다양한유형의우수한문제를통하여수학의문제해결력을높일수있는알피엠 고등수학문제기본서 RPM 개념원리수학익힘책 [ 알피엠 ] 수학 ( 상 ) 이홍섭지음 정답과풀이

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1 다양한유형의우수한문제를통하여수학의문제해결력을높일수있는알피엠 고등수학문제기본서 RPM 개념원리수학익힘책 [ 알피엠 ] 수학 ( 상 ) 이홍섭지음 정답과풀이

2 RPM 알피엠 01 다항식의연산 Ⅰ. 다항식 =(t+x)(t-x)=tû`-9xû` =(xû`+1)û`-9xû`=xý`+xû`+1-9xû` =xý`-7xû`+1 답 xý`-7xû`+1 교과서 문제정복하기 0001 ⑴ (x+y)û` =(x)û`+ x y+yû` =4xÛ`+4xy+yÛ` ⑵ (x-1)û` =(x)û`- x 1+1Û` =9xÛ`-6x+1 ⑶ (x+y)(x-y)=(x)û`-yû`=9xû`-yû` ⑷ (x+)(x+) =xû`+(+)x+ =xû`+5x+6 ⑸ (x+5)(x+4) = xû`+(8+15)x+5 4 ⑹ (x-y-z)û =6xÛ`+x+0 = (x)û`+(-y)û`+(-z)û`+ x (-y) =4xÛ`+yÛ`+9zÛ`-4xy+6yz-1zx ⑺ (x+1)ǜ =xǜ +xû` 1+x 1Û`+1Ǜ ` =xǜ +xû`+x+1 ⑻ (x-)ǜ =xǜ -xû` +x Û`-Ǜ =xǜ -6xÛ`+1x-8 ⑼ (a+)(aû`-a+4)=aǜ +Ǜ =aǜ +8 + (-y) (-z)+ (-z) x ⑽ (x-1)(4xû`+x+1)=(x)ǜ -1Ǜ =8xǛ -1 ⑾ (x+1)(x+)(x+) =xǜ +(1++)xÛ`+(+6+)x+1 =xǜ +6xÛ`+11x+6 ⑿ (a-b+1)(aû`+bû`+ab-a+b+1) =aǜ +(-b)ǜ +1Ǜ - a (-b) 1 =aǜ -bǜ +1+ab ⒀ (4xÛ`+6xy+9yÛ`)(4xÛ`-6xy+9yÛ`) =(x)ý`+(x)û`(y)û`+(y)ý` =16xÝ`+6xÛ`yÛ`+81yÝ` 답풀이참조 0004 ⑴ xû`+yû` =(x+y)û`-xy=û`- (-)=1 ⑵ xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) =Ǜ - (-) =45 답 ⑴ 1 ⑵ ⑴ xû`+yû` =(x-y)û`+xy=(-4)û`+ = ⑵ xǜ -yǜ =(x-y)ǜ +xy(x-y) =(-4)Ǜ + (-4) =-64-6= ⑴ xû`+ 1 xû` ={x+;[!;}û`-=4û`-=14 ⑵ {x-;[!;} Û`={x+;[!;} Û`-4=4Û`-4=1 x-;[!;=ñ'1=ñ' 0007 ⑴ x+y=(1+')+(1-')=, xy=(1+')(1-')=-1 이므로 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) =Ǜ - (-1) =14 ⑵ x-y=(1+')-(1-')=', xy=(1+')(1-')=-1 이므로 xǜ -yǜ =(x-y)ǜ +xy(x-y) =(')Ǜ + (-1) '=10' 0008 aû`+bû`+cû` =(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) =9Û`- 8=65 답 ⑴ ⑵ -100 답 ⑴ 14 ⑵ Ñ' 답 ⑴ 14 ⑵ 10' 답 xû`+x=t 로놓으면 (xû`+x+1)(xû`+x+) =(t+1)(t+)=tû`+4t+ 000 xû`+1=t 로놓으면 (xû`+x+1)(xû`-x+1) =(xû`+x)û`+4(xû`+x)+ =xý`+4xǜ +4xÛ`+4xÛ`+8x+ =xý`+4xǜ +8xÛ`+8x+ 답 xý`+4xǜ +8xÛ`+8x xû`-x- x+1`<ồ 4xǛ -xû`-6x+1 4xǛ +xû` -4xÛ`-6x+1-4xÛ`-x -4x+1-4x- 답몫 :xû`-x-, 나머지 : 00 정답과풀이

3 답몫 :x-1, 나머지 :4x+4 xǜ -xû`+4x+=(xû`+1)(x-1)+x xǜ -xû`+x-=(xû`-x-1)(x-1)+x-4 답풀이참조 답풀이참조 001 조립제법을이용하여 xǜ +xû`+x+ 를 x+ 로나누면 답몫 :xû`+x+1, 나머지 : 조립제법을이용하여 xü`-xû`+x+1 을 x- 으로나 누면 x-1 xû`+x-1`<ồ xǜ +xû` +5 xǜ +4xÛ`-x - xû`+x+5 - xû`-x+1 4x+4 x-1 xû`+1`<ồ xǜ -xû`+4x+ xǜ +x -xû`+ x+ -xû` -1 x+4 x-1 xû`-x-1`<ồ xǜ -xû`+ x- xǜ -xû`-x - xû`+x- - xû`+ x+1 x-4 ;#; 답몫 :xû`+x+4, 나머지 :7 k=, a=1, b=6, c=7, d=17 유형익히기 0016 BCA =B+A =(-xû`+x-)+(xû`-x+1) =-xû`+x-5 A (BCA) =(xû`-x+1) (-xû`+x-5) =(xû`-x+1)-(-xû`+x-5) =xû`-7x A-(X-B)=A에서 A-X+B=A, X=B-A X =B-A=(xÛ`+xy-yÛ`)-(xÛ`-xy+yÛ`) =xû`+4xy-yû` 답풀이참조 답 xû`+4xy-yû` 0018 `A+ B=xÛ`+x-5 ->³`A- B=8xÛ`-6x- B=-xÛ`+x-1 이것을ᄀ에대입하면 B=-6xÛ`+9x- A+(-xÛ`+x-1)=xÛ`+x-5 A=4xÛ`-4 A+B =(4xÛ`-4)+(-xÛ`+x-1) =6xÛ`+x-9=axÛ`+bx+c 따라서 a=6, b=, c=-9 이므로 a+b+c=0 단계채점요소배점 다항식 B 구하기 0 % 다항식 A 구하기 0 % a+b+c 의값구하기 40 % 답 다항식 xü`+4xû`-5x+을 x-로나누었을때의몫과나머지를 1 14 조립제법을이용하여구하면오른쪽과같으므로 (x-1)û` =(x)û`- x 1+1Û` =4xÛ`-4x+1 (x+y)ǜ =(x)ǜ + (x)û` y+ x (y)û`+(y)ǜ =8xǛ +6xÛ`y+54xyÛ`+7yǛ 01. 다항식의연산 00

4 RPM 알피엠 (x-y+z)û` =xû`+(-y)û`+zû`+ x (-y)+ (-y) z+ z x =xû`+yû`+zû`-xy-yz+zx 4 (x+y+z)(xû`+yû`+4zû`-xy-yz-zx) =xǜ +yǜ +(z)ǜ - x y z =xǜ +yǜ +8zǛ -6xyz 5 (4xÛ`+xy+yÛ`)(4xÛ`-xy+yÛ`) ={(x)û`+x y+yû`}{(x)û`-x y+yû`} =(x)ý`+(x)û` yû`+yý` =16xÝ`+4xÛ`yÛ`+yÝ` 000 ⑴ (x-)(x+)(x-4) =xǜ +(-+-4)xÛ`+{(-) + (-4) =xǜ -xû`-10x+4 ⑵ (x-y+1)(xû`+yû`+xy-x+y+1) 답 5 +(-4) (-)}x+(-) (-4) ={x+(-y)+1}{xû`+(-y)û`+1û`-x (-y) =xǜ +(-y)ǜ +1Ǜ - x (-y) 1 =xǜ -yǜ +xy+1 ⑶ (a-b)(a+b)(aû`+bû`)(aý`+bý`) =(aû`-bû`)(aû`+bû`)(aý`+bý`) =(aý`-bý`)(aý`+bý`)=a `-b ` -(-y) 1-1 x} 답 ⑴ xǜ -xû`-10x+4 ⑵ xǜ -yǜ +xy+1 ⑶ a `-b ` 001 (x+y)(9xû`-xy+yû`)-(x-y)(xû`+xy+9yû`) =(x+y){(x)û`-x y+yû`}-(x-y){xû`+x y+(y)û`} =(x)ǜ +yǜ -{xǜ -(y)ǜ } =7xǛ +yǜ -(xǜ -7yǛ ) =6xǛ +8yǛ =axǜ +byǜ 따라서 a=6, b=8 이므로 a-b=- 답 - 00 (1+x+xÛ`+4xǛ )(4+x+xÛ`+xǛ ) 의전개식에서 xý` 항은 x xǜ +xû` xû`+4xǜ x=xý`+6xý`+1xý`=0xý` 따라서 xý` 의계수는 0 이다. 이식의전개식에서 xǜ 항은 7xǛ 4+(-7xÛ`) (-4x)+9x xû` =108xǛ +108xǛ +9xǛ =5xǛ 따라서 xǜ 의계수는 5 이다. 004 (xû`-x+1)(xû`-x+k) 의전개식에서 xû` 항은 xû` k+(-x) (-x)+1 xû`=(k+)xû` xû` 의계수가 10 이므로 k+=10 k=8 전개식에서 x 항은 -x k+1 (-x)=(-k-1)x 이므로 x 의계수는 -k-1=-8-1=-9 5 답 -9 단계채점요소배점 xû` 의계수를 k 로나타내기 0 % k 의값구하기 0 % x 의계수를 k 로나타내기 0 % x 의계수구하기 0 % 다른풀이 xû`-x=x 로놓으면 (xû`-x+1)(xû`-x+k) =(X+1)(X+k)=XÛ`+(k+1)X+k =(xû`-x)û`+(k+1)(xû`-x)+k =(xý`-xǜ +xû`)+(k+1)xû`-(k+1)x+k =xý`-xǜ +(k+)xû`-(k+1)x+k xû` 의계수가 10 이므로 k+=10 k=8 따라서 x 의계수는 -(k+1)= (x+xû`+xǜ +y+10xú`ầ )Û` =(x+xû`+xǜ +y+10xú`ầ )(x+xû`+xǜ +y+10xú`ầ ) 이식의전개식에서 xþ` 항은 x 4xÝ`+xÛ` xǜ +xǜ xû`+4xý` x =4xÞ`+6xÞ`+6xÞ`+4xÞ`=0xÞ` 따라서 xþ` 의계수는 0 이다 (x-1)ǜ (x-)û` ={(x)ǜ -(x)û`+ x-1}(xû`-4x+4) =(7xǛ -7xÛ`+9x-1)(xÛ`-4x+4) 006 (x-)(x-5)(x-1)(x+1) ={(x-)(x-1)}{(x-5)(x+1)} =(xû`-4x+)(xû`-4x-5) 004 정답과풀이

5 =(X+)(X-5) Û xû`-4x=x =_100Û`+_100- =XÛ`-X-15 =0197 =(xû`-4x)û`-(xû`-4x)-15 따라서주어진수는다섯자리의자연수이다. =xý`-8xǜ +16xÛ`-xÛ`+8x-15 답다섯자리 =xý`-8xǜ +14xÛ`+8x-15 답 xý`-8xǜ +14xÛ`+8x xû`+yû`=(x-y)û`+xy 에서 8=Û`+xy 007 xû`+x=t 로놓으면 (xû`+x+1)(xû`+x-) =(t+1)(t-)=tû`-t- xy= xǜ -yǜ =(x-y)ǜ +xy(x-y) =(xû`+x)û`-(xû`+x)- =Ǜ + =xý`+xǜ +xû`-xû`-x- =0 =xý`+xǜ -x- =axý`+xǜ +bxû`+cx- 따라서 a=1, b=0, c=-1 이므로 a-b+c=0 답 008 (a+b-cû`)(a-b+cû`)={a+(b-cû`)}{a-(b-cû`)} b-cû`=t 로놓으면 ( 주어진식 ) =(a+t)(a-t)=aû`-tû` =aû`-(b-cû`)û` =aû`-(bû`-bcû`+cý`) =aû`-bû`-cý`+bcû` 답 aû`-bû`-cý`+bcû` 009 P =(+1)(Û`+1)(Ý`+1)( `+1) =(-1)(+1)(Û`+1)(Ý`+1)( `+1) P+1=Ú`ß` =(Û`-1)(Û`+1)(Ý`+1)( `+1) =(Ý`-1)(Ý`+1)( `+1) =( `-1)( `+1) =Ú`ß` (10Û`+1) (10Ý`+1) =(10-1)(10+1)(10Û`+1)(10Ý`+1) =(10Û`-1)(10Û`+1)(10Ý`+1) =(10Ý`-1)(10Ý`+1) =10 `-1 답 1 00 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) 에서 4=1Ǜ -xy 1 xy=-1 y x + x y = xû`+yû` xy = (x+y)û`-xy xy = 1Û`- (-1) = a=+', b=-' 에서 a-b=(+')-(-')=' ab=(+')(-')=4-=1 aǜ -bǜ =(a-b)ǜ +ab(a-b) =(')Ǜ + 1 ' =0' aû` b - bû` a 답 - aǜ -bǜ = ab =0' 답 0' 단계채점요소배점 a-b, ab 의값구하기 0 % aǜ -bǜ 의값구하기 40 % aû` b - bû` 의값구하기 0 % a =a 라하면 101Û`+98_10 =(a+1)û`+(a-)(a+) 005 (x+y)û`=xû`+xy+yû`에서 ('5)Û`=7+xy xy=-1 xý`+yý` =(xû`+yû`)û`-xû`yû` =aû`+a+1+(aû`-4) =7Û`- (-1)Û`=47 =aû`+a 다항식의연산 005

6 RPM 알피엠 006 xû`+ 1 xû` ={x+;[!;}û`- 에서 ={x+;[!;}`-, {x+;[!;}`=5 x+;[!;='5 ( x>0) xǜ + 1 = {x+;[!;}`-{x+;[!;} xǜ =('5)Ǜ -'5=5'5-'5='5 007 {x-;[!;} Û`={x+;[!;} Û`-4=Û`-4=5 답 xû`+yû`+zû`=(x+y+z)û`-(xy+yz+zx) 에서 18=6Û`-(xy+yz+zx) xy+yz+zx=9 ;[!;+;]!;+;z!;= xy+yz+zx =에서 xyz 9 xyz = xǜ +yǜ +zǜ xyz= =(x+y+z)(xû`+yû`+zû`-xy-yz-zx)+xyz =6(18-9)+ =6 답 6 이때 x>1 이므로 ;[!;<1 즉, x-;[!;>0 x-;[!;='5 xû`- 1 xû` ={x+;[!;}{x-;[!;}='5 008 xû`=x+1 에서 x+0 이므로양변을 x 로나누면 x=+;[!; x-;[!;= x+xû`+xǜ -;[!;+ 1 xû` - 1 xǜ ={x-;[!;}+{xû`+ 1 xû` }+{xǜ - 1 xǜ } 답 (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 0=8+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=-4 (aû`+bû`+cû`)û`=aý`+bý`+cý`+(aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`) 에서 8Û`=aÝ`+bÝ`+cÝ`+(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`) (ab+bc+ca)û`=aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`+abc(a+b+c) 에서 (-4)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+abc 0 aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`=16 ᄂ을ᄀ에대입하면 64=aÝ`+bÝ`+cÝ`+ 16 aý`+bý`+cý`=64-= ={x-;[!;}+[{x- 1 x }`+]+[{x-;[!;}`+{x-;[!;}] =+(Û`+)+(Ǜ + ) = 009 (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 Û`=6+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=-1 aǜ +bǜ +cǜ =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca)+abc 에서 8= {6-(-1)}+abc abc=-6 abc= (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 4Û`=8+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=4 (ab+bc+ca)û` =aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`+(abû`c+abcû`+aû`bc) 에서 =aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`+abc(a+b+c) 4Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+ (-) 4 aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`=40 답 xý`+5xû`+1x-10=a(xû`+x-)-x+5 에서 xý`+5xû`+1x-15=a(xû`+x-) A=(xÝ`+5xÛ`+1x-15)Ö(xÛ`+x-) xû`+x-`<ồ xý` A=xÛ`-x+5 xû`-x+5 xý`+xǜ - xû` 0044 x-1 xû`+x+1`<ồ xǜ + 5xÛ`+1x-15 -xǜ + 8xÛ`+1x -xǜ - xû`+ x 10xÛ`+10x-15 10xÛ`+10x-15 -x+1 xǜ +xû`+ x -xû`-x+1 -xû`- x-1 -x+ 0 답 xû`-x 정답과풀이

7 따라서 Q(x)=x-1, R(x)=-x+ 이므로 Q()+R(-)=1+8=9 답 다항식 f(x) 를 x- 로나누었을때의몫이 Q(x), 나 머지가 R 이므로 f(x) ={x- }Q(x)+R = 1 (x-)q(x)+r =(x-) 1 Q(x)+R 따라서 f(x) 를 x-로나누었을때의몫은 1 Q(x) 이고나머 지는 R 이다. 답 ;!;Q(x), R 유형 UP 0049 상자의밑면의가로와세로의길이, 높이를각각 a, b, c 라하면모든모서리의길이의합이 8 이므로 4(a+b+c)=8 a+b+c=7 상자의겉넓이가 4 이므로 (ab+bc+ca)=4 ab+bc+ca=1 aû`+bû`+cû` =(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) =7Û`- 1 =5 따라서상자의대각선의길이는 "ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='5=5 답 다항식 xǜ -xû`-5x+1 을 x- 로나누었을때의몫과나머지를조립제법을이용하여구하면 위조립제법에서 a=8, b=4, R=7 이므로 a+b+r= a b c d 위조립제법에서 a=1, b=-, c=-6, d=5 이므로 f(x)=xǜ -xû`-6x+5 f(-1) = =8 답 19 답 다항식 xǜ +axû`+bx+c 를 x+1 로나누었을때의몫과나머지를조립제법을이용하여구하면 -1 a b c - -a+ a-b- a- -a+b+ a-b-+c 이때 a-= 에서 a=5 a-b-= 에서 b=1 a-b-+c=6 에서 c=4 a+b+c=5+1+4=10 답 직사각형의가로와세로의길이를각각 x`cm, y`cm 라하면직사각형의대각선의길이는부채꼴의반지름의길이와같 으므로 xû`+yû`=11û` 직사각형의둘레의길이가 0`cm 이므로 x+y=15 이때직사각형의넓이는 xy`cmû` 이므로 xû`+yû`=(x+y)û`-xy 에서 11Û`=15Û`-xy, xy=104 xy=5(cmû`) 0051 세정사각형의넓이의합이 75 이므로 aû`+bû`+cû`=75 세정사각형의둘레의길이의합이 5 이므로 4a+4b+4c=5 a+b+c=1 한편 S=(a+b)(a+c), S=aÛ` 이므로 S-S =(a+b)(a+c)-aû` 이때 =ab+bc+ca aû`+bû`+cû` =(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) 에서 75=1Û`-(ab+bc+ca), (ab+bc+ca)=94 ab+bc+ca=47 S-S= a-b=1, a-c=을변끼리빼면 -b+c=- b-c= 답 5`cmÛ` 다항식의연산 007

8 RPM 알피엠 aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca ᄀ _+ ᄂ을하면 = 1 {(a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`} = 1 {1Û`+Û`+(-)Û`}=7 5A=5xÛ`-5x+15 A=xÛ`-x+ 이것을ᄀ에대입하면 답 1 (xû`-x+)+b=xû`+5 B =(xû`+5)-(xû`-x+)=-xû`+x a+b+c= 에서 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b A+B=x+ 답 1 aû`+bû`+cû`=(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) 에서 5=Û`-(ab+bc+ca) ab+bc+ca= (a+b)(b+c)(c+a) =(-c)(-a)(-b) =Ǜ -Û`(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc = =5 답 x-4 xû`+x-`<ồ xǜ -xû`+ 4x- xǜ +xû`- 4x -4xÛ`+ 8x- -4xÛ`- 4x+ 8 1x-11 따라서 Q(x)=x-4, R(x)=1x-11이므로 Q(-1)+R()=-6+1=7 답 aǜ +bǜ +cǜ =abc에서 aǜ +bǜ +cǜ -abc=0이므로 aǜ +bǜ +cǜ -abc =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) =15(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0 aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca=0 ;!;{(a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`}=0 a=b=c 이때 a+b+c=15이므로 a=b=c=5 abc=5 5 5=15 답 xý`+5xǜ +xû`-1x+9=a(xû`+x-)-5x+7 에서 xý`+5xǜ +xû`-8x+=a(xû`+x-) xû`+x-1 xû`+x-`<ồ xý`+5xǜ +xû`-8x+ A=xÛ`+x-1 xý`+xǜ -xû` xǜ +5xÛ`-8x xǜ +6xÛ`-6x - xû`-x+ - xû`-x+ 0 답 xû`+x-1 시험에꼭나오는문제 0055 A-{A-(B+C)}-(B+C) =A-(A-B-4C)-B-6C =A-A+4B+8C-B-6C =A+B+C =(xû`-xy+yû`)+(xû`+xy-yû`)+(-xû`+xy-yû`) =xû`+xy-yû` 답 xû`+xy-yû` 0059 f(x) 를 x+1 로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지가 R 이므로 f(x) =(x+1)q(x)+r ={x+ 1 }Q(x)+R ={x+ 1 } Q(x)+R 따라서 f(x) 를 x+ 1 로나누었을때의몫은 Q(x) 이고나머지 는 R 이다. Q(x), R 0056 A+B=xÛ`+5 A-B=xÛ`-5x xû`+xy+yû`=(x+y)û`-xy에서 10=Û`-xy xy= 정답과풀이

9 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) =Ǜ - (-1) =6 답 ;!; xû`+ 1 xû` ={x-;[!;}û`+=1û`+= xû`-x-+;[!;+ xû` = {xû`+ 1 xû` }-{x-;[!;}- = -1- = 006 aû`+5a-1=0 에서 aû`+5a=1 (a+1)(a+)(a+)(a+4) ={(a+1)(a+4)}{(a+)(a+)} =(aû`+5a+4)(aû`+5a+6) =(1+4)(1+6) Û aû`+5a=1 =5 006 주어진식앞에 (-1) 을곱하면 (-1)(+1)(Û`+1)(Ý`+1)( `+1)(Ú`ß`+1) =(Û`-1)(Û`+1)(Ý`+1)( `+1)(Ú`ß`+1) =(Ý`-1)(Ý`+1)( `+1)(Ú`ß`+1) =( `-1)( `+1)(Ú`ß`+1) =(Ú`ß`-1)(Ú`ß`+1) =Ǜ Û` 주어진조립제법을식으로나타내면 axû`+bx+c ={x- 1 }(px+q)+r ={x- 1 } ;!;(px+q)+r =(x-1){ 1 px+;!;q}+r 답 5 답 따라서 axû`+bx+c 를 x-1 로나누었을때의몫과나머지는 각각 1 px+;!;q, r이다 (x-1)ǜ (x-)û` =(8xǛ -1xÛ`+6x-1)(xÛ`-6x+9) 이전개식에서 xǜ항은 8xǛ 9+(-1xÛ`) (-6x)+6x xû`=150xǜ 따라서 xǜ 의계수는 150이다. 답 ;!;px+;!;q, r 답 150 위의조립제법에서 f(x)=9xü`-4x- 이고 f(x) 를 x- 1 로 나누었을때의몫은 9xÛ`+x-, 나머지는 - 이므로 f(x) ={x-;!;}(9xû`+x-)- ={x-;!;} (xû`+x-1)- =(x-1)(xû`+x-1)- 따라서 Q(x)=xÛ`+x-1, R=-이므로 f(-1)+q()+r=-7+1-= 0067 (1+x+xÛ`+4xǛ +5xÝ`)Û` =(1+x+xÛ`+4xǛ +5xÝ`)(1+x+xÛ`+4xǛ +5xÝ`) 이식의전개식에서 xß` 항은 xû` 5xÝ`+4xǛ 4xǛ +5xÝ` xû`=15xß`+16xß`+15xß`=46xß` 따라서 xß`의계수는 46이다. 답 (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 5Û`=9+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=8 ;a!;+;b!;+;c!;= ab+bc+ca =에서 abc 8 abc = abc= a-b=+', b-c=-'를변끼리더하면 a-c=6 c-a=-6 aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca =;!;{(a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`} =;!;{(+')Û`+(-')Û`+(-6)Û`} = xû`+ 1 xû` ={x+ 1 x }Û`- 에서 7={x+ 1 x }Û`-, {x+ 1 x }Û`=9 x+ 1 = ( x>0) x 다항식의연산 009

10 RPM 알피엠 xǜ + 1 xǜ ={x+ 1 x }Ǜ -{x+ 1 x } =Ǜ - =18 ab=48 ab=4 따라서직각삼각형 ABC의넓이는 ;!;ab=;!;_4=1 답 aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca =;!;(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) =;!;{(aû`-ab+bû`)+(bû`-bc+cû`)+(cû`-ca+aû`)} =;!;{(a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`}=0 이때 a, b, c 는삼각형의세변의길이이므로 (a-b)û`¾0, (b-c)û`¾0, (c-a)û`¾0 (a-b)û`=0, (b-c)û`=0, (c-a)û`=0 a=b, b=c, c=a 따라서삼각형 ABC 는 a=b=c 인정삼각형이다. 007 (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 (')Û`=5+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=-1 aǜ +bǜ +cǜ =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca)+abc ='{5-(-1)}+ (-') =' 007 {x+;[!;} Û` ={x-;[!;} Û`+4 x+;[!;= ( x>0) =('5)Û`+4=9 xǜ + 1 = {x+;[!;}`-{x+;[!;} xǜ =Ǜ - = 오른쪽그림의직각삼각형 ABC 에서 BCÓ=a, CAÓ=b라하면 a+b=10 C 가직각이므로피타고라스정리에의 하여 ('1)Û`=aÛ`+bÛ` aû`+bû`=5 aû`+bû`=(a+b)û`-ab 에서 5=10Û`-ab B '1 a 답 답 ' 답 18 A b C 0075 a+b+c=4 에서 a+b=4-c, b+c=4-a, c+a=4-b (a+b)(b+c)(c+a) =(4-c)(4-a)(4-b) =4Ǜ -4Û`(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-abc = = (xû`+x+1)ǜ ={(xû`+x)+1}ǜ =(xû`+x)ǜ +(xû`+x)û`+(xû`+x)+1 =(xß`+xþ`+xý`+xǜ )+(xý`+xǜ +xû`)+(xû`+x)+1 =xß`+xþ`+6xý`+7xǜ +6xÛ`+x+1 따라서 xþ` 의계수 a=, xû` 의계수 b=6 이므로 ab= '-'=x, 1-'+'=y 라하면 x+y= x y = {1+('-')}{1-('-')} =1Û`-('-')Û` =1-(5-'6) =-4+'6 (1+'-')Ǜ +(1-'+')Ǜ =xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) =Ǜ - (-4+'6) =8-(-4+1'6) =-1' aû`+bû`+cû` =(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) =0Û`- (-4)=8 aû`bû`+bû`cû`+cû`aû` =(ab+bc+ca)û`-(abû`c+abcû`+aû`bc) =(ab+bc+ca)û`-abc(a+b+c) =(-4)Û`- abc 0=16 aý`+bý`+cý` =(aû`+bû`+cû`)û`-(aû`bû`+bû`cû`+cû`aû`) =8Û`- 16 = 답 답 -1'6 010 정답과풀이

11 0079 직사각형의가로의길이를 x, 세로의길이를 y 라하면둘레의길이가 4 이므로 x+y=4 x+y=17 원의지름의길이가 1 이므로 xû`+yû`=1û` xû`+yû`=169 이때직사각형의넓이는 xy 이므로 xû`+yû`=(x+y)û`-xy 에서 169=17Û`-xy, xy=10 xy=60 답 60 단계채점요소배점 조건에따라식세우기 50 % 직사각형의넓이구하기 50 % 0080 xû`-x+1=0 에서 x+0 이므로양변을 x 로나누면 x-+;[!;=0 x+;[!;= {x-;[!;}` ={x+;[!;}`-4 =Û`-4=5 이때 x>1 이므로 ;[!;<1 즉, x-;[!;>0 x-;[!;='5 xǜ - 1 = {x-;[!;}`+{x-;[!;} xǜ =('5)Ǜ +'5 =8'5 답 8'5 단계채점요소배점 x+;[!; 의값구하기 0 % x-;[!; 의값구하기 50 % xǜ - 1 의값구하기 0 % xǜ =Ǜ - 1 =18 답 18 단계채점요소배점 xy 의값구하기 0 % xǜ +yǜ 의식변형하기 40 % xǜ +yǜ 의값구하기 0 % 008 (x+1)(x-4)(x+)(x-) ={(x+1)(x-)}{(x-4)(x+)} =(xû`-x-)(xû`-x-8) xû`-x=t 로놓으면 ( 주어진식 ) =(t-)(t-8) =tû`-11t+4 =(xû`-x)û`-11(xû`-x)+4 =xý`-4xǜ -7xÛ`+x+4 따라서 xǜ 의계수 a=-4, x 의계수 b= 이므로 a+b=18 답 18 단계채점요소배점 주어진식을공통부분이보이도록묶기 0 % 공통부분을치환하여전개하기 40 % a, b 의값구하기 0 % a+b 의값구하기 10 % 008 x+y-=0, xǜ +yǜ -6=0 에서 x+y=, xǜ +yǜ =6 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) 에서 6=Ǜ -xy xy=- xû`+yû` =(x+y)û`-xy =Û`- (-)=10 (xû`+yû`)(xǜ +yǜ )=xþ`+yþ`+xû`yû`(x+y) 에서 10 6=xÞ`+yÞ`+(-)Û` xþ`+yþ`=4 답 ;[!;+;]!;= x+y xy = =에서 xy xy=1 xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) 0084 xû`+yû`=(x+y)û`-xy에서 =1Û`-xy xy=-;!; xǜ +yǜ =(x+y)ǜ -xy(x+y) =1Ǜ - {-;!;} 1=;%; 01. 다항식의연산 011

12 RPM 알피엠 xý`+yý` =(xû`+yû`)û`-xû`yû` =Û`- {-;!;}`=;&; xà`+yà`+xý`yǜ +xǜ yý` =xý`(xǜ +yǜ )+yý`(xǜ +yǜ )=(xǜ +yǜ )(xý`+yý`) =;%; ;&;=: 4 : 답 : 4 : 0085 xû`+'5x+1=0에서 x+0이므로양변을 x로나누면 x+'5+;[!;=0 x+;[!;=-'5 xû`+ 1 ={x+;[!;}`-=(-'5)û`-= xû` xý`+ 1 ={xû`+ 1 xý` xû` }`-=Û`-=7 x `+ 1 = {xý`+ 1 x ` xý` }`-=7Û`-= 가로, 세로, 높이가각각 x, y, z 인직육면체의부피가 6 이므로 xyz=6 겉넓이가 이므로 (xy+yz+zx)= xy+yz+zx=11 대각선의길이가 '14 이므로 "ÃxÛ`+yÛ`+zÛ`='14 xû`+yû`+zû`=14 (x+y+z)û` =xû`+yû`+zû`+(xy+yz+zx) =14+_11 =6 x+y+z=6 ( x+y+z>0) xǜ +yǜ +zǜ =(x+y+z)(xû`+yû`+zû`-xy-yz-zx)+xyz =6_(14-11)+_6 =6 답 6 01 정답과풀이

13 0 항등식과나머지정리 Ⅰ. 다항식 a=, a+b=1, a+b+c=5 a=, b=-, c=6 답 a=, b=-, c=6 교과서 문제정복하기 009 주어진식을 x, y 에대하여정리하면 (a+b+)x-(a+b+)y= ㄱ. 좌변과우변이다르다. ㄴ. 주어진식의좌변을전개하면 (x-1)û`+x-1 =xû`-x+1+x-1 =xû`-x 이식이 x, y 에대한항등식이므로 a+b+=0, a+b+=0 두식을연립하여풀면 a=-, b=1 답 a=-, b=1 이므로좌변과우변이같다. ㄷ. 주어진식의좌변을전개하면 (x+)(x-)=xû`-x-6 이므로좌변과우변이같다. ㄹ. 주어진식의우변을전개하면 (x-1)+5=x+ 이므로좌변과우변이같다. ㅁ. 주어진식의우변을전개하면 x(x-8)+10=xû`-8x+10 이므로좌변과우변이다르다. 따라서항등식은ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답ㄴ, ㄷ, ㄹ 009 a(x-y)-b(x+y)-1=(a-b)x-(a+b)y-1 이므로 (a-b)x-(a+b)y-1=x-9y+c 이식이 x, y 에대한항등식이므로 a-b=, -(a+b)=-9, c=-1 a=6, b=, c=-1 답 a=6, b=, c= f(x)=xǜ -xû`+5x-6 을 x-1 로나누었을때의나머지는 f(1)=1-+5-6=- 답 주어진등식이 x 에대한항등식이므로 a+c=0, -(b-)=0, a-b=0 a=6, b=, c= 주어진식의좌변을전개하면 (x-)(ax+)=axû`+(-a)x-6 따라서 axû`+(-a)x-6=xû`+bx+c 이므로 a=, -a=b, -6=c a=, b=-1, c=-6 답 a=6, b=, c=-6 답 a=, b=-1, c= f(x)=xǜ -xû`+5x-6 을 x+ 으로나누었을때의나머지는 f(-)= =-66 답 f(x)=xû`-4x+ 1 을 x-1로나누었을때의나머 4 지는 f{;!;}= {;!;}`-4 ;!;+;4!;=-1 답 주어진등식의양변에 x=0, x=1, x= 를각각대입하면 -c=1, b=, a+b+c=7 a=1, b=, c=-1 답 a=1, b=, c= f(x)=xû`-4x+ 1 을 x+로나누었을때의나머 4 지는 f {-;@;}= {-;@;} Û`-4 {-;@;}+;4!;=:Á4 : 답 :Á4 : 0091 주어진식의우변을전개하면 a(x+1)û`+b(x+1)+c=axû`+(a+b)x+a+b+c 따라서 xû`+x+5=axû`+(a+b)x+a+b+c 이므로 0098 f(x)=xǜ +axû`+x+4 로놓으면 `f(-)=4 이므로 -8+4a-4+4=4 a= 답 0. 항등식과나머지정리 01

14 RPM 알피엠 0099 f(x)=xǜ -5xÛ`+kx- 으로놓으면 f()=0 이므로 16-0+k-=0 k=;&; 답 ;&; 0100 xǜ +xû`-x 를 (x-1)(x+1) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 xǜ +xû`-x=(x-1)(x+1)q(x)+ax+b 이식이 x 에대한항등식이므로 x=1 을대입하면 0=a+b x=-1 을대입하면 =-a+b ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-1, b=1 따라서구하는나머지는 -x+1 이다. 답 -x xá`á` 을 (x+1)(x-1) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b 는상수 ) 라하면 xá`á`=(x+1)(x-1)q(x)+ax+b 이식이 x 에대한항등식이므로 x=-1 을대입하면 -a+b=-1 x=1 을대입하면 a+b=1 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=1, b=0 따라서구하는나머지는 x 이다. 유형익히기 답 x a=4, b=1 a-b= 단계채점요소배점 항등식의성질을이용하여 a, b 에대한식세우기 40 % a, b 의값구하기 40 % a-b 의값구하기 0 % 0104 a ã x=ax+x x ã b=bx+b x ã =x+ 이므로 (a ã x)-(x ã b) =(ax+x)-(bx+b) =(a-b+1)x-b =x+ 이식이 x 에대한항등식이므로 a-b+1=, -b= 따라서 a=-1, b=- 이므로 a+b= 주어진등식의양변에 x=1 을대입하면 c= 양변에 x= 를대입하면 b+c=û`+1, 즉 b+=5 b= 양변에 x=0 을대입하면 a-b+c=1, 즉 a-+=1 a=1 aû`+bû`+cû`=1+9+4=14 답 답 010 (xû`-)(xû`+) =xý`+xû`-6 =xý`-axû`+b 이식이 x에대한항등식이므로 1=-a, -6=b 따라서 a=-;!;, b=-6이므로 a-b=5 답 주어진등식의양변에 x=0을대입하면 =-c c=- 양변에 x=1 을대입하면 =a a=1 양변에 x=-1 을대입하면 8=b b=4 a+b+c= 답 010 a(x+y)-b(x-y) =(a-b)x+(a+b)y =x+5y 이식이 x, y 에대한항등식이므로 a-b=, a+b=5 두식을연립하여풀면 0107 xþ`-axû`+b=(x+1)(x-)f(x)+x 가 x 에대한항등식이므로 x=-1, 를대입해도성립한다. 주어진등식의양변에 x=-1 을대입하면 -1-a+b=-1 a=b 양변에 x= 를대입하면 -4a+b= 4a-b=0 014 정답과풀이

15 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=10, b=10 (-6a+b)y+a-15=0 xþ`-10xû`+10=(x+1)(x-)f(x)+x 양변에 x=1 을대입하면 =(1+1)(1-)f(1)+1 -f(1)=0 f(1)=0 이식은 y 에대한항등식이므로 -6a+b=0, a-15=0 따라서 a=5, b=0 이므로 a+b=5 답 주어진식을 k 에대하여정리하면 (xû`-4)k+yû`-18=0 이식은 k 에대한항등식이므로 xû`-4=0, yû`-18=0 x=ñ, y=ñ 따라서 x+y 의최댓값은 5 이다. 답 0 답 x-1 =y+1에서 x=y+ 이것을주어진식에대입하면 a(y+)-by+6=0 (a-b)y+a+6=0 이식은 y 에대한항등식이므로 a-b=0, a+6=0 따라서 a=-, b=-4 이므로 ab=8 답 주어진식의좌변을 x, y 에대하여정리하면 (a+b)x+(-a+b)y+(a-b)=-x+y-c 이식은 x, y 에대한항등식이므로 a+b=-, -a+b=1, a-b=-c 세식을연립하여풀면 a=-1, b=-1, c=1 a-b+c=1 답 주어진등식의양변에 x=1 을대입하면 Ú`Þ`=a¼+aÁ+y+aÁ +aá 양변에 x=-1 을대입하면 0=a¼-aÁ+y+aÁ -aá ᄀ - ᄂ을하면 Ú`Þ`=(aÁ+a +y+aá +aá ) aá+a +y+aá +aá =Ú`Ý` 0110 주어진방정식이 x=1 을근으로가지므로 1+(m-)+(m+)p+q=0 이식을 m 에대하여정리하면 (1+p)m+(p+q-1)=0 이식은 m 에대한항등식이므로 1+p=0, p+q-1=0 따라서 p=-1, q= 이므로 p+q= 0115 주어진등식의양변에 x=1 을대입하면 0=a¼+aÁ+aª+y+a 양변에 x=-1 을대입하면 4Ǜ =a¼-aá+aª-a +y+a ᄀ + ᄂ을하면 4Ǜ =(a¼+aª+a +a ) a¼+aª+a +a = 0111 y-x=1 에서 y=x+1 이것을주어진식에대입하면 axû`+ax+b(x+1)û`-cx-(x+1)-1=0 (a+b)xû`+(a+b-c-1)x+b-=0 이식은 x 에대한항등식이므로 a+b=0, a+b-c-1=0, b-=0 따라서 a=-, b=, c=-1 이므로 a+b+c=-1 답 주어진등식의양변에 x= 를대입하면 Þ`ầ +1=a ¼+a»+a +y+aá+a¼ 양변에 x=0 을대입하면 1=a ¼-a»+a -y-aá+a¼ ᄀ - ᄂ을하면 Þ`ầ =(a»+a +a +y+a +aá) a»+a +y+a +aá=ý`á` 답 x+y=1 에서 x=1-y 이것을주어진식에대입하면 a(1-y)+by= 몫을 Q(x) 라하면 xǜ +axû`+b =(xû`+x-)q(x)+x+ =(x+)(x-1)q(x)+x+ 0. 항등식과나머지정리 015

16 RPM 알피엠 이등식은 x에대한항등식이므로 Ú x=-를대입하면 -8+4a+b=-1 Û x=1을대입하면 1+a+b=5 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=1, b= ab= 011 f(x) 를 xû`+x- 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x) =(xû`+x-)q(x)+4x-1 =(x-1)(x+)q(x)+4x-1 따라서 f(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지는 f{;!;} 이므로 f{;!;}=4 ;!;-1=1 답 몫을 x+q (q 는상수 ) 라하면 xǜ +ax-8 =(xû`+4x+b)(x+q)+x+4 =xǜ +(q+4)xû`+(4q+b+)x+bq+4 이등식은 x 에대한항등식이므로 0=q+4, a=4q+b+, -8=bq+4 따라서 q=-4, a=-10, b= 이므로 a+b=-7 다른풀이 나머지가 x+4 이므로 (a-b+16)x-8+4b=x+4 이등식은 x 에대한항등식이므로 a-b+16=, -8+4b=4 따라서 a=-10, b= 이므로 a+b= 나머지를 px+q`(p, q 는상수 ) 라하면 xǜ +axû`+x+1 =(xû`-x)(x+4)+px+q =xǜ -xû`+(p-8)x+q 이등식은 x 에대한항등식이므로 a=-, p-8=, q=1 a=-, p=10, q=1 따라서 a=- 이고, 나머지는 10x+1 이다. 답 a=-, 나머지 :10x 다항식 f(x), g(x) 를 x- 으로나누었을때의나머지가각각, - 이므로 f()=, g()=- 따라서 f(x)+g(x) 를 x- 으로나누었을때의나머지는 f()+g() = + (-) = x-4 xû`+4x+b`<ồ xǜ + ax- 8 xǜ +4xÛ`+ bx -4xÛ`+ (a-b)x- 8-4xÛ`- 16x- 4b (a-b+16)x-8+4b 01 f(x)+g(x) 가 x- 로나누어떨어지므로 f()+g()=0 f(x)-g(x) 를 x- 로나누면나머지가 4 이므로 f()-g()=4 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 f()=, g()=- 따라서 f(x)g(x) 를 x- 로나누었을때의나머지는 f()g()=-4 답 -4 단계채점요소배점 f(), g() 에대한식구하기 40 % f(), g() 의값구하기 0 % f(x)g(x) 를 x- 로나누었을때의나머지구하기 0 % 01 f(x)=xý`+axǜ +bxû`- 로놓으면 f(1)=1+a+b-= a+b=4 f(-1)=1-a+b-=- -a+b=- ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=, b=1 ab= 014 f(x)=axþ`+bxǜ +cx-4로놓으면 f(1)=a+b+c-4= a+b+c=7 따라서 f(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지는 f(-1) 이므로 f(-1) =-a-b-c-4 =-(a+b+c)-4 =-7-4=-11 답 5 답 (x+1)f(x) 를 x-로나누었을때의나머지가 이므로 (+1)f()= `f()=1 016 정답과풀이

17 f()=4+a+b=1 에서 a+b=- (x-)f(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지가 6 이므로 (-1-)f(-1)=6 f(-1)=1-a+b=- 에서 a-b= ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=0, b=- aû`+bû`=9 f(-1)=- 답 016 다항식 f(x) 를 xû`+x+ 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x) =(xû`+x+)q(x)+ax+b =(x+1)(x+)q(x)+ax+b f(x) 를 x+1, x+ 로나누었을때의나머지가각각, -1 이 므로 f(-1)=-a+b= f(-)=-a+b=-1 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=4, b=7 따라서 R(x)=4x+7 이므로 R(1)=4+7=11 답 f(x) 를 xû`-x+ 로나누었을때의몫을 QÁ(x) 라하면 f(x) =(xû`-x+)qá(x)+4 =(x-1)(x-)qá(x)+4 f()=4 f(x) 를 xû`-x- 으로나누었을때의몫을 Qª(x) 라하면 f(x) =(xû`-x-)qª(x)+4x- =(x-)(x+1)qª(x)+4x- f()=9 f(x) 를 xû`-5x+6 으로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x) =(xû`-5x+6)q(x)+ax+b =(x-)(x-)q(x)+ax+b f()=a+b=4 f()=a+b=9 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=5, b=-6 따라서구하는나머지는 5x-6 이다. 답 5x-6 단계채점요소배점 f() 의값구하기 0 % f() 의값구하기 0 % f(x) 를 xû`-5x+6 으로나누었을때의식구하기 0 % 나머지구하기 40 % 018 f(x)+g(x), f(x)-g(x) 를 xû`+x+1 로나누었을때의몫을각각 QÁ(x), Qª(x) 라하면 f(x)+g(x)=(xû`+x+1)qá(x)+9 f(x)-g(x)=(xû`+x+1)qª(x)- ᄀ + ᄂ을하면 f(x)=(xû`+x+1){qá(x)+qª(x)}+6 f(x)=(xû`+x+1) QÁ(x)+Qª(x) + 따라서구하는나머지는 이다. 답 019 다항식 f(x) 를 (xû`-1)(x-) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 axû`+bx+c (a, b, c 는상수 ) 라하면 f(x)=(xû`-1)(x-)q(x)+axû`+bx+c 그런데 f(x) 를 xû`-1 로나누었을때의나머지가 x+ 이므로 axû`+bx+c 를 xû`-1 로나누었을때의나머지가 x+ 이되어 야한다. f(x)=(xû`-1)(x-)q(x)+a(xû`-1)+x+ 한편, `f(x) 를 x- 로나누었을때의나머지가 4 이므로ᄀ에서 f()=a+7=4 a=-1 따라서구하는나머지는 -(xû`-1)+x+=-xû`+x+4 답 -xû`+x 다항식 f(x) 를 (x-1)(x-)(x-) 으로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c 는상 수 ) 라하면 f(x)=(x-1)(x-)(x-)q(x)+axû`+bx+c f(x) 가 (x-1)(x-) 로나누어떨어지므로 axû`+bx+c=a(x-1)(x-) f(x)=(x-1)(x-)(x-)q(x) +a(x-1)(x-) 또, f(x) 를 (x-)(x-) 으로나누었을때의몫을 Q'(x) 라 하면나머지가 x- 이므로 f(x)=(x-)(x-)q'(x)+x- 즉, `f()=1 이므로ᄀ에서 f()=a=1 a=;!; 0. 항등식과나머지정리 017

18 RPM 알피엠 따라서 R(x)=;!;(x-1)(x-) 이므로 R(0)=;!; (-1) (-)=1 답 다항식 f(x) 를 xǜ +1 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c 는상수 ) 라하면 f(x)=(xǜ +1)Q(x)+axÛ`+bx+c 그런데나머지 axû`+bx+c 를 xû`-x+1 로나누었을때의나머 지가 x-4 이므로 R(x)=a(xÛ`-x+1)+x-4 f(x)=(xǜ +1)Q(x)+a(xÛ`-x+1)+x-4 f(-1)= 이므로ᄀ에서 a-6= a= R(x) =(xû`-x+1)+x-4=xû`-x-1 R()= Û`--1=9 답 9 f(x)=(x-)q(x)+ Q(x)=(x+)Q'(x)-1 ᄂ을ᄀ에대입하면 f(x) =(x-){(x+)q'(x)-1}+ =(x-)(x+)q'(x)-x+5 f(-)=7 따라서 x f(x) 를 x+ 로나누었을때의나머지는 - f(-)=- 7= f(x)=(x-1)qá(x)+5 f(x)=(x-)qª(x)+ QÁ(x)+Qª(x) 를 x- 로나누었을때의나머지는 QÁ()+Qª() 이므로ᄀ, ᄂ에 x= 를대입하면 f()=qá()+5=-qª()+ QÁ()+Qª()=- 답 01 다항식 f(x) 를 xû`-x- 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x) =(xû`-x-)q(x)+x-4 =(x+1)(x-)q(x)+x-4 f(-1)=-6 따라서 f(x-) 을 x-1 로나누었을때의나머지는 f( 1-)=f(-1)=-6 답 1 01 다항식 f(x) 를 x- 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)=(x-)q(x)+r f()=r 따라서 f(x-) 를 x- 로나누었을때의나머지는 f( -)=f()=r 답 f(x)+g(x) 를 x-1로나누었을때의나머지가 6이므로 f(1)+g(1)=6 f(x)+g(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지가 8 이므로 f(1)+g(1)=8 ᄂ - ᄀ을하면 f(1)= 따라서 f(x-5) 를 x- 로나누었을때의나머지는 f( -5)=f(1)= 015 f(x) 를 x- 로나누었을때의몫 Q(x) 를 x+ 로나누었을때의몫을 Q'(x) 라하면 017 x 018 +x 017 +x 를 x-1 로나누었을때의나머지를 R (R 는상수 ) 라하면 x 018 +x 017 +x=(x-1)q(x)+r ᄀ의양변에 x=1 을대입하면 =R 한편, Q(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지는 Q(-1) 이므로 ᄀ의양변에 x=-1 을대입하면 -1=-Q(-1)+ Q(-1)= 018 f(x)-xû` 이 x+1 로나누어떨어지므로 f(-1)- (-1)Û`=0 f(-1)= f(x)=xý`+kxû`+x+7 에서 f(-1)=1+k-+7= k=- 019 f(x)=xǜ +axû`+bx-1 로놓으면 f()=16+4a+b-1=0 a+b=- f()=54+9a+b-1=1 a+b=-10 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 답 018 정답과풀이

19 a=-8, b=14 a+b=6 단계채점요소배점 f()=0 일때, a, b 에대한식세우기 0 % f()=1 일때, a, b 에대한식세우기 0 % a, b 의값구하기 0 % a+b 의값구하기 0 % 답 p(1)=0, p()=0 에서 p(x) 는 x-1, x- 로나누어떨어진다. 이때 p(x) 는최고차항의계수가 인이차식이므로 p(x)=(x-1)(x-) 따라서 p(x) 를 x-4 로나누었을때의나머지는 p(4) = =18 답 f(x) 가 xû`+x-=(x-1)(x+) 로나누어떨어지므로 f(1)=1+a+b+=0 a+b=- f(-)=-8+4a-b+=0 a-b= ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=0, b=- 014 f(x)- 이 xû`-x-6=(x+)(x-) 으로나누어떨어지므로 f(-)-=0, f()-=0 f(-)=, f()= f(x-) 를 xû`-5x 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x-) =(xû`-5x)q(x)+ax+b =x(x-5)q(x)+ax+b ᄀ의양변에 x=0 을대입하면 f(-)=b= ᄀ의양변에 x=5 를대입하면 f()=5a+b= a=0 따라서구하는나머지는 이다. 014 f(x)=xǜ +axû`+bx+ 으로놓으면 f(x) 가 (x-1)û` 으로나누어떨어지므로 f(1)=1+a+b+=0 b=-a-4 f(x) =xǜ +axû`+(-a-4)x+ =(x-1){xû`+(a+1)x-} f(x) 를 (x-1)û` 으로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)=(x-1)û`q(x) ᄂ, ᄃ에서 xû`+(a+1)x-=(x-1)q(x) 양변에 x=1 을대입하면 1+a+1-=0 a=1 a=1 을ᄀ에대입하면 b=-5 aû`+bû`=1û`+(-5)û`=6 유형 UP yy ᄃ =x 라하면 998=x- 1000Ú`Ú` 을 998 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R 라하면 xú`ú`=(x-)q(x)+r ᄀ의양변에 x= 를대입하면 Ú`Ú`=R ᄀ의양변에 x=1000, R=Ú`Ú` 을대입하면 1000Ú`Ú`=998Q(1000)+Ú`Ú` 이때 Ú`Ú`=048 이고 1000Ú`Ú` 을 998 로나누었을때의나머지는 0É( 나머지 )<998 이므로주어진식을변형하면 1000Ú`Ú` =998Q(1000)+Ú`Ú` =998{Q(1000)+}+5 따라서 1000Ú`Ú` 을 998 로나누었을때의나머지는 5 이다 =x 라하면 98=x+1 97à` 을 98 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R 라하면 xà`=(x+1)q(x)+r ᄀ의양변에 x=-1 을대입하면 (-1)à`=R R=-1 ᄀ의양변에 x=97, R=-1 을대입하면 97à`=98Q(97)-1 답 이때 97à` 을 98 로나누었을때의나머지는 0É( 나머지 )<98 이므로 주어진식을변형하면 97à` =98Q(97)-1=98{Q(97)-1}+97 따라서 97à` 을 98 로나누었을때의나머지는 97 이다. 답 항등식과나머지정리 019

20 RPM 알피엠 0146 =x 라하면 4=x+1 á`á`+ú`ầ ầ +Ú`ầ Ú` 을 4 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R 라 하면 xá`á`+xú`ầ ầ +xú`ầ Ú`=(x+1)Q(x)+R ᄀ의양변에 x=-1 을대입하면 (-1)á`á`+(-1)Ú`ầ ầ +(-1)Ú`ầ Ú`=R R=-1+1-1=-1 ᄀ의양변에 x=, R=-1 을대입하면 á`á`+ú`ầ ầ +Ú`ầ Ú`=4Q()-1=4{Q()-1}+ 따라서 á`á`+ú`ầ ầ +Ú`ầ Ú` 을 4 로나누었을때의나머지는 이다. 답 이므로 a=-1, b=4, c=-, d=-1 abcd= Ú c Ú b Ú a 답 Ú d Ú c 1 5 Ú b ü a 이므로 a=1, b=5, c=5, d=4 abcd=100 다른풀이 1 x-=y 라하면 x=y+ 이므로 (y+)ǜ -(y+)û`-(y+)+6=ayǜ +byû`+cy+d yǜ +5yÛ`+5y+4=ayǛ +byû`+cy+d a=1, b=5, c=5, d=4 abcd=100 다른풀이 x 대신 0, 1,, 을각각대입하면 답 100 x=0 대입 :6=-8a+4b-c+d x=1 대입 :=-a+b-c+d x= 대입 :4=d yy ᄃ x= 대입 :15=a+b+c+d yy ᄅ ᄀ, ᄂ, ᄃ, ᄅ을연립하여풀면 a=1, b=5, c=5, d=4 abcd= Ú d Ú c Ú b ü a 이므로 a=-5, b=0, c=19 이때 f(x)=axû`+bx+c 로놓으면 f(x)=-5xû`+19 따라서 f(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지는 f(1) 이므로 f(1)=-5+19=14 시험에꼭나오는문제 0150 주어진등식이 x 에대한항등식이므로양변에 x=1 을대입하면 15=B 양변에 x=- 를대입하면 -18=9C 양변에 x=0 을대입하면 0=-A+B+C ᄀ, ᄂ, ᄃ을연립하여풀면 A=4, B=5, C=- A+B+C=7 yy ᄃ 답 f(x)=a(x-1)(x-)(x-)+bx(x-)(x-) +cx(x-1)(x-)+dx(x-1)(x-) 에서 d 를포함하지않는항을모두 0 이되게하면된다. 즉, x= 일때, f()=d(-1)(-) 이므로 6d=f() 015 f(x)=xǜ +axû`+bx+1 로놓으면 f(x) 는 x+1 로나누어떨어지므로 f(-1)=-+a-b+1=0 a-b=1 f(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지가 5 이므로 f(1)=+a+b+1=5 a+b= 00 정답과풀이

21 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=;#;, b=;!; ab=;4#; 015 (xý`-xû`+)p(x)=xß`+axû`+b 에서 (xû`-1)(xû`-)p(x)=xß`+axû`+b xû`=1 을대입하면 0=1+a+b xû`= 를대입하면 0=8+a+b ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-7, b=6 a+b=-14+6= x+ay-b=k(x-y+1) 에서 (1-k)x+(a+k)y-b-k=0 이등식은 x, y 의값에관계없이성립해야하므로 1-k=0, a+k=0, -b-k=0 따라서 k=;!;, a=-;!;, b=-;4!; 이므로 a+b=-;4#; 답 ;4#; 답 -8 답 -;4#; 0155 f(x)=xǜ +axû`-x+b 라하면 f(x) 는 x+1, x- 로나누어떨어지므로 f(-1)=-1+a+1+b=0 a+b=0 f()=8+4a-+b=0 4a+b=-6 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=-, b= f(x)=xǜ -xû`-x+ 이때 f(x) 가 x-a (a 는상수 ) 로나누어떨어지므로 f(a) =aǜ -aû`-a+=0 aǜ -aû`-a= xü`+8xû`+5x-a 를 xû`+x+b 로나누었을때의몫을 x+p (p 는상수 ) 라하면 xǜ +8xÛ`+5x-a =(xû`+x+b)(x+p) 이식이 x 에대한항등식이므로 8=p+, 5=p+b, -a=pb =xǜ +(p+)xû`+(p+b)x+pb 따라서 p=5, b=-10, a=50 이므로 a+b= f(-1)+g(-1)=8 f(-1)-g(-1)=4 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 f(-1)=6, g(-1)= 따라서 x+f(x)g(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지는 -1+f(-1)g(-1)=-1+6 = f(1) =a+1+1+y+1 이므로 a= 개 =a+000=0 따라서 f(x)=-000+x+xû`+y+xû`ầ ầ ầ 이므로 f(-1) = y+1 =-000 답 5 답 다항식 f(x) 를 (x-1)(x+1) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x)=(x-1)(x+1)q(x)+ax+b f(1)=5, f(-1)=- 이므로 a+b=5 -a+b=- ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=4, b=1 따라서 R(x)=4x+1 이므로 R()=4 +1=9 답 xû`ầ Ú`ầ -1 을 xû`-x 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 xû`ầ Ú`ầ -1=x(x-1)Q(x)+ax+b x=0 을대입하면 -1=b x=1 을대입하면 0=a+b ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=1, b=-1 따라서 R(x)=x-1 이므로 R(010)=010-1=009 답 0161 f(x)=(x+1)q(x)+5 Q(x) 를 x+ 로나누었을때의몫을 Q'(x) 라하면 Q(x)=(x+)Q'(x)- ᄂ을ᄀ에대입하면 á \ { \» f(x) =(x+1){(x+)q'(x)-}+5 =(x+1)(x+)q'(x)-x+ 0. 항등식과나머지정리 01

22 RPM 알피엠 따라서 f(x) 를 x+ 로나누었을때의나머지는 f(-)=- (-)+=7 답 f(x)-1 을 xû`-x+ 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(x)-1=(xû`-x+)q(x) f(x)=(x-1)(x-)q(x)+1 위의식에 x 대신 x+1 을대입하면 f(x+1)=x(x-1)q(x+1)+1 따라서 f(x+1) 을 xû`-x 로나누었을때의나머지는 1 이다. 답 1 f(x)+1 =(xû`-1)q (x)+ax+b =(x-1)(x+1)q (x)+ax+b ᄀ의양변에 x=-1을대입하면 f(-1)+1=-a+b -a+b=1 ᄀ의양변에 x=1을대입하면 f(1)+1=a+b a+b= ᄂ, ᄃ을연립하여풀면 a=1, b= 따라서구하는나머지는 x+이다. yy ᄃ답 x+ 016 f(x) 를 xû`-4 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x) =(xû`-4)q(x)+ax+b =(x-)(x+)q(x)+ax+b 양변에 x=, x=- 를각각대입하면 f()=a+b, f(-)=-a+b f() f(-) = a+b =-이므로 -a+b a+b=6a-b, -4a+4b=0 -a+b=0 R(-1)=-a+b= ax+by+6 =k (k는상수 ) 라하면 x+y+ ax+by+6 =k(x+y+) =kx+ky+k 이등식이 x, y 에대한항등식이므로 a=k, b=k, 6=k 따라서 k=, a=, b=6 이므로 b-a=6-= 답 0165 f(x) 를 xû`-x- 로나누었을때의몫을 QÁ(x) 라하면 f(x) =(xû`-x-)qá(x) =(x+1)(x-)qá(x) 양변에 x=-1 을대입하면 f(-1)=0 f(x)- 를 x-1 로나누었을때의몫을 Qª(x) 라하면 f(x)-=(x-1)qª(x) 양변에 x=1 을대입하면 f(1)-=0 f(1)= 한편, f(x)+1 을 xû`-1 로나누었을때의몫을 Q (x), 나머지를 ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 0166 삼차식 f(x) 가 (x+1)û` 으로나누어떨어지고삼차항의계수가 1 이므로몫을 x+p (p 는상수 ) 라하면 f(x)=(x+1)û`(x+p) f(xû`-1) 을 f(x) 로나누었을때의몫을 Q(x) 라하면 f(xû`-1)=f(x)q(x)-xû` 양변에 x=-1 을대입하면 f(0)=f(-1)q(-1)-1 ᄀ에서 f(-1)=0, f(0)=p 이므로ᄂ에대입하면 p=-1 f(x)=(x+1)û`(x-1) f()=û`_1=9 답 ㄱ. f(x) 를삼차식으로나누면나머지는이차이하의식이다. ( 거짓 ) ㄴ. f(1)=1+++4=10+0 이므로 f(x) 는 x-1 을인수로 갖지않는다. ( 거짓 ) ㄷ. R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c 는상수 ) 로놓으면 xú`ầ +xà`+xý`+4x =(xǜ -xû`+x-1)q(x)+axû`+bx+c 양변에 x=1 을대입하면 a+b+c=10 따라서 R(x) 의모든항의계수의합은 10 이다. ( 참 ) 따라서옳은것은ㄷ이다 f(x) 를 xû`-4 로나누었을때의몫을 QÁ(x) 라하면 f(x) =(xû`-4)qá(x)+x-1 =(x+)(x-)qá(x)+x-1 f()= g(x) 를 xû`+5x- 로나누었을때의몫을 Qª(x) 라하면 g(x) =(xû`+5x-)qª(x)+x-4 =(x-1)(x+)qª(x)+x-4 답ㄷ 0 정답과풀이

23 g {;!;}=- 따라서 (x+1)f(9xû`+1)-(6x-1)g(x) 를 x-1로나누었을때의나머지는 x= 1 을대입하면 { ;!;+1} f {9_;9!;+1}-{6_;!;-1} g {;!;} aª¼+aá +aá +y+aª+a¼=ú`ầ 한편, 주어진식의양변에 x=0을대입하면 a¼=1 aª¼+aá +aá +y+aª=ú`ầ -1 답 1 = f()-g {;!;} = -(-)= Ú d Ú c 1 Ú b ü a 이므로 a=1, b=, c=-1, d=-6 abcd=1 답 9 답 f(x)=xý`+ax+b라하면 f(x) 가 (x-1)û`으로나누 어떨어지므로 f(1)=1+a+b=0 b=-a-1 따라서 f(x)=xý`+ax-a-1이므로조립제법을이용하면 a -a a a a+4 f(x)=(x-1)û`(xû`+x+)+a+4 이때 f(1)=0이므로 a+4=0 a=-4 a=-4를ᄀ에대입하면 b= ab= 주어진식의양변에 x=1을대입하면 Ú`ầ =aª¼+aá»+aá +y+aá+a¼ x=-1을대입하면 Ú`ầ =aª¼-aá»+aá -y-aá+a¼ ᄀ + ᄂ을하면 Ú`ầ =(aª¼+aá +aá +y+aª+a¼) 답 다항식 f(x) 를 (x-1)(x-)û` 으로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 axû`+bx+c (a, b, c 는상수 ) 라하면 f(x)=(x-1)(x-)û`q(x)+axû`+bx+c f(x) 를 (x-)û` 으로나누었을때의나머지가 6x+1 이므로ᄀ 에서 axû`+bx+c 를 (x-)û` 으로나누었을때의나머지도 6x+1 이다. 즉, axû`+bx+c=a(x-)û`+6x+1 f(x)=(x-1)(x-)û`q(x)+a(x-)û`+6x+1 한편, `f(x) 를 x-1 로나누었을때의나머지가 6 이므로 f(1)=a+7=6 a=-1 따라서구하는나머지는ᄂ에서 -(x-)û`+6x+1=-xû`+10x- 답 -xû`+10x- 017 xý`ầ =(x-)q(x)+r ᄀ의양변에 x= 를대입하면 R=Ý`ầ Q(x)=a¼+aÁx+aªxÛ`+y+a»xǛ á` Q(x) 의상수항을포함한계수의총합은 Q(1) 이므로ᄀ의양변 에 x=1 을대입하면 1=-Q(1)+Ý`ầ Q(1)=Ý`ầ -1 따라서 Q(x) 의모든계수의총합은 Ý`ầ -1 이다. Ý`ầ x+y+z=, x-y-z=4 를 y, z 에대하여풀면 y=x-, z=-x+5 이것을주어진식에대입하면 ax(x-)+b(x-)(-x+5)+c(-x+5)x=0 (a-6b-c)xû`+(-a+19b+5c)x-15b=0 이등식은 x 에대한항등식이므로 a-6b-c=0, -a+19b+5c=0, -15b=0 세식을연립하여풀면 a=54, b=-, c=40 a+b+c=9 답 9 0. 항등식과나머지정리 0

24 RPM 알피엠 단계 채점요소 배점 두식을 y, z에대하여풀기 0 % 항등식의성질을이용하여식세우기 50 % a+b+c의값구하기 0 % 단계 채점요소 배점 f(-1), f(), f() 의값구하기 40 % R(x) 구하기 40 % R(1) 의값구하기 0 % 0175 f(-)=f(-1)=f(1)= 이므로 f(x) 를 x+, x+1, x-1 로나누었을때의나머지가모두 이다. 즉, f(-)-=0, f(-1)-=0, f(1)-=0 이므로 f(x)- 는 x+, x+1, x-1 로나누어떨어진다. 이때 f(x) 는 xǜ 의계수가 1 인삼차식이므로 f(x)-=(x+)(x+1)(x-1) f(x)=(x+)(x+1)(x-1)+ 따라서 f(x) 를 x+ 으로나누었을때의나머지는 f(-) =(-1) (-) (-4)+=-6 답 -6 단계채점요소배점 f(x)- 가 x+, x+1, x-1 로나누어떨어짐을이해하기 0 % f(x) 구하기 50 % f(x) 를 x+ 으로나누었을때의나머지구하기 0 % 0177 a+b=1 에서 b=1-a aû`x+by+z=a 에ᄀ을대입하면 aû`x+(1-a)y+z=a 이식을 a 에대하여정리하면 xaû`-(y+1)a+y+z=0 이식은 a 에대한항등식이므로 x=0, y+1=0, y+z=0 x=0, y=-1, z=1 x+y+z=0 단계채점요소배점 b=1-a 를주어진식에대입하여 a 에대하여정리하기 50 % x, y, z 의값구하기 0 % x+y+z 의값구하기 0 % 답 f(x) 를 (x-)(x+1) 로나누었을때의몫을 QÁ(x) 라하면 f(x) =(x-)(x+1)qá(x)+4x+6 f(-1) =-4+6=, f()=4_+6=18 f(x) 를 (x-)(x+1) 로나누었을때의몫을 Qª(x) 라하면 f(x)=(x-)(x+1)qª(x)+x+ f()=+=5 한편, f(x) 를 (x-)(x-)(x+1) 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c 는상수 ) 라하면 f(x)=(x-)(x-)(x+1)q(x)+axû`+bx+c f(-1)= 에서 a-b+c= f()=5 에서 4a+b+c=5 f()=18 에서 9a+b+c=18 ᄀ, ᄂ, ᄃ을연립하여풀면 a=, b=-, c=- 따라서 R(x)=xÛ`-x- 이므로 R(1)=--=- yy ᄃ 답 삼차식 f(x) 를 xû`-5x+6 으로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 f(x) =(xû`-5x+6)q(x)+ax+b =(x-)(x-)q(x)+ax+b 한편, 8 f(x+)=f(x)+7xû` ᄂ의양변에 x=0 을대입하면 8 f()=f(0)+0 이때 f(0)=8 이므로 f()=1 ᄂ의양변에 x=1 을대입하면 8 f() =f()+7=8 f()=1 ᄀ의양변에 x= 를대입하면 f()=a+b=1 ᄀ의양변에 x= 을대입하면 f()=a+b=1 ᄃ, ᄅ을연립하여풀면 a=0, b=1 yy ᄃ yy ᄅ 따라서 f(x) 를 xû`-5x+6 으로나누었을때의나머지는 1 이다 à`þ`ú`=(ǜ )Û`Þ`ầ = 8Û`Þ`ầ 8=x 라하면 9=x+1 à`þ`ú` 을 9 로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를 R 라하면 답 1 04 정답과풀이

25 xû`þ`ầ =(x+1)q(x)+r ᄀ의양변에 x=-1 을대입하면 (-1)Û`Þ`ầ =R R= ᄀ의양변에 x=8, R= 를대입하면 8Û`Þ`ầ =9Q(8)+ 따라서 à`þ`ú` 을 9 로나누었을때의나머지는 이다 x+xÛ`+y+xÞ`â`Ú` 을 x-1 로나누었을때의나머지를 R 라하면 1+x+xÛ`+y+xÞ`ầ Ú`=(x-1)Q(x)+R ᄀ의양변에 x=1 을대입하면 50=R 한편, Q(x) 를 x+1 로나누었을때의나머지는 Q(-1) 이므로 ᄀ의양변에 x=-1 을대입하면 y+1-1=-Q(-1)+50 0=-Q(-1)+50 Q(-1)= 다항식 f(x) 를 x+1 로나누었을때의몫을 g(x), g(x) 를 x- 로나누었을때의몫을 h(x) 라하면 f(x)=(x+1)g(x)+5 g(x)=(x-)h(x)-4 h(x)=(x+)-=x-1 이므로 g(x) =(x-)(x-1)-4 =xû`-x- f(x) =(x+1)(xû`-x-)+5 =xǜ -xû`-5x+ 따라서 f(x) 를 x- 으로나누었을때의나머지는 f()= =- 51 답 - 0. 항등식과나머지정리 05

26 RPM 알피엠 0 교과서 인수분해 문제정복하기 Ⅰ. 다항식 018 ⑴ (x-1)a+(x-1)=(x-1)(a+1) ⑵ 1-x-y+xy =1-y-x(1-y)=(1-y)(1-x) ⑶ ac-bd-ad+bc =ac-ad-bd+bc =a(c-d)+b(c-d) =(c-d)(a+b) 답풀이참조 018 ⑴ 4xÛ`+0xy+5yÛ` =(x)û`+ x 5y+(5y)Û` =(x+5y)û` ⑵ 16xÛ`-8xy+yÛ` =(4x)Û`- 4x y+yû` =(4x-y)Û` 0184 ⑴ xû`+8x+1 =xû`+(+6)x+ 6 =(x+)(x+6) 답 ⑴ (x+5y)û` ⑵ (4x-y)Û` ⑵ xû`-x-40 =xû`+(-8+5)x+(-8) 5 =(x-8)(x+5) 답 ⑴ (x+)(x+6) ⑵ (x-8)(x+5) 0185 ⑴ xû`+x-8=(x-4)(x+) ⑵ 6xÛ`+5xy-6yÛ`=(x+y)(x-y) 0186 ⑴ 64xÛ`-9yÛ` =(8x)Û`-(y)Û` =(8x+y)(8x-y) ⑵ 1aÛ`-7bÛ` =(4aÛ`-9bÛ`)={(a)Û`-(b)Û`} ⑶ (x+y)û`-(x-y)û` =(a+b)(a-b) =(x+y+x-y){x+y-(x-y)} =x(x+y) 답풀이참조 답풀이참조 0187 ⑴ aû`+bû`+cû`-ab-bc+ca =aû`+(-b)û`+cû`+ a (-b)+ (-b) c+ c a =(a-b+c)û` ⑵ xû`+yû`+1+(xy+x+y) =xû`+yû`+1û`+ x y+ y 1+ 1 x =(x+y+1)û` 답 ⑴ (a-b+c)û` ⑵ (x+y+1)û` 0188 ⑴ xǜ -8=xǛ -Ǜ =(x-)(xû`+x+4) ⑵ 7xǛ -8yǛ =(x)ǜ -(y)ǜ ` =(x-y){(x)û`+x y+(y)û`} =(x-y)(9xû`+6xy+4yû`) 답풀이참조 0189 ⑴ xǜ -6xÛ`+1x-8 =xǜ - xû` + x Û`-Ǜ =(x-)ǜ ⑵ xǜ +9xÛ`y+7xyÛ`+7yǛ =xǜ + xû` y+ x (y)û`+(y)ǜ =(x+y)ǜ 0190 ⑴ aǜ -bǜ +cǜ +abc =aǜ +(-b)ǜ +cǜ - a (-b) c =(a-b+c)(aû`+bû`+cû`+ab+bc-ca) ⑵ xǜ +yǜ -xy+1 =xǜ +yǜ +1Ǜ - x y 1 =(x+y+1)(xû`+yû`+1-xy-x-y) 답 ⑴ (x-)ǜ ⑵ (x+y)ǜ 0191 ⑴ aý`+aû`+1 =aý`+aû` 1Û`+1Ý` =(aû`+a+1)(aû`-a+1) ⑵ xý`+4xû`yû`+16yý` =xý`+xû` (y)û`+(y)ý`` 답풀이참조 =(xû`+xy+4yû`)(xû`-xy+4yû`) 답풀이참조 019 ⑴ x+1=t 로놓으면 (x+1)û`-(x+1)+ =tû`-t+=(t-1)(t-) ⑵ xû`+5x=t 로놓으면 =(x+1-1)(x+1-) =x(x-1) (xû`+5x+4)(xû`+5x+)-4 =(t+4)(t+)-4=tû`+6t-16=(t+8)(t-) =(xû`+5x+8)(xû`+5x-) ⑶ x+1=x, x-=y 로놓으면 (x+1)û`+(x+1)(x-)-(x-)û` =XÛ`+XY-YÛ`=(X-Y)(X+Y) ={(x+1)-(x-)}(x+1+x-) =(x+5)(x-)=(x+5)(x-1) 019 ⑴ xû`=t 로놓으면 xý`+5xû`-6 =tû`+5t-6 =(t-1)(t+6)=(xû`-1)(xû`+6) =(x+1)(x-1)(xû`+6) 답풀이참조 06 정답과풀이

27 ⑵ xý`+9xû`+5 =(xý`+10xû`+5)-xû =(xû`+5)û`-xû`=(xû`+x+5)(xû`-x+5) 0194 ⑴ 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`+yû`-xy-x+y+ =xû`-(y+)x+yû`+y+ =xû`-(y+)x+(y+1)(y+) ={x-(y+1)}{x-(y+)} =(x-y-1)(x-y-) 답풀이참조 ⑵ 주어진식을차수가가장낮은 x 에대한내림차순으로정리하면 yû`+xy-aû`-ax =(y-a)x+yû`-aû` =(y-a)x+(y+a)(y-a) =(y-a)(x+y+a) 0195 ⑴ f(x)=xǜ -xû`-5x+6 이라하면 f(1)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x-1)(xû`-x-6) =(x-1)(x+)(x-) ⑵ f(x)=xý`-xǜ +xû`+x-6 이라하면 f(-1)=0, f()=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x+1)(x-)(xû`-x+) 유형익히기 0196 xy+yû`-xz-yz =y(x+y)-z(x+y) =(x+y)(y-z) 0197 ⑴ ab-cd-ac+bd =ab-ac-cd+bd =a(b-c)+d(b-c) =(a+d)(b-c) 답풀이참조 답풀이참조 답 ⑵ (x-1)y-(1-x)+(x-1)z =(x-1)y+(x-1)+(x-1)z =(x-1)(y+z+1) 0198 (x-1)û`+(1-x) =(x-1)û`-(x-1) =(x-1)(x-1-) =(x-1)(x-) 따라서 a=-1, b=- 또는 a=-, b=-1 이므로 ab= 0199 (a-b)ǜ -15bǛ =(a-b)ǜ -(5b)Ǜ =(a-b-5b){(a-b)û`+(a-b) 5b+(5b)Û`} =(a-7b)(aû`-4ab+4bû`+5ab-10bû`+5bû`) =(a-7b)(aû`+ab+19bû`) 000 ⑴ xû`-4yû` =xû`-(y)û` =(x+y)(x-y) ⑵ aþ`b-abþ` =ab(aý`-bý`) =ab{(aû`)û`-(bû`)û`} ⑶ (a-b)û`-(c-d)û` =ab(aû`+bû`)(aû`-bû`) =ab(aû`+bû`)(a+b)(a-b) = {(a-b)+(c-d)}{(a-b)-(c-d)} =(a-b+c-d)(a-b-c+d) ⑷ aǜ -8bǛ =aǜ -(b)ǜ ⑸ xǜ +7 =xǜ +Ǜ =(a-b)(aû`+ab+4bû`) =(x+)(xû`-x+9) ⑹ x `-y ` =(xý`)û`-(yý`)û` =(xý`+yý`)(xý`-yý`) =(xý`+yý`){(xû`)û`-(yû`)û`} =(xý`+yý`)(xû`+yû`)(xû`-yû`) =(xý`+yý`)(xû`+yû`)(x+y)(x-y) 001 xß`-yß` =(xǜ )Û`-(yǛ )Û =(xǜ +yǜ )(xǜ -yǜ ) 답풀이참조 답 답풀이참조 =(x+y)(xû`-xy+yû`)(x-y)(xû`+xy+yû`) 따라서인수가아닌것은 이다. 답 0. 인수분해 07

28 RPM 알피엠 00 x-1=x, x-=y 로놓으면 (x-1)û`-(x-1)(x-)-(x-)û` =XÛ`-XY-YÛ`=(X+Y)(X-Y) ={(x-1)+(x-)}{(x-1)-(x-)} =(4x-6) =4(x-) 00 xû`-(a+)x+(a+1)(a+) ={x-(a+1)}{x-(a+)} =(x-a-1)(x-a-) (x-a-1)+(x-a-)=x-a-=x+1 즉, -a-=1 a=- 004 x+y=t 로놓으면 6(x+y)Û`+(x+y)z-zÛ` =6tÛ`+tz-zÛ`=(t-z)(t+z) =(x+y-z)(x+y+z) (x-) 답 1 답 008 aý`+4 =(aý`+4aû`+4)-4aû` =(aû`+)û`-(a)û` 009 ⑴ xû`=t 로놓으면 xý`-5xû`+4 =tû`-5t+4 ⑵ xû`=a, yû`=b 로놓으면 xý`-10xû`yû`+9yý` =(aû`+a+)(aû`-a+) =(t-1)(t-4)=(xû`-1)(xû`-4) =(x+1)(x-1)(x+)(x-) =aû`-10ab+9bû`=(a-b)(a-9b) =(xû`-yû`)(xû`-9yû`) =(x+y)(x-y)(x+y)(x-y) ⑶ xû`=a, yû`=b 로놓으면 xý`-7xû`yû`-4yý` =aû`-7ab-4bû` =(a+b)(a-4b) =(xû`+yû`)(xû`-4yû`) =(xû`+yû`)(x+y)(x-y) 답풀이참조 005 xû`-yû`-x+y =xû`-yû`-(x-y) =(x+y)(x-y)-(x-y) =(x-y)(x+y-1) 010 xý`-6xû`yû`+yý` =(xý`-xû`yû`+yý`)-4xû`yû` =(xû`-yû`)û`-(xy)û` =(xû`+xy-yû`)(xû`-xy-yû`) 답 006 ⑴ xý`-xû`+4x-4 =xý`-(xû`-4x+4) =(xû`)û`-(x-)û` =(xû`+x-)(xû`-x+) ⑵ 1-xÛ`-xy-yÛ` =1-(xÛ`+xy+yÛ`) =(x+)(x-1)(xû`-x+) =1-(x+y)Û` =(1+x+y)(1-x-y) ⑶ aû`b+bû`c-bǜ -aû`c =aû`(b-c)-bû`(b-c) 007 aý`+aû`cû`-bû`cû`-bý` =(aý`-bý`)+cû`(aû`-bû`) =(b-c)(aû`-bû`) =(aû`+bû`)(aû`-bû`)+cû`(aû`-bû`) =(aû`-bû`)(aû`+bû`+cû`) =(a+b)(a-b)(aû`+bû`+cû`) =(b-c)(a+b)(a-b) 답풀이참조 답 (x-1)(x-)(x+)(x+4)+4 ={(x-1)(x+)}{(x-)(x+4)}+4 =(xû`+x-)(xû`+x-1)+4 =(t-)(t-1)+ =tû`-14t+48=(t-6)(t-8) =(xû`+x-6)(xû`+x-8) =(x+)(x-)(xû`+x-8) a+b+c=-7 Û xû`+x=t 01 ⑴ xû`-x=x 로놓으면 (xû`-x+)(xû`-x-4)+5 =(X+)(X-4)+5 =XÛ`-X- =(X-)(X+1) =(xû`-x-)(xû`-x+1) =(x-)(x+1)(x-1)û` ⑵ xû`-x=x 로놓으면 (xû`-x)û`+xû`-4x-15 답 08 정답과풀이

29 =(xû`-x)û`+(xû`-x)-15 =XÛ`+X-15 =(X+5)(X-) =(xû`-x+5)(xû`-x-) =(xû`-x+5)(x-)(x+1) ⑶ (x-1)(x-)(x-)(x-4)+1 ={(x-1)(x-4)}{(x-)(x-)}+1 =(xû`-5x+4)(xû`-5x+6)+1 =(X+4)(X+6)+1 =XÛ`+10X+5=(X+5)Û` =(xû`-5x+5)û` 01 (x+)û`(x-)(x+7)+144 =(xû`+4x+4)(xû`+4x-1)+144 =(X+4)(X-1)+144 Û xû`-5x=x =XÛ`-17X+60=(X-5)(X-1) =(xû`+4x-5)(xû`+4x-1) =(x+5)(x-1)(x+6)(x-) a+b+c+d=8 Û xû`+4x=x 014 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`+xy-yû`+x+5y- =xû`+(y+1)x-(yû`-5y+) =xû`+(y+1)x-(y-1)(y-) ={x+(y-1)}{x-(y-)} =(x+y-1)(x-y+) 015 주어진식을 a 에대한내림차순으로정리하면 axû`+5x-a-ax-10 =(xû`-x-)a+5x-10 =(x-)(x+1)a+5(x-) =(x-){a(x+1)+5} =(x-)(ax+a+5) 016 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`+yû`+5xy+x+y+1 =xû`+(5y+)x+(yû`+y+1) =xû`+(5y+)x+(y+1)(y+1) =(x+y+1)(x+y+1) 따라서 a=1, b=, c= 이므로 a+b+c=5 답풀이참조 답 8 답 017 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`+xy-yû`-4x+1 =xû`+(y-4)x-(yû`-1) =xû`+(y-4)x-(y+1)(y-1) ={x+(y-1)}{x-(y+1)} =(x+y-1)(x-y-1) 018 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 (x+)(x-1)+xy+5y-yû` =(xû`+x-)+xy+5y-yû` =xû`+(y+1)x-yû`+5y- =xû`+(y+1)x-(y-1)(y-) ={x-(y-)}{x+(y-1)} =(x-y+)(x+y-1) 019 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`yû`+xû`y+xyû`+xy+x+y+1 =(yû`+y)xû`+(yû`+y+1)x+y+1 =y(y+1)xû`+(yû`+y+1)x+y+1 ={yx+(y+1)}{(y+1)x+1} =(xy+y+1)(xy+x+1) 00 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`-xy-6yû`+ax+8y- =xû`-(y-a)x-(6yû`-8y+) =xû`-(y-a)x-(yû`-4y+1) =xû`-(y-a)x-(y-1)(y-1) 주어진식이 x, y 에대한일차식의곱으로인수분해되려면 (y-1)-(y-1)=-(y-a) -y-1=-y+a a=-1 답 5 답 1 답 f(x)=xý`-xǜ -xû`+11x-6 이라하면 f(1)=0, f()=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x-1)(x-)(xû`+x-) =(x-1)û`(x-)(x+) 답 5 0. 인수분해 09

30 RPM 알피엠 0 ⑴ f(x)=xǜ -xû`+x-라하면 f ( )=0이므로조립제법을이 용하여인수분해하면 - f(x)=(x-)(xû`-x+1) ⑵ f(x)=xǜ +xû`+x-1이라하면 f{ 1 }=0이므로조립제법을이용하 ;!; 여인수분해하면 f(x) ={x- 1 }(xû`+x+) = 1 (x-1) (xû`+x+1) 04 주어진식의분자를정리하면 ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =aû`b-abû`+bû`c-bcû`+cû`a-caû` =(b-c)aû`-(bû`-cû`)a+bû`c-bcû` =(b-c)aû`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) =(b-c){aû`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) =-(a-b)(b-c)(c-a) ( 주어진식 )= -(a-b)(b-c)(c-a) (a-b)(b-c)(c-a) =-1 답 -1 =(x-1)(xû`+x+1) ⑶ f(x)=xǜ -9xÛ`+7x+6이라하면 f{-;!;}=0이므로조립제법 -;!; 을이용하여인수분해하면 f(x) ={x+ 1 } _(xû`-10x+1) =(x+1)(xû`-5x+6)` =(x+1)(x-)(x-) ⑷ f(x)=xý`+xǜ -4xÛ`-x+라하면 05 [a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b] =aû`(b-c)+bû`(c-a)+cû`(a-b) =(b-c)aû`-(bû`-cû`)a+bc(b-c) =(b-c)aû`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) =(b-c){aû`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) =-(a-b)(b-c)(c-a) 답 1 f(1)=0, f(-1)=0이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x-1)(x+1)(xû`+x-) =(x-1)(x+1)(x-1)(x+) 답풀이참조 06 주어진식을 a 에대한내림차순으로정리하면 a(b+c)û`+b(c+a)û`+c(a+b)û`-4abc =a(bû`+bc+cû`)+b(cû`+ac+aû`)+c(aû`+ab+bû`)-4abc =abû`+abc+acû`+bcû`+abc+aû`b+aû`c+abc+cbû`-4abc =(b+c)aû`+(bû`+bc+cû`)a+bû`c+bcû` =(b+c)aû`+(b+c)û`a+bc(b+c) =(b+c){aû`+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(c+a) 답 (a+b)(b+c)(c+a) 0 f(x)=xǜ -xû`-5x- 라하면 f(-1)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x+1)(xû`-x-)=(x+1)(x+1)(x-) 07 xý`+5xǜ -4xÛ`+5x+1 =xû`{xû`+5x-4+;[%;+ 1 xû` } =xû`{xû`+ 1 xû` +5x+;[%;-4} =xû`[{x+;[!;}`+5{x+;[!;}-6] aû`+bû`+cû`=1û`+1û`+(-)û`=6 답 6 이때 x+;[!;=t 로놓으면 {x+;[!;}`+5{x+;[!;}-6 =tû`+5t-6=(t+6)(t-1) 단계채점요소배점 주어진식인수분해하기 80 % aû`+bû`+cû` 의값구하기 0 % ={x+;[!;+6}{x+;[!;-1} ( 주어진식 ) =xû`{x+;[!;+6}{x+;[!;-1} 00 정답과풀이

31 =x{x+;[!;+6} x{x+;[!;-1} =(xû`+6x+1)(xû`-x+1) 08 xý`+xǜ -8xÛ`+x+1 =xû`{xû`+x-8+;[#;+ 1 xû` } 답 1 f(x) 가 (x+1)û`을인수로가지므로 -a+4=0 a=4 a=4를ᄀ에대입하면 b=4+1=5 ab=4 5=0 답 5 =xû`[xû`+ 1 xû` +{x+;[!;}-8] =xû`[{x+;[!;}`+{x+;[!;}-10] 이때 x+;[!;=t 로놓으면 {x+;[!;}`+{x+;[!;}-10 =tû`+t-10=(t+5)(t-) ={x+;[!;+5}{x+;[!;-} ( 주어진식 ) =xû`{x+;[!;+5}{x+;[!;-} =(xû`+5x+1)(xû`-x+1) =(xû`+5x+1)(x-1)û` 따라서 a=5, b=1, c=1이므로 abc=5 09 A+B =(xý`-xû`-)+(xǜ +xû`+x+) =xý`-xû`-+4xǜ +6xÛ`+4x+4=xÝ`+4xǛ +5xÛ`+4x+1 =xû`{xû`+4x+5+;[$;+ 1 xû` } =xû`[xû`+ 1 xû` +4{x+;[!;}+5] =xû`[{x+;[!;}`+4{x+;[!;}+] =xû`{x+;[!;+1}{x+;[!;+} =(xû`+x+1)(xû`+x+1) 답 5 답 1 00 f(x)=xǜ +axû`+bx+라하면 f(x) 가 (x+1)û`을인수로가지므로 f(-1)=-1+a-b+=0 b=a+1 따라서 f(x)=xü`+axû`+(a+1)x+이므로조립제법을이용하여인수분해하면 -1 1 a a+1 `-1 -a a-1 0 `-1 -a+ 1 a- -a+4 01 f(x)=xǜ +axû`-5x+ 라하면 f(x) 는 x- 를인수로가지므로 f()=4+4a-10+=0 a=-4 따라서 f(x)=xü`-4xû`-5x 이므로조립제법을이용하여인수 분해하면 f(x) =(x-)(xû`+x-1) =(x-)(x+1)(x-1) 따라서 b=-1이므로 a-b=-4-(-1)= 답 - 0 f(x)=xý`+axǜ +bxû`+x-라하면 f(x) 가 x+1, x+를인수로가지므로 f(-1)=1-a+b-1-=0 a-b=- f(-)=16-8a+4b--=0 a-b= ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=5, b=7 따라서 f(x)=xý`+5xü`+7xû`+x-이므로조립제법을이용하 여인수분해하면 f(x)=(x+1)(x+)(xû`+x-1) 따라서 Q(x)=xÛ`+x-1이므로 Q()=Û`+ -1=7 0 00=a로놓으면 00Û`-5Û` 00Ǜ -5Ǜ _ 1997Û` 00Û`+5_00+5Û` = aû`-5û` aǜ -5Ǜ _ (a-5)û` aû`+5a+5û` 답 7 0. 인수분해 01

32 RPM 알피엠 = (a-5)(a+5) _ (a-5)(aû`+5a+5û`) (a-5)û` aû`+5a+5û` = a+5 a-5 _(a-5)=a+5 =00+5= =x로놓으면 97Ǜ +4 97Û` =xǛ +4xÛ`-x-18 이때 f(x)=xü`+4xû`-x-18이 라하면 f()=0이므로조립제법을 1 18 이용하여인수분해하면 f(x) =(x-)(xû`+6x+9) =(x-)(x+)û` =(97-)(97+)Û` =95 100Û`= =x로놓으면 19Ý`+19Û`+1 xý`+xû`+1 = 19Û`-19+1 xû`-x+1 a=-19 = (xû`+x+1)(xû`-x+1) xû`-x+1 =xû`+x+1 =(x+1)û`-x =0Û`-19 답 5 답 -19 =_4+_1+_0+_8 =( ) =_64= =x로놓으면 99Ǜ _101Ǜ (x-1)ǜ (x+1)ǜ = 9998_ (xû`-)xû`+1 = (xû`-1)ǜ xý`-xû`+1 = (xû`-1)ǜ (xû`-1)û` =xû`-1=100û`-1= =x로놓으면 1 5_7+15 =x(x+)(x+4)(x+6)+15 ={x(x+6)}{(x+)(x+4)}+15 =(xû`+6x)(xû`+6x+8)+15 =A(A+8)+15 Û xû`+6x=a =AÛ`+8A+15=(A+)(A+5) =(xû`+6x+)(xû`+6x+5) =(xû`+6x+)(xû`+6x++) =n(n+) n=xû`+6x+=1û`+6_1+=570 답 9999 답 f(1)=0, f(-)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x) =(x-1)(x+)(xû`-x+1) =(x-1)ǜ (x+) f(11) =(11-1)Ǜ (11+) =1000_1= [, 1]+[7, 5]+[11, 9]+[15, 1] =(Û`-1Û`)+(7Û`-5Û`)+(11Û`-9Û`)+(15Û`-1Û`) =(-1)(+1)+(7-5)(7+5)+(11-9)(11+9) 답 +(15-1)(15+1) 유형 UP 040 a+b=-', b+c=-1+', c+a=--'을변변더하면 (a+b+c)=0 a+b+c=0 aǜ +bǜ +cǜ -abc =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca)=0 041 x=+', y=-'에서 x+y=4, x-y=', xy=1 xý`-yxǜ -yǜ x+yý =xǜ (x-y)-yǜ (x-y)=(x-y)(xǜ -yǜ ) =(x-y)(x-y)(xû`+xy+yû`) =(x-y)û`(xû`+xy+yû`) =(x-y)û``{(x+y)û`-xy} =(')Û`(4Û`-1)=180 답 정답과풀이

33 04 (a+b+c)(bc+ca+ab)-abc = abc+caû`+aû`b+bû`c+abc+abû`+bcû`+cû`a+abc-abc =(b+c)aû`+(bû`+bc+cû`)a+bû`c+bcû` =(b+c)aû`+(b+c)û`a+bc(b+c) =(b+c){aû`+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) = 1=6 단계채점요소배점 한문자에대하여내림차순으로정리하기 40 % 주어진식을인수분해하기 40 % 식의값구하기 0 % 04 aǜ +aû`b-acû`+abû`+bǜ -bcû` =-(a+b)cû`+aǜ +aû`b+abû`+bǜ =-(a+b)cû`+aû`(a+b)+bû`(a+b) =(a+b)(-cû`+aû`+bû`)=0 이때 a, b, c 는삼각형의세변의길이이므로 a+b>0 -cû`+aû`+bû`=0 aû`+bû`=cû` 답 6 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가 c 인 직각삼각형이다. 044 bû`-ba-cû`+ca =(c-b)a+bû`-cû` =(c-b)a+(b-c)(b+c) =(c-b)a-(c-b)(b+c) =(c-b){a-(b+c)} =(c-b)(a-b-c)=0 이때 a, b, c 는삼각형의세변의길이이므로 a<b+c 즉, a-b-c+0 이므로 c-b=0 b=c 답 5 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은 b=c 인이등변삼각 형이다. 답 b=c 인이등변삼각형 단계채점요소배점 주어진식인수분해하기 50 % a, b, c 사이의관계식구하기 0 % 삼각형의모양구하기 0 % 045 ab(a+b)-bc(b+c)+ca(a-c) =aû`b+abû`-bû`c-bcû`+caû`-cû`a =(b+c)aû`+(bû`-cû`)a-bû`c-bcû` =(b+c)aû`+(b+c)(b-c)a-bc(b+c) =(b+c){aû`+(b-c)a-bc} =(b+c)(a-c)(a+b)=0 이때 a+b>0, b+c>0 이므로 a-c=0 a=c a=c 를 aû`-ac+cû`=4 에대입하면 aû`-aû`+aû`=4, aû`=4 a=c= ( a>0) aǜ +cǜ =Ǜ +Ǜ =16 시험에꼭나오는문제 xÛ`-6yÛ` =(4x)Û`-(6y)Û` =(4x+6y)(4x-6y) =4(x+y)(x-y) xý`-16 =(xû`)û`-4û`=(xû`+4)(xû`-4) =(xû`+4)(x+)(x-) xǜ +8=(x+)(xÛ`-x+4) 4 xû`-yû`+yz-zû` =xû`-(yû`-yz+zû`) =xû`-(y-z)û` =(x+y-z)(x-y+z) 5 aǜ -aû`c-abû`+bû`c =aû`(a-c)-bû`(a-c) =(a-c)(aû`-bû`) =(a-c)(a+b)(a-b) 047 xá`-yá` =(xǜ )Ǜ -(yǜ )Ǜ =(xǜ -yǜ )(xß`+xǜ yǜ +yß`) 048 xû`+x=x 로놓으면 (xû`+x)û`+xû`+x-6 =XÛ`+X-6 =(X+)(X-) =(x-y)(xû`+xy+yû`)(xß`+xǜ yǜ +yß`) =(xû`+x+)(xû`+x-) =(xû`+x+)(x+)(x-1) 답 16 답 5 0. 인수분해 0

34 RPM 알피엠 049 x(x+1)(x+)(x+)-4 ={x(x+)}{(x+1)(x+)}-4 =(xû`+x)(xû`+x+)-4 xû`+x=t 로놓으면 ( 주어진식 ) =t(t+)-4 =tû`+t-4 =(t-4)(t+6) =(xû`+x-4)(xû`+x+6) =(x-1)(x+4)(xû`+x+6) 050 (x-)û`+(y+)û`-xy-6x+6y+1 =(x-)û`+(y+)û`-(xy+x-y-4) =(x-)û`-{x(y+)-(y+)}+(y+)û =(x-)û`-(x-)(y+)+(y+)û` x-=x, y+=y 로놓으면 ( 주어진식 ) =XÛ`-XY+YÛ` =(X-Y)(X-Y) ={(x-)-(y+)}{(x-)-(y+)} =(x-y-4)(x-y-6) 따라서인수인것은ㄴ, ㄷ이다. 051 xý`+5xû`+9 =xý`+6xû`+9-xû` =(xû`+)û`-xû` =(xû`+x+)(xû`-x+) xý`+xǜ +xû`-9 =xû`(xû`+x+1)-9 =xû`(x+1)û`-9 =(xû`+x)û`-û` =(xû`+x+)(xû`+x-) 따라서두다항식의공통인수는 xû`+x+ 이다. 답 5 답ㄴ, ㄷ 답 05 f(x)=xý`-xû`+x- 라하면 f(1)=0, f(-)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 f(x)=(x-1)(x+)(xû`-x+1) 05 f(x)=xǜ +(a-4)xû`+(-4a)x+a 라하면 f(1)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 답 1 1 a-4-4a a 1 a- -a 1 a- -a 0 f(x) =(x-1){xû`+(a-)x-a} =(x-1)(x-)(x+a) 4 xû`+(a-1)x-a=(x-1)(x+a) 이므로인수이다. 054 xý`+7xû`yû`+16yý` =(xû`)û`+8xû`yû`+(4yû`)û`-xû`yû` =(xû`+4yû`)û`-(xy)û p+q=0 055 xû`+xy-yû`+y- =xû`+yx-(yû`-y+) =xû`+yx-(y-1)(y-) ={x-(y-)}{x+(y-1)} =(x-y+)(x+y-1) 056 xû`+xy+yû`-x-y- =xû`+(y-1)x+yû`-y- =xû`+(y-1)x+(y+1)(y-) =(x+y+1)(x+y-) 따라서두인수의합은 (x+y+1)+(x+y-)=x+y ⑴ xǜ +yǜ +6xy-8 =(x+y)ǜ -xy(x+y)+6xy-8 =(x+y)ǜ -xy(x+y-)-8 =tǜ -xy(t-)-8 =tǜ -8-xy(t-) =(xû`+xy+4yû`)(xû`-xy+4yû`) 답 5 답 답 (x-y+)(x+y-1) Û x+y=t =(t-)(tû`+t+4)-xy(t-) =(t-)(tû`+t+4-xy) =(x+y-){(x+y)û`+(x+y)+4-xy} =(x+y-)(xû`+yû`-xy+x+y+4) ⑵ xý`-xǜ -1xÛ`-x+1 =xû`{xû`-x-1-;[@;+ 1 xû` } =xû`[{xû`+ 1 xû` }-{x+;[!;}-1] =xû`[{x+;[!;} Û`-{x+;[!;}-15] 이때 x+;[!;=t 라하면 답 5 04 정답과풀이

35 {x+;[!;} Û`-{x+;[!;}-15 =tû`-t-15=(t+)(t-5) ={x+;[!;+}{x+;[!;-5} =(x-y){-(x+y)z+(xû`+xy+yû`)} =(x-y){-(x+y)z+(x+y)û`} =(x-y){(x+y)(-z+x+y)} =(x-y)(x+y)(x+y-z) ( 주어진식 ) =xû`{x+;[!;+}{x+;[!;-5} =x{x+;[!;+} x{x+;[!;-5} =(xû`+x+1)(xû`-5x+1) 답 ⑴ (x+y-)(xû`+yû`-xy+x+y+4) 다른풀이 ⑴ xǜ +yǜ +6xy-8 ⑵ (xû`+x+1)(xû`-5x+1) =xǜ +yǜ +(-)Ǜ - x y (-) =(x+y-)(xû`+yû`+4-xy+x+y) =x 로놓으면 11_1_1_ 두정육면체의부피의차가 7 이므로 aǜ -bǜ =7 (a-b)(aû`+ab+bû`)=7 두정육면체의한면의둘레의길이의차가 4 이므로 4a-4b=4 a-b=1 ᄂ을ᄀ에대입하면 aû`+ab+bû`=7 답 7 =x(x+1)(x+)(x+)+1 ={x(x+)}{(x+1)(x+)}+1 =(xû`+x)(xû`+x+)+1 xû`+x=x로놓으면 06 (a+b+c)û`=aû`+bû`+cû`+(ab+bc+ca) 에서 Û`=1+(ab+bc+ca) ab+bc+ca=4 aǜ +bǜ +cǜ -abc=(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) 에서 aǜ +bǜ +cǜ - 1= (1-4) ( 주어진식 ) =X(X+)+1 =XÛ`+X+1=(X+1)Û` =(xû`+x+1)û` aǜ +bǜ +cǜ =-6 답 -6 =(11Û`+_11+1)Û` =155Û` 'Ä11_1_1_14+1="Ã155Û`= g(x)=ax+b (a, b 는상수 ) 라하면 xǜ -xû`+ax+b =(x-a)(x-b)(x-1) 이때 ab=-6 이므로 b=-ab=6 ᄀ의양변에 x=1 을대입하면 1-+a+b=0 a=-5 따라서 g(x)=-5x+6 이므로 g()=-5 +6=-4 답 155 =xǜ -(a+b+1)xû`+(ab+a+b)x-ab 060 xǜ -yǜ +xû`y-xyû`-xû`z+yû`z =(yû`-xû`)z+(xǜ -yǜ )+(xû`y-xyû`) =(y-x)(y+x)z+(x-y)(xû`+xy+yû`)+xy(x-y) =(x-y){-(x+y)z+(xû`+xy+yû`)+xy} 답 aû`+bû`+cû`=(a+b+c)û`-(ab+bc+ca) 에서 8=4Û`-(ab+bc+ca) ab+bc+ca=4 aǜ +bǜ +cǜ abc - aǜ +bǜ +cǜ -abc = abc = (a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) abc = 4 (8-4) = =x, 999=y 로놓으면 ( 분자 )=1001Ǜ -999Ǜ =xǜ -yü ( 분모 ) =999Û`+000_1001 =999Û`+( )_1001 =yû`+(x+y)x =yû`+xy+xû xǜ -yü ( 주어진식 ) = xû`+xy+yû` = (x-y)(xû`+xy+yû`) xû`+xy+yû` =x-y = = 답 8 0. 인수분해 05

36 RPM 알피엠 065 (x-y)ǜ +(y-z)ǜ -(x-z)ǜ =(x-y)ǜ +(y-z)ǜ +(-x+z)ǜ x-y=x, y-z=y, -x+z=z 라하면 ( 주어진식 ) =XǛ +YǛ +ZǛ =(X+Y+Z) _(XÛ`+YÛ`+ZÛ`-XY-YZ-ZX)+XYZ 이때 X+Y+Z=(x-y)+(y-z)+(-x+z)=0 이 므로 ( 주어진식 ) =XYZ =(x-y)(y-z)(z-x) 066 분자의식의값을구하면 7Û`-9Û`+11Û`-1Û`+15Û`-17Û 답, 5 =(7+9)(7-9)+(11+1)(11-1)+(15+17)(15-17) =-(16+4+)=-144 분모의식의값을구하면 11Û`-9Û`+7Û`-5Û`+Û`-1 =(11+9)(11-9)+(7+5)(7-5)+(+1)(-1) =(0+1+4)=7 ( 주어진식 )= =- 답 xý`+axû`+b 가 (x-1)û` 을인수로가지므로조립제법을이용하면 a 0 b 1 1 a+1 a a+1 a+1 a+1+b 1 a+ 1 a+ a+4 a+4=0, a+1+b=0 두식을연립하여풀면 a=-, b=1 xý`-xû`+1 =(x-1)û`(xû`+x+1) =(x-1)û`(x+1)û` 068 (x-y)ǜ +(y-z)ǜ +(z-x)ǜ =xǜ -xû`y+xyû`-yǜ +yǜ -yû`z+yzû`-zǜ =-xû`y+xyû`-yû`z+yzû`-zû`x+zxû` =-{(y-z)xû`-(yû`-zû`)x+(y-z)yz} =-(y-z){xû`-(y+z)x+yz} =-(y-z)(x-y)(x-z) =(x-y)(y-z)(z-x) 답 (x-1)û`(x+1)û` +zǜ -zû`x+zxû`-xǜ 답 (x-y)(y-z)(z-x) 069 xy+z=1 에서 z=1-xy 를주어진식에대입하면 xy-xû`y-xyû`-xyz =xy-xû`y-xyû`-xy(1-xy) =xû`yû`-xû`y-xyû`+xy =xy(xy-x-y+1) =xy(x-1)(y-1) =(1-z)(x-1)(y-1) =(1-x)(1-y)(1-z) 070 [x, y, z]+[y, z, x]+[z, x, y] =xû`+yz+yû`+zx+zû`+xy =xû`+yû`+zû`+xy+yz+zx =(x+y+z)û` 한편, x+y=7, y+z=- 을변변더하면 (x+y+z)=4 ( 주어진식 )=Û`=4 x+y+z= 답 (1-x)(1-y)(1-z) 단계채점요소배점 연산기호의정의에따라간단히하기 50 % x+y+z 의값구하기 0 % 주어진식의값구하기 0 % 071 f(x)=xý`+axǜ +bxû`-4x-4 라하면 f(x) 가 x-1, x+ 를인수로가지므로 f(1)=1+a+b-4-4=0 a+b=7 f(-)=16-8a+4b+8-4=0 a-b=5 ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 a=4, b= 따라서 f(x)=xý`+4xü`+xû`-4x-4 이므로조립제법을이용 하여인수분해하면 f(x)=(x-1)(x+)(xû`+x+) 따라서 Q(x)=xÛ`+x+ 이므로 06 정답과풀이

37 Q(-)=9-9+= 단계채점요소배점 a, b 의값구하기 40 % Q(x) 구하기 40 % Q(-) 의값구하기 0 % 07 (x-)(x-1)(x+)(x+4)+k ={(x-)(x+4)}{(x-1)(x+)}+k =(xû`+x-1)(xû`+x-)+k =(X-1)(X-)+k =XÛ`-14X+4+k =XÛ`-14X k =(X-7)Û`-5+k =(xû`+x-7)û`-5+k Û xû`+x=x 따라서이차식의완전제곱꼴로인수분해되기위해서는 -5+k=0 k=5 5 단계채점요소배점 공통부분이나오도록전개하기 0 % 치환하여완전제곱꼴로나타내기 40 % k 의값구하기 0 % 07 (a-b)cý`-(aǜ -bǜ )cû`+(aý`-bý`)(a+b) =(a-b)cý` -(a-b)(aû`+ab+bû`)cû` =(a-b)cý`-(a-b)(aû`+ab+bû`)cû` +(aû`-bû`)(aû`+bû`)(a+b) +(a+b)û`(a-b)(aû`+bû`) =(a-b){cý`-(aû`+ab+bû`)cû`+(a+b)û`(aû`+bû`)} =(a-b){cû`-(a+b)û`}{cû`-(aû`+bû`)}=0 이때 a, b, c 는삼각형의세변의길이이므로 a+b>c 에서 cû`-(a+b)û`+0 a-b=0 또는 cû`-(aû`+bû`)=0 a=b 또는 cû`=aû`+bû 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은 a=b 인이등변삼각 형또는빗변의길이가 c 인직각삼각형이다. 답 a=b 인이등변삼각형또는빗변의길이가 c 인직각삼각형 단계채점요소배점 c 에대하여내림차순으로정리하기 0 % 주어진식인수분해하기 0 % 삼각형의모양구하기 40 % 074 a+b+c=0 이므로 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b aǜ +bǜ +cǜ -abc =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca)=0 에서 aǜ +bǜ +cǜ =abc a{ 1 b + 1 c }+b{ 1 c + 1 a }+c{ 1 a + 1 b } = a(b+c) bc + b(c+a) + c(a+b) ca ab = aû`(b+c)+bû`(c+a)+cû`(a+b) abc -aǜ -bǜ -cǜ -(aǜ +bǜ +cǜ ) = = abc abc =- abc abc =- 답 주어진식을 x 에대한내림차순으로정리하면 xû`-xy+yû`+ax+y-10 =xû`-(y-a)x+yû`+y-10 =xû`-(y-a)x+(y-)(y+5) 주어진식이 x, y 에대한두일차식의곱으로인수분해되려면 Ú -(y-) `Ú - y+ 1 -(y+5) `Ú -y-10 (+ -y-8=-y+a -y- 8 a=-8 Û -(y+5) `Ú - y-5 1 -(y-) `Ú -y+4 (+ -y-1=-y+a a=-1 -y-1 Ú, Û 에서모든정수 a 의값의합은 -8-1=-9 답 체육관을제외한 A 고등학교의넓이는 (a+x)û`-xy 이고, B 고등학교의넓이는 (a+y)û`-xy 이다. 따라서체육관을제외한두학교의넓이의차는 {(a+x)û`-xy}-{(a+y)û`-xy} =(a+x)û`-(a+y)û` =(a+x+a+y)(a+x-a-y) =(a+x+y)(x-y) 답 (a+x+y)(x-y) 0. 인수분해 07

38 RPM 알피엠 077 aǜ +bǜ +cǜ -abc =(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) =;!;(a+b+c)(aû`+bû`+cû`-ab-bc-ca) =;!;(a+b+c){ (aû`-ab+bû`)+(bû`-bc+cû`) =;!;(a+b+c){(a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`}=0 이때 a, b, c 는삼각형의세변의길이이므로 a+b+c>0 (a-b)û`+(b-c)û`+(c-a)û`=0 +(cû`-ca+aû`)} a=b=c 즉, 주어진삼각형은정삼각형이다. 정삼각형의둘레의길이가 6 이므로 a+b+c=a=6 a= 따라서한변의길이가 인정삼각형의넓이는 ' 4 _Û`=' 답 ' 참고한변의길이가 a인정삼각형의넓이는 ' aû`이다 정답과풀이

39 04 복소수 Ⅱ. 방정식과부등식 ⑸ i Õ=-i ⑹ 4Õ=4 답풀이참조 교과서 문제정복하기 085 (5+i)+(-+6i) =(5-)+(+6)i =+9i 078 ⑴ ' -5='5 i ⑵ 'Ä-16='16 i=4i ⑶ 'Ä-7='7 i=' i ⑷ -'Ä-=-' i=-4' i 답 ⑴ '5 i ⑵ 4i ⑶ ' i ⑷ -4' i 086 (7+i)-(4-i) =(7-4)+(+)i =+5i 답 +9i 답 +5i 079 ⑴ Ñ' -1=Ñi ⑵ Ñ' -8=Ñ'8 i=ñ' i ⑶ Ñ' -6=Ñ'6 i=ñ6i 답 ⑴ Ñi ⑵ Ñ' i ⑶ Ñ6i 087 (+4i)(1-i) =-6i +4i -8i Û` =-i -8 (-1) =11-i 답 11-i 080 a+bi 에서 b=0 이면실수, b+0 이면허수, a=0, b+0 이면순허수이다. ㄷ. '4 i Û`=- ( 실수 : ㄷ, ㅁ, ㅂ, ㅅ { 허수 : ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅇ ㅁ. i Û`= i 1+i = (5-i)(1-i) 5-5i -i +i Û` = (1+i)(1-i) 1-i Û` = -8i =1-4i 답 1-4i 9 순허수 : ㄱ, ㄴ 081 x+(y-1)i =6-i 에서 x=6, y-1=-1 x=, y=0 08 (x+1)+(y-1)i =+i 에서 x+1=, y-1= x=1, y=4 08 x-y+(x+y)i =+i 에서 x-y=, x+y=1 두식을연립하여풀면 x=, y= ⑴ -5+7i Ó=-5-7i ⑵ +i Ó=-i ⑶ 1-i Ó=1+i ⑷ i +Ó=-i 답풀이참조답 x=, y=0 답 x=1, y=4 답 x=, y= xû`+xy-yû` =(+i)û`+(+i)(-i)-(-i)û` =(+4i)+(4+1)-(-4i) =5+8i 답 5+8i 090 ;[!;+;]!; = 1 +i + 1 -i ++i = -i (+i)(-i) = 4 4-i Û` =;5$; 답 ;5$; 091 ⑴ i Û`Þ`=(i Ý`)ß` i =i ⑵ (-i)þ`=-i Þ`=-i Ý` i =-i ⑶ -i à`=-i Ý` i Ǜ =-(-i)=i ⑷ i Ú`ầ ầ +i Û`ầ ầ =(i Ý`)Û`Þ`+(i Ý`)Þ`ầ =1+1= 09 ' - ' -8=' i_'8 i='16 i Û`=-4 09 답 ⑴ i ⑵ -i ⑶ i ⑷ 답 -4 '1 ' - = '1 'i = '1i 'i Û` =-'4 i=-i 답 -i 04. 복소수 09