제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 ( 제 2 장. 복소수기초 ) 한림대학교전자공학과 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 1
배울내용 복소수의기본개념복소수의표현오일러 (Euler) 공식복소수의대수연산 1의 N 승근 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 2
복소수의 4 칙연산 복소수의덧셈과뺄셈에는직각좌표계표현을사용하고, 곱셈과나눗셈에는극좌표표현을사용하는것이편리하다. 두복소수 z 1 = a + jb = r 1 e j 1 와 z 2 = c + jd = r 2 e j 2 에대한사칙연산은다음과같다. (1) 덧셈 : z 1 + z 2 = a + jb + c + jd = (a + c) + j(b + d) z 1 + z 2 는벡터 z 1 과 z 2 를두변으로갖는평행사변형의대각선에해당한다. z = z 1 +z 2 b+d d z 2 = c+jd b z 1 = a+jb 0 c a a+c Re{z} 그림 2.1: 두복소수의덧셈을설명하는그림. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 3
복소수의 4 칙연산 (2) 뺄셈 : z 1 z 2 = a + jb (c + jd) = (a c) + j(b d) z 1 z 2 는 z 1 과 z 2 의덧셈으로이해할수있다. z 2 = c+jd d b z 1 = a+jb c 0 a c c a Re{z} b d z = z 1 z 2 z 2 = c jd d 그림 2.2: 두복소수의뺄셈을설명하는그림. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 4
복소수의 4 칙연산 (3) 곱셈 : 직각좌표계표현을사용하여두복소수의곱셈을계산하면다음과같다. z 1z 2 = (a + jb)(c + jd) = ac + jad + jbc bd = (ac bd) + j(ad + bc) 극좌표계표현을사용하여두복소수의곱셈을계산하면다음과같다. z 1z 2 = r 1e j 1 r 2e j 2 = r 1r 2e j( 1+ 2 ) 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 5
복소수의 4 칙연산 r = r 1 r 2 z = z 1 z 2 = r 1 r 2 e j(1+2) r 2 z 2 = r 2 e j2 = 1 + 2 r 1 z 1 = r 1 e j1 2 0 1 Re{z} 그림 2.3: 두복소수의곱셈을설명하는그림. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 6
복소수의 4 칙연산 (4) 나눗셈 : 직각좌표계표현을사용하여두복소수의나눗셈을계산하면다음과같다. z 1 z 2 = z1 z 2 z 2 z 2 = a + jb c + jd c jd c jd = (a + jb)(c jd) (c + jd)(c jd) (2.31) = = (ac + bd) + j(bc da) c 2 + d 2 ac + bd bc da + j c 2 + d2 c 2 + d 2 극좌표계표현을사용하여두복소수의나눗셈을계산하면다음과같다. z 1 = r1ej1 z 2 r 2e j 2 = r1 r 2 e j( 1 2 ) 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 7
복소수의 4 칙연산 z 2 = r 2 e j2 r 2 0 2 1 r 1 z 1 = r 1 e j1 Re{z} = 1 2 r = r 1 r 2 z = z 1 z 2 = r 1 r 2 e j(1 2) 그림 2.4: 두복소수의나눗셈을설명하는그림. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 8
켤레 (Conjugate) 복소수 z = a + jb = re j 일때, z의켤레복소수를 z 라하며, z = a jb = re j 이다. 또한 (z ) = z이다. 다음그림은복소수 z와 z의켤레복소수 z 를설명하는그림이다. z = a+jb = re j r 0 Re{z} r z = a jb = re j 그림 2.5: 복소수 z 와 z 의켤레복소수 z 를설명하는그림. 복소수 z 의켤레복소수는실수축을중심으로 z 와대칭위치에있다. 즉, 서로 켤레인두복소수는크기가같고각도만부호가반대이다. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 9
복수소의제곱 허수 j 의거듭제곱은다음과같다. j 0 = 1. (2.32) j 1 = j. (2.33) j 2 = 1. (2.34) j 3 = j 2 j = j. (2.35) j 4 = j 3 j = j j = ( 1) = 1. (2.36) 즉, 임의의정수 k에대해서다음관계식이성립한다. j 4k = 1. (2.37) j 4k+1 = j. (2.38) j 4k+2 = 1. (2.39) j 4k+3 = j. (2.40) 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 10
복수소의제곱 j 4k+1 = j j 4k+2 = 1 0 j 4k = 1 Re{z} j 4k+3 = j 그림 2.6: j 의정수제곱의그래프. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 11
복수소의제곱 복소수 z = re j 와정수 k에대해서 z k 은다음과같이표현된다. ( z k = re j) k = r k e jk. (2.41) z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z z 0 = 1 0 Re{z} z 6 7 z 9 z 8 z 5 z 6 z 4 z3 z 2 z 1 z 0 = 1 0 Re{z} z 9 z 7 z 8 (a) z = 0.95e π 5 일때. (b) z = 1.05e π 5 일때. 그림 2.7: 복소수의거듭제곱의그래프. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 12
복수소의제곱 z 1 = 0.95e j π 5, z2 = 1.05e j π 5 라하고, x1 [n] = z n 1, x 2 [n] = z n 2 이라고하자. x 1 [n] 과 x 2 [n] 의그래프를 3 차원공간에서그려보면다음과같다. (a) x 1[n] = ( ) ( ) 0.95e π n 5 (b) x2 [n] = 1.05e π n 5 그림 2.8: 복소수의거듭제곱시퀀스의그래프. 이그림을 n 축을정면으로오게해서복소수평면으로투영을하면그림 2.7 과같다. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 13
다음과같은복소방정식의해를구해보자. z N = 1, (2.42) 여기에서 N은정수이다. 이방정식의해를구하기전에다음의관계식을이해해야한다. 여기에서 n 은정수이다. 1 = e j2πn, (2.43) 식 (2.12) 의해는다음과같은방법으로구할수있다. ( z = re j 라고하면, z N = re j) N = r N e jn 이되므로, 식 (2.12) 는다음과같이 쓸수있다. r N e jn = e j2πn. (2.44) 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 14
이식이성립하기위해서는 r N = 1과 N = 2πn이되어야하므로, 다음두식이성립한다. r = 1, (2.45) = 2π n, (2.46) N 여기에서 n = 0, 1,, N 1 이다. 따라서식 (2.12) 의해는다음과같은 N 개의복소수이다. ( ) z = e j 2π N n = e j 2π n N, n = 0, 1,, N 1. (2.47) 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 15
예제 2.1 다음 z 에대한방정식의해를극좌표형식으로구하라. z 5 = 1. (2.48) 이방정식의해는모두 5 개로, z n = e j 2π N n, n = 0, 1, 2, 3, 4이다. z 1 = e j 2π 5 z2 3 = e j 12π 5 z 2 1 = e j 4π 5 z 2 = e j 4π 5 0 z 5 1 = 1 Re{z} 0 z 5 2 = 1 Re{z} z 3 1 = ej 6π 5 z 4 2 16π = ej 5 (a) z 1 = e 2π 5. z 4 1 = ej 8π 5 (b) z 2 = e 4π 5. z 2 2 = ej 8π 5 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 16
z3 4 = e j 16π 5 z3 2 = e j 8π 5 z 3 4 12π = ej 5 z4 4 = e j 16π 5 0 z 5 3 = 1 Re{z} 0 z 5 4 = 1 Re{z} z 3 = e j 4π 5 z 3 3 (c) z 2 = e 6π 5. 12π = ej 5 z 2 4 = ej 8π 5 (d) z 4 = e 8π 5. z 4 = e j 4π 5 그림 2.9: z 5 = 1 의해중에서 z 0 = 1 을제외한나머지네개의거듭제곱의그림. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 17
예 >>> z1 = 1 + 1j; z2 = 2-1j >>> z1+z2 (3+0j) >>> z1-z2 (-1+2j) >>> z1*z2 (3+1j) >>> z1/z2 (0.2+0.6j) >>> z1.conjugate() (1-1j) >>> z2.real 2.0 >>> z2.imag -1.0 >>> abs(z1) 1.4142135623730951 한림대학교>>> 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 18
complex() 함수 complex() 함수는실수를복소수로변환하는함수이다. >>> complex(3) (3+0j) >>> complex(3,4) (3+4j) >>> a=3 >>> b=4 >>> complex(3) (3+0j) >>> complex(a) (3+0j) >>> complex(a,b) (3+4j) >>> 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 19
cmath 모듈이용하기 cmath 모듈은복소수와관련된함수와 π 와 e 상수를제공하는모듈이다. polar() 함수 : 직각좌표형식의복수소를극좌표형식의복소수로바꾸어 실수부와허수부를리스트로반환하는함수 rect(,) 함수 : 두개의매개변수를각각크기와위상으로받아들여직각좌표형식의복소수로반환해주는함수 phase 함수 : 직각좌표형식의복소수의위상을계산하는함수이세함수에사용되는매개변수와반환값은모두 radians 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 20
cmath 모듈이용예 >>> import cmath >>> z1 = 1 + 1j >>> z2 = 2-1j >>> z3 = cmath.polar(z1) >>> z3 (1.4142135623730951, 0.7853981633974483) >>> z4 = cmath.rect(1., cmath.pi/2) >>> z4 (6.123233995736766e-17+1j) >>> cmath.phase(z4) 1.5707963267948966 >>> 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 21
각의단위변환 각도에서 degree 와 radian 을서로변환할때는 math 모듈의 degrees() 와 radians() 함수를사용한다. 참고로상수 π 는 cmath 는물론이고 math 모듈에도포함되어있다. >>> import math >>> math.degrees(math.pi) 180.0 >>> math.radians(90) 1.5707963267948966 >>> 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 22
Sympy 를이용한방정식의해구하기예 Sympy 모듈의 solve() 함수를사용하여 z 3 = 1, z 4 = 1, z 5 = 1의해를구하는예이다. >>> import sympy >>> z = sympy.symbol('z') >>> sympy.solve(z**4-1,z) [-1, 1, -I, I] >>> sympy.solve(z**5-1,z) [1, -1/4 + sqrt(5)/4 - I*sqrt(sqrt(5)/8 + 5/8), -1/4 + sqrt(5)/4 + I*sqrt(sqrt(5)/8 + 5/8), -sqrt(5)/4-1/4 - I*sqrt(-sqrt(5)/8 + 5/8), -sqrt(5)/4-1/4 + I*sqrt(-sqrt(5)/8 + 5/8)] >>> sympy.solve(z**3-1,z) [1, -1/2 - sqrt(3)*i/2, -1/2 + sqrt(3)*i/2] >>> Sympy 에서복소수의기본단위인 j 를나타내는심볼은 I 이다. 한림대학교 제 5 강. 복소수연산및 을이용한복소수연산 23