벡터, 좌표계, 좌표값, 그리고좌표변환행렬 이형근한국항공대학교항공전자및정보통신공학부 제어및로봇응용에서다양한좌표계와이를기반으로한벡터의좌표값이활용되고있다. 이는운동을수반하는대다수의지능시스템에있어서시스템의현재위치및자세정보가미래의동작을결정하고제어하는데필수불가결한정보로인식되기때문이다. 다양한응용분야에활용되는중요성에도불구하고, 필자의경험에의하면, 벡터및좌표계관련사항들은입문자가처음접하는단계에서큰부담을느끼는부분으로이해된다. 이와같은경험을바탕으로본고는벡터와좌표계그리고좌표값에접해본경험이없는독자에게기본적인개념들을별도의보조문헌이필요없이알기쉽게설명하는데그목적이있다 1. 벡터, 좌표값 흔히벡터는행렬이라는용어와대별되어벡터는행방향혹은열방향의 1차원으로나열된수치값들의묶음이며행렬은행방향과열방향모두에대해서나열된수치값들의묶음으로인식되고있다. 이와같은벡터의이해는단순히값을표현하거나인식하는목적으로는편리한반면물체의운동을관찰하고해석하는관점에서는한계가있는것으로판단된다. 따라서, 보다명확한의미의분류를위해서벡터의의미를보다세밀하게분류할필요가있다. 본고에서는벡터 ( 혹은벡터의기하개형 ) 와좌표값 ( 혹은벡터의좌표값 ) 을다음과같이구분하여활용하고자한다. 먼저, 벡터는수치와연관되지않고공간상의임의의점을시작점으로하고임의의점을끝점으로연결한화살표로간단히이해하면편리하다. 즉, 벡터는수치적인개념보다기하학적혹은시각적개념에더욱가까운것으로이해하는것이다. 임의의벡터에대하여 3개의수치값으로표현되는벡터의좌표값을얻기위해서는기준좌표계 (reference coordnate syste) 가제공되어야한다. 기준좌표계는원점이일치하는 3개의직교 (orthogonal) 단위벡터 (unt vector) 로구성된다. 3차원공간상에그릴수있는화살표의다양성에비추어 3차원벡터의종류는무수히많음을알수있다. 이들중특히길이
가 1인벡터들은단위벡터 (unt vector) 로지칭된다. 한개의좌표계와연관된 3개의직교하는단위벡터는해당좌표계의기저벡터 (bass vector) 로지칭된다. 3개의기저벡터가제공되면공간상에관측되는임의의벡터의좌표값은각기저벡터와의내적 (nner product) 에의하여 3개의값으로명확하게산출될수있다. 이를기하학적의미에서달리해석하면 ) 각기저벡터방향으로선을무한대로연장하고 ) 각기저벡터의길이만큼의간격으로각연장선에눈금을표시한후 ) 임의벡터의정사영의끝점을각축연장선에그린다음 v) 각기저벡터방향의눈금으로좌표값을읽는 과정에해당된다. 지금까지살펴본바와같이벡터와좌표값은서로관련되어있지만명확히다른의미를가짐을알수있다. 지금부터는표현의구분을위하여공간상에기하학적인화살표로존재하는벡터는대문자로표현하며공간상의화살표를임의의좌표계에대하여눈금을읽은좌표값은벡터를표시하는기호에위첨자를오른쪽에덪붙여서표현하기로약속한다. 약속된표 기법에의하여 R 은벡터 R 를 -좌표계에대하여읽은좌표값을나타내며이와관련된개형은그림 1에나타나있다. 그림 1. 기하학적개념의벡터 R 과수치적인개념의좌표값 R 사이의관계 2. 기저벡터, 좌표변환행렬
벡터의좌표값획득과정에나타난바와같이무수히많은벡터들중에서좌표값을가장쉽게읽을수있는벡터는기저벡터들이며각기저벡터를연관된좌표계의좌표값으로읽을경우다음과같이표현됨을알수있다. 1 I, J 1, K 1 (1) 여기서 { I, J, K} 은임의의 -좌표계를구성하는기저벡터의집합을나타낸다. 식 (1) 에활용된 -좌표계의기저벡터 { I, J, K} 의좌표값을 -좌표계와다른 -좌표계에대하여읽을경우에는다음과같이식 (1) 에비하여복잡한형태로나타난다. c c c I c J c K c 11 12 13 21, 22, 23 c 31 c 32 c 33 I J K 1 ( I ) T J ( J ) T K ( K ) T I (2) 기하학적조합의다양성에의하여임의의벡터 R 은다음과같이 -좌표계기저벡터들 { I, J, K} 의조합혹은 -좌표계기저벡터들 { I, J, K} 의조합으로표현이가능하다. [ ] [ ] R xi + y J + z K I J K R x I + y J + z K I J K R 여기서 R [ x y z ] T 와 R [ x y z ] T 좌표값을각각나타낸다. 은벡터 R 의 - 좌표계와 - 좌표계에대한 (3) 식 (3) 에나타난스칼라값은좌표값표시기준좌표계에영향을받지않으며단지 { I, J, K }, 그리고 { I, J, K } 등의벡터들이조합된정도를나타낸다. 식 (3) 에나타난 벡터사이의관계식을다음과같이좌표값사이의관계식으로달리표현이가능하다. R I J K R I J K R (4) 식 (4) 에서 - 좌표계기저벡터들의 - 좌표계에대한좌표값들을누적한행렬 [ I J K ] 은식 (1) 에의미에의하여단위행렬 (dentty atrx) 이됨을쉽게알수있
다. 또한, 식 (4) 에의한결과는다음과같이동일한벡터의각기다른좌표계에대한좌표값사이의관계를표현함을알수있다. 여기서 R CR (5) C I J K : -좌표계에서 -좌표계로의좌표변환행렬 (6) 식 (5) 와식 (6) 이의미하는바는, 임의의벡터 R 의특정좌표계에 ( - 좌표계 ) 에대한좌 표값이주어지고특정좌표계와는다른좌표계 ( -좌표계) 로의좌표변환행렬을알고있다면언제든지임의의벡터 R 의다른좌표계에대한좌표값을행렬식에의하여구할수있다는것이다. 또한, 식 (2) 와식 (6) 에나타난바와같이 -좌표계에서 -좌표계로의좌표변환행렬은 -좌표계의기저벡터들에대하여 -좌표계에대한좌표값을읽어서구할수있다는것을알수있다. 임의의벡터에대하여 - 좌표계에대한좌표값을읽는다는것은임의의벡터와 - 좌표계 기저벡터들사이의내적값을읽는다는것과동일하다. 따라서, 식 (2) 와식 (6) 이의미하는 바는 -좌표계에서 -좌표계로의변환행렬은다음과같이 -좌표계기저벡터들 { I, J, K } 과 -좌표계기저벡터들 { I, J, K } 사이의내적으로구성됨을알수있다. T T T c11 c21 c31 II JI KI T T T C c12 c22 c 32 IJ JJ KJ T T T c13 c23 c 33 IK JK KK (7) 유사한추론에의하여 - 좌표계로부터 - 좌표계로의좌표변환행렬 C 은다음의관계 를만족함을알수있다. T T T γ11 γ21 γ31 I I J I K I T T T C γ12 γ22 γ 32 I J J J K J T T T γ13 γ23 γ 33 I K J K K K (8) 식 (7) 과식 (8) 의비교에의하면다음의관계가성립함을확인할수있다. C ( C ) T (9) 식 (5) 와식 (9) 에의하면다음의관계가성립함을쉽게확인할수있다. ( ) R C R C C R C C R CC I 33 (1)
식 (9) 와식 (1) 에의하면다음의결과를얻게된다. ( ) ( ) 1 T C C C (11) 따라서, 좌표변환행렬의역행렬 (nverse atrx) 은전치행렬 (transpose atrx) 와동일하다는것을알수있다. 일반적으로역행렬은계산량부담이매우높은연산이며전치행렬은각원소의행과열위치만바꾸면되므로계산량부담이매우낮다. 따라서, 식 (11) 은좌표변환행렬의구현에있어서매우편리하게활용될수있다. 식 (11) 과같은특성을만족하려면행렬을구성하는각행벡터혹은열벡터의길이가 1 이며각벡터들의방향은직교해야한다. 좌표변환행렬은이를구성하는각열벡터가식 (2) 에의하여각기저벡터들의좌표값에해당되므로식 (11) 의조건을기하학적인관점에서이미만족하고있음을알수있다. 3. 단위좌표변환및복합좌표변환 앞선절에설명된바와같이두좌표계사이의좌표변환행렬은한쪽좌표계의기저벡터들의좌표값을다른좌표계에대하여측정함으로써구할수있으나이를위해서는 3차원공간개형이연관되므로관련된개형의연상및이해가쉽지않다. 이를회피하고일반적으로복잡한좌표변환행렬의메커니즘을이해하기위해서는주어진좌표변환을 3단계로구분하고각단계에서한개의기저벡터를회전축으로선택한 2차원단위좌표변환을개별적으로고려하는것이효율적이리라생각된다. 한개의기저벡터를회전축으로선택한단위좌표변환을이해하기위하여지금부터는그림 2와같은개형을고려하기로한다. 그림 2에는초기에일치하여있던 -좌표계와 -좌표계에대하여 -좌표계의 x -축및 y -축기저벡터들을 z -축을기준으로 ψ 만큼회전 한결과나타나게되는두좌표계사이의변환개형을나타낸다. 그림에서 R 은임의의벡 터를나타내며이의좌표값은 -좌표계에대해서는 R 로그리고 -좌표계에대해서는 R 으로각각표시되어있다. 그림 2를참조하면동일한벡터 R 의서로다른좌표계에대 한좌표값 R 와 R 은다음의관계를만족함을알수있다.
그림 2. z 축을기준으로 ψ 만큼회전한단위좌표변환의개형 x x R y, R y. z z x x cosψ + y snψ y x snψ + y cosψ z z 식 (12) 를달리표현하면두좌표값사이에는다음의관계가성립함을알수있다. cosψ snψ R C R, C Cz( ψ) snψ cosψ 1 (12) (13) 회전의기준축을달리하여초기에일치하여있던 -좌표계와 -좌표계에대하여 -좌표계의두기저벡터들을 x -축을기준으로 φ 만큼회전하면그림 2와유사한개형에의하 여다음의관계를확인할수있다.
1 R C R, C Cx( φ) cosφ snφ snφ cosφ (14) 또한, 초기에일치하여있던 -좌표계와 -좌표계에대하여 -좌표계의두기저벡터들을 y -축을기준으로 θ 만큼회전하면그림 2와유사한개형에의하여다음의관계도확 인할수있다. cosθ snθ R C R, C Cy( θ ) 1 snθ cosθ (15) 식 (13)-(15) 에나타난각기저벡터축기준의 2차원단위좌표변환을이해하였으면일반적인두좌표계사이의 3차원복합좌표변환을쉽게이해할수있다. 그림 3은이와관련된개형을나타내어준다. 그림 3. 임의의두좌표계사이의 3 차원좌표변환개형
그림 3에나타난바와같이임의의 3자유도좌표변환관계를가지는 -좌표계와 -좌표계가주어진경우 -좌표계의기저벡터들을 -좌표계의기저벡터들과일치시키기위해서 는다음과같이단위좌표변환을수반한회전이특정축을기준으로순서에맞게가해져야함을알수있다. ) z 축 ( 혹은 ) y 축 ( 혹은 1 ) z 축 ( 혹은 2 정 K 축 ) 을기준으로 ψ 만큼의회전 { I1, J1, K 1} 기저벡터의방향결정 J 축 ) 을기준으로 θ 만큼의회전 { I2, J2, K 2} 기저벡터의방향결정 I 축 ) 을기준으로 φ 만큼의회전 { I, J, K } 기저벡터의방향결 위에서정리된단위좌표변환의순서를참고로하면 - 좌표계에서 - 좌표계로의복합좌 표변환행렬은다음과같이구성됨을알수있다. C C C C (16) 2 1 2 1 여기서 1 C2 Cx ( φ) cosφ snφ snφ cosφ cosθ snθ 2 C1 C y ( θ ) 1 snθ cosθ C 1 cosψ snψ Cz( ψ) snψ cosψ 1 (17) 따라서식 (16) 과식 (17) 에의하여각행렬들을곱하고그결과를정리하면 -좌표계에서 -좌표계로의복합좌표변환행렬은다음과같이구성됨을알수있다. C cosθcosψ cosθsnψ snθ snφ snθcosψ cosφsnψ snφsnθsnψ cosφcosψ snφcosθ + cos φ snθcosψ + snφsnψ cosφsnθsnψ snφcosψ cosφcosθ 또한이와는반대로 -좌표계에서 -좌표계로의좌표변환이필요할경우에는다음의관계식들을활용된다. C ( C ) ( C ) ( C ) ( C ) (18) T 1 T 2 T T 1 2
여기서 cosψ snψ 1 1 T ( C) Cz( ψ) snψ cosψ cosθ snθ 2 T ( C1 ) C y ( θ ) 1 snθ cosθ 1 T ( C2 ) Cx ( φ) cosφ snφ snφ cosφ C cosθ cos ψ snφsnθcosψ cosφsnψ cosφsnθ cosψ + snφsnψ cosθ sn ψ snφsnθsnψ cosφcosψ cosφsnθsnψ snφcosψ + snθ snφcos θ cosφcosθ (19) 4. 결론 본고에서는제어및로봇시스템응용분야에서다양하게활용되고있는벡터, 좌표값, 좌표계, 그리고좌표변환행렬과관련된기본적인개념들을살펴보았다. 이를통하여벡터는단순히공간에존재하는기하학적화살표로설명하였으며이와관련된좌표값은벡터의정사영을기준좌표계의각기저벡터방향으로드리운후길이를수치적으로측정하고기록한결과로설명하였다. 벡터의좌표값을측정하기위해서는기준좌표계가필요한데이는원점이일치하고서로직교하는단위길이의기저벡터 3개로구성됨을설명하였다. 동일한벡터에대해서도기준좌표계의다양성에의하여각기다른좌표값이산출될수있는데, 이는각기준좌표계기저벡터들사이의관계를설명해주는좌표변환행렬을활용하여관련지울수있음을설명하였다. 마지막으로, 임의의두좌표계사이의좌표변환행렬은한좌표계에서중간단계의 z 축, y 축, 그리고 x 축을활용하여각각일정한양만큼회전시켜다른좌표계와일치시키는세가지단위좌표변환행렬을곱으로표현할수있음을설명하였다.