7 장 1/30 Chapter 7 내 력 (Internal Forces)
7 장 2/30 제 6장에서는구조용부재의연결부에작용하는힘을구하는방법을소개하였다. 일단연결부에작용하는힘이구해지면다음의해석단계는부재내부에작용하는힘즉부재의내력을계산하는일이다. 한편, 제 6장에서는단면법을사용할때트러스구조의부재는두힘부재이므로부재의내력은단면의위치와무관함을알게되었다. 그러나프레임이나기계와같이다력부재인경우에는단면의위치에따라내력은달라질수있다. 제 7장에서는부재의특정지점에서의내력을구하는방법 ( 단면법 ) 과각지점에서의내력의변화를그래프로나타내는방법을소개한다. 주의 내력의계산이왜그리중요한가? 비록해석을간단히하기위해기 하학적인측면만고려함으로써부재를강체로가정하긴하지만현실에 있어서는변형체라는사실을상기해보라.
7.1 구조용부재내에발생하는내력 (Internal Forces Developed in Structural Members) 7 장 3/30
7 장 4/30 일반적인해석순서 1 구조물전체에서지지반력계산 2 가상단면에의해분리된부분에서내력계산 주의 C의단면은고정지지와효과가같음을유의하라. Table 5-1(10) 을참고하라. 미지력의수가평면힘계의경우 3개, 삼차원힘계의경우 6개를초과하지않도록단면을설정해야한다. Fig. 7-1(c) 의단면C에작용하는내력의방향이두부분에서반대로표시된점을유의하라.
7 장 5/30
예제 7-1 : Example 7-1 7 장 6/30 The bar is fixed at its end and is loaded as shown in Fig. 7-4a. Determine the internal normal force at points B and C. (Sol.) 지지반력 : 봉전체에대해서 ΣF y = A y 16 + 12 4 = 0, A y = 8 kn 주의 전단력 A x 와굽힘모멘트 M A 는왜자유물체도 (b) 에나타나지않았을까? 내력 : AB 부분 DC 부분 ΣF y = 8 N B = 0 ΣF y = N C 4 = 0 N B = 8 kn N C = 4 kn 주의 1. (a) 의 4, 12, 16 kn 의힘은외력임을명심하라. 2. 부분을달리잡아서내력을계산해보라.
예제 7-2 : Example 7-3 7 장 7/30 The beam supports the loading shown in Fig. 7-6a, Determine the internal normal force, shear force, and bending moment acting just to the left, point B, and just to the right, point C, of the 6-kN force. (Sol.) 지지반력 ΣF y = A y + D y 6 = 0 ΣM D = 9 + 6(6) - A y (9) = 0 A y = 5 kn, D y = 1 kn 내력 AB 부분 ΣF x = N B = 0 ΣF y = 5 - V B = 0, ΣM B = -(5)(3) + M B = 0, V B = 5 kn M B = 15 kn m
7 장 8/30 AC 부분 ΣF x = N C = 0 ΣF y = 5 16 - V C = 0, ΣM C = (5)(3) + M C = 0, V C = 1 kn M C = 15 kn m 주의 집중외력 6 kn 이작용하는지점좌우에서굽힘모멘트는연속이지만전 단력의불연속이발생함을유의하라. 이점은부분 BC 의자유물체도를생 각해보면명확해진다.
예제 7-3 : Example 7-4 7 장 9/30 Determine the internal normal force, shear force, and bending moment acting at point B of the twomember frame shown Fig. 7-7a. (Sol.) 지지반력 : 부재 CD 가두힘부재이므로부재 AC 의자 유물체도로부터 F DC 의방향은결정된다. ΣM A = 400(4) + (3/5)F DC (8) = 0, ΣF x = A x + (4/5)F DC = 0, ΣF y = A y 400 + (3/5)F DC = 0, F DC = 333.3 lb A x = 266.7 lb A y = 200 lb
7 장 10/30 내력 : AB 부분에대해서 ΣF x = N B 266.7 = 0, N B = 26.7 lb ΣF y = 200 200 V B = 0, V B = 0 lb ΣM B = M B 200(4) + 200(2) = 0, M B = 400 lb ft 부분 BC에대해서도마찬가지의결과를얻을수있다. 주의분포하중을집중하중으로대체하지말고그대로해석해보라.
예제 7-4 : Problem 7-30 7 장 11/30 The pliers are used to grip the tube. If a force of 20 lb is applied the handles, determine the internal shear force and moment at point C. Assume the jaws of the pliers exerts only normal forces on the tube. 문제의요지 : 점 C 의내력을구하기전에 C 를포함하는 plier 의해석을통해 B 에서 의지지반력을먼저구해야한다.
(Sol.) 10 A y C 0.5 1 y 7 장 12/30 A A x x R B y 20 ΣM A = 20(10) + R B (1.5) = 0 N C M C V C 1 R B = 133.3 lb x R B 부분 BC ΣF y = V C + 133.3 = 0, V C = -133.3 lb ( 전단력 ) ΣM C = -M C + 133.3(1) = 0, M C = 133.3 lb in ( 굽힘모멘트 ) ΣF x = -N C = 0, N C = 0 lb
7 장 13/30 7.2 보의전단력및모멘트식과선도 (Shear and Moment Equations and Diagrams) 보는그축에수직으로작용하는하중을지지하도록설계된구조용부재이다. 보통보는긴직선봉으로서일정한단면적을가지며, 종종그지지방법 ( 경계조건 ) 에의해분류된다. 예를들자면단순지지보, 외팔보, 고정보등이있다. 보의설계를위해서는보의축방향으로측정한각지점에작용하는전단력 V와굽힘모멘트 M의변화를자세히알아야한다. 단면법을사용하여 x의함수로서구한 V와 M을그림으로나타낸것을각각전단력선도 (shear diagram) 와모멘트선도 (moment diagram) 라한다.
일반적으로분포하중이불연속이거나집중하중또 7 장 14/30 는우력모멘트가작용하는지점에서전단력과굽힘모멘트혹은그들의도함수가불연속이될수있다. 따라서절단면은이불연속지점을피해서설정되어야한다. 부호규약 (sign convention) 보의절단면에작용하는양과음의전단력과모멘트를정의하기위한부호규약은임의로운것이지만 Fig. 7-11의규약을선택하기로한다. 주의 이규약에따르면전단력은구조물요소를시계방향으로회전시키려하고모멘트는그요소를아래로볼록한굽힘변형을일으키려한다는점을유의하라.
예제 7-5 : Example 7-7 7 장 15/30 Draw the shear and bending-moment diagram for the shaft shown in Fig. 7-12a. The support at A is a thrust bearing and the support at C is a journal bearing. (Sol.) 지지반력 : R A + R C 5 = 0 M A = R C (4) 5(2) = 0 R A = R C = 2.5 kn ( 대칭을고려하면직관으로알수도있다.) 전단력과모멘트 x = 2 m에집중력이작용하므로두구간으로나누어서해석해야한다. i) 0 x < 2 일때 : F y = 2.5 V = 0, V = 2.5 M A = M V x = 0, M = 2.5 x
7 장 16/30 ii) 2 x 4 일때 : F y = 2.5 V 5 = 0, V = 2.5 M A = M 5(2) V x = 0, M = 10 2.5 x 전단력선도와모멘트선도 주의 보의내부에작용하는전단력이불연속이란점은비현실적이다. 왜이런결과를얻게되었을까? 점 B에가해진집중력 5 kn은현실적일까?
예제 7-6 : Example 7-8 7 장 17/30 Draw the shear and bending-moment diagram for the beam shown in Fig. 7-13a. (Sol.) 1 1 지지반력 : F y = R A + R B 6(9) = 0 6(9) 2 2 1 6 3 M A = R B (9) 6(9) 2 전단력과모멘트 R A = 9 kn, R B = 18 kn 하중함수가연속이므로내력의불연속이예상되는점이없 으므로구간의구분이없이해석하기로한다. 즉 0 x 9 2 1 x F y = 9 x 2 V = 0, V = (9 ) kn 3 3 3 1 x x M A = M + x 3 2 ( ) 9x = 0, M = (9x ) kn m 3 9 R A R B
전단력선도와모멘트선도 7 장 18/30 주의 전단력이 0 일때모멘트가극대값을가지게됨을유의하라.
예제 7-7 : Problem 7-64 7 장 19/30 The semicircular rod is subjected to a distributed loading ω = ω 0 sin θ. Determine the internal normal force, shear force, and moment in the rod as a function of θ. (Sol.) w( θ ) = w F F x y 0 = V = N + 0 sinθ 0 0 M = M θ θ θ rdθ w( θ )cos( θ θ ) = 0 rdθ w( θ )sin( θ θ ) = 0 θ 0 rdθ w( θ )cos( θ θ ) r sin( θ θ ) rdθ w( θ )sin( θ θ ) r(1 cos( θ θ )) = 0 1 1 V = w 0 rθ sinθ, N = w0r(sinθ θ cosθ ), 2 2 M y N M r θ V dθ 1 2 θ x θ - θ w(θ' ) = w0r (sinθ θ cosθ ) 2
7.3 분포하중, 전단력및모멘트사이의관계 (Relations Between Distributed Load, Shear, and Moment) 7 장 20/30 여기선앞에서소개한방법보다더간편하게전달력과모멘트를구하는방법을소 개하기로한다. 이방법은분포하중, 전단력, 모멘트사이에존재하는미분관계에기 초를두고있다. 분포하중 w(x) 와몇개의집중력 F i 와우력모멘트 M i 가작용하는보를생각해보자. w(x+δx) 분포하중보의단면에작용하는내력인전단력 V와굽힘모멘트 M과분포하중 w(x) 와의관계를구하기위하여길이가 x인보요소 ( 집중력과우력모멘트가작용하지않는 ) 의자유물체도를생각해보자.
7 장 21/30 F y = V w(x) x (V + V) = 0 V = w(x) x M O = V x M + w(x) x [k x] + (M + M) = 0 여기서 0 k 1이며균일하중의경우 k = 1/2이다. M = V x w(x) k ( x) 2 위의식들을 x로나누고 x 0인극한을취하면다음을얻는다. dv dx = w(x) 전단력의도함수 ( 전단력선도의기울기 ) dm = V dx 모멘트의도함수 = 전단력 = 분포하중강도 (distributed load intensity; 아래방향을양의방향으로잡은 ) 의음
7 장 22/30 주의 1. 이결과는 k 의값에무관하다. 2. 전단력이 0 일때모멘트가극대또는극소가된다. V C = VBC = V B C dv w( x) xb x 전단력의변화 = 하중곡선아래의면적이음 dx M C = M BC = M B C dm V ( x) xb x dx 모멘트의변화 = 전단력선도아래의면적 주의 이상의결과는집중력과우력모멘트가작용하지않는보요소에대해유 도한결과이므로집중력과우력모멘트가작용하는점에서는이결과가적 용될수없다.
7 장 23/30 집중하중 집중력이작용하는미소요소를생각해보면 F y = V F ( V + V ) = 0 V = F, lim V x 0 = F M 0 = V x + Fk x M + ( M + M ) = 0 M = ( V Fk) x lim M = 0 0 x 결국집중하중좌우에서굽힘모멘트는연속이지만전단력은 F( 집중하중의음 ) 만큼불연속 ( 점프 ) 이발생한다. 주의 분포하중이추가되더라도같은결과를얻게된다. 왜냐하면 x 0 의극 한을취하는과정에서분포하중의기여는 0 이되기때문이다.
7 장 24/30 우력모멘트 우력모멘트가작용하는미소요소를고려하면 F y = V ( V + V ) = 0 O V = F, lim V = 0 0 x M 0 = ( M + M ) M M 0 V x = 0 M = M 0 + V x lim M x 0 = M 0 결국우력모멘트좌우에서전단력은연속이지만굽힘모멘트는 M 0 만큼불연속이발 생한다. 주의 보에분포하중, 집중력, 우력모멘트가함께작용하는경우에는각각의 선도를그린후합하면된다.
예제 7-8 : Example 7-9 7 장 25/30 Draw the shear and moment diagrams for the beam shown in Fig. 7-16a. (Sol.) 지지반 력 : F y = V ( 0) 50(8) = 0, V ( 0) = 400 lb ( ) M A = M ( 0) 50(8)(4) = 0, M(0) = -1600 lb ft ( ) 전단력과모멘트 분포하중만작용하므로 dv dx = w = 50 M(0) V(0 ) V ( x) = 50x + C 1 x
7 장 26/30 초기조건 V ( 0) = C = 1 400 V ( x) = 400 50x dm dx = V = 400 50x M + 2 ( x) = 400x 25x C2 M ( 0) = C2 = 1600 M ( x) = 1600 + 400x 25x 2
예제 7-9 : Example 7-10 7 장 27/30 Draw the shear and moment diagrams for the cantilevered beam shown in Fig. 7-17a. (Sol.) 지지반력 : = V ( 0) 40(12) 600 = 0 40 lb/ft 600 F y V ( 0) = 1080 lb ( ) M(0) M A = M ( 0) 40(12)(6) 600(20) 1000 = 0 M(0) = -15880 lb ft ( ) V(0) 12 8 1000 전단력과굽힘모멘트 i) 0 x < 12 dv dx = 40, V ( x) = 40x + C V ( 0) = C = 1 1080 1 V ( x) = 40x + 1080
dm = 2 V, M ( x) = 20x + 1080x + C dx 2 M ( 0) = C2 = 15880 7 장 28/30 M ( x) 2 = 20x + 1080x + 15580 ii) 12 x < 20 dv dx = 0, V ( x) = C 3 V ( 12) = 40(12) + 1080 = 60 dm dx = 600, M ( x) = 600x + C 4 M (12) 2 = 600(12) + C4 = 20(12) + 1080(12) 15880 C 13000 4 M ( x) = 600x 13000 주의 i), ii) 의해석없이이선도들을그릴수있겠는가?
예제 7-10 : Problem 7-77 7 장 29/30 Draw the shear and moment diagrams for the beam. (Sol.) 도해법 (graphical method) 의예 1 지지반력 F y = R A 20 (20) + R = 0 C M A = 20 (20)(10) 160 + R (40) = 0 C R C = 104, R A = 296 2 20 < x < 40 에서분포하중함수가 0이므로전단력은일정하다. 3 0 < x < 20 에서 w = -20 이므로전단력선도는선형함수이다. 4 보의양단의경계조건에서굽힘모멘트는 0이다. 5 20 < x < 40 에서전단력이일정하므로굽힘모멘트는기울기가 104인일차함수이다.
6 전단력이 0 인지점 (x = 14.8) 에서 모멘트가최대인포물선이모멘트 선도가된다. M A 14.8 = 20 (14.8) + M ( x = 14.8) = 0 2 V(x) 296 20 lb/ft 20 x 160 lbft 20 7 장 30/30 104 M A ( x = 14.8) = 2190.4 1 296 주의 자세한해석없이도해법만 3 으로이러한결과를얻는 14.8 ft 2 104 1 데는많은경험이요구된다. 20 lb/ft M(x ) 6 1920 2080 = 20 104 M(0) = 0 M(x = 14.8) 296 14.8 4 5 4