6 강소성역학
6 강목차 6. 인장시험과기초역학 6. 응력 6.3 변형률과변형률속도 6.4 항복이론과소성변형 6.5 열전도방정식및마찰, 역학총정리
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e e U Y O e Y e, e A L f l l e L L A N A A A e L e f e e A L u e F ma e: egeerg : rue Y U ma e
진응력 e A 공칭응력 A L ( ) 진응력 f e e e Af A Af L A L A L f f L L 초기단면적 A f L L L L L ( ) L ( ) e L 현재단면적 A f 진변형률 L f l l e 진변형률 L 공칭변형률 L L L ( ) L ( ) e L L f dl L L f L l l l L L L l( )
, e e E, E E, E e U Y Y e N e F O E u e ma e la log a
소성 (YF 사이 ), e e 진 (True) N F O Y N F U Y Y Y N 공칭 (Egeerg) F 시편 항복점 네킹점 파단점 O u u l( ) e u e e L, e A L f l l e l e L A e( e) A A A L f e e
,, / A k k 스프링상수 E E / L 탄성계수, 영률 k k eq AE L E, E, AE A L L k L AE U k k U k L eq AE
네킹직전까지인장시편의내력 단축하중문제 끝영향 끝영향이사라진영역 Sa-Vea 원리 두개의정역학적으로동일한힘계는힘이작용하는영역에서멀어지면서두힘계의영향의차이가급속도로사라짐 위 아래 = 끝영향 아래 대칭성논리 위 = (X) (X) (X) (O) / 개
θ A o A j θ A cos s j A s o A = A θ o () T s A ( ) s cos s θ s s cos s ( ) θ 9 θ θ 6 θ 45 θ 3 3 o o o o θ θ = θ 4 o 3 4
A o T o N N = s T = cos A A s N s s A A T cos s cos s A A θ 9 o A θ 6 θ 45 θ 3 θ 3 θ 4 θ o 3 4 ( ) o o o s cos s 3 4 4 θ =
b / a << a z b F F a = Fb, F / = a / b, F >> 으로가정 z c로가정 A E da M c I zz b Mb I zz v( ) F M z EI v( ) M ( ) zz b I zz da A
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F A F R j r : : R R R R r F R F R R R R R R R R R R R R Sum 질점of eeral 에작용하는 force eerg 모든외력의 o parcle 합 R R R F Ieral 질점 force 가질점 eerg j 에o 가하는 parcle 내력 j from parcle j j 평형조건식 F r F F F 힘은내력 ( 질점간의힘 ) 과외력 ( 하중, 반력, 자중등 ) 으로구성 제 법칙 제 3 법칙 F M A Newo 의운동법칙 3 4 5 6 F + R + R + R + R + R + R = R = -R 실제물체의질점수는무한대! 하나의질점에작용하는모든힘의합, 즉 f 는그질점의질량 m 과가속도 a 의곱과같다. 즉, f = ma. 작용과반작용의법칙. 두질점간에작용하는두내력은동일한크기와작용선을가지며, 방향은반대이다. r R = -r R 3 3 3 무한대개의방정식 개의백터방정식 (6 개의대수방정식 ) 이평형조건식은전체계는물론이고임의의부분계에대하여성립해야함. 이것은미분방정식으로연결됨. = 미소선분, 면적, 체적
F F 4 F F F A 단면에작용하는내력 F F 3 F F F 뉴톤의제 3 법칙 ( ) T ( ) T ( ) ( ) lm A lm A F A F A () (-) = ( ) () ( ) ( )
차원 ( ) ( ) ( ) ( ) () j (j) j 평면응력 (lae sress) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 차원 z face e z z z face e 3 zz z z face 차원역학에서의점 = 정사각형 e (e ) e e e ( e ) j 3 3 3 차원역학에서의점 = 정육면체 j z j z z z zz
미소면적 F F M A 3 F ; ; ; 차원 (lae sress, lae sra, As-smmerc) 4 F F F 자중무시 (, ) (, ) (, ) (, ) 3 차원 (, ) (, ) A (, ) z (, ) (, ) z f z z f z (, ) z zz f z z,, z z z z
l cos 폭 길이 l O ( ) cos sj j F ; ( ) F ; ( ) l s ( ) ( ) ( ) S j N z ( ) ( ) ( ) z z z z zz z Cauch 공식 ( ) j j j
순수전단 (ure shear) 길이 l cos s s cos ( ) cos s (cos s ) l cos z z T cos(, ) p l s p cos s cos s s cos s cos 변환행렬 변환행렬이두개사용되었으므로 차텐서임 z T T T z z T T Tz z T T T z z T T Tz T T T T T T z z zz z z zz z z zz z z zz T ' T T T T 동질변환 와!!! ' 의 고유치는동일함!!!
Cauch 의공식 z ( ) ( ) ( ) z z z z zz z ( ) j N ( ) S N N 전단응력이사라지는조건 ( ) 미지의상수 : 법선응력, 방향 ( ) 고유치문제 주응력 z z z z zz z z z z z zz z z
고유치문제의해법 z z I I I z z zz 특성방정식 zz 3 3 I I I3 응력불변치 ( 제 불변치, 제 불변치, 제 3 불변치 ) 주응력,, 3 zz zz z z 3 3 3 zz z z z z zz 3 z z z z zz z z 주응력축 () ( ) ( j) σ' T σ T ( j) 동질변환
평균응력 m 과정수압 p 편차응력텐서 j m z j m z z z zz m m / 3 I / 3 p 편차응력텐서의두번째불변치 J I 3 J 와유효응력 ( ) ( ) ( ) 6 I 3 3 3 3J 6( ) j j zz zz z z 3 3 z z face z zz 3 z z z z face face = Equvale = 인장시험
고유치문제와특성방정식, 고유값 ( 주응력 ) 8 6 8 6 6 6 (8 )( ) 36 7., 7. 6 8 고유벡터 ( 주응력축의방향 ) ) 7. 37. 8 7. 6 6 7. 6 ) 7. 6 37. 7. 7. o 3.7 p () ().85.53 3.7 o.85.53 a 3.7.85.53 o
R 67. c 8 c (8 ) / 5 R (8 ) / 4 6 c R 7. a 8 c R 7. b 6 6 8 a ( p ).53 o p a 3.7.85 7. o 3.7 3.7 o.85 a b 3.9 4. ο 4 3.88 cos s cos s s cos s cos 7..53
I zz 3 I I 3 zz zz z z 3 3 zz z z z z zz 3 6 8 I I I 3 8 8 8 6 6 8 8 8 6 6 z z z R 67. c a 8 8 b 6 7. 7. o 3.7 I I I 3 7. 7. 7. ( 7.) ( 7.) 7. 7. ( 7.) a b 3.9 4. ο 4 3.88 I I I 3 3.9 3.9 3.9 ( 3.9) ( 3.9) 3.9 4 4 3.9 ( 3.9) 4 3.9 ( 3.9) 4 4
3.
변위장의예 u, u, 4 5 4 8 변형후 8 7 3 (, ) 3 변형 = 변위 - 강체운동 ' 5 6 6 7 변형전 속도장의예
평면변형 u, u f (, ), u z 예 : 댐, 박판압연 E O O C 3차원에서변형률텐서 z j z z z zz,, ( ) 변형전 z z z z E C ( ) 변형후 평면변형의변형률텐서 j u, u f (, ), u z ' ' O C - OC lm c OC ' ' O E - OE lm c OE z E O C ' ' '
zz u u u z z z z u u ( ) u u ( z ) z u ( z u ) z u u lm fed u u (, ) fed j u u j ( ) j u (, ) u fed a a,
변형률속도 j j z j z z z zz 변형률속도 - 속도관계식 v v j ( ) j v v v,, zz z j z d j j,, jd j d 예제. ( s). ( s). mm. mm...... s v v v vz vz v ( ), z ( ), z ( ) z z j j
변형률관련고유치문제 z z z z zz z z 고유치 - 주변형률 L L L 3 3,, 3 주변형률 고유벡터 - 주변형률축 ( k ) k ( j) ( k) ( l) 주변형률축은직교함 v 평균변형률 L m 부피변화율유효변형률 3 3 편차변형률 j m z j m z z z zz m 3 3 j j 3 3
변형률속도관련고유치문제 고유치 - 주변형률속도 고유벡터 - 주변형률속도축 z z z z zz z z 평균변형률속도 v L m 3 3 부피변화율속도유효변형률 j j L L L 3 3,, 3 편차변형률속도 주변형률속도 j ( k) ( l) m z j m z z z zz m ( k ) k ( j) 주변형률속도축은직교함 3 3 j j 3 3 유효변형률 ( ) 과유효변형률속도 ( ) 와의관계 d d j j
4.
Y f J k j j k, k 3 3 3 Y zz zz 6 z z Y Tresca 항복이론 f Y k ma ma k ma m 평면응력에서항복궤적 3 차원응력공간에서항복곡면 Y ma Tresca 인장시험 Y Y 비틀림시험 3 vo Mses Y
비압축성재료의항복시변형률속도텐서는항복곡면에직교함 (Drucker의가설의결과 ) 직교성, f, f f j 또는 j f f pq j j k j j f f j j, j j j j vo Mses 항복이론을따를경우 3 j j j f f k ( ) ( ) 3, 3J 3 j j j j j zz z z zz z z pq pq p jq pq pq p q j j j 항복곡면 (Yeld surface) : f ( j ) 3 덧셈부호규약사용 Y 3 3 kl 3 kl j j j 사용자입력 : 유동응력 Flow sress 탄성영역에서 임. 수치문제발생시킴 3 33 변형의항복곡면직교성 j f
변형경화발생원인 소성변형은전위 (dslocao) 에의하여발생 전위는원자간의슬립또는트위스트에의하여발생하는일종의결함적요소 기발생한전위는새로운전위의발생을저지함 = 변형경화 변형경화모델 F U N F Y Y O u u l( ) e u e Y Y( ) 등방성경화 기구학적경화
. 변형의이상화 p d j j j : 소성변형률속도 (lasc ( lascsra sra- rae) : 차이변형률속도 (Dfferece ( sra-rae) 탄소성 ( (Elasoplasc) ): p j d j e j : Elasc 탄성변형률속도 sra rae(elasc sra rae) d 강소성 ( (Rgd-plasc) ) : 유동응력의이상화 완전소성 : = 일정 e 탄소성 : = Y, 강소성 : = Y p p Y 강점소성 : = Y, d j p p 강열점소성 : =,, T p p j e j 상온에서의주요유동응력모델 Yo, K, Yo K b Yo : 초기항복응력,(Ial eld eld sress sress) K : 강도계수,(Sregh coeffce) : 변형경화지수, (Sra hardeg epoe epoe) 고온에서의주요유동응력모델 C m, C m : 변형경화지수, Sra hardeg epoe m : 변형률속도의존도, Sra rae depedec C : 고온강도계수, Sregh cosa of ho
가정 : 작은변형, 등방성중첩원리적용가능 zz z j G v j G E ( ) 전단탄성계수 포아송비 E zz E zz z v z E v zz z z zz v zz E v zz E zz zz v E,, G G G z z z zz zz E v zz z z 등방성재료에대한일반화된후크법칙
열팽창 TL 단순길이를의미함 문제 / L T T v zz E T v zz T E zz zz v T E,, G G G z z z 열팽창계수 등방성재료에대한일반화된후크법칙 779Ma C L -8Ma
5.
열전도법칙 Fourer 의열전도법칙 차원 차원및 3 차원 q 열전도계수 T T T 열유동 열대류법칙 열방사법칙 q ( ) c hq T T q T T r 4 4 ( q ) 열전달계수 Sefa-Bolzma 상수
열전도방정식 ( q q ) z ( q q ) z T ( qz z qz ) qgz c z q q q Δ, ec. 열용량 q T q q Δ k T 경계조건 T o S T T k k T k T q T g c z z 열전도방정식 kt kt T T h T T o S q g (.9.) 4 4, ( q ) q ( q ) q T 덧셈부호규약사용 : T 콤마 (,) 뒤의첨자는편미분을의미함,
특수경계조건 : 마찰 쿨롱 (Coulomb) 마찰법칙 : 마찰계수 (Coeffce of Coulomb frco) g( v ) o S C : 하이브리드 (Hbrd) 마찰법칙 : g( v ) o SC whe m' k m' k g( v ) o S whe m' k C 일정전단마찰법칙 m : 마찰상수 mkg( v ) o : (Coeffce of Coulomb frco) S C mk 등식은미끄러질때성립함 F gv ( ) a ( v v ) a 질량보존법칙비압축성조건 u v,, 질량보존법칙 ( v ), 접촉면 덧셈부호규약사용 : 콤마 (, ) 뒤의첨자는편미분을의미함 mk mk Coulomb 개선 Coulomb 하이브리드 (Hbrd) 일정전단
구분상세법칙방정식및관계식비고 Newo 운동 에너지 보존 질량 보존 구성 방정식 변형의 기하학 경계조건 평형조건식 평형방정식 운동방정식 열전도방정식 에너지보존방정식 연속방정식 Hooke 법칙 소성유동법칙 Fourer 의열전도법칙 변위 - 변형률관계식 속도 - 변형률속도관계식 필수경계조건 자연경계조건 F F ma ma,, M M II j, j f, f,, j j j j j j j, j f j, j f v v Naver-Sokes 방정식 k k, q, g c, q 고체에적용, g c k, k, q q, g c, jv j 유체에적용, g c, jv j v, v, 비압축성재료 v, v, 압축성재료 j j j j k k kj, k j, j j j k k j E j k k j E j j j j 열역학 법칙이 3 3 성립하도록함 q q k k,, u uuu v v j v, j vj, j j, j, j j, j, j, j j, u u u, uv, v v, v, j j j,, q, k, q q k q Naver-Cauch 방정식