3.7 The Inverse -transfor f ( ) Z F( ) long dvson 2 expanson n partal dvson 3 resdue ethod 3.7. Long-Dvson Method B () F( ) B( ) 를 A( ) A () 로나누어 의 negatve power seres 로표현해계수를구함 Regon of Convergence(ROC) Postve te Negatve te Both r ax r n r r n ax Dgtal Sgnal Processng /36
0.2 Ex) a) F (), postve te 의 nverse -transfor ( 0.5)( ) F () ( 3)( 4) b), negatve te 3의 nverse -transfor Sol) a) ROC가 이므로 f() 는 postve te sequence임 0.2 2 3 4 F( ) 0.7 0.85 0.775 2 0.50.5 0 f ( ) f (0) 0, f (), f (2) 0.7, f (3) 0.85, b) ROC 가 negatve-te sequence 이므로 ( 3) 7 2 37 3 F( ) 2 2 7 2 44 728 0 f ( ) 7 f (0) 0, f ( ), f ( 2), 2 44 Dgtal Sgnal Processng 2/36
3.7.2 Expanson n partal fractons 0.2 Ex 3.6) F( ), (postve te) 의 f( )? ( 0.5)( ) sol) F( ) R R2 0.5 R ( 0.5) F ( ) 0.2, R ( ) F ( ) 0.8 0.5 2 0.2 0.8 F () 0.5 0.2 0.8 F( ) ( Za { } = ) 0.5 a a 0.2( 0.5) 0.8 0 f( ) 0 0 f (0) 0, f (), f (2) 0.7, f (3) 0.85, f (4) 0.775 Dgtal Sgnal Processng 3/36
Ex3.7) F( ), 3 (negatve te) 의 ( 3)( 4) partal fracton expanson에의해 f( )? R R2 sol) F( ) 3 4 R ( 3) F( ) 3, R ( 4) F( ) 4 3 2 4 3 4 F( ) 3 4 3 4 3 4 그런데 Z f ( ) F( ) 이므로 f ( ) Z Z 3 4, 0 3 4 3 4 7 37 f (0) 0, f ( ), f ( 2), f ( 3), 2 44 728 f ( ) Z,, 3 3 Dgtal Sgnal Processng 4/36
F( ), 0.5 2 ( 0.5)( 2) Ex3.8) 에대한? Sol) ROC 로부터 postve and negatve 에대해 non-ero 임을알수있다. R R2 F( ) 0.5 2 R ( 0.5) F( ), 0.5 3 4 R2 F( ) 2 0.5 3 4 F( ) F( ) F( ) 3( 0.5) 3( 2) f( ) f( ) 가 Dgtal Sgnal Processng 5/36
) postve te part에관해 0.5 F ( ) 3( 0.5) 2 f ( ) (0.5) (0.5), 0 3 3 2 f ( ) (0.5), 0 3 ) negatve te part 에대해 2 4 2 F ( ) 3( 2) 3( 0.5) 2 2 f ( ) (0.5) 2 3 3, 0 2 (0.5), 0 3 f( ) 2 2, 0 3 Dgtal Sgnal Processng 6/36
3.7.3 Resdue Method F( ) f ( n) n 식 (3.63) 의양변에 n F() 의수렴영역에서적분을취하면 (3.63) 을곱한후 에관해 closed contour C 에대해 ( ) ( ) n ( ) F d f n d f n n d c c c n n 여기서 contour C 는 F() 의수렴영역에놓여있으므로 n 과을바꾸어서쓸수있다. c C 가 -plane 의원점을에워싼다고가정하면 Cauchy 의적분정리에의해 여기서 n f n 0 f n n d 2 j c n Dgtal Sgnal Processng 7/36
따라서 c 2 j n ( ) ( ) 2 ( ) n 2 ( ) c n n F d f n d j f n j f f ( ) F( ) d c resdue of F( ) at poles of F( ) wthn C Ex3.9) Resdue Method를이용해다음 F() 의 nverse -transfor을 구하라. 0.2 a) F( ) ( 0.5)( ), 의 f ( )? b) F( ) ( 3)( 4), 3 의 f ( )? c) F( ) ( 0.5)( 2), 0.5 2 의 f ( )? Dgtal Sgnal Processng 8/36
Sol) a) f( ) ( 0.2) resdue of at poles of sae wthn C ( 0.5)( ) ROC : 에서의 closed contour C는 =-0.5 와 = 에서의 pole을에워싸고 =0 에서 =0 의 pole을에워싼다. ) 따라서 =0 에대해서는 0.2 0.2 0.2 f (0) 0.4 0.4 0.8 0 ( 0.5)( ) ( ) ( 0.5) 0 0.5 ) 에대해서 ( 0.2) ( 0.2) ( ) 0.2( 0.5) 0.8 f ( ) ( 0.5) 0.5 Ex3.6) 의결과와같음을알수있다. Dgtal Sgnal Processng 9/36
F () ( 3)( 4) b) =3 과 =4 의두개의 pole을가지고 ROC : 3 이므로 0 대해고려. c) f resdue of F at poles of and ( ) ( ) 3 4 3 4 4 3 3 4 F( ), 0.5 2 ( 0.5)( 2) resdue of F( ) at pole 2, 0 f( ) resdue of F( ) at pole 0.5, 0 2 2, 0 0.5 3 2 2 (0.5), 0 2 3 0.5 Ex3.8) 과같은결과를가져옴. Dgtal Sgnal Processng 0/36
3.8 Mappng fro the S-plane to the Z-plane Ts j e, x jy re s j j T ( j T jt re e e e 이고로두면, T 2 f r e, T 2 f s s Dgtal Sgnal Processng /36
3.9 Solvng Dfference Equatons Usng the -transfor Ex3.0) The frst-order recursve dgtal flter 가다음과 같은차분방정식으로표현되어질때출력는? 단, 는 unt step sequence 일경우, 초기값 y x y Ay x y Dgtal Sgnal Processng 2/36
Sol) 전달함수를구하면 y A y x 0 0 0 y l Ay A yl x 단 l l0 0 (, ) Y( ) Ay A Y( ) X ( ) Y A Ay X ( )( ) ( ) Ay X( ) Y( ) A A 0 으로두면 Y ( ) H( ) ( ) A X A Dgtal Sgnal Processng 3/36
x 가 unt step 인경우 X() Y( ) X ( ) H ( ) A R 2 R R2 A 2 2 2 A, R A A A A 2 A Y( ) A A A A A y () ( A) A A A 2 2 Dgtal Sgnal Processng 4/36
y 0인경우 A Y ( ) y A A 2 A A A A A A 2 A 2 y( ) A y A A y A y A f A, l y A A, y 그런데 y Dgtal Sgnal Processng 5/36
Ex3.) 다음과같은 second-order recursve dgtal flter 가주어지고 x 0, y, y 2 Sol) Eq(3.45) 로부터 = 인경우 =2 인경우 의초기값이주어질때출력는? y A y A y B x B x 2 2 0 p Z f ( ) F( ) f ( p) p Z y Y() y y 2 2 p Zy2 Y ( ) yp p 이므로 Y( ) y y Y ( ) y y 2 2 2 2 2 Y( ) ( A A ) Y( ) ( A A ) y A y ( B B ) X ( ) 2 2 2 2 2 0 ( B B ) X ( ) ( A A ) y A y Y() 0 2 2 2 2 2 A A2 A A2 Dgtal Sgnal Processng 6/36
Zero-ntal condtons 에대한 -transfer functon 은 Y( ) B B ( B B ) H( ) X ( ) A A A A 0 0 2 2 2 2 B ero : 0,, pole : 2개 B Dgtal flter 의형태가일반적으로 n y A y B x 0 ( ) B Y( ) 0 n X( ) A, 0 or H n >n 인경우는 n 의차수의 recursve flter 와 -n 차수의 nonrecursve flter 로나뉜다. Dgtal Sgnal Processng 7/36
3.0 Stablty of Dgtal Flter BIBO Stablty : 그러나 hgher-order flter 의경우위의조건을충족시키는지구하는 것이어려워지므로 -transfor 의 pole 의값을이용 따라서각각의시간응답인가모두수렴하는형태가되면된다. 0 h ( ) K ( ) n n B ( ) R ( ) H ( ) n A( ) a ( ) H h ( ) a a a 이면 h ( ) 0 이므로 으로가므로수렴. Dgtal Sgnal Processng 8/36
. 실수축에 pole 이있는경우 response partcular pole 즉, 로두면 a A R H ( ) A h ( ) R A 0 A 따라서, 이면발산, A 이면수렴 Dgtal Sgnal Processng 9/36
2. Response due to a par of coplex conjugate poles H() 가 에서공액복소근의 pole 을가질때 j re R R H () re re R e j j j 단, 는의공액복소수이다. R h ( ) R ( re ) R ( re ) j j r e j( ) j( ) 2r cos( ), 0 r e r 이면 h ( ) 발산, r 이면 h ( ) 수렴 T 0 Dgtal Sgnal Processng 20/36
따라서 Syste 이안정할려면모든 pole 의값이 -plane 에서의 unt crcle 이내에들어와야한다. B () H() A ( ) 0 A () 즉에서의근들이모두단위원이내에 존재해야한다. Jury s Crtera 에의해판별 ( 인수분해하지않고판별 ) 차분방정식의형태가 y B x 0 H() B 안정하다. 0 인필터의경우 (nonrecursve 형태 (FIR Flter)) 이므로 =0 이외에서는 pole 이없으므로항상 Dgtal Sgnal Processng 2/36
3. Frequency Response of Dgtal Flters Ex3.0) 에서의 Frst-order recursve Flter 에임의의입력 x() 에 대한출력의 -transfor 은 Y() X() Ay A A 여기서입력을주파수입력인 x j T e 로두면 X() jt e Ay R R Ay Y() ( A )( e ) A A e A 2 jt jt A e y A y R R A e e A e A Ae j( ) T, 2 = jt jt jt jt Dgtal Sgnal Processng 22/36
A I) 에서로가져가면 y e xe e A e A j( ) T jt jt jt Frequency Response jt jt y e e H( jt ) M ( T) e j T x e A (cos T A) j snt 2 ( ) ( 2 cos ) M T A A T snt snt ( T) tan tan cost cost A snt T tan cost A y 0 j( T) 초기값이으로두면 Eq. (3.85) 로부터 Frequency response의전달함수를바로구할수있다. 2 Dgtal Sgnal Processng 23/36
jt Y( ) e H( jt ) jt X A e A ( ) jt jt e e H( jt ) 의 agntude와 phase를 graphcally 하게구할수도있고, 바로계산해서구할수도있다. Graphcally에의한 frequency response를구하는법 H( ) A H ( jt ) e jt b jt e A a b M ( T ), ( T ) T a a Dgtal Sgnal Processng 24/36
Dgtal flter와 contnuous flter와의비교. Frst-order recursve flter Hs () s a A : contnuous flter at H ( ) : 단, A e, a 0 s, T 0 s Dgtal Sgnal Processng 25/36
앞의두 response 의경우 Alasng 문제가있느냐없느냐이다. 0 s 2 사이에서의차이점은 H( j 즉 Contnuous Flter 의경우가에따라줄어 s 드는데비해 Dgtal flter 의경우를기준으로반복되어진다. 실제사용주파수 (Saplng Theore) 는 s 2 까지사용 Dgtal Sgnal Processng 26/36
2. Second-order recursve flter 차분방정식이 Ex (3.) 을참조하면 초기조건이 0 이면 y A y A y x 2 2 Y() 2 X() A A2 로주어질때 ( A A ) y A y X() 2 2 2 2 2 A A2 A A2 2 Y() H( ), Y( ) X ( ) ( A A ) Y( ) 2 2 Dgtal Sgnal Processng 27/36
jt e 로두면 j2t jt e He ( ) e A e A A e A e e M( T) e A e A j2t jt jt j2t 2 2 j2t j2t jt 2 (cos 2T A cos T A ) j(sn 2T A sn T ) or M ( e 여기서특성방정식 단, 2 A e jt jt 2 ( A cost A cos 2 T ) ( A snt A sn T ) 2 2 2 2 2 A A2 0 에서 2 A 2r 2 r A2, cos, T, r exp( j ) ( - )( - ) ( ) 2r cos r 2 2 2 2 2 2 Dgtal Sgnal Processng 28/36
Graphcal approach b M( T) a a 0 a a 2 2 a a2 여기서와는 poles 로부터 varable pont 까지의 vector 이다 에서최대값을가진다. 즉에서 resonant 를가지는 bandpass flter 의형태임을알수있다. j e 0 위의 graphcal Method 를이용하여 로구할수있다. 2 2 2 0 0 M ( r 2r cos( T r 2r cos( ) T Dgtal Sgnal Processng 29/36
일반적으로 n 차 recursve flter 의경우 n y A y B x frequency response의경우 j T 를치환 0 B Y( ) 0 transforaton H ( ) n X( ) A e jt Be Kb jt 0 n n jt Ae a H ( e ), M ( T ) the ( T) n T 2 2 3 Dgtal Sgnal Processng 30/36
3.2 Fors of Dgtal Flters n 차차분방정식으로나타난 recursve dgtal flter n y A y B x 0 은 y 의 n 개의앞의 data 를저장할수있도록하기위해 n 개의 regster 가필요하고 x 의 개앞의 data 를저장하기위해 개의 regster 가필요하다. 즉, n+ 개의 regster 가필요 Dgtal Sgnal Processng 3/36
Second-order flter 의경우 y A y A y x Bx 2 2 Y( ) B H( ) X ( ) A A 2 2 n+=3 delay 필요. 이경우 delay 요소를필요이상으로 개더사용하고있음을알수있다. 이 delay 요소를줄이기위해 Canonc for (or standard for) 으로 recursve dgtal flter 를재구성. => delay 요소를줄임. Dgtal Sgnal Processng 32/36
Canonc for (or standard for) 이경우 개의 ero와 n 개의 poles( 단최소수는 pole 의개수 n 개이면된다. 일반적인 Canonc For을구하기위해 n ) 인경우 delay 의 B 0 ( ) ( ), ( ) ( ),, ( ) n 단 n 0 A Y X Y M B M 다음그림과같은형태로 auxlary all pole flter 의출력같이구해진다. M() X() A 가다음과 Dgtal Sgnal Processng 33/36
앞의 2 차방정식인경우 Dgtal Sgnal Processng 34/36
The Cascade for H ( ) K n ( ) ( ) The parallel for H() n 0 R Dgtal Sgnal Processng 35/36
Nonrecursve flter y B x Y ( ) B X ( ) 0 0 ( ) ( ) H K Dgtal Sgnal Processng 36/36