켜야하므로 -5<k<-;!; 따라서정수 k 는 -4, -3, -, -1 의 4 개이다. 06 yy ᄃ 4 직선 x+ay+3=0이두원 xû`+yû`+bx=0, xû`+yû`+4x-6y+1=0의넓이를모두이등분하려면직선 x+ay+3=0이두원의중심을모두지나야한다. 원 xû`+yû`+bx=0, 즉 (x+b)û`+yû`=bû`의중심의좌표는 (-b, 0) 이고, 원 xû`+yû`+4x-6y+1=0, 즉 48 올림포스 수학 ( 상 )

49 (x+)û`+(y-3)û`=1 의중심의좌표는 (-, 3) 이다. 따라서직선 x+ay+3=0 이점 (-b, 0) 을지나야하므로 -b+3=0, b=;#; 또, 직선 x+ay+3=0 이점 (-, 3) 을지나야하므로 -4+3a+3=0, a=;3!; 따라서 ab=;3!;_;#;=;!; 07 y=x+k 를 (x-3)û`+(y-)û`=8 에대입하면 (x-3)û`+(x+k-)û`=8 xû`-6x+9+xû`+kû`+4+kx-4k-4x=8 xû`+(k-5)x+kû`-4k+5=0 이차방정식ᄀ의판별식을 D라할때, D =(k-5)û`-(kû`-4k+5)¾0, -kû`-k+15¾0 4 kû`+k-15é0, (k+5)(k-3)é0-5éké3 따라서정수 k의개수는 3-(-5)+1=9 9 다른풀이 원 (x-3)û`+(y-)û`=8의중심을 C, 반지름의길이를 r라하면 C(3, ), r='8=' 이때이원이직선 y=x+k와만나려면점 C와직선 x-y+k=0 사이의거리 d는 r 이하이어야한다. d= 3-+k "Ã1Û`+(-1)Û` = k+1 ' 이므로 k+1 É'에서 ' k+1 É4, -4Ék+1É4 따라서 -5ÉkÉ3이므로정수 k의개수는 3-(-5)+1=9 08 오른쪽그림과같이주어진원과직선의두교점을 A, B라하고원의중심 O에서직선 x-y+5=0에내린수선의발을 H라하자. H A -3 x-y+5=0 y 3 B O -3 3 x xû`+yû`=9 선분 OH의길이는원의중심 O(0, 0) 과직선 x-y+5=0 사이의거리와같으므로 5 OHÓ= "Ã1Û`+(-)Û` ='5 선분 OA의길이는원의반지름의길이인 3과같으므로직각삼각형 OAH에서 AHÓ=AE\OAÓ Û`-OHÓ Û`= ¹3Û`-('5)Û`= 따라서 ABÓ=AÕHÓ=_=4 3 다른풀이 x=y-5를 xû`+yû`=9에대입하면 (y-5)û`+yû`=9, 5yÛ`-0y+16=0 y= 10Ñ"Ã10Û`-5_16 =Ñ '5 5 5 y=+ '5 4'5 일때, x= y=- '5 4'5 일때, x= 따라서원과직선이만나는두점의좌표는 {-1+ 4'5 '5 4'5 '5, + }, {-1-, } 이므로이두교점사이의거리는 7{9 09 8'5 4'5 }`+{ 5 5 }`= 79 64_5+16_5 5 = Â: ¼5¼: ='16=4 0 개의원 xû`+yû`=r(r=1,, 3, y, 0) 는중심의 좌표가모두 (0, 0) 이고반지름의길이가 'R 이다. 원의중심 (0, 0) 과직선 3x+4y-15=0 사이의거리는 -15 "Ã3Û`+4Û` = 15 5 =3 이므로직선 3x+4y-15=0 은원 xû`+yû`=3û`, 즉 xû`+yû`=9 와접한다. 즉, 직선 3x+4y-15=0은 11개의원 xû`+yû`=r(r=10, 11, y, 0) 과서로다른두점에서만나고, 원 xû`+yû=9와한점에서만나며나머지 8개의원 xû`+yû`=r(r=1,, y, 8) 과는만나지않는다. 따라서구하는교점의개수는 1_1+11_=3 3 정답과풀이 49

50 정답과풀이 10 원 xû`+yû`=40 위의점 (a, b) 에서의접선의방정식은 ax+by=40 b=0일때의접선은 y축에평행하므로 b+0이다. 즉, y=-;ba;x+: b¼: 직선 x+y=1 과평행한직선의기울기는 -;!; 이므로 -;ba;=-;!; b=a 한편점 (a, b) 는원 xû`+yû`=40 위에있으므로 aû`+bû`=40 yy ᄂᄀ을ᄂ에대입하면 aû`+4aû`=40, aû`=8 따라서 a=', b=4' 또는 a=-', b=-4' 이므로 ab= 원 (x-)û`+(y+1)û`=1의중 y xû`+yû`=4 심의좌표가 (, -1) 이므로구하는직선은점 (, -1) 에서원 xû`+yû`=4에그은접선이다. 접점 P의좌표를 (xá, yá) 이라하면접선의방정식은 xáx+yáy=4 직선ᄀ은점 (, -1) 을지나므로 xá-yá=4 점 P(xÁ, yá) 은원 xû`+yû`=4 위의점이므로 xáû`+yáû`=4 ᄂ에서 yá=xá-4를ᄃ에대입하면 xáû`+(xá-4)û`=4, 5xÁÛ`-16xÁ+1=0 (xá-)(5xá-6)=0 xá= 또는 xá=;5^; ᄅ을ᄂ에대입하면 xá= 일때 yá=0 이고 xá=;5^; 일때 yá=-;5*; O -1 x P(xÁ, yá) yy ᄂ yy ᄃ yy ᄅ 따라서 xá, yá의값을ᄀ에대입하여정리하면접선의방정식은 x= 또는 3x-4y=10 이때직선 x=는 y축에평행하므로구하는직선의방정식은 3x-4y=10 이고이직선의 y 절편은 -;%; 이다. 1 점 P에서직선 AB에내린수선의발을 H라하면삼각형 APB의넓이는 ;!;_ABÓ_PHÓ ABÓ="Ã4Û`+4Û`=4'이므로 PHÓ의값이최대일때삼각형 PAB의넓이가최대이다. 한편 PHÓ 가최대일때는오른쪽그 y B 림과같이직선 AB와평행한직선이원 xû`+yû`=와접하는점이 P H xû`+yû`= 일때이다. 직선 AB의기울기는 A O x P 4-0 y=x- =1이고, 0-(-4) 원 xû`+yû`=에접하고기울기가 1인직선의방정식은 y=xñ'"ã1û`+1, 즉 y=xñ PHÓ 의값이최대일때의접선의방정식은 y=x-이고, PHÓ 의최댓값은점 A(-4, 0) 과직선 y=x- 사이의거리인 "Ã1Û`+(-1)Û` = 6 =3'이다. ' 따라서삼각형 APB의넓이의최댓값은 ;!;_4'_3'=1 다른풀이 점 P에서직선 AB에내린수선의발을 H라하자. 삼각형 PAB의넓이가최대일때는선분 PH의길이가최대일때이다. 선분 PH의길이가최대일때는위의그림과같이선분 PH가원의중심 O(0, 0) 을지날때이다. 직선 AB의기울기는 1이므로직선 AB의방정식은 y=x+4 따라서점 O(0, 0) 과직선 AB 사이의거리는 4 "Ã1Û`+(-1)Û` =' 또, OPÓ='이므로선분 PH의길이의최댓값은 '+'=3' 이다. ABÓ="Ã4Û`+4Û`=4'이므로삼각형 APB의넓이의최댓값은 ;!;_4'_3'= 올림포스 수학 ( 상 )

51 01 서술형연습장 01 최댓값 : 8, 최솟값 : 0 :ª : 03 7 본문 8 쪽 xû`+yû`-8x-6y+16=0 에서 (x-4)û`+(y-3)û`=9 이므로주어진원의중심을 C 라하면점 C 의좌표는 (4, 3) 이고, 원의반지름의길이는 3이다. yy ➊ OPÓ의최댓값은 OCÓ+( 반지름의길이 )="Ã4Û`+3Û`+3=8 yy ➋ OPÓ의최솟값은 OCÓ-( 반지름의길이 )="Ã4Û`+3Û`-3= yy ➌ 최댓값 : 8, 최솟값 : 단계 채점기준 비율 ➊ 원의중심의좌표와반지름의길이를구한경우 40`% ➋ OPÓ의최댓값을구한경우 30`% ➌ OPÓ의최솟값을구한경우 30`% 03 원의중심을 C라하면 y C(1, ) 이므로 7 P CÕPÕ ="Ã(3-1)Û`+(a-)Û` Q ="ÃaÛ`-4a+8 yy ➊ C 원의반지름의길이는 4이므로 O 1 3 x (x-1)û`+(y-)û`=16 CQÓ=4 따라서직각삼각형 CQP 에서 PQÓ =A ECPÓ Û`-CQÓ Û` ="ÃaÛ`-4a+8-16="ÃaÛ`-4a-8 PQÓ='13 이므로 "ÃaÛ`-4a-8='13 위등식의양변을제곱하면 aû`-4a-8=13, aû`-4a-1=0 (a-7)(a+3)=0 이때 a>0 이므로 yy ➋ a=7 yy ➌ 7 단계 채점기준 비율 ➊ CPÓ의값을구한경우 30`% ➋ PQÓ 의값을구한경우 30`% ➌ a의값을구한경우 40`% 0 원 xû`+yû`=5 위의두점 x+y=5 y (, 1), (-, 1) 에서의접선의방정식은각각 x+y=5, -x+y=5 yy ➊ 이때두직선이 x축과만나는점의좌 5 -x+y=5 (-, 1) (, 1) 5 - O 5 x 내신 + 수능 고난도문항 본문 83 쪽 표는각각 {;%;, 0}, {-;%;, 0} 이고, 두직선이 y축과만나는점의좌표는 (0, 5) 이다. 따라서구하는삼각형의넓이는 ;!;_5_5=:ª : yy ➋ yy ➌ :ª : 단계 채점기준 비율 ➊ 접선의방정식을구한경우 30`% ➋ 두접선이좌표축과만나는점의좌표를구한경우 40`% ➌ 삼각형의넓이를구한경우 30`% x 축과 y 축에동시에접하는원의중심은직선 y=x 또는 y=-x 위에있다. 따라서구하는모든원의중심은두직선 y=x, y=-x와원 (x-)û`+(y-)û`=3가만나는점이다. Ú 중심이직선 y=x 위에있고 x축과 y축에동시에접하는원 y=x를 (x-)û`+(y-)û`=3에대입하여정리하면 (x-)û`+(x-)û`=3, (x-)û`=16 x-=ñ4이므로 x=6 또는 x=- 따라서이경우의원은중심이 (6, 6) 이고반지름의길이가 정답과풀이 51

52 정답과풀이 6인원과중심이 (-, -) 이고반지름의길이가 인원이있으므로이두원의넓이의합은 p_6û`+p_û`=40p Û 중심이직선 y=-x 위에있고 x축과 y축에동시에접하는원 y=-x를 (x-)û`+(y-)û`=3에대입하여정리하면 (x-)û`+(-x-)û`=3 xû`-4x+4+xû`+4x+4=3 xû`=1 x='3 또는 x=-'3 따라서이경우의원은중심이 ('3, -'3) 이고반지름의길이가 '3인원과중심이 (-'3, '3) 이고반지름의길이가 '3인원이있으므로이두원의넓이의합은 p_('3)û`+p_('3)û`=4p Ú, Û 에서구하는모든원의넓이의합은 40p+4p=64p 3 0 y=-x+k를 xû`+yû`=16에대입하면 xû`+(-x+k)û`=16 xû`-kx+kû`-16=0 이차방정식ᄀ의판별식을 DÁ이라할때, 조건 ( 가 ) 에서 DÁ>0 이어야하므로 DÁ =(-k)û`-(kû`-16)>0, -kû`+3>0 4 kû`-3<0, -4'<k<4' yy ᄂ y=-x+k를 (x-4)û`+yû`=kû`에대입하면 (x-4)û`+(-x+k)û`=kû` xû`-(k+4)x+8=0 y ᄃ이차방정식ᄃ의판별식을 Dª 라할때, 조건 ( 나 ) 에서 Dª<0이어야하므로 Dª={-(k+4)}Û`-4_8<0, kû`+8k-16<0-4-4'<k<-4+4' y ᄅ이때 5<4'='3<6이므로ᄂ, ᄅ에서 -4-4'<-4'<-4+4'<4' ᄂ, ᄅ을동시에만족시키는 k 의값의범위는 -4'<k<-4+4' 따라서정수 k 의값의범위는 -5ÉkÉ1 이다. 그런데 k+0 이므로정수 k 의개수는 -5, -4, -3, -, -1, 1 의 6 이다. 3 다른풀이 원 xû`+yû`=16 의중심을 O, 반지름의길이를 rá 이라하면 O(0, 0), rá=4 점 O 와직선 y=-x+k 사이의거리를 dá 이라하면 dá= k ' 조건 ( 가 ) 에서 dá<rá 이어야하므로 k ' <4, k <4' -4' <k<4' 원 (x-4)û`+yû`=kû` 의중심을 C, 반지름의길이를 rª 라하면 C(4, 0), rª= k 점 C 와직선 y=-x+k 사이의거리를 dª 라하면 dª= 4+0-k = k-4 ' ' 조건 ( 나 ) 에서 dª>rª 이어야하므로 k-4 > k ' k-4 >' k 의양변을제곱하면 kû`-8k+16>kû` kû`+8k-16<0-4-4'<k<-4+4' yy ᄂᄀ, ᄂ을동시에만족시키는 k의값의범위는 -4' <k<-4+4' 이므로정수 k의값의범위는 -5ÉkÉ1이다. 그런데 k+0이므로정수 k의개수는 -5, -4, -3, -, -1, 1의 6이다. 03 원 xû`+yû`=36에접하고 y 기울기가 m인직선 l의방정식 B xû`+(y-6)û`=16 C M 은 A y=mxñ6"ãmû`+1 P 그런데접선 l의 y절편은양수 O x 이므로직선 l의방정식은 y=mx+6"ãmû`+1 (m<0) xû`+yû`=36 l 원 xû`+(y-6)û`=16의중심을 C(0, 6) 이라하고선분 AB의 중점을 M 이라하면 AÕMÓ=;!; ABÓ='3 이므로 CÕMÓ=A ECÕAÓ Û`-AÕMÓ Û`= ¹4Û`-('3)Û`= 따라서점 C(0, 6) 과직선 l : mx-y+6"ãmû`+1=0 사이의 5 올림포스 수학 ( 상 )

53 거리가 이어야하므로 -6+6"ÃmÛ`+1 =, -3+3"ÃmÛ`+1 ="ÃmÛ`+1 "ÃmÛ`+1 이때 -3+3"ÃmÛ`+1¾0 이므로 -3+3"ÃmÛ`+1="ÃmÛ`+1 "ÃmÛ`+1=3 위등식의양변을제곱하여정리하면 mû`+1=;4(;, mû`=;4%; 이때 m<0 이므로 m=- ' 도형의이동 기본유형익히기 유제 Ⅲ. 도형의방정식 1. (6, 5) ;3*; { 삼각형 ABC 의무게중심 G 의좌표는, }, 즉 (3, 4) 이다. 3 본문 86~87 쪽 점 A(0, 3) 을점 G(3, 4) 로이동시키는평행이동은 x 축의방 향으로 3 만큼, y 축의방향으로 1 만큼이동시키는평행이동이다. 따라서이평행이동에의하여점 G(3, 4) 가옮겨지는점을 (x ', y ') 이라하면 x '=3+3, y '=4+1, 즉 x '=6, y '=5 따라서점 G(3, 4) 가옮겨지는점의좌표는 (6, 5) 이다. (6, 5). 원 xû`+yû`-8x+ay-6=0 은 (x-4)û`+{y+;a;}`=+ aû` 이고이를 x축의방향으로 b만 4 큼, y 축의방향으로 - 만큼평행이동시킨원의방정식은 (x-b-4)û`+{y++;a;}`=+ aû` 4 이원의중심은 {b+4, --;A;} 이고이점이원점과일치하 므로 b+4=0, --;A;=0 따라서 a=-4, b=-4 이므로 a+b=-4-4= 점 (-1, ) 를 x 축에대하여대칭이동시킨점은 (-1, -) 이고, 다시직선 y=x 에대하여대칭이동시킨점은 P(-, -1) 이다. 점 P(-, -1) 이원 (x-1)û`+(y-1)û`=r 위에있으려면 (--1)Û`+(-1-1)Û`=R가성립해야하므로 R=9+4=13 5 정답과풀이 53

54 정답과풀이 4. 방정식은 직선 x-y+3=0 을 y 축에대하여대칭이동시킨도형의 -x-y+3=0 이직선을다시원점에대하여대칭이동시킨도형의방정식은 x+y+3=0 이때직선ᄀ이두원 (x-a)û`+(y-b)û`=4, (x+a+4)û`+(y-b)û`=9 의넓이를동시에이등분하려면직 선ᄀ이두원의중심 (a, b), (-a-4, b) 를모두지나야하 므로 a+b+3=0 에서 a+b=-3 -a-4+4b+3=0 에서 -a+4b=1 위의두등식을연립하여풀면 a=-;3&;, b=-;3!; 이므로 a+b=-;3*; (1, -) ' 유형확인 -;3*; 본문 88~89 쪽 점 (, 3) 을 x축의방향으로 m만큼, y축의방향으로 -m만큼평행이동시킨점의좌표는 (+m, 3-m) 이고, 이점이직선 y=x+10 위의점이므로 3-m=+m+10 따라서 m= 주어진평행이동을 x축의방향으로 m만큼, y축의방향으로 n만큼이동시키는평행이동이라하면 1+m=4, a+n=3, +m=b, -4+n=1이므로 m=3, n=5, a=-, b=5 이평행이동에의하여점 (a, b), 즉 (-, 5) 로옮겨지는점의좌표를 (c, d) 라하면 c+3=-, d+5=5 이어야한다. 따라서 c=-5, d=0 이므로구하는점의좌표는 (-5, 0) 이 다. 03 직선 y=-x+ 를 x 축의방향으로 만큼, y 축의방향 으로 -3 만큼평행이동시킨직선의방정식은 y+3=-(x-)+ y=-x+3 직선 y=mx-4를 y축의방향으로 k만큼평행이동시킨직선의방정식은 y=mx-4+k yy ᄂ두직선ᄀ, ᄂ이서로일치하므로 m=-, -4+k=3 따라서 m=-, k=7이므로 m+k= 직선 y=ax+b를 x축의방향으로 만큼, y축의방향으로 -3만큼평행이동시킨직선의방정식은 y+3=a(x-)+b y=ax-a+b-3 직선ᄀ과직선 y=-x+6이서로수직이므로 a_(-1)=-1, 즉 a=1 이때직선ᄀ은 y=x+b-5이고, 이직선과 y=-x+6이 y 축위의한점에서만나므로직선 y=x+b-5는점 (0, 6) 을지난다. 따라서 6=b-5, 즉 b=11이므로 a+b=1+11=1 05 원 xû`+yû`=4를 x축의방향으로 만큼, y축의방향으로 1만큼평행이동시킨원의방정식은 (x-)û`+(y-1)û`=4 원ᄀ의중심은 (, 1) 이고반지름의길이는 이다. 원ᄀ이직선 ax+y+5=0에접하므로원의중심 (, 1) 과직선 ax+y+5=0 사이의거리가반지름의길이 와같다. a+1+5 =, a+6 "ÃaÛ`+1Û` "ÃaÛ`+1 = a+3 ="ÃaÛ`+1 위등식의양변을제곱하면 aû`+6a+9=aû`+1 54 올림포스 수학 ( 상 )

55 따라서 a=-;3$; 4 06 xû`+yû`-x+ay+1=0 에서 (x-1)û`+(y+a)û`=aû` 이므로이원의중심은 (1, -a) 이고반지름의길이는 a 이다. 이원을 x축의방향으로 b만큼, y축의방향으로 b만큼평행이동시킨원 C의중심은 (1+b, -a+b) 이다. 그런데원 C의중심은 (3, 8) 이므로 1+b=3, -a+b=8 에서 b=, a=-4이다. 원 C는중심이 (3, 8) 이고반지름의길이가 -4 =4이므로원의중심 (3, 8) 과직선 x=c 사이의거리는 c-3 이고, 원 C와직선 x=c가접하려면 c-3 =4, c-3=ñ4 따라서 c=7 또는 c=-1이므로양수 c의값은 7이다 점 P(a, b) 를 y 축에대하여대칭이동시킨점은 Q(-a, b) 이고, 점 P 를원점에대하여대칭이동시킨점은 R(-a, -b) 이다. 점 R를 x축의방향으로 -만큼, y축의방향으로 6만큼평행이동시킨점은 (-a-, -b+6) 이고이점을직선 y=x에대하여대칭이동시킨점은 (-b+6, -a-) 이다. 이때점 (-b+6, -a-) 와점 Q(-a, b) 가일치하므로 -b+6=-a, -a-=b 위두식을연립하여풀면 a=-4, b=이므로 a_b=-8 08 같다. n=1,, 3, y 일때, 점 AÇ 과점 BÇ 의좌표는다음과 AÁ(, -1), BÁ(-1, ) Aª(1, -), Bª(-, 1) A (, -1), B (-1, ) A (1, -), B (-, 1) y 즉, 점 Aª, A, A, y, A ¼의좌표는모두같으므로점 A ¼ 은점 Aª(1, -) 와일치한다. 따라서점 A ¼의좌표는 (1, -) 이다. (1, -) 09 점 P 의좌표를 (a, b) 라하면두점 P, Q 는원점에대하 여대칭이므로점 Q 의좌표는 (-a, -b) 이다. 점 P(a, b) 는원 (x-1)û`+(y-3)û`=rû` 위의점이므로 (a-1)û`+(b-3)û`=rû` aû`+bû`-a-6b+10-rû`=0 또, 점 Q(-a, -b) 도원 (x-1)û`+(y-3)û`=rû` 위의점이므로 (-a-1)û`+(-b-3)û`=rû` aû`+bû`+a+6b+10-rû`=0 yy ᄂᄀ에서ᄂ을변끼리빼면 -4a-1b=0, a+3b=0 이때 a=0이면 b=0이므로두점 P, Q가일치하게되어조건에모순이다. 따라서 a+0이므로직선 PQ의기울기는 b-(-b) a-(-a) = b a = b -3b =-;3!; 3 10 직선 ax-y+=0을 x축의방향으로 만큼, y축의방향으로 -1만큼평행이동시킨직선의방정식은 a(x-)-(y+1)+=0 ax-y-a+1=0 또, 직선 ax-y-a+1=0을직선 y=x에대하여대칭이동시킨직선의방정식은 ay-x-a+1=0 x-ay+a-1=0 두직선 x-ay+a-1=0과 x+by+8=0이서로일치하므로 ;!;= -a b = a-1 이성립한다. 8 따라서 ;!;= a-1 에서 a=;%; 이고, 이때 ;!;=-;ba;에서 8 b=-a=-5이므로 a+b=;%;-5=-;%; 11 직선 y=ax+6은점 (0, 6) 을지나고제 4사분면을지나므로기울기 a는음수이다. 직선 y=ax+6을 y축에대하여대칭이동시킨직선 l의방정식 은 y=-ax+6 이므로 A {;a^;, 0} 이다. 정답과풀이 55

56 정답과풀이 이때직선 l 에수직인직선의기울기는 ;a!; 이므로점 A 를지나 고직선 l 에수직인직선의방정식은 y-0=;a!; {x-;a^;}, y=;a!;x- 6 aû` 이직선의 y 절편이 -;!; 이므로 - 6 =-;!;, aû`=1 aû` 그런데 a<0 이므로 a=-'1=-'3 1 -'3 y=xû`-6x+5의그래프를원점에대하여대칭이동시키면 -y=(-x)û`-6(-x)+5, y=-xû`-6x-5이다. 이곡선을다시 y축의방향으로 m만큼평행이동시키면 y-m=-xû`-6x-5 y=-xû`-6x-5+m 이때 y=-xû`-6x-5+m=-(x+3)û`+m+4이므로 f(x)=-(x+3)û`+m+4 함수 f(x) 의최댓값은 m+4이므로 m+4=10 따라서 m=6 6 단계 채점기준 비율 ➊ 점 B의좌표를구한경우 30`% ➋ 점 C의좌표를구한경우 30`% ➌ a, b의값을구한경우 40`% 0 점 (3, 4) 를지나는직선의기울기를 m이라하면이직선의방정식은 y-4=m(x-3), 즉 y=mx-3m+4 yy ➊ 이직선을 x축의방향으로 만큼평행이동시킨직선의방정식은 y=m(x-)-3m+4, 즉 y=mx-5m+4 yy ➋ 다시이직선을 y축에대하여대칭이동시킨직선의방정식은 y=-mx-5m+4 yy ➌ 이직선이점 (0, -) 를지나므로 -=-5m+4에서 m=;5^; 따라서처음직선의기울기는 ;5^; 이다. yy ➍ ;5^; 단계 채점기준 비율 ➊ 직선의방정식을세운경우 0 % ➋ x축의방향으로평행이동시킨직선의방정식을구한경우 30 % ➌ y축에대하여대칭이동시킨직선의방정식을구한경우 30 % ➍ 처음직선의기울기를구한경우 0 % 서술형연습장 01 a=3, b=3 0 ;5^; 03 1'5 01 본문 90 쪽 점 A(1, -) 를 x 축의방향으로 a 만큼, y 축의방향으로 1 만큼평행이동시킨점은 B(1+a, -+1), 즉 B(1+a, -1) yy ➊ 점 B(1+a, -1) 을 x축의방향으로 -3만큼, y축의방향으로 b만큼평행이동시킨점은 C(1+a-3, -1+b), 즉 C(a-, b-1) yy ➋ 두점 A, C가 x축에대하여대칭이므로 1=a-, -=-(b-1) 따라서 a=3, b=3이다. yy ➌ a=3, b=3 03 라하면 점 A(-8, 4) 를 x 축에대하여대칭이동시킨점을 A' 이 A'(-8, -4) yy ➊ 점 P가 x축위의점이므로 A y B APÓ=AÕ'PÓ 에서 P APÓ+BPÓ=AÕ'PÓ+BPÓ O x A' 따라서 APÓ+BPÓ 의최솟값은 AÕ'PÓ+BPÓ 의최솟값과같다. yy ➋ 그런데 APÓ+BPÓ=AÕ'PÓ+BPÓ¾AÕ'BÓ이므로 APÓ+BPÓ 의최 솟값은 A'BÓ의값과같다. ( 단, 등호는선분 A'B와 x축의교점 이 P일때성립한다.) 즉, APÓ+BPÓ 의최솟값은 AÕ'BÓ="Ã(16+8)Û`+(8+4)Û`=1'5 yy ➌ '5 56 올림포스 수학 ( 상 )

57 단계 채점기준 비율 ➊ 점 A' 의좌표를구한경우 30`% ➋ APÓ+BPÓ=AÕ'PÓ+BPÓ 임을안경우 40`% ➌ APÓ+BPÓ 의최솟값을구한경우 30`% y-0= (x-15) 즉, y=-7x+15이므로이직선과 x축이만나는점 Tª 의좌 표는 0} 이다. 이상에서 SÕPÕ+PÕQÕ+QÕSÕ 의최솟값은 m=5' 이고, 이때의 점 Q 의좌표는 {;;;!7@:%;, 0} 이므로 01 + 내신수능고난도문항본문 91쪽 01 10' 주어진규칙대로점 AÇ, BÇ 을정하면다음과같다. AÁ(1, 0), BÁ(0, 1), Aª(0, ), Bª(, 0), A (3, 0), B (0, 3), A (0, 4), B (4, 0), n이홀수이면 AÇ(n, 0), BÇ(0, n) 이고, n이짝수이면 AÇ(0, n), BÇ(n, 0) 임을추론할수있다. 따라서 AÁ¼(0, 10), Bª¼(0, 0) 이므로 AÁ¼Bª¼Õ="Ã(0-0)Û`+(0-10)Û`=' 500=10'5 0'5 0 점 O 를원점으로하고직선 OH 를 x 축으로하는좌표평 면을설정하면직선 lá 은원점을지나고 x 축의양의방향과이 루는각의크기가 45ù이므로직선 lá의방정식은 y=x이고, 두점 S, H의좌표는 S(0, 15), H(0, 0) 이다. 점 S(0, 15) 를직선 y=x에대하여대칭이동시킨점을 SÁ이라하면 SÁ(15, 0) 이고, 점 S(0, 15) 를 x축에대하여대칭이동시킨점을 Sª 라하면 Sª(0, -15) 이다. 이때 SÕPÕ=SÕÁPÓ, SÕQÕ=SÕªQÓ 이므로 y SÁ(15, 0) lá TÁ SPÓ+PÕQÕ+QÕSÕ S(0, 15) =SÕÁPÓ+PÕQÕ+QÕSªÓ P 45ù ¾SÕÁSªÓ O Q Tª H x ="Ã(0-15)Û`+(-15-0)Û` =5' Sª(0, -15) 직선 SÁSª 가직선 y=x 및 x축과만나는점을각각 TÁ, Tª 라하면ᄀ에서등호는두점 P, Q가각각 TÁ, Tª 와일치할때성립한다. 직선 SÁSª 의방정식은 a=oqó=;;;!7@:%; 따라서 m a = 5' = 7' 5 4 원 (x-1)û`+(y+)û`=10을 y축에대하여대칭이동시킨도형의방정식은 (-x-1)û`+(y+)û`=10 (x+1)û`+(y+)û`=10 이므로점 P' 은원ᄀ위의점이다. 원 (x-1)û`+(y+)û`=10을직선 y=x에대하여대칭이동시킨도형의방정식은 (y-1)û`+(x+)û`=10 (x+)û`+(y-1)û`=10 yy ᄂ이므로점 Q' 은원ᄂ위의점이다. 이때두원ᄀ, ᄂ의 y Q' 중심을각각 A, B라 (x+)û`+(y-1)û`=10 하면 B O x A(-1, -), A - B(-, 1) (x+1)û`+(y+)û`=10 P' ABÓ ="Ã(-+1)Û`+(1+)Û` ='10 이고두원ᄀ, ᄂ의반지름의길이는모두 '10 이므로 PÕ'Q'ÓÉPÕ'AÓ+ABÓ+BÕQ'Ó='10+'10+'10=3'10 ( 단, 등호는두점 A, B 가선분 P'Q' 위에있을때성립한다.) 따라서선분 P'Q' 의길이의최댓값은 3'10 이다. 3 정답과풀이 57

58 정답과풀이 ;5!; x+y= 제 3 사분면 y=xû`-6x y=-x+ 5 최솟값 : 5, 최댓값 : 대단원종합문제 본문 9~95 쪽 평행사변형 ABCD 에서선분 AC 의중점과선분 BD 의 중점이일치하므로네점 A(4, 1), B(1, -), C(-, 3), D(a, b) 에대하여 4- = 1+a 1+3 = -+b 즉, a=1, b=6 이므로 D(1, 6) 이다. 이때두점 B, D 의 x 좌표가 1 로같으므로 BDÓ=6-(-)=8 5 선분 AB 의중점 { 4+ 수직이등분선의방정식은 y-0=-;3!;(x-3) y=-;3!;x+1, 3-3 }, 즉점 (3, 0) 을지나므로 이직선이점 (-1, a) 를지나므로직선의방정식에대입하면 a=;3!;+1=;3$; 04 원의중심 O(0, 0) 에서직선 y=x+ 에내린수선의발을 H 라하면 OHÓ= "Ã1Û`+(-1)Û` = ' =' 이때점 H 는선분 AB 의중점이고, 직각삼각형 OAH 에서 OAÓ=r, AHÓ=;!; ABÓ=' 이므로 OAÓ Û`=OHÓ Û`+AHÓ Û` 에서 rû`=(' )Û`+(' )Û`=4 따라서양수 r 의값은 이다. ' -r B H y r -r O 4 y=x+ A r r x 0 점 A 를지나는직선이삼각형 ABC 의넓이를이등분하 려면변 BC 의중점을지나야한다. 변 BC 의중점을 M 이라하면 B(4, 5), C(, 3) 에서 M{ 4+, 5+3 } 이므로 M(3, 4) 점 A 를지나고삼각형 ABC 의넓이를이등분하는직선의방 정식은두점 A(1, 1), M(3, 4) 를지나는직선이므로 y-1= (x-1) 3x-y-1=0 따라서이직선의 x 절편은 ;3!; 이다. 03 두점 A(4, 3), B(, -3) 에서직선 AB의기울기가 3-(-3) =3이므로수직이등분선의기울기는 -;3!; 이다 원 xû`+yû`=4 에접하고기울기가 ;!; 인직선의방정식은 y=;!;xñ¾ð{;!;}`+1 즉, y=;!;xñ'5 이때직선 l은제사분면을지나므로직선 l의방정식은 y=;!;x+'5 이때직선 y=;!;x+'5 가원 xû`+(y-a)û`=4에접하므로이원의중심 (0, a) 와직선 y=;!;x+'5, 즉 x-y+'5=0 사이의거리는원의반지름의길이인 와같아야한다. 0-a+'5 = "Ã1Û`+(-)Û` a-'5 ='5 a-'5 ='5 58 올림포스 수학 ( 상 )