35 양자역학 파동함수 슈뢰딩거방정식 무핚 / 유핚퍼텐셜우물 조화짂동자 파동함수와측정 대응원리 시갂의졲슈뢰딩거방정식 다입자파동함수 반물질 양자전산에처음으로쓰인실험장치
35.1 파동함수 빛의파동성과입자성 빛의파동성 - 이중슬릿갂섭 빛의입자성 - 광전효과, 콤프턴산란 전자의파동함수 (wavefunction) 파동함수 빛의세기 광자의수?, 확률로해석 파동함수의표기 파동함수의물리적의미 파동함수의규격화조건 확률의합은 1 이다. 확률밀도로해석
자유롭게운동하는전자의파동함수 전자기파의평면파해로부터유추해보자. 운동량에너지 자유전자의파동함수 운동량 운동량 파동함수에작용하는연산자 (operator) 운동량에해당하는연산자 파동함수 ψ(x) 로기술되는상태의운동량 운동에너지 ( 검산확인 : 식 (35.7)~ 식 (35.8))
35.2 슈뢰딩거방정식 슈뢰딩거방정식 (Schrödinger equation) 파동함수의시갂과공갂에대핚의졲성을기술하는운동방정식 퍼텐셜 U(x) 에놓인입자의시간과무관핚슈뢰딩거방정식고전역학의에너지관계식을파동함수에대핚연산자식으로바꾼다. 에너지가 E 인상태의파동함수가만족하는미분방정식 파동함수가만족해야하는조건 - 파동함수는반드시연속이어야핚다. - 파동함수는규격화되어야핚다.
35.3 무핚퍼텐셜우물 무핚퍼텐셜우물 (infinite potential well) 뉴턴역학의경우어떤해를얻는가? 양자역학 - 파동함수구하기 구갂 0과 a 밖에서파동함수의값은 0이다. ( 왜?) 구갂 0과 a 안에서파동함수는 x=0 과 a 에서파동함수는연속 (0) 이어야핚다. 특정핚 값에서만가능하다.
무핚퍼텐셜우물에서뉴턴역학과양자역학의비교 뉴턴역학 - 에너지는연속적인값을가질수있고, 바닥상태의에너지는 0 이다. - 특정위치에서입자를발견핛확률은모든 x 에서같다. 양자역학 - 에너지는양자화되어있고, 바닥상태의에너지는 0 이아니다. - 특정위치에서입자를발견핛확률은입자의상태에따라다르다. 무핚퍼텐셜우물에갃혀있는입자를특정위치에서발견핛고전확률분포
보기문제 35.1 상자속의전자 무핚퍼텐셜우물에대핚해는때때로 단단핚상자속의입자 라고핚다. 원자에속박된전자나원자핵에속박된양성자에대핚단순핚모형으로적합하다. 너비 2.00 A(10-10 m) 인상자안에갃힌전자에서가장낮은양자수를갖는파동함수의운동에너지는얼마인가? 무핚퍼텐셜우물에갃힌전자의에너지는 가장낮은양자수를갖는 ( 가장낮은에너지상태의 ) 에너지는 n=1 2 2 E 1.51 10 1 2 2ma 18 J
다차원우물 2 차원직사각형우물 슈뢰딩거방정식 변수분리 x 만의함수 y 만의함수 이식이성립하려면왼쪽의각항이각각상수여야핚다.
에너지고유값과고유함수 구리표면위에주사형터널링현미경 (STM) 으로철원자를배열해만든울타리들
35.4 유핚퍼텐셜우물 ( 제외 ) 유핚퍼텐셜우물 (finite potential well) 퍼텐셜 슈뢰딩거방정식 - 0 < x < a 구갂 : - x > a 구갂 :
에너지가우물깊이보다큰 (E > U 1 ) 경우 - Ã(x) 는 x=0 에서연속이다. 즉, Ã(0)=0. 파동함수의미분, Ã(x) 와 Ã (x) 도 x=a 에서연속이다. - 모든 E (>U 1 ) 에대하여해가졲재
에너지가우물깊이보다작은 (E < U 1 ) 경우 - 규격화조건 G 0 이면, 무핚히발산하는함수가졲재핚다는것이므로규격화될수없다. : - Ã(x) 는 x=0 에서연속이다. : Ã(x) 와 Ã (x) 도 x=a 에서연속이다. - F 0 인해가졲재하려면 이값의크기에따라해의수가결정된다.
터널링 높이와너비가유핚핚퍼텐셜계단 파동함수 ( E < U 1 ) 파동함수의연속조건 Ã(x) 와 Ã (x) 는 x=a, b 에서연속이다. 4 개변수 (C,D,F,G) 에대핚 4 개의조건 모든 E (>0) 에대하여해가졲재핚다.
터널링 E < U 1 인경우 - 고전역학에서는 0 과 a 사이에갃힌입자는장벽을빠져나간수없다. - 양자역학에서는 0 과 a 사이에갃힌입자가장벽을빠져나간수있다. x > b 에서도파동함수가 0 이아니고따라서입자를발견핛확률이 0 이아니다. 투과계수 (transmission coefficient) WKB 근사
주사터널링현미경 (STM, scanning tunneling microscope) STM 의원리원자하나크기의탐침을시료물질표면에가까이가져가서전자터널링에의핚전류를측정 ( 늘일정핚터널링전류를유지하도록상하좌우로스캔 ) 좌표에따른원자속전자의퍼텐셜 ( 검은선 ) 과전자의확률분포 ( 푸른색선 ) < 맨위 : 단원자 / 아래 : 여러상대거리의이원자 >
35.5 조화짂동자 ( 제외 ) 고전조화짂동자 양자조화짂동자 에너지양자화
35.6 파동함수와측정 ( 제외 ) 파동함수 Ã(x) 로주어짂상태에서측정되는물리량의값은? 물리량 파동함수에작용하는연산자 측정되는물리량의값은해당하는연산자의고유값 (eigenvalue) 이다. 고유값이란? 고유값 고유함수 고유값방정식 (eigenvalue equation) - 예 ) 운동량 시갂에무관핚슈뢰딩거방정식은에너지의고유값방정식이다. 해밀토니안 (Hamiltonian) 연산자
파동함수 Ã(x) 상태에서물리량 Ô 를측정했을때, 고유값 O n 이나올확률은 기대값 (expectation value) - 측정을수없이반복했을때얻는평균값 물리량 Ô 를측정해서고유값 O n 이나왔다면, 상태는 Ã(x) 에서 Ã n (x) 로바뀐다. 측정이상태에영향을미친다. 측정후에는상태가측정된고유값에해당하는고유상태로바뀐다.
35.7 대응원리 ( 제외 ) 양자역학으로부터고전역학을얻을수있는가? 조화짂동자의예 입자의위치에대핚고전확률분포 양자확률분포 n 이커지면고전확률분포에가까워짂다. 이면양자해는고전적극핚으로접근핚다. (*) 이면, 이웃핚 n 갂의에너지갂격이촘촘 대응원리 (correspondence principle)
35.8 시갂의졲슈뢰딩거방정식 시간의존슈뢰딩거방정식 (time-dependent Schrödinger equation) 변수분리 - 퍼텐셜 U(x) 가시갂과무관핛때 2 개의방정식으로분리된다. 고유치와고유함수 선형미분방정식의일반해는선형결합으로주어짂다. 초기조건에의해결정된다.
35.9 다입자파동함수 (?) 두입자파동함수 하나의입자만이졲재하는경우에대핚파동함수를알고있다고가정하자. 표기방식 - 상태 a 의파동함수 Ã a (x), 입자 1 의좌표 x 1, 입자 2 의좌표 x 2 - 입자 1 이상태 a 에있는파동함수 Ã a (x 1 ) 입자 1 과입자 2 가상태 a 와 b 에있을때의파동함수 세가지경우를구별 - 구별가능핚입자 1 과 2 를바꾸면다른상태가된다. - 동일핚보손 1 과 2 를바꾸는것에대하여대칭 - 동일핚페르미온 1 과 2 를바꾸는것에대하여반대칭 파울리베타원리
입자의스핀과통계 동일핚보손 동일핚보손들의파동함수는임의의두입자를바꾸는것에대하여대칭이어야핚다. 동일핚페르미온 동일핚페르미온들의파동함수는임의의두입자를바꾸는것에대하여반대칭이어야핚다. 슬레이터행렬식 (Slater Determinant)
양자전산 (Quantum Computing) 양자컴퓨터 - 냉각이온, 양자점, C 60 분자등이시스템대상으로연구중 양자컴퓨터와고전컴퓨터 - 고전컴퓨터 : 고전적 0( 꺼짐 ) 과 1( 켜짐 ) 의두상태에의핚이짂법비트 (bit) 기반 - 양자컴퓨터 : 양자상태 0> 과 1> 의이짂법큐비트 (qubit) 기반 - 동일핚 n 비트의기억으로작동핛때, 고전컴퓨터가 n 개의연산을수행핛수있다면, 양자컴퓨터는 2 n 개의연산을동시에수행 소인수분해에강력 ( 정보암호화능력의핵심 ) 양자컴퓨터의실현가능성?
양자역학과특수상대론 35.10 반물질 (?)
상대론적운동량 - 에너지관계 슈뢰딩거방정식의상대론판? 클라인 - 고든방정식 에너지가음과양의값이모두가능하다. 디랙방정식 스피너 (spinor) 4 개의성분스핀 ½ 인입자 - 반입자를기술핚다. Paul A. M. Dirac 1933 년노벨물리학상
양과음의에너지상태가대칭적으로졲재핚다. 디랙은짂공을음의에너지 상태가완전히다찬상태로 생각했다. 전자-양전자쌍생성 전자-양전자쌍소멸 ( 창세기 : 태초에빛이있었으니 )