Kuo의자동제어10e_10v01 - PDF Free Download

자동제어 (Automatic Control) 10 장주파수영역분석 교재 : Automatic Control Systems

서론 설계문제에있어서최대오버슈트와상승시간, 지연시간, 정정시간등의시간영역사양을만족시키는통일된설계방법은없음 주파수영역에서는저차의시스템에만국한되지않게이용할수있는도식적인방법이풍부함 주파수영역의특성을기초로시간영역의성능을예측할수있는것과같이주파수영역과시간영역성능의상관관계를이해하는것이중요 주파수영역은잡음과파라미터변화에대한민감도를측정하는데더편리 주파수영역에서제어시스템의해석과설계를수행하는주된동기는기존의해석도구의편의성과가용성 제어시스템의복소수해석과설계를통해가치있고핵심적인정보를제공하는제어시스템문제의다른관점을제공

서론 주요항목 주파수응답 주파수영역설계사양 최소위상시스템을위한 Nyquist plot 및도구 (Polar plot) 활용 위상및이득마진 Nichol s charts MATLAB codes

서론 선형시불변시스템 입력 : 진폭 R, 주파수 ω 0 인정현파 rt ( ) = Rsinw t 출력 : 동일주파수, 다른진폭과위상 yt ( ) = Ysin( w t+ f) 0 0 SISO 시스템의전달함수 M(s) Y () s = M() s R() s 정현파정상상태해석을위한대치 Y ( jw) = M( jw) R( jw)

서론 선형시불변시스템 함수 Y(jω) 의극좌표표현 Y ( jw) = Y ( jw) ÐY ( jw) 입력과출력의진폭사이의관계 Y ( jw) = M( jw) R( jw) 입력과출력의위상사이의관계 Ð Y ( jw) = Ð M( jw) + ÐR( jw) 입력과출력신호에대한출력정현파 진폭 : Y = R M( jw0 ) 위상 : f = ÐM( jw ) 0

폐루프시스템의주파수응답 단일루프제어시스템의폐루프전달함수 Ms () = Y () s G() s Rs () = 1 + GsHs () () 정현파정상상태 s = jω M( jw) Y ( jw) G( jw) = = R( jw) 1 + G( jw) H( jw) 크기 위상 Û M( jw) = M( jw) ÐM( jw) Û M( jw) = Re[ M( jw)] + j Im[ M( jw)] M( jw) G( jw) G( jw) = = 1 + G( jw) H( jw) 1 + G( jw) H( jw) Ð M( jw) = f ( jw) =ÐG( jw) -Ð[1 + G( jw) H( jw)] M

폐루프시스템의주파수응답

주파수영역사양 첨두공진치 (Resonant Peak) M r 첨두공진치 M r 은 M(jω) 의최대치 M r 의크기는안정한피드백제어시스템의상대적안정도의척도 큰 M r 은시간영역에서계단응답의큰최대오버슈트에대응 대부분의제어시스템에서 M r 은 1.1 ~ 1.5 공진주파수 ω r 공진주파수 ω r 은첨두공진치 M r 이일어날때의주파수 대역폭 BW 대역폭 BW 는 M(jω) 의크기가주파수 0 일때값의 70.7% 또는 3dB 떨어질때의주파수 시간영역의과도응답성질의지표제공 잡음제거특성, 시스템의강인성제공 차단율 (Cutoff Rate) 높은주파수에서 M(jω) 의기울기

첨두공진치와공진주파수 표준형 2 차시스템의폐루프전달함수 Y () s w Ms () = = Rs () s 2 s 2 n 2 2 + zwn + wn ζ : 감쇠비 ω n : 비감쇠고유주파수 정현파정상상태 Y ( jw) w M( jw) = = R( jw) ( jw) 2 zw ( jw) w 2 n 2 2 + n + n 1 = 1 + j 2( w/ w ) z - ( w/ w ) 1 M( ju) = 1 + j2uz - u M( ju) = n 2 1 é ë(1 - u ) + (2 z u) Ð M ju = =- n 2 2 2 2-1 ( ) fm ( ju) tan 1 ù û 1/2 2z u -u 2

첨두공진치와공진주파수 M(ju) 의 u 에대한미분을 0 으로놓아서공진주파수를결정 dm ju ( ) 1 2 2 2-3/2 (1 ) (2 ) (4 3 4 8 2 = - é - u + zu ù u - u + uz ) = 0 du 2 ë 3 2 2 2 4u - 4u + 8uz = 4 u( u - 1+ 2 z ) = 0 정규화주파수에서식 (8-22) 의근은 ìï u í ïî u r r = 0 = 1-2z 2 ur = 0 의해는 ω = 0 에서 ω 에대한 M(ju) 의곡선의기울기가 0 만일 ζ 의크기가 0.707 보다작다면실최대치가아님 û (8-21) (8-22) (8-23) 공진주파수 w = w 1-2z r n 2 (8-24)

첨두공진치와공진주파수 주파수는실수값이므로식 (8-24) 는, 2ζ 2 1 ζ 0.707 ζ > 0.707 인모든값에서의공진주파수 ω r = 0 M r = 1 식 (8-23) 을식 (8-20) 에대입 M r 1 = z 2 2z 1-z 0.707 (8-25)

첨두공진치와공진주파수 식 (8-19) 를 u 에대하여 ζ 의값에따라도식 M( ju) = 1 é ë(1 - u ) + (2 z u) 2 2 2 ù û 1/2

첨두공진치와공진주파수

첨두공진치와공진주파수 %Toolbox 8-2-1 %MATLAB statements for Fig. 8-3 i=1; zeta = [0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.707 1 1.5 2.0]; for u=0:0.001:3 z=1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; M(z,i)= abs(1/(1+(j*2*zeta(z)*u)-(u^2)));z=z+1; i=i+1; end u=0:0.001:3; for i = 1:length(zeta) plot(u,m(i,:)); hold on; end xlabel('\mu = \omega/\omega_n'); ylabel(' M(j\omega) '); axis([0 3 0 6]); grid M(jw) 6 5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 µ = w/w n

대역폭 대역폭의정의에따라, M(ju) 의값을 0.707 로놓으면, 1 1 M( ju) = = 2 2 2 1/2 é(1 - u ) + (2 z u) ù 2 ë û 2 2 2 1/2 (1 u ) (2 z u) ù 2 \ é ë - + û = 2 2 4 2 \ u = - z ± z - z + (1 2 ) 4 4 2 (8-26) (8-27) (8-28) u 는어떤 ζ 에대해서도양의실수이므로 2 차시스템의대역폭 \ BW = w é n - z + z - z + ë 2 4 2 (1 2 ) 4 4 2 ù û 1/2 (8-29)

대역폭

대역폭 %Toolbox 8-2-2 %MATLAB statements for Fig. 8-6 clear all i=1; for zetai=0:sqrt(1/2)/100:1.2 M(i) = sqrt((1-2*zetai.^2)+sqrt(4*zetai.^4-4*zetai.^2+2)); zeta(i)=zetai; i=i+1; end TMP_COLOR = 1; plot(zeta,m); xlabel('\zeta'); ylabel('bw/\omega_n'); axis([0 1.2 0 2]); grid BW/w n 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 z

대역폭 2 차시스템의시간영역응답과주파수영역특성사이의관계

대역폭 2 차시스템의극의위치, 단위계단응답, 주파수응답의크기사이의관계

전방경로전달함수에영점추가의효과 2 차전방경로전달함수를갖는단위피드백제어시스템 Gs () = w 2 n ss ( + 2 zw ) n (8-30) s = -1/T 인한영점을추가 Þ Gs () = 폐루프전달함수 w 2 (1 + Ts) n ss ( + 2 zw ) w (1 + Ts) Ms () = s T s n 2 n 2 2 2 + (2 zwn + wn) + wn æ 1 2 4 ö BW = ç - b+ b + 4wn è 2 ø 1/2 b = 4z w + 4zw T -2w -w T 2 2 3 2 4 2 n n n n (8-31) (8-32) (8-33) (8-34)

전방경로전달함수에영점추가의효과 전방경로전달함수에하나의영점을추가하면폐루프시스템의대역폭을증가시키는일반적인효과가있다.

전방경로전달함수에영점추가의효과

전방경로전달함수에영점추가의효과 %Toolbox 8-3-1 %MATLAB statements for Fig. 8-9(a) clear all i=1;t=[5 1.414 1 0.1 0];zeta=0.707; for w=0:0.01:4 t=1; s=j*w; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; i=i+1; end w=0:0.01:4; for i = 1:length(T) plot(w,m(i,:)); hold on; end xlabel('\omega (rad/sec)');ylabel(' M(j\omega) '); axis([0 4 0 1.2]); grid M(jw) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 w (rad/sec)

전방경로전달함수에영점추가의효과 %Toolbox 8-3-1 %MATLAB statements for Fig. 8-9(b) clear all i=1; T=[0 0.2 5 2 1 0.5]; zeta=0.2; for w=0:0.001:4 t=1; s=j*w; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; M(t,i) = abs((1+(t(t)*s))/(s^2+(2*zeta+t(t))*s+1));t=t+1; i=i+1; end w=0:0.001:4; TMP_COLOR = 1; for i = 1:length(T) plot(w,m(i,:)); hold on; end xlabel('\omega (rad/sec)'); ylabel(' M(j\omega) '); axis([0 4 0 2.8]); grid M(jw) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 w (rad/sec)

전방경로전달함수에영점추가의효과 폐루프시스템에대응하는단위계단응답

전방경로전달함수에영점추가의효과 %Toolbox 8-3-2 %MATLAB statements for Fig. 8-10? use clear all, close all, and clc if necessary T=[5 1.414 0.1 0.01 0]; t=0:0.01:9; zeta = 0.707; 1.4 for i=1:length(t) num=[t(i) 1]; den = [1 2*zeta+T(i) 1]; 1.2 M(i,:)=step(num,den,t); end TMP_COLOR = 1; for i = 1:length(T) 1 plot(t,m(i,:)); hold on; end 0.8 xlabel('time'); ylabel('y(t)'); grid 0.6 y(t) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time

전방경로전달함수에영점추가의효과 %Toolbox 8-3-3 %MATLAB statements for Fig. 8-11? use clear all, close all, and clc if necessary T=[1 5 0.2]; t=0:0.01:9; zeta = 0.2; 1.4 for i=1:length(t) num=[t(i) 1]; den = [1 2*zeta+T(i) 1]; M(i,:)=step(num,den,t); 1.2 end for i = 1:length(T) plot(t,m(i,:)); 1 hold on; end xlabel('time'); 0.8 ylabel('y(t)'); grid y(t) 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time

전방경로전달함수에극추가의효과 식 (8-30) 의전방경로전달하수에 s = -1/T 인극을추가 Gs () = w 2 n ss ( + 2 zw )(1 + Ts) n (8-35) 그림 8-12 는 ω n = 1 및 ζ = 0.707 과여러가지 T 에서 ω 에대한 M(jω) ω n = 1, ζ = 0.707 일때 T 가양수인모든값에서시스템은안정 T 에서 ω 에대한 M(jω) 곡선 : T 가작은값일때극을추가 대역폭이약간증가 M r 을증가 T 가커지면 G(s) 에추가된극 대역폭을감소 M r 을증가 전방경로전달함수에한극을추가 폐루프시스템을덜안정시키고 대역폭을감소시킴

전방경로전달함수에극추가의효과 단위계단응답 상승시간은대역폭이감소할때증가 M r 의큰값은단위계단응답의더큰최대오버슈트에대응

전방경로전달함수에극추가의효과 %Toolbox 8-4-1 %MATLAB statements for Fig. 8-12? use clear all, close all, and clc if necessary clear all; wn=1; zeta=0.707; for T=[0 0.5 1 5]; num=[wn^2]; den=conv([1 0],[1 2*zeta*wn]); den=conv(den,[t 1]); [nc,dc]=feedback(num,den,1,1,-1); t=linspace(0,18,1001); %time vector y=step(nc,dc,t); %step response for basic system plot(t,y); hold on end xlabel('w (rad/s)'); ylabel('amplitude'); title('step Response'); Amplitude 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Step Response 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 w (rad/s)

Nyquist 의안정도판별법 : 기본사항 L(s) 의 Nyquist 선도 Re L(jω) 에대한 Im L(jω) 의 ω 극좌표계에서 ω 를 0 에서 까지변화시킬때 L(jω) 특징

안정도문제 SISO 시스템의폐루프전달함수 Ms () GsHs () () Gs () = 1 + GsHs ( ) ( ) K(1 + T1s)(1 + T2s)!(1 + Tms) = e p s (1 + T s)(1 + T s)!(1 + T s) a b n T : 실수또는공액복소수인계수 T d : 실시간지연 -Ts 특성방정식의근 : 1+G(s)H(s) 의영점 D () s = 1 + G() s H() s = 0 (8-38) 다중루프를갖고있는폐루프시스템에서 M(s) 의분모 d (8-36) (8-37) D () s = 1 + L() s = 0 (8-39) L(s) : 루프전달함수

안정도문제 여러가지시스템의전달함수들의극과영점관계 극과영점 루프전달함수영점 : L(s) 의영점 루프전달함수극 : L(s) 의극 폐루프전달함수극 : 1 + L(s) 의영점 = 특성방정식의근 1 + L(s) 의극 = L(s) 의극 안정도조건 개루프안정도 루프전달함수 L(s) 의모든극들의 s 평면좌반면에있으면개루프안정인시스템 단일루프시스템에서루프가어디서열리더라도안정인것과등가 폐루프안정도 폐루프전달함수의극또는 1 + L(s) 의영점들이모두 s 평면좌반면에있으면폐루프안정또는간단히안정 고의로 s = 0 에놓은극이나영점을갖는시스템은예외

일주와포함의정의 일주 복소평면상에서한점이나영역이폐경로의내부에위치하면그영역은폐경로에의하여일주되었다고말한다.

일주와포함의정의 포함 한점이나영역이폐경로가어떤방향으로진행할때반시계방향으로일주되었다거나경로의왼쪽에놓여있을때이들은폐경로에포함되어있다고말한다.

일주와포함의횟수 N : 한점이폐경로 Γ 에의해일주되었을때일주되어있는횟수 점 A : 시계방향으로 Γ 에의해한번일주 : 2π rad 점 B : 시계방향으로두번일주 : 4π rad 점 A : Γ 에의해한번포함 점 B : 두번포함

편각의원리

편각의원리 N = Z P (8-42) N : Δ(s) 평면의궤적 Γ Δ 가원점을일주한횟수 Z : s 평면에서 s 평면의궤적 Γ s 가 Δ(s) 의영점을일주한횟수 P : s 평면에서 s 평면의궤적 Γ s 가 Δ(s) 의극을일주한횟수

편각의원리

편각의원리 임계점 : Δ(s) 평면의원점 : 원점으로부터 N 의값을결정 D () s = K( s + z ) ( s + p )( s + p ) 1 1 2 (8-43) Δ(s) 의극점과영점이그림 8-19(a) 와같다고가정하면, D () s = D() s ÐD() s Ks + z (8-44) s = s 1 에서의함수 Δ(s) [ ( s z ) ( s p ) ( s p )] 1 = Ð + 1 -Ð + 1 -Ð + 2 s + p1 s + p2 D ( s ) = 1 K( s + z ) 1 1 ( s + p )( s + p ) 1 1 1 2 (8-45)

편각의원리 s 평면궤적 Γ s 가정해진방향으로한번선회하면 Δ(s) 평면궤적에의해선회하는순수각 2π(Z - P) = 2πN radians (8-47)

Nyquist 경로 s 평면궤적 Γ s 가 s 평면우반면전체를일주하도록취한다면안정도문제를푸는데편각의원리를응용할수있다.

Nyquist 판별법과 L(s) 또는 G(s)H(s) 선도

Nyquist 판정법은개루프전달함수의정보를이용하여, 폐루프특성방정식이 s-평면의우반면에위치하는불안정한근의수를구함으로써폐루프시스템의안정성을판정하는방법이다. 이방법을증명은복잡한복소함수이론들이필요하므로생략하고, 판정방법만요약하기로한다. G(s)H(s) 의 Nyquist 선도는다음과같은성질을만족한다. Z=N+P 여기서, Z는 s-우반면에있는특성방정식의근의수 ( 불안정폐루프극점의수 ) 를나타내고, N은 G(s)H(s) 의궤적이점 (-1,0) 을시계방향으로감싸는횟수를나타내며, P는 s-우반면에있는 G(s)H(s) 의극점의수 ( 불안정개루프극점의수 ) 를나타낸다. 폐루프시스템이안정하기위해서는특성방정식의근이모두 s-좌반면에위치해야한다. 위의내용에근거하여안정성을판별하는방법을 Nyquist 안정성판별법이라고하는데, 이방법에서폐루프시스템안정성에대한조건은 Z=N+P=0이며, 따라서 N=-P가만족되어야한다. 만약개루프시스템 G(s)H(s) 가갖고있는불안정한극점의수가 2개일경우에는 P=2이므로폐루프시스템이안정하려면 N=-P=-2가되어야한다. 여기서 N은 s가 -j 부터 j 까지변할때 G(s)H(s) 의 Nyquist 선도가복소평면에서점 (-1,0) 을시계방향으로둘러싸는횟수인데 N=-2는반시계방향으로두번감싸야한다는뜻이다. 만일개루프시스템이안정한시스템이라면 P=0이므로 N=-P=0이되어야폐루프시스템의안정성을보장할수있으며, 따라서 G(s)H(s) 의 Nyquist 선도가점 (-1,0) 을감싸지않아야한다.

최소위상전달함수의시스템에대한 Nyquist 판별법 최소위상전달함수

적용예제 : Nyquist 판별최소위상전달함수

적용예제 : Nyquist 판별최소위상전달함수 %Toolbox 8-8-1 %MATLAB statements for Fig. 8-25 w=0.1:0.1:1000; num = [1]; den = conv(conv([1 10],[1,2]),[1 0]); [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im); axis([-0.1 0.01-0.6 0.01]) grid 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01 0 0.01

적용예제 : Nyquist 판별최소위상전달함수 %Toolbox 8-8-2 %MATLAB statements for Fig. 8-26 den=conv([1 2 0],[1 10]); mysys=tf(.0001,den); rlocus(mysys); title('root loci of the system'); Imaginary Axis (seconds -1 ) 30 20 10 0-10 Root loci of the system -20-30 -40-30 -20-10 0 10 20 Real Axis (seconds -1 )

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 1차시스템전달함수 K Ls () = (8-74) 1 + Ts 1 T 1 : 양의실수

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 s = 0 에극추가 K Ls () = s(1 + T s) 1 (8-75)

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 영 (0) 이아닌유한극의추가 Ls () = K (1 + Ts)(1 + Ts) 1 2 (8-82)

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 영 (0) 이아닌유한극의추가 %Toolbox 8-9-1 %MATLAB statements for Fig. 8-34 w=0:0.01:100; num = [1]; den = conv([1 1],[1 1]) [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im,'b'); hold on den = conv(conv([1 1],[1 1]),[1 1]) [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im,'r'); axis([-1 2-1 1]) grid 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 영점의추가

L(s) 에극과영점을추가할때 Nyquist 선도에미치는영향 영점의추가 %Toolbox 8-10-1 %MATLAB statements for Fig. 8-35 w=0:0.01:100; num = [1]; den = conv(conv([1 1],[1 1]),[1 0]) [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im,'b'); hold on num = [1 1]; den = conv(conv([1 1],[1 1]),[1 0]) [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im,'r'); axis([-2 2-1 1]) grid hold on den = conv(conv([1 1],[1 1]),[1 1]) [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im,'r'); axis([-1 2-1 1]) grid on 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2

상대안정도 : 이득여유와위상여유

이득여유 위상교차점 : L(jω) 선도에서선도가음의실수축과만나는점 위상교차주파수 : ω p : 위상교차점에서의주파수 L(jω p ) = 180 (8-90) 루프전달함수가 L(s) 인폐루프시스템의이득여유 gain margin = GM = 20log 10 1 L( jw ) p (8-91) = -20log L( jw ) db 10 p

이득여유

위상여유

위상여유 이득교차점 : L(jω) 의크기가 1 이되는 L(jω) 선도위의점 이득교차주파수 : ω g : 이득교차점에서의 L(jω) 의주파수 L(jω g ) = 1 (8-96) 위상여유의해석적표현 phase margin = ÐL( jw ) - 180 (8-97) g

위상여유

Bode 선도를이용한안정도해석

Bode 선도를이용한안정도해석 %Toolbox 8-11-1 %MATLAB statements for Fig. 8-42 G = zpk([],[0-1 -1],2500) margin(g) grid; 150 Bode Diagram Gm = -61.9 db (at 1 rad/s), Pm = -81.6 deg (at 13.5 rad/s) 100 Magnitude (db) 50 0-50 -90-135 Phase (deg) -180-225 -270 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/s)

순수시간지연을갖는시스템의 Bode 선도

Bode 선도의크기곡선기울기에따른상대안정도 8-12-1 조건부안정시스템