제 5 강. 도체계와정전용량 1

제 5 강. 도체계와정전용량 1

3 장도체계와정전용량 3-1 콘덴서 - 절연된도체에전하 Q 를주면그도체의전위는이전의전위보다 V 만큼증가 대전된도체의전하량이증가할수록도체의전위는높아지는데, 이는도체의형상, 크기, 배치상태, 매질의종류에따라결정 - 한개의고립된도체에전하 Q[C] 를주었을때의전위를 V[V] 라하면 Q 와 V 는비례하여 또는 (3-1) - 이비례상수 C 를정전용량이라고함. 정전용량이란일정한전위 V 를주었을때, 전하 Q 를저장하는능력 - 정전용량의단위 1[μF] (microfarad) = 10-6 [F] 1[pF] (picofarad) = 10-12 [F]

- 개의도체에서도체 A 에 +Q[C], 도체 B 에 Q[C] 가주어졌을때, 도체간의전위차를 V AB 라하면, 두도체간의 정전용량은 (3-2) - 이와같은정전용량 C 에축적되는정전에너지 (3-3)

3-2 연결 (1) 콘덴서의종류와용도 - 콘덴서는재질에따라공기콘덴서, 기름콘덴서, 운모콘덴서, 종이콘덴서등이있음 - 반원형의엷은갈색인세라믹콘덴서, 짙은녹색의사각형모양인마일러콘덴서, 원통이고극성이있는 전해콘덴서가많이쓰임 μ 3-1 콘덴서의종류와용도

- 3-1 은콘덴서의기호이고, 그림 3-2 는주요콘덴서의겉모양이다. 그림 3-1 콘덴서의기호 가변콘덴서 세라믹콘덴서마일러콘덴서전해콘덴서 그림 3-2 주요콘덴서의겉모양

(2) 연결 1) 병렬연결 3-3 콘덴서의병렬연결 - 각콘덴서에충전되는전하,, (3-4) - 전하의합계는 (3-5)

- 병렬연결시합성용량은저항의직렬연결과같다 (3-6) - 각각의콘덴서에흐르는전하량 (3-7)

3.1 0.01[μF] 200[pF] 의콘덴서를병렬접속하여 1000[V] 의전원에접속할때, 합성정전용량과각콘덴서에흐르는전하량을구하여라. [ 풀이 ] 0.01[μF] 을 C 1, 전하량을 Q 1, 200[pF] 을 C 2, 전하량을 Q 2 라하고합성정전용량을 C P 라하면 식 (3-6), 식 (3-7) 에의해서 F pf F C C

2) 3-4 콘덴서의직렬연결 - 각단자사이의전압,, (3-8) - 전체전압은각각의콘덴서에인가된전압의합과같으므로, (3-9)

- (3-8) 을 (3-9) 에대입하면, - 콘덴서의합성용량 (3-10) (3-11) - 콘덴서의직렬연결시합성용량은저항의병렬연결과같다 (3-12) (3-13) - 각콘덴서에걸리는전위차,, (3-14)

3.2 3-4에서 C 1 =1[μF], C 2 =2[μF], C 3 =3[μF] 인 3개의콘덴서를직렬접속하여 600[V] 의전압을가할때 C 1 양단사이에걸리는전압 [V] 은얼마인가? [ 풀이 ] 그림에서 C 1, C 2, C 3 에분배되는전압은 V 1, V 2, V 3 라하고 C 1, C 2, C 3 가직렬접속일때 합성정전용량 C 를구한후 V 1 = V [V] 식에서구한다. 합성용량 C 는

3-3 계산예 (1) 도체구의정전용량 3-5 도체구 - 진공중에고립되어존재하는도체구에반경이 a[m] 이고, 전하 Q[C] 를주었을때전계의세기 E 는가우스법칙에 의해 (3-15)

- 표면에있어서의전위 V (3-16) - 따라서정전용량 (3-17) 3.3 1[μF] 의정전용량을가진구의반지름 [km] 은얼마인가? [ 풀이 ] 식 (3-17) 에의해 식에서 a 를구한다.

(2) 개의동심구도체의정전용량 3-6 동심구 - 두개의동심구에서내부도체에 Q[C] 의전하를주면반지름 b 인외부도체의안쪽면에 Q[C] 의전하가유도 - 이때내부도체의중심점 O 에서 r[m] 만큼떨어진점에서의전계의세기 (3-18) (3-19)

- (3-20) 3.4 동심구형콘덴서의내구와외구의반지름을각각 6배로증가시켰을때정전용량은몇배로되는가? [ 풀이 ] 식 (3-20) 로부터 서 배

(3) 도체의정전용량 - 내원통의반지름 a, 외원통의반지름이 b 인무한히긴동축원통도체의단위길이당정전용량 3-7 무한히긴동축원통 - 긴동축원통에있어서내부원통에단위길이당전하를 [C/m], 외부원통의단위길이당전하가 [C/m] 이면, 동축원통사이의임의의 P 점의전계의세기 (3-21)

- 전위차 ln (3-22) - 단위길이당정전용량 ln log log (3-23) - 진공중에서원통의길이가 일때, ln (3-24)

- 정전용량 ln (3-25)

3.5 3-7 과같이내원통의반지름 10[m], 외원통의반지름 20[m] 인동축원통도체의 정전용량을구하여라. [ 풀이 ] 내외도체의반지름이각각 a, b [m] 인동축원통도체의단위길이당정전용량 C 는 ln log log log

- 같이동축원통사이에유전체 ε 1, ε 2 가채워져있을때 ( 복합유전체 ), 동축원통의단위길이당정전용량 - 각유전체의전계는 그림 3-8 복합유전체의동축원통 (3-26) (3-27) - 내외원통도체사이의전위차는 (3-28)

- 동축원통의단위길이당정전용량 C 는 (3-29)

3.6 아래그림과같이 ε 1, ε 2 를갖는두유전체로절연하고자한다. 이경우 (a) ε 1 을내측도체가까이채운경우와, (b) ε 2 를내측도체가까이채운경우의이케이블의최대사용전압을구하여라. 단, ε 1 은 5.0, 허용전위경도 ( ) 는 40[kv/m] 이고, ε 2 은 3.0, 허용전위경도는 50[kv/m]( ), a =1[cm], b =[2cm], c =3[cm] 이다. [ 풀이 ] (a) 의경우 (ε 1 을내측도체가까이채운경우 ) 내외원통도체사이의전위차는식 (3-28) 에의해

λ ( 전하 ) 를구해야하므로식 (3-26) 에서 E 에서 cm V

(b) 경우 (ε 2 를내측도체가까이채운경우 ) λ를구해야하므로식 (3-27) 에서 E cm

V 유전율이큰유전체를내측도체에가까이채우면 ((a) 의경우 ), 더높은전압 (8,000[v]) 을가할수있음

(4) 개의평행판도체의정전용량 - 무한히넓은평명판 A, B 가극판거리를 d 라하고, 각각단위면적당전하를 라하면, 평면판사이의 점 P 의전계 E 는균일하게형성 3-9 두개의평행도체판 (3-30) (3-31)

- 면적당정전용량 (3-32) - 진공중에서, 도체판의면적이 일때의정전용량 (3-33) - 두도체간에절연물을넣으면정전용량이커짐, 이때 는비유전율 ( 진공중유전율대비절연물의유전율 ) 또는 (3-34)

3-2 비유전율 ζ s 의값

3.7 1 5[cm] 인정사각형전극을가진평행판콘덴서가있다. 이극판간격을 5[mm] 로할때정전용량은얼마인가? 단, ε 0 =8.854 10-12 [F/m] 이다. [ 풀이 ] 평행한평판사이의정전용랑 식에서평판면적 S =(5 10-2 ) 2 [m 2 ], 극판간격 d =5 10-3 [m] 를대입하면구한다.

(5) 개의평행한도선사이의정전용량 - 반경 a 인원통형도선 A, B 가중심축사이의거리 d 로매우길게평행으로놓여있는경우정전용량 3-10 두개의평행도선 - 도체 A 와 B 에각각 의전하를주면, 양도체의중심을연결하는선상의점 P 의전계 (3-37)

- P 의합성전계 는전계의방향을고려하면, (3-38) - 도체 A, B 사이의전위차 ln ln (3-39)

- 단위길이당정전용량 ln (3-40) - 특히 일때는 ln ln ln log log (3-41)

- 길이 일때정전용량은 ln (3-42) 3.8 반지름 1.5[mm] 의두전선이 0.5[m] 의간격으로가설되어있다. 이때 1[km] 당정전용량을구하여라. [ 풀이 ] 식 (3-41) 에서길이 1[km] 당정전용량은 ln log log

참고문헌 1. 최수열외 4 인공저, 전기 / 전자 / 통신공학도를위한현대전기자기학, 복두출판사