Chapter 3. Sampling and The -Transform Digital filter 의설계와해석은 -transform을이용 용이해짐 -transform : 연속된수의형태로나타내어구하는방법 2 continuous signal 은 sample 하여 Laplace Transform을취한후 -transform을구하는방법. n m 일반적으로이용. y( k) A y( k i) B x( k i) 3.2 Sampling a continuous signal sampling period : T f f s s 2 fs F( j) 0, h s : sampling rate or sampling frequency : angular sampling frequency i i i0 일경우 sampling theorem 은? i Digital Signal Processing /38
Sampling theorem (Shannon sampling theorem) s 2 h 이경우, 원신호로복원가능해짐. 즉다음과같은 interpolation formula 를이용해복원됨. s ( t kt ) sin 2 f ( t) f ( kt ) s ( t kt ) k 2, Nyquist rate f() t 신호가 T 간격에걸쳐 fourier series로전개된다면, L fundamental frequency를이라두면 f 에서 f TL fh harmonic 표현에의한개수는 TLfh f 또한 f() t 신호는 fourier series로표현할때 sine과 cosine식의계수로 표현되므로전체의 record는 T f Fourier coefficients로표현된다. 2 L h s 2 h Digital Signal Processing 2/38
따라서 Sampling rate 는 f s 2TLf T L h 2 f samples per second Aliasing (or frequency folding) h 5H 의신호를 4H 의 sampling rate 로 sample 했을경우 5H 의신호와는다른 ( H) 의신호가재생된다. Aliasing 현상 Digital Signal Processing 3/38
일반적인설명을위해서다음의연속신호를고려하자. f ( t) sin t 0 이신호를 sampling rate 로 sample 하면, s 2 ( ) sin 0, 2 s f k kt 단 T T 이번에는 sampling frequency 의 m 배만큼 따라서 f() t 와 gt () 는동일한신호가된다. 의 frequency 와 즉, sampling frequency 의 2 배만큼다른 frequency 를가진 두신호를 sample 하면결과를구분하기가어렵다. 즉 higher-frequency signal 은 lower frequency signal 과겹쳐진다. s f() t 차가나는신호를 g( t) sin ( 가되므로 0 ms ) t sample rate 2 로 sample 하면 s T g( k) sin ( m ) kt sin kt ( T 2 ) 0 s 0 s Digital Signal Processing 4/38
3.3 Model for a Periodic Sampler A/D Converter : 시간축으로 sample 하고 amplitude 값을 sampling 시간에따라양자화 (quantiation) 시킨다. Digital Signal Processing 5/38
T 이므로 t = kt 에서바로 sample: Ideal sample function ( t) ( t kt ) T 의형태인 a train of unit impulses 로나타낸다. 이때 k f ( t) f ( t) ( t) T 으로표현된다 f() t f ( kt ) Digital Signal Processing 6/38
3.4 Laplace Transform of the Sampled Function 3.4. Method Frequency characteristics 를얻기위해서 f ( t) f ( t) ( t kt ) f ( kt ) ( t kt ) k Laplace Transform 하면 k0 * st F ( s) f ( kt ) ( t kt ) e dt 0 k 0 * kts F ( s) f ( kt ) e k 0 Digital Signal Processing 7/38
3.4.2 Method 2 Impulse train 은주기적이므로복소 Fourier series 로표현하면 jn s T() t Cne 여기서, n t T 2 jn st Cn () T T t e dt T 2 T () t T n e jn t s * jn st f ( t) f ( t) T ( t) f ( t) e T n T Digital Signal Processing 8/38
Laplace Transform 하면 이때 * jn st F ( s) L f ( t) e F( s jns ) T n T n s j * 로두면 F ( j) F j( n s) T n (3.8) ⅰ) 이때샘플하기전의신호가최대의 frequency 를가지고 있을때 s 일경우주파수영역에서 overlap 되는경우가없다. 2 원신호를완전히회복가능. ⅱ) 그러나 s인경우, 즉 sampling theorem을만족하지 못하는경우, overlap 이생겨원신호를회복못하게된다. Aliasing 현상발생. h h 2 h Digital Signal Processing 9/38
Sampling theorem 2 s h 를만족할경우 Sampling theorem 2 s h 를만족못할경우 Digital Signal Processing 0/38
sin s( t kt ) / 2 f ( t) f ( kt ) 인원신호의복원에대한증명. k s ( t kt ) / 2 Proof) F ( j) F j( n s) T k 이때 TF * ( j) 를 ideal lowpass filter를거치게하여새로운 F( j) 로 * 회복시키게하면 단, 여기서 * ktj F ( j ) f ( kt ) e 이므로 ( ) f ( kt) 0, T 0 F( j H ( jt f ( kt ) e k jkt jkt ( ) L { ( )} ( ) L { ( ) } f t F j T f kt H j e F j H j TF j * ( ) ( ) ( ), s / 2 H( j ) 0, s / 2 k0 k Digital Signal Processing /38
jt { H ( j)} H ( j) e d 2 t 2 2 s 2 jt s sin s e d h ( t ) 2 t jkt { H ( j) e } h( t kt ) sin[ s ( t kt ) / 2] 2, s T ( t kt ) / 2 T s sin[ s ( t kt ) / 2] ( t kt ) jkt ( ) ( ) { ( ) } f t T f kt H j e k k sin[ s( t kt ) / 2] f ( kt ) ( t kt ) / 2 s Digital Signal Processing 2/38
3.4.3 Method 3 L{ f ( t)} F( s), L{ ( t)} ( s), 단, t 0 에서 f ( t) 0 * f t f t T t Eq ( ) ( ) ( ) (. 2.5 참조) T cj * F ( s) L{ f ( t) T( t)} F( p) T( s p) dp 2 cj 그런데 ( s) L{ ( t nt )} T n0 st ( t nt ) e dt e 0 n0 n0 Ts 2Ts e e Ts, e Ts e F * ( s cj ) ( ) T ( s p) 2 j F p c j e dp T nts Digital Signal Processing 3/38
여기서 을만족하는 p 값은 Suppose the poles of F(p) are in the left plane with of the pole nearest imaginary axis. the real part 이때인 C 를거쳐반시계방향으로 F(p) 의모든 poles 를에워싸도록 ( ) T s p e 0 T ( sp) j2l e e T( s p) j2l 2l p s j s jls, ( s j) T 2 c e 하고의모든 pole 들이바깥에있게하면, T ( s p) ( ) ( ) T s p e * F s residues of F p ( ) 2 at the poles of F(p) Digital Signal Processing 4/38
Digital Signal Processing 5/38
3.5 The -transform f * () t. 2. 의 Laplace transform 의 3 가지방법은 * kts F ( s) f ( kt ) e k0 * F ( s) F( s jns ) T n F ( s) residues of F( p) T s p e 3. * at the poles of 이산시간계에서의 로둔다. 를간단히표현하기위해서 이렇게 Ts 로두어의함수로바꾼것도 -transform 한다고한다. Ts e, s ln T e Ts e F * ( s) F( ) ( ) F( p) Digital Signal Processing 6/38
-transform: * F s residues of F p one sided -transform or k F( ) f ( kt ) k0 ( ) ( ) T s p e ( ) at the poles of F( p) f ( t) F( ) f() t f * () t F * () s 로바꾸는과정 : continuous function (Sample) : sampled function : (Take the Laplace transform) (Let ) F () e Ts : -transform of f ( kt ) Digital Signal Processing 7/38
two sided--transform F( ) f ( kt ) k f ( kt ) 0 k (if, k<0 이면 one sided -transform 으로적용 ) Ex 3.) 다음함수의 -transform 은? a) Unit ramp b) Exponential Sol) a) f ( kt ) kt k0 k0 f ( t) tu( t) at f ( t) e u( t) k F( ) kt T k 2 ( k) T k T k ( 2 3 ) T ( ) ( ) 2 2 j ( 단,, re 이면 r ) Digital Signal Processing 8/38
ii) F( s) 2 을이용하고유수의정리를적용하면 s F( ) residues of at pole p 0 ( double pole) 2 Tp p e d dp p e 2 p 2 Tp p0 Tp Te T Tp ( e ) ( ) 2 2 p0 F () 위의두가지방법으로구한는같음을알수있다. F () T T ( ) ( ) 2 2 Digital Signal Processing 9/38
b) exponential 함수 f ( kt ) e akt akt i) F( ) e ii) F( s) k 0 인경우 k at at 2 at 3 e ( e ) ( e ) at ( e ) at at ( 단, e, r e ) 을이용하여 Residues를이용 s a F( ) residues of at pole p a Tp p a e ( p a) p a e e e Tp at at pa 0 에서 ero, at에서 pole을가짐. e Digital Signal Processing 20/38
이상에서보는바와같이더복잡한시간함수의경우는 F( ) f ( kt ) k0 k 를이용하여구하면복잡해지나 를구한후 Fs () F( ) residues of F( p) at the pole of F( p) Tp e 이용하여구하면큰어려움없이구할수있다. 예 ) Fs () F( ) s 2 ( s ) 2 residues of 의 -transform 은 p 2 ( p ) e 2 Tp p d p 2 e T ( p 2) e dp ( p ) e ( e ) Tp Tp 2 ( p ) 2 Tp Tp 2 Tp ( T) e F( ) Tp 2 ( e ) p p Digital Signal Processing 2/38
F () 가수렴하는영역 a) 의경우, r b) 에서는 r e at 의영역을 region of convergence (ROC) 라고한다. Digital Signal Processing 22/38
Ex 3.2) 다음함수의 -transform 은? Sol), k 0 f ( k) u( k) Negative time sequences 0, k 0 k F( ) f ( k) Let l k를두면 l F() ( 단, r ) l0 에서 pole을가지며, R.O.C는단위원안쪽이다. Negative time sequences 의 -transform 의경우 R.O.C 는 k F () 가지는반경안에놓인다. 0 k k 의 pole 중원점으로부터가장가까운 pole 의거리를 Digital Signal Processing 23/38
Ex 3.3) A two-sided sequence 의 -transform k f ( k) a, 단, a 인실수 k k k k k k l l k k sol) F( ) a a a a a k k k 0 l0 k 0 l l l l a 은 ( a ) 일때 a 이고 a a l0 l0 k k k k a 는 a, 즉 a 일때 a 이다. a k0 k0 a F( ) a a a a 2 ( a ) ( a)( a) 단, R. O. C는 a ( 이경우 a 이면어느경우도수렴하지않음) a Digital Signal Processing 24/38
f( k) R R 일반적으로의 -transform 의수렴영역은가된다. 여기서는 positive-time sequence 에대해서다루므로특별히수렴 영역에대해규정지을필요는없다. Digital Signal Processing 25/38
3.6 Properties of the -transform Two-sided transform 을고려하면 one-sided 는자연성립되므로 Two-sided transform 을이용 R.O.C for 로둔다.. Linearity F ( ) Z f ( k), F ( ) Z f ( k) 2 proof 2 2 2 2 F () Z a f ( k) a f ( k) a F ( ) a F ( ) ) 이면 는 ( ) ( ) ( ) ( ) Z a f k a f k a f k a f k 2 2 2 2 k k 2 2 k k 2 2 k a f ( k) a f ( k) a F ( ) a F ( ) R R k Digital Signal Processing 26/38
2. Time shift or translation a) F( ) Z f ( k) 이고 f (0) 0 인경우. b) F( ) Z f ( k) 일때 (one-side 인경우) a) F( ) Z f ( k) 이고 f (0) 0 인경우. k m m Z( f ( k m) f ( k m) ( ) k m ( k m) k m l f ( l), l k m f ( k m) m l F( ) Digital Signal Processing 27/38
b) F( ) Z f ( k) 일때 (one-side 인경우) m m p i) Z f ( k m) F( ) f ( p) ( 단, m 0) p m m p ii) Z f ( k m) F( ) f ( p) p0 k0 k0 m l k m ( km) proof ) Z f ( k m) f ( k m) f ( k m) f ( l), l k m lm m l l f ( l) f ( l) l0 lm m m p F( ) f ( p), p l p m m p 마찬가지로 Z f ( k m) F( ) f ( p) 도증명 p0 Digital Signal Processing 28/38
k 3. Multiplication by a proof ) k 이면 F( ) Z f ( k) Z a f ( k) F( a ) k k k Z a f ( k) a f ( k) k k F k f ( k)( a ), a ( ) F( a ) ( 단, R. O. C a R _ a R ) Digital Signal Processing 29/38
4. Time reversal proof ) 이면 F( ) Z f ( k) Z f ( k) F( ) Z f ( k) f ( k) k l l k l f ( l), l k F( ) 의R. O. C 은 f l F l ( )( ) ( ) F( ) 의R. O. C 가 R _ R 이면 R R_ Digital Signal Processing 30/38
5. Multiplication by time index proof ) Z k f ( k) df() d df( ) d k f ( k) d d k d k f ( k) ( ) d f ( k)( k) k k k k f ( k) Z k f ( k) k k Digital Signal Processing 3/38
6. Convolution theorem proof ) F( ) Z f ( k), G( ) Z g( k) Z f ( k) g( k) F( ) G( ) 단, f ( k) g( k) f ( n) g( k n) n 일때 y( k) f ( k) g( k) f ( n) g( k n) 으로두면 n Y ( ) Z y( k) y( k) k n k Y ( ) f ( n) g( k n) n k k f ( n) g( k n) k k Digital Signal Processing 32/38
Y ( ) f ( n) g( k n) n n n k ( k n) n f ( n) g( k n) k n ( k n) f ( n) g( k n) k n l Y ( ) f ( n) g( l) F( ) G( ) n l System 이 LTI system 인경우 unit pulse response input 에대한출력는 또한 xk ( ) yk ( ) y( k) h( k) x( k) h( n) x( k n) n Y( ) H( ) X ( ) 이므로 Y() H() X() k hk ( ) 가주어지므로 Digital Signal Processing 33/38
7. Complex convolution theorem x ( n) x ( n) x ( n) 인경우 3 2 2 j Z X 3( n) X 3( ) X 2( v) X c v dv proof ) n 3 3 2 n n X ( ) x ( n) x ( n) x ( n) k f ( k) F( ) d 2 j 을이용하면 c 2 j n x2( n) X 2( v) v dv c v n n X 3( ) x ( n) X 2( v) v dv 2 c n j n Digital Signal Processing 34/38
n n X 3( ) x ( n) X 2( v) v dv 2 c n j n n n 2( ) ( ) 2( ) ( ) c n n X v x n v dv X v x n v dv 2 j c 2 j v X 2( v) X v dv Q. E. D 2 jc v C 가 unit circle 이고 v re j 로두면 j j j v e, dv je d, re, j X 3( ) X 2( e j ) X( re ) e j je j d 2 j c 2 j X ( e ) X ( re ) d j 2 Digital Signal Processing 35/38
여기서 x ( n) x ( n), 이면 2 2 3() ( ) ( ) 2 c n j v X x n X v X v dv Parseval's relation energy spectrum 을나타냄. 8. Initial Value theorem proof ) F( ) Z f ( k) 일때 f (0) lim F( ) k 0 k lim F( ) f (0) lim f ( k) f (0) k F( ) f ( k) : 로취하면 Digital Signal Processing 36/38
9. Final-value theorem ( ) F( ) 가 unit circle 상이나바깥에 pole을가지지않을경우 proof ) f ( ) lim( ) F( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) Z f k Z f k f k f k n k 0 ( ) (0) ( ) lim ( ) ( ) n n k 0 n F f F f k f k k k 이되게양변을취하면 lim( ) F( ) f (0) lim f () f (0) f (2) f () n f ( n) f ( n ) f ( ) f (0) f F f F ( ) lim( ) ( ) 또는 ( ) lim( ) ( ) Digital Signal Processing 37/38
Ex 3.4) 0.25( 0.2 ) ( 0.5 )( 0.8 )( ) Y() yk ( ) 의 steady-state? 일때 sol) Y() 에대한 R.O.C. 가이고는단위원상이나 바깥에 pole 을가지고있지않다. y Y ( ) lim( ) ( ) 0.25( 0.2) lim ( 0.5)( 0.8) ( ) Y( ) Digital Signal Processing 38/38