제11장 중력, 궤도운동, 수소원자

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순애 준
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1 제 8 장양자물리학 8.1 흑체복사와플랑크의이론 8. 광전효과 8.3 콤프턴효과 8.4 광자와전자기파 8.5 입자의파동적성질 8.6 새모형 : 양자입자 8.7 양자적관점에서이중슬릿실험 8.8 불확정성원리 8.9 양자역학의해석 8.10 상자내입자 8.11 분석모형 : 경계조건하의양자입자 8.1 슈뢰딩거방정식

고전물리의입장에서보면, 열복사는물체의표면가까이에있는원자내의대전입자들이가속되기때문에생기는것이다. 열적으로들떠있는입자들은그물체에의해방출되는연속스펙트럼을나타내는에너지분포를가진다.

2 8.1 흑체복사와플랑크의이론 (Blackbody Radiation and Plank s Hypothesis Theory) 어떠한온도에서든지모든물체는표면으로부터열복사 (thermal radiation) 를방출한다. 이복사의특성은온도와물체의표면의성질에따라다르다. 고전물리의입장에서보면, 열복사는물체의표면가까이에있는원자내의대전입자들이가속되기때문에생기는것이다. 열적으로들떠있는입자들은그물체에의해방출되는연속스펙트럼을나타내는에너지분포를가진다. 흑체 (black body) 란흑체에입사하는모든복사를흡수하는이상적인계이다. 흑체에서방출되는전자기복사를흑체복사 (blackbody radiation) 라고한다. 속이빈공동 ( 흑체 ) 에서구멍을통해빠져나오는복사의특성은공동의벽의온도에만의존하고공동의벽의재료와는무관하다.

실험적발견 : 1. 방출된복사의전체일률은온도에따라증가한다. ( 슈테판의법칙 (Stefan s law)) 4 8 4 P AeT ( 5.

( 빈의변위법칙 (Wien s displacement law)) ma T 실험적발견을이론적으로설명하려는시도 : 흑체로부터방출되는에너지분포 레일리

3 실험적발견 : 1. 방출된복사의전체일률은온도에따라증가한다. ( 슈테판의법칙 (Stefan s law)) P AeT ( W m K ). 파장분포의최고점은온도증가에따라짧은파장쪽으로이동한다. ( 빈의변위법칙 (Wien s displacement law)) ma T 실험적발견을이론적으로설명하려는시도 : 흑체로부터방출되는에너지분포 레일리 진스의법칙 (Rayleigh-Jeans law) : I(, T) ck B 4 T 짧은파장영역에서는거의일치하지않는다. e 방출률 ( 흑체인경우 1) m K I λ, T dλ 파장구간 dλ 에서방출되는단위넓이당일률

진동자는한양자상태에서다른양자상태로전이를할때에너지를흡수하거나방출한다고가정. 전이의처음과나중상태간의전체에너지차이는복사의단일양자로서방출되거나흡수된다.

4 플랑크 (Ma Planck) 의흑체복사이론 : 공동복사가공동벽에서의원자진동에의한것으로가정. E n nhf 진동자의에너지는로주어지는어떤특정한불연속적 (discrete) 인값만가질수있다고가정. 따라서에너지가양자화 (quantized) 되었다고가정함. 진동자는한양자상태에서다른양자상태로전이를할때에너지를흡수하거나방출한다고가정. 전이의처음과나중상태간의전체에너지차이는복사의단일양자로서방출되거나흡수된다. 전이가한상태에서가장가까운낮은상태로일어나면진동자에의해방출되고복사의양자로운반되는에너지는다음과같이나타낼수있다. E nhf ( n 1) hf hf 어떤파동의평균에너지는이웃하는진동자준위사이의에너지간격에따라파동의방출확률에가중치를부여하여얻어진것이다. 에너지준위도표

5 볼츠만분포법칙에따라서에너지가 E인어떤상태가점유될확률은 k T 에비례한다. e E B hc I(, T) 5 / k ( e hc B ( 플랑크의파장분포함수 ) T 1) -34 h J s : 플랑크상수 전영역에걸쳐실험곡선과매우잘일치 원자수준의수많은현상들을설명하기위하여양자개념에기초한이론이필요 ( 거시적인세계의전체에너지에비해인접한상태사이의전이에의한에너지변화는너무나작기때문에일상생활에서는양자효과를볼수없었다 )

6 예제 8.1 열복사의몇가지예 (A) 피부의온도가 35 C일때인체에서방출되는세기가가장큰흑체복사의파장을구하라 mk 풀이 (1) ma T ( 적외선영역 ) (B) 온도가 000K 인텅스텐전구의필라멘트에서방출되는세기가가장큰흑체복사의파장을구하라. ma mk 1.4μm 000K (C) 표면온도가약 5800K 인태양으로부터방출되는세기가가장큰흑체복사의파장을구하라. ma mk 0.50μm 5800K 가시광선영역의중간 ( 연두색부근 ). 인간의눈은이파장부근이가장민감하도록진화함.

예제 8. 양자화된진동자.00 kg 의물체가힘상수 k =5.0 N/m 인질량을무시할수있는용수철에매달려있다. 용수철을평형위치로부터 0.400 m 잡아당겼다가정지상태에서놓는다.

7 예제 8. 양자화된진동자.00 kg 의물체가힘상수 k =5.0 N/m 인질량을무시할수있는용수철에매달려있다. 용수철을평형위치로부터 m 잡아당겼다가정지상태에서놓는다. (A) 계의전체에너지와진동수를고전적으로계산하라 풀이 (B) 진동자의에너지가양자화됐다고가정하고, 이런진폭으로진동하는계의양자수 n 을구하라. n = E n hf =.00J ( J s)(0.563hz) = 양자상태한단계변화에따른에너지변화 ~10 34 J 에너지의감소를연속적인감소로감지 원자나분자정도의준미시적인수준에서만양자효과가중요

8 8. 광전효과 (The Photoelectric Effect) 광전효과 (photoelectric effect) : 금속표면에입사한빛때문에표면으로부터전자가방출되는현상. 방출된전자를광전자 (photoelectrons) 라함. 헤르쯔가발견. 저지전압 (stopping potential) : V 가 - V s ( 회로의전원장치를거꾸로연결 ) 와같거나보다더큰음의값이되면, C 에도달하는광전자는없게되고따라서전류는영이된다. 광전류의최대운동에너지와저지전압사이의관계 K ma e V s

9 고전물리학이나빛의파동설로설명될수없는광전효과의몇가지특징 : 1. 입사광의진동수가차단진동수 (cutoff frequency) f c 보다작으면전자가방출되지않음 ( 빛의세기가충분히크면임의의진동수에서도광전효과가일어나야한다고예측 ). 전자의최대운동에너지는빛의세기와무관 ( 파동이론에서는세기가큰빛일수록방출되는광전자는큰운동에너지 ) 3. 빛의진동수가증가할수록광전자의최대운동에너지도증가 ( 파동이론으로는어떤관계도예측불가 ) 4. 매우낮은세기의빛이쪼이는경우에도금속표면에서전자는거의순간적으로 ( 표면에빛이비춘후 10-9 s 이내에 ) 방출 ( 고전역학적으로광전자가방출될수있는충분한에너지를얻는데어느정도시간이걸릴것으로예상 ) 아인슈타인의광자이론 : 진동수가 f 인빛을그복사의원천에관계없이양자의흐름으로간주할수있다고가정. 이양자를광자 (photons) 라고함

10 아인슈타인은양자화된진동자가 E n = nhf인에너지상태에서 E n 1 = n 1 hf인바로아래의상태로전이할때광자가방출한다고제안 ( 진동자의잃은에너지 = 광자의에너지 ) E hf K ma hf 광자의에너지 광자의에너지 hf 를금속에있는전자에줄경우방출된광전자의최대운동에너지 광전효과방정식 일함수 (work function) 입사광의진동수에대한 K ma ( 광자의에너지가일함수보다같거나커야광전자생성 ) 차단파장 c c f c c / h hc 빛의세기가중요하지않는것은단일광자의흡수가전자의운동에너지를변화시키기때문이다. hc = 140eV nm 광전지에서충분히높은진동수의빛이전지에닿으면회로에전류가발생 가로등, 승강기의안전장치등에이용

11 예제 8.3 나트륨의광전효과 나트륨의표면에파장이 300 nm 인빛이쪼여졌다. 금속나트륨의일함수는.46eV 이다. (A) 방출되는광전자의최대운동에너지, (B) 나트륨에대한차단파장을구하라. 풀이 hc 140eV nm (A) E hf 4.13eV 300nm Kma hf 4.13eV.46eV 1.67eV (B) hc 140eV nm e 504nm.46eV

8.3 콤프턴효과 (The Compton Effect) 콤프턴 (Arthur Holly Compton; 189 196) 과데바이

X- 선에의한전자산란에서, 전자기파를파동으로해석하면실험결과를설명하지못하는현상이있다.

12 8.3 콤프턴효과 (The Compton Effect) 콤프턴 (Arthur Holly Compton; ) 과데바이 (Peter Debye; ) 는독립적으로광자의운동량에대한아인슈타인의생각을좀더자세히연구하였다. X- 선에의한전자산란에서, 전자기파를파동으로해석하면실험결과를설명하지못하는현상이있다. 광자를파동이아닌점과같은입자로취급하고운동량보존법칙을적용하면실험결과를설명할수있다. h 0 (1 cos ) m c e 콤프턴파장 (Compton wavelength) c h mc e nm

13 ( 보충설명 ) 정지질량이 0 인입자의충돌전후의에너지를 각각 E, E 이라하자. p = E c, p = E c 은대응되는운동량이다. p e 가충돌후의전자의운동량이라면운동량및에너지보존원리 p = p + p e E + m e c = E + c m e c + p e 1/ p e = p p p e = p + p p p = 1 c (E + E EE cosθ) p e = 1 c E + m ec E m e c = 1 c E + E + E E m e c EE p e 에대한두결과를같게놓고공통항을지우면 E E E E = m e c (1 cos θ) 1 E 1 E = 1 m e c (1 cos θ) E=hf =hc/λ 이므로 h 0 (1 cos ) m c e

14 예제 에서콤프턴산란 파장이 λ 0 = nm 인 X 선이어떤물질에부딪쳐산란된다. 산란된 X 선이입사 X 선에대해 45.0 의각도에서관측될때파장을구하라. 풀이 ' 0 h(1 cos ) mc 34 9 ( J s)(1 cos 45 ) nm ( kg)( m/ s) m m nm e

8.4 광자와전자기파 (Photons and Electromagnetic Waves) 빛은파동인가아니면입자인가? 답은관측되는현상에따라달라진다. 어떤실험은광자모형만으로더좋게설명되며, 또어떤실험은파동성만으로설명된다. 빛의입자모형과파동모형은서로보완적이다. 8.

15 8.4 광자와전자기파 (Photons and Electromagnetic Waves) 빛은파동인가아니면입자인가? 답은관측되는현상에따라달라진다. 어떤실험은광자모형만으로더좋게설명되며, 또어떤실험은파동성만으로설명된다. 빛의입자모형과파동모형은서로보완적이다. 8.5 입자의파동적성질 (The Wave Properties of Particles) 드브로이 (Louis de Broglie) 는그의박사학위눈문에서광자가입자성과파동성을동시에갖듯이, 모든형태의물질또한이중성을갖는다고가정했다. P = E c = hf c = h λ f h p E h h mu p h 드브로이파장 입자의진동수

16 데이비슨 거머의실험 (The Davisson-Germer Eperiment) 드브로이의제안으로부터 3 년후, 데이비슨 (C. J. Davisson; ) 과거머 (L. H. Germer; ) 는전자의파장을측정하는데성공하였다. 금속표적에대한전자산란실험에서회절현상을관찰하였다. 이것은입자인전자가파동의성질인회절현상을보이는것을증명하였다. 예제 8.5 미시적인물체와거시적인물체의파장 (A) m/s 의속력으로움직이는전자 (m e = kg) 의드브로이파장을구하라. 풀이 34 h J s 31 7 mu ( kg)( m/s) e m (B) 질량이 50g 인돌멩이를 40 m/s 의속력으로던졌다. 이돌멩이의드브로이파장을구하라? 34 h J s 3 mu (5010 kg)(40m/s) m

17 예제 8.6 가속전하 전하가 q 이고질량이 m 인입자가정지상태에서전위차 V 로가속된다. 입자가비상대론적으로움직인다고가정할때, 드브로이파장을구하라. 풀이 KU 0 ( 1 mu 0 ) + ( q V 0)=0 u q v m h h m h mu m q V mq V

18 전자현미경 (The Electron Microscope) 물체를비추기위해사용된파동의파장보다훨씬작은크기를식별할수있는분해능을가진현미경은없다. 보통전자물질파의파장은광학현미경에서사용하는가시광의파장보다 100 배이상짧다.

입자성을띠는어떤실체가파동으로만들어짐을예로들어설명해보자. 이상적인입자와이상적인파동의특성을알아보자. 이상적인입자는그크기가영이다. 이상적인파동은단일진동수만을가지며무한히길다.

19 8.6 새모형 : 양자입자 (A New Model: The Quantum Particle) 존재하는모든실체들이입자성과파동성을둘다갖고있으며, 어떤특정현상을이해하기위해서는적절한성질 ( 입자또는파동 ) 을선택해야만하는양자입자 (quantum particle) 라고하는새로운모형을만들었다. 입자성을띠는어떤실체가파동으로만들어짐을예로들어설명해보자. 이상적인입자와이상적인파동의특성을알아보자. 이상적인입자는그크기가영이다. 이상적인파동은단일진동수만을가지며무한히길다. 주파수가약간다른두파동의중첩에의해그파동이어떤위치에서는강해진다 ( 국소성 ). 좀더많은수의파동들이원래의두파동에합성되면 0 인모든곳에서파동함수의양의값이있을확률은음의값이있을확률과같고모든마루들이중첩되는 =0 부근을제외한모든곳에서소멸간섭이있게된다.

20 보강간섭이있는작은영역을파동묶음 (wave packet) 이라고한다. 입자는어떤위치에존재해야하는것이기때문에파동묶음을입자와관련시킬수있다. ) cos( ) cos( t k A y t k A y 그리고 ) cos( ) cos( t k A t k A y y y cos cos cos cos b a b a b a 를이용하면 ) ( ) ( cos ) ( ) ( cos t k t k t k t k A y t k k t k A y cos cos 1 1 (8-17) 주파수가다른두파동의결합

21 두파동의결합으로생긴포락선은각각의파동과는다른속력으로공간을움직인다. 각파동에대해서, 속력은다음과같이주어진다. v phase k 위상속력 식 (8.17) 의대괄호안의함수는파동의형태이므로위에서와같은비율의속력으로움직인다. v g 시간변수t의계수 공간변수 의계수 ( / ) ( k / ) k v g d dk v g d dk d( ) d( k) de dp 따라서파동묶음의군속력은모형으로삼고자하는입자의속력과같다. 군속력 d p 1 p dp m ( ) m E u 1 mu p m

22 8.7 양자적관점에서이중슬릿실험 (The Double-Slit Eperiment Revisited) 전자의파동 - 입자이중성을구체화시키는방법중의하나는전자를이중슬릿에통과시키는실험을해보는것이다. 전자는어느순간검출기스크린상의한점에입자로서검출되지만, 그점에도달할확률은두간섭파의세기를구하는방식으로결정된다.

두슬릿이모두열려있을때전자는정확한위치를가지며슬릿의한쪽으로만통과한다는가정은잘못된것이다. 전자가어느슬릿으로들어가는지를알고자하는실험을하려고한다면, 관측하려는시도자체가간섭무늬의형성을방해한다. 어느슬릿으로전자가지나가는것을결정하는것은불가능하다.

23 두슬릿이모두열려있을때전자는정확한위치를가지며슬릿의한쪽으로만통과한다는가정은잘못된것이다. 전자가어느슬릿으로들어가는지를알고자하는실험을하려고한다면, 관측하려는시도자체가간섭무늬의형성을방해한다. 어느슬릿으로전자가지나가는것을결정하는것은불가능하다. 사실, 전자는두슬릿으로통과한다고말할수밖에없다. 이와같은주장은광자에대해서도적용된다. 8.8 불확정성원리 (The Uncertainty Principle) 고전역학에의하면, 실험장치나실험과정의궁극적인정밀성에대해서는근본적인한계는없었다. 양자이론은입자의위치와운동량을동시에무한한정밀도로측정하는것은근본적으로불가능하다고예측하고있다.

24 하이젠베르크의불확정성원리 (Heisenberg uncertainty principle) : 입자의위치를측정할때불확정성이 이고, 운동량의 성분을동시에측정할때의불확정성이 p 라면, 두불확정성의곱은결코 / 보다작을수없다. p 즉, 어떤입자의정확한위치와정확한운동량을동시에측정하는것은물리적으로불가능하다. 불확정성원리를이해하기위해서어떤입자의한가지파장을정확하게알고있다고하자. 운동량은정확히 p=h/λ 가된다. 실제로공간의모든위치에서파장이일정하게존재할수있을것이다. 이파동을따라서어느곳이나다른곳과같다. 그렇다면이파동이나타내는입자는어디에있는가? 라는질문이나온다. 그파동이있는공간상에입자가있다고말할수있는특정한위치는없다. 그것은파동을따라모든점이동등하기때문이다. 따라서그입자의위치의불확정성은무한하고그위치에대해아는것은아무것도없다. 입자의운동량을정확하게알려면그위치에관한모든정보를잃어야한다.

25 시간과입자의에너지에대한불확정성원리는다음과같다. Et 예제 8.7 전자의위치확인하기 풀이 p mv mfv f 전자속력측정의정밀도 p mfv J s 31 3 ( kg)( )( m/s) m 0.386mm

26 8.9 양자역학의해석 (An Interpretation of Quantum Mechanics) 주어진시간과공간에서단위부피당광자하나를찾을수있는확률은주어진시간동안단위부피당광자의수 N 에비례한다. 확률 V N V 단위부피당광자의수는복사의세기에비례한다. N V I 전자기복사의크기는전자기복사의전기장진폭 E 의제곱에비례하므로 I E 확률 V E 전자기파와물질의파동 - 입자이중성을인식하면서, 물질입자에대해서도마찬가지로비례성이성립할것으로추정할수있다.

27 입자와관련된파동의진폭을확률진폭 (probability amplitude) 또는파동함수 (wave function) 라고하고, 기호로 Ψ 로쓰기로한다. - t ( r, r, r,, r,,t) ( r )e i 1 3 j j : 시공간에의존하는파동함수 퍼텐셜에너지 ( 또는위치에너지 ) 가시간에무관하고계의입자들의위치에의존하는모든경우에있어서, 계의중요한정보는파동함수의공간부분에담겨있다. 시간부분은단순히 e -iωt 로주어진다. 파동함수 Ψ 는보통복소수값을가진다. 파동함수의절대값제곱 Ψ = Ψ*Ψ( 확률밀도 ) 은언제나실수이고양 (+) 의값을가진다. 여기서 Ψ* 는 Ψ 의켤레복소수 ( 또는공액복소수 ) 이다. 파동함수의절대값제곱은단위부피당주어진위치와시간에서입자를발견할확률에비례한다. 파동함수는입자의운동에관해필요한모든정보를담고있다. 부피요소에서입자가발견될확률은다음과같다. P(, y, z) dv 양자역학적인방법을거시적인계에적용하면, 그결과들은본질적으로고전역학과같은결과가된다. dv

28 만약이상적인자유입자가정확하게 p 의운동량을가지고있다면, 그파동함수는무한히긴사인형파동을이루며파장 λ=h/p 의값을갖게되고, 입자는 축의어떤점에서나같은확률로존재한다. 축에고르게퍼져있는파동함수는다음과같다. 일차원파동함수와기대값 ( ) ik Ae P( ) d d 입자가임의의구간 a b 안에서발견될확률은다음과같이적분형태로주어진다. P ab b a d d 1 ( 규격화조건 ) (8.8)

29 평균위치는 의기대값 (epectation value) 으로서, 다음의식으로주어진다. d 함수 f() 의기대값 f ( ) f ( ) d

8.10 상자내의입자 (A Particle in a Bo) 거리 L 만큼떨어진투과할수없는벽사이에서 방향을따라앞뒤로진행하면서탄성충돌을한다면, 이것은속력이일정한입자로모형화할수있다. 만약입자의속력이 u 이면, 운동량의크기 mu 는보존되고운동에너지도역시보존된다 고전역학에서는운동량과에너지의값에아무런제한도갖지않는다.

30 8.10 상자내의입자 (A Particle in a Bo) 거리 L 만큼떨어진투과할수없는벽사이에서 방향을따라앞뒤로진행하면서탄성충돌을한다면, 이것은속력이일정한입자로모형화할수있다. 만약입자의속력이 u 이면, 운동량의크기 mu 는보존되고운동에너지도역시보존된다 고전역학에서는운동량과에너지의값에아무런제한도갖지않는다. 이문제에대한양자역학적인접근은사뭇다르며주어진상황과조건에맞는적당한파동함수를찾아야한다. 수학적으로잘행동하는함수인경우, 파동함수는공간에서연속적이어야한다. 어떤점에서든지파동함수의값은불연속적으로점프해서는안된다. 그러므로만약파동함수가벽밖에서영이라면, 벽에서의파동함수또한영이어야한다. 즉, Ψ(0)=0 이고 Ψ(L)=0 이다. 이들경계조건을만족하는파동함수만이허용된다.

31 입자가상자안에있는한, 퍼텐셜에너지는입자의위치와무관하게영의값을가진다. 상자의밖에서는파동함수가영이되도록한다. 이것을얻기위해상자벽의퍼텐셜에너지를무한대로잡을수있다. 상자내에서의파동함수는실수의사인형함수로주어진다. A sin ) ( L A L sin 0 ) ( ) 1,,3, ( n n L n L L n A n L A sin / sin ) ( 상자내입자의파동함수 : L n L sin ) ( ( 식 8.8 로부터규격화 )

32 입자의운동량의크기도특정한값으로제한된다. p h h L / n nh L 입자의에너지는 1 p ( nh / L) E n mu m m E n h 8mL n n 1,, 3, 입자의에너지가양자화되어있다. 가장에너지가낮은상태는바닥상태 (ground state) 로서 n=1 의상태에해당된다. n=, 3, 4, 에대응하는상태는들뜬상태 (ecited states) 로서 4E 1, 9E 1, 16E 1, 으로주어진다. 상자내입자의가장낮은에너지가영이아니기때문에양자역학에서입자는절대로정지해있을수없다. n=1 에해당하는가장작은에너지를바닥상태에너지 (ground-state energy) 라고한다.

33 예제 8.8 상자내의거시적그리고미시적입자 (A) 0.00nm 떨어진두개의투과할수없는벽사이에갇혀있는전자가있다. n =1,, 3 일때각상태의에너지준위을구하라. 풀이 E h (A) 34 1 (1) mL e 8( kg)(.0010 m) J 9.4eV ( J s) (B) n=1 인상태에있는전자의속력을구하라 E E () E 4(9.4eV) 37.7eV 1 (3) E 9(9.4eV) 84.8eV 3 1 k = 1 m eu u = K m e u = E n m e u = ( J) kg = m/s (C) kg 의야구공이 100m 떨어진두개의딱딱한벽으로이루어진경기장사이에갇혀있다. 이것을길이 100m 의상자라고생각했을때, 야구공의최소속력을계산하라. E h ( J s) (1) J 8mL 8(0.500kg)(100m) u 71 ( J) 0.500kg m/s

34 8.11 분석모형 : 경계조건하의양자입자 (Analysis Model: Quantum Particle Under Boundary Conditions) 줄의끝은마디이기때문에줄의경계에서파동함수는영이어야한다. 상자의밖에서는입자가존재할수없기때문에, 경계에서입자의파동함수는영이어야한다. 진동하는줄의경계조건으로부터양자화된진동수와파장을얻게된다. 상자가입자내에있는경우에도파동함수의경계조건으로부터양자화된입자의진동수와파장을얻게된다. 경계조건하의양자역학에서입자모형과경계조건하의파동과다른점 양자입자의대부분의경우, 줄의파동함수처럼단순한사인함수가아니다. 게다가양자입자의파동함수는복소수함수이다. 양자역학에서는진동수가에너지 E=hf 와관련되므로, 양자화된진동수로부터양자화된에너지를얻게된다. 경계조건하의양자입자의파동함수와관련된정상상태의 마디 는없을수도있다. 상자안의입자보다더복잡한계는더복잡한파동함수를갖는다. 그래서어떤경계조건은파동함수를어떤고정점들에서영으로만들지않을수도있다.

35 일반적으로, 경계조건하의입자의경우에입자의주변과의상호작용은하나이상의경계조건을의미하고, 상호작용이입자를일정한공간에제한되게하면, 계의에너지는양자화된다. 8.1 슈뢰딩거방정식 (The Schro dinger Equation) 입자의정지에너지는영이아니기때문에, 물질파의파동방정식은광자의파동방정식과는다르다. h m d U d E 시간에무관한슈뢰딩거방정식 기본적으로계의퍼텐셜에너지함수를알면슈뢰딩거방정식을풀수있고, 계의허용된상태와관련된파동함수와에너지값을얻을수있다.

36 슈뢰딩거방정식에의한상자내의입자 (The Particle in a Bo via the Schro dinger Equation) U 0 (0 L) 일반해 첫번째경계조건 d d me k ( ) Asin k Bcos k me where, k ( 0) Asin 0 Bcos0 0 B 0 ( ) Asin k 두번째경계조건 ( L) Asin kl 0 kl me L n

37 8 n ml h E n L n A n sin ) ( n ( ) sin n L L

38 예제 8.9 상자내입자의기댓값 질량 m 인입자가 = 0 과 = L 사이의일차원상자에갇혀있다. 양자수 n 인상태에서입자의위치 의기댓값을구하라. 풀이 기대값은평균위치이므로모든 n 값에대해상자의중심에있다. (n=1,, 3, )

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