이책의차례 Contents 과목단원집필자쪽수 수학 Ⅱ 미적분 Ⅰ 집합 차순규 6 명제 차순규 6 함수 이대원 6 유리함수와무리함수 이대원 36 등차수열과등비수열 김민경 46 수열의합 김

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2 이책의차례 Contents 과목단원집필자쪽수 수학 Ⅱ 미적분 Ⅰ 집합 차순규 6 명제 차순규 6 함수 이대원 6 유리함수와무리함수 이대원 36 등차수열과등비수열 김민경 46 수열의합 김민경 58 수학적귀납법 김민경 68 지수 차순규 78 로그 이대원 88 수열의극한 이병하 00 급수 이병하 함수의극한 김의석 함수의연속 이병하 34 미분계수와도함수 김상철 44 도함수의활용 김의석 54 부정적분과정적분 김상철 70 정적분의활용 김상철 80 EBSi( 로들어오셔서회원으로등록하세요. 본교재는 EBS 인터넷방송을통해학습할수있습니다. (VOD 무료서비스실시 ) 교재및강의내용에관한문의는 EBSi( 의학습 Q&A 서비스를활용하시기바랍니다.

3 이책의구성과특징 Structure 수학영역 0 집합. 집합과원소 ⑴ 집합 : 어떤기준에의해그대상을명확히구분할수있는것들의모임 ⑵ 원소 : 집합을이루고있는대상하나하나. 집합과원소의관계 ⑴ a 가집합 A 의원소일때, 이것을기호로 a<a 와같이나타내고 a 는집합 A 에속한다고한다. ⑵ a 가집합 A 의원소가아닐때, 이것을기호로 a²a 와같이나타내고 a 는집합 A 에속하지않 개념정리 교과서의핵심내용을체계적으로정리하였다. 3. 집합을나타내는방법 ⑴ 원소를나열하여나타내는방법 : 집합에속하는모든원소를 { } 안에나열하여나타낸다. ⑵ 조건을제시하여나타내는방법 : 원소들의공통된성질을조건으로제시하여나타낸다. ⑶ 벤다이어그램을이용하여나타내는방법 : 집합을그림을이용하여나타낸다. 예제 & 예제는개념을적용한대표문항으로문제를해결하는데필요한주요개념을풀이전략으로제시하여풀이과정의이해를돕도록하였고, 는예제와유사한내용의문제나일반화된문제를제시하여학습내용과문제에대한연관성을익히도록구성하였다. 예제 집합의포함관계실수전체의집합의두부분집합 A={x xû`-(a-)x+a-6=0}, B={a+, 0, aû`-7} 에대하여 A,B를만족시키는실수 a의값을구하시오. 풀이전략집합 A에서구한이차방정식의해를 { } 안에나열하여나타내고, 주어진포함관계가성립하도록실수 a의값을풀이집합 A에서 xû`-(a-)x+a-6=0, 즉 {x-(a-3)}(x-)=0의해는 x=a-3 또는 x= 따라서 A={a-3, } A,B를만족시키려면 <A에서 <B이어야하므로 a+= 또는 aû`-7= 즉, a=0 또는 a=ñ3 Ú a=0일때, 두집합 A, B는 A={-3, }, B={-7, 0, } 이므로 AøB Û a=3일때, 두집합 A, B는 A={0, }, B={0,, 5} 이므로 A,B Ü a=-3일때, 두집합 A, B는 A={-6, }, B={-, 0, } 이므로 AøB Level 기초연습 [ ] [ ] [ ] 3 전체집합 U={,, 3, 4, 5} 의부분집합 A={, 3} 에대하여 A;(A` 'B)={3} 을만족시분집합 B의개수를구하시오. 두집합 A={x, x+4, x- }, B={,, xû`-} 에대하여 A;B={, 3} 일때, 집합 A'B의모든원소의합은? ( 단, x는실수이다.) 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 (A'B)-B= 정 Level -Level -Level 3 Level 기초연습은기초개념의인지정도를확인할수있는문항을제시하였으며, Level 기본연습은기본응용문항을, 그리고 Level 3 실력완성은수학적사고력과문제해결능력을함양할수있는문항을제시하여대학수학능력시험실전에대비할수있도록구성하였다. 대표기출문제 대학수학능력시험과모의평가기출문항으로구성하였으며기존출제유형을파악할수있도록출제경향과출제의도를제시하였다. 대표기출문제 집합의연산과연산법칙을이용한집합사이의포함관계, 부분집합의개수, 집합의원소의개수등을구하는출제제된다. 집합과관련된문제를해결할때에차집합과여집합의성질이나드모르간의법칙이자주사용되고, 특경향산법칙이나벤다이어그램을활용하면해결이편리한경우가많으므로이와관련된문제를충분히연습해두세집합 A, B, C에대하여 n(a)=4, n(b)=6, n(c)=9, n(a;b)=0, n(a;b;c)=5 일때, n(c-(a'b)) 의최솟값을구하시오. [3점] 004학 벤다이어그램에각집합의원소의개수를나타내고집합의원소의개수를추론할수있는지를묻는문 풀이전체집합을 U, n((a;c)-b)=x, n((b;c)-a)=y라하자. n(a)=4, n(b)=6, n(c)=9, n(a;b)=0, n(a;b;c)=5 문항별해설강의검색안내 EBS에서제공하고있는해설강의를문항코드로빠르게확인할수있는검색서비스입니다. 문항코드서비스와본교재의프로그램은 EBSi PC / 모바일사이트및 APP에서더자세한내용을확인할수있습니다. 교재에서문항별고유코드를교재에서확인하세요. PC/ 스마트폰에서문항코드를검색창에입력하세요. 강의화면에서해설강의를수강합니다. Ü a-3=aû`-7 인경우는 AøB [ ] 두집합 A={, a+, a-}, B={, 3, aû`-4a+} 이 A=B를만족시킬때, 집합 A의모든원소의합은 [ ]

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5 수능특강수학영역수학 Ⅱ 0 집합 0 명제 03 함수 04 유리함수와무리함수 05 등차수열과등비수열 06 수열의합 07 수학적귀납법 08 지수 09 로그

6 0 수학영역집합. 집합과원소 ⑴ 집합 : 어떤기준에의해그대상을명확히구분할수있는것들의모임 ⑵ 원소 : 집합을이루고있는대상하나하나. 집합과원소의관계 ⑴ a가집합 A의원소일때, 이것을기호로 a<a와같이나타내고 a는집합 A에속한다고한다. ⑵ a가집합 A의원소가아닐때, 이것을기호로 a²a와같이나타내고 a는집합 A에속하지않는다고한다. 3. 집합을나타내는방법 ⑴ 원소를나열하여나타내는방법 : 집합에속하는모든원소를 { } 안에나열하여나타낸다. ⑵ 조건을제시하여나타내는방법 : 원소들의공통된성질을조건으로제시하여나타낸다. ⑶ 벤다이어그램을이용하여나타내는방법 : 집합을그림을이용하여나타낸다. 예 6의양의약수의모임 은그대상이,, 3, 6으로분명하므로집합이다. 이집합을 A라하면 A={,, 3, 6}, A={x x는 6의양의약수 } 와같은방법으로나타낼수있고, 벤다이어그램을이용하여나타내면오른쪽그림과같다. 4. 집합의원소의개수 ⑴ 원소가유한개인집합을유한집합이라하고, 원소가무수히많은집합을무한집합이라고한다. 한편, 원소가하나도없는집합을공집합이라하고, 이것을기호로 과같이나타낸다. 이때공집합은유한집합으로정한다. ⑵ 집합 A가유한집합일때, 집합 A의원소의개수를기호로 n(a) 와같이나타낸다. 특히 n( )=0이다. 5. 집합의포함관계 ⑴ 부분집합 : 집합 A의모든원소가집합 B의원소일때, 즉집합 A의임의의원소 a에대하여 a<b일때, 집합 A는집합 B의부분집합이라하고이것을기호로 A,B와같이나타낸다. 또한집합 A가집합 B의부분집합이아닐때, 이것을기호로 AøB와같이나타낸다. 이때부분집합의성질은다음과같다.,A, A,A A,B, B,C이면 A,C ⑵ 서로같은집합 :A,B이고 B,A일때, 두집합 A, B는서로같다고하고이것을기호로 A=B와같이나타낸다. ⑶ 진부분집합 :A,B이고 A+B일때, 집합 A를집합 B의진부분집합이라고한다. 6 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

7 예제 집합의포함관계 실수전체의집합의두부분집합 A={x xû`-(a-)x+a-6=0}, B={a+, 0, aû`-7} 에대하여 A,B 를만족시키는실수 a 의값을구하시오. 풀이전략집합 A 에서구한이차방정식의해를 { } 안에나열하여나타내고, 주어진포함관계가성립하도록실수 a 의값을정한다. 풀이 다른풀이 집합 A에서 xû`-(a-)x+a-6=0, 즉 {x-(a-3)}(x-)=0의해는 x=a-3 또는 x= 따라서 A={a-3, } A,B를만족시키려면 <A에서 <B이어야하므로 a+= 또는 aû`-7= 즉, a=0 또는 a=ñ3 Ú a=0일때, 두집합 A, B는 A={-3, }, B={-7, 0, } 이므로 AøB Û a=3일때, 두집합 A, B는 A={0, }, B={0,, 5} 이므로 A,B Ü a=-3일때, 두집합 A, B는 A={-6, }, B={-, 0, } 이므로 AøB Ú, Û, Ü에의하여 A,B를만족시키는실수 a의값은 3이다. A의원소 a-3이 B의원소가되어야하므로 Ú a-3=a+인경우는성립하지않는다. Û a-3=0일때, a=3이고 A,B를만족시킨다. Ü a-3=aû`-7인경우는 AøB 3 정답과풀이 6 쪽 [ ] 두집합 A={, a+, a-}, B={, 3, aû`-4a+} 이 A=B를만족시킬때, 집합 A의모든원소의합은? ( 단, a는실수이다.) [ ] 세집합 A={-5, -3, -, } B={x x는 xû`-3x-4é0을만족시키는정수 } C={x x는 x- <k`(k는양의정수 ) 를만족시키는정수 } 에대하여 A,C, B,C를만족시키는양의정수 k의최솟값을구하시오. 0 집합 7

8 수학영역 0 집합 6. 부분집합의개수집합 A={aÁ, aª, a, y, aç} 에대하여 ⑴ 집합 A의부분집합의개수 :Ç` ⑵ 집합 A의진부분집합의개수 :Ç`- ⑶ k개의특정한원소를포함하는 ( 포함하지않는 ) 집합 A의부분집합의개수 :Ç` Ñû` ( 단, ÉkÉn) ⑷ k개의특정한원소중적어도한개를포함하는집합 A의부분집합의개수 :Ç`-Ç` Ñû` ( 단, ÉkÉn) 7. 집합의연산 ⑴ 합집합 :A'B={x x<a 또는 x<b} ⑵ 교집합 :A;B={x x<a 그리고 x<b} 특히 A;B= 일때, 두집합 A와 B는서로소라고한다. 예 A={, }, B={3, 4} 이면 A;B= 이므로두집합 A와 B는서로소이다. ⑶ 차집합 :A-B={x x<a 그리고 x²b} ⑷ 여집합 :A` ={x x<u 그리고 x²a}=u-a ( 단, U는전체집합 ) 참고어떤집합에대하여그부분집합을생각할때, 처음에주어진집합을전체집합이라하고, 이것을기호로 U와같이나타낸다. 참고합집합, 교집합, 차집합, 여집합을벤다이어그램으로나타내면다음그림과같다. 예전체집합 U={,, 3, 4, 5} 의두부분집합 A={, }, B={, 3} 에대하여 A'B={,, 3}, A;B={}, A-B={}, A` ={3, 4, 5} 8. 집합의연산에대한성질전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 ⑴ A'A=A, A;A=A ⑵ A' =A, A; = ⑶ A'U=U, A;U=A ⑷ U` =, ` =U ⑸ A'A` =U, A;A` = ⑹ (A`)` =A ⑺ A-B=A;B` =A-(A;B)=(A'B)-B 8 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

9 예제 집합의연산 두집합 A={, 3, aû`+}, B={a+, a+, a+3, a+4} 에대하여 A;B={3, 6} 을만족시키는실수 a의값은? 풀이전략 A;B,A 임을이용하여실수 a 의값을추론한다. 풀이 A;B,A이므로 {3, 6},{, 3, aû`+} 이때 aû`+=6이므로 a=- 또는 a= Ú a=-일때 A={, 3, 6}, B={-, 0,, } 이때 A;B={} 이므로조건을만족시키지않는다. Û a=일때 A={, 3, 6}, B={3, 4, 5, 6} 이때 A;B={3, 6} 이므로조건을만족시킨다. Ú, Û에의하여실수 a의값은 이다. 3 다른풀이 A;B 의두원소의차는 3 이고 B 의원소에서차가 3 인두원소는 a+ 과 a+4 이다. 따라서 a+=3 이므로 a= 정답과풀이 6 쪽 [ ] 3 자연수전체의집합의두부분집합 A={, 4, 6}, B={x x는 0의양의약수 } 에대하여 A;X=, X,B 를만족시키는집합 X의개수는? [ ] 4 전체집합 U={x x는 0보다작은자연수 } 의두부분집합 A, B에대하여 A={x x는 6의양의약수 }, (A'B);(A;B)` ={3, 4, 5, 6, 7} 일때, 집합 B의모든원소의합은? 집합 9

10 수학영역 0 집합 9. 집합의연산법칙세집합 A, B, C에대하여 ⑴ 교환법칙 :A'B=B'A, A;B=B;A ⑵ 결합법칙 :(A'B)'C=A'(B'C), (A;B);C=A;(B;C) ⑶ 분배법칙 : A'(B;C)=(A'B);(A'C), A;(B'C)=(A;B)'(A;C) 참고 A'(A;B)=A, A;(A'B)=A 0. 드모르간의법칙전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 ⑴ (A'B)` =A` ;B` ⑵ (A;B)` =A` 'B` 참고전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 (A'B)` =A` ;B` 이성립함을다음그림과같이벤다이어그램을이용하여확인할수있다.. 합집합과교집합의원소의개수 두유한집합 A, B에대하여 n(a'b)=n(a)+n(b)-n(a;b) 특히두집합 A, B가서로소이면 n(a;b)=0이므로 n(a'b)=n(a)+n(b) 참고원소가유한개인전체집합 U와 U의세부분집합 A, B, C에대하여 n(a` )=n(u)-n(a) n((a'b)` )=n(u)-n(a'b) n(a-b) =n(a)-n(a;b) =n(a'b)-n(b) 특히 B,A이면 n(a-b)=n(a)-n(b) 3 n(a'b'c)=n(a)+n(b)+n(c)-n(a;b)-n(b;c)-n(c;a)+n(a;b;c) 0 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

11 예제 3 집합의연산법칙과집합의원소의개수 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 n(u)=30, n(a)=8, n(b-a)=8 일때, n(a` ;B`) 의값은? 풀이전략 A'(B-A)=A'B, A` ;B` =(A'B)` 임을이용한다. 풀이 A'(B-A)=A'B이고 A;(B-A)= 이므로 n(a'b) =n(a)+n(b-a) =8+8=6 따라서 n(a` ;B`) =n((a'b)` ) =n(u)-n(a'b) =30-6=4 정답과풀이 6 쪽 [ ] 5 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 (A-B)'(A;B)'B=B 일때, 다음중항상옳은것은? A=B B,A 3 A,B 4 A'B=U 5 A;B` =A [ ] 6 전체집합 U={,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 의두부분집합 A, B에대하여 A={, 3, 5}, B={3, 4, 5, 6, 7} 일때, 집합 (A'B);(A'B`)` 은? {3, 5} 3 {,, 8} 4 {, 3, 5} 5 {4, 6, 7} 0 집합

12 Level 기초연습 정답과풀이 7 쪽 [ ] 전체집합 U={,, 3, 4, 5} 의부분집합 A={, 3} 에대하여 A;(A` 'B)={3} 을만족시키는 U의부분집합 B의개수를구하시오. [ ] 두집합 A={x, x+4, x- }, B={,, xû`-} 에대하여 A;B={, 3} 일때, 집합 A'B의모든원소의합은? ( 단, x는실수이다.) [ ] 3 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 (A'B)-B= 일때, 다음중항상옳은것은? B= B,A 3 A;B= 4 A;B=A 5 A'B` =U [ ] 4 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 (A;B)'(A-B)'(B-A) 와항상같은집합은? A A;B 3 A'B 4 A-B 5 B-A [ ] 5 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 n(u)=30, n(a-b)=7 일때, n(a` 'B) 의값은? EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

13 Level 기본연습 정답과풀이 7 쪽 [ ] 전체집합 U={,, 3, y, 0} 에대하여다음조건을만족시키는 U의부분집합 A의개수를구하시오. 집합 A의원소의최솟값은 이다. 집합 A의원소의최댓값은 8이다. [ ] 실수전체의집합의두부분집합 A={x 3x+5>-x}, B={x xû`+ax+bé0} 에대하여 A'B={x x¾-}, A;B={x -<xé6} 일때, a+b의값은? ( 단, a, b는상수이다.) [ ] 그림은전체집합 U의서로다른세부분집합 A, B, C 사이의관계를벤다이어그램 3 으로나타낸것이다. 다음중색칠한부분이나타내는집합과항상같은것은? A'(B;C) A;B` ;C` 3 A;(B` 'C` ) 4 (A-B)'(A;C) 5 (A-B)'(B;C` ) [ ] 4 어떤동아리의 40명의대학생들을대상으로 인문과예술, 사회와세계, 과학과기술 세개의교양과목의수강여부를조사한결과는다음과같다. 인문과예술 과목을수강한학생이 5명, 사회와세계 과목을수강한학생이 3명, 과학과기술 과목을수강한학생이 8명이다. 인문과예술, 사회와세계 두과목을모두수강한학생이 9명이다. 인문과예술, 과학과기술 중적어도한과목을수강한학생이 8명이다. 사회와세계, 과학과기술 두과목을모두수강한학생은없다. 인문과예술, 사회와세계, 과학과기술 세개의교양과목중한과목도수강하지않은학생수는? 집합 3

14 Level 3 실력완성 정답과풀이 8 쪽 [ ] 전체집합 U={,, 3, 4, 5, 6} 에대하여다음조건을만족시키는 U 의부분집합 A 의개수는? {,, 3};A+ {4, 5};A= [ ] 세집합 A, B, C에대하여 (A'B);C=A'(B;C) 일때, 다음중항상옳은것은? A;B=A A'B=A 3 A,C 4 B,C 5 B;C=C [ ] 3 어느고등학교 학년학생전체를대상으로스포츠관련동아리신청자와학술관련동아리신청자를조사하였다. 그결과스포츠관련동아리와학술관련동아리를신청한학생은각각 학년전체학생의 ;5#;, ;3!; 이었고, 스포츠관련동아리와학술관련동아리를모두신청한학생은 학년전체학생의 ;4!; 이었다. 스포츠관련동아리와학술관련동아리중어느동아리도신청하지않은학생이 38명일때, 이고등학교 학년학생중학술관련동아리를신청한학생의수는? [ ] 4 전체집합 U={x x는 0 이하의자연수 } 의부분집합 X에대하여 X+ 일때 f(x) 를 X에속하는모든원소의합이라하고, X= 일때 f( )=0이라하자. U의두부분집합 A={,, 3}, B={,, 3, 4} 에대하여다음조건을만족시키는 U의부분집합 C의개수는? f(c-a)>f(a-c) f(b-c)>f(c-b) A;C EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

15 대표기출문제 출제경향 집합의연산과연산법칙을이용한집합사이의포함관계, 부분집합의개수, 집합의원소의개수등을구하는문제들이출제된다. 집합과관련된문제를해결할때에차집합과여집합의성질이나드모르간의법칙이자주사용되고, 특히집합의연산법칙이나벤다이어그램을활용하면해결이편리한경우가많으므로이와관련된문제를충분히연습해두도록한다. 세집합 A, B, C에대하여 n(a)=4, n(b)=6, n(c)=9, n(a;b)=0, n(a;b;c)=5 일때, n(c-(a'b)) 의최솟값을구하시오. [3점] 004 학년도대수능 벤다이어그램에각집합의원소의개수를나타내고집합의원소의개수를추론할수있는지를묻는문제이다. 풀이전체집합을 U, n((a;c)-b)=x, n((b;c)-a)=y라하자. n(a)=4, n(b)=6, n(c)=9, n(a;b)=0, n(a;b;c)=5 이므로벤다이어그램에각영역이나타내는집합의원소의개수를나타내면다음그림과같다. 한편, 4-x¾0, 6-y¾0에서 xé4, yé6이므로 x+yé0 따라서 n(c-(a'b)) =4-(x+y) ¾4-0=4 이므로 n(c-(a'b)) 의최솟값은 4이다. 4 0 집합 5

16 0 수학영역명제. 명제와조건 ⑴ 명제 : 참, 거짓을명확히판별할수있는문장이나식 ⑵ 조건 : 미지수를포함하는문장이나식이미지수의값에따라참, 거짓이결정될때, 그문장이나식을조건이라하고흔히 p, q, y으로나타낸다. ⑶ 진리집합 : 전체집합 U의원소중에서조건 p를참이되게하는모든원소들의집합을조건 p의진리집합이라고한다. 예 3은 의약수이다. 참인명제 5는 0보다큰수이다. 거짓인명제 3 한라산은높다. 명제가아니다. 4 전체집합 U={,, 3, 4, 5} 에서조건 p(x)`:`x는홀수이다. 는 x= 또는 x=3 또는 x=5이면참이고 x= 또는 x=4이면거짓이다. 따라서조건 p(x) 의진리집합을 P라할때, P={, 3, 5} 이다.. 명제와조건의부정 ⑴ 명제나조건 p에대하여 p가아니다. 를명제나조건 p의부정이라하고, 기호로 ~p와같이나타낸다. ⑵ 명제 p가참이면 ~p는거짓이되고명제 p가거짓이면 ~p는참이된다. 또 ~p의부정 ~(~p) 는 p이다. ⑶ 조건 p의진리집합이 P이면 ~p의진리집합은 P` 이다. 참고두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라하면 조건 p 또는 q 의진리집합은 P'Q이고, 이조건의부정은 ~p이고 ~q 이다. 조건 p이고 q 의진리집합은 P;Q이고, 이조건의부정은 ~p 또는 ~q 이다. 3. 명제 p`úq 의참, 거짓 ⑴ 두조건 p, q에대하여 p이면 q이다. 의꼴로되어있는명제를기호로 p Úq와같이나타낸다. 이때조건 p를가정, 조건 q를결론이라고한다. ⑵ 명제 p Úq에대하여두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라할때 명제 p Úq가참이면 P,Q이다. 역으로 P,Q이면명제 p Úq가참이다. 명제 p Úq가거짓이면 PøQ이다. 역으로 PøQ이면명제 p Úq가거짓이다. 참고명제가거짓임을보이는예를반례라고한다. 가정 p Úq 결론 6 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

17 예제 명제의참, 거짓 다음중참인명제는? ( 단, x, y는실수이다.) xû`=이면 x= xy>0이면 x+y>0 3 x- <이면 xû`<4 4 x<이면 x< 5 xû`+yû`é이면 x + y É 풀이 전략 명제 p Úq의참, 거짓은두조건의진리집합의포함관계를이용하여판단한다. 명제가거짓임을보이려면반례를보여주면된다. 풀이 [ 반례 ] x=-일때, xû`=이지만 x+ ( 거짓 ) [ 반례 ] x=-, y=-일때, xy=>0이지만 x+y=-3<0 ( 거짓 ) 3 주어진명제의가정을 p, 결론을 q라하고각각의진리집합을 P, Q라하면 p`:` x- <, q`:`xû`<4 x- <에서 -<x-<, 즉 0<x<이므로 P={x 0<x<} xû`<4에서 xû`-4<0, (x+)(x-)<0, 즉 -<x<이므로 Q={x -<x<} 따라서 P,Q이므로주어진명제는참이다. ( 참 ) 4 [ 반례 ] x=;#; 일때, x<이지만 x> ( 거짓 ) 5 [ 반례 ] x=y= ' ' 일때, xû`+yû`=;!;+;!;é이지만 x + y = + ' 따라서참인명제는 3 이다. ='> ( 거짓 ) 3 정답과풀이 쪽 [ ] 전체집합 U={x x는 0 이하의자연수 } 에서두조건 p, q가다음과같다. p`:`x는 8의양의약수이다. q`:`x는 의배수이다. 명제 p Úq가거짓임을보이는반례가될수있는집합 U의원소의최댓값과최솟값의합은? [ ] 실수 x 에대하여두조건 p, q 가다음과같을때, 다음중참인명제는? p`:`x-¾7 q`:` x- <3 p Úq q Úp 3 q Ú ~p 4 ~p Úq 5 ~q Úp 0 명제 7

18 수학영역 0 명제 4. 모든 또는 어떤 이들어있는명제 ⑴ 전체집합 U에대하여조건 p의진리집합을 P라할때 P=U이면 모든 x에대하여 p이다. 는참이고, P+U이면 모든 x에대하여 p이다. 는거짓이다. P+ 이면 어떤 x에대하여 p이다. 는참이고, P= 이면 어떤 x에대하여 p이다. 는거짓이다. ⑵ 조건 p에대하여 명제 모든 x에대하여 p(x) 이다. 의부정 어떤 x에대하여 ~p(x) 이다. 명제 어떤 x에대하여 p(x) 이다. 의부정 모든 x에대하여 ~p(x) 이다. 5. 정의, 증명, 정리 ⑴ 정의 : 용어의뜻을명확하게정한것을그용어의정의라고한다. ⑵ 증명 : 이미알려진사실이나성질을이용하여어떤명제가참임을논리적으로밝히는것을증명이라고한다. ⑶ 정리 : 참임이증명된명제중에서기본이되는것이나다른명제를증명할때이용할수있는것을정리라고한다. 6. 명제의역과대우 ⑴ 역 : 명제 p Úq에서가정과결론을서로바꾸어놓은명제 q Úp를명제 p Úq의역이라고한다. ⑵ 대우 : 명제 p Úq에서가정과결론을각각부정하여서로바꾸어놓은명제 ~q Ú ~p를명제 p Úq의대우라고한다. ⑶ 명제와그대우의참, 거짓 명제 p Úq가참이면그대우 ~q Ú ~p도참이다. 명제 p Úq가거짓이면그대우 ~q Ú ~p도거짓이다. 7. 명제의증명 ⑴ 대우를이용한증명 : 명제 p Úq가참임을보일때, 그대우 ~q Ú ~p가참임을보이면된다. ⑵ 귀류법 : 어떤명제가참임을증명할때, 명제또는명제의결론을부정한다음모순이생기는것을보여서원래명제가참임을보이는증명방법을귀류법이라고한다. 예 '가무리수임을증명해보자. '를유리수라고가정하면 '= n `(m과 n은서로소인자연수 ) 와같이나타낼수있다. m 이식의양변을제곱하여정리하면 mû`=nû` yy`ᄀ이때 nû`은 의배수이므로 n도 의배수이다. 따라서 n=k`(k는자연수 ) 로놓고ᄀ에대입하여정리하면 mû`=kû` 여기서 mû`이 의배수이므로 m도 의배수가되어 m과 n이서로소라는가정에모순이다. 따라서 '는유리수가아니고무리수이다. ⑶ 삼단논법 : 세조건 p, q, r에대하여명제 p Úq가참이고명제 q Úr가참이면명제 p Úr는참이다. 8 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

19 예제 명제의역과대우 세조건 p, q, r에대하여명제 p Úq와명제 q Ú ~r가모두참일때, 다음중반드시참이라고할수없는명제 는? p Ú ~r ~q Ú ~p 3 r Ú ~q 4 ~p Úr 5 r Ú ~p 풀이 전략 ⑴ 명제 p Úq가참이면그대우 ~q Ú ~p도참이다. ⑵ 명제 p Úq가참이고명제 q Úr가참이면명제 p Úr도참이다. 풀이 명제 p Úq와명제 q Ú ~r가참이므로삼단논법에의하여명제 p Ú ~r도참이다. 명제 p Úq가참이면그대우 ~q Ú ~p도참이다. 3 명제 q Ú ~r가참이면그대우 r Ú ~q도참이다. 4 전체집합 U의두부분집합 P, R가각각두조건 p, r의진리집합일때, 명제 p Ú ~r가참이면 P,R` 이므로 P`,R가항상성립하는것은아니다. 따라서명제 ~p Úr가반드시참인것은아니다. 5 에서명제 p Ú ~r가참이므로그대우 r Ú ~p도참이다. 따라서반드시참이라고할수없는명제는 4이다. 4 정답과풀이 쪽 [ ] 3 다음보기에서참인명제만을있는대로고른것은? 보기ㄱ. 어떤실수 x에대하여 xû`< ㄴ. 어떤자연수 x에대하여 xû`-5x+6<0 ㄷ. 모든자연수 x에대하여 xû`-7x+¾0 ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ [ ] 4 실수 x에대하여두조건 p, q가다음과같다. p`:`xû`+ax++0, q`:`x-+0 명제 p Úq가참이되도록하는상수 a의값은? 명제 9

20 수학영역 0 명제 8. 필요조건과충분조건 ⑴ 명제 p Úq가참일때, 이것을기호로 p`jjk`q와같이나타내고 p는 q이기위한충분조건, q는 p이기위한필요조건이라고한다. ⑵ 명제 p Úq에대하여 p`jjk`q이고 q`jjk`p일때, 이것을기호로 p`hjk`q와같이나타내고 p는 q이기위한필요충분조건이라고한다. 이때 q도 p이기위한필요충분조건이다. 참고두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라할때, P,Q이면 p`jjk`q이므로 p는 q이기위한충분조건이고, q는 p이기위한필요조건이다. 특히 P=Q이면 p`hjjk`q이므로 p는 q이기위한필요충분조건이다. 9. 절대부등식 ⑴ 절대부등식 : 주어진집합의임의의원소에대하여항상성립하는부등식을절대부등식이라고한다. ⑵ 실수의성질 :a, b 가실수일때 a>b`hjk`a-b>0 3 aû`+bû`=0`hjk`a=b=0 5 a>0, b>0 일때, a>b`hjk`aû`>bû` ⑶ 여러가지절대부등식 aû`¾0, aû`+bû`¾0 4 a Û`=aÛ`, ab = a b 두실수 a, b 에대하여 aû`-ab+bû`¾0 ( 단, 등호는 a=b=0 일때성립한다.) 산술평균과기하평균의관계 a>0, b>0일때, a+b ¾'ab ( 단, 등호는 a=b일때성립한다.) 3 두실수 a, b 에대하여 a + b ¾ a+b ( 단, 등호는 ab¾0 일때성립한다.) 증명 a>0, b>0 이므로 'ab='a'b a+b 따라서 a+b ¾'ab -'ab= ('a)û`-'a'b+('b)û` 여기서등호는 'a='b, 즉 a=b 일때성립한다. 3 a + b ¾0, a+b ¾0 이므로 = ('a-'b)û` ¾0 ( a + b )Û`- a+b Û` = a Û`+ a b + b Û`-(a+b)Û` 그런데 ab ¾ab 이므로 ( ab -ab)¾0 =aû`+ ab +bû`-aû`-ab-bû`=( ab -ab) 즉, ( a + b )Û`- a+b Û`¾0 에서 ( a + b )Û`¾ a+b Û` 이므로 a + b ¾ a+b 여기서등호는 ab =ab, 즉 ab¾0 일때성립한다. 0 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

21 예제 3 필요조건과충분조건 두조건 p, q 에대하여 p 가 q 이기위한충분조건이지만필요조건이아닌것만을보기에서있는대로고른것은? 보기 ( 단, x, y, z 는실수이다.) ㄱ. p`:`(x-y)(y-z)=0 ㄴ. p`:`xû`+yû`=0 ㄷ. p`:`x>y 이고 y>z q`:`x=y=z q`:` x+y = x-y q`:`x>z ㄴ ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 풀이전략 p 가 q 이기위한충분조건이지만필요조건이아니려면명제 p Úq 는참이지만명제 q Úp 는거짓임을보여야한다. 풀이 ㄱ. (x-y)(y-z)=0이면 x-y=0 또는 y-z=0, 즉 x=y 또는 y=z 따라서 x=y 또는 y=z이면 x=y=z 는성립하지않지만 x=y=z이면 x=y 또는 y=z 는성립하므로 p는 q 이기위한필요조건이지만충분조건은아니다. ㄴ. p`:`xû`+yû`=0이면 x=y=0 q`:` x+y = x-y 의양변을제곱하면 xû`+xy+yû`=xû`-xy+yû`, 4xy=0, xy=0, 즉 x=0 또는 y=0 따라서 x=y=0이면 x=0 또는 y=0 은성립하지만 x=0 또는 y=0이면 x=y=0 은성립하지않으므로 p는 q이기위한충분조건이지만필요조건은아니다. ㄷ. p`:`x>y이고 y>z에서 x>y>z이므로 x>y>z이면 x>z 는성립하지만그역은성립하지않는다. [ 반례 ] x=, y=3, z=이면 x>z이지만 x<y이고 y>z 따라서 p는 q이기위한충분조건이지만필요조건은아니다. 이상에서 p가 q이기위한충분조건이지만필요조건이아닌것은ㄴ, ㄷ이다. 4 정답과풀이 쪽 [ ] 5 [ ] 6 실수 x 에대하여두조건 p, q 가 p`:`xû`-4x-é0, q`:`xû`-(a-3)x-3a<0 일때, p 는 q 이기위한충분조건이되도록하는정수 a 의최솟값을구하시오. 두양수 a, b 에대하여보기에서항상성립하는부등식만을있는대로고른것은? 보기 ㄱ. +a>'ä+a ㄴ. ¾ aû`+bû` ¾ a+b ㄷ. 'a+'b¾'ab ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 0 명제

22 Level 기초연습 정답과풀이 쪽 [ ] 두실수 a, b에대하여명제 a+b>이면 a> 또는 b> 의대우는? a>이고 b>이면 a+b> aé 또는 bé이면 a+b¾ 3 aé이고 bé이면 a+bé 4 a+b>이면 aé 또는 bé 5 a+bé이면 aé이고 bé [ ] 두실수 a, b에대하여세조건 p, q, r가 p`:`ab=0, q`:`aû`+bû`=ab, r`:`aû`+bû`=(a-b)û` 일때, 보기에서참인명제만을있는대로고른것은? 보기ㄱ. p Úq ㄴ. ~r Ú ~p ㄷ. ~q Úr ㄱ ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ [ ] 3 세조건 p, q, r에대하여두명제 ~p Úq, r Ú ~p 가모두참일때, 다음중항상참인명제는? p Ú ~q q Ú r 3 ~q Ú ~r 4 r Ú ~q 5 ~r Ú ~p [ ] 4 전체집합 U의두부분집합 A, B에대하여 A` '(B-A`)=B이기위한필요충분조건은? A` ;B= A` 'B=U 3 A`,B 4 A=B 5 A` = [ ] 5 x>일때, 3x+ 의최솟값을구하시오. x- EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

23 Level 기본연습 정답과풀이 쪽 [ ] 두조건 p, q에대하여 p이고 q 의진리집합이 {,, 3, 4}, p이고 ~q 의진리집합이 {7, 8, 9} 일때, 조건 p 의진리집합의모든원소의합을구하시오. [ ] 실수 x, y에대한보기의명제중그대우가참인것만을있는대로고른것은? 보기ㄱ. x=이면 xû`-3x+=0 ㄴ.(x-)Û`+yÛ`=0이면 x+y= ㄷ. 0<x<y이면 xû`yǜ <xǜ yû` ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ [ ] 3 전체집합 U의두부분집합 P, Q가각각두조건 p, q의진리집합이고 P-Q=P 일때, 다음중그역이항상참인명제는? p Ú q q Ú p 3 p Ú ~q 4 ~p Ú q 5 ~q Ú ~p [ ] 4 전체집합 U의두부분집합 P, Q가각각두조건 p, q의진리집합이고 p가 ~q이기위한필요조건일때, 다음 중항상옳은것은? P;Q=P P;Q= 3 P'Q=P 4 P'Q=U 5 P-Q= [ ] 5 두실수 a, b에대하여보기에서옳은것만을있는대로고른것은? 보기ㄱ. a¾0, b¾0일때, 'a+'b¾'äa+b ㄴ. a¾0, b¾0일때, "Ã(a+b)¾'a+'b ㄷ. a-b ¾ a - b ㄱ ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 0 명제 3

24 Level 3 실력완성 정답과풀이 3 쪽 [ ] 실수 x에대한두조건 p`:`(x+)û`-aû`<0, q`:` x-4 ¾ 에대하여명제 ~p Úq가참이되도록하는양수 a의최솟값은? [ ] 다음조건을만족시키는두실수 a, b에대하여 a-3b의최댓값과최솟값을각각 M, m이라할때, M-m 의값을구하시오. 명제 모든실수 x 에대하여 ( a + b )xéx-aû`+bû` 은참이다. 명제 어떤실수 x 에대하여 xû`+(b-)û`<4-aû` 은거짓이다. [ ] 3 실수 x에대하여세조건 p, q, r가다음과같다. p`:`x=-4 또는 (x+)(x-5)é0 q`:`(xû`+)(x-a)é0 r`:`( x +)(b-x)é0 q가 p이기위한필요조건이되도록하는실수 a의최솟값을 m, p가 r이기위한충분조건이되도록하는실수 b의최댓값을 M이라할때, m-m의값은? [ ] 4 실수 x에대한두조건 p`:`xû`-x-3+0, q`:`ax-a>3x+ 에대하여 p가 q이기위한필요조건이되도록하는모든자연수 a의개수는? EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

25 대표기출문제 출제경향 명제의참, 거짓을판단하거나명제와진리집합과의관계를추론하는문제, 명제의부정, 역, 대우에관련된문제들이출제된다. 또한충분조건과필요조건에관한문제, 귀류법이나대우를이용한명제의증명방법을이해하고있는지를묻는문제, 절대부등식에관한문제들이출제된다. 특히진리집합사이의포함관계를이용하여명제의참, 거짓, 필요조건과충분조건을판단하는방법에대해충분히이해해두도록한다. 전체집합 U의세부분집합 P, Q, R가각각세조건 p, q, r의진리집합이고, 두명제 p Úq와 q Úr가모두참일때, 보기중옳은것을모두고르면? [점] 보기ㄱ. P,R ㄴ. (P'Q),R` ㄷ. (P`;R`),Q` ㄱ ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 003 학년도대수능 명제의참, 거짓과진리집합의관계를이해하고, 주어진진리집합사이의포함관계의참, 거짓을판단할수있는지를묻는문제이다. 풀이명제 p Úq가참이므로 P,Q이고, 명제 q Úr가참이므로 Q,R이다. 따라서 P,Q,R yy`ᄀㄱ. P,R ( 참 ) ㄴ. ᄀ에서 P'Q=Q이고 Q,R이므로 (P'Q),R 따라서 (P'Q)øR` ( 거짓 ) ㄷ. ᄀ에서 P` ;R` =(P'R)` =R` ᄀ에서 Q,R이므로 R`,Q` 따라서 (P`;R`),Q` ( 참 ) 이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다. 3 다른풀이 ㄷ. ᄀ에서 Q,R이므로 Q,P'R 즉, (P'R)`,Q` 이므로 (P` ;R`),Q` ( 참 ) 0 명제 5

26 03 수학영역함수. 함수 ⑴ 대응 : 공집합이아닌두집합 X, Y 에대하여집합 X 의원소에집합 Y 의원소를짝지은것을집합 X 에서 집합 Y 로의대응이라고한다. ⑵ 함수 : 공집합이아닌두집합 X, Y에대하여집합 X의각원소에집합 Y의원소가하나씩만대응할때, 이대응을집합 X에서집합 Y로의함수라하고, 기호로 f`:`x`ú`y와같이나타낸다. 또함수 f에의하여 X의원소 x에 Y의원소 y가대응할때, 이것을기호로 y=f(x) 와같이나타내고, f(x) 를함수 f에의한 x의함숫 값이라고한다. 집합 X 를함수 f 의정의역이라하고, 집합 Y 를함수 f 의공역이라고한다. 함수 f 의함숫값전체로이루어진집합 { f(x) x<x} 를함수 f 의치역이라고한다. 참고함수 y=f(x) 의정의역이나공역이주어져있지않은경우, 정의역은함수 f(x) 가정의되는모든실수 x의집합으로하고, 공역은실수전체의집합으로한다. ⑶ 두함수가서로같을조건 : 두함수 f, g에대하여 정의역과공역이각각서로같고 정의역의모든원소 x에대하여 f(x)=g(x) 일때, 두함수 f, g는서로같다고하며, 기호로 f=g와같이나타낸다. ⑷ 함수의그래프 : 함수 f`:`x`ú Y에서정의역 X의각원소 x와이에대응하는함숫값 f(x) 의순서쌍전체의집합 {(x, f(x)) x<x} 를함수 f의그래프라고한다. 참고정의역의원소에공역의원소는하나씩만대응하므로함수의그래프는정의역의각 원소 a 에대하여직선 x=a 와오직한점에서만난다.. 여러가지함수 ⑴ 일대일함수 : 함수 f`:`x`ú Y에서정의역 X의임의의두원소 xá, xª 에대하여 xá+xª 이면 f(xá)+f(xª) 일때, 함수 f를일대일함수라고한다. ⑵ 일대일대응 : 일대일함수 f`:`x`ú Y의치역과공역이같을때, 함수 f를일대일대응이라고한다. ⑶ 항등함수 : 함수 f`:`x`úx에서정의역 X의각원소 x에그자신인 x가대응될때, 즉 f(x)=x일때, 함수 f를항등함수라고한다. ⑷ 상수함수 : 함수 f`:`x`ú Y에서정의역 X의모든원소 x에공역 Y의단하나의원소 c가대응할때, 즉 f(x)=c일때, 함수 f를상수함수라고한다. 6 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

27 예제 대응과함수 집합 X={, 4, 6, 8} 에대하여함수 f`:`x`úx 는일대일대응이고함수 g`:`x`úx 는상수함수이다. f(4)-g(8)=6 이고 f(8)-f(6)= 일때, f()_g() 의최댓값은? 풀이 전략 일대일대응과상수함수의뜻을이해하고문제를해결한다. ⑴ 일대일대응 : 일대일함수중에서치역과공역이같은함수 ⑵ 상수함수 : 정의역의모든원소에공역의단하나의원소가대응하는함수 풀이 f(4)-g(8)=6에서 f(4) 와 g(8) 은각각, 4, 6, 8 중의하나의값이므로 f(4)=8, g(8)= f(8)-f(6)=에서 f(8) 과 f(6) 은각각, 4, 6 중의하나의값이므로 Ú f(8)=4이면 f(6)=이고 f()=6 Û f(8)=6이면 f(6)=4이고 f()= Ú, Û에의하여 f() 의최댓값은 6이고 g는상수함수이므로 g()=g(8)=이다. 따라서 f()_g() 의최댓값은 6_= 정답과풀이 5 쪽 [ ] 두집합 X={x -ÉxÉa}, Y={y 0ÉyÉ3} 에대하여 X에서 Y로의함수 f(x)=x-b가일대일대응일때, a+b의값은? ( 단, a, b는상수이다.) [ ] 집합 X={-, a} 에대하여 X에서실수전체의집합으로의두함수 f(x), g(x) 가다음과같다. f(x)=xû`-x-, g(x)=xǜ -3x+b 집합 X의모든원소 x에대하여 f(x)=g(x) 일때, a+b의값은? ( 단, a>0이고 b는상수이다.) 함수 7

28 수학영역 03 함수 3. 합성함수 ⑴ 합성함수 : 두함수 f`:`x`ú Y, g`:`y`ú Z에대하여집합 X의임의의원소 x에집합 Z의원소 g( f(x)) 를대응시키면 X를정의역, Z를공역으로하는새로운함수를얻는다. 이함수를함수 f와 g의합성함수라하고, 기호로 g çf 와같이나타낸다. 한편, 합성함수 g çf 에의한 x의함숫값을 (g ç f)(x) 와같이나타낸다. 즉, (g ç f)(x)=g( f(x)) 이므로두함수 f와 g의합성함수를 y=g( f(x)) 로도나타낸다. 예두함수 f(x)=x+, g(x)=x에대하여 (g ç f)(x)=g( f(x))=g(x+)=(x+)=x+ ( f ç g)(x)=f(g(x))=f(x)=x+ 참고함수 f의치역이함수 g의정의역의부분집합일때, 합성함수 g çf 를정의할수있다. ⑵ 합성함수의성질 : 세함수 f, g, h에대하여 일반적으로함수의합성에대하여교환법칙이성립하지않는다. g çf +f ç g 함수의합성에대하여결합법칙이성립한다. hç(g ç f)=(h ç g)çf 설명 세함수 f(x)=3x, g(x)=xû`, h(x)=x+에대하여 ( f ç g)(x)=f(g(x))=f(xû`)=3xû` (g ç f)(x)=g( f(x))=g(3x)=9xû` 에서 g çf +f ç g임을알수있다. 즉, 함수의합성에서교환법칙은성립하지않는다. 세함수 f, g, h에대하여 (( f ç g)ç h)(x)=( f ç g)(h(x))=f(g(h(x))) ( f ç(g ç h))(x)=f((g ç h)(x))=f(g(h(x))) 따라서 ( f ç g)çh=f ç(g çh ) 이다. 즉, 함수의합성에서결합법칙이성립한다. 참고함수의합성에서 f ç g=g çf 인경우도존재한다. 두함수 f(x)=x, g(x)=3x에대하여 ( f ç g)(x)=(g ç f)(x)=6x이다. 8 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

29 예제 합성함수 두함수 f(x)=x-, g(x)=xû`-4x-7 에대하여함수 h(x) 가모든실수 x 에대하여 ( f ç h)(x)=g(x) 를 만족시킨다. 방정식 h(x)=0 의모든실근의합은? 풀이전략합성함수의성질을이용하여함수 h(x) 를구하고, 이차방정식의두실근의합을구한다. 풀이 세함수 f(x), g(x), h(x) 가 ( f ç h)(x)=g(x) 를만족시키므로 f(h(x))=g(x) 즉, h(x)-=xû`-4x-7 h(x)=xû`-4x-6이므로 h(x)=xû`-x-3 h(x)=0에서 xû`-x-3=0, (x+)(x-3)=0 즉, x=- 또는 x=3 따라서방정식 h(x)=0의모든실근의합은 이다. 5 정답과풀이 5 쪽 [ ] 3 두함수 f(x)=x+3, g(x)=x+a에대하여 ( f ç g)()=일때,(g ç f)() 의값은? ( 단, a는상수이다.) [ ] 4 -x- (x<0) 두함수 f(x)=[, g(x)=xû`+에대하여 ( f ç g)()+(g ç f)(-) 의값은? x- (x¾0) 함수 9

30 수학영역 03 함수 4. 역함수 ⑴ 역함수함수 f`:`x`ú Y가일대일대응일때, 집합 Y의임의의원소 y에대응되는 f(x)=y인집합 X의원소 x가오직하나존재한다. 따라서집합 Y 의각원소 y 에 f(x)=y 인집합 X 의원소 x 를대응시키면집합 Y 를정의역, 집합 X 를공역으로하는새로운함수를얻는다. 이함수를함수 f`:`x`ú Y 의역함수라하고, 기호로 f ÑÚ` 와같이나타낸다. 즉, f ÑÚ``:`Y`Ú X, x=f ÑÚ`(y) 이다. 예오른쪽그림에서함수 f`:`x`ú Y 는일대일대응이므로그역함수 f ÑÚ``:`Y`ÚX 가존재한다. 참고함수 f 의역함수 f ÑÚ` 가존재할필요충분조건은함수 f 가일대일대응인 것이다. 즉, 함수 f 가일대일대응이아니면집합 Y 의원소 y 에집합 X 의 원소 x 를대응시키는것이함수가되지않는다. 따라서함수 f 가일대일 대응일때만그역함수 f ÑÚ` 가존재하고 f ÑÚ` 도일대일대응이다. ⑵ 역함수의성질두함수 f`:`x`ú Y, g`:`y`ú Z가일대일대응일때 역함수 f ÑÚ``:`Y`Ú X가존재한다. y=f(x) HjK x=f ÑÚ`(y) 3 ( f ÑÚ` ç f)(x)=x (x<x), ( f ç f ÑÚ`)(y)=y (y<y) 4 ( f ÑÚ`)ÑÚ`=f 5 ( g ç f )ÑÚ`=f ÑÚ`çg ÑÚ` ⑶ 역함수구하기일반적으로일대일대응인함수 y=f(x) 의역함수 y=f ÑÚ`(x) 는다음과같이구할수있다. y=f(x) Ú`x=f ÑÚ`(y) Ú`y=f ÑÚ`(x) x에대하여푼다. x와 y를서로바꾼다. 예함수 y=x+ 의역함수를구하기위해서주어진함수를 x 에대하여풀면 x=y-, x=;};-;!; x 와 y 를서로바꾸면구하는역함수는 y=;{;-;!; ⑷ 역함수의그래프함수 y=f(x) 의그래프와그역함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프는직선 y=x에대하여대칭이다. 설명함수 y=f(x) 의그래프위의임의의점의좌표를 (a, b) 라하면 b=f(a) HjK a=f ÑÚ`(b) 따라서점 (b, a) 는함수 y=f(x) 의역함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프위에있다. 30 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

31 예제 3 역함수의성질과그래프 함수 f(x)=-x+6 의그래프와그역함수의그래프가점 (a, b) 에서만날때, a+b 의값은? 풀이 전략 함수 y=f(x) 와그역함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프와관련된문제는두그래프가직선 y=x에대하여대칭임을이용하거나직접함수 f(x) 의역함수를구하여해결할수있다. 한편, 역함수의그래프는다음과같은성질이있다. ⑴ 함수 y=f(x) 의그래프가직선 y=x와점 A에서만나면그역함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프도직선 y=x와점 A에서만난다. ⑵ 함수 y=f(x) 의그래프가직선 y=x와만나지않으면그역함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프도직선 y=x와만나지않는다. 풀이 함수 f(x)=-x+6의그래프가점 (a, b) 를지나므로 f(a)=-a+6=b yy`ᄀ함수 y=f ÑÚ`(x) 의그래프가점 (a, b) 를지나므로함수 y=f(x) 의그래프는점 (b, a) 를지난다. 즉, f(b)=-b+6=a yy`ᄂᄀ, ᄂ에서 a=, b=이므로 a+b=4 4 다른풀이 함수 f(x)=-x+6 의그래프가점 (a, b) 를지나므로 f(a)=-a+6=b yy` ᄀ 함수 f(x)=-x+6의역함수는 f - (x)= -x+6 이다. 함수 y=f - (x) 의그래프가점 (a, b) 를지나므로 -a+6 =b에서 a+b=6 yy` ᄂ ᄀ, ᄂ에서 a=, b= 이므로 a+b=4 다른풀이 점 (a, b) 가직선 y=x 위에있으므로 a=b 따라서 b=-a+6=-b+6 에서 a=b= 이므로 a+b=4 정답과풀이 5 쪽 [ ] 5 함수 f(x)=ax+b에대하여 f ÑÚ`()=, f( f())=3일때, ab의값은? ( 단, a, b는상수이고 a+0이다.) [ ] 6 함수 f(x)=ax+3에대하여방정식 f(x)=f ÑÚ`(x) 의해가무수히많을때, a의값은? ( 단, a는상수이고 a+0이다.) 함수 3

32 Level 기초연습 정답과풀이 5 쪽 [ ] 두함수 f(x)=3x-, g(x)=xû`+에대하여 (g ç f)() 의값은? [ ] 집합 X={0,, } 에대하여함수 f`:`x`ú X 중일대일대응인것의개수를 a, 상수함수인것의개수를 b 라할때, a+b의값은? [ ] 3 두실수 a, b에대하여집합 X={a, b} 에서실수전체의집합으로의두함수 f(x), g(x) 가다음과같다. f(x)=xû`-x+, g(x)=x- 집합 X의모든원소 x에대하여 f(x)=g(x) 일때, b-a의값은? ( 단, a<b) [ ] 4 집합 X={, 3, 4, 5, 6} 에서자연수전체의집합으로의함수 f 가 함수 f 의함숫값 f(x) 는 x의양의약수의개수이다. 일때, 함수 f 의치역의모든원소의합은? [ ] 5 함수 f(x)=-x+5 에대하여 f ÑÚ`(a)=-, f ÑÚ`(-)=b 일때, a+b 의값을구하시오. 3 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

33 Level 기본연습 정답과풀이 6 쪽 [ ] 집합 X={a, b, c} 에서집합 Y={, } 로의함수 f 중 f(a)+f(b)+f(c)=4를만족시키는함수의개수는? [ ] 실수전체의집합의두부분집합 X={x xû`-7x+0é0}, Y={x xû`+ax+3é0} 과함수 f`:`x`úy가다음조건을만족시킨다. X;Y={x 4ÉxÉb} 함수 f 는일대일대응이다. 집합 X의임의의두원소 xá, xª 에대하여 xá<xª 이면 f(xá)<f(xª) a+b+f()+f(5) 의값을구하시오. ( 단, a, b 는상수이다.) [ ] 3 함수 f(x)= x-4 -kx+의역함수가존재하도록하는자연수 k의최솟값은? [ ] 4 양의실수전체의집합 X에대하여두함수 f`:`x`úx, g`:`x`úx가다음과같다. f(x)=xû`+x, g(x)=f(x+)-3 f 의역함수를 h라할때, g(h(3)) 의값은? 함수 33

34 Level 3 실력완성 정답과풀이 7 쪽 [ ] 집합 X={-, -, 0,, } 에대하여함수 f`:`x`úx 중에서모든 x<x에대하여 f(-x)=f(x) 를만족시키는함수의개수를구하시오. [ ] 집합 X={x x¾0} 에대하여두함수 f`:`x`úx, g`:`x`úx는일대일대응이다. 그림은두함수 y=f(x), y=g(x) 의그래프와직선 y=x를나타낸것이다. ( f ç f )ÑÚ`(5)+( f ç gñú`)() 의값은? [ ] 3 음이아닌정수전체의집합 X에대하여함수 f`:`x`úx가일대일대응이고집합 X의임의의두원소 a, b는 f( f(a)+b)=f(a)+f( f(b)) 를만족시킨다. 보기에서옳은것만을있는대로고른것은? 보기ㄱ. f(0)=0 ㄴ. f( f(a))=f(a) ㄷ. f ÑÚ`(5)=f(k) 를만족시키는 k의값은 5이다. ㄱ ㄷ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ [ ] 4 그림과같이한변의길이가 인정사각형 ABCD가있다. 정사각형 ABCD 위의점 P 는점 B에서출발하여점 A까지화살표방향으로변위를움직인다. 점 P가움직인거 리가 x(0<x<6) 일때, 삼각형 ABP의넓이를 f(x) 라하자. f( f(k))=이되도록 하는모든실수 k의값의합을구하시오. 34 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

35 대표기출문제 출제경향 합성함수와역함수에대한이해문제와주어진조건을만족시키는함숫값을구하는추론문제, 함수와관련된여러가지개념을이해하고있는지확인하는문제가출제되었다. 특히치역, 그래프, 일대일대응등에대한정확한이해가필요하며, 합성함수와역함수를구하는방법과특징등을알고있어야한다. 아래그림과같이정사각형의네꼭짓점을각각,, 3, 4 라하고, 두대각선의교점을 O 라하자. 이정사각형을점 O를중심으로하여시계방향으로 90ù 회전시키면 은 의위치로, 는 3의위치로, 3은 4의위치로, 4는 의위치로이동한다. 이러한꼭짓점사이의이동을함수 fá로나타내면, fá()=, fá()=3, fá(3)=4, fá(4)= 이다. 이와같은방법으로이정사각형을점 O를중심으로하여시계방향으로 90ù, 80ù, 70ù, 360ù 회전시켰을때, 꼭짓점사이의이동을나타내는함수를각각 fá, fª, f, f 라하자. 보기에서옳은것을모두고른것은? ( 단, f ÑÚ`은 f의역함수이다.) [3점] 보기ㄱ. fª ç f =f ㄴ. fáñú`=f ㄷ. fá ç f =f çf Á ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 004 학년도대수능 역함수와합성함수의뜻을이해하고있는지를묻는문제이다. 풀이ㄱ. fª çf 은시계방향으로 70ù 회전한후 80ù 회전한것이므로시계방향으로 90ù 회전한 fá 과같다. 따라서 fª çf +f ( 거짓 ) ㄴ. fáñú`는시계반대방향으로 90ù 회전한것이므로시계방향으로 70ù 회전한 f 과같다. 따라서 fáñú`=f ( 참 ) ㄷ. fá çf 은시계방향으로 70ù 회전한후 90ù 회전한것이므로시계방향으로 360ù 회전한것과같다. 마찬가지로 f çf Á 도시계방향으로 360ù 회전한것과같다. 따라서 fá ç f =f çf Á ( 참 ) 이상에서옳은것은ㄴ, ㄷ이다 함수 35

36 04 수학영역. 유리식 유리함수와무리함수 두다항식 A, B`(B+0) 에대하여 ;ba; 의꼴로나타내어지는식을유리식이라고한다. 특히분모 B 가 0 이아닌 상수이면유리식 ;ba; 는다항식이된다. 예 3x+5, x+3, ;[};, xy x+y x+3 는모두유리식이고, 이중에서 3x+5, 은다항식이다.. 유리식의성질과연산 ⑴ 세다항식 A, B, C`(B+0, C+0) 에대하여 A B = A_C B_C = AÖC BÖC ⑵ 유리식의덧셈, 뺄셈은유리수의덧셈, 뺄셈과같은방법으로한다. 세다항식 A, B, C`(C+0) 에대하여 A C + B C = A+B C, A C - B C = A-B C ⑶ 유리식의곱셈, 나눗셈은유리수의곱셈, 나눗셈과같은방법으로한다. 네다항식 A, B, C, D`(B+0, D+0) 에대하여 곱셈 : 분모는분모끼리, 분자는분자끼리곱한다. A B _ C D = AC BD 나눗셈 : 나누는식의분자와분모를바꾸어곱한다. A B Ö C D = A B _ D C = AD `( 단, C+0) BC 3. 유리함수의뜻과유리함수 y=;[k;`(k+0) 의그래프 ⑴ 함수 y=f(x) 에서 f(x) 가 x에대한유리식일때, 이함수를유리함수라고한다. 특히유리함수중에서 f(x) 가 x에대한다항식일때, 이함수를다항함수라고한다. 유리함수에서정의역이주어지지않은경우에는분모를 0으로하는원소를제외한실수전체의집합을정의역으로한다. ⑵ 함수 y=;[k;`(k+0) 의그래프 정의역과치역은 0을제외한실수전체의집합이다. 원점과직선 y=x, y=-x에대하여대칭이다. 3 k>0이면그래프는제사분면과제3사분면에있고 k<0이면그래프는제사분면과제4사분면에있다. 4 k 의값이커질수록원점에서멀어진다. 5 점근선은 x 축 (y=0) 과 y 축 (x=0) 이다. 36 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

37 예제 유리식의연산 이아닌모든실수 x 에대하여등식 x+ (x-)(xû`+) = a x- + bx+c 가성립할때, a+b+c의값은? xû`+ ( 단, a, b, c는상수이다.) 풀이전략우변을통분하여정리한다음, 항등식의성질을이용하여미정계수를결정한다. 풀이 a x- + bx+c 를통분하여정리하면 xû`+ a(xû`+) (x-)(xû`+) + (bx+c)(x-) (x-)(xû`+) = (a+b)xû`+(c-b)x+a-c (x-)(xû`+) 주어진등식이 x+ 인모든실수 x 에대하여성립하므로 a+b=0, c-b=, a-c= 세식을연립하여 a, b, c 의값을구하면 a=, b=-, c=0 따라서 a+b+c=0 3 정답과풀이 8 쪽 [ ] xû`+yû` ;3{;=;}; 일때, 의값은? ( 단, xy+0) xû`-yû` :Á5Á: :Á5 : :Á5 : 5 :Á5»: [ ] a+;b@;=, 3b+;c!;=3 일때, a_b_c 의값은? ( 단, b+ 이고 bc+0) -;3%; -;3$; 3-4 -;3@; 5 -;3!; 04 유리함수와무리함수 37

38 수학영역 04 유리함수와무리함수 4. 유리함수 y= k +q`(k+0) 의그래프와성질 x-p ⑴ 함수 y=;[k; 의그래프를 x 축의방향으로 p 만큼, y 축의방향으로 q 만큼 평행이동한것이다. ⑵ 정의역은 p 를제외한실수전체의집합이고, 치역은 q 를제외한실수전 체의집합이다. ⑶ 점 (p, q) 에대하여대칭이고, 점근선의방정식은 x=p, y=q 5. 유리함수 y= ax+b `(c+0, ad-bc+0) 의그래프 cx+d ⑴ 함수 y= ax+b ax+b `(c+0, ad-bc+0) 의그래프는 y= cx+d cx+d 를 y= 음함수 y=;[k; 의그래프를평행이동하여그릴수있다. k +q`(k+0) 의꼴로변형한다 x-p ⑵ 함수 y= ax+b 의정의역은 {x cx+d+0인실수 } 이고, 치역은 [y y+;ca; 인실수 ] 이다. cx+d 또한점근선의방정식은 x=-;cd;, y=;ca; 6. 무리식과무리식의연산 ⑴ 근호안에문자가포함되어있는식으로, 유리식으로나타낼수없는식을무리식이라고한다. 예 '3x, "ÃxÛ`-, +'x, ⑵ 제곱근의성질 `a (a¾0) "aû`= a =[ -a (a<0) 'Ä4-x a>0, b>0 일때, 'a'b='ab, 'a 'b = ;ba; ⑶ 분모의유리화 ( 단, a>0, b>0) c 'a = c'a a 3 c 'a+'b = c('a-'b) ('a+'b)('a-'b) = c('a-'b) `( 단, a+b) a-b c 'a-'b = c('a+'b) ('a-'b)('a+'b) = c('a+'b) `( 단, a+b) a-b 38 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

39 예제 유리함수 y= k +q의그래프 x-p 함수 y= ax 의정의역과치역이같고, 이함수의그래프의점근선의방정식중하나가 y=b일때, a+b의값 3x+ 은? ( 단, a, b는상수이다.) -;3$; -;3@; ;3@; 5 ;3$; 풀이전략함수 y= ax+b `(c+0, ad-bc+0) 의정의역은 {x cx+d+0} 이고, 치역은 [y y+;ca;] 이다. cx+d 또한점근선의방정식은 x=-;cd;, y=;ca; 임을이용한다. 풀이 a=0이면 y= ax =0이되어정의역과치역이같다는조건을만족시키지않으므로 a+0 3x+ y= ax ;3A;(3x+)-;3A; -;3A; 3x+ = =;3A;+ 이므로점근선의방정식은 x=-;3!;, y=;3a;=b 3x+ 3x+ 따라서정의역은 [x x+-;3!; 인모든실수 ] 이고치역은 [y y+;3a; 인모든실수 ] 이므로 a=- 이고 b=-;3!; 따라서 a+b=-;3$; 정답과풀이 8 쪽 [ ] 3 함수 y= +의그래프는함수 y=;[k; 의그래프를 x축의방향으로 a만큼, y축의방향으로 b만큼 x-3 평행이동시킨것이다. a+b+k 의값은? ( 단, k 는상수이다.) [ ] 4 그림은두점근선의교점의좌표가 (, ) 이고원점 O 를지나는함수 y= b +c의그래프이다. a+b+c의값은? ( 단, a, b, c는상수이다.) x+a 유리함수와무리함수 39

40 수학영역 04 유리함수와무리함수 7. 무리함수의뜻 함수 y=f(x) 에서 f(x) 가 x 에대한무리식일때, 이함수를무리함수라고한다. 정의역이주어지지않은무리 함수는근호안의식의값이 0 이상이되는 x 의값의범위를정의역으로한다. 8. 무리함수 y=ñ' ax`(a+0) 의그래프 ⑴ 함수 y=' ax`(a+0) 의그래프 a>0 일때, 정의역은 {x x¾0}, 치역은 {y y¾0} 이다. a<0 일때, 정의역은 {x xé0}, 치역은 {y y¾0} 이다. ⑵ 함수 y=-' ax`(a+0) 의그래프 : 함수 y=' ax`(a+0) 의그래프와 x 축에대하여대칭이다. a>0 일때, 정의역은 {x x¾0}, 치역은 {y yé0} 이다. a<0 일때, 정의역은 {x xé0}, 치역은 {y yé0} 이다. ⑶ a>0이면함수 y='ax의그래프와함수 y= xû` `(x¾0) 의그래프는직선 y=x에대하여대칭이고, a a<0이면함수 y='ax의그래프와함수 y= xû` `(xé0) 의그래프는직선 y=x에대하여대칭이다. a 참고함수 y='x 의역함수구하기 y='x`(x¾0) 을 x 에대하여풀면 x=yû``(y¾0) x 와 y 를서로바꾸면 y=xû``(x¾0) 이다. 이때함수 y='x`(x¾0) 의그래프는역함수 y=xû``(x¾0) 의그래프와직선 y=x 에대하여대칭이다. 9. 무리함수 y="ãa(x-p)+q`(a+0), y=-"ãa(x-p)+q`(a+0) 의그래프 ⑴ 함수 y="ãa(x-p)+q`(a+0) 의그래프 함수 y="ãa(x-p)+q 의그래프는함수 y=' ax 의그래프를 x 축의방향으로 p 만큼, y 축의방향으로 q 만큼평행이동한것이다. 정의역은 {x a(x-p)¾0}, 치역은 {y y¾q} 이다. ⑵ 함수 y=-"ãa(x-p)+q`(a+0) 의그래프 함수 y=-"ãa(x-p)+q의그래프는함수 y=-' ax의그래프를 x축의방향으로 p만큼, y축의방향으로 q만큼평행이동한것이다. 정의역은 {x a(x-p)¾0}, 치역은 {y yéq} 이다. 참고일반적으로함수 y='äax+b+c`(a+0) 의그래프는 y="ãa(x-p)+q의꼴로변형하여그릴수있다. 40 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

41 예제 3 무리함수의그래프 ÉxÉ3 에서함수 y='äx+3+a 의최댓값이 5 일때, 이함수의최솟값은? ( 단, a 는상수이다.) +' '5 4 +'6 5 +'7 풀이전략무리함수 y='äx+3+a 의그래프는함수 y=' x 의그래프를평행이동하여얻은그래프이므로함수 y=' x 의그래프의개형을 파악하여최댓값과최솟값을구한다. 풀이 함수 y='äx+3+a=¾ {x+;#;}+a 의그래프는함수 y=' x 의그래프를 x 축의 방향으로 -;#; 만큼, y 축의방향으로 a 만큼평행이동한것이다. 함수 y='äx+3+a 는 x=3 일때최댓값을가지므로 '9+a=5 에서 a= 따라서 y='äx+3+ 가 x= 에서최솟값을가지므로최솟값은 'Ä+3+=+'5 3 정답과풀이 8 쪽 [ ] 5 함수 y='äax+b+c의그래프가그림과같을때, a+b+c의값은? ( 단, a, b, c는상수이다.) [ ] 6 함수 y='x의그래프를 x축의방향으로 p만큼, y축의방향으로 q만큼평행이동하였더니함수 y='ämx-8+의그래프와일치하였다. p+q+m의값은? ( 단, p, q, m은상수이다.) 유리함수와무리함수 4

42 Level 기초연습 정답과풀이 8 쪽 [ ] 함수 y= ax+ 의그래프가두점 (, 4), (-, b) 를지날때, a+b의값은? ( 단, a, b는상수이다.) x [ ] 3ÉxÉ5에서함수 y= -x+ 의최댓값을 M, 최솟값을 m이라할때, M+m의값은? x [ ] 3 함수 f(x)= x-a 의역함수를 g라할때, 두함수 f, g가다음조건을만족시킨다. x-b g(-)= 두함수 f(x), g(x) 의정의역에속하는모든실수 x 에대하여 f(x)=g(x) a+b 의값은? ( 단, a, b 는상수이고, a+b 이다.) [ ] 4 함수 y='ä3x+a+b 의정의역이 {x x¾-} 이고최솟값이 일때, a+b 의값을구하시오. ( 단, a, b 는상수이다.) [ ] 5 함수 y=' x 의그래프를 x 축의방향으로 a 만큼, y 축의방향으로 b 만큼평행이동하였더니함수 y='äx-+3 의그래프와일치하였다. a+b 의값은? ;#; 3 ;%; ;&; 4 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

43 Level 기본연습 정답과풀이 9 쪽 [ ] 함수 f 가 f(x)= ax- 일때, 함수 f 의역함수를 g라하자. 두함수 y=f(x) 와 y=g(x) 의그래프가점 bx+ (, 3) 을지날때, a+b 의값은? ( 단, a, b 는상수이고 b+0, a+b+0 이다.) -;3*; -;3$; 3 4 ;3$; 5 ;3*; [ ] 함수 f 가 f(x)= x-a 일때, 함수 f(x) 의정의역에속하는모든실수 x에대하여 f( f(x))=x가성립하 bx- 기위한두실수 a, b 사이의관계식은? a+b=0 ab+ 3 ab= 4 a-b=0 5 a+b+0 [ ] 3 x 축위의두점 A(, 0), B(5, 0) 을잇는선분 AB 를 x`:``(x>0) 으로내분하는점 P 의 x 좌표를 f(x) 라 할때, 다음중함수 y=-"ã(+x)f(x) 의그래프의개형으로옳은것은? [ ] 4 함수 y=xû` 의그래프와직선 y=x+;5s; 가서로다른두점 A, B 에서만나도록하는실수 s 에대하여이두 점 A, B 사이의거리를 f(s) 라하자. 함수 t=f(s) 에대하여연립부등식 t<f(s), t>0, -5<s<0 이나타 내는영역을 D 라할때, 영역 D 에포함된점중에서 s 좌표와 t 좌표가모두정수인점의개수를구하시오. 04 유리함수와무리함수 43

44 Level 3 실력완성 정답과풀이 0 쪽 [ ] 두일차함수 f, g 가다음조건을만족시킨다. 함수 f(x)+g(x) 의역함수가존재하지않고두직선 y=f(x), y=g(x) 의교점의 y 좌표는 이다. 직선 x=-;!; 은함수 y= g(x) 의그래프의점근선이다. f(x) 직선 x=;#; 은함수 y= f(x) 의그래프의점근선이다. g(x) 두직선 x=m, y=n이함수 y= g(x) 의그래프의점근선일때, m+n의값은? ( 단, m, n은상수이다.) f(g(x)) ;4!; ;4#; 3 ;4%; 4 ;4&; 5 ;4(; [ ] 일차함수 f 가 f()=4 이고모든실수 x 에대하여 f(x)=f(x) 를만족시킨다. g(x)= `f(x)-8 일때, 함수 y=g(x) 의그래프위의점 P와점 A(-, ) 사이의거리의최솟값은? f(x)+8 '6 3 ' 4 '0 5 '3 [ ] 3 함수 f(x)='ä x -- 에대하여방정식 f( f(x))=0 의서로다른실근의개수를 k 라할때, 함수 y=f(x) 의그래프와직선 y=-k 가만나는점의 x 좌표의최댓값은? [ ] 4 함수 f 가 f(x)=' 6x일때, 함수 f 와그역함수 f ÑÚ`에대하여그림과같이좌표평면에서연립부등식 yéf(x), y¾f ÑÚ`(x) 가나타내는영역을 D라하자. 영역 D에포함된점중에서 x좌표와 y좌표가모두정수인점의개수를구하시오. 44 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

45 대표기출문제 출제경향 유리식과무리식의성질을이용하는계산문제가출제되고있으며유리함수, 무리함수의그래프의특징을이용하는문제, 유리함수와무리함수의최댓값과최솟값을구하는문제등이출제되고있다. 함수 y='x의그래프위의두점 P(a, b), Q(c, d) 에대하여 b+d = 일때, 직선 PQ의기울기는? ( 단, 0<a<c) [3점] ;5!; ;4!; 3 ;3!; 4 ;!; 학년도대수능 무리함수의그래프위의점을이용하여직선의기울기를구할수있는지를묻는문제이다. 풀이 두점 P, Q는함수 y='x의그래프위의점이므로 b='a, d='c 즉, a=bû`, c=dû` 직선 PQ의기울기는 d-b c-a = d-b dû`-bû` = d-b (d-b)(d+b) = d+b 이때 b+d =에서 b+d=이므로직선 PQ의기울기는 ;!; 이다 유리함수와무리함수 45

46 05 수학영역. 수열의뜻과일반항 등차수열과등비수열 ⑴ 차례로늘어놓은수의열을수열이라하고, 수열을이루고있는각각의수를그수열의항이라고한다. ⑵ 수열을나타낼때에는항에번호가붙은문자의열을이용하여 aá, aª, a, y, aç, y 과같이나타내며, aá을첫째항또는제항, aª 를둘째항또는제항, y, aç을 n째항또는제n항이라고한다. 이때수열의제n항 aç을수열의일반항이라고한다. 또한일반항이 aç인수열을간단히 {aç} 으로나타낸다. 예수열 {aç} 의일반항이 aç=n-일때, aá=_-=, aá¼=_0-=9 참고수열 {aç} 은자연수전체의집합 N에서실수전체의집합 R로의함수 f`:`n`úr, f(n)=aç으로생각할수있다.. 등차수열의뜻과일반항 ⑴ 등차수열의뜻과공차첫째항부터차례로일정한수를더하여얻은수열을등차수열이라하고, 더하는일정한수를공차라고한다. 공차가 d인등차수열 {aç} 에서 aç*á=aç+d, 즉 aç*á-aç=d (n=,, 3, y) ⑵ 등차수열의일반항첫째항이 a, 공차가 d인등차수열의일반항 aç은 aç=a+(n-)d (n=,, 3, y) 설명첫째항이 a, 공차가 d인등차수열 {aç} 의각항은다음과같다. aá=a =a+0_d aª=aá+d=a+_d a =aª+d=a+_d a =a +d=a+3_d 따라서일반항 aç은 aç=a+(n-)d 예첫째항이 이고공차가 3인등차수열 {aç} 의일반항은 aç=+(n-)_3=3n- 46 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

47 예제 등차수열의일반항 등차수열 {aç} 에대하여 a -a»=, a +a»=6 일때, a +a 의값은? 풀이전략첫째항이 a, 공차가 d 인등차수열 {aç} 의일반항은 aç=a+(n-)d 이므로 a =a+5d, a»=a+8d 이다. 풀이 등차수열 {aç} 의첫째항을 a, 공차를 d라하면 a =a+5d, a»=a+8d a -a»=에대입하면 (a+5d)-(a+8d)=-3d=에서 d=-4 a +a»=6에대입하면 (a+5d)+(a+8d)=a+3d=a-5=6에서 a=9 따라서 a +a =(a+3d)+(a+6d)=a+9d=_9+9_(-4)= 다른풀이 등차수열 {aç} 의공차를 d라하면 a -a»=(6-9)d=-3d=에서 d=-4 a =a -d, a =a»-d에서 a +a =(a +a»)-4d=6-4_(-4)= 정답과풀이 쪽 [ ] 첫째항이 이고공차가 0이아닌등차수열 {aç} 에대하여 a a =aªû` 일때, 수열 {aç} 의공차는? -;5!; -; 0; 3 -;5@; 4 -;!; 5 -;5#; [ ] 넓이가 54인직각삼각형의세변의길이를크기순으로나열하면등차수열을이룬다. 이직각삼각형의세변의길이의합은? 등차수열과등비수열 47

48 수학영역 05 등차수열과등비수열 3. 등차중항 세수 a, b, c 가이순서대로등차수열을이룰때, b 를 a 와 c 의등차중항이라고한다. b 가 a 와 c 의등차중항 HjK b-a=c-b HjK b=a+c, 즉 b= a+c 예세수, x, 8 이이순서대로등차수열을이루면 x 는 와 8 의등차중항이므로 x= +8 =5 4. 등차수열의합 ⑴ 첫째항이 a, 제 n 항이 l 인등차수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합 SÇ 은 SÇ= n(a+l) ⑵ 첫째항이 a, 공차가 d 인등차수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합 SÇ 은 SÇ= n{a+(n-)d} 설명첫째항이 a, 제 n 항이 l 인등차수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합을 SÇ 이라하면 SÇ=a+(a+d)+(a+d)+y+(l-d)+(l-d)+l ᄀ의우변의항을역순으로나타내면 SÇ=l+(l-d)+(l-d)+y+(a+d)+(a+d)+a ᄀ + ᄂ에서 yy` ᄀ yy` ᄂ SÇ=(a+l)+(a+l)+(a+l)+y+(a+l)+(a+l)+(a+l) ( =n(a+l) 따라서 SÇ= n(a+l) 여기서제 n 항 l 은 l=a+(n-)d 이므로 SÇ= n(a+l) n 개 = n{a+a+(n-)d} = n{a+(n-)d} 예 첫째항이 3 이고제 0 항이 7 인등차수열의첫째항부터제 0 항까지의합 SÁ¼ 은 SÁ¼= 0(3+7) =00 첫째항이 8 이고공차가 - 인등차수열의첫째항부터제 0 항까지의합 Sª¼ 은 { Sª¼= 0{_8+(0-)_(-)} = EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

49 예제 등차수열의합 등차수열 {aç} 에대하여 aªç=6n+`(n¾) 일때, aá+aª+a +y+aáá 의값은? 풀이전략등차수열 {aç} 의공차를 d 라하면 a -aª=d 이다. 풀이 다른풀이 aªç=6n+ 에서 n 에, 를각각대입하면 aª=6_+=7, a =6_+=3 등차수열 {aç} 의공차를 d 라하면 a -aª=6=d 에서 d=3, aá=aª-d=7-3=4 따라서등차수열 {aç} 의첫째항부터제 항까지의합은 (_4+0_3) =09 aá, a, aáá 이이순서대로등차수열을이루므로등차중항의성질에서 aá+aáá=a 같은방법으로 aª+aá¼=a +a»=a +a =a +a =a aá+aª+a +a +a +a +a +a +a»+aá¼+aáá =(aá+aáá)+(aª+aá¼)+(a +a»)+(a +a )+(a +a )+a =a _5+a =a =_(6_3+)=09 다른풀이 등차수열 {aç} 의공차를 d라하면 aç=aá+(n-)d=dn+aá-d이므로 aªç=d_n+aá-d=dn+aá-d=6n+ d=6, aá-d=에서 d=3, aá=4 따라서 aç=3n+ 이므로 aá+aª+a +y+aáá= (aá+aáá) = (4+34) =09 정답과풀이 3 쪽 [ ] 3 등차수열 {aç} 에대하여 aá+aª=, aª+a =6일때, aá+aª+a +y+aá 의값은? [ ] 4 00 이하의자연수중 00과서로소인모든수의합은? 등차수열과등비수열 49

50 수학영역 05 등차수열과등비수열 5. 등비수열의뜻과일반항 ⑴ 등비수열의뜻과공비첫째항부터차례로일정한수를곱하여얻은수열을등비수열이라하고, 곱하는일정한수를공비라고한다. 공비가 r인등비수열 {aç} 에서 aç*á=aç_r (n=,, 3, y) ⑵ 등비수열의일반항첫째항이 a, 공비가 r인등비수열의일반항 aç은 aá=a, aç=arç` ÑÚ` (n=, 3, 4, y) 설명첫째항이 a, 공비가 r인등비수열 {aç} 의각항은다음과같다. aá=a aª=aár=arú` a =aªr=arû` a =a r=arǜ 따라서일반항 aç은 aá=a, aç=arç` ÑÚ``(n=, 3, 4, y) 예 첫째항이 이고공비가 3인등비수열 {aç} 의일반항은 aá=, aç=_3ç` ÑÚ` (n=, 3, 4, y) 등비수열, -5, 5, -5, y는첫째항이, 공비가 -5이므로일반항 aç은 aá=, aç=_(-5)ç` ÑÚ`=(-5)Ç` ÑÚ` (n=, 3, 4, y) 참고일정한비율로증가또는감소하는값은등비수열을활용하여구할수있다. 처음의값이 a이고 회지날때마다이전값의 r`% 씩일정하게증가할때, n회지난후의값은 a{+;0r0;} Ç` ( 단, r>0) 처음의값이 a이고 회지날때마다이전값의 r`% 씩일정하게감소할때, n회지난후의값은 a{-;0r0;} Ç` ( 단, r>0) 6. 등비중항 0이아닌세수 a, b, c가이순서대로등비수열을이룰때, b를 a와 c의등비중항이라고한다. b가 a와 c의등비중항 HjK ;ab;=;bc; HjK bû`=ac 예세수, x, 8이이순서대로등비수열을이루면 x는 와 8의등비중항이므로 xû`=_8=6 즉, x=-4 또는 x=4 50 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

51 예제 3 등비수열의일반항 모든항이양수인등비수열 {aç} 에대하여 aª+a =0, a a =a 일때, a 의값을구하시오. 풀이전략등비수열 {aç} 의공비를 r라하면 aª+a =aár+aárǜ 이고 a aárý` =a 에서 =aárû`이다. a aárǜ 풀이 등비수열 {aç} 의공비를 r라하면 aª+a =aár+aárǜ =aár(+rû`) 이고 aª+a =0이므로 aár(+rû`)=0 yy`ᄀ a a aárý` =a 에서 =aárû` aárǜ aá+0, r+0이므로 aár= yy`ᄂᄂ을ᄀ에대입하면 +rû`=0 r>0이므로 r=3 ᄂ에서 aá=;3!; 따라서 a =;3!;_3Ý`=7 7 정답과풀이 3 쪽 [ ] 5 모든항이양수인등비수열 {aç} 에대하여 a =4aª, aáa =9일때, aá의값은? ;!; 3 ;#; 4 5 ;%; [ ] 6 좌표평면위에두점 O(0, 0), A(8, 0) 이있다. 제사분면위의점 P(x, y) 에서 x축에내린수선의발을 H라할때, 점 P는다음조건을만족시킨다. 0<x<8 세선분 OH, PH, AH의길이가이순서대로등비수열을이룬다. 점 P 가나타내는도형과선분 OA 로둘러싸인부분의넓이가 kp 일때, k 의값을구하시오. 05 등차수열과등비수열 5

52 수학영역 05 등차수열과등비수열 7. 등비수열의합 첫째항이 a, 공비가 r 인등비수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합 SÇ 은 ⑴ r= 일때, SÇ=na ⑵ r+일때, SÇ= a(-rç`) = a(rç`-) -r r- 설명첫째항이 a, 공비가 r 인등비수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합을 SÇ 이라하면 SÇ=a+ar+arÛ`+y+arÇ` ÑÚ` ᄀ의양변에 r 를곱하면 rsç=ar+arû`+arǜ +y+arç` ᄀ - ᄂ을하면 yy` ᄀ yy` ᄂ SÇ=a+ar+arÛ`+y+arÇ` ÑÚ` ->³ rsç= ar+arû`+y+arç` ÑÚ`+arÇ` (-r)sç=a (-r)sç=a(-rç`) -arç` 따라서 r+일때 SÇ= a(-rç`) 이고, r=일때ᄀ에서 SÇ=na -r 참고원리합계 매년초에 a 원씩연이율 r, 년마다의복리로 n 회적립하였을때, 적립금의 n 년말의원리합계 SÇ 은 SÇ=a(+r)+a(+r)Û`+y+a(+r)Ç`= a(+r){(+r)ç`-} (+r)- = a(+r){(+r)ç`-} r 8. 수열의합 SÇ 과일반항 aç 사이의관계 수열 {aç} 에서첫째항부터제n항까지의합을 SÇ이라하면 [ aá=sá aç=sç-sçðá (n¾) 설명 SÇ=aÁ+aª+a +y+aç에서 n=일때, SÁ=aÁ n¾일때, SÇ=(aÁ+aª+a +y+açðá)+aç=sçðá+aç이므로 aç=sç-sçðá 5 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

53 예제 4 등비수열의합 첫째항이 ' 이고모든항이양수인등비수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합을 SÇ 이라하자. S =5S 일때, aª+a +a +y+aª¼ 의값은? 풀이전략첫째항이 a 이고공비가 r 인등비수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합 SÇ 은 ⑴ r= 일때, SÇ=na ⑵ r+ 일때, SÇ= a(rç`-) r- 풀이등비수열 {aç} 의공비를 r 라하자. r= 이면 S =8_'=8', S =4_'=4' 이므로 S +5S 따라서 r+ 이므로 S = '(rý`-) r- S = '(r `-) r- = '(rý`-)(rý`+) =(rý`+)s r- S =5S 에서 rý`+=5, rý`=4, 즉 rû`= aá=' 이고, 모든항이양수이므로 r=' aª=aá r= 이고, 등비수열 {aç} 의짝수번째항들은공비가 rû` 인등비수열을이루므로 aª+a +a +y+aª¼= aª{(rû`)ú`ầ -} = rû`- (Ú`ầ -) =046-3 정답과풀이 4 쪽 [ ] 7 첫째항이 이고공비가 -인등비수열 {aç} 의첫째항부터제n항까지의합을 SÇ이라할때, SÇ>000을만족시키는자연수 n의최솟값은? [ ] 8 어느지역의대표적인농산물의 06년연간수출총액은 a원으로전년도에비해 0`% 상승한것으로나타났다. 이와같은증가세가유지되어이농산물의연간수출총액이매년전년도에비해 0`% 상승한다고가정할때, 06년부터 05년까지 0년동안이농산물의연간수출총액의합은 ka원이다. 상수 k의값은? ( 단, a는양수이고,.ú`ầ =6.로계산한다.) 등차수열과등비수열 53

54 Level 기초연습 정답과풀이 4 쪽 [ ] 등차수열 {aç} 에대하여 aª=3, a =5일때, a᪠의값은? 7 :Á : :Á : 5 9 [ ] 첫째항이 인등비수열 {aç} 에대하여 aª<0, a aª + a aª = 일때, a 의값은? [ ] 3 서로다른세수 a, b, 3은이순서대로등차수열을이루고, 서로다른세수 b-, a, 은이순서대로등비수열을이룰때, a+b의값은? ;%; 3 3 ;&; ;(; [ ] 4 와 64 사이에 4개의실수를넣어서 6개의수가이순서대로등차수열을이룰때, 이 6개의수의합을 S라하자. 또 와 64 사이에 4개의실수를넣어서 6개의수가이순서대로등비수열을이룰때, 이 6개의수의합을 T라하자. S-T의값은? [ ] 5 그림과같이자연수 n에대하여가로의길이가 n, 세로의길이가 인직사각형모양의땅을한변의길이가 인 n개의정사각형으로나눈후모든정사각형의각꼭짓점과각변의중점에식물을 개씩심을때, n개의정사각형에심은식물의개수를 aç이라하자. 예를들어 aª=3이다. aç=pn+q일때, pq의값은? ( 단, p, q는상수이다.) EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

55 Level 기본연습 정답과풀이 5 쪽 [ ] 두등차수열 {aç}, {bç} 이다음조건을만족시킨다. a -aª=b -bª=3 aª=b 두등차수열 {aç}, {bç} 의첫째항부터제 n 항까지의합을각각 SÇ, TÇ 이라할때, SÁ¼-TÁ¼ 의값은? [ ] 두학생 A, B는 부터 0까지의자연수중등차수열을이루는서로다른 5개의수를각각선택하였다. 두학생 A, B가각각선택한 5개의수는모두홀수이고 5개의수의합은 45로서로같다. 두학생 A, B가공통으로선택한수가 3개일때, 이세수의합은? [ ] 3 그림과같이한변의길이가 3인정육각형 ABCDEF가있다. 대각선 AE를 n등분한점을지나고대각선 AE에수직인 (n-) 개의직선들이정육각형과만나서생기는모든선분의길이의합을 aç이라하자. aç>00이되도록하는자연수 n의최솟값은? [ ] 4 길이가 인끈을잘라길이가 a, b, c`(aébéc) 인세개의끈으로만들었다. 세수 a, b, c는자연수이고, 이순서대로공비가자연수인등비수열을이룰때, c의값이될수있는모든수의합은? [ ] 5 모든항이 0이아닌등비수열 {aç} 의첫째항부터제n항까지의합을 SÇ이라하자. S -a =3, S =S +a 일때, aá의값을구하시오. 05 등차수열과등비수열 55

56 Level 3 실력완성 정답과풀이 7 쪽 [ ] 그림과같이좌표평면에서유리함수 y=;[k;`(k>0) 의그래프와원 xû`+yû`=4가서로다른네점 A, B, C, D에서만나고네점 A, B, C, D의 x좌표가이순서대로등차수열을이룰때, 상수 k의값은? ( 단, 두점 A, B는제사분면위의점이다.) ;5#; ;5$; 3 4 ;5^; 5 ;5&; [ ] 등차수열 {aç} 에대하여 SÇ=aÁ+aª+a +y+aç, TÇ= aá + aª + a +y+ aç (n=,, 3, y) 이라하자. SÇ 과 TÇ 이다음조건을만족시킬때, aá¼의값은? SÁ¼=aÁ¼ n¾4 일때, TÇ=SÇ+80 [ ] 그림과같이한변의길이가 인정육각형 AÁBÁCÁDÁEÁFÁ 의내부에선분 BÁEÁ 위에중심이있는두원 OÁ, OÁ' 과선분 BÁEÁ 위에대각선 BªEª 가있는정육각형 AªBªCªDªEªFª 를그리는데, 두원 OÁ, OÁ' 의지름의길 이는선분 BªEª 의길이와같고, 두원 OÁ, OÁ' 은각각정육각형 AÁBÁCÁDÁEÁFÁ 의두변에접하고정육각형 AªBªCªDªEªFª 와한점에서만나도록그린다. 두원 OÁ, OÁ' 에색칠하여얻은그림을 RÁ 이라하자. 그림 RÁ 에서정육각형 AªBªCªDªEªFª 의내부에그림 RÁ 을얻는것과같은방법으로두원 Oª, Oª' 과정육각형 A B C D E F 을각각그리고두원 Oª, Oª' 에색칠하여얻은그림을 Rª 라하자. 이와같은과정을계속하여 n번째얻은그림 RÇ에색칠되어있는모든부분의둘레의길이의합을 LÇ이라할때, L =p+q'3이다. 두 Lª 유리수 p, q 에대하여 p+q 의값은? ( 단, BÇBÇ*ÁÓ<BÇEÇ*ÁÓ 이고, 원 OÇ 은점 BÇ*Á 을지난다.) ;8(; ;4%; 3 :Á8Á: 4 ;#; 5 :Á8 : 56 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

57 대표기출문제 출제경향 등차수열과등비수열에서두항사이의관계식을이용하여공차또는공비를구하거나항의값을구하는문제가최근에출제되었다. 등차수열과등비수열의일반항을구하는문제, 등차중항과등비중항의성질을이용하는문제, 수열의합과일반항사이의관계를이용하는문제등이출제되고있다. 공차가 6인등차수열 {aç} 에대하여세항 aª, aû, a 은이순서대로등차수열을이루고, 세항 aá, aª, aû는이순서대로등비수열을이룬다. k+aá의값은? [4점] 학년도대수능 6 월모의평가 등차수열의일반항, 등차중항과등비중항을이해하여항의값을구할수있는지를묻는문제이다. 풀이 등차수열 {aç} 에서세항 aª, aû, a 은이순서대로등차수열을이루므로 k-=8-k k=5 등차수열 {aç} 의공차가 6이므로 aª=aá+6 aû=a =aá+4_6=aá+4 세항 aá, aª, aû는이순서대로등비수열을이루므로 aªû`=aáaû (aá+6)û`=aá(aá+4) aáû`+aá+36=aáû`+4aá aá=3 따라서 k+aá=5+3=8 05 등차수열과등비수열 57

58 06 수학영역수열의합. 합의기호 Á ⑴ 수열 {aç} 의첫째항부터제 n 항까지의합은기호 Á 를사용하여 aá+aª+a +y+aç= Á n aû k= 와같이나타낸다. 설명 Á n aû는수열의일반항 aû의 k에,, 3, y, n을차례로대입하여얻은항 aá, aª, a, y, aç의합을뜻하며, k 대 k= 신에 i, j 등의다른문자를사용하여나타낼수도있다. n Á k= aû= Á n aô= Á n aæ i= j= ⑵ 수열 {aç} 에서제m 항부터제n 항까지의합은기호 Á 를사용하여 aµ+aµ*á+aµ*ª+y+aç= Á n aû k=m 와같이나타낸다. 이것은첫째항부터제n항까지의합에서첫째항부터제 (m-) 항까지의합을뺀것이므로 n Á k=m aû= n Á aû- m- Á k= k= aû ( 단, ÉmÉn) 예 에서 일반항이 aç=n+3인수열의합으로생각하면 aá=5, a =5이므로 = Á 6 (k+3) k= 일반항이 aç=n-인수열의합으로생각하면 a =5, a =5이므로 = Á 8 (k-)= Á 8 (k-)-á (k-) k=3 k= k= 제n 항까지 n Ú Á aû Û`일반항 k=m Å 제m 항부터 aû 를차례로더한다.. 합의기호 Á 의성질 ⑴ Á n (aû+bû)= Á n aû+ Á n bû k= k= k= ⑵ Á n (aû-bû)= Á n aû-á n bû k= k= k= ⑶ Á n caû=cá n aû ( 단, c는상수 ) k= k= 설명 ⑴ Á n (aû+bû)=(aá+bá)+(aª+bª)+(a +b )+y+(aç+bç) k= =(aá+aª+a +y+aç)+(bá+bª+b +y+bç) = Á n aû+ Á n bû k= k= ⑶ Á n caû=caá+caª+ca +y+caç=c(aá+aª+a +y+aç)=cá n aû k= k= ⑷ Á n c=c+c+c+y+c=cn ( 단, c는상수 ) k= ( { n 개 9 58 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

59 예제 합의기호 Á 의성질 두수열 {aç}, {bç} 이모든자연수 n 에대하여 aç+bç=0 을만족시킨다. 0 Á k= aû=36일때, Á 0 bû의값은? k= 풀이전략 Á 의성질을이용한다. ⑴ Á n (aû+bû)= Á n aû+ Á n bû k= k= k= ⑵ Á n c=c+c+c+y+c=cn ( 단, c는상수 ) k= n개 ( { 9 풀이 aç+bç=0 에서 bç=0-aç 따라서 0 Á k= bû= Á 0 (0-aû) k= = Á 0 0-Á 0 aû k= k= =0_0-36 =64 5 정답과풀이 9 쪽 [ ] 0 수열 {aç} 에대하여 Áaû(aû+)=, Á 0 aû(aû-)=4일때, Á 0 (aû+)û`의값은? k= k= k= [ ] 0 수열 {aç} 에대하여 aáá=-, Á(k-)aû=53일때, Á 0 kû`(aû-aû*á) 의값은? k= k= 수열의합 59

60 수학영역 06 수열의합 3. 자연수의거듭제곱의합 ⑴ Á n k=++3+y+n= n(n+) k= ⑵ Á n kû`=û`+û`+3û`+y+nû`= n(n+)(n+) k= 6 ⑶ Á n kǜ =Ǜ +Ǜ +3Ǜ +y+nǜ =[ n(n+) ] Û` k= 설명 ⑴ 첫째항이, 제n 항이 n인등차수열의첫째항부터제n 항까지의합이므로 ++3+y+n= n(+n) = n(n+) ⑵ 등식 (k+)ǜ -kǜ =3kÛ`+3k+에서 k=을대입하면 Ǜ -Ǜ =3_Û`+3_+ k=를대입하면 3Ǜ -Ǜ =3_Û`+3_+ k=3을대입하면 4Ǜ -3Ǜ =3_3Û`+3_3+ k=n을대입하면 (n+)ǜ -nǜ =3_nÛ`+3_n+ 이 n개의등식을변끼리더하여정리하면 (n+)ǜ -Ǜ =3_(Û`+Û`+3Û`+y+nÛ`)+3_(++3+y+n)+_n =3Á n kû`+3_ n(n+) +n k= 따라서 n ÁkÛ`=;3!;[(n+)Ǜ -3_ n(n+) -(n+)]= n(n+)(n+) k= 6 ⑶ ⑵와같은방법으로등식 (k+)ý`-ký`=4kǜ +6kÛ`+4k+을이용하여등식 ⑶이성립함을보일수있다. 참고 Á n (k-)=á n k-á n =_ n(n+) -_n=nû` k= k= k= Á n k(k+)= Á n (kû`+k)= Á n kû`+ Á n k k= k= k= k= = n(n+)(n+) + n(n+) 6 = n(n+)(n+) 3 3 Á n (k-)k(k+)= Á n (kǜ -k)= Á n kǜ -Á n k` k= k= k= k= =[ n(n+) n(n+) ] Û`- = (n-)n(n+)(n+) 4 4 Á n kǜ ={ Á n k} Û`, 즉 Ǜ +Ǜ +3Ǜ +y+nǜ =(++3+y+n)Û` k= k= 60 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

61 예제 자연수의거듭제곱의합 5 kǜ +3k Á k= k+ + Á 5 3kÛ`+ k= k+ 의값은? 풀이전략 Á의성질과자연수의거듭제곱의합 Á n kû`= n(n+)(n+) 을이용한다. k= 6 풀이 5 kǜ +3k Á k= k+ + Á 5 3kÛ`+ k= k+ = Á 5 k= kǜ +3kÛ`+3k+ = 5 (k+)ǜ Á k+ k= k+ = Á 5 (k+)û`= Á 6 kû` k= k= = Á 6 kû`-û`= 6_7_3 k= 6 -=90 정답과풀이 9 쪽 [ ] 3 Á n (k-)û`- n- Ái(i-)=55를만족시키는 이상의자연수 n의값은? k= i= [ ] 4 자연수 n에대하여한변의길이가 인정사각형을좌우가대칭이되도록위에서부터차례로 개, 3개, 5개, y, (n-) 개붙여서만든도형을 AÇ이라하자. 그림과같이도형 AÇ에서한변의길이가 인모든정사각형에 모양또는 모양의스티커를붙이는데,,,,, y와같이 부터시작하여 와 모양의스티커를교대로붙이고, 윗줄에있는모든정사각형부터, 같은줄에서는왼쪽에있는정사각형부터차례로각정사각형에스티커를하나씩붙인다. 도형 AÇ에붙인 모양의스티커의 개수를 aç이라하자. 예를들어 aá=, aª=, a =5이다. Á 0 aû의값은? k= 수열의합 6

62 수학영역 06 수열의합 4. 일반항이분수꼴인수열의합 일반항이분수꼴인수열의합을구할때에는일반항을두개의식의차의꼴로나타내어구한다. ⑴ 일반항이분수꼴이고, 분모가서로다른두식의곱으로나타나는수열의합은 AB = B-A { A - B } (A+B) 임을이용하여구한다. 예 Á n k= k(k+) = Á n k= (k+)-k {;k!;- k+ }= Á n {;k!;- k= k+ } ={-;!;}+{;!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;n!;- n+ } =- n+ = n n+ Á n k= k(k+) = Á n k= (k+)-k {;k!;- k+ }= Á n ;!;{;k!;- k= k+ } =;!;[{-;3!;}+{;!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;}+y+{ n- - n+ }+{;n!;- n+ }] =;!;{+;!;- n+ - n(3n+5) }= n+ 4(n+)(n+) ⑵ 일반항이분수꼴이고, 분모가서로다른두무리식의합으로나타나는수열의합은분모를유리화하여구한다. 예 Á n k= 'Äk++'k = Á n 'Äk+-'k k= ('Äk++'k)('Äk+-'k) = Á n ('Äk+-'k) k= =('-')+('3-')+('4-'3)+y+('Än+-'n) ='Än+- Á n k= 'Äk++'k = Á n 'Äk+-'k k= ('Äk++'k)('Äk+-'k) =;!; Á n ('Äk+-'k) k= =;!;{('3-')+('4-')+('5-'3)+y+('Än+-'Än-)+('Än+-'n)} =;!;(--'+'Än++'Än+) 참고두항의차의꼴로나타난수열의합을구할때, 연달아소거되고남는항사이의규칙을파악한다. Á n (aû-aû*á)=(aá-aª)+(aª-a )+(a -a )+y+(aç-aç*á)=aá-aç*á k= Á n (aû-aû*ª) =(aá-a )+(aª-a )+(a -a )+(a -a )+y+(açðá-aç*á)+(aç-aç*ª) k= =aá+aª-aç*á-aç*ª 6 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

63 예제 3 일반항이분수꼴인수열의합 첫째항이 이고공비가 3 인등비수열 {aç} 에대하여 0 Á k= ' aû*á-'aû =;pq; 'aû' aû*á 이다. p+q 의값을구하시오. ( 단, p 와 q 는서로소인자연수이다.) 풀이전략 'Äaû*Á-'aû = 'aû' aû*á 'aû - 과같이두항의차의꼴로나타내어구한다. ' aû*á 풀이 0 ' aû*á-'aû Á k= 'aû ' aû*á Á{ k= 'aû - ' aû*á } = 0 ={ 'aá - 'aª }+{ 'aª - 'a }+{ 'a - 'a }+y+{ 'aá¼ - 'aáá } = 'aá - 'aáá 이때등비수열 {aç} 의첫째항이 이고공비가 3 이므로 aá=, aáá=3ú`ầ 따라서 0 Á k= ' aû*á-'aû = 'aû ' aû*á ' - =- "Å3Ú`ầ 3Þ` =;@4$3@; 에서 p=43, q=4 이므로 p+q= 정답과풀이 30 쪽 [ ] 5 4 Á k= a =를만족시키는상수 a의값은? 'Äk++'Äk [ ] 6 Á 9 (k+)û` =a일때, 0a의값은? k= k(k+) 수열의합 63

64 Level 기초연습 정답과풀이 30 쪽 [ ] 두수열 {aç}, {bç} 에대하여 Á 0 (aû+bû)=0, Á 0 aû bû=5일때, Á 0 (aû+)(bû+) 의값은? k= k= k= [ ] 수열 {aç} 에대하여 Á n aû=nû`+n일때, a +a 의값은? k= [ ] 5 3 Á k= (kǜ +a)=50 일때, 상수 a 의값은? [ ] 4 x에대한이차방정식 Á 0 kxû`-á 0 (++3+y+k)x-=0의두실근의합은? k= k= [ ] 5 5 Á k= 'Äk++'k + Á 35 k=9 'Äk++'k - Á 35 k= 'Äk++'k 의값은? EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

65 Level 기본연습 정답과풀이 3 쪽 [ ] 수열 {aç} 에대하여 Á 0 (kû`+)aû=6, Á 0 kaû=5일때, Á 9 kû`aû*á의값은? k= k= k= [7007-0] 자연수 n 에대하여집합 AÇ 이 AÇ={x xû`-4(n+)x+n+3é0, x 는정수 } 일때, 집합 AÇ의원소의개수를 aç이라하자. Á 7 aû의값은? k= [7007-0] 3 공비가 인등비수열 {aç} 에대하여 AÇ= Á n (aû+aû*á), BÇ= Á n (aªûðá+aªû) k= k= 라하자. 이상의자연수 n에대하여 BÇ-AÇ=f(n)_ Á n aû일때, f(6) 의값을구하시오. ( 단, aá+0) k= [ ] 4 등차수열 {aç} 의공차는 ;!; 이고 aá aáá=0(aáá-aá) 을만족시킬때, 0 Á k= aû aû*á 의값은? ;Á0; ;5!; 3 ; 0; 4 ;5@; 5 ;!; 06 수열의합 65

66 Level 3 실력완성 정답과풀이 3 쪽 [ ] 직선 x= 가두함수 f(x)=;4!;xû``(x¾0) 과 g(x)=;4!;(x+)û``(x¾0) 의그래프와 만나는점을각각 AÁ, BÁ 이라하자. 자연수 n 에대하여점 BÇ 을지나고 x 축에평행한 직선이곡선 y=f(x) 와만나는점을 AÇ*Á, 점 AÇ*Á 을지나고 y 축에평행한직선이곡 선 y=g(x) 와만나는점을 BÇ*Á 이라하자. 삼각형 OAÇBÇ 의넓이를 aç 이라할때, 6 Á k= aû 의값은? ( 단, O 는원점이다.) [ ] 두수열 {aç}, {bç} 에대하여 n Á k= (aû+bû)=ç` ±Ú`, Á n (aû-bû)=4n일때, Á 7 (aûû`-bûû`) 의값은? k= k= [ ] 3 자연수 n 에대하여좌표평면에서원 (x-4)û`+(y-)û`=50 위의점 P(x, y) 중에서 x-y =n 을만족시 키는점의개수를 aç이라할때, Á 0 aû의값은? k= [ ] 4 이차함수 y=xû` 의그래프와직선 l 은점 (, ) 에서접한다. 이상의자연수 n 에대하여이차함수 y=xû` 의 그래프와직선 l 및직선 x=n 으로둘러싸인부분 ( 경계포함 ) 에속하는점중에서 x 좌표와 y 좌표가모두정 수인점을네꼭짓점으로하고한변의길이가 인정사각형의개수를 aç 이라할때, aá¼ 의값은? EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

67 대표기출문제 출제경향 Á 의성질을이해하고적용하는문제, Á 로나타내어진여러가지수열의합을구하는문제, ;Kn+!aû 와 aç 사이의관계를이 해하는문제가자주출제된다. 주어진조건에서수열의규칙을찾아수열의합을구하는문제도자주출제되므로이에대한대비가필요하다. 수열 {aç} 에서 aç=(-) n(n+) 일때, 00 ÁnaÇ의값은? [4점] n= 학년도대수능 6 월모의평가 주어진수열을이해하고, Á를합으로나타내어보는과정을통해수열의합의규칙성을파악하여 Á의값을구할수있는지를묻는문제이다. 풀이 aç=(-) n(n+) 에서 n 또는 n+ 중하나가 4의배수이면 n(n+) 이짝수가되므로 aç=이고 n과 n+이모두 4의배수가아니면 n(n+) 이홀수가되므로 aç=-이다. 그러므로 n의형태에따른 aç의값은다음과같다. ( 단, k=,, 3, y) Ú n=4k-3 또는 n=4k-의꼴일때, aç=- Û n=4k- 또는 n=4k의꼴일때, aç= 한편, 00=4_50+이므로 00 Á n= naç=(aá+aª+3a +4a )+(5a +6a +7a +8a )+y +(005aª¼¼ +006aª¼¼ +007aª¼¼ +008aª¼¼ )+009aª¼¼»+00aª¼Á¼ ={(-)+(-)+3+4}+{(-5)+(-6)+7+8}+y +{(-005)+(-006) }+(-009)+(-00) =4_50+(-009)+(-00) =008+(-009)+(-00) =-0 다른풀이 k가자연수일때 a 4k-3 =-, a 4k- =-, a 4k- =, a 4k = 한편, 00=4_50+이므로 00 Á n= naç= Á 503 (4k-3)a 4k-3 + Á 503 (4k-)a 4k- + Á 50 (4k-)a 4k- + Á 50 4ka 4k k= = Á 503 k= = Á 503 k= k= k= (-4k+3)+ Á 503 (-4k+)+ Á 50 (4k-)+ Á 50 4k k= k= (-8k+5)+ Á 50 (8k-)=-8_ Á 50 (-8k+5+8k-) k= =-409+ Á 50 4= =-0 k= k= k= k= 06 수열의합 67

68 07 수학영역 수학적귀납법. 수열의귀납적정의 처음몇개의항의값과이웃하는항들사이의관계식으로수열 {aç} 을정의하는것을수열의귀납적정의라고 한다.. 등차수열의귀납적정의 ⑴ 첫째항이 a, 공차가 d인등차수열 {aç} 의귀납적정의는다음과같다. aá=a, aç*á=aç+d (n=,, 3, y) ⑵ 모든자연수 n에대하여 aç*á=aç+aç*ª 를만족시키는수열 {aç} 은등차수열이다. 예 aá=, aç*á=aç-`(n=,, 3, y) 인수열 {aç} 에서 aª¼의값을구해보자. aç*á=aç-, 즉 aç*á-aç=-이므로수열 {aç} 은공차가 -인등차수열이다. 이때첫째항이 이므로 aª¼=+9_(-)=-37 aá=, aª=5, aç*á=aç+aç*ª`(n=,, 3, y) 인수열 {aç} 에서 aá¼의값을구해보자. aç*á=aç+aç*ª, 즉 aç*á-aç=aç*ª-aç*á이므로수열 {aç} 은등차수열이다. 이때첫째항이, 공차가 aª-aá=5-=3이므로 aá¼=+9_3=9 3. 등비수열의귀납적정의 ⑴ 첫째항이 a, 공비가 r 인등비수열 {aç} 의귀납적정의는다음과같다. aá=a, aç*á=raç (n=,, 3, y) ⑵ 모든자연수 n 에대하여 aç*áû`=aç aç*ª 를만족시키는수열 {aç} 은등비수열이다. 예 aá=4, aç*á=aç`(n=,, 3, y) 인수열 {aç} 에서 aª¼ 의값을구해보자. aç*á=aç, 즉 aç*á =이므로수열 {aç} 은공비가 인등비수열이다. aç 이때첫째항이 4 이므로 aª¼=4_ú`á`=û`ú` aá=, aª=-3, aç*áû`=aç aç*ª`(n=,, 3, y) 인수열 {aç} 에서 aá¼ 의값을구해보자. aç*áû`=aç aç*ª, 즉 aç*á aç = aç*ª 이므로수열 {aç} 은등비수열이다. aç*á 이때첫째항이, 공비가 aª =-3이므로 aá aá¼=_(-3)á`=-3á` 68 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ

69 예제 귀납적으로정의된등비수열 첫째항이 ;!; 인수열 {aç} 이모든자연수 n 에대하여 aç*á =k (k는상수 ) aç 를만족시킨다. aª= 일때, a -a 의값은? 풀이전략모든자연수 n 에대하여 aç*á=kaç(k 는상수 ) 인수열은등비수열이므로 aá, aª 를이용하여공비를구한다. 풀이 모든자연수 n에대하여 aç*á =k, 즉 aç*á=kaç`(k는상수 ) 이므로수열 {aç} 은공비가 k인등비수열이다. aç aá=;!;, aª=에서 aª =4이므로수열 {aç} 의공비는 4이다. aá 따라서수열 {aç} 은첫째항이 ;!; 이고공비가 4 인등비수열이므로 a =;!;_4Û`=8, a =;!;_4Ý`=8 에서 a -a =0 정답과풀이 35 쪽 [ ] 수열 {aç} 이다음조건을만족시킨다. aá+aª=0 aç*á=aç+3 (n=,, 3, y) a +a 의값은? [ ] 첫째항이 3 인수열 {aç} 이다음조건을만족시킨다. aªç*á=aªçðá+4, aªç*ª=aªç (n=,, 3, y) a =a +a aª 의값은? ;!; 3 ;#; 4 5 ;%; 07 수학적귀납법 69

70 수학영역 07 수학적귀납법 4. 귀납적으로정의된여러가지수열귀납적으로정의된수열 {aç} 에서특정한항의값을구할때는 n에,, 3, y을차례로대입하여항의값을구한다. 예 aá=5, aç*á=aç+n`(n=,, 3, y) 으로정의된수열 {aç} 에서 a 의값을구해보자. aç*á=aç+n에서 n에,, 3, 4를차례로대입하면 aª=aá+=5+=6 a =aª+=6+=8 a =a +3=8+3= a =a +4=+4=5 aá=, aç*á=(n+)aç`(n=,, 3, y) 으로정의된수열 {aç} 에서 a 의값을구해보자. aç*á=(n+)aç에서 n에,, 3, 4를차례로대입하면 aª=aá=_= a =3aª=3_=6 a =4a =4_6=4 a =5a =5_4=0 5. 수학적귀납법 자연수 n 에대한명제 p(n) 이모든자연수 n 에대하여성립함을증명하려면다음두가지가성립함을보이면된다. Ú n= 일때, 명제 p(n) 이성립한다. Û n=k 일때, 명제 p(n) 이성립한다고가정하면 n=k+ 일때도명제 p(n) 이성립한다. 이와같은방법으로자연수 n 에대한어떤명제 p(n) 이참임을보이는것을수학적귀납법이라고한다. 참고자연수 n 에대한명제 p(n) 이 n¾m`(m 은자연수 ) 인모든자연수 n 에대하여성립함을증명하려면다음 두가지가성립함을보이면된다. Ú n=m 일때, 명제 p(n) 이성립한다. Û n=k`(k¾m) 일때, 명제 p(n) 이성립한다고가정하면 n=k+ 일때도명제 p(n) 이성립한다. 예모든자연수 n 에대하여다음등식이성립함을수학적귀납법으로증명해보자. ++3+y+n= n(n+) yy`(c) Ú n=일때, ( 좌변 )=, ( 우변 )= _ =이므로 (C) 이성립한다. Û n=k 일때, (C) 이성립한다고가정하면 ++3+y+k= k(k+) 위등식의양변에 k+ 을더하여정리하면 ++3+y+k+(k+)= k(k+) +(k+)= (k+)(k+) 따라서 n=k+ 일때도 (C) 이성립한다. Ú, Û 에의하여모든자연수 n 에대하여 (C) 이성립한다. 70 EBS 수능특강수학영역 l 수학 Ⅱ