제 3 장비틀림 3.1 개요비틀림 : 봉의길이방향축에대하여회전을일으키려고하는모멘트 ( 토크 ) 사용예 : 스크류드라이버구동축차축프로펠러축조향장치봉드릴비트 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-1 우력 ( 짝힘 ): 크기가같고반대방향의힘 우력의모멘트 : 힘의크기 작용선사이의수직거리 1 = d 1 1 = d ; 토크, 비틀림모멘트 단위 : USCS: ft-lb, in-lf SI: N m 방향 : 오른나사의법칙 토크의작용을받고회전을통해동력을전달 축 (shaft) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
3. 원형봉의비틀림변형 순수비틀림 (pure torsion) 상태 : 모든단면이같은내부토크 의작용왼쪽고정 : 오른쪽끝은비틀림각 φ 만큼회전 - 모든단면은평면과원형으로남음 - 모든반지름은직선을유지 - 회전각 φ 는양끝사이에서선형적으로변함 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-3 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
abcd 는변형후 ab c d 로변형 순수전단 (pure shear) 상태에있음 전단변형률은 bad 의감소량과같음 γ bb rdφ tan γ = = = rθ, 여기서 ab dx dφ φ θ = ( 비틀림변화율, 단위길이당비틀림각 ) dx 전단변형률봉의내부의전단변형률도같은방법으로구함. ρ γ ρθ γ r = = (3-) - 원형봉내의전단변형률이중심으로부터반지름방향의거리 ρ 에따라선형적으로변함 - 변형률은중심에서는 0, 외부표면에서는최대값 γ 가됨. 원형관 ( 중공축 ) rφ r rφ γ = γ = γ = (3-5a,b) r 1 1 min Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-5 3.3 선형탄성재료로된원형봉 전단에서의 Hooke 의법칙 : = Gγ (3-6) ρ θ ρθ r = Gr = G = (3-7a,b) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-6
- 단면의평면위의전단력 봉의길이방향평면위에작용하는전단응력을동반 단면방향 / 길이방향전단저항력에따라균열위치차이 순수전단상태의응력은 5 o 방향의인장 / 압축과동일한상태 (3.5 절의경사면의응력 ) 인장에더욱약한재료는 5 o 방향으로파단발생 ( 분필비틀림실험 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-7 비틀림공식 - 전단응력과토크 사이의관계고려하기위해미세단면 da 의전단력 에의한모멘트는 ρ r ρ dm = da = da ρ r ( 비틀림공식 ) (3-8) r = dm = da = I A A 여기서 I ρ da (3-9) A 극관성모멘트 (polar moment of inertia) e.g) 원형단면에서는 I π r π d = = (3-10) 3 r - 최대전단응력에대한식은 (3-8) 을정리하여 = (3-11) I Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-8
속이찬원형단면의경우의비틀림공식은 (3-10)(3-11) = 16 π d (3-1) 3 봉의중심으로부터거리 ρ 만큼떨어진곳의전단응력은 (3-7b),(3-11) 로부터 ρ ρ = = (3-13) r I 비틀림각 (3-7a),(3-8) 에서 θ = (3-1) GI 순수비틀림을받는봉은 φ = (3-15) 실험에의한 GI G 측정에활용 - GI k : 비틀림강성도 (torsional stiffness) (cf 축강도 EA k = ) f - GI : 비틀림유연도 (torsional flexibility) (cf 유연도 f = ) EA Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-9 원형관 - 속이찬원형봉의전단응력중심에서 : 0 단면의외부경계 : 최대 대부분의재료는작은응력을받음 - 속이빈축 ( 중공축 ) 이효과적인축 π π πrt πdt I r r d d r t d t 3 = ( 1 ) = ( 1 ) = ( + ) = ( + ) (3-16) r = ( r + r )/, d = ( d + d )/, t = r r (3-17) 여기서 1 1 1 t r인경우는 t 항을무시하면, 제한 I 3 3 π dt π r t = (3-18) - 원형단면의선형탄성봉에만적용 ( 중공 / 중실 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-10
예제 3-1 문제 d G 6 = 1.5 in, = 5 in, = 11.5 10 psi, 양단에 가작용함 (a) 토크의크기 = 50 lb-ft 일때봉내의최대전단응력은? 양단사이의비틀림각은? (b) 허용전단응력이 6000 psi, 허용비틀림각이.5 o 이면최대허용토크는? Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-11 풀이 16 16(50 lb-ft)(1 in / ft) (a) 식 (3-1) = 350 psi 3 3 πd = π(1.5 in) = 식 (3-10) I π (1.5 in) = = 0.970 in 3 (50 lb-ft)(1 in / ft)(5 in) 식 (3-15) φ = = = 0.083 rad = 1.6 6 GI (11.5 10 psi)(0.970 in ) o (b) 식 (3-1) 식 (3-15) 3 πd allow π 3 1 = = (1.5 in) (6000 psi) = 3980 lb-in = 331 lb-ft 16 16 GI φallow = = = 618 lb-in = 385 lb-ft 6 o o (11.5 10 psi)(0.970 in )(.5 )( rad /180 ) 5 in π 1, 중작은값을택하면, = 331 lb-ft Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-1
예제 3- 문제 원형중실 / 중공축의비교 = 0 Ma allow θ = allow o 0.75 / m = 100 N m G = 78 Ga (a) 속이찬축에필요한지름 d 0 는? (b) 축의두께 d 10 t = 일때, 속이빈축의 d 는? (c) 지름의비 ( d / d0) 와속이빈축과속이찬축의무게의비는? Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-13 풀이 (a) allow 에대해서는 ; 16 16(100 N m) 식 (3-1) 3 d 6 3 0 = = = 15.8 10 m (0 Ma) π allow π d 0 = 0.0535 m = 53.5 mm θallow 에대해서는 ; 식 (3-1) I 100 N m = = = 1175 10 m o o Gθ (78 Ga)(0.75 /m)( π rad /180 ) allow 9 d 9 3I 3(1175 10 m ) 6 0 = = = 11.97 10 m π π d 0 = 0.0588 m = 58.8 mm 이중에서큰값을설계에사용하여야한다.: d 0 = 58.8 mm Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-1
(b) 속이빈축의경우 d 1 = d t = d (0.1 d 1 ) = 0.8d 극관성모멘트는 π π I = ( d d ) = d (0.8 d ) = 0.05796d 3 3 1 allow 에대해서는 ; 식 (3-11) r d ( /) = = = 3 I 0.05796d 0.1159d d 100 N m = = = 58.8 10 m 3 6 3 0.1159 allow 0.1159(0 Ma) d = 0.0637 m = 63.7 mm θallow 에대해서는 ; 식 (3-1) θ allow = = GI G(0.05796 d ) d 100 N m = = = 0.8 10 m 6 o o 0.05796Gθallow 0.05796(78 Ga)(0.75 /m)( π rad /180 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-15 d = 0.0671 m = 67.1 mm 이중에서큰값을설계에사용하여야한다.: d = 67.1 mm 이때안지름 d 1 = 0.8d = 53.7 mm (c) 두가지설계의비교 : d 67.1 mm 지름비교 : 1.1 d = 0 58.8 mm = 무게비교 : 무게는단면적에비례하므로 W A π ( d d )/ ( d d ) (67.1 mm) (53.7 mm) = = = = = 0.7 W A d d hollow hollow 1 1 solid solid π 0 / 0 (58.8 mm) Note: 중공축의경우바깥지름은 1% 증가하였으나, 재료는 7% 만사용한다. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-16
예제 3-3 문제 같은재료로제작된중공 / 중실축고려 : 바깥반지름은동일한 R, 중공축의안쪽반경은 0.6R (a) 두개의축이같은토크를받을때전단응력, 비틀림각및무게를비교하기 (b) 두개의축에대하여강도대무게의비를구하기 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-17 풀이 r (a) (3-11) = 에서토크, 반지름이같은경우 I 는 1/ I 에비례함 중공축의경우 ; 중실축의경우 ; I I πr π(0.6 R) = = 0.35π R π R = = 0.5π R 전단응력의비율은 0.5π R β = = = 1.15 hollow 1 solid 0.35πR (3-15) φ = GI 에서토크, 길이, 전단탄성계수가같은경우 φ 는 1/ I 에비례함 비틀림각의비율은 φ 0.5π R β = = = 1.15 hollow φsolid 0.35πR Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-18
축의무게는단면적에비례함. A = π R, A = πr π(0.6 R) = 0.6πR solid hollow 무게의비율은 A 0.6π R β = = = 0.6 hollow 3 Asolid π R Note: 속이빈축이응력이 15% 더크고, 비틀림각이 15% 더크지만, 무게는 36% 작다. (b) 구조물의상대적효율은강도대무게비로측정됨 (strength-to-weight ratio) 허용토크를무게로나눈값으로정의됨 hollow I πr R R (0.35 ) 3 = = = 0.35π R, W hollow = 0.6 π R γ solid I πr R R (0.5 ) 3 = = = 0.5π R, Whollow = π R γ 비율 : S hollow W hollow = = hollow R 0.68 γ S solid W solid = = 0.5 solid R γ Note: 속이빈축이 36% 더크다. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-19 3. 불균일비틀림경우 1: 불균일비틀림 구간별로계산후더함예 ) = + CD BC 1 3 = 1 AB = 1 전체비틀림각은구간별비틀림각의합계 φ = φ + φ + + φ 1 n 일반공식은 : n i i φ = φi = (3-0) = 1 G ( I ) i i i Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-0
경우 : 연속적으로변하는단면, 일정한토크작용 dx 길이요소의회전각은 dx dφ = GI ( ) x 전체비틀림각은적분하여, dx φ = dφ = 0 0 GI ( x) 경우 3: 연속적으로변하는단면, 연속적으로변하는토크 경우 와동일하나자유물체도 (b) 에서 ( x) 를구함 φ = dφ = 0 0 ( x) dx GI ( x) 제한 : 선형탄성, 단면변화가작은경우만적용가능 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-1 예제 3- 문제 지름 d = 30 mm 인중실강철축, B, C, D 에토크가작용, A, B 는자유베어링 = 75 N m = 50 N m = 175 N m 1 3 = 500 mm = 00 mm G = 80 Ga BC CD - 축의각부분에작용하는최대전단응력구하기 - 기어 B, C 사이의비틀림각구하기 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
풀이 자유물체도 (a) = 1 = 50 N m 75 N m = 175 N m CD 자유물체도 (b) = 1 = 75 N m BC 16BC 16(75 N m) 식 (3-1) BC = = = 51.9 Ma 3 3 πd π(30 mm) CD 16 16(175 N m) πd π(30 mm) 33 Ma CD = = = 3 3 관성모멘트는 I πd π(30 mm) = = = 79,50 mm 3 3 φ φ BC CD BCBC ( 75 N m)(500 mm) = = = 0.016 rad GI (80 Ga)(79,50 mm) CDCD ( 175 N m)(00 mm) = = = 0.0110 rad GI (80 Ga)(79,50 mm) φ = φ + φ = 0.016 rad + 0.0110 rad = 0.0106 rad = 0.61 o BC CD Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-3 예제 3-5 지름은선형적으로변화하는테이퍼봉 문제 (a) (b) 봉내의최대전단응력구하기 봉의비틀림각에대한공식구하기 풀이 (a) 식 (3-1) 에서지름이가장작은경우에해당함 3 π d A 16 = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
(b) d d = +, B A d da x πd π db da I( x) = = da + x 3 3 식 (3-1) dx 3 dx φ = = 0 0 GI ( x) πg db da (3-5) da + x dx 1 부록-C 의적분표에서 = 3 을이용하여적분하면 (3-5) 는 ( a+ bx) 3 b( a+ bx) 3 1 1 φ = 3 3 πgd ( B da) da db or β + β + 1 φ = 3 GI ( ) A 3β, 여기서 db π d β = ( I ) A = d 3 A A Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-5 3.5 순수전단에서의응력과변형률 비틀림을받는봉 응력요소 abcd 를고려함. 순수전단상태 ( 부호규약 : 양의면에양의방향으로작용하는응력을 + 로함 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-6
경사면위의응력 그림 (a): 순수전단상태의응력요소 그림 (b): 경사면에작용하는응력 ( 축방향응력 그림 (c): 각각의면에작용하는힘의크기 ( 수직측면의면적 A 0, 밑면의면적 σ θ 및전단응력 θ ) A 0 tanθ, 경사면의면적 A 0 secθ ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-7 σθ -방향힘의평형 : θ A0 A0 A0 σ secθ = sinθ + tanθ cosθ σ = sinθ cosθ (3-9a) θ θ -방향힘의평형 : θ A0 A0 A0 secθ = cosθ tanθsinθ θ θ θ = (cos sin ) (3-9b) 삼각함수의항등식 sin θ sinθcos θ cos θ (cos θ sin θ) = = 을이용하여 σ = sin θ = cos θ (3-30a,b) θ θ Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-8
σ = = θ = 0 o ( 우측면 ) 이면, θ 0, θ = 90 o ( 윗면 ) 이면, σ = 0, = θ θ θ o o o o - 수치적으로가장큰전단응력은 : θ = 0, 90, 180, 70 에서발생 - 수직응력 σ θ 는 5 o θ = 일때최대값 를가지며, ( 이때 = 0 ) θ = 5 o 일때최소값 를가진다. ( 이때 = 0 ) 인장에약한취성재료의경우비틀림을가하면 5 o 방향으로파단발생 ( 분필 ) θ θ Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-9 순수전단에서의변형률 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-30
< θ = 5 o 방향의요소-(b) 를고려 > θ = 5 o 방향의축응력 ( σ = ) 은요소를 θ = 5 o 방향으로늘리려는경향 ( 변형률 σ E E ε = = ) 및 θ = 135 o 방향으로줄이려는경향 ( 변형률 θ = 135 o 방향의축응력 ( σ = ) 은요소를 θ = 135 o 방향으로줄이려는경향 ( 압축 ) ( 변형률 θ = 5 o 방향으로늘리려는경향 ( 변형률 νσ E ν E ε = = ) (oisson 효과 ) σ E E min ε = = ) 및 σ = = ) (oisson 효과 ) E E min ε ν ν ν γ θ = 5 o 방향의수직변형률은 ε = + = ( 1+ ν ) = ( 마지막등식은추후유도 ) (3-3) E E E Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-31 예제 3-6 문제알루미늄합금 7075-6 의중공축고려 (a) 최대인장, 압축, 전단응력을구하고응력요소에도시하기 (b) 이에상응하는최대변형률구하기풀이 (a) 비틀림공식으로부터, r (000 N m)(0.00 m) = = = 58. Ma π I (0.080 m) (0.060 m) 3 σ = 58. Ma, σ compression = 58. Ma tension (b) 부록 H- 로부터, G = 7 Ga 이므로 G 58. Ma 7 Ga 0.00 rad γ = = = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-3
식 (3-3) 에서 γ ε = = 0.0011 εtension = 0.0011, εcompression = 0.0011 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-33 3.6 탄성계수 E 와 G 사이의관계 대각선 bd 의처음길이 : h 대각선 bd 의변형후길이 ( 그림 (c)): = h(1 + ε ) (a) bd 그림 (c) 에서 π bad = +γ 이므로삼각형 bad 에대해 cosine 공식을적용하면, π π bd = h + h h cos + γ, 이식에 (a) 를대입하고 cos + γ = sin γ 를이용하면 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-3
(1 + ε ) = 1+ ε + ε = 1+ sin γ 1+ γ 차항 ε 을무시하면, γ ε = ; 식 (3-3) 의마지막항 (3-3) 여기서 : Hooke 의법칙에의해 : γ = G 축변형률은식 (3-3) 에서 : ε = (1 + ν ) E 식 (3-3) 는다음과같다. E G = (1 + ν ) (3-35) - G, E, ν 는선형탄성재료의독립된성질이아님 : - G, E, ν 중 개를알면, 나머지는식 (3-35) 로부터계산됨. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-35 3.7 원형축에의한동력전달 회전에의한동력전달 : 토크의크기와회전속도에관계됨. 일 : W = ψ, ψ 는회전각 동력 : 일의시간에대한변화율 dw dψ = = = ϖ (3-37,38) dt dt 의단위 : Watt (W ϖ 의단위 : ( ϖ = rad/sec) = N m/sec) 회전주파수 f ( 단위시간당회전수 ) 로표시하면 ϖ = π f (3-39) (3-38) 식은 = π f, (3-0) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-36
분당회전수 n (rpm) 으로표현하면 n= 60 f 이므로 (3-0) 식은 π n = ; n = rpm (3-) 60 미국단위계에서는 1 hp = 550 ft-lb / s 를이용하면 H π n π n = = (3-3) 60(550) 33,000 ( n= rpm, = lb-ft, H = hp) 참고 : 1 hp = 550 ft-lb = 76 watt Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-37 예제 3-7 문제 모터는기어에 0 hp 의동력전달 ; 강철의허용전단응력 = 6000 psi (a) 500 rpm 으로회전할때축의지름은? (b) 3000 rpm 으로회전할때축의지름은? Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-38
풀이 (a) 식 (3-3) 에서 = 33,000H 33,000(0 hp) 0. lb-ft 50 lb-in πn = π(500 rpm) = = 16 식 (3-1) 에서 = 3 이므로 π d d = 16 16(50 lb-in).80 in π = π (6000 psi) = d = 1.6 in 3 3 allow (b) 식 (3-3) 에서 = 33,000H 33,000(0 hp) 70.03 lb-ft 80.3 lb-in πn = π(3000 rpm) = = 16 식 (3-1) 에서 = 3 이므로 π d d = 16 16(80.3 lb-in) 0.7133 in π = π (6000 psi) = d = 0.89 in 3 3 allow Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-39 예제 3-8 문제 50 kw 를 10 Hz 로회전하는축에전달. B 는 35 kw, C 는 15 kw 의동력이필요함. 축내의최대전단응력 과 A 점의모터와 C 점의기어사이의비틀림각 φ AC 구하기 ( G = 80 Ga 를사용함 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-0
풀이 식 (3-0) 에서 A = 50 kw 796 N m π f = π(10 Hz) = B = 35 kw 557 N m π f = π(10 Hz) =, C = 15 kw 39 N m π f = π(10 Hz) = 축의내부구간의토크는그림 (b) 에서 = 796 N m = 39 N m AB BC 16AB 16(796 N m) AB 구간 : AB = = = 3. Ma 3 3 πd π(50 mm) φ AB ABAB (796 N m)(1.0 m) = = = 0.016 rad GI π (80 Ga) (50 mm) 3 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-1 16BC 16(39 N m) BC 구간 : BC = = = 9.7 Ma 3 3 πd π(50 mm) φ BC BCBC (39 N m)(1. m) = = = 0.0058 rad GI π (80 Ga) (50 mm) 3 최대전단응력은 AB 구간에서발행하며그값은 = 3. Ma A 점의모터와 C 점의기어사이의비틀림각은 φ AC φ 0.016 rad 0.0058 rad 0.00 rad 1.6 o AC = φab + φbc = + = = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
3.8 부정정비틀림부재 부정정시스템 ; (1) 평형방정식 () 적합방정식 ( 비틀림각 ) (3) 토크-변위식 ( φ = / GI ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-3 (1) 1 + = (a) () φ 1 = φ (b) (3) φ = φ = (c,d) 1 1 GI 1 1 GI GI = 1 1 1 GI 1 1+ GI GI = (3-a,b) GI 1 1+ GI Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-
예제 3-9 문제 (a) 양단에서의반응토크 A 와 B (b) 각구간내에서의최대전단응력 AC 와 CB (c) 하중 0 가작용하는위치에있는단면에서의회전각 φ C Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-5 풀이 평형방정식 : A + B = 0 (f) 적합방정식 : φ 1 + φ = 0 (g) 토크 - 변위방정식 : φ = φ = (h,i) 0 A B A B B 1 GI A GI A GI B (h,i)(g): 0 A B A B B = 0 or 0 A B A B B = 0 (j) GI GI GI I I I A A B A A B I B A I A B (f),(j) 를연립하면, A = 0 B = 0 BIA + AIB BIA + AIB Note: 특수한경우 ; 봉이균일단면을가지면, I A = I B = I 이므로 (3-5a,b) = 0 B 0 A A = B (3-6a,b) b a 참고 : 축하중의경우 ; R = A RB = (-9a,b) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-6
최대전단응력 : d A A d 0 B A AC = = I ( I + I ) A B A A B d B B d 0 A A CB = = I ( I + I ) B B A A B (3-7a) (3-7b) 회전각 : 봉의구간중어느한구간의비틀림각과같음. A A B B 0 A B φ C = = = GI GI G( I + I ) A B B A A B (3-8) Note: 특수한경우 ; 봉이균일단면을가지면, I A = I B = I 이므로 0 A B φ C = (3-9) GI Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-7 3.9 비틀림과순수전단에서의변형에너지 토크에의해한일, 봉에저장된비틀림에너지 : U φ = W = (3-50) φ = / GI 를이용하면 U GI φ = U = (3-51) GI Note: 축응력의경우와유사한형태임. EAδ U = U = (-37a,b) EA Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-8
불균일비틀림 - 봉이각구간에서일정한토크를갖는균일단면이면 ; U n n i i = Ui = 1 1 G ( I ) (3-5,53) i= i= i i - 봉의단면이나내부토크가축에따라변하는경우 ; 길이 dx 인요소에대한변형에너지는 du [ ( x) ] = dx GI ( x) 를적분하면 U [ ( x) ] = dx 0 GI ( x) (3-5) 제한 - 선형탄성재료에서만성립함 - 여러개의하중에의한에너지는각각의하중에의한에너지의합과같지않음 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-9 순수전단에서의변형에너지밀도 비틀림을받는봉 순수전단상태 변형에너지와전단응력과의관계를구함 그림 (d) 를고려함 V = ht (a) 요소의윗면이움직인거리는 δ = htan γ hγ (b) 변형에너지는 U Vδ γ h t = W = = (c) 요소의체적은 ht 이므로, 변형에너지밀도 u 는 γ Gγ u = = = (3-55a,b) G Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-50
예제 3-10 문제 다음각각의경우에대하여저장된변형에너지구하기 (a) 자유단에작용하는토크 a (b) 봉의중간점에작용하는토크 b (c) 동시에작용하는토크 a 와 b (d) 다음수치값에대한변형에너지크기계산하기 = 100 N m a = 150 N m b = 1.6 m G = 80 Ga I = 79.5 10 mm 3 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-51 풀이 (a) 자유단에작용하는토크 : a (b) 중간점에작용하는토크 : b U U a b a = (e) GI = b ( /) b GI = GI (f) (c) 두개의토크가동시에작용하면, =, = + 이므로 U c i= 1 i i CB a AC a b n i i a ( /) ( a + b) ( /) = = + G ( I ) GI GI a a b b = + + Ua + U GI GI GI Note: 이값은 (a) 및 (b) 의경우의합과같지않다. b (g) (d) U a (100 N m) (1.6 m) = = = 1.6 J a 3 GI (80 Ga)(79.5 10 mm ) U = 1.1 J b U = 1.6 J + 1.89 J + 1.1 J =.56 J ( 하중의곱에의한두번째항의크기가작지않음 ) c Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-5
예제 3-11 문제 단위길이당일정한크기의등분포토크 t 를받는봉을고려함 (a) 봉의변형에너지에대한공식유도하기 (b) 다음수치에대해변형에너지크기계산하기 풀이 t = 80 lb-in / in, = 1 ft G = 11.5 10 psi, I = 17.18 in 6 (a) 자유단에서 x 만큼떨어진점의토크 ( x) = tx U [ ] 3 ( x) dx 1 t ( tx) 0 0 = = = GI ( x) GI 6GI (b) U 3 3 t (80 lb-in/in) (1 in) = = = 580 in-lb 6 6GI 6(11.5 10 psi)(17.18 in ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-53 예제 3-1 문제 지름이선형적으로변하는경우, 일-에너지관계식을이용, φ A 구하기 풀이 하중에의한일은 에너지구하기 W φa = (i) 지름이선형적으로변하므로 d d = + B A d da x πd π db da I( x) = = da + x 3 3 [ ( x) ] dx 16 dx 16 1 1 0 0 3 3 (3-57) U = = = GI ( x) πg d from able 3 G( db d A) d B da π A db da x + at App-C 3 1 1 W = U 이므로 φa = 3 3 3 πgd ( B da) da d 하중이한개인경우만적용됨. B Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-5
3.10 두께가얇은관 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-55 - 비원형단면을갖은두께가얇은관 ( 항공기, 우주선등등에적용 ) - 모든단면의형상은동일하지만, 두께 t 는단면의둘레를따라변할수있음. - 두께는관의폭에비하여작은경우를가정함 전단응력과전단흐름 - 응력은단면의경계면에평행하게작용하며단면둘레를따라 흐른다. (flow) - 요소의상 / 하면에작용하는힘은각각 F b = b t b dx F c = c t c dx 수평방형힘의평형조건으로부터 b t b = t c c - 요소는임의로선택되었으므로 f = t = constant 전단흐름 (shear flow) 최대전단응력이관의두께가최소인곳에발생함 전단흐름의단위는단위길이당전단력. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-56
두께가얇은관에대한비틀림공식 미소요소에작용하는전단력의크기는 fds 이므로 O 점에대한모멘트는 d = rf ds 전체토크는 = f rds = fa m 0 m 여기서 A m 은중심선 ( 점선 ) 으로둘러쌓인부분의면적 f = = t (3-60) A m = (3-61) 두께가얇은관의비틀림공식 ta m 주의 : A m 은중심선 ( 점선 ) 으로둘러쌓인부분의면적 ( 관의단면적이아님 ) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-57 원형관 Am π r = 이므로 = π rt 이식은근사식 I π 3 r t ( 식 3-18) 을이용하여 r 표준공식 = (3-11 식 ) 을사용한결과와동일함. I 사각형관 Am vert = bh = = tbh tbh horiz 1 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-58
변형에너지와비틀림상수 미소요소 abcd 의체적은 tdsdx 이며, 변형에너지밀도는 /G 이므로 미소요소에저장된에너지는 t ds f ds du = t ds dx = dx = dx (c) G G t G t 전체에너지는전체체적에대해적분함 ( ds 는중선둘레로, dx 는축을따라서수행 ) f m ds f m ds G 0 t 0 G 0 t, 여기에식 (3-60) U = du = dx= f = 을대입하면 A m U = m ds 8GA t (3-66) 0 m 비틀림상수 J A m 0 m ds t 를정의하면 (3-66) 식은 U = (3-68) 원형봉과같은형태! GJ 참고 : 두께가일정하면 J ta m = (3-69) m Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-59 원형관 Am = π r, m = π r 이므로 J π 3 = r t (3-70) 이식은두께가얇은경우의 극관성모멘트의근사식 I π 3 r t 임. 식 (3-18) 사각형관 Am = bh ds ds ds h b = + = + t t t t t m h b 이므로 0 0 0 1 1 J A bhtt = m ds bt + ht 0 t m 1 1 (3-71) Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-60
비틀림각 임의의단면모양의관에대해 W = U 이므로 φ = GJ φ = (3-7) GJ 여기서 GJ 는비틀림강도 (torsional rigidity) 제한 - 두께가얇고닫힌관모양의단면에적용 - 열린관 ( I beam) 등에는적용되지않음 - 벽의두께가증가하면정확성감소 - 두께가너무얇으면좌굴 (buckling) 의가능성발생함. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-61 예제 3-13 문제최대전단응력의계산시, 근사이론 / 정확한비틀림이론결과비교하기. 풀이근사이론 t 1 = = 3 ( 여기서 π rt πtβ r β t ) 비틀림공식 π t t πrt I = r+ r = r + t ( ) ( r+ t/) ( r+ t) (β + 1) = = = ( + ) ( + 1) 3 I πrt r t πt β β 비교 : 이므로 1 β + 1 1 = ; β = 5, 10, 0, β(β + 1) 이면 0.9, 0.95, 0.98, 1.00 = Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-6
예제 3-1 문제 원형관 / 정사각형관의효율비교 : - 같은재료, 같은토크, 같은두께, 같은길이인경우, - 전단응력및비틀림각의비각각구하기 : Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-63 풀이원형관 : A = π rt A = πr J = πr t 3 1 m1 1 정사각형관 : 3 3 π r π 3 = r π b= A = bt = π rt A r t m = b J = b t = 8 비교 : 식 (3-61) = ta m 에서 A = = = = 0.79 1 m π r / π Am 1 πr 식 (3-7) φ = 에서 GJ 3 3 φ1 J π rt/8 π = = = = 0.6 3 φ J πr t 16 1 Note: 원형관이정사각형관보다 1% 낮은전단응력을가지며, 회전에대하여도더큰강성도를가지고있다. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-6
*3.11 비틀림에서의응력집중 Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-65 단면 B-B 에서응력집중이발생하며, 그크기는, r 16 = K = K I D nom 3 π 1 (3-78) - R 이작아지면집중계수 K 값이매우커짐 - R 이커지면집중계수 K 값은 1.0 에가까워짐. Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-66
Mechanics of Materials, 6 th ed., James M. Gere (ecture Note by rof. S.W.Cho) age 03-67