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Chapter 8. Root Locus Techique Thigs to kow The defiitio of root locus How to sketch the root locus How to use the root locus to fid the poles of a closed-loop syste How to use the root locus to desig a paraeter value to eet a trasiet respose specificatio Chapter 8. Root Locus Techiques 1/33

Chapter 8. Root Locus Techique Chapter Objectives The defiitio of root locus How to sketch the root locus How to use the root locus Figure 8.1 a. Closed-loop syste; b. equivalet trasfer fuctio Chapter 8. Root Locus Techiques 2/33

NG( s) NH( s) G( s), H ( s) D ( s) D ( s) Ts () G H G( s) NG( s) DH( s) 1 G( s) H( s) D ( s) D ( s) N ( s) N ( s) Characteristic Equatios D : 0 stability? G H G H ( s) D ( s) N ( s) N ( s) 0 G H G H Chapter 8. Root Locus Techiques 3/33

s j M F( s) ( s a) ( a) j Fs () i1 j1 ( s z ) ( s p ) i j i j 1 1 uerator ' s coplex factors deoi ator ' s coplex factors Figure 8.2 Vector represetatio of coplex ubers: a. s = + j; b. (s + a); c. alterate represetatio of (s + a); d. (s + 7) s5+j2 Chapter 8. Root Locus Techiques 4/33

M Pusa Natioal Uiversity zero legths ( s z i ) pole legths ( s p ) i1 i1 j1 j1 j i ( s z i) rie i1 i1 F() s M j ( s p ) r e j j1 j1 j zero agles pole agles s z s p i i1 i1 ( s 1) Ex) 8.1 Fid F( s) at the poit s 3 j4 ss ( 2) i Fs () o ( s 1) 20116.6 o ss ( 2) 5126.9 17104.0 s3 j4 o 20 M 116.6 126.9 104.0 5 17 0.217 114.3 o o o o Figure 8.3 Vector represetatio of Eq. (8.7) Chapter 8. Root Locus Techiques 5/33

8.2 Defiig the Root Locus Courtesy of ParkerVisio. Figure 8.4 a. CaeraMa Preseter Caera Syste autoatically follows a subject who wears ifrared sesors o their frot ad back (the frot sesor is also a icrophoe); trackig coads ad audio are relayed to CaeraMa via a radio frequecy lik fro a uit wor by the subject. b. block diagra. c. closed-loop trasfer fuctio. Chapter 8. Root Locus Techiques 6/33

D s s s s 2 ( ) 10 0, 1,2 5 25 Table 8.1 Pole locatio as a fuctio of gai for the syste of Figure 8.4 Figure 8.5 a. Pole plot fro Table 8.1; b. root locus Chapter 8. Root Locus Techiques 7/33

8.3 Properties of the Root Locus G() s Ts () 1 G( s) H ( s) The characteristic polyoial i the deoiator o G( s) H ( s) 1 1 (2k 1)180 k 0, 1, 2, 3,... G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s) (2k 1)180 o Chapter 8. Root Locus Techiques 8/33

( s 3)( s 4) G( s) H ( s) ( s1)( s2) T() s ( s 3)( s 4) 2 (1 ) s (3 7 ) s (2 12 ) Cosider the poit 2 j3 of a closed loop pole for soe value of gai. 56.31 71.57 90 108.43 1 2 3 4 LL LL 3 4 1 2 70.55 2 / 2(1.22) (2.12)(1.22) o o o o o 0.33 따라서 test 점 (-2+j3) 은 Root locus 상의점이아님 Figure 8.6 a. Exaple syste; b. pole-zero plot of G (s) Chapter 8. Root Locus Techiques 9/33

8.4 Sketchig the Root Locus 근궤적법 (root locus ethod) s- 평면상에개루프전달함수의극점과영점을도시하고이극점및영점의배치에서시스템파라미터 를 0 에서 까지변화시킬때의폐루프특성방정식의근 ( 폐루프극점의위치 ) 를 s- 평면상에작도해알아내는도해적인방법. => 1948 년 W. R. Evas(24,25) 에의해소개 T() s G() s 1 G( s) H ( s) I the characteristic polyoial i the deoiator G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s) (2k 1) 180 o Closed loop cotrol syste Chapter 8. Root Locus Techiques 10/33

단일피드백제어시스템에대한근궤적작도예 G() s T() s 2 s s ss ( 2) 2 s 2s 2 0 s 1 1, s 1 1 1 2 G( s) 1 G( s) (2k 1)180 o 시스템 G() s ss ( 2) 의근궤적선도 비최소위상시스템의근궤적작도법 G( s) 1 G( s) k360, k 0, 1, 2, Chapter 8. Root Locus Techiques 11/33

근궤적작도법 ( 제어시스템설계 4 장참조 ) 1. Nuber of braches 폐루프극점의개수와근궤적의수는같다. 2. Startig ad edig poits of root locus 근궤적은 = 0 일때개루프극점에서출발하여 = 일때개루프영점에종착한다. 이때 G() s Ns () Ds () 일때폐루프제어시스템의특성방정식은 혹은 D ( s ) N ( s ) 0 1 G( s) 0 i) = 0 일때특성방정식을만족하려면 D(s) = 0 => G(s) 의극점이특성방정식의근 ii) = 이면 D(s) 는상대적으로무시 => N(s) = 0 즉, 개루프전달함수 G(s) 의영점이특성방정식의근 Chapter 8. Root Locus Techiques 12/33

3. Real Axis Segets( 실수축상의근궤적 ) 개루프전달함수 G(s) 의극점과영점이실수축상에있을때근궤적은임의의구간에서실수축의임의의점우측에있는개루프극점과영점을합한개수가 홀수 => 그구간에근궤적이존재짝수 => 근궤적이존재하지않음 G(s 1 ) 의위상 (p 1 ~z 1 사이 ) G(s 2 ) 의위상 (z 1 ~p 2 사이 ) G( s ) ( s z ) ( s z ) ( s p ) ( s p ) ( s p ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 =0 0 180 0 0 180 G( s ) ( s z ) ( s z ) ( s p ) ( s p ) ( s p ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 =180 0 180 0 0 0 Gs () ( s z1)( s z2) ( s p )( s p )( s p ) 1 2 3 s 1 의실수축상의근궤적 Chapter 8. Root Locus Techiques 13/33

4. Syetry: 근궤적선도의대칭성 복소근은공액근으로서허수부의값이실수축에대해대칭이므로근궤적 도역시실수축에대하여대칭이다. 5. Behavior at ifiity: 점근선의각도와위치 s가 로접근할때근궤적은점근선 (asyptote) 을갖는다. 개루프극점의개수가 개이고개루프영점의개수가 개인시스템에서실수축과이루는점근선의각도 α (2 1)180, k 0, 1, 2, 실수축상에서점근선들이모이는점인 점근선의중심점 Ac A c p i i1 j1 z j Chapter 8. Root Locus Techiques 14/33

Pusa Natioal Uiversity zi j1 j1 (2k 1)180 pi T() s G() s 1 G( s) H ( s) j1 i1 ( s z ) c ( s p ) j i (2k 1)180 (2k 1) 180, k 0, 1, 2, Chapter 8. Root Locus Techiques 15/33

근궤적을위한특성방정식 또한 ( s p )( s p ) ( s p ) ( s z )( s z ) ( s z ) s a s a s a ( s b s b s b ) 0 1 1 1 1 0 1 1 0 만약 > +1 이면, 값에관계없이 i1 1 2 1 2 c c c c 1 c c c 1 2 pi 1 p2 p i1 ( s p )( s p ) ( s p ) s s p 0 p c i a 1 또한, 같은방법으로, 개루프극점의합과영점의합은 pi a 1, z j b 1 i1 j1 이와같이 > +1 이면폐루프극점의중심점 A c 는 값에따라변하지않으며, ( s z ) ( s z ) j j j1 j1 c( ) li li c s pi s Ac s z j i1 j1 G s ( ) ( ) ( ) 값이큰경우에는 c pi ( ) Ac z j pi i1 j1 i1 A c p i i1 j1 z j Chapter 8. Root Locus Techiques 16/33

[ 예제 4.1] 다음개루프전달함수 G(s) 에대한점근선의각도 α와중심점 Ac를구하고근궤적선도는? Gs () ss ( 2) 개루프무한영점의개수 - = 2-0 = 2 두개의점근선이존재 => 점근선의각도 α 와중심점 Ac (2 1) 180 (2 1) 180 90 20 pi zj i1 j1 20 Ac 1 20 그림 4.5 시스템 G(s) 의근궤적선도 Chapter 8. Root Locus Techiques 17/33

Ex. 8.2 Sketch the root locus for the syste show i Fig. 8.11 Sol) 점근선을구하면 Figure 8.11 Syste for Exaple 8.2 (2 1) 180 41 60, 180, 300 o o o pi zj i1 j1 ( 1 2 4) ( 3) 4 Ac 4 1 3 Chapter 8. Root Locus Techiques 18/33

Figure 8.12 Root locus ad asyptotes for the syste of Figure 8.11 Chapter 8. Root Locus Techiques 19/33

6. Real-Axis Break-away ad Break-i Poits: 분기점위치두근궤적이실수축을떠나는이탈점 (break-away poit) 과도착하는복귀점 (break-i poit) 을분기점이라고한다. 분기점에서의 값은실수축상에서의극대값이되므로특성방정식을 = f(s) 식으로변형한다음 d/ds = 0의근이분기점이된다. 1 0 1 s( s 2) s( s 2) d s( s 2) (2s 2) 0 s 1 ds 7. The jω-axis Crossigs: 허수축과의교차점근궤적이허수축과교차하는순간은시스템의안정도가파괴되는임계점. 또한 Routh 안정도판별법을이용하여위의두값을구할수도있다. 1 G( j) Re( j) I( j) 0 b ( s ) ' ', d ab a b a 2 () s ds a Chapter 8. Root Locus Techiques 20/33

[ 예제 4.2] 개루프전달함수 G(s) 의근궤적에서허수축과의교차점과그때의시스템파라미터 값은? Gs () s( s 3)( s 5) 이시스템의특성방정식은다음과같다. s s s s s s 3 2 ( 3)( 5) 0 8 15 0 s 값에 jω 를대입하면, 3 2 2 2 ( j) 8( j) 15( j) (8 ) j(15 ) 0 2 2 (8 ) 0 과 (15 ) 0 이성립되어야함 120 2 8 0, 15 이므로 Chapter 8. Root Locus Techiques 21/33

8. Agles of Departure ad Arrival: 출발점과종착점의각도 Gs () s s ( 2) 2 2s2 극점 - 영점배치및근궤적 점 s 가근궤적상의점이되기위해서는위상조건 z p (2k1) 180, k 0, 1, 2, 위의근궤적선도에서, 극점 (-1+j1) 에서근궤적의출발각 θ 는 180 180 90 45 135 p z Chapter 8. Root Locus Techiques 22/33

소스 - 싱크상사개념을이용하여작도한근궤적선도 Gs () ( s z ) ( s p )( s p )( s p ) 1 2 3 1 그림 4.7 소스 - 싱크상사개념을이용하여작도한근궤적선도의예 Chapter 8. Root Locus Techiques 23/33

( 제어시스템설계 4 장참조 ) 4.4 근궤적작도예 [ 예제 4.3] 개루프전달함수 s ( 1) Gs () 2 s ( s 2) 인시스템의근궤적은? 1. 폐루프특성방정식의근궤적을위한일반형태는 s 1 1 0 s 2 ( s 2) 2. s-평면상에개루프극점과영점을배치한다. 3. 실수축상의근궤적을그린다. 그림 4.8 s ( 1) Gs () 2 s ( s 2) 의극점 - 영점배치 Chapter 8. Root Locus Techiques 24/33

4. 각도이고중심점인점근선 (2k 1) 180, k 0, 1, 2, 90 A c pi zj i1 j1 2 ( 1) Ac 0.5 31 그림 4.10 Gs () s ( 1) 2 의근궤적선도 s ( s 2) Chapter 8. Root Locus Techiques 25/33

[ 예제 4.4] Gs () 인시스템의근궤적? s( s 1)( s 2) 1. 폐루프특성방정식을근궤적을위한일반형태 1 1 0 s ( s 1)( s 2) 2. s-평면상에개루프극점및영점, 실수축상의근궤적 그림 4.11 Gs () s( s 1)( s 2) 의실수축상의근궤적 Chapter 8. Root Locus Techiques 26/33

a A c 3. 각도이고중심점인점근선 혹은, (2k 1)180 a, k 0, 1, 2, a 60,180 A c p z i j i1 j1 3 1 3 그림 4.12 표시 Gs () s( s 1)( s 2) 의점근선 Chapter 8. Root Locus Techiques 27/33

4. 분기점의위치 s( s 1)( s 2) 를이용해서최대가되는 s 값을찾는다. 1 s 0 영역에서 값이 d ds 0 즉, 으로부터근궤적의이탈점 s = -0.423 5. 허수축과의교차점을구한다. 1 1 0 j ( j 1)( j 2) 혹은, 2 3 ( 3 ) j(2 ) 0 위식을만족하는주파수 ω 와시스템파라미터 는 2, 6 Chapter 8. Root Locus Techiques 28/33

위에설명된근궤적작도법을종합하면 그림 4.13 Gs () s( s 1)( s 2) 의근궤적선도 Chapter 8. Root Locus Techiques 29/33

[ 예제 4.5] 개루프전달함수 Gs () 의근궤적? 2 s( s 4)( s 8s 32) 1. 폐루프특성방정식을근궤적을위한일반형태로표시한다. 1 1 0 s ( s 4)( s 4 j 4)( s 4 j 4) 2. s-평면상에개루프극점 3. 실수축상의근궤적은 s = 0과 s = -4 사이에존재한다. 4. 점근선의각도 α는, 점근선의중심점 Ac (2k 1)180, k 0, 1, 2, 혹은 45, 135 A c 12/ 4 3 Chapter 8. Root Locus Techiques 30/33

5. 분기점의위치 : = -s(s+4)(s+4+j4)(s+4-j4) d ds 0 으로터근궤적의이탈점이 s = -1.58 에있음 6. 허수축과의교차점 : Routh 배열이용 s s s s s s s s 2 4 3 2 ( 4)( 8 32) 12 64 128 0 Routh 배열 : s s 4 3 2 s b1 c1 s s 1 0 1 64 12 128 여기서, 12 64 128 b1 53.33 12 53.33128 12 53.33 c 1 c 1 = 0 을만족하는 값 : = 569 b 1 s 2 + = 0 --> 근궤적이허수축상에있을때 ω = 3.25 Chapter 8. Root Locus Techiques 31/33

7. 복소극점 p1 에서의출발각 θ 1? 90 90 135 180 혹은 135 1 1 Gs ( ) s s s s 2 ( 4)( 8 32) 의근궤적선도 Chapter 8. Root Locus Techiques 32/33

Ex. 8.7 Sketch the root locus Sol) 1. Poles: -2, -4 Zeros: 2±j4 2. Asyptotes: 없음 ( ) 3. Break-away Poit s s s s s s 1 0 = 2 2 ( 4 20) ( 2)( 4) ( 6 8) 2 2 ( s 2)( s 4) s 4s 20 s 4s 20 2 2 d ( s 4s 20)(2s 6) (2s 4)( s 6s 8) 2 2 ds ( s 4s 20) s 2.88 4. The jω-axis Crossigs 0 2 (( j) 4 j20) 1 0 2 ( j) 6 j8) 2 ( 1) 20 8 j(6 4 ) 0 1.5, j3.9 Figure 8.19 a. Syste for Exaple 8.7; b. root locus sketch Chapter 8. Root Locus Techiques 33/33