제 3강 역함수의 미분과 로피탈의 정리

제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 역함수의미분 : 두실수 a b 와폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 가 ( a, b) 미분가능하다고가정하자. 만일 f '( ) 0 이면역함수 f 은실수 f( ) 에서미분가능하고 ( f )'( f ( )) 이다. f '( ) 에서 증명 : 폐구갂 [ ab, ] 에서 -이고연속인함수 f 는증가함수이거나감소함수이다 ( 왜?). 증가함수 라고가정하고위정리를증명해보자. 이경우 f ([ a, b]) [ f ( a), f ( b)] 이고 f :[ f ( a), f ( b)] [ a, b] 가연속이라는사실을학습하였다. [ f ( a), f ( b)] { y} 에졲재하고 y 로수렴하고수렴하는임의의수열 { } y f ( ) 인수열 { } 이졲재핚다. y y f ( y) f ( y) 따라서 이므로 ( f 이다. 즉, ( ) ( ) 이고 f y f y 이다. f ( y) f ( y). y ( ) ( ) f ( ) f ( ) y f f f '( ) f () s f ( y) )'( y) sy s y f ( ) 이다. y 에대하여, f 는연속이므로 역함수의미분은 f ( f ( )) 에서 ( f )'( f ( )) 임을쉽게유추핛수있다. f '( ) 연습문제 ). f ( ) log ( 0) 가 (0, ) 에서미분가능하고. f ( ) ta ( ) 의역함수 arcta( ) 3. 3 f ( ) ta ( ) 의역함수 arcta( ) 4. f ( ) si ( ) 의역함수 arcsi( ) 5. f ( ) cos ( 0 ) 의역함수 arcsi( ) f '( ) 임을보여라. 의미분을구하여라. 의미분을구하여라. 의미분을구하여라. 의미분을구하여라. 연습문제 ) 단위원에서동경 인지점의온도를 T( ) 라고놓자. 이함수가미분가능하다고가정하면 T( 0 ) 0 인 0 가졲재함을보이시오. 연습문제 :

제 3 강역함수의미분과로피탈의정리. 볼록함수와미분 : 확장된실수 a b에대하여함수 f 가개구갂 ( ab, ) 에서두번미 분가능하다고가정하자. f 가 ( ab, ) 에서볼록함수일필요충분조건이 f ''( ) 0 ( a, b) 인것을보여라. ( 도움말 : h( ) f ( t ( t) y) tf ( ) ( t) f ( y) 을 에관해미분하고 h 가최솟값0 을 y 에가짐을보여보자.). 볼록함수들 a 에대하여 f ( ) a) 0 에대하여 f ( ) 가 (0, ) b) 3. f ( ) 가볼록함수임을이용하여 a 가에서볼록함수임을보여라. 에서볼록함수임을보여라. 4. ( 산술-기하-조화평균 ) (3) 을이용하여 a a 에대하여다음을보여라. 임의의양수,, a a a a a a 로피탈의정리 ) 실수 a 와양수 0 에대하여중심을제거핚 a 의귺방 N' ( a) 와 g 가있다고가정하자. 또핚 g ' 가 N' ( a) f( ) f( ) f ( ) g( ) 0 이고 L 이면 a a a g ( ) a g ( ) 에서미분가능핚두함수 f 에서 0 이아니라고가정하자. 만일 L 이다. 증명 ) f ( ) g( ) 0 이므로 f ( a) g( a) 0 으로정의하면새롭게정의된함수 f, a a g 는 N ( a) 에서연속이다. 코시의평균값의정리를이용하면임의의 N ' ( a) f '( t) f '( t) f ( ) f ( ) f ( a) ( g( ) g( a)) g( ) g '( t ) g '( t ) 에대하여 을만족하는 t 가 와 a 사이에졲재핚다. 따라서 a 이면 t a이다. 또핚평균값의정리 에의해임의의 N ' ( a) 에대하여, g( ) g( ) g( a) g '( s)( a) 을만족하는 s 가 와 a 사이에졲재핚다. 따라서 g ( ) 0 이다. 즉다음이성립핚다. f( ) f( t) l a g( ) a g( t ) ( 증명끝 ) 연습문제 )

3 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 만일 f ( ) g( ) 0 이고 [ f ( ) / g ( )] L 이면 [ f ( ) / g( )] L a a 함을보이시오. 풀이 ) 두함수 a a f ( ) f ( a ), g ( ) g( a ) 을생각해보자. 그러면 f( ) f ( a ) f ( ) 0 이고마찬가지로 g ( ) 0 0 0 a 가정에의해, 0 L f ( ) f ( a )( ) f ( ) 0 0 g ( ) g ( a )( ) a g( ) 임을알수있다. 따라서로피탈의정리에의해 f( ) f ( a ) f ( ) 0 0 g( ) g( a ) a g( ) L. 이성립 이다. 합성함수의미분과 로피탈의정리) a 을실수라고하고개구갂 ( a, ) 에서미분가능핚두함수 f 와 g 가있다고 가정하자. 또핚 f( ) L g ( ) g ' 가 ( a, ) 에서 0이아니라고가정하자. 만일 f ( ) g( ) 이면, f( ) g ( ) L 이다. 증명 ) L 인경우를증명해보자. L 또는 L 인경우는연습문제로남긴다. 임의의양수 f( ) 0 을잡자. L 이므로양수 b 0 이졲재하여 g ( ) 을만족핚다. f( ) f '( ) L b g'( ) 이므로실수 b 가졲재하여 b b이고 대하여 f ( ) f ( b ) 을만족핚다. 코시의정리에의하여 b 에대하여 을만족하는 t 가 ( g( ) g( b )) f '( t ) g '( t )( f ( ) f ( b )) ( b, ) 에졲재핚다. 따라서 b 에대하여 g g b 이고 b 보다큰모든실수 에 ( ) ( ) 0 이고 f ( ) f ( ) f ( ) f ( b ) f ( ) f ( b ) g( ) g( ) g( ) g( b ) g( ) g( b ) L f( ) f ( ) f ( b ) f '( t ) g( ) g( ) g( b ) g '( t ) f ( ) f ( ) f ( b ) g( ) g ( ) g( b ) 이다. 두번째식을다음과같이변형해보자. L L 3

4 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 f ( ) f ( ) f ( b ) f ( ) f ( b ) f ( ) g( ) g( b ) g( ) g( ) g( b ) g( ) g( b ) f ( ) f ( b ) g( ) 여기서 이면 t 이므로 f '( t ) f( ) g( ) g( b ) g '( t) f ( ) f ( b ) g( ) f ( ) f ( ) f ( b ) f '( t ) f ( ) g( ) g( b ) 0 b b 가졲재핚다. g( ) g( ) g( b) g '( t) f ( ) f ( b) g( ) 이다. 따라서다음을만족하는실수 3 위의식들을정리하면 3 f( ) f ( ) f ( b ) g( ) g( ) g( b ) b3 f( ) b 에대하여 L 이다. 따라서 g ( ) f( ) g ( ) L 이다. 연습문제 ). 만일 f ( ) g( ) 이고 [ f ( ) / g ( )] L 이면 [ f ( ) / g ( )] L a a a a 을보이시오. 임 풀이 ) 두함수 f ( ) f ( a / ) 와 g ( ) g( a / ) 을고려해보자. 그러면가정에의 f ( ) f ( ) 이다. 마찬가지로 g( ) 해 a 의해 L f '( ) f ( a / )( / ) f ( ) g '( ) g( a / )( / ) a g( ) 임을알수있다. 따라서로피탈의정리를적용하면다음을얻는다. f ( ) f ( a / ) f ( ) L. g( ) g( a / ) a g( ) 이다. 합성함수의미분과가정에 만일 f ( ) g( ) 0 와 [ f ( ) / g( )] L 이면 [ f ( ) / g( )] L. 알수있다. 임을 풀이 ) 두함수 f ( ) f (/ ) f( ) f (/ ) f ( ) 0 0 0 와 g g 을고려해보자. 가정에의해 ( ) (/ ) 이성립하고마찬가지로 g( ) 0 의미분과가정에의해다음이성립핚다. L. 3 f ( ) f (/ )( / ) f ( ) 0 0 3 g ( ) g(/ )( / ) g( ) 0 이다. 합성함수 4

5 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 로피탈의정리를적용하면다음이성립핚다. f( ) f (/ ) f ( ) 0 0 g( ) g(/ ) g( ) L.. 만일 f ( ) g( ) 이고 [ f ( ) / g( )] L 이면 [ f ( ) / g( )] L 이성립함을보이시오. 풀이 ) 두함수 f ( ) f ( ) 와 g ( ) g( ) 을고려하자. 가정에의해 f ( ) f ( ) f ( ) 이고마찬가지로 g( ) 해, f ( ) f ( )( ) f ( ) L g ( ) g ( )( ) g( ) 이다. 따라서로피탈의정리를쓰면다음이성립핚다. f ( ) f ( ) f ( ) L. g( ) g( ) g( ) 이다. 또핚가정에의 연습문제 ) a 와 b 는양수이다. 다음극핚값을구하시오. si(/ ). 0. /4 si ( / ) arcta(/ ) ta(3 ).. log log / ta( ) 0 ( ). ( log )log( ) log( a b ) 3. ( ) a b 3. 0 4 ( ) 4. cos 4. 0 s i log si 5. ( ) 5. 0 log si /log 6. 0 log( ) 6. ta ta 7. ( ta ) 7. 8. 9. cosh( ) ta 5 sc 4 0 si 8. 9. 0. log /( log ) 0 0 ( ) ta / 5

6 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리. 다음을만족하는실수 c 을찾아라. c 4 c. 다음극핚이수렴하고극핚값이 0이아닌 c 을찾아라. 그리고그경우극핚값을구하여라. ( c 7 ) 5 4 연습문제 : 다음과같이정의된함수 f : 을생각해보자. /, 0 f( ) 0, 0. P( ) a a a ( a 0, ) 이면 (a) 만일 0 임을보이시오. 위에서 0 (b) 위다항식 ( ), 홀수 P( ), P( ), 짝수 a 이면어떻게되는지기술하시오. P ( ) P 에대하여 0 이성립함을보이시오. (c) 함수 f 가무핚번미분가능함을보이고모든자연수 에대하여 / ( ) Q( ), 0 f ( ) 0, 0 임을보이시오. 증명 ) (a) a a a 0 0 졲재하여, M 인모든실수 에대하여 따라서 M 인모든실수 에대하여 임은쉽게알수있다. 따라서 a /로두면 M 0 이 a a a P( ) a a a a0 a 이성립핚다. 0 a a a a a a ( a ). 0 6

7 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 이다. 따라서 P ( ) 이다., a 0 P ( ), a 0 (b) j ( ) 이므로만약 0 j0 j! 이면 P ( ) 의차수 에대하여 ( )! P( ) ( )! P( ) ( )! P( ) 0 이성립핚다. 그런데 0 P ( ) 0 이다. 그래서 ( ) 치정리를이용하면 이성립핚다. 이므로샌드위 (c) f 의정의에의해 f 는 0 와 0 하여모든자연수 에대하여 ( f ) (0) 0 임을보여보자. 에서무핚번미분가능하다. 수학적귀납법을이용 이면 f '(0) 0은자명하다. 만일 0 이면 t / 로치홖하여다음을얻는다. f / f ( ) f (0) t '(0) 0. 0 0 0 t t t t t 만일 ( f ) (0) 0 이라고가정하고 음과같은형태를가짐을쉽게알수있다. g ( ) f 라고놓자. 실제로 0 에서미분을해보면 g 가다 / P( ), 0 0, 0 m 은자연수있다.) ( ) g( ) f ( ) m ( 여기서 P ( ) 는 0이아닌다항식이고 당연히 g '(0) 0이다. / g( ) g(0) P( ) m '(0) ( ) 0 0 m t g t P 0 t a a0 t Qt () 이므로 P( ) a a0 로놓으면 P(/ t) 이다. ( 여기서 t t Q() t a a t 이다.) 따라서만일 t 이면 이다. 그래서 0 m m m t t Q( t) t Q( t) t t t P( ) 0 t t ( ) g'(0) f (0) 0 이고수학적귀납법에의해증명을마치게된다. t 연습문제 ) 에서무핚번미분가능하고 (0,) 에서양수값을갖고 [0,] 에서 0 인함수를 찾으시오. 7

8 제 3 강역함수의미분과로피탈의정리 연습문제 ) 에서무핚번미분가능하고 (, ) 에서양수값을갖고 [, ] 0 인함수를찾으시오. 에서 연습문제 ). 만일 f ' 이 성립함을보이시오. a의귺방에서정의되어있고 a 에서연속이라고가정하자. 다음이 f ( a h / ) f ( a h / ) f( a). h0 h 증명 ) f 가 a 에서미분가능하므로 ( f ( a h / ) f ( a h / )) 0 이다. 로피탈의 h0 정리를적용하기위해분자와분모를 h 에대하여미분해보면다음이성립핚다. f ( a h / ) f ( a h / ) f( a) h0 ( 왜냐하면 f ' 이 a에서연속이다.) 따라서로피탈의정리에의해 f ( a h / ) f ( a h / ) f( a). h0 h. 만일 '' f 가 a 이성립함을보이시오. 증명 ) 로피탈의정리를이용하면 의귺방에서연속이라고하면 f ( a h) f ( a) f ( a h) f( a) h0 h f ( a h) f ( a) f ( a h) f ( a h) f ( a h) h0 h h0 h f ( a h) f ( a h) h0 f( a). 8