한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 J. Korean Soc. Precs. Eng., Vol. 3, No. 3, pp. 53-61 ISSN 15-9071(Prnt), ISSN 87-8769(Onlne) March 015 / 53 http://dx.do.org/10.7736/kspe.015.3.3.53 여유자유도를가진 3-SPS/S 병렬 메커니즘의 등각기하대수를 이용한기하학적특이점회피 Geometrc Sngularty Avodance of a 3-SPS/S Parallel Mechansm wth Redundancy usng Conformal Geometrc Algebra 김제석 1, 정진한 1, 박장현 1, Je Seok Km 1, Jn Han Jeong 1, and Jahng Hyon Park 1, 1 한양대학교미래자동차공학과 (Department of Automotve Engneerng, Hanyang Unversty) Correspondng author: jpark@hanyang.ac.kr, Tel: +8--0-0448 Manuscrpt receved: 014.8.7 / Revsed: 015..6 / Accepted: 015..16 A parallel mechansm wth redundancy can be regarded as a means for not only maxmzng the benefts of parallel mechansms but also overcomng ther drawbacks. We proposed a novel parallel mechansm by elmnatng an unnecessary degree of freedom of the confguraton space. Because of redundancy, however, the soluton for the nverse knematcs of the developed parallel mechansm s nfnte. Therefore, we defned a cost functon that can mnmze the movement tme to the target orentaton and found the soluton for the nverse knematcs by usng a numercal method. In addton, we proposed a method for determnng the boundary of the geometrc sngularty n order to avod sngulartes. Key Words: Inverse knematcs ( 역기구학 ), Geometrc sngularty ( 기하학적특이점 ), 3-SPS/S parallel mechansm (3- SPS/S 병렬메커니즘 ), Redundancy ( 여유자유도 ), Conformal geometrc algebra ( 등각기하대수 ) 기호설명 O = the poston of sphercal jont on the 1-S subchan B 0 = the center poston of movng platform O (X o, Y o, Z o ) = base coordnate system fxed on O B (X B, Y B, Z B ) = output coordnate system fxed on B 0 α = the offset angle between axs X o and axs X B β = the angle between axs X o and pont A γ = the angle between axs X B and pont B d A = the dstance between ponts O and A 0 d B = the dstance between ponts O and B 0 1. 서론 대부분의메커니즘은넓은작업공간 (workspace) 과쉬운조작성 (manpulablty) 이라는큰장점을바탕으로직렬형으로설계되었다. 하지만직렬메커니즘은낮은강성으로큰하중에취약하며정밀도가낮은단점을가지고있다. 병렬메커니즘은강성과정밀도, 그리고가반하중을크게향상시킬수있는장점이있다. 하지만제한된작업공간으로인해높은정밀도가요구되는작업에만제한적으로사용되어왔다. 1 Copyrght C The Korean Socety for Precson Engneerng Ths s an Open-Access artcle dstrbuted under the terms of the Creatve Commons Attrbuton Non-Commercal Lcense (http://creatvecommons.org/lcenses/by-nc/3.0) whch permts unrestrcted non-commercal use, dstrbuton, and reproducton n any medum, provded the orgnal work s properly cted.
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 54 기존의병렬형메커니즘이가지는구조적단점에대해여유자유도를가지는병렬형메커니즘은대안이될수있다. 여유자유도는작업공간의자유도보다기구의자유도가더큰경우로정의되며, 추가된자유도로인하여말단장치를주어진경로로추종하면서부가적인작업을구현할수있게된다. Lee와 Km의연구 에따르면, 여유자유도를가지는병렬형메커니즘은아래와같이세가지로구분한다. 기존시스템의부속체인에추가적인구동기를추가한메커니즘 6 기존시스템의수동관절을능동관절로교체한메커니즘 3,4 기존의시스템에추가적인부속체인을추가한메커니즘 7,8 대표적으로 Wang 6 등은기존의부속체인에하나의구동기를추가하여해석학적특이점에대해회피할수있는방법을고안하였고, Kurtz 7 등과 Zhang 8 등은시스템이필요한자유도보다하나많은부속체인을추가하는방법을연구하였다. 하지만기존의연구들은부속체인에서추가적인자유도를부가하였기때문에, 자체운동 (self-moton) 은불가능하다. 자체운동은말단장치의운동에영향을주지않는관절운동으로정의되며, 특이점회피, 운동에너지최소화등다양한문제를해결할수있게된다. 이러한자체운동특성을이용하여, Park 5 등은 3개의회전자유도중에서하나의자유도를여유자유도로정의한새로운 3-SPS/S 병렬메커니즘을처음제안하였다. 이방법은미사일발사대와같이요구되는자유도가오직두개의회전자유도 (yaw and ptch) 만필요한경우, 목표자세로의이동시간을최소화할수있다. 본논문은기존의연구를발전시켜, 목표자세로의이동시간을최소화하는동시에기하학적특이점을회피할수있는역기구학해법을제안한다. 기하학적특이점은기계적구속조건에의해발생되며, 기계적구속조건은기하학적인방법을통해찾을수있다. 기존의연구 9 는주로 3차원유클리드공간 (Eucldean space) 상에서구속조건을찾고자하였으나, 복잡한해법으로인해작업공간을해석하기위한용도로제한적으로사용되었다. 이에반해본논문에서는 3차원이아닌 5차원의등각공간 (conformal space) 상에서기계적구속조건 Table 1 Lst of conformal geometrc enttes Entty IPNS OPNS Pont P = x+ 0.5x e + e 0 Sphere Plane S = P 0.5r e 의경계점을등각기하대수 (conformal geometrc algebra) 로손쉽게찾을수있는방법을제안한다. 이기계적구속조건의경계점을이용하면기하학적특이점이발생하지않은영역을찾을수있고, 이영역을좋은자세가능영역으로정의하여역기구학을위한해영역 (soluton regon) 으로제한한다. 그렇게함으로써기하학적특이점으로인한작업공간이제한되는것을보완한다. 장에서는문제를설정하고, 3 장에서는여유자유도역기구학문제의해법을기술하고, 4 장에서는제안하는특이점회피알고리즘을시뮬레이션을통하여효용성을보이도록하겠다.. 여유자유도를가진 3-SPS/S 병렬메커니즘.1 등각기하대수병렬메커니즘의복잡한형상으로인해유클리드공간상에서해석하는것은어렵다. 그러나등각기하대수를이용하면보다편하게해석할수있다. 등각기하대수는 Quaternon, Projectve Geometry, Le Algebra 등다양한수학적인이론을하나로통합하여이해하기쉽게만든수학적언어로서로봇공학, 10-1 컴퓨터그래픽스 13,14 등다양한분야에서새로운방법으로주목을받고있다. 등각기하대수는 3차원유클리드기하대수에서두개의기저벡터를추가하여 5차원으로확장시킨이론으로 5개의기저벡터들 ( e, e, e, e, ) 1 3 e 에의해 0 정의된다. 추가된기저벡터 e 는 3차원공간의원 0 점을표현하고, e 는무한한곳에서의점을표현한다. 등각기하대수의주요특징은 Table 1과같이직선, 평면, 구, 원등의다양한기하학적요소들을직관적으로표현할수있고, 이러한기하학적인요소들은내적, 외적, 그리고기하학적곱에의해하나의대수형식으로표현이가능한장점이 S P P P P = 1 3 4 π= n + de π = P P P e 1 3 Crcle Z = S S 1 Z = P P P 1 3 Lne = 1 L π π L P P = e 1 Pont-par PP = S S S 1 3 PP = P P 1
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 55 있다. 등각 기하대수와 관련된 상세한 내용은 Hldenbrand의논문 15,16 을참조하기바란다.. 설계변수여유자유도를가진 3-SPS/S 병렬메커니즘은지면에고정된기저플랫폼 (base platform) 과직교공간상에서회전만이가능한이동플랫폼 (movng platform) 으로구성된다. 그리고이동플랫폼은 3- SPS 부속체인의직동관절 (prsmatc jont) 에의해구동되며, 1-S 부속체인에의해움직임이제한된다. Fg. 1 에서보듯이기저플랫폼에놓인세개의구형관절은반경이 r A 인원상에각 β 의간격으로놓여있으므로, 기저플랫폼상의구형관절의위치 A (=1,,3) 는다음과같다. a = r c e + r s e d e A 1 = a + a e e + 0 β 1 β 3 A A A 이동플랫폼에놓인세개의구형관절은반경이 r B 인원상에각 간격으로놓여있고, X o 축에대해각 α 만큼회전된위치에존재하므로, 이동플랫폼상의구형관절의위치 B ( =1,,3) 는다음과같다. b = rc e + rs e + d e ( α + γ ) ( α + ) γ 1 3 B B B = 1 + e + e 0 B b b l 는 번째 SPS 부속체인에서직동관절의관절변수로서점 A 에서부터점 B 까지의거리를나타내고, 등각기하대수에서두점사이의거리는다음과같이표현된다. (1) () l = ( A B ) (3).3 기구학적관계식기존의 3-SPS/S 병렬메커니즘에서요구되는출력공간의자유도가오직두개의회전자유도 (yaw and ptch) 만필요한경우, ZYZ 오일러각 (ϕ, θ, ψ) 중에서각 ψ 를여유자유도로정의할수있다. 그러므로여유자유도를가지는 3-SPS/S 병렬메커니즘의출력공간은일반적인출력공간의 6 개변수중 개만으로구성된다 : u =[ϕ, θ] T. base platform (a) 3D vew movng platform (b) Top vew Fg. 1 3-SPS/S parallel mechansm wth ts desgn parameters. S and P denote a sphercal jont, and a prsmatc jont, respectvely 기구학적여유자유도로인해 Z B 축을기준으로각 ψ의변화에따라자체운동이가능하므로점 B 는항상원 C B 상에존재한다. C = B B B (4) B 1 3 이동플랫폼의자세가주어질때, 출력좌표계의자세 R t 는각 ψ 에관한함수로등각기하대수의 Rotor 에의해표현된다. R ( ψ) = R R R ( ψ) (5) φ θ ψ t z y z,,, 여기서 R z, ϕ 는 Z B 축을기준으로각 ϕ 만큼의회전을, R y,θ 는 Z B 축을기준으로각 θ 만큼의회전을, R z,ψ 는 Z B 축을기준으로각 ψ 만큼의회전을표현하는 Rotor 이다. 그리고이동플랫폼의 번째구형관절까지의위치 B 는기하학적곱에의해표현된다. B ( ψ) = R ( ψ) B R ( ψ) (6) t t 식 (6) 을식 (3) 에대입하여관절변수 l 를각 ψ 에관한함수로정의하면다음과같다. l ( ψ) = d + d + r + r + d d A B A B A cos( θ) B + drsn( β B A φ θ) + drsn A B + + 0.5rr cos A B + + + rr cos A B + + / + rr cos + + + ( α γ ψ θ) ( α β γ ψ φ θ) ( α β γ ψ φ θ) ( α β γ ψ φ) A B (7)
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 56 ( α β γ ψ φ) ( β φ θ) ( α γ ψ θ) ( α β γ ψ φ θ) ( α β γ ψ φ θ) rr cos + + + A B drsn B A drsn + + + A B rr cos + + + + / A B rr cos + + + + / A B 병렬메커니즘의각링크는관절좌표계로표현되기때문에메커니즘을제어하기위해서는로봇말단의작업공간을관절공간으로표현해야한다. m u R : Output varable (8) n l R : Jont varable ϕ, θ 는출력변수로서역기구학해석에앞서주어지고, 관절변수 l 는여유자유도 ψ 에의해결정된다. 그러므로각관절변수에서출력변수로사상시키는 f 를정의하면다음과같이기구학적관계식을정리할수있다. 3. 역기구학해석 n m f : R R (9) u = f l ( ) 3.1 비용함수의정의여유자유도를가지는로봇은다양한형태로운동이가능하다는장점으로인해작업자가원하는작업목적에부합하도록역기구학을해석할수있다. 본논문에서는무한의해가존재하는여유자유도문제에서최적해를찾기위해, 목표자세로의이동시간을최소화하도록목적함수를선정하였다. 이를통해높은강성등병렬형구조의장점을유지하면서직렬형구조에비해빠른이동성등의이점을가질수있기때문이다. 목표자세로의이동시간최소화는곧각체인의직동관절의변위량을최소화와마찬가지이므로비용함수 f cost 를다음과같이정의하였다. { ψ } f ( ψ ) = max Δ l ( ) cost (10) π ψ < π 여기서, Δ l ( ψ) = l ( ψ) l 이고, l,old,old 는현재의 번째링크길이이다. 만약임의의함수 f (x) 와 g(x) 가연속이면 Fg. Graph of the change n the cost functon f( x) + g( x) f( x) g( x) max ( f( x), g( x) ) = + (11) 이므로, 식 (10) 는다음과같은연속함수로표현된다. 17 ( ψ ) = max ( Δ, Δ, Δ ) f l l l cost π ψ < π 1 3 Δ l +Δ l +Δ l + Δl Δl = 1 3 3 4 Δl Δ l +Δ l + Δl Δl + 1 3 3 4 (1) 따라서링크의최대변위량으로표현되는비용함수 f cost 를최소화함으로써목표자세로의이동시간을감소시킬수있다. 3. 역기구학해 Fg. 에서보듯이비용함수 f cost 는비선형방정식이므로제안하는메커니즘의역기구학은비선형최적화문제이다. 일반적으로수치해법을이용하여근사적인최적해를찾을수있다. 본논문에서는황금분할탐색법과 차보간법을결합하여사용하였다. 황금분할탐색법은연산량은많지만신뢰도가높고, 차보간법은신뢰도는낮으나연산량이적은특징을가진다. 이두방법을결합함으로인해장점은부각시키고, 단점을상쇄시킬수있다. 18 4. 기하학적특이점회피 여유자유도로봇이가지는장점은일반적인역기구학과달리주어진작업에대해무수히많은관절공간의해를가지고있으므로기하학적특이
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 57 점에대해서도회피가가능하다. 기하학적특이점은알고리즘적특이점과다르게다음과같은기계적구속조건에의해발생된다. 19,0 (1) 링크길이의제한 () 구형관절의이동범위제한 (3) 링크간의간섭기하학적특이점이발생하게되면, 기구에물리적인손상이가해지는등의피해가발생된다. 그렇기때문에이기구학적특이현상을회피하기위한방법이필요하다. 기하학적특이점을정확히알고있으면, 비용함수의해탐색범위를감소시켜기하학적특이점을회피하는방법을사용할수있다. 하지만이기하학적특이점에대한경계점을정확히알기는어렵다. 그러나기하학적인방법을통해근사적으로기하학적특이점의경계점을알수있다. 다만, 링크길이의변위량을최소화하기때문에, 기하학적특이점중에서 (3) 보다는 (1) 과 () 가발생할가능성이높다. 이번장에서는구속조건중 (1) 과 () 의경계점을기하학적으로찾을수있는방법을제안한다. 4.1 링크길이의제한직동구동기 (prsmatc actuator) 는기계적으로최대길이가제한될수밖에없다. 그러므로 3-SPS 부속체인의링크길이 l ( =1,,3) 는식과같은구속조건을만족해야한다. l l ( ψ ) l for = 1,,3 (13),mn,max 여기서 l,max 과 l,mn 는링크 의최대, 최소링크길이를의미한다. 이러한구속조건을회피하려면, 구속조건의경계점을정확히아는것이중요하다. 본구속조건의경계점은 Fg. 3(a) 과같이최대, 최소링크길이를의미하는구와이동플랫폼이만나는두점이다. 이는등각기하대수를이용하여기하학적인방법으로찾을수있다. 우선 S,max 는반지름이 l,max 이고, 중심이점 A 인구이고, S,mn 은반지름이 l,mn 이고, 중심이점 A 인구라고하자. e S = A 0.5 l,max max (14) Fg. 3 Geometrc sngularty usng geometrc approach 가교차할때생성되는쌍점 (pont-par) PP,max 혹은 PP,mn 은제한된링크길이의경계점을의미한다. PP = S C,max,max B (16) PP = S C,mn,mn B (17) 쌍점 PP 는다음과같이기하학적특이점의양경계점으로분해할수있다. 1 B j PP ± PP PP = e PP (18) 두기하학적요소가교차하는경우기하학적특이점이발생되는영역을위와같이찾을수있다. 하지만교차하지않는경우에는특이점이발생되지않는다. 따라서교차하는지에대해판별할필요성이있다. 두기하학적요소, 원 C B 와구 S 가교차하는지에대한판단은 B=(C B S ) 의평방놈 (squared norm) B = B 에의해아래와같이판별할수있다. 14 B >0 이면, C B 와 S 는두점에서교차한다. B =0 이면, C B 와 S 는한점에서접한다. B <0 이면, C B 와 S 는교차하지않는다. 만약 PP,max 0 이고 PP,mn 0 이라면, 여유자유도 ψ 가 [-π, π] 의범위내에서기하학적특이점이발생되지않음을의미한다. 반대의경우, Fg. 3(a) 와같이쌍점 PP 사이의영역은기하학적특이점이발생됨을의미하고, 쌍점내부에둘러싸인영역은기하학적특이점이발생되는영역이다. S = A 0.5 (15),mn mn l e 구 S,max 혹은 S,mn 과이동플랫폼상의원 C B 4. 구형관절의이동범위제한이동플랫폼상의점 B 와기저플랫폼상의점 A 는구형관절로이루어져있다. 이구형관절은
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 58 기계적인구속조건에의해링크 와이동플랫폼사이에일정각도이상은움직일수없는영역이형성되므로다음과같은구속조건을만족해야한다. δ < δ for 1,,3 mn = (19) 여기서, δ mn 은구형관절의최소작동범위이고, δ 는링크 와이동플랫폼사이각이다. 마찬가지로구속조건을회피하려면, 구속조건의경계점을정확히아는것이중요하다. 본구속조건의경계점은 Fg. 3(b) 와같이이동플랫폼상의구형관절의최소작동범위를의미하는평면과이동플랫폼상의원이만나는두개의점이다. 이는등각기하대수를이용하여기하학적인방법으로찾을수있다. 이동플랫폼상의평면을 π B 라하고, 벡터 OB 0 와벡터 OA 가존재하는평면에수직한벡터를 n 라하자. 여유자유도 ψ 의모든구간에서기하학적특이점이발생되지않음을의미한다. 이외의경우, Fg. 3(b) 와같이쌍점 PP 사이의영역은식 (19) 의구속조건을만족하지않음을의미한다. 4.3 기하학적특이점회피우리는기하학적인방법을통해근사적으로기하학적특이점의경계점을찾았다. 이경계점들은비용함수의해탐색범위를감소시켜기하학적특이점을회피할수있다. 하지만해의탐색범위는점이아니라각 ψ 의값이므로, 점 B j 를각 ψ 로변환하여야한다. 각 ψ =0 일때직선을 L,0 라하고, L,j 를점 B 0 와기하학적특이점의양경계점 B,j 를지나는직선이라하자. L = B (0) B (0) (6) e,0 0 π = C ^ = B B B ^ (0) B B e e 0 1 3 n = OB OA (1) 이동플랫폼상의구형관절의최소작동범위를의미하는평면 π,mn 은이동플랫폼상의평면 π B 를벡터 n 를회전축으로각 δ mn 만큼회전시킨다음, 점 A 로평행이동시킨평면으로다음과같이정의된다. ( δ ) R = exp 0.5 n () B mn T = 1 0.5 A (3) B e π = R T π T R (4),mn B B B B B L = B (0) B (7) e, j 0, j 각 ψ j 는직선 L,0 와직선 L,j 가이루는각으로 OPNS 의내적에의해다음과같이계산된다. [9] ψ j = cos 1 L L,0,0 Lj L j (8) 우리는기하학적특이점이발생되지않는해의영역을알고있으므로비용함수 f cost 의범위를제한함으로써기하학적특이점을회피하여작업공간의확장이가능할뿐만아니라수치해법의단점인지역극소점 (local mnma) 에빠지는확률을감소시킬수있다. 그러므로평면 π,mn 과원 C B 가교차할때생성되는쌍점 PP,mn 은제한된구형관절의이동범위의경계점을나타낸다. PP = π C (5),mn,mn B 하지만원 C B 와평면 π,mn 는항상교차하지않는다. 여유자유도 ψ 가 [-π, π] 의범위내에서항상식 (19) 의구속조건을만족할수도, 만족하지않을수도있기때문이다. 그러므로원 C B 와구 S,j 에의해생성된쌍점 PP 의평방놈 PP 0 이라면 5. 시뮬레이션 병렬형기구는복잡한형상으로인해작업공간내에기하학적특이점이많이존재한다. 이러한이유로본논문에서는기하학적특이점을회피할수있는여유자유도병렬형구조의역기구학해석법을제안하였고, 이에대한시뮬레이션을통해제안하는메커니즘의효용성을검증하고자한다. 여유자유도를가지는 3-SPS/S 병렬메커니즘의시뮬레이션을위하여설계변수를 Table 와같이선정하였다.
한국정밀공학회지제 3 권 3 호 pp. 53-61 March 015 / 59 Table Desgn parameters r A r B d A d B α β,γ 0.35m 0.0m 0.33m 0.0m 30 10(-1) (a) (b) Fg. 4 Comparson of workspace: (a) non-sngularty avodance (b) geometrc sngularty avodance 업공간중 18.% 영역에서만특이점이발생한다. 이처럼제안하는특이점회피알고리즘을통해작업공간이확장되었지만본논문에서목표로삼은특이점회피와더불어목표자세로의이동시간최소화라는목적도동시에달성했는지확인이필요하다. 이를확인하기위해링크의최대변위량으로표현되는비용 f cost 을특이점을적용하지않은경우와적용한경우에대해서로비교하였다. Fg. 5 는 θ, ϕ 의목표자세가주어질경우해당자세에대한 f cost 값을표시한것으로, 제안하는특이점회피알고리즘을통해 Fg. 4 에서보듯이작업공간내의기하학적특이점을기존대비 41.1% 가량감소시켰음에도불구하고, Fg. 5 에서보듯이링크의최대변위량은크게증가하지않는것을보여주고있다. 6. 결론 (a) (b) Fg. 5 Comparson of optmal soluton: (a) nonsngularty avodance, (b) geometrc sngularty avodance 제안한기하학적특이점회피알고리즘의효용성을검증하기위해제안한메커니즘에기하학적특이점회피알고리즘을적용하지않을경우와적용한경우를비교하였다. 비교를위해출력변수의범위를 ϕ =[-π/, π/], θ =[-π/, π/] 로제한하고, 1 간격마다역기구학해석을수행하였다. 제안하는특이점회피알고리즘의효용성을알아보기위해 Fg. 4 와같이작업이가능한공간을붉은점으로표시하였다. Fg. 4(a) 는특이점회피알고리즘을적용하지않고, 직동관절의변위량을최소화만하였을경우작업공간을보여주고, Fg. 4(b) 는특이점회피와구동관절의변위량을모두최소화하였을경우의작업공간을보여준다. Fg. 4 에서보듯이, 기하학적특이점회피를적용하지않는경우전체작업공간중에 44.% 영역에서특이점이발생하지만, 본논문에서제안하는특이점회피알고리즘을사용하였을경우전체작 본논문에서는기존의여유자유도를가지는병렬형메커니즘과다르게구동기를추가하지않고출력공간의자유도를감소시켜기구학적으로자체운동이가능한병렬메커니즘을고안하였다. 그리고여유자유도를특성을최대한활용하여기존의직병렬형구조의단점을극복할수있는방향으로연구를수행하였다. 본논문에서는기구학적여유자유도로인해역기구학은무한한해를가지므로, 목표자세로의이동시간을최소화하도록비용함수를정의하고, 수치해법을통해역기구학의최적해를찾을수있는방법을제안하였다. 하지만병렬메커니즘은복잡한형상으로인해작업공간내에기하학적특이점많이존재하므로, 이를등각기하대수를이용하여기하학적특이점의경계점을찾고이를회피하기위한연구를수행하였다. 시뮬레이션을통해본논문에서제안하는여유자유도메커니즘의효용성을확인하였다. 후기 이논문은국방과학연구소생존성기술특화연구센터의사업으로지원받아연구되었음 ( 계약번호 UD090090GD). REFERENCES 1. Gosseln, C. and Angeles, J., The Optmum
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