Contents 제 1 장 : 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 제 2 장 : 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화

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1 2016 학년도 중앙대학교 논술백서 자연계열

2 Contents 제 1 장 : 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 제 2 장 : 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 082 제 3 장 : 자연계열논술문항체험하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 128

3 제 1 장 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 CHUNG ANG 2016

4 자연계열논술의이해

5 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 01_ 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 2. 자연계열논술문항의구성 3. 논술시험에대한조언과중요한 TIP 중앙대학교가수시모집전형에서논술전형을계속유지하는가장큰이유는중앙대학교논술전형이미래지향적인인재를선발하는효율적인평가방식이라고확신하기때문이다. 오랜기간논술전형의관리역량을축적해온중앙대학교는논술전형을통하여우수한학생을성공적으로선발해오고있다. 이는논술전형을통해입학한학생들의본교입학후성적에서증명되고있다. 중앙대학교 2016학년도논술전형시험의전체적인출제방향및평가목표는향후중앙대학교에진학하여학문을탐구하는데있어서부족함이없는인재를합리적이고객관적으로선발하는데에맞춰져있다. 구체적으로중앙대학교자연계열논술시험에서는수험생들이고교과정에서배운수학과과학의기본개념들을잘이해하고있는가, 기본개념들과문항또는제시문을통해이해한내용을바탕으로논리적사고를전개할수있는가, 문제를창의적으로해결할수있는가, 자신이생각한바를언어나수식을통해논리적으로기술할수있는가의여부를중점적으로평가할것이다. 기본적으로는수학, 공통과학, 물리I, 화학I, 생명과학I 교과서와 EBS 교재에서내용을발췌하여사용할것이며, 경우에따라물리II, 화학II, 생명과학II의내용이일부포함될수있다. 중앙대학교자연계열논술전형에관심을갖고준비중인수험생들은잘알고있는바와같이, 중앙대학교자연계열논술의기본성격은 2014학년도까지는여러교과목에대한제시문을통합적으로이해하여야풀수있는통합형논술이었다. 그러나, 학교시험, 수능준비와함께통합형논술을준비해야하는수험생의부담과논술을지도하시는일선교사선생님들의고충을덜어드리기위해오랜논의를거쳐 2015학년도논술시험부터과거통합형의틀을벗어나단일교과형논술문항을출제하기로결정하였고, 이를 2014년봄에시행된모의논술부터적용하였다. 중앙대학교자연계열논술을준비하는수험생들이이렇게변화된포맷에익숙해지기위해서는반드시작년에치러진모의논술및본논술문항을풀어보아야하며, 이책의내용을적극적으로활용하는것이올해논술에서좋은결과를얻을수있는필수사항이다. 이번에발간되는 2016학년도중앙대학교논술가이드북은, 예년에비해방대한내용과자세한설명을포함하고있으며, 중앙대학교논술을준비하는수험생과이책을사용하여학생들을지도하시는선생님들께큰도움이될것이라확신하며정성껏제작한책이다. 이책과함께추후시행될논술설명회를통하여제시하게될논술출제형식은본논술에서반드시유지할것이며, 이는논술시험에대한예측가능성을제고함으로써수험생들이사교육에의존하는것을방지하는데가장큰목적이있다. 수험생들은학교에서습득한교과목의지식을바탕으로이논술가이드북의정보를잘활용한다면중앙대학교의논술전형에서좋은결과를얻을수있을것이다. 02_ 자연계열논술문항의구성 중앙대학교자연계열논술문항의전체적인구성은다음과같다. [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 은수학과관련된문항으로서지원자가모두풀어야하는문제이며배점은각각 20점, 20점, 30점이다. [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학가운데지원자가원서접수시본인이선택한과목을풀수있는문제이며배점은 30점이다. 또한, 경쟁이매우치열한의학부를지원하는학생은 [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 가운데한두문제를타학과지원자에비하여상대적으로난이도가높은문제를풀게될것이다. [ 문제 1] 은가장쉬운문항으로서확률, 경우의수, 기댓값등에관한문제가출제된다. [ 문제 2], [ 문제 3] 은고교수학전반에관하여출제되는문항으로서 [ 문제 1] 에비하여상대적으로난이도가높은문항이출제되며, 각각소문항두개로구성된다. [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학에해당하는문항으로서수험생은원서접수시본인이선택한과목의문제를풀면된다. [ 문제 4] 도두개의소문항으로구성된다. 특히 [ 문제 1] 에서확률, 경우의수, 기댓값등에관한문제를출제하는이유는, 문제에서설명되고주어지는정보를수험생들이정확하게이해하고문제풀이에적용하는이해력과응용력을측정하기위함이다. 어려운수학문제를잘풀어내는학생들도이러한유형의문제처럼, 정보를주고풀어야할목표를제시하면의외로당황하여난감해하는경우가많다. [ 문제 2], [ 문제 3] 은수험생들에게가장익숙한형태의문항이될것이며, [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학가운데한과목의문제를풀면된다. 과목별난이도가최대한비슷하도록출제할것이나, 선택과목에따른유리또는불리가발생하지않도록 [ 문제 4] 의점수는표준화점수를부여한다. 004

6 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 2. 자연계열논술문항의구성 3. 논술시험에대한조언과중요한 TIP 03_ 논술시험에대한조언과중요한 TIP 중앙대학교논술시험의시간은두시간, 즉 120 분으로제한되어있으며, 자연계열논술시험에서는답안작성시, 인문계열처럼원고지작성법, 맞춤법등으로인한감점사항은없다. 수험생에게제공되는답안지는각문항별로답안을작성해야하는영역이나뉘어져있으며, 수험생들은반드시해당문항의답안지영역내에자유롭게본인의답안을적어제출하면된다. 논술시험을성공적으로치르기위해서고려할사항은많이있으나, 가장중요한것이무엇인지살펴보자. 먼저시간을효율적으로활용하여야한다. 보통때는두시간이길게느껴질수도있지만, 긴장과집중이초고도에달하는논술시험장에서의두시간은상대적으로금방지나가는것처럼느껴질것이다. 문제를푸는순서를미리정해서시험에임하는것도좋은전략이다. 가장좋은문제풀이순서는 [ 문제 1], [ 문제 4], [ 문제 2], [ 문제 3] 또는 [ 문제 4], [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 이다. 그이유는 [ 문제 1] 은가장쉬운문제이며, [ 문제 4] 는수험생이가장자신이있는과목이기때문이다. 상대적으로어려운 [ 문제 2], [ 문제 3] 이시간이많이소요될것이라는생각에먼저풀려고하는것은추천하고싶지않은전략이다. 왜냐하면어려운문제를먼저대하게되면쓸데없는자신감의결여로이어질가능성이높기때문이다. 또한, 막히는문제를만났을때, 지나치게그문제에오랜시간을소비하는것은좋지않다. 왜냐하면, 총점이높은학생이합격하게되므로상대적으로쉬운문제에서감점용인을최소화하여고득점을올리는것이차라리낫기때문이다. 전통적으로중앙대학교자연계열논술시험의첫번째문항인 [ 문제 1] 은출제되는문항들가운데가장쉬운문제에속한다. 이는극도로긴장하고시험에임하는수험생들의긴장을완화시켜주고자하는배려에따는것이다. 이처럼 [ 문제 1] 은쉬운문제이므로수험생들은절대긴장하지말고풀어야한다. 논술시험에서가장변별력이있는문항이어떤문항인지를생각해보라고하면, 보통가장어려운문제가변별력이있다고대답할것이다. 아주틀린이야기는아니지만, 생각을뒤집어보면오히려가장쉬운문제가의외로큰변별력을가질수도있다는것을이해할수있다. 중앙대학교자연계열논술문항가운데가장중요한문항은바로 [ 문제 1] 이다. 가장쉬운문제이므로, 최대한고득점을받을수있는답안을작성해야하는데, 또한가지고려해야할것이바로시간이다. 상대적으로시간이많이소요될 [ 문제 2], [ 문제 3] 의풀이에필요한시간을확보하기위해서는 [ 문제 1] 을가능한빨리풀어야하기때문이다. 경쟁이치열한논술전형에서합격권에들어오기위한필요조건은배점이 20점인 [ 문제 1] 을가능한빠른시간에풀어서최소한 15점정도를받아야한다는것이다. 앞서설명한바와같이, 논술문항을풀다보면막히는문제를만날수도있다. 그런일이발생했을때스스로를긴장시키는실수를범해서는안된다. 제한된시간내에자신의실력을제대로발휘하는데가장큰적은긴장하는것이다. 내게어려운문제는다른수험생들에게도어려울것이라고생각하며긴장하지말아야한다. 기출문제를반드시풀어보아야하는것도필수적이다. 앞서언급한바와같이, 중앙대학교자연계열논술은 2015학년도입시부터포맷이변경되었으므로, 수험생들이풀어봐야할기출문제는 2014년봄에치러진모의논술, 겨울에치러진본논술의자연계열I, 자연계열II, 의학부등이다. 이책의다음장부터는기출문제일부와새롭게만든예시문항에대한해설, 설명, 접근방법등의내용이매우세밀하고자세하게제시될것이니, 이책을잘활용하는것도필수사항이라하겠다. 005

7 제 2 장 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 082 CHUNG ANG 2016

8 자연계열논술의문항파악하기

9 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도부터논술전형이개별교과형으로변경되었고, 이러한형태에맞춘수학논술문제가 2015 학년도모의논술, 2015 학년도수시 일반논술자연계열 I/ 의학부, 자연계열 II 등 3 회출제되었다. 이하에서는기출수리논술시험의제시문과문항설명, 예시답안과채점기준 을통해, 수학논술을준비하는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. [ 참고도서 ] 수학 : 천재교육, 중앙교육진흥연구소, 더텍스트수학 I : 교학사, 두산동아, 좋은책신사고, 천재교육수학II : 금성출판사, 더텍스트, 성지출판, 중앙교육진흥연구소수학의활용 : 금성출판사적분과통계 : 중앙교육진흥연구소기하와벡터 : 교학사, 더텍스트, 좋은책신사고 EBS 포스고교수학I 2015 학년도모의논술 문제 1 단판으로승부를가리지만, 무승부일경우재시합을하는운동경기가있다. A팀이 B팀에승리할확률은 p, 패할확률은 q, 무승부일확률은 r 이라고한다. 단, p > 0, q > 0, r > 0, p + q + r = 1 이다. 계속무승부가되어총경기횟수가 10 경기가될때까지승부가나지않을경우동전던지기로승부를결정한다고할때, 두팀이치르게될경기횟수의기댓값을 r 에대한식으로나타내시오. 1. 문제의배경지식 중앙대학교자연계논술의 1 번은적분과통계의 3 단원과 4 단원을구성하고있는확률과통계에관한문제이다. 이번문제는이산확률변수 의기댓값 ( 교학사적분과통계, pp ) 을구하는문제이다. 문제를풀기위해알아야할개념들에관한배경설명은다음과같다. 008

10 자연계열논술문항파악하기 동전이나주사위던지기와같이같은조건에서반복할수있으며, 그결과가우연에의하여달라지는실험이나관찰을시행이라고하고, 시 행에서나올수있는모든결과의집합을표본공간이라고한다. 주어진시행에서어떤사건 A 가일어날가능성을수로나타낸것을사건 A 가일어날확률이라고하고, 기호로 와같이나타낸다. 어떤시행에서표본공간 S 의각근원사건 (S) 의부분집합중에서한개의원소 로이루어진사건 ) 이일어날가능성이같다고기대될때, 표본공간의원소의개수에대한사건 A 의원소의개수의비를사건 A 의수학적확률이라고하고, 기호로 와같이나타낸다. 두개의동전을던져서모두앞면이나오는사건을 A 라하고, 모두뒷면이나오는사건을 B 라할때, 두사건 A, B 는동시에일어나지않는 다. 이와같이, 인두사건 A 와 B 를서로배반이라하고, 이두사건을배반사건이라한다. 두사건 A 와 B 가배반사건이면 A 또 는 B 가일어날확률은다음과같이구할수있다. ( 확률의덧셈정리 ) 두사건 A, B에대하여사건 A가일어나는것이사건 B가일어날확률에영향을주지않을때, 두사건 A, B는서로독립이라고하며, 이때확률의곱셈정리로부터다음이성립한다. ( 단, ) 어떤시행의표본공간 S의각원소 ( 근원사건 ) 를실수의집합 R의한원소에대응시키는함수를확률변수라고하고, 사건의확률을간단히와같이나타낸다. 확률변수 X 가취하는값이유한개이거나자연수와같이일일이셀수있을때, X를이산확률변수라고한다. 이산확률변수 X가취할수있 는값이 이고, X 가이값을취할확률이각각 라고할때, 과의대응관계를이산확률변수 X 의확률분포또는간단히이산확률분포라고한다. 이산확률변수 X 의확률분포가위와같을때, 를이산확률변수 X 의기댓값또는평균이라고하고, 기호로와같이나타낸다. 2. 문제의분석및풀이과정 이번문제는어떤운동경기에서무승부가날가능성이있고, 최대 10경기까지할수있을경우, 두팀이경기를치르게될횟수의기댓값을구하는문제이다. 문제에서한팀이다른팀에승리할확률, 패배할확률, 무승부일확률이모두모르는값으로정해져있다고주어져있으므로, 두팀이경기를치르는것은시행이다. 이시행에서나올수있는결과는 A팀이 B팀에승리, A팀이 B팀에패배, 무승부의세가지사건이며, 각각의사건이일어날확률은 p, q, r 이라고한다. 두팀이경기를치르게될횟수를확률변수 X라고하면, 단판으로승부를가리지만무승부일경우최대 10경기까지재시합을하게되므로, 확률변수 X가정의되는표본공간을 S라고하고, A팀이승리하는사건을 A, B팀이승리하는사건을 B, 무승부일사건을 N이라고하면, S의원소 ( 근원사건 ) 들은다음과같다. 009

11 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 각각의경기는서로독립이므로확률의곱셉정리로부터위의각사건이일어날확률은다음과같이각각구할수있다. 확률변수 X 가가질수있는값은 1, 2, 3,, 10 이므로, 위에서구한근원사건의확률을이용하면, X 의각값에대응되는확률을다음과같 이구할수있다. 여기서, 인확률은 9 번무승부후 10 번째승부가나는경우와 10 번모두무승부가되는경우를모두고려해야한다. 따라서, X 의기 댓값는이산확률변수의기댓값을구하는공식을이용하여다음과같이나타낼수있다. 여기서, 로정의한다. 위의기댓값을 r에대한식으로정리하기위해서는 p+q를 r에대한식으로바꿔 야하고, S를간단하게정리하여야한다. 먼저문제에주어진조건 을이용하면 임을알수있다. 또한, S를 간단하게정리하기위해서 S에 r를곱하여 S에서빼면 따라서, 이다. 3. 예시답안및채점기준 예시답안 확률변수를 A 팀이 B 팀과하게되는경기수라고정의하면, 가가질수있는값은 1, 2,, 10 이고이에대한확률을고려하면 의기댓값는다음과같이나타낼수있다. 여기서로정의하고, 인확률은 9 번무승부후 10 번째승부가나는경우와 10 번모두무승부가 되는경우를모두고려해야한다. 010

12 자연계열논술문항파악하기 의계산은를구하여빼주면다음과같다. 의조건으로부터이기때문에는다음과같다. 만일일확률을으로놓고계산해도동일한답을얻을수있다. 채점기준 기댓값의정의를이용하여 를올바르게표현한경우 +10 점 가갖는값과이에대한확률에오류가있는경우각 -3점 의식으로부터이에대한계산을올바르게한경우 +10점 계산상오류는각 -3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 011

13 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 2 자연계열논술문항파악하기 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 의그래프에중심이이고반지름이인원이아래의그림과같이접하고있다. 두접점을각각이라하자. 단, 은양의정수이다. ( 나 ) 점와직선사이의거리는다음과같다. ( 다 ) 수렴하는두수열에대하여이성립한다. [ 문제 2-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진과의값을각각에대한식으로나타내시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 제시문 ( 가 ) 의그림과같이와원에의해둘러싸인영역의넓이를이라할때, 을구하는과 정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 ( 가 )-( 나 ) 제시문을읽고문제에주어진도형사이의관계를이해한다. 문제에서에따라도형의관계가정해지게된다. 는 V자형태로이클수록좁은 V자형태가된다. 이 V자도형에접하는원이있고, 이원의반지름이의함수로주어졌다. 원의중심은축위에있고, 는의함수인 V자도형과원의반지름, 그리고두도형이접한다는조건에의해서결정된다. 즉, 을의함수로나타낼수있다. 012

14 자연계열논술문항파악하기 위에있고, 이원과접하는점 은 과같다. 원에접하는선은이접점에서원의반지름을연결한선분과직교 한다. 즉, 과 을지나는직선의기울기는 이라는조건을이용하여 을 의함수로나타낼수있다. [ 문제 2-1] 의답안을작성할때에는 과 을구하는과정을수리적으로유도하며, 유도과정을보충설명하여야한다. [ 문제 2-2] 를해결하기위해서는도형사이의관계로부터면적을구하는것을이해하여야한다. 문제에주어진면적을 과 으로나타 낼수있는방법은다양하다. 계산의오류를줄이기위해서는가장간단한방법을찾는것이중요하다. 원점과두점 을꼭 짓점으로하는삼각형의면적에서원, 축, 에의해만들어지는부채꼴의면적을빼고, 이것을 2배하여주어진도형의면적을구 할수있다. 위에서부채꼴의면적을구할때부채꼴의중심각는가축과이루는각과같다. 즉의관계가있다. 탄젠트함수의 역함수를정의하고, 반지름을이라하면, 부채꼴의면적을다음과같이의함수로나타낼수있다. 부채꼴의면적 = 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의면적을의함수이라하고, 위부채꼴의면적을이라하면 [ 문제 2-2] 에서구하고자하는면적을다음과같이나타낼수있다. 제시문 ( 다 ) 에서는문제 2 를해결하는데필요한무한수열의극한값에대한기본성질을설명하였다. 무한수열의극한값들은상수를곱하는 것과더하고빼는것이가능하다. 따라서구하고자하는면적의극한값을아래와같이나타낼수있다. 여기서주의할것은, 에서이기때문에, 이된다. [ 문제 2-2] 의답안을작성할때에는구하고자하는면적의부분면적들을의함수로나타내고, 부분면적들의극한값을조합하여전체 면적의극한값을구하는과정을수리적으로제시하고, 각단계마다보충설명을하여야한다. 013

15 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1] 예시답안 제시문 ( 나 ) 에주어진공식으로부터을얻으므로, 이다. 두점과을지나는직선은와직교하므로이다. 식을정리하여이다. 채점기준 의식을제시하면 +5점. 의식을제시하면 +5점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 2-2] 예시답안 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의넓이를이라하고, 이삼각형과내접원내부의교집합이이루는부채꼴 의넓이를이라하면이다. 이고, 내접원의반지름은으로수렴하므로이다. 따라서이다. 채점기준 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의넓이를계산하면 +5점. 삼각형의넓이와부채꼴의넓이를이용하여을계산하면 +5점. ( 논리적인 ) 다른방식으로을정확히계산하면 +10점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 014

16 자연계열논술문항파악하기 문제 3 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 함수는모든실수에대하여다음을만족한다. ( 나 ) 함수가구간에서연속일때, 다음을만족한다. ( 다 ) 두함수가미분가능할때, 합성함수의도함수는아래와같다. [ 문제 3-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진함수를구하는과정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제 3-2] 일때, 가취할수있는값의범위와의최댓값을구하는과정을논리적으로 설명하시오. [20 점 ] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 [ 문제 3-1] 은제시문 ( 나 ) 에서주어진적분과미분의관계를잘이해하고있는지묻고있는문제이다. 또한, 제시문 ( 다 ) 에서설명한합성함수 의미분에대해서도잘이해하고있어야한다. 의원시함수를라하면다음을만족한다. 합성함수를미분하면이므로함성함수을미분하면 를얻는다. 상수 를얻는다. 즉, 이다. 은미분하면 0 이므로위의식을미분하여 이라하면, 이므로 따라서, 이다. 015

17 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2] 는이차함수의최대 - 최소문제, 산술기하평균에관한절대부등식, 합성함수등의이해를통하여이들을통합적으로적용하여문 제를해결할수있는지평가하고있는문제이다. 에서대신에를대입하여 또하나의식을얻는다. 이므로을얻는다. 두양수에대하여가항상성립하므로, 가양수이면이성립한다. 라놓으면은위로볼록한이차함수의그래프를가지고가 2 에가까울수록큰값을가진다. 이므로일때, 를최댓값으로가진다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 의원시함수를라하면다음을만족한다. 양변을미분하여를얻는다. 이므로이다. 채점기준 의원시함수를고려하여를얻으면 +5점. 식을정리하여을정확히얻으면 +5점. ( 논리적인 ) 다른방식으로을정확히계산하면 +10점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 016

18 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2] 예시답안 에대신를대입하여또하나의식를얻는다. 두식을연 립하여을얻는다. 일때, 이다. 는대칭축이이고위로볼록한이차함수의그래프를가지므로 는일때, 최댓값를가진다. 별해 에대신에를대입하여또하나의식 를얻는다. 두식을연립하여을얻는다. 이므로이다. 모든에대하여이므로을만족하는는의근이다. 과 으로부터를얻고이때는최댓값를가진다. 채점기준 을정확히계산하면 +7 점. 일때, 가취할수있는값의범위를정확히계산하면 +6 점. 는최댓값을정확히계산하면 +7 점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 017

19 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I/ 의학부 ) 자연계열논술문항파악하기 문제 1 ( 자연계열 I) 공과주사위를이용하여상금이결정되는게임이있다. 바구니안에 1~6까지번호가하나씩적혀있는 6개의공이들어있다. 이바구니에서임의로한개의공을꺼낸후, 주사위를던져서 4 이하의눈이나오면꺼낸공의번호에 1000원을곱한금액을상금으로받으며, 주사위를던져서 5 또는 6의눈이나오면바구니에서꺼낸공의번호에관계없이 2000원을상금으로받는다. 특별히주사위의눈이공의번호와일치할경우, 상금은두배가된다. 이게임에서상금의기댓값을구하시오. 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 이번문제는이산확률변수의기댓값을구하는문제이다. 공과주사위를이용하여상금이결정되는게임에서받게되는상금을확률변수 W 라고놓으면이확률변수가취할수있는값은두가지경우로나누어서생각해야한다. 한가지는특별상금이아닌일반상금을받는경우이고, 다른한가지는특별상금을받는경우이다. 일반상금을받는경우받을수있는상금은 1,000원, 2,000원,, 6,000원이고, 특별상금을받는경우상금이일반상금의두배가되므로일반상금을제외하고추가적으로받게되는상금은 1,000원, 2,000원, 3,000 원, 4,000원이다. 각각의상금을받을확률을계산하기위하여각각의상금을받게되는경우를생각해보면다음과같다. 상금이 1,000원인경우는, 바구니에서 1번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 4 이하의눈이나오는경우이고, 그확률은공을꺼내는사건과주사위를던지는 사건이서로독립이므로 이다. 마찬가지로상금이 3,000 원,, 6,000 원일경우도각각확률은 4/36 으로같다. 하지만상금이 2,000 원인경우는, 바구니에서 2 번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 4 이하의눈이나오는경우또는꺼낸공의번호와상관없이 주사위를던져서 5 나 6 의눈이나오는경우이므로, 해당확률은이다. 따라서, 특별상금을제외한일반상금의기댓값 ( ) 을 구하면다음과같다. ( 원 ) 특별상금을받는경우에서, 추가상금이 1,000원인경우는, 바구니에서 1번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 1의눈이나오는경우이다. 따라서해당확률은이된다. 마찬가지로, 추가상금이 3,000원, 4,000원인경우도각각확률은 1/36으로같다. 반면에, 추가상금이 2,000원인경우는, 바구니에서 2번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 2의눈이나오는경우또는바구니에서 5 가적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 5의눈이나오는경우또는바구니에서 6이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 6의눈이나오는경우이므로, 해당확률은이다. 따라서, 특별추가상금의기댓값 ( ) 은다음과같이구할수있다. ( 원 ) 018

20 자연계열논술문항파악하기 이게임에서받게되는상금의기댓값 ( ) 은두기댓값을합해서구하면다음과같다. ( 원 ) 2. 문항별예시답안및채점기준 예시답안 바구니에서번이적힌공을꺼내고주사위가 1~4 의눈이나오면상금은 원이고, 주사위의눈이 5 또는 6 이면 2000 원이므 로, 특별상금을제외한기대상금 ( ) 은다음과같다. ( 원 ) 특별상금은각각 1/36 의확률로공의번호가 ( ) 번의경우원이추가되고, 공의번호가 5 번또는 6 번일경우 2,000 원이추가로주어진다. 따라서특별상금의기댓값 ( ) 은다음과같다. ( 원 ) 따라서, 총상금의기댓값 ( ) 은, ( 원 ) 채점기준 확률및기댓값에대한개념적이해가있다고판단된다 : +5점 36가지의사건과적절한확률값 (1/36) 을연관시킨다 : +3점 관련상금을곱하는시도를한다 : +2점 특별상금을제외한기본상금에대한기댓값을정확히계산 : +10점 주사위의눈 1~4에대하여각각 1000원씩곱하여상금계산 : +3점 5 또는 6일때는 2000원으로상금계산 : +3점 위의상금들을관련확률 (1/36) 과곱하여기댓값을계산 : +4점 특별상금에대한기댓값을정확히계산 : +5점 특별상금을기본상금의 2배로계산 : +2점 적절한확률 (1/36) 을곱하여계산 : +3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 019

21 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 1 ( 의학부 ) 자연계열논술문항파악하기 당신이아주깜깜한방에갇혔다고가정해보자. 당신의바로앞에는두개의단추 A와 B가있다. 단추 A를누를경우 1/3 의확률로 2분후에방에서탈출할수있으나, 2/3의확률로는탈출할수없으며 5분의시간이지난후다시두단추중하나를누를수있게된다. 단추 B를누를경우, 방에서탈출할수없으며 3분의시간이지난후다시두단추중하나를누를수있다. 이전에누른단추를구별할수없고매번단추를임의로선택하여누른다고가정할때, 방에서탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값을구하시오. 1. 문제의배경지식 이번문제는확률변수가취하는값이유한개는아니지만자연수와같이일일이셀수있는이산확률변수의기댓값 ( 교학사적분과통계, pp ) 을구하는문제이다. 앞에서이미설명한배경지식외에이문제를풀기위해알아야할개념들에관한배경설명은다음과같다. 주사위나동전을여러번던지는경우와같이어떤시행을반복할때, 매번일어나는사건이서로독립인경우그러한시행을독립시행이라고한다. 매회의시행에서사건 A가일어날확률이 p라할때, n회의독립시행에서사건 A가 r회일어날확률은 ( 단, ) 이다. 자연수 n에대하여다항식을전개한식에서항 ( 단, ) 은 n개의일차식중에서 r개의일차식에서는 b 항을선택하고, 나머지개의일차식에서는 a항을선택하면얻을수있으므로그계수는과같다. 따라서다음의전개식을얻을수있고, 이식을이항정리라고한다. ( 교학사적분과통계, II 순열과조합, pp. 92) 첫째항이이고, 공비가인무한등비수열에서얻은무한급수 를첫째항이이고공비가인무한등비급수라고한다. 무한등비급수의수렴또는발산을알아보자. ( 지학사수학 I, IV 수열의극한, pp ) 020

22 자연계열논술문항파악하기 ❶ 일때 위의무한등비급수의제항까지의합은다음과같다. 그런데 이므로 따라서무한등비급수는수렴하고, 그합은이다. ❷ 일때 이므로위의무한등비급수는발산한다. 2. 문제의분석및풀이과정 이번문제는방에서탈출하기위해서두개의단추중하나를누르고, 주어진확률로탈출할수도있고다시처음상황으로돌아갈수도있는상황에서, 탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값을구하는문제이다. 탈출하기까지걸리는시간은 A단추를눌러서한번에탈출하는경우 2분이다. 그러나, A단추를누르고한번에탈출하지못하게되면먼저 5분이지나고다시처음상황으로돌아가게되고, B단추를누르면탈출하지못하게되고 3분이지나고다시처음상황으로돌아가게된다. 두번째시도에서다시앞의경우가반복되게되므로, 각각의시도에서가능한경우탈출시간을다음과같이고려할수있다. ❶ 1번째시도에서탈출 : 2분 ❷ 2번째시도에서탈출 : 1번째시도에서 A단추를누른경우 : = 7분 1번째시도에서 B단추를누른경우 : = 5분 ❸ 3번째시도에서탈출 : 1번째시도에서 A단추를누르고, 2번째시도에서 A단추를누른경우 : 5 x = 12분 1번째시도에서 A단추를누르고, 2번째시도에서 B단추를누른경우 : = 10분 1번째시도에서 B단추를누르고, 2번째시도에서 A단추를누른경우 : = 10분 1번째시도에서 B단추를누르고, 2번째시도에서 B단추를누른경우 : 3 x = 8분 위의경우에서볼수있는것처럼번째시도에서탈출하는경우에가능한탈출시간을계산하기위해서는 1 번째시도부터번째 시도까지의 A 단추와 B 단추를누른경우를다고려해야한다. 설명의편의상, A 단추를눌러서탈출하는경우를 c, 다시처음상황으로돌아 오는경우를 a 라고두고 ; B 단추를눌러서다시처음상황으로돌아오는경우를 b 라고두자. 번째시도에서탈출하는경우에가능한 각각의경우 a, b, c 가몇번씩걸릴지와그경우의탈출시간을다음과같이고려할수있다. 021

23 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 1. a : 번, b : 0번, c : 1번 분 2. a : 번, b : 1번, c : 1번 분 3. a : 번, b : 2번, c : 1번 분. a : 번, b : 번, c : 1번 분 a : 0번, b : 번, c : 1번 분 각각의탈출시도에서일어날수있는사건인 a, b, c가일어날확률은주어진문제로부터각각,, 임을알수있다. 번에탈출한다고가정하면, a: 번, b: 번, c: 1번의과정을거쳤다고볼수있다 ; 단,. 이에대한확률은번째시도에서사건 c가일어나고, 1번째시도부터번째시도까지는탈출하지못하므로, 그중에서번의시도를선택해서사건 a가일어나고, 나머지시도에서는사건 b가일어난것으로생각할수있다. 각각의탈출시도는서로독립이므로독립시행의확률구하는공식을적용하여다음과같이구할수있다.,. 이경우에대한탈출시간은 ( 분 ) 이다. 따라서, 탈출시간의기댓값는다음과같은식으로계산될수있다 ; 큰괄호안의두번째, 세번째합은다음과같은이항정리를적용하여정리할수있다. 여기서, 이다. 반면에, 첫번째합은위의이항정리를변형해서구해야한다. 위식의양변을에대하여미분하면다음과 같은식이구해진다. 따라서, 기댓값는다음과같이정리할수있다. 위식에서두번째합은첫째항이 1 이고공비가인무한등비급수이다. 이므로, 이무한등비급수는수렴하며그값은 022

24 자연계열논술문항파악하기 이다. 반면에, 첫번째합은무한등비급수를변형해서구해야한다. 앞에서와마찬가지로위식의양변을 에관하여미분하면다음과같 은식이구해진다. 따라서, 기댓값는다음과같이정리할수있다. 즉, 문제에서구하는방에서탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값은 21 분이다. 3. 예시답안및채점기준 예시답안 설명의편의상, A단추를눌러서탈출하는경우를 c, 다시처음상황으로돌아오는경우를 a라고두고 ; B단추를눌러서다시처음상황으로 돌아오는경우를 b라고두자. 이들에대한확률은각각,, 이다. 번에탈출한다고가정하면, a: 번, b: 번, c: 1번의과정을거쳤다고볼수있다 ; 단,. 따라서, 이에대한확률은,. (*1) 이경우에대한탈출시간은이다. 따라서, 탈출시간의기댓값는다음과같은식으로계산될수있다 ; (*2) (*3) (*4) 023

25 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 등식 (*3) 을위한보조식 자연계열논술문항파악하기 이항정리 : 에관하여이항정리의양변을미분 : 등식 (*4) 를위한보조식 무한등비급수 : 에관하여위식의양변을미분 : 채점기준 다음과같이배점한다 ( 개념이해 : 5점, 계산 : 15점 ) A. 확률및기댓값에대한개념적이해 : +5점 3가지의사건에대한이해를함 : +2점 3가지각경우에대한관련확률을계산 (1/6, 1/3, 1/2) 함 : +3점 B. 무한등비급수를이용하여기댓값계산 : 15점 (*1) 과같이탈출하는경우에대한상황의확률을계산 : +5점 탈출하는경우의탈출시간을 와같이표현 : +5 점 (*2) 와같이 의형태로무한히반복될수있는상황으로연결하여기대값을계산 : +5 점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 024

26 자연계열논술문항파악하기 문제 2 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 다항식를다항식로나누었을때의몫을, 나머지를이라하면 ( 단, 의차수는의차수보다낮다.) 의꼴로나타낼수있다 ( 나 ) 에대한두다항식 ( 단, ) 에대해의꼴로나타내어지는식을유리식이라한다. 특히, 이면는다항식이다. 예를들어, 아래의식은모두유리식이다. ( 다 ) 일때, 이성립한다. [ 문제 2-1 ( 자연계열 I)] 다항식을으로나눈나머지를라할때, 계수를각각구하시오. [10 점 ] [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 다항식을으로나눈나머지를라할때, 계수를각각에관한식으로표현하시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 가에대한유리식이되도록상수를정하시오. [10 점 ] 025

27 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1 ( 자연계열I)] 은다항식의사칙연산을잘이해하고있는가묻고있는문제이다. 특히, 다항식의나눗셈을몫과나머지로표현할수있고이를미분과연계하여통합적으로문제를해결할수있는지평가하고있다. 다항식을으로나눈몫을라하면, 로쓸수있다. 양변을미분하면, 이다. 여기서, 로놓으면 를얻는다. 다시미분하면, 이다. 위에서얻은아래의세식에을대입하자. 그러면, 을얻는다. 이로부터을구할수있다. [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 는 [ 문제 2-1 ( 자연계열I)] 과마찬가지로다항식의사칙연산을잘이해하고있는가묻고있는문제이다. 특히, 다항식의나눗셈을몫과나머지로표현할수있고이를미분과연계하여통합적으로문제를해결할수있는지평가하고있다. 난이도조절을위하여다항식의차수를일반화하였다. 다항식을으로나눈몫을라하면, 로쓸수있다. 양변을미분하면, 이다. 여기서, 로놓으면를얻는다. 026

28 자연계열논술문항파악하기 다시미분하면, 이다. 위에서얻은아래의세식에을대입하자. 그러면, 따라서이다. [ 문제 2-2] 는분수의곱셈을분해하는부분분수법과적분을연계하여문제를출제하였다. 연산능력과통합적사고능력이있는지평가하 고있는문제이다. 을이용하여을다음과같이전개할수있다. 027

29 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 따라서, 자연계열논술문항파악하기 즉, 이다. 양변을적분하면, 이므로가에대한유리식으로주어지려면, 이어야한다. 즉, 이다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 2-1 ( 자연계열 I)] 예시답안 라하고라하자. 을대입하여를얻는다. 한편, 따라서이다. 028

30 자연계열논술문항파악하기 [ 별해 ] 다음의조립제법을이용하여을얻는다. 채점기준 를계산하면 +2점. 를계산하면 +3점 를계산하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 029

31 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 라하고라하자. 을대입하여를얻는다. 한편, 따라서 이다 채점기준 를계산하면 +2점. 를계산하면 +3점 를계산하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 030

32 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-2] 예시답안 따라서가에대한유리식으로주어지려면이어야한다. 즉, 이다. 채점기준 를계산하면 +2 점. 를계산하면 +3 점. 를계산하면 +3점. 를계산하면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 031

33 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 3 자연계열논술문항파악하기 다음제시문을읽고문제에답하시오. 아래왼쪽그림에서원을포함하는평면 과이평면의 축을공유하는평면 이있고, 두평면이이루는각이 이다. 평면 위의원을평면 위에정사영하면타원이되고, 이타원의넓이는원의넓이에 를곱한것 과같다. 평면 위에반지름이 이며, 중심이원점인원이있을때, 이원위의점 의좌표 는다음과같다. 여기서는원점과점를연결한선이축과이루는양의각도이다. 이원을평면위에정사영하면장축의길 이가이고, 단축의길이가인타원이된다. 이때이다. 원위의점는타원위의점로정사영 되고, 타원을포함하는평면의좌표계에서의좌표는다음과같다. 평면위의좌표계와평면위의좌표계를일치시켜타원과원의관계를나타내면아래오른쪽그림과같다. < 추가지문 의학부문제에만해당 > 함수, 가일대일대응일때, 의각원소에대하여가되는의원소가하나씩존재한다. 그러므로의각원소에대하여이러한를대응시키면에서로의새로운함수가얻어진다. 이때이새로운함수를의역함수라하고기호로다음과같이나타낸다., 032

34 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-1] 제시문에서는선분이축과이루는양의각도이다. 제시문에근거하여의좌표를로나타내시오. 단, 이다. [10 점 ] [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 제시문에주어진타원의장축의길이가, 단축의길이가 2, 일때, 제시문에근거하여부채꼴 의면적 을구하시오. [20점] [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 제시문에주어진타원에서임의의 에대해부채꼴 의면적을위제시문에근거하여구하시오. 단, 이다. [20점] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 좌표평면위에서중심이원점이고, 반지름의길이가인원의방정식은이다. 원점과점 를연결한선이 축과이루는각을 라고할때, 이를매개변수로하여원위의점 의좌표 를다음과같이나타낼 수있다. 033

35 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 장축의길이가, 단축의길이가이고, 장축의중간지점과단축의중간지점이원점인타원의방정식은 이다. 타원위의점의좌표는어떤각를매개변수로하여다음과나타낼수있다. 여기서는원점과를연결한선이축과이루는각와같지않다. 와사이의관계그리고원과타원사이의관계는다음에 설명하는정사영의원리를이용하여구할수있다. 일반적으로도형에속하는각점의평면위로의정사영전체로이루어진도형을도형의평면으로의정사영이라 한다. 그림에서직사각형를포함하는평면과직사각형를포함하는평면이이루는예각의크기를라고하자. 는의정사영 이고, 두도형의면적크기는다음과같은관계가있다. 의면적 = 의면적 평면위에있고, 평면과의교선과수직한선분, 예를들면직사각형의짧은변을평면으로정사영하면선분가된다고할때, 두선불의길이는다음과같은관계가있다. 의길이 = 의길이평면위에있는선분중두평면의교선과평행한것을평면으로정사영하면길이가변하지않는다. 034

36 자연계열논술문항파악하기 문제에서평면위에두평면사이의교선을축, 이에수직인직선을축으로하는좌표계가있고, 원점을중심으로하고, 반지름 이인원이있다. 이원을평면위로정사영하면앞서설명한선분의정사영정리에따라장축의길이가이고, 단축의길이가 인타원이된다. 이타원의면적은도형의정사영정리에따라원의면적에 를곱한것과갈다. 원의일부를정사 영하여도이면적의비는같다. 문제에서원위의점 와타원위의점 사이에는다음과같은관계가있다. 그리고 또한 이고, 일때위의관계를이용하면, 다음의식을얻을수있다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 (1) (2) (3) 일때, (4) 035

37 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-1] 별해 자연계열논술문항파악하기 에대해의역함수또는를정의하자. 식 (1) 로부터, 또는 (5) (6) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +2점. 식 (2) 를제시하면 +3점. 식 (3) 을제시하면 +3점. 식 (4) 를제시하면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (1) 을제시하면 +2점. 식 (5) 를제시하면 +4점. 식 (6) 을제시하면 +4점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 036

38 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 예시답안 일때, 원에서의각도를구하면다음과같다.,, (1) 반지름이인원에서, 중심각이인부채꼴의넓이는다음과같다. (2) 이부채꼴을타원의평면위로정사영하면, 정사영된부채꼴의넓이는제시문에근거하여다음과같이구할수있다.,, 을입력하면다음과같다. (3) (4) [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 별해 아래그림에서는직선의식과타원의식의교점이다. (5) 삼각형의넓이는다음과같다. 부채꼴의넓이는다음과같이구할수있다. (6) 식 (6) 에서로치환하면다음과같이적분식을정리할수있다. (7) 부채꼴의넓이는의넓이와의넓이를더한것과같다. (8) 037

39 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 채점기준 자연계열논술문항파악하기 식 (1) 을제시하면 +5점. 식 (2) 를제시하면 +5점. 식 (3) 을제시하면 +5점 식 (2) 를제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (5) 를제시하면 +5점. 식 (6) 을제시하면 +5점. 식 (7) 을제시하면 +5점 식 (8) 을제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 예시답안 제시문 ( 가 ) 에근거하여다음식을유도할수있다., (1) 제시문 ( 나 ) 에근거하여, 에서의역함수또는를정의하면, 위의 (1) 로부터임의의, 에대해원에서의각도를다음과같이구할수있다. 또는 (2) 반지름이인원에서, 중심각이인부채꼴의넓이는다음과같다. (3) 이부채꼴을타원의평면위로정사영하면, 정사영된부채꼴의넓이는제시문 ( 가 ) 에근거하여다음과같이구할수있다. (4) 038

40 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 별해 아래그림에서는직선의식과타원의식의교점이다. 의좌표는다음과같다. (5) 삼각형의넓이는이다. 부채꼴의넓이는다음과같이구할수있다. (6) 여기서로치환하고, 에대해의역함수또는를정의하면, 이다. 이라하면, 식 (6) 은다음과같다. (7) 부채꼴의넓이는의넓이와의넓이를더한것과같다. (8) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +5. 식 (2) 를제시하면 +5. 식 (3) 을제시하면 +5. 식 (4) 를제시하면 +5. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (5) 를제시하면 +5점. 식 (6) 을제시하면 +5점. 식 (7) 을제시하면 +5점 식 (8) 을제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 039

41 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 II) 자연계열논술문항파악하기 문제 1 50 m 전방에한변의길이가 8 m인정사각형의과녁이있고, 정사각형의중심을기준으로각각반지름이 1 m, 2 m, 3 m 인원판 A, B, C가있다. 한개의화살을쏘아원판 A에맞힐경우 10만원의상금을, 원판 A를제외한원판 B에맞힐경우 5만원의상금을, 원판 B를제외한원판 C에맞힐경우 3만원의상금을받는다고하자. 원판 C를제외한과녁에맞힐경우에는상금이없다. 이게임의참가비가만원일때, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값이 0 이상이기위한의최댓값을구하시오. 단, 화살은언제나과녁안에맞으며, 과녁안의모든부분에같은확률로맞는다. 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 한개의화살을쏘아과녁의특정위치에맞힐경우정해진상금을받는게임에서상금에서참가비를뺀이익의기댓값이 0 이상이되기위한참가비의최댓값을구하는문제이다. 먼저상금의기댓값을구하기위해, 이게임에참가했을때받을수있는상금을확률변수 W라고하자. 이확률변수가취할수있는값은 10만원, 5만원, 3만원, 0원이다. 확률변수 W가이값을가지게되는경우는각각다음과같다. 한개의화살을쏘았을때원판 A에맞히는사건, 원판 A를제외한원판 B에맞히는사건, 원판 B를제외한원판 C에맞히는사건, 원판 C를제외한과녁에맞히는사건이다. 각각의사건이발생할확률은해당과녁의 ( 전체정사각형과녁의넓이에대한 ) 상대적넓이로계산할수있다. 즉, 모든확률의분모는전체정사각형과녁의넓이가되고, 한변의길이가 8 m인정사각형의과녁이므로그넓이는 64 m 2 이다. 또한, 각각의확률의분자는해당과녁의넓이가되고, 원판 A, B, C는정사각형의중심을기준으로각각반지름이 1 m, 2 m, 3 m인원이므로해당과녁의넓이는각각 m 2 이다. 따라서, 확률변수 W가 10만원, 5만원, 3만원, 0원일확률은각각다음과같다. 그러므로, 이게임의기대상금은 이다. 이게임의참가비가만원이므로, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값은이고, 이값이 0 이상이기위한의최댓값은 ( 만원 ) 이다. 참고 : ( 만원 ) = 약 19,634 원. 040

42 자연계열논술문항파악하기 1. 문항별예시답안및채점기준 예시답안 기대할수있는상금은세가지종류 (10 만원, 5 만원, 3 만원 ) 가있고, 이들에대한확률은각각해당과녁의 ( 전체정사각형과녁의넓이에 대한 ) 상대적넓이로계산할수있다. 따라서, 기대상금은 따라서, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값은, 이므로기댓값이 0 이상이기위한의최댓값은 ( 만원 ) 이다. 참고 : ( 만원 ) = 약 19,634 원. 다음과같이기대이익을한꺼번에계산할수도있다. 채점기준 확률및기댓값에대한개념적이해 : +5점 3가지과녁의확률값계산을시도함 : +3점 관련확률과상금을곱하는시도를함 : +2점 상대적넓이와확률과의관련성 : 10점 각과녁의넓이를정사각형넓이로나눔 : +5점 한원판에포함되어있는다른원판의넓이를제외함 : +5점 상금에서참가비를뺀이익이 0이상이어야함을고려 : +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 041

43 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 2 자연계열논술문항파악하기 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 일때, 은일정한값에수렴함이알려져있으며, 그극한값을로나타낸다. 즉, 이다. ( 나 ) 수렴하는두수열과연속함수에대하여다음의등식이성립한다. ( 다 ) 좌표평면위의한점과직선사이의거리는다음과같다. [ 문제 2-1] 다음수열의번째항을이라할때, 을구하시오. [10 점 ] 0.1, 0.101, , , [ 문제 2-2] [ 문제 2-1] 에서정의된수열의첫째항부터번째항까지의합을이라하자. 점과직선사이의거리가최소가되는자연수을구하시오. [10 점 ] 042

44 자연계열논술문항파악하기 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 [ 문제 2-1] 은등비수열의일반항을구할수있고극한을이해하고있는지묻는문제이다. 문제해결을위하여효율적인연산능력이요구된다. 이라하면는순환소수 이다. 즉, 이다. 따라서 [ 문제 2-2] 는등비수열의합, 점과직선과의거리, 이차함수의최대 - 최소를통합적으로사고하여주어진문제를해결해야한다. 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 첫째항이이고공비가인등비수열의 번째항까지의합을구하는공식은 이므로 이다. 등비수열의합의공식을한번더사용하여다음의식을얻는다. 즉, 이다. 제시문에주어진점과직선사이의거리공식을이용하여점과 직선사이의거리를다음과같이계산할수있다. 에서은이므로에관계없이매우작은수이고 은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과 직선사이의거리는일때최소이다. 043

45 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1] 예시답안 이라하면는순환소수이다. 즉, 이다. 따라서 별해 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 이다. 따라서 044

46 자연계열논술문항파악하기 채점기준 를계산하면 +4 점. 를계산하면 +4 점 를계산하면 +2 점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 2-2] 예시답안 점과직선사이의거리는다음과같다. 에서은에관계없이매우작은수이고은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과직선사이의거리는일때최소이다. 045

47 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 2-2] 별해 자연계열논술문항파악하기 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 이다. 따라서 이다. 즉, 이다. 점과직선사이의거리는다음과같다. 에서은에관계없이매우작은수이고은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과직선사이의거리는일때최소이다. 채점기준 을계산하면 +3점. 을계산하면 +3점. 을계산하면 +4점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 046

48 자연계열논술문항파악하기 문제 3 다음제시문 ( 가 ), ( 나 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 직각삼각형과한꼭짓점을공유하는직사각형을이용하여탄젠트함수의덧셈정리를그림으로나타내면 다음과같다. ( 나 ) 직각삼각형을포함하는최소정사각형은다음그림과같다. 즉, 직각삼각형의최소각에있는꼭짓점 O 와정사각 형의한꼭짓점을일치시켰을때, 직각삼각형의다른두꼭짓점 P 와 Q 는정사각형의두변위에있어야한다. [ 문제 3-1] 제시문 ( 나 ) 의그림에서직각삼각형 OPQ 의세변의길이가 3, 4, 5 라고하자. 이직각삼각형을포함하는최소 정사각형의한변의길이를위제시문에근거하여구하시오. [10 점 ] [ 문제 3-2] 제시문 ( 가 ) 에근거하여다음그림에서 A 와 B 의길이를구하시오. [20 점 ] 047

49 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 제시문에서직각삼각형과이를포함하며한꼭짓점을공유하는최소직사각형을이용하여탄젠트함수의덧셈정리를그림으로나타내었다. 이를밑변의길이가인직사각형을이용하여일반화하면다음그림과같다. 선분의길이는, 선분의길이는, 와가닮음이므로선분의길이는, 선분의길이는이다. 직각삼각형을포함하는최소정사각형은제시문 ( 나 ) 에주어진것과같이직각삼각형과한꼭짓점을공유하며정사각형의두변위에직각삼각형의꼭짓점이있어야한다. 제시문 ( 나 ) 에주어진경우는위에보인직각삼각형과이를포함하는최소직사각형의특수한형태이기때문에, 위에서구한선분들사이의관계를이용할수있다. 탄젠트함수의 3배각공식은제시문 ( 가 ) 에있는탄젠트함수의덧셈정리를두번이용하여구할수있다., 048

50 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 가 ) 에주어진그림을바탕으로탄젠트함수의 3 배각공식을보여주기위해서는과을아래그림처럼나타 낼수있다. 오른쪽그림에서, 밑변의길이가일때과, 그리고을구할수있다. 이것을이용하여왼쪽그림 에서 C 를구할수있고, 이어서 A 와 B 를구할수있다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여아래와같은그림을그릴수있다. 위왼쪽그림에서다음과같은식을유도할수있다.,,, (1) (2) (3) 식 (3) 의에대한방정식으로부터다음을구할수있다. (4) 049

51 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-1] 별해 1 위오른쪽그림에서다음식을유도할수있다. 자연계열논술문항파악하기 (5) 식 (5) 에서다음관계를유도할수있다. (6) (7) (8) 식 (7) 의에대한방정식으로부터다음을구할수있다. (9) [ 문제 3-1] 별해 2 위오른쪽그림에서삼각형의닮은꼴을이용하여다음비례식을유도할수있다. (10) 식 (1) 로부터다음의관계식을유도할수있다. (11) 피타고라스정리를이용하여다음의관계식을유도할수있다. (12) (13) 식 (10) 을식 (11) 에대입하여정리하면다음과같다. (14) (15) 식 (13) 을식 (12) 를이용하여정리하면다음과같다. (16) 식 (14) 를식 (12) 에대입하면다음을구할수있다. (17) 050

52 자연계열논술문항파악하기 채점기준 식 (1) 을제시하면 +2.5점 식 (2) 를제시하면 +2.5점 식 (3) 을제시하면 +2.5점 식 (4) 를제시하면 +2.5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해 1 채점기준 식 (5) 을제시하면 +2점 식 (6) 를제시하면 +2점 식 (7) 을제시하면 +2점 식 (8) 를제시하면 +2점 식 (9) 를제시하면 +2점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해 2 채점기준 식 (11) 을제시하면 +2점 식 (14) 를제시하면 +2점 식 (15) 를제시하면 +2점 식 (16) 을제시하면 +2점 식 (17) 을제시하면 +2점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 051

53 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-2] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 아래그림에서와같이가장상단삼각형에포함하는직사각형의아랫변 C 의길이는제시문 ( 가 ) 에근거하여다음과같다. 변 C 의길이 = (1) 가장상단삼각형의아랫변 D 의길이는다음과같다. 변 D 의길이 = (2) 가장상단삼각형의짧은변 E 의길이는다음과같다. 변 E 의길이 = (3) B의길이는 (4) A의길이는 (5) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +4점 식 (2) 를제시하면 +3점 식 (3) 를제시하면 +3점 식 (4) 를제시하면 +5점 식 (5) 를제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 052

54 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도부터논술전형이개별교과형으로변경됨에따라과학선택교과목의하나인물리논술시험이 2015 학년도모의논술, 2015 학 년도수시일반논술자연계열 I/ 의학부, 자연계열 II 등 3 회출제되었다. 이하에서는기시행되었던물리논술시험의제시문과문항설명, 예 시답안과채점기준을통해, 과학선택으로물리를고려하고있는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. [ 참고도서 ] 고등학교물리I : 교학사, 금성출판사, 천재교육고등학교물리II : 교학사 2015 학년도모의논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 물체가움직이면시각에따라위치가변하므로움직이는물체의위치를시각의함수로나타낼수있다. 이위치의변화를변위라고한다. 물체에크기와방향이일정한힘을가하여물체가힘의방향으로이동했을때물체에한일의양은물체의변위에힘을곱한것이다. ( 나 ) 순간속도는시간-위치그래프의특정시각에서접선의기울기이며, 속도의순간적인값을의미한다. ( 다 ) 비스듬히위로던진물체는포물선을그리며날아간다. 포물선운동은중력에의한자유낙하운동의하나이다. 포물선운동을하는물체의변위를분석하면, 포물선운동은수직방향으로는중력에의한등가속도운동이고수평방향으로는등속도운동임을알수있다. 053

55 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-1] 마찰이없는공간에정지해있던질량 1 kg 인물체에일정한크기의힘이가해져힘의방향으로아래그래프 와같은운동을하였다. 시간 5 초 ~10 초사이물체에해준일의양을구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 일의단위는 J( 줄 ) 을사용하시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 시각 t = 0 에서 10 m/s 의속력과의각도로원점에서던져진물체가그림 A와같이중력에의해포물선운동을하였다. 그림 B의그래프는포물선운동을하는동안원점에서물체까지의직선거리를시간에따라측정한결과이며, 기울기가순간적으로 0 이되는상황이 t = t 1 에서 1회관측되었다. 이물체가 y = 0 위치에도착했을때 x 방향도달거리를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 공기저항은무시하고, 중력가속도는 10 m/s 2 으로계산하시오. [20점] 그림 A 그림 B 1. 논제의분석 2015 학년도물리모의논술에출제된문항들은 XX 를구하는과정을논리적으로설명하라 의형식으로되어있다. 이러한형식의문항들 은 설명및정답요구형 으로분류할수있는문항들로서개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식 인통합형논술과동일한형식을갖는다. 설명및정답요구형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 054

56 자연계열논술문항파악하기 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고진행과정을각단계별로설명해야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를구하는과정을논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. 2. 제시문의분석및배경지식 ( 가 )-( 다 ) 의제시문은물리I의첫단원을구성하고있는시간, 공간, 운동 ( 교학사물리I, pp , p. 51) 과물리II의첫단원을구성하고있는힘과운동 ( 교학사물리II, pp ) 에서각각발췌되었는데, 개별교과형출제가시행되면서물리II의내용이출제에포함될수있다는점을보여준다. 제시문의주제인속도, 가속도, 운동량, 힘등은물리학, 특히역학의근본개념들로서고전물리학의체계를세운뉴턴의 자연철학의수학적원리 (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687) 에서운동량과가속도, 힘의관계가수학적으로정의된후이를통해대부분의가시적인자연현상이성공적으로설명되었다. 제시문에서주어진개념들에관한배경설명은다음과같다. 제시문 ( 가 ) 에서는변위와일을, 제시문 ( 나 ) 에서는순간속도를설명하고있다. 시간은두시각의사이, 거리는두위치의사이에해당하는데, 일반적으로어느물체가일정한시간동안에움직인거리의비율을빠르기라고한다. 즉물체의운동을비교할때, 같은시간동안에더멀리이동한물체가더빠르다고한다. 물체가움직이면시각에따라위치가변하므로움직이는물체의위치를시각의함수로나타낼수있다. 즉위치 S를 S(t) 로나타낼수있다. 이때위치의변화를변위라고한다. 예를들어어떤물체가시각 t 1 에서 S 1 = S(t 1 ) 이라는곳에있다가시각 t 2 에서 S 2 = S(t 2 ) 라는곳으로이동했다고가정하자. 두지점사이의변위는이고, 두지점을이동하는데걸린시간은이다. 여기서주의할점은변위와이동거리의차이이다. 변위는시작지점과끝지점에의해서만정의되는개념으로서 t 1 과 t 2 사이의시간동안물체가어떠한경로로진행하였는가는변위에아무런영향을주지않는다. 변위는 (+) 또는 ( ) 의부호를모두가질수있는벡터로서, 방향은 S 1 에서 S 2 를향하는방향이고크기는 S 1 과 S 2 를연결한직선거리이다. 이에비해이동거리는 S 1 에서출발한물체가중간에어떠한경로를거쳐 S 2 에도달했는지에따라달라지며, ( ) 의부호를가질수없는스칼라이다. 변위와이동거리가같은경우는물체가 1차원인직선위에서운동의방향이변하지않는상태로움직이는경우뿐이다. 참고로, 고등학교물리교육과정의역학부분에서는물리I에서 1차원운동을, 물리II에서 2차원운동을공부한다. 소요된시간에대한변위의비율값을평균속도라고하며다음과같이정의된다. 시간에대한위치를그래프로나타냈을때두지점사이의기울기가평균속도에해당하며, 단위는 m/s, km/h 등을사용한다. 두물체의움직이는빠르기가일정하지않을때에는평균속도로비교하기가쉽지않은데, 어느시점에서비교하느냐에따라결과가달라지기때문이다. 이럴때에는어느특정시각의순간적인값으로비교할수있다. 따라서속도를순간적인값으로계산할필요가있을때, 걸린시간을최소화한시간동안의물체의변위비율을구하게된다. 이값을순간속도라고한다. 즉, 순간속도는위치-시간그래프에서특정시각의접선의기울기에해당한다. 순간속도는변위와관련된물리량으로서벡터이다. 일반적으로특정시각의속도란순간속도를가리킨다. 여기서주의할점은속도와속력의차이이다. 만일일정시간동안방향을바꿔가며운동하였을경우변위와실제로움직인이동거리는다르다. 변위대신물체의이동거리를대입하여빠르기를계산한스칼라값을속력이라하며, 속도와동일한단위를사용한다. 055

57 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 공이나운동선수가점점더빨라지는운동을한다고하자. 이러한경우에는속도가일정하지않고시각에따라변하므로속도를시각의 함수 v(t) 로나타낼수있다. 이때속도가변화하는비율을가속도라고한다. 평균속도의경우와같은방식으로평균가속도를다음과같 이정의할수있다. 순간속도와마찬가지로순간가속도를정의할수있으며, 이는속도-시간그래프에서특정시각의접선의기울기에해당한다. 가속도는속도를시간으로나눈개념이기때문에 m/s 2, cm/s 2 등의단위를사용하여나타낸다. 특별히물체의가속도가일정한운동을등가속도운동이라하는데, 이것은속도가시간에따라일정한비율로변하는운동이다. 그예로는자유낙하운동이있는데, 이는지표면근처에서중력에의해물체의가속도의크기가약 10 m/s 2 으로일정하고방향이아래방향인운동을의미한다. 고등학교물리교육과정에서다루어지는운동중가속도가시간에따라지속적으로변하는운동의예로는단진동운동과등속원운동등이있다. 운동량은물체의운동규모와관련된물리량으로서, 질량이 m이고속도가 v인물체의운동량은 p = mv로정의하고단위로는 kg m/s 를사용한다. 만일물체가운동하는동안질량 (m) 이변하지않는다면, 힘 (F) 과운동량 (p), 가속도 (a) 의관계를설명하고있는뉴턴운동제2법칙은다음과같이나타낼수있다. 즉, 물체에작용한힘은그물체의운동량의시간에따른변화율이다. 따라서물체에알짜힘이작용하지않는다면그물체의운동량은보존된다. 이를운동량보존법칙이라고한다. 뉴턴운동제2법칙은힘을받은물체에가속도가발생하는현상을설명해준다. 물체에주어진힘을알면물체의가속도를알게되고, 이렇게구해진가속도를통해물체의시간별속도나위치등과같은운동상황을구체적으로알수있다. 참고로, 변위, 속도, 가속도, 운동량, 힘등의물리량은모두벡터이다. 일이란단어는일상생활에서다양한의미로쓰인다. 그러나물리에서일이란용어는특별한의미로사용되는데, 힘이작용하여물체를일정거리만큼이동시켰을때생긴물리량을가리킨다. 보다정확히일 (W) 은벡터인힘 (F) 과변위 (S) 의내적으로정의된다. 위식의는힘과변위사이의각이다. 일의단위는 J( 줄 ) 이며, 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s 2 이다. 제시문 ( 다 ) 에서는자유낙하운동의하나인포물선운동을설명한다. 앞서설명한바와같이자유낙하운동은대표적인등가속도운동이며, 포물선운동은일정한크기의가속이발생하는수직 (y) 방향운동과일정한속도가유지되는수평 (x) 방향운동으로구분된다. 따라서포물선운동은 xy 평면에서진행되는 2차원운동으로볼수있다. 비스듬한각도로투사된물체와같이한물체가 x 방향으로속도 v 0 인등속도운동을, y 방향으로초기속도 v 1 이고가속도 a인등가속도운동을하는경우를생각해보자. 물체가 t = 0에서원점에있었다고가정하면각방향의변위는시간에따라다음과같다. 위식은 x, y 가모두 t 만의함수인매개변수방정식으로서 t = x/v 0 를 y 에대입하면다음과같은 x 의 2 차방정식, 즉포물선에해당하는물 체의궤적을얻게되어비스듬히투사된물체가포물선운동을한다는것을알수있다. 056

58 자연계열논술문항파악하기 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은물체에일정한크기의힘이가해진상황에서물체에행한일의양을구하는과정을묻는문제이다. 우선문제에서주어진조건을정확히파악해야한다. 마찰이없는공간 이라는표현은마찰력이없는상황을가리키며, 이는문제에서언급한 일정한크기의힘 을제외한다른힘은고려하지않는다는의미이다. 정지해있던 이라는표현에서물체의초기속도가 0임을알수있다. 힘은크기와방향을모두가지고있는벡터이다. 문제에서힘의크기가일정하다고했는데힘의방향에대한언급은되어있지않다. 일이힘과변위의내적을 통해계산하는값이고, 물체가힘의방향으로운동했다고설명되어있으므로물체가힘을받으며움직이는동안계속 = 0 인상황이되 었다는것을의미하므로힘의방향을고려할필요가없음을알수있다. F = ma의식에서힘이일정하기때문에가속도 a가일정함을알수있다. 물체의운동을다루는문제에서주어지는그래프를분석할때에는각좌표축이무엇인지파악하는것이가장우선적이다. 그래프에서특정지점의기울기는 y축물리량을 x축물리량으로나눈물리량의순간크기에해당하며, 그래프곡선밑의면적은 y축물리량과 x축물리량을곱한물리량의크기에해당한다. 주어진그래프는시간-변위의그래프인데, 초기속도가 0이고가속도 a가일정한운동에서변위의식에해당하는 S = at 2 /2의그래프임을알수있다. 그래프에서알수있는특정좌표를대입하면가속도 a를계산할수있고, 질량 1 kg을곱하면힘의크기를알수있다. 변위의식에시간 5초, 10초를대입하여그차이를계산하면주어진시간동안발생한변위가된다. 이를힘의크기와곱하면최종적으로일의양을구할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의진행과정및계산과정이포함되어야한다. 힘의크기가일정하고, 물체의이동방향이힘의방향과동일하므로가속도의크기가일정하다. 초기속도가 0 이므로주어진그래프는 S = at 2 /2 이다. 주어진좌표 (10, 500) 을이용하여가속도 a 를구한다. S = at 2 /2 의식을이용하여 t = 5 와 t = 10 에서변위를각각구한후그차이 를구한다. 두벡터의차이가또하나의벡터인 것처럼변위의차이인는또하나의변위로서두시각사이에발생한물체의변위이다. W = F 를통해물체에해준일의양을구한다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는중력이있는공간에서물체가비스듬히투사된후발생하는운동에관한내용을묻는문제이다. 중력가속도가 y 축방향으 로 g 인공간에서물체가수평면즉 x 축과 의각도로투사된경우, 물체의운동은 xy 평면에서의 2 차원운동으로생각할수있다. 뉴턴 운동제2법칙에서특정방향으로힘이없는경우그방향으로의가속도가 0이되므로아무런힘이작용하지않는 x축방향의운동은초기속도가유지되는등속도운동이다. y축방향으로는일정한크기의중력가속도가작용하므로 y축방향의운동은등가속도운동이다. 따라서물체가투사될때초기속력을 v 0 라고하면, x(t) 와 y(t) 를각각등속도운동의식과등가속도운동의식으로부터다음과같이표현할수있다. 057

59 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 위식의 y(t) 에서중력가속도의방향이 y 방향이기때문에 ( ) 부호가사용되었다. x(t) 와 y(t) 는시간을매개변수로하는매개변수의방 정식이며, t = x/(v 0 cos ) 를 y(t) 에대입하면 y(x) 의식, 즉물체의운동궤적의식을얻을수있다. 이는앞서설명한바와같이포물선의 방정식이되며, 이러한상황이그림 A에나타나있다. 문제에서는투사된물체의 x축방향도달거리를구하는과정을묻고있다. 투사된물체의 x축방향도달거리는초기속도와소요시간의 곱이고, 소요시간을알기위해서는 y축방향의변위가다시 0이되는시간을계산하면된다. 즉 t > 0 에서 y(t) = 0이되는 t를구한후이 를 x(t) 의식에대입하면도달거리를구할수있다. 그러나투사각 가미지수로서이와관련된 sin 나 cos 가미지수로남아있는상황 이며문제에서추가로제시된조건을통해그값을찾아야한다. 그림 B의그래프는원점에서물체까지의직선거리, 즉 xy 평면에서물체의변위의크기를시간에따라나타낸그래프이다. 이변위의크기 를 S라고하면, S는원점에서 (x(t), y(t)) 를연결한선분의길이이므로다음과같이표현할수있다. 문제에서는그림 B의그래프에서접선의기울기가 0이되는상황이 t > 0인특정한 t 1 에서 1회발생하였다. 그림 B는시간-변위그래프이므로접선의기울기가 0이되었다는것은제시문 ( 나 ) 에서설명한순간속도가 0이되었다는의미이다. 그림 B의그래프는시간에따라꾸준히증가하는단조증가함수로서, 그기울기는 (+) 에서서서히감소하여 t 1 에서일시적으로 0이되었다가다시 (+) 로증가한다. S(t) 를시간으로미분한 ds(t)/dt 를구하면다음과같다. 설명된바와같이그래프의기울기가특정한 t 1 (> 0) 을중심으로변하는특징을갖기위해서는계산된 ds(t)/dt 의분자에서괄호안에포함된 t의 2차방정식이중근을가져야한다. 이를통해수식의 sin 의값을구할수있으며, 그결과를통해 cos 도삼각함수의공식에서구할수있게되어문제에서요구하는 x축방향의도달거리를최종적으로얻게된다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. x축, y축방향의운동의성격을각각설명하고, x(t) 와 y(t) 를 t의함수로표현한다. x축방향의도달거리를투사각의함수로표현한다. 원점에서 (x(t), y(t)) 까지의직선거리 S를 t의함수로표현한다. 제시된조건에서 ds(t)/dt 가중근을갖는다는점을이용하여 sin 와 cos 의값을구한다. 구한 sin 와 cos 의값을적용하여 x축방향의도달거리를최종적으로얻는다. 058

60 자연계열논술문항파악하기 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1 예시답안 ] 물체에일정한힘이가해지는상황이므로가속도가일정하다. 초기속도가 0 이므로가속도를 a 라고할때시간 t 에따른변위 S 는다음과같다. 그래프를참고하면 t = 10 에서 S = 500 이므로 a = 10 (m/s 2 ) 이고, 물체의질량이 1 kg 이므로힘은 10 (N) 이다. 5 초 ~ 10 초사이의변위는 = 375 이므로일의양은 10 x 375 = 3750 (J) 이다. [ 문제 4-1] 채점기준 등가속도운동에서시간에따른변위의식을바르게쓰면 +2점. 가속도와변위의식을이용하여가속도의크기를맞게구하면 +3점. 변위와힘을곱하여일의양을바르게구하면 +5점. ( 최종답안에서일의단위를쓰지않으면감점 -2점.) 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2 예시답안 ] 각도로던진물체가중력에의해포물선운동을하므로 x, y 방향변위는시간에따라다음과같이변한다. 원점에서물체까지직선거리를 S 라고하면, 다음과같이계산된다. 순간속도에해당하는기울기 ds/dt 를구하면다음과같다. ( 단, t > 0) 059

61 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 그림 B 에서 ds/dt 는단조증가함수이고 ds/dt = 0 이되는상황이 1 회만발생했으므로, ds/dt 의분자에있는 근을가져야함을알수있다. 따라서던진각도에관한다음의식을얻을수있다. 자연계열논술문항파악하기 항이중 던진물체가다시지상에도착하는시간은다음과같다. ( 초 ) x 방향운동은등속도운동이므로, 도달거리는다음과같다. (m) [ 문제 4-2] 채점기준 x, y 방향변위의식을바르게쓰면각각 +3점. 직선거리의식을바르게구하면 +2점, 그미분을통해식을전개하면 +2점. 미분된식과그래프의형태를통해의값을바르게계산하면 +5점. x 방향도달거리를바르게구하면 +5점. ( 최종답의단위가빠진경우감점 -2점). 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 060

62 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 유체에잠긴물체에작용하는부력은잠긴부분의부피에해당하는유체의무게와같다. 밀도가인유체에부피만큼물체가잠겼을때, 이물체가받는부력은가된다. 여기서는중력가속도이며, 중력과부력의합이물체에작용하는알짜힘이다. ( 나 ) 용수철에힘이작용하여용수철이만큼늘어났을때는용수철에작용한힘에비례한다. 따라서길이가 만큼늘어난용수철이원래의길이로되돌아가려는탄성력은 이다. 이를훅의법칙이라고한다. 여기서 ( ) 는탄성력과용수철의변위가반대방향이라는의미이며, 는용수철의특성에따라정해지는용수철상수이 다. 용수철상수가 인용수철에질량 인물체를매달아진동시키면주기는 이다. ( 다 ) 가속도가일정한운동을등가속도운동이라하는데, 이것은속도가시간에따라일정하게변하는운동이 다. 가속도가 로일정한경우, 처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 나중속도를 라고하 면 의식이성립한다. 시간 동안움직인변위는속도-시간그래프의아래면적에해당하며, 등 가속도운동에서처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 처음위치를 0, 나중위치를 라고하면 이성립한다. [ 문제 4-1] 넓은공간에밀도가인유체가가득차있다. 이공간에서다음그림과같이에정지해있던직육면체형태의물체가낙하를시작하였다. 물체의두께가, 밀도가일때물체가만큼낙하하여에도달할때까지소요되는시간을구하는과정을위제시문에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 이고, 중력가속도는이며, 부력과중력을제외한다른힘은없다고가정한다. [10점] [ 문제 4-2] [ 문제 4-1] 에서유체의밀도가에서, 에서이고, [ 문제 4-1] 에서와동일한물체가위그림과 같이 에정지해있다가낙하를시작한다고하자. 위제시문에근거하여이물체의운동이주기운동이 됨을보이고, 그주기를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 이며, 부력과중력을제외한다른힘은없다고가정한다. [20 점 ] 이고, 중력가속도는 061

63 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 논제의분석 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I) 에출제된물리문항들은 XX 를구하는과정을논리적으로설명하라 의형식과 XX 가됨을보이시오 의형식이함께나타난다. 전자의형식은 설명및정답요구형 으로분류할수있는문항들로서앞서설명된바와같이다음의사항에유의 하여답안을작성해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고전개과정을각단계별로설명해야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를구하는과정을논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. [ 문제 4-2] 에나타나는 XX 가됨을보이시오 의형식은 증명및설명요구형 으로분류할수있다. 물리문항에서요구하는증명은수학에 서의증명과달리발생하는현상의원인또는결과를물리법칙에근거하여설명하는것이핵심이며, 다음의사항에유의하여답변을작성 해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지해야함. 증명이요구되는사항에적용될물리법칙이나정리를바르게선택해야함. 증명의각단계는적절한수식을통해타당성의근거를제시해야함. XX가됨을보이시오 의 XX에해당하는현상이수식을통해최종적으로설명되어야함. 2. 제시문의분석및배경지식 제시문 ( 가 ) 는물리I, 단원 IV 에너지, 소단원 2 힘과에너지의이용의유체에서의압력 ( 교학사물리I, p.327), 제시문 ( 나 ) 는물리II, 단원 I 운동과에너지, 소단원 4 힘과운동법칙의용수철진자에작용하는힘 ( 교학사물리II, p.52), 제시문 ( 다 ) 는물리I, 단원 I 시공간과우주, 소단원 1 시간, 공간, 운동의가속도 ( 교학사물리I, pp.35-36) 에서각각발췌되었다. 부력, 탄성력, 중력등외부의힘에의한물체의운동을설명하는뉴턴역학이중심내용이며, 과목별문항의형태로변경되어시행되는첫해라는점과물리II의내용을공부하지않은수험생들을고려하여물리II의내용보다는물리I의내용을위주로발췌되었다는점이특징이다. 물리II에서발췌된제시문 ( 다 ) 의경우에도, 주기를구하는식이주어진부분을제외한나머지설명은물리I, 단원 I 시공간과우주, 소단원 1 시간, 공간, 운동의탄성퍼텐셜에너지 ( 교학사물리I, p.54) 부분에동일하게나타나있다. 각제시문의내용에대한배경설명은다음과같다. 제시문 ( 가 ) 는유체에잠긴물체에작용하는부력을계산하는방법을설명한다. 유체란일정한형태가없이흐를수있는물질을가리키며, 액체와기체가포함된다. 일정한모양을가지지않는유체의특성을서술할때에는고체를서술할때사용하는질량과힘이라는개념보 다밀도와압력이라는개념을사용하는것이더유용하다. 밀도란단위부피당질량을의미한다. 물질의밀도를, 질량을 M, 부피를 V 라 고할때 = M/V 로정의되며단위로는 kg/m 3 이나 g/cm 3 을사용한다. 고체나액체의밀도는기체에비해약 1000 배정도크며, 이는기 체에서분자사이의거리가고체나액체를이루는분자사이의거리보다 10 배정도크다는것을의미한다. 밀도는온도의함수인데, 예를 062

64 자연계열논술문항파악하기 들면물의경우 4 C에서약 1000kg/m 3 의가장큰밀도를갖는다. 그이하에서는 0 C까지점차감소하다가얼음이된후급격히줄어들어 917kg/m 3 까지감소하고그이하의온도에서는얼음이수축하여점차증가하는형태로변한다. 일상생활에서는밀도대신 비중 이라는용어를많이사용하는데, 비중은어떤물질의밀도와 4 C 물의밀도의비율로정의되며, 단위는없다. 유체는외부로부터힘을받을때연속적으로변형되는특징을지니고있기때문에고체처럼한점에힘을줄때나타나는현상을볼수없다. 대신유체에서는압축에의해힘이전달되기때문에유체의운동을설명할때에는압력을사용한다. 압력은단면에수직으로작용하는힘과그힘을받는면적의비로나타낸다. 즉압력을 P, 수직으로작용하는힘을 F, 힘이작용하는면적을 A라고하면다음의식이성립한다. 이때, 힘이벡터이므로압력도벡터임을알수있다. 압력의단위로는 Pa( 파스칼 ) 을사용하는데, 1 Pa = 1 N/m 2 이다. 프랑스의과학자였던파스칼은유체표면에서압력이가해지면유체내의모든지점에이와같은크기의압력이전달된다는것을발견하였다. 이를파스칼법칙이라고한다. 파스칼법칙은일상생활에서작은힘으로큰힘을낼때에매우유용하다. 유체의작은면적부분에일정한압력을가하면압력과면적의곱에해당하는힘은작아진다. 가해진압력은파스칼법칙에의해유체의모든부분에작용하므로, 유체가넓게접하고있는부분에작용하는힘은다음그림과같이면적에비례하여증가한다. 위그림에서힘의크기에는차이가있지만, 작은힘이유체에행한일과유체가큰힘을통해외부에행한일의양은같다. 유체의총량은보존되므로작은힘이밀어낸유체의부피가큰힘을통해확장된유체의부피와같아야하며, 따라서작은힘이작용한변위가큰힘이작용한변위보다크다. 즉, 변위가힘의크기에반비례하므로변위와힘을곱한일이같아지는것이다. 유압장치를이용하면작은힘으로도큰힘을낼수있기때문에대형굴삭기의작동, 자동차의브레이크와조향장치등에파스칼법칙을이용한유압장치가적용되고있다. 파스칼법칙에의해외부에서유체에압력을가하면유체모든곳에같은크기의압력이작용하지만, 유체자체의무게때문에유체내에 서는깊이에따라달라지는압력도작용한다. 밀도가 인유체가 h 만큼의깊이로담겨있고유체의단면적이 A 라고하면유체의무게로인 한압력 P 는다음과같다. 위의식에서 g는중력가속도이다. 즉밀도가인유체속깊이 h인지점에서중력에의해발생하는압력의크기는이다. 유체내부에물체가존재하는경우, 물체의위와아래지점이받는압력은깊이차이로인해달라진다. 물체위와아래의압력차이로인해힘의차이가발생하며, 그방향은압력이높은쪽에서낮은쪽으로, 즉아래에서위를향하는방향으로서중력의반대방향이다. 이로인해물체에뜨는힘이발생하는데이를부력이라고한다. 유체속에있는물체의모든부분에작용하는압력의벡터합을구하면, 그크기는물체의부피에해당하는유체의무게와같다. 본래의유체가물체대신들어있을경우아무런힘을받지않아야하는데, 이는유체에작용하는중력과부력이정확히평형을이루기때문이다. 따라서물체의부피에해당하는유체의무게가부력과같아진다는것을직관적으로이해할수있다. 063

65 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 나 ) 는훅의법칙으로알려져있는용수철의복원력에의한단진동운동에관한내용이다. 용수철에매달린물체를당겼다가놓으면 물체는용수철이늘어나고압축되면서주기적인왕복운동을한다. 물체의이러한운동을단진동 (simple harmonic oscillation) 이라고한다. 단진동에서물체는용수철이최대로늘어났을때와최소로압축되었을때순간적으로정지하고, 평형상태일때가장빠른운동을한다. 이러한단진동운동은원운동을하고있는물체를옆에서본모습과같다. 즉원운동하는물체에평행광선을비출때벽에생긴그림자의운동이다. 물체의그림자위치는시간에따라주기적으로변하게되며, 수식적으로는로표현된다. 단진동하는물체가 1초동안진동하는횟수를진동수라하고, 1회진동하는데걸리는시간 T를주기라고한다. 에서주기 T 동안변화된위상은이므로진동수와주기의관계는다음과같다. 단진동하는물체의속도 v(t) 와가속도 a(t) 는변위 x(t) 를시간으로각각한번, 두번미분하면얻을수있다. 따라서단진동운동에서는다 음의식이성립한다. 용수철에추를연결하여마찰이없는바닥에서추를당기거나압축시켰다놓으면용수철은주기적인왕복운동을한다. 이러한진자를용수철진자라고한다. 용수철진자는용수철이작용할수있는한계인탄성한계내에서용수철의늘어난길이 x에비례하는복원력 F 가작용하며, 그크기는 F = kx 로서이를훅의법칙이라고한다. 이때 k는비례상수로용수철상수또는탄성계수라고한다. 복원력은매달린추의질량 m과가속도 a(t) 의곱이므로, 추의질량과용수철상수로부터용수철진자의진동수와주기 T 를다음과같이구할수있다. 제시문 ( 다 ) 는등가속도직선운동에서나타나는속도와변위에관한내용이며, 이에관한배경지식은앞서설명된 2015 학년도모의논술 제시문 ( 가 )-( 나 ) 의배경지식과동일하다. 064

66 자연계열논술문항파악하기 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은낙하하는물체에일정한크기의부력이가해질때, 물체가낙하하는데소요되는시간을구하는과정을묻는문제이다. 문제 에서주어진조건을살펴보면밀도가 인유체로가득찬공간을가정하고있으며, 제시문 ( 가 ) 의내용을고려하면유체내부에존재하는 물체는에해당하는부력을받게됨을알수있다. 이공간에두께가 d 인직육면체형태의물체가정지해있다가낙하하기시작하였다. 물체의부피 V 대신두께 d 가주어졌기때문에물체의 수직단면적을 A 로가정할때물체가받게되는부력의크기는 가되며방향은중력의반대방향이므로 z 축의 (+) 방향이다. 물체의 질량은밀도와부피의곱이므로이고, 중력의크기는, 방향은 z 축의 ( ) 방향이다. 문제의조건에서이므로중력의크 기가부력의크기보다큼을알수있는데, 이는물체가낙하한다는조건과도잘부합한다. 제시문 ( 가 ) 에의하면물체가낙하하는동안물체에가해지는알짜힘은중력과부력의합이고두힘모두위치나시간과관계없이일정하기 때문에물체는가속도가일정한등가속도직선운동을함을알수있다. 알짜힘을물체의질량 로나누면물체의가속도를구할수 있는데, 이단계에서 Ad가제거되어물체의가속도가물체의부피와는무관하고물체의밀도에따라서만달라짐을알수있다. 가속도를구한후제시문 ( 다 ) 에주어진등가속도운동에서의시간과변위의관계식에변위 h와함께대입하면, 시간 t에관한 2차식을얻을수있으며그해를찾으면낙하에소요되는시간을구할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. 유체속의물체는일정한크기의부력을받는다. 유체속의물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합이다. 알짜힘을물체의질량으로나누어가속도 a를구한후물체의운동이등가속도운동임을확인한다. 제시문에주어진 S = at 2 /2의식에변위와가속도를대입하여낙하에소요되는시간을구한다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는 [ 문제 4-1] 과유사한상황이지만유체의밀도가 z = 0 면을경계로달라져물체의밀도보다작은영역 (z > 0) 과큰영역 (z < 0) 으로나뉘는경우발생하는물체운동의주기성을예측하고이에관한수식전개를통해운동의주기를구하는문제이다. 제시된환경에서의물체의운동을이해하기위해서는시간에따른물체의변위와물체에가해지는힘을단계적으로살펴보아야한다. 문제에서주어진조건을우선적으로살펴보면, 이고, 각항에 2를곱한후을빼면이다. 이므 로이조건으로부터 임을알수있고, 부력과중력을제외한다른힘은없으므로, 마찰등으로인한에너지손실이발생하지않 는상황이다. 밀도가 이고수직방향단면적이 A 인물체가 [ 문제 4-1] 그림의초기위치에놓여있을경우, 물체의모든부분이물체보다밀도가낮은 영역에있다. 제시문 ( 가 ) 의식을사용하여이때받는부력의크기를구하면 이고방향은중력의반대방향이다. 중력의크기는물체 의부피, 밀도, 중력가속도의곱이므로이다. 문제의조건에서 < 라고하였으므로중력이부력보다큰상태임을알수있다. 따 라서중력과부력을합한알짜힘은중력과같은방향, 즉 z 축의 ( ) 방향으로작용하여물체는낙하하기시작한다. 065

67 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 물체가낙하하기시작하면물체의일부분이물체의밀도보다큰영역에존재하게된다. 예를들어물체가 z 축의 ( ) 방향으로 x 만큼낙하 한경우물체에서 (d x) 만큼의두께는여전히밀도가인영역에있으나, x 만큼의두께는밀도가인영역에들어간다. < 이기 때문에밀도가인영역에있는물체의일부분이받는부력은동일한부분이받는중력보다크다. 이상황에서알짜힘 F 는 밀도가인 영역의부력 + 밀도가인영역의부력 + 중력 이며, 그식을구해보면다음과같다. 물체가 z 축의 ( ) 방향으로 x 만큼낙하한상황이므로위식에서두번째줄은 z = x 를대입하였다. 위식의세번째줄에서, 라고놓으면다음과같이단순화할수있다. 이식은제시문 ( 나 ) 에설명된훅의법칙이적용되는상황에서탄성력의식과동일한형태이며, 진동의중심지점이 z = 0 에서 z = S 로 이동한진동운동을나타낸다. 또한 z = S 에서 F = 0 이므로이진동운동의진폭은 S 이다. 만일물체의낙하거리가물체의두께 d 를초과하면, 물체는밀도가 인영역에완전히들어가며, 물체가받는부력은물체가받는중력 보다크다. 이경우물체에가해지는알짜힘은물체의위치와무관하게일정하며, 힘의방향은 z 축의 (+) 방향으로서물체를초기위치로 되돌리는방향의힘이다. 설명된사항을고려하여물체의변위에따라물체에가해지는알짜힘의그래프를그려보면그형태는다음과같다. 훅의법칙이적용되는중간영역에서만진동운동이진행되는경우낙하하는최대변위는진폭의두배인 2S 가될것이다. 문제에서주 어진조건, 의양변에서을뺀후로나누면다음의부등식을얻을수있다. 066

68 자연계열논술문항파악하기 위부등식에의해 S < d / 2 이므로, 물체의최대변위는 2S > d 가되어, 물체는훅의법칙이적용되는중간영역에서진동운동을하 게됨을알수있다. 진동운동의주기는물체의질량 m 과용수철상수 k 에해당하는수식을제시문 ( 나 ) 의식에대입하면구할수있다. 따 라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. 유체속의물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합이다. 유체속의물체는크기가일정한중력과위치에따라달리지는부력을받는다. 물체의변위에따른알짜힘을구하면훅의법칙과동일한형태의식을얻는다. 문제의조건으로부터물체의최대운동범위가훅의법칙이적용되는구간에있음을확인할수있다. 이상의식에서물체가단진동운동을함을증명한다. 물체의질량과용수철상수에해당하는수식을대입하여진동운동의주기를구한다. 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1 예시답안 ] 물체의부피를라고할때, 부력은방향이며, 크기는이다. 물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합으로이다. 물체의가속도는알짜힘을물체의질량으로나눈값이므로다음과같다. 물체의초기속도가 0 이고, 변위가이므로낙하에소요되는시간은다음과같다. [ 문제 4-1] 채점기준 부력을바르게구하면 +2점. 물체에가해지는전체힘 ( 알짜힘 ) 을바르게구하면 +3점. 알짜힘을물체의질량으로나누어가속도를바르게구하면 +2점. 낙하에소요되는시간을바르게구하면 +3점. ( 문제에주어지지않은물체의질량이나부피등으로표현했으면 +1점만부여 ). 힘의방향에따라알짜힘, 가속도등의 +/ 부호가혼동되어잘못표기되었더라도, 크기가맞으면그부분에해당하는점수를모두부여함. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 067

69 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2 예시답안 ] 물체에가해지는힘의합 ( 알짜힘 ) 은부력과중력의합이다. 자연계열논술문항파악하기 물체의변위가인경우, 물체가잠겨있는부분이에따라나누어지며, 부력은물체의부피를라고하면다음 과같다. 물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 은부력과중력을합하여다음과같다. 이힘은 라고할때, 제시문 ( 나 ) 에주어진스프링에작용하는 형태의힘이며, 변위에반대방향으로복원력이 작용하는운동으로주기운동임을알수있다. 진동의중심은 이며, 진폭은 이다. 물체가많이낙하하여변위 가 인경우, 물체의모든부분이밀도가 인영역에있으므로, 부력 은물체의부피를 라 고하면다음과같다. 이경우물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 은부력과중력을합하여다음과같이 (+) 로일정함을알수있다. 그런데, 구간에서진폭의두배를계산하면, 이며, 문제의조건에서이기때문에, 이다. 진폭의두배는진동운동에서물체의최대변위이므로, 이물체의운동은 영역에만한정되며, 용수철의운동과동일한진동운동임을알수있다. 제시문에서진동운동의주기이므로, 대입하면주기를구할수있다. [ 문제 4-2] 채점기준 물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 이부력과중력의합이라고표현하면 +3점. 영역에서변위에따른부력의식을바르게구하면 +3점. 영역에서변위에따른부력의식을바르게구하면 +2점. 각영역에서부력과중력을합하여물체에가해지는알짜힘을바르게구하면각각 +1점. 영역에서계산된힘이스프링에작용하는복원력과동일한형태임을언급하면 +3점. 운동이영역에만국한됨을지적하면 +2점. 와질량을대입하여주기를바르게구하면 +5점. 변위의 +/ 부호가혼동되었더라도, 크기가맞으면그부분의점수를모두부여함. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 068

70 자연계열논술문항파악하기 중앙대학교자연계열논술전형은 2014학년도까지통합형으로출제되어왔으나 2015학년도부터개별교과형으로변경되었다. 2016학년도중앙대학교자연계열수시논술전형을준비하는학생들에게도움이될수있도록기시행되었던생명과학논술시험기출문제의제시문과문항설명, 예시답안과채점기준을자세히설명하여생명과학을과학선택과목으로고려하고있는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. 제시문분석과배경지식설명은아래의고등학교교과서와 EBS 교재를참고하였으며모든기출및예시문항은고교교육과정의범위를벗어나지않도록유의하였다. [ 참고도서 ] 생명과학I : 교학사 ( 권혁빈 ; 박희송 ), 천재교육생명과학I I : 교학사, 상상아카데미, 천재교육 EBS 수능특강과학탐구영역생명과학I EBS 수능특강과학탐구영역생명과학II EBS 탐스런생명과학I 2015 학년도모의논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 소화기관을통한 3대영양소의소화과정은다음과같다. 입안의침샘에서분비되는침의 ph는약 5.0 정도이며아밀레이스가많이포함되어있어서탄수화물을엿당으로분해한다. 위의위샘에서분비되는위액의 ph는약 2.0 정도이며, 위액에의해펩신이활성화되어단백질이주로분해된다. 소장으로이동한음식물은소화액과섞여서 ph 7.0 정도의상태로바뀌며다양한소화효소작용에의해 3대영양소가모두소화된다. ( 나 ) 리소좀은여러가지가수분해효소가들어있는소낭이다. 리소좀은주로골지체로부터떨어져나와만들어진다. 리소좀내의효소들은강산또는중성의환경에서는잘작용하지못한다. 만약리소좀이터지거나열려서효소들이새어나오면빠져나온효소의활성은약화되는데, 그이유는세포질의 ph가중성이기때문이다. ( 다 ) 핵은세포에서일어나는모든생명활동의중추로서, 세포의물질합성과분비를포함한여러가지기능을조절하고유전형질을결정한다. 인은핵내에서뚜렷하게관찰되는구조로서 DNA에있는정보를통해리보솜 RNA(rRNA) 가합성되는장소이다. rrna는핵에서단백질과결합하여리보솜으로조립된후핵공을통해세포질로빠져나가서단백질번역과정에참여한다. 069

71 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 ( 라 ) 분비단백질은거친면소포체에부착된리보솜에서만들어진후소포체내로들어가 3 차원형태로접히게된다. 형성된단백질은소낭막에싸인채소포체에서떨어져나온후소포체근처에있는골지면의막과융합되어물 질을골지체로전달한다. [ 문제 4-1] 리소좀에있는효소를성분으로한소화제를만든다면어느단계의소화과정에서가장효과적으로작용할수있을지를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [10점] [ 문제 4-2] 단백질분비가비정상적인돌연변이세포 I, II와정상세포에, 32 P로표지된핵산과 35 S로표지된아미노산을일정시간공급한후새로운배양용액에옮기고나서세포소기관별방사능검출여부를조사하여아래표에정리하였다. 세포소기관 A, B C, D의종류와각각의돌연변이세포에서단백질분비가정상적으로되지않는이유를제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여구체적으로설명하시오. (O : 방사능다량검출, : 방사능소량검출, X : 방사능검출안됨 ) [20점] 세포소기관 A B C D 정상세포 돌연변이세포 I 돌연변이세포 II 32 P X O O X 35 S O X O O 32 P X O X 35 S X X X 32 P X O O X 35 S X X O O 1. 논제의분석 2015학년도생명과학모의논술에출제된문항들은 ~ 을제시문에근거하여논리적으로설명하시오 의형식으로되어있다. 이러한형식은다시두가지로나눌수있는데 i) 주어진제시문만을분석하여해답을제시하도록요구하는경우와 ii) 문제에주어진실험의결과를분석하여해답을제시해야하는경우가있다. 이러한형식의문항들은모두 논리적추론형 으로분류할수있는문항들로서단순한지식의암기만으로는해결하기어려운형태의문항들이다. 이는개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식인통합형논술과유사한형식을갖는다. 논리적추론형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 모든제시문은교과서와 EBS 교재에서발췌한것으로학생들에게익숙한내용이지만, 답안을작성할때제시문에주어진핵심용어들과개념을사용해야하기때문에본인의사전지식에의존하여답안을작성하기보다는제시문에주어진사항들을숙지한후문제풀이를시도해야함. 문제에서요구하는답안이무엇인지정확히파악하여제시하여야하며, 최종답안만을제시하는것이아니라답을얻기위한사고전개과정을각단계별로논리적으로설명해야함. 070

72 자연계열논술문항파악하기 2. 제시문의분석및배경지식 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : EBS 수능특강생명과학I, 소화, 순환, 호흡, 배설과에너지, p.106 배경지식소화계의작용 : 우리가섭취한음식물은입, 위, 십이지장, 소장등의소화기관을거치면서이동한다. 3대영양소인탄수화물, 단백질, 지방은분자의크기가커서세포막을통과하지못하므로소화과정을거쳐체내로흡수될수있는작은분자로분해되어야한다. 소화는큰덩어리의음식물을작은덩어리로부수는기계적소화와, 소화효소를통해영양소를최종산물로분해시키는화학적소화로나눌수있다. 탄수화물은포도당, 과당, 갈락토스와같은단당류로, 단백질은아미노산으로, 지방은지방산과모노글리세리드로분해되어흡수된다. 제시문에설명된바와같이각소화기관에는다른종류의소화효소들이존재하고있으며, 이효소들은각각의기관이가진환경 (ph 등 ) 에서최적의활성을가진다. [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 생명과학II, 교학사, 박희송, 세포와물질대사, p.28 배경지식효소의작용 : 효소는생물체내에서물질을분해하거나합성하는작용을한다. 또한, 효소는분자내의작용기를떼어다른분자로옮겨주거나, 분자의원자구조를바꿔성질이다른물질로변화시키는등다양한기능을한다. 효소를이루는단백질은대부분열과 ph 에의해쉽게입체구조가변한다. 입체구조가변하면효소-기질복합체의형성이어렵게되고, 그결과반응속도가감소하거나반응이일어나지않게된다. 효소의반응이가장잘일어나는온도와 ph가있는데이를각각최적온도, 최적 ph라고한다. 사람몸에존재하는효소의경우, 대개최적온도는체온정도이며, 최적 ph는중성부근이다. 그러나위에서작용하는펩신의경우는위의환경과비슷한 ph2에서활발히작용한다. [ 제시문 ( 다 )-( 라 )] 출전 : 생명과학II, 교학사, 박희송, 세포와물질대사, pp. 24~27 배경지식세포소기관의구조와기능 : 대표적인세포소기관의구조와기능은다음과같다. 핵 : 핵은세포에서일어나는모든생명활동의중추로서, 세포의물질합성과분비를포함한여러가지기능을조절하고유전형질을결정한다. 핵은핵막에의해세포질과구분되는데, 핵막은 2중막이고, 핵공이라고하는작은구멍들이뚫려있다. 핵공을통해 RNA, 단백질, 그리고고분자물질이출입할수있다. 핵속에는유전물질인 DNA가있다. 핵에있는유전정보에따라 mrna가합성되며합성된 mrna는핵공을통해세포질로이동된다. 세포질에있던리보솜이이 mrna의유전정보를이용하여아미노산을결합시켜단백질을만든다. 리보좀 : 리보좀은 rrna와단백질이합쳐져만들어진것으로, 단백질을합성하는세포소기관이다. 리보솜중에는세포질에떠다니는것과소포체막에부착되어있는것이있다. 세포질에떠있는리보좀에서합성된단백질은세포질내에서기능을하며, 소포체막에붙어있는리보좀에서합성된단백질은소포체막에삽입되거나리소좀내의가수분해효소처럼소기관내에포함되거나 세포로부터외포작용에의해분비된다. 071

73 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 소포체 : 소포체에는구조와기능이다른매끈면소포체와거친면소포체가있다. 매끈면소포체는바깥표면에리보솜이없어서매 끄러워보이며, 거친면소포체는막의바깥표면에리보솜이붙어있어서전자현미경으로보면매우거칠게보인다. 매끈면소포체에서는인지질, 스테로이드등의지질이합성된다. 거친면소포체는부착된리보솜을통해분비단백질을만들뿐만아니라막에박힌단백질을만들기도하고, 세포에필요한막을만들기도한다. 골지체 : 골지체는생산, 저장, 분류및분비를담당하는기관이다. 소포체에서온생산물이수정되거나변화되어최종적으로어느곳으로갈것인지분류가된다. 소포체에서나온수송낭은소포체근처에있는골지면의막에융합되어물질을골지체로전달한다. 반대쪽면에서는소낭들이성장한후떨어져나가다른장소로이동한다. 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은주요소화과정을담당하는효소와그들의활성에관여하는화학적최적조건을설명하는제시문 ( 가 ) 와리소좀내에존재하는가수분해효소의활성기전을서술한제시문 ( 나 ) 의내용을통합적으로이해하고논리적으로추론할수있는능력을평가하는문제이다. 리소좀에있는효소를이용하여소화제를만들려고하면먼저이효소가작용할수있는최적의조건을찾아야한다. 제시문 ( 나 ) 에서리소좀에있는효소들은강산또는중성 ph 환경에서잘작용하지못한다는정보를찾을수있다. 제시문 ( 가 ) 에의하면입안은 ph 5.0정도의약산성, 위는 ph 2.0정도의강산성, 소장은 ph 7.0의중성이라는것을알수있다. 제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 의내용을종합해보면리소좀에있는효소는위나소장에서는작용하기어렵다는것을알수있다. 따라서이효소로소화제를만들게되면입안에서일어나는소화작용을돕는목적의소화제가될것이라고추론할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 각소화기관의 ph 환경이다르다. 모든효소는최적조건을가지며리소좀에존재하는효소는강산및중성 ph 환경에서잘작용하지못한다. 따라서리소좀효소는강산, 중성이아닌입안에서가장잘작용할것이다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는문제에서소개된방사선검출된정도를측정한표를가지고실제세포안에서일어나는단백질의분비경로를제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 를읽고추론할수있어야한다. 특히, 제시문 ( 다 ) 에설명된리보솜은핵산과단백질로구성되어있으므로 32 P 표지를통해서리보솜의이동을예측가능하다는것을이해할수있어야한다. 본문제는기존의지식을응용하여실험결과를분석, 합리적인결과를도출해내는능력을평가하는것으로서통합적, 논리적사고력을평가하는문제이다. 이문제를해결하기위해서는우선제시문에설명된방사선동위원소를사용한핵산과단백질추적법에대한기본적인이해가필요하다. P는핵산에는존재하지만단백질에는존재하지않는구성원소이며, S는단백질에는존재하지만핵산에는존재하지않는구성원소이기때문에방사성동위원소인 32 P와 35 S는각각세포에서핵산 (DNA, RNA) 과단백질의합성과이동을분석하는도구로유용하게사용될수있다. 072

74 자연계열논술문항파악하기 A, B, C, D가각각어떤소기관인지알아내기위해서는먼저정상세포의 A, B, C, D에서 32 P와 35 S의검출정도를살펴봐야한다. 특히세포소기관중핵산이많이발견되는소기관이어떤것인지에초점을맞추면 32 P 이다량으로검출되는기관인 B와 C 중하나는핵, 나머지하나는리보솜이존재하는거친면소포체임을유추할수있다. 제시문 ( 다 ) 에서리보솜은핵산인 rrna와단백질이결합하여만들어진다고했으므로 32 P와 35 S가모두다량검출되는 C가거친면소포체일것이고, 그렇다면 32 P만다량검출된 B는핵이라고유추할수있다. A와 D가어떤소기관인지에대한정보는돌연변이세포 II의결과를통해얻을수있다. 제시문 ( 라 ) 에서핵과소포체를제외하고남은것은소낭과골지체인데, 돌연변이세포 II의경우소기관 D에서는 35 S로표지된단백질이검출되었지만소기관 A에서는검출되지않았으므로, 분비단백질의이동순서를고려하면소기관 D는소포체에서골지체로단백질을이동시켜주는소낭이고소기관 A는골지체임을알수있다. 이와같이 A, B, C, D 각각이 - 어떤소기관인지를파악하고나면돌연변이세포 I, II에서어떤문제가발생했는지는쉽게추론할수있다. 돌연변이세포 I의경우는핵공이작아지거나, 또는리보솜의수송과정에문제가생기거나하는여러가지원인에의해리보솜이핵에서거친면소포체로이동하는과정에문제가생긴경우로추론할수있다. 돌연변이세포 II의경우는거친면소포체에서골지체로의이동에문제가생긴경우로추론하는것이논리적이다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 정상세포의 A, B, C, D에서 32 P와 35 S의검출정도에의거하여 B와 C 중에서핵과거친면소포체를구분해내는과정. 돌연변이세포들을비교하여 A와 D 중에서골지체와소낭을구분해내는과정. 제시문에근거하여단백질분비과정중어떤단계에문제가생겼는지유추해내는과정. 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안제시문 ( 나 ) 에서리소좀의가수분해효소는중성이나강산성환경에서는잘작용하지못한다고언급했고, 제시문 ( 나 ) 에서소개된소화기관인입, 위, 소장은각각약산, 강산, 중성의환경이므로리소좀에존재하는가수분해효소는위의강산성환경이나소장의중성환경이아닌, 입안의약상성환경에서음식물소화작용에효과적으로작용할것이다. 채점기준 각소화기관의 ph환경이약산성, 강산성, 중성환경이라는표현이있으면 +5점 리소좀효소는입안에서잘작용할것이라는문장이있으면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 073

75 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 다 ) 에근거하여 32 P가포함되어있는핵산은 rrna이고이는리보솜을구성하고있으므로세포소기관 B, C는리보솜이존재하는세포소기관이다. 표에서소기관 B는 32 P만검출되는반면소기관 C에서는 32 P와 35 S가다검출되므로, 소기관 B는핵이고소기관 C는거친면소포체이다. 돌연변이세포 I의경우소기관 B에서많이검출된 32 P가소기관 C에서는소량검출되었으므로핵공에의한리보좀의이동이저해되어단백질의합성자체가감소한경우이다. 제시문 ( 라 ) 에근거하여소기관 A와소기관 D는소낭과골지체인데, 돌연변이세포 II의경우소기관 D에서는 35 S로표지된단백질이검출되었지만소기관 A에서는검출되지않았으므로소기관 D는소포체에서골지체로단백질을이동시켜주는소낭이고소기관 A는골지체임을알수있다. 따라서돌연변이세포 II는소낭이골지면과융합되는과정이억제되는돌연변이가생긴세포이다. 채점기준 32 P의이동비교를통해 B가핵이고, C가거친면소포체임을유추했으면 +5점 돌연변이세포 I은핵공을통한리보솜이동에이상이생겨서단백질합성이저해되어분비가안된다는내용이있으면 +5점 32 S의이동비교를통해 A가골지체이고, D가소낭인것을유추했으면 +5점 돌연변이세포 II는소낭과골지면의융합에문제가있어서단백질분비가안된다는내용이있으면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 074

76 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I) 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 자극을받지않았을때신경세포 ( 뉴런 ) 의세포막에형성되어있는막전위를측정해보면뉴런의내부는음 ( ) 으로, 외부는양 (+) 으로대전되어전위차가나타난다. 이때형성되는세포막내외의전위차를휴지전위라고한다. 사람의경우휴지전위는약 70 mv이며, Na + -K + 펌프와 Na + 통로및 K + 통로에의해유지되고있다. 세포안팎의농도차에따라 Na + 은세포내부로, K + 은세포외부로확산되려고하는데, 이온은지질성분의세포막을통과하지못하므로각각 Na + 통로와 K + 통로를통해세포안팎으로확산된다. 이때 Na + 통로에비해 K + 통로가열려있는것이더많아 Na + 에비해 K + 의투과도가더높다. 이때문에 K + 이세포외부로빠져나가고, 또내부에존재하는단백질이 ( ) 전하를띠고있기때문에뉴런내부는 ( ), 뉴런외부는 (+) 가되며, 막내외의전위차가 70 mv 정도가되면평형을이루게된다. ( 나 ) 활동전위는뉴런의막전위가휴지전위에서시작하여최대치로올라갔다가, 다시휴지전위로되돌아오는신경신호를말한다. 활동전위를이루는전기적변화를살펴보면, 충분히강한자극을뉴런에주면일부 Na + 통로가열려세포외부의 Na + 이세포내부로확산되어들어와막전위가역치전위인 50 mv까지올라간다. 역치전위에이르면더많은 Na + 통로가열리게되며, 세포외부의 Na + 이세포내부로대량확산되어들어오게되고, 이에따라이부분의막전위가 +35 mv로역전된다. 막전위가최고점에이르면세포막의투과성이변하고 Na + 통로가닫혀불활성화되며, K + 통로가열려 K + 이세포밖으로확산되어나가게된다. 이에따라막전위는빠른속도로원래의휴지전위이하로떨어지는재분극이일어난다. 재분극이후세포막의투과성이원래대로회복됨에따라 Na + -K + 펌프가 Na + 을세포밖으로, K + 을세포안으로이동시켜이온을재배치함으로써막전위는휴지전위상태를회복한다. ( 다 ) 흥분이축삭돌기말단에도달하면 Ca 2+ 이유입되면서말단에있는시냅스소포에서아세틸콜린과같은신경전달물질이시냅스틈으로분비된다. 신경전달물질은시냅스틈으로확산되어, 다음뉴런또는근육과같은흥분성세포의세포막에있는이온통로가열리게한다. 충분한양의이온통로가열리면, 다음뉴런의세포막에서탈분극이일어나흥분이전달된다. 한편, 시냅스에서흥분은축삭돌기에서다음뉴런의가지돌기나세포체로만전달되며반대방향으로는전달되지않는다. 그이유는신경전달물질을분비하는시냅스소포가축삭돌기말단에만있기때문이다. ( 라 ) 운동뉴런의말단은근육섬유막과시냅스처럼좁은틈을두고접해있다. 흥분이운동뉴런을따라전도되어축삭돌기말단에도달하면시냅스소포에서아세틸콜린이분비되고, 아세틸콜린이근육섬유막으로확산되면근육섬유막에있는아세틸콜린수용체를활성시켜서근육섬유막이탈분극됨으로써활동전위가발생한다. 이활동전위가근육원섬유에전달되면근육원섬유마디가짧아져근육이수축하게된다. 근육섬유는역치이상의자극에서는자극의세기와관계없이반응의크기가항상일정하다. 075

77 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-1] 다음그래프는뉴런에약물 A 와약물 B 를각각처리한후, 자극이주어졌을때막전위의변화를측정한결과 이다. 약물 A 와약물 B 에의해막전위의변화가대조군과다르게나타난이유를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여 논리적으로설명하시오. 단, 대조군에는약물을처리하지않았다. [10 점 ] [ 문제 4-2] 초파리유전자 a, b, c가신경활성과근육수축에미치는영향을알아보기위해, 정상초파리, 한개의유전자만조작된단일돌연변이초파리, 두개의유전자가조작된이중돌연변이초파리를이용하여실험을수행하였다. 초파리의운동뉴런에서활동전위의생성여부와근육의수축여부를측정하여 < 표 1> 에정리하였다. 추가로, 초파리의근육에아세틸콜린을처리한후, 근육의수축여부를 < 표 2> 에정리하였다. 이결과들을종합하여활동전위생성및근육수축과정에서유전자 a, b, c로부터발현되는단백질의역할을제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [20점] < 표 1> 정상개체 단일돌연변이이중돌연변이 a b c a, b b, c 활동전위생성 O X O O X O 근육수축 O X X X X X O : 있음 X : 없음 < 표 2> 정상개체 단일돌연변이이중돌연변이 a b c a, b b, c 아세틸콜린처리후근육수축 O O O X O X O : 있음 X : 없음 076

78 자연계열논술문항파악하기 1. 논제의분석 2015학년도생명과학수시논술 ( 자연계열I) 에출제된문항들은이전에출제되었던모의논술과마찬가지로 ~ 을제시문에근거하여논리적으로설명하시오 의형식으로출제되었다. 두문제모두주어진실험의결과를분석하여해답을제시해야하는 논리적추론형 으로분류할수있는문항들로서제시문에주어진기본적인내용을응용하여실험결과를논리적으로해석해야만답변할수있는문항들이다. 이는이전모의논술에출제되었던형식을더욱발전시킨것이다. 모의논술과마찬가지로다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 모든제시문은교과서와 EBS 교재에서발췌한것으로학생들에게익숙한내용이지만, 답안을작성할때제시문에주어진핵심용어들과개념을사용해야하기때문에본인의사전지식에의존하여문제를풀이하기보다는제시문에주어진사항들을숙지한후문제풀이를시도해야함. 문제에서요구한답안뿐아니라, 이를얻기위한사고전개과정을각단계별로논리적으로설명해야함. 2. 제시문의분석및배경지식 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : 생명과학I, 교학사, 권혁빈외공저, p.137, 휴지전위 배경지식휴지전위 : 자극을받고있지않은신경세포 ( 뉴런 ) 는안정상태일때세포막의안쪽이상대적으로음 ( ) 전하를, 바깥쪽이양 (+) 전하를띠고있다. 이러한상태를분극이라고하고, 이때나타나는막전위를휴지전위라고한다. 본제시문은신경세포의휴지전위가유지되는원인즉, 분극이일어나게되는기본원리를설명하고있다. 휴지전위형성에가장중요한역할을하는요소는 Na + -K + 펌프, Na + 통로, 그리고 K + 통로이다. Na + -K + 펌프는에너지 (ATP) 를이용하여 Na + 를세포외부로배출하고 K + 은세포내부로유입시킨다. 이에따라세포내부에는 K + 이상대적으로많이존재하게되고외부에는 Na + 이상대적으로많이존재하게된다. 이이온들은농도기울기에따라 K + 은세포외부로 Na + 은세포내부로확산하려고한다. 하지만세포막을통해이온이이동하기위해서는각이온에대한통로가존재하고, 또그통로가열려있어야만한다. 아래그림과같이뉴런의휴지상태에서는 K + 통로는일부가열려있어 K + 은막바깥으로확산될수있지만, Na + 통로는닫혀있어 Na + 은막안으로확산되지못해세포막안팎의이온분포가불균등해진다. 또한, 제시문에설명된바와같이내부에존재하는단백질이 ( ) 전하를띠고있기때문에뉴런내부는 ( ), 뉴런외부는 (+) 가되며, 막내외의전위차가 70 mv 정도가되면평형을이루게된다. 077

79 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 생명과학 I, 교학사, 권혁빈외공저, p.138, 활동전위 배경지식 자연계열논술문항파악하기 활동전위 : 이제시문에서는뉴런의활동전위의발생과소멸 ( 탈분극과재분극 ) 에대하여설명하고있다. 활동전위를이해하기위해서는막전위의변화에따른 Na + 통로와 K + 통로의투과성변화를올바로이해하는것이중요하다. 휴지상태에있던뉴런이자극을받으면그부위의닫혀있던 Na + 통로가열리면서 Na + 에대한투과성이증가하고이에따라 Na + 이세포막안쪽으로이동하게된다. 따라서세포막안쪽에양이온농도가증가하게되어분극상태에서벗어나세포내부의막전위가상승하는탈분극이일어나게된다. 탈분극이역치이상으로진행되면서세포막의 Na + 통로가더많이열려세포외부에많이존재하고있던 Na + 이대량으로유입된다. 양전하가유입됨에따라세포막내부의전위가상승하게되는것이다. 탈분극이진행되어뉴런세포막의막전위가최고점에이르게되면 Na + 통로는불활성화되어빠른속도로닫히게되므로 Na + 에대한투과성은급격히감소한다. 이와동시에 K + 통로가열리면서 K + 에대한투과성이증가하여세포내부에많이존재하던 K + 이세포막외부로빠르게이동하게된다. 그결과막전위는다시낮아지게되며, 이를재분극이라고한다. 막전위의재분극에관여하는 K + 통로는휴지전위의형성에중요한역할을하는 K + 통로와는종류가다른것으로, 휴지상태에는닫혀있다가막전위가탈분극되었을때에만열렸다가재분극되면다시닫히는특징을지니고있다. 활동전위가발생한후에재분극이일어날때막전위의변화를자세히관찰하면막전위가처음휴지전위때보다조금더낮아졌다가휴지전위로돌아오는것을발견할수있을것이다. 이는휴지전위때열려있는 K + 통로이외에재분극에관여하는 K + 통로가추가적으로열려있어안정적인휴지전위때보다 K + 의투과성이더높기때문에발생하는현상이다. [ 제시문 ( 다 )] 출전 : 생명과학I, 교학사, 박희송외공저, p.160, 시냅스에서의흥분전달 배경지식신경전달물질의분비 : 하나의뉴런에서활동전위가발생하게되면흥분이축삭돌기를거쳐다음뉴런의가지돌기로전달되게되는데이를시냅스를통한흥분의전달이라고한다. 대부분의경우뉴런과뉴런은직접연결되어있는것이아니라시냅스라고부르는좁은틈을사이에두고맞닿아있기때문에활동전위와같은전기적신호가한뉴런에서다음뉴런으로직접전달될수가없다. 따라서뉴런은다음뉴런으로흥분을전달하기위해화학적신경전달물질을분비한다. 이제시문에서는축삭돌기말단에서시냅스틈으로신경전달물질이분비되는데 Ca 2+ 의유입이중요한역할을하는것을설명하고있다. 시냅스를통한뉴런의신호전달 : 축삭돌기말단에활동전위가도달하여 Ca 2+ 의유입이일어나고, 그결과신경전달물질이시냅스틈으로분비되면, 다음뉴런또는근육이분비된신경전달물질에반응하여흥분 ( 탈분극 ) 하게된다. 이와같이한뉴런의흥분은시냅스를통해다음뉴런으로전달되거나근육세포와같은표적세포에정보를전달하게된다. 078

80 자연계열논술문항파악하기 [ 제시문 ( 라 )] 출전 : EBS 탐스런생명과학I, 김진표외공저, p.143, 근수축의원리 배경지식운동뉴런에서근육섬유막으로의자극전달 : 이제시문에서는운동뉴런의활성이어떻게근육의수축을유도하는지설명하고있다. 제시문 ( 다 ) 에서설명한바와같이뉴런은신경전달물질을분비하여정보를전달하는데근육세포와맞닿아있는운동뉴런은아세틸콜린을분비한다. 운동뉴런과맞닿아있는근육섬유막표면에는아세틸콜린에대한수용체가존재하는데아세틸콜린이이수용체와결합하면수용체가활성화되어근육섬유막이탈분극된다. 이때발생하는활동전위가근육원섬유에전달되어근육이수축한다. 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 에서는제시문을읽고 Na + 통로가활동전위의생성에중요한역할을하고, K + 통로가활동전위의소멸단계에관여함을이해하는능력과, 주어진실험결과를바르게해석하여약물 A와 B가각각 Na + 통로와 K + 통로에작용하는것을논리적으로추론할수있는지평가하는문제이다. 문제에제시된 자극이주어졌을때막전위의변화를측정한결과 는곧 활동전위 를말한다. 대조군의그래프는전형적인활동전위의모습으로제시문 ( 나 ) 에서활동전위의생성과소멸원리가설명되어있다. 제시문 ( 나 ) 에의하면막전위가역치전위이상으로상승하면 Na + 통로가열려막전위가빠르게상승해야활동전위가생성된다. 우선약물 A를처리했을때를대조군과비교해보면휴지전위에는변화가없고막전위가상승하다가정상적인활동전위가생성되지못하고다시재분극되는것을알수있다. 따라서약물 A는 Na + 통로가열리는것을막거나활성을저해하는기능을한다고추론할수있다. 약물 B를처리했을때는두가지변화가나타나고있다. 첫번째는활동전위가발생한후에재분극이천천히일어나활동전위가대조군에비해서긴시간지속되고있고, 두번째는휴지전위가대조군에비해상승해있다. 제시문 ( 나 ) 에의하면활동전위의소멸즉, 재분극이일어나기위해서는 K + 통로가열려 K + 이세포막바깥으로이동해야한다. 따라서약물 B는 K + 통로가열리는것을막거나활성을저해하는역할을한다고추론할수있다. 휴지상태에서는일정한수의 K + 통로가열려있어 K + 이세포막밖으로이동하여휴지전위가음의값을가지게되는데만약열려있는 K + 통로의수가줄어들거나 K + 통로의활성이줄어들게되면휴지전위는상승하게될것이다. 문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 약물 A를처리하면활동전위가발생하지않는것을통해약물 A는 Na + 통로를통한 Na + 의세포막안쪽으로의유입을억제하여막전위의상승과그에따른활동전위발생을억제하는기능을함을추론하는과정. 약물 B를처리하면활동전위의재분극이느리게나타나고, 휴지막전위가상승하는것을통해약물 B는 K + 통로를통한 K + 의세포막밖으로의유출을억제하는기능을한다고추론하는과정. 079

81 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2] 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-2] 에서는제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 를읽고근육수축이일어날때운동뉴런에서일어나는신경전달물질의분비와이에의한근육섬유막의수용체활성화과정을바르게이해하고있는지평가하고자하였다. 근육수축의각과정에관여하는유전자들에돌연변이가일어난초파리를이용한실험결과를바르게해석하고, 제시문의내용과통합하여논리적으로설명할수있는지평가하는문제이다. 근육수축이정상적으로일어나기위해서는 i) 운동뉴런에서활동전위가발생하여 ii) 운동뉴런축삭말단에서아세틸콜린이분비되고, iii) 분비된아세틸콜린이근육섬유막에존재하는아세틸콜린수용체에결합하여근육섬유막에활동전위를발생시키고, iv) 섬유막에서발생한활동전위가근육원섬유에전달되는과정이모두성공적으로일어나야한다. 이순서에따라 < 표 > 에제시된유전자들의기능을유추해볼수있다. 먼저단일돌연변이에대한실험결과를분석하여근수축의어떤단계에문제가생겼는지를파악한다. 한가지로결론이내려지지않는경우는이중돌연변이의실험결과를살펴보면각유전자들이어떤단계에관여하고있는지논리적으로추론할수있다. 실제초파리에는각단계에관여하는많은종류의유전자들이있지만문제에서는특정유전자나단백질이아니라그들의기능을묻고있기때문에답안작성에필요한모든정보들은제시문에서찾을수있다. 문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 유전자 a, b, c 가암호화하는단백질이운동신경과근섬유막중어디에발현되는지를추론하는과정. 제시문과실험결과에근거하여각단백질이근수축과정중어디에관여하는지를추론하는과정. 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안 제시문 ( 나 ) 에근거하여신경세포의활동전위는 Na + 통로가열려막전위가상승하면서일어나는데, 약물 A를처리한신경세포는막전위가상승하는정도가대조군에비해부족하여활동전위가거의생성되지않았으므로약물 A는 Na + 통로가열리는것을막거나활성을저해하는역할을한다. 약물 B를처리한세포는휴지전위가대조군에비하여올라가있고활동전위가원상태로돌아가는재분극에도시간이더오래걸리는양상을가지고있다. 제시문 ( 가 ) 에의하면휴지전위생성은 K + 의투과성에의하여결정되고제시문 ( 나 ) 에의하면활동전위의재분극도 K + 이세포막외부로이동할때일어나므로약물 B는 K + 통로가열리는것을막거나활성을저해하는역할을한다는것을알수있다. 이외에제시문 ( 나 ) 에근거하여약물 B가 Na + 통로가다시닫히는것을저해하여막전위의재분극이천천히일어나게한다고유추할수도있으나이경우대조군에비해휴지전위가상승한것을설명할수없으므로올바른답안이라고보기는어렵다. 080

82 자연계열논술문항파악하기 채점기준 활동전위와 Na + 또는 Na + 통로와의상관관계에대한표현이있으면 +2점 약물 A가 Na + 통로활성저해제라는표현이있으면 +3점 휴지전위및재분극과 K + 또는 K + 통로와의관계에대한표현이있으면 +2점 약물 B가 K + 통로활성저해제라는표현이있으면 +3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2] 예시답안 a 유전자돌연변이에서는운동신경의활동전위와근수축이일어나지않았지만, 아세틸콜린에대한근수축반응은정상적으로일어났으므로 a 유전자는신경세포에서활동전위생성에관여하는단백질 ( 예를들면 Na + 통로 ) 이다. b 유전자돌연변이는활동전위는생성되나근수축은일어나지않았으므로이렇게될수있는가능성을제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에서유추하면 1) 축삭돌기말단에서 Ca 2+ 의유입이상에의한아세틸콜린분비가안되거나 2) 축삭돌기말단에서아세틸콜린의분비이상, 또는 3) 근육섬유막에서아세틸콜린수용체가이상해서활동전위가안생길수있을가능성이있다. 그런데, < 표 1> 에서 b, c 유전자이중돌연변이는활동전위는생겼으나자체적인근수축은일어나지않은반면, < 표 2> 에서아세틸콜린을첨가하면근수축은정상적으로일어났으므로신경세포에서아세틸콜린분비가잘되지않는돌연변이이고, 제시문 ( 다 ) 에근거하여유전자 b는 Ca 2+ 유입에관여하는이온통로또는아세틸콜린분비에관여하는유전자이다. 마지막으로 c 유전자돌연변이는활동전위생성에는문제가없으나근수축이일어나지않고, 아세틸콜린을첨가해도근수축이일어나지않으므로제시문 ( 라 ) 에근거하여근육세포에서아세틸콜린수용체의이상으로근수축이일어나지않는것으로유추할수있다. 그러므로유전자 c 는근세포막의아세틸콜린수용체이다. 채점기준 결과 1과 2를분석해서 a 유전자에대한유추를논리적으로했으며답이맞았을경우 +5점 a 유전자에대한답은맞았으나설명이틀렸으면부분점수 +1~2점 결과 1과 2를분석해서 b 유전자에대한유추를논리적설명했으며, 답이맞았을경우 +10점 (Ca2+ 유입또는아세틸콜린분비둘중하나만썼으면 +5점 ) b 유전자에대한답은맞혔으나설명이틀렸으면부분점수 +3~5점 결과 1과 2를분석해서 c 유전자에대한유추를논리적으로했으며답이맞았을경우 +5점 b 유전자에대한답은맞혔으나설명이틀렸으면부분점수 +1~2점 답과설명이다틀리면 0점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 2~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 081

83 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 2015학년도부터논술전형이개별교과형으로변경됨에따라과학선택교과목의하나인화학논술시험이 2015학년도모의논술, 2015학년도수시일반논술자연계열I/ 의학부, 자연계열II 등 3회출제되었다. 이하에서는기시행되었던화학논술시험의제시문과문항설명, 예시답안과채점기준을통해, 과학선택으로화학을고려하고있는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. 제시문의분석과배경지식설명은아래의고등학교교과서와 EBS 교재를참고하였으며모든기출및예시문항들은고교교육의범위를벗어나지않도록유의하였다. [ 참고도서 ] 화학 I : 교학사, 비상교육, 상상아카데미, 천재교육화학 II : 교학사, 비상교육, 상상아카데미 EBS 탐스런화학 I EBS 탐스런화학 II 2015 학년도모의논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 루이스는화학결합을나타내기위해서원자들의원자가전자를점으로나타내는방법을이용하였는데, 이것을루이스전자점식이라고한다. 원자의최외각전자껍질에존재하는원자가전자중에서쌍을이루지않는전자를홀전자라고하는데, 원자들이공유결합을할때에는홀전자들이전자쌍을이루어공유전자쌍을만든다. 공유결합을가지는원자는다른원자들과전자를공유함으로써비활성기체와같이안정된전자배치를이루면서옥텟규칙을만족시킨다. ( 나 ) 1940년시지윅은공유결합으로형성된분자에서중심원자를둘러싸고있는전자쌍들은그들사이의반발력때문에가능한한서로멀리떨어져있으려고한다는전자쌍반발원리를제안하였다. 루이스전자점식과전자쌍반발원리를적용하면공유결합화합물의분자구조를예측할수있다. ( 다 ) 화학반응에서산소가관여하는반응을산화-환원반응이라고하는데, 이때산소를얻는반응은산화반응이라고하고산소를잃는반응을환원반응이라고한다. 산소가관여하지않는산화-환원반응도존재하는데이경우전자의이동으로산화-환원반응을설명할수있다. 즉, 어떤물질이전자를잃는반응을산화반응이라하고, 전자를얻는반응을환원반응이라고도한다. 082

84 자연계열논술문항파악하기 ( 라 ) 여러가지산화-환원반응을모두설명하기위하여산화수를사용한다. 산화수는어떤물질속에서원소가어느정도로산화되었는지를나타내는가상적인전하량이다. 공유결합화합물에서산화수는전기음성도가큰원자가공유전자쌍을모두차지했다고가정할때각원자가가지는전하수로나타낸다. 산화반응에서는산화수가증가하고환원반응에서는산화수가감소한다. [ 문제 4-1] 웃음가스로알려진아산화질소 [N 2 O(g)] 는주로질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 을분해시켜서만든다. 질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 과아산화질소 [N 2 O(g)] 의루이스전자점식을각각한개씩만제시하고각전자점식에해당하는 구조를예측하시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 산화수규칙에의하면아산화질소 [N 2 O(g)] 의질소원자는 +1, 산소원자는 2 의산화수를갖는다. 제시문 ( 가 ) 와 ( 라 ) 에근거하여질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 을구성하는각원자의산화수를구하고, 아래의산화-환원반응에서산화되는원소와환원되는원소의산화수변화를논리적으로설명하시오. 단, 전기음성도세기는 O > N > H 이다. [20점] NH 4 NO 3 (s) 2H 2 O(g) + N 2 O(g) 1. 논제의분석 2015학년도화학모의논술에출제된문항들은 XX를예측하시오 혹은 XX를논리적으로설명하시오 의형식으로되어있다. 이러한형식의문항들은 설명및정답요구형 으로분류할수있는문항들로서개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식인통합형논술과동일한형식을갖는다. 설명및정답요구형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고진행과정을각단계별로설명해야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. 083

85 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 제시문의분석및배경지식 자연계열논술문항파악하기 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : 고등학교화학 I, 단원 3 아름다운분자세계 ( 천재교육, p.142) 배경지식 원자들이서로전자를내어전자쌍을만들고이전자쌍을공유함으로써형성되는공유결합은분자를구성하는각원자들이비활성 기체의전자배치와같이가장바깥껍질에 8 개의전자를가져안정화되려는옥텟규칙으로설명할수있다. 이러한전자배치를쉽 게나타내기위하여전자를점으로표시한루이스전자점식을이용한다. 루이스전자점식을나타내는방법 ➊ 모든원자들의원자가전자수를더한다. 원자가전자수는주기율표에서각원소가속하는족번호의일의자리숫자와같다. 만약음이온이라면음의전하수의절댓값만큼더하고, 양이온이라면양의전하수만큼빼준다. ➋ 중심원자를결정하고주위에바깥원자들은배치한다. 수소 (H) 는항상바깥에배치되고전기음성도가작은원자들이중심에위치한다. ➌ 중심원자와바깥원자들을하나의공유전자쌍으로연결한다. ➍ 모든원자들이옥텟규칙을만족하도록전자를배치한다. ➎ 전체원자가전자수에서사용한전자수를빼서부족한전자의수를구한다. ➏ 전자가부족한경우이웃한두쌍의비공유전자쌍을공유하여다중결합을만든다. ➐ 전자가남지않았으면모든원자가옥텟규칙을만족하는지검토한다. 만약옥텟규칙을만족하지않으면옥텟규칙을만족시키기위해다중결합이되도록한다. [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 고등학교화학I, 단원 3 아름다운분자세계 ( 비상교육, p.136) 배경지식공유결합으로이루어진분자에서중심원자는공유결합전자쌍이나비공유결합전자쌍에의해둘러싸여있고중심원자주변의공유결합전자쌍과비공유전자쌍의개수를파악하여아래의표와같이분자의구조를예측할수있다. 전자쌍개수 공유전자쌍 비공유전자쌍 전체 기하학적구조 직선형 평면삼각형 정사면체형 삼각뿔형 굽은형 084

86 자연계열논술문항파악하기 [ 제시문 ( 다 )] 출전 : 고등학교화학I, 단원 4 닮은꼴화학반응 ( 비상교육, p ) 배경지식석유나석탄의연소, 철의부식, 전기분해등은서로관련이없는화학반응인것처럼보인다. 그러나이들은모두산화와환원반응으로분류하고설명할수있다. 이러한산화환원반응은산소 (O) 와수소 (H) 가관여하거나전자를주고받는화학반응으로분류될수있다. 우선산소 (O) 가관여하는반응의경우는어떤물질이산소 (O) 와화합하는반응을산화라고하고, 반대로산소 (O) 를잃는반응을환원이라고한다. 수소 (H) 가관여하는반응의경우는어떤물질이수소 (H) 와화합하는반응을환원이라하고, 반대로수소 (H) 를잃는반응을산화라고한다. 과거에는산화환원반응을위와같이산소 (O) 혹은수소 (H) 와관계있는반응만으로생각하였다. 그러나산소 (O) 와관계없이일어나는산화환원반응이많다는것이알려졌다. 특히이온결합물을생성하는금속원소와비금속원소의반응은산소 (O) 혹은수소 (H) 와관계없이전자의흐름으로산화환원반응을구별할수있다. 산화반응에서물질은전자를잃고, 환원반응에서는물질이전자를얻는다. 산화와환원은동시에진행되며, 이과정에서산화된물질이잃은전체전자수와환원된물질이얻은전체전자수는동일하다. [ 제시문 ( 라 )] 출전 : 고등학교화학II, 단원 3 화학평형 ( 교학사, pp ) 배경지식산화수는물질내에서전자의교환이완전히일어났다고가정하였을때특정원자가이론적으로갖게되는전하를말하며, 물질을구성하는원소의상대적산화상태를숫자로나타낸것이다. 일반적을원자나이온의산화수를정하는규칙은다음과같다. ➊ 원소를구성하는원자의산화수는 0이다. 예 ) H 2 (g), O 2 (g), O 3 (g), Na(s), Hg(l) 등. ➋ 단원자이온의산화수는그이온의전하와같다. 예 ) Na + 은산화수가 +1이고 Cl - 은산화수가 1 이다. ➌ 화합물에서 1족원소 ( 알칼리금속 ) 의산화수는 ( 수소제외 ) +1이고, 2족원소 ( 알칼리토금속 ) 의산화수는 +2이다. 알루미늄 (Al) 은모든화합물에서산화수가 +3이며, 플루오린 (F) 의경우항상 1 이다. ➍ 수소 (H) 의산화수는금속과이온성화합물을이룰때를제외하고는 +1이며, 대부분의화합물에서산소 (O) 의산화수는 2 이다. 수소 (H) 가금속과이온성화합물을이룰때의산화수는 1 이다. ➎ 중성분자 ( 혹은화합물 ) 에서원자들의산화수의합은 0이다. 또한, 다원자이온에서원자들의산화수의합은다원자이온의전하와같다. 탄소화합물과같이여러비금속원소들이공유결합으로이루어진화합물에서는산화수규칙을이용하여구성원자각각의산화수를결정하는것이곤란한경우가많다. 이런경우에는전기음성도를이용하여구성원자각각의산화수를결정하는것이편리하다. 기본원리는분자의루이스전자점식에서공유결합을이루는결합전자쌍을전기음성도가큰원소가모두소유한다고가정하고, 중성원자상태와전자수를비교하여산화수를정한다. 085

87 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 3. 문항별분석및풀이과정 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-1] 고등학교화학I 교과과정은주로화학의기본적인언어를습득하는것에주목적을두고있다. 화학의기본적인언어중에서루이스전자점식은화학결합의생성원리및원자가전자의배치, 분자의구조예측등화학전분야에걸쳐서이용되는화학의필수적인기본언어이다. 문제 4-1은제시문 ( 가 ) 에주어진지식을이용하여루이스전자점식을정확히그릴수있어야한다. 또한, 제시문 ( 나 ) 에주어진전자쌍반발원리를이용하여루이스전자점식에서공유결합분자의구조를예측할수있는지를평가한다. 제시문 ( 가 ) 에근거하여가능한질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 과아산화질소 [N 2 O(g)] 의루이스전자점식을구하는과정은다음과같다. 질산암모늄 [N H 4 NO 3 (s)] 은질산음이온 (NO - 3 ) 과암모늄양이온 (NH + 4 ) 으로이루어진이온결합화합물이다. 그러나각이온들은모두다원자이온으로서이온을구성하는원자사이에공유결합과배위결함을이루고있어서하나의단위인것처럼행동한다. 암모늄이온 (NH + 4 ) 과같은다원자이온의루이스구조식을그릴때는다원자이온의전체전하를표시하기위하여루이스구조식에대괄호를씌우고전하에대한기호를표시한다. 질산음이온 (NO - 3 ) 과암모늄양이온 (NH + 4 ) 및아산화질소 [N 2 O(g)] 의루이스점자점식을구하는과정은다음과같다. ➊ 암모늄양이온 (NH + 4 ) 의원자가전자수의합 : 5(N) + 4x1(H) 1 (1가양이온 ) = 8 질산음이온 (NO - 3 ) 의원자가전자수의합 : 5(N) + 3x6(O) + 1(1가음이온 ) = 24 아산화질소 [N 2 O(g)] 의원자가전자수의합 : 2x5(N) + 6(O) = 16 ➋ 규칙에따라원자들을배치한다. 암모늄양이온 (NH + 4 ) : 질소 (N) 주위에수소 (H) 를배치함. 질산음이온 (NO - 3 ) : 전기음성도가작은질소 (N) 를중심으로주변에산소 (O) 원자를배치한다. 아산화질소 [N 2 O(g)] : 다양한원자의배열이가능하다. 우선세원자를직선형으로배치하는경우에는중심에전기음성도가작은질소를배치하여 N N O 와같은배열을유지한다. 다른경우는세원자들을삼각형으로배치할수있다. ➌ 아래의그림과같이중심원자와바깥원자들을하나의공유전자쌍으로연결한다. ➍ 바깥원자들이옥텟규칙을만족하도록전자를배치한다. ➎ 전체원자가전자수에서사용한전자수를빼서남은전자수를구한다. 암모늄양이온 (NH + 4 ) : 8 8 = 0 질산음이온 (NO - 3 ) : = 2 아산화질소 [N 2 O(g)] : = 4, = 2 086

88 자연계열논술문항파악하기 ➏ 암모늄양이온 (NH + 4 ) 은부족한전자수가없으므로모든원자들이옥텟규칙을만족하는전자배치를이루고있다. 질산음이온 (NO - 3 ) 은 2개의전자가부족하므로이웃하는산소 (O) 와질소 (N) 의비공유전자쌍 2쌍을공유하여하나의공유전자쌍으로만든다. 아산화질소 [N 2 O(g)] 의경우는아래의그림과같이다양한방법으로비공유전자쌍을공유하여부족한 4개혹은 2개의전자를보충함으로써각원자들이옥텟규칙을만족하게할수있다. ➐ 모든원자들이옥텟규칙을만족하는지확인한다. ➑ 다원자이온의경우대괄호를이용하여전체전하를표시한다. 필요에따라서각원자의형식전하를루이스전자점식을이용하여 구할수도있고아래의그림과같이전체전하와구별하기위하여각원자위에형식전하를표시한다. 제시문 ( 나 ) 의전자쌍반발이론을이용하면질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 의암모늄양이온 (NH + 4 ) 과질산음이온 (NO - 3 ) 및아산화질소 [N 2 O(g)] 의구조를예측할수있다. 각물질들의루이스전자점식을바탕으로중심원자를둘러싸고있는비공유전자쌍과공유전자쌍의개수를파악하여야한다. 암모늄양이온 ( N H + 4 ) 은중심의질소 (N) 원자주변에 4개의공유전자쌍이배치되어있다. 네개의공유전자쌍들이반발하여서로가장먼거리에위치하려고하므로정사면체구조를가지게된다. 질산음이온 ( N O - 3 ) 도네개의공유전자쌍을가지지만전자쌍반발이론에서는다중결합에의한공유전자쌍은고려하지않는다. 즉질소 (N) 를 3개의공유전자쌍이둘러싸고있다고생각한다. 3개의공유전자쌍이공간상에서반발력에의해서서로가장멀어지기위한구조는평면삼각형의각꼭짓점에공유전자쌍을하나씩배치하는것이다. 따라서질산이온은평면삼각형구조를가진다. 아산화질소 [N 2 O(g)] 는위의루이스전자점식에서제시된바와같이두가지의원자배열방식을가진다. 하나는원자들이일렬로연결된구조와다른하나는구성원자들이서로연결되어있는삼각형구조를가진다. 원자들이일렬로연결된경우의중심원자질소는다중결합에이용된공유전자쌍을제외하면두쌍의공유전자쌍만을가지므로직선형구조를가진다. 다른하나는세개의원자들이서로공유결합전자쌍으로연결되어야하므로삼각형구조를가진다. 087

89 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2] 자연계열논술문항파악하기 산화환원반응은전자를주고받는화학의가장기본적인반응으로서산화환원반응의자세한분석을위해서원자의산화수라는개념을이용한다. 각원자의산화수를구하기위해서산화수규칙을주로이용하지만루이스전자점식과제시문 ( 라 ) 의규칙을이용해서도산화수를구할수있다는것을제시문을통해서이해해야한다. [ 문제 4-2] 는주어진제시문을이용하여산화수를구하고산화환원반응에수반되는산화수변화를파악하여복잡한산화환원반응을이해할수있는지를평가하는문제이다. 일반적으로산화수는산화수규칙에따라결정될수있다. 산화수규칙은산화수가변하지않는원소들의산화수와전체물질의산화수는전체물질의전하수와같다는사실을이용하여주변환경에따라변하는원자들의산화수를결정하는것이다. 루이스전자점식을이용한산화수의결정은산화수규칙의적용이어려운경우에적용한다고되어있으나, 복잡한공명구조를가지지않는경우에있어서는대부분의경우루이스구조식과전기음성도를이용하면산화수를구할수있다. 산화수결정에서가장중요한것은전자의이동을파악하는것인데원자간이동이가능한전자는두원자가함께공유하고있는공유전자뿐이다. 산화수는이러한공유전자의이동이완전히이루어졌다고가정한상태에서원자가가지게되는전하를의미하므로두원자사이에서공유전자가어느원자로이동할것인가를파악하는것이중요하다. 이러한공유전자의이동은두원자의전기음성도를비교함으로써예측할수있다. 즉제시문 ( 라 ) 에주어진바와같이전기음성도가큰원자가공유전자쌍을모두소유한다. 주어진산화환원반응에서반응물인질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 은질소 (N) 원자를 2개포함하고있는데각각의산화수가다르다. [ 문제 4-1] 의설명과같이질산음이온 (NO - 3 ) 과암모늄양이온 (NH + 4 ) 으로구분하여고려해야한다. 산화수규칙을이용하면암모늄양이온 (NH + 4 ) 과질산음이온 (NO - 3 ) 에포함된질소 (N) 원자의산화수를다음과같이구할수있다. 암모늄양이온 ( N H + 4 ) 의질소 (N) 원자의경우 +1( 전체전하수 ) = (N의산화수 ) + 4 x 1 (H의산화수 ) 이므로, 암모늄양이온 (NH + 4 ) 에포함된질소 (N) 원자의산화수는 3이다. 또한, 질산음이온 (NO - 3 ) 의질소 (N) 원자의경우는 1( 전체전하수 ) = (N의산화수 ) + 3( 2) (O의산화수 ) 이므로, 질산이온 (NO - 3 ) 에포함된질소 (N) 원자의산화수는 +5이다. 루이스전자점식을이용하면다음과같이각원자의산화수를구할수있다. 088

90 자연계열논술문항파악하기 루이스전자점식을이용할경우는전체전하에대한고려없이원자주변의전자를더하여산화수를구할수있다. 먼저암모늄양이온 (NH + 4 ) 의경우, 질소 (N) 가수소 (H) 보다전기음성도가높기때문에질소 (N) 와수소 (H) 사이의공유전자쌍은모두질소 (N) 가소유하게된다. 수소 (H) 는원자가전자가없으므로중성인상태보다전자의개수가하나적어서 +1의전하량을가지게되고이것은수소 (H) 의산화수가된다. 질소 (N) 는 8개의전자를소유하게되어중성인상태보다 3개더많은전자를소유하고있으므로 3의전하량을가지고산화수는 3이된다. 질산음이온 ( N O - 3 ) 의경우도산화수규칙에대한사전지식없이루이스전자점식에서모든산화수를결정할수있다. 이번에는중심의질소 (N) 원자의전기음성도가바깥원자인산소 (O) 보다작으므로모든공유전자를산소 (O) 에게빼앗기게된다. 위의그림에서표시된바와같이산소 (O) 는 8개의최외각전자를소유하고있어서중성인상태보다전자가 2개많아서 2 의산화수를, 질소 (N) 는전자를모두빼앗겨중성인상태보다 5개의전자가모자라므로 +5의산화수를가지게된다. 아산화질소 [N 2 O(g)] 의경우에는다양한공명구조를통하여여러개의전자배치가기여하게된다. 이러한경우는산화수규칙을이용하는것이편리하다. 아산화질소 [N 2 O(g)] 의질소 (N) 원자의경우 0 ( 전체전하수 ) = 2 x (N의산화수 ) + ( 2) (O의산화수 ) 이므로, 질소 (N) 원자의산화수는 +1로결정할수있다. 이제아래의화학반응에서반응물과생성물의각구성원자들의산화수가모두결정되었다. NH 4 NO 3 (s) 2H 2 O(g) + N 2 O(g) 모든수소 (H) 원자는 +1의산화수를모든산소 (O) 원자는 2 의산화수를가지게된다. 질소 (N) 원자만이산화수의변화를가지게되고질소 (N) 원자가산화환원반응에모두참여한다. 위에서구한질소 (N) 원자의산화만을표현하면다음과같다. 암모늄양이온 ( N H 4 + ) 의질소 (N) 원자는산화수가 3 에서 +1 로증가하였으므로산화반응에질산음이온 (NO 3 - ) 의질소 (N) 원자는산 화수가 +5 에서 +1 로감소하였으므로환원반응에해당된다. 089

91 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 4. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-1] 예시답안 제시문 ( 가 ) 에근거하여가능한질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 과아산화질소 [N 2 O(g)] 의루이스전자점식은다음과같다. 제시문 ( 나 ) 의전자쌍반발이론을이용하면질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 의암모늄이온은네개의공유전자쌍들이반발하여서로가장먼거리에위치하려고하므로정사면체구조를가지게된다. 질산이온도네개의공유전자쌍을가지지만하나의전자쌍은다중결함을형성하는것으로전자쌍의반발을고려할때포함되지않는다. 따라서세쌍의공유전자쌍이서로반발하는평면삼각형구조를가진다. 아산화질소는답안에제시된루이스전자점식에따라원자들이일렬로연결된세구조는직선형구조를나머지두구조는삼각형구조를가진다. 채점기준 질산암모늄이온의루이스전자점식을정확히제시하면 +2점. 아산화질소의루이스전자점식을하나이상만제시하면 +2점. 암모늄이온의구조를정확히예측하면 +2점. 질산이온의구조를정확히예측하면 +2점. 아산화질소의제시된루이스전자점식을이용하여정확히구조를예측하면 +2점. 루이스전자점식에서공유결합전자쌍들을점으로표시하지않고선으로표시한것도인정함. 아산화질소의형식전하를표시하지않은경우도인정함. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 090

92 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-2] 예시답안 제시문 ( 라 ) 에근거하여암모늄이온에서는수소보다전기음성도가큰질소가모든공유전자쌍을차지하게되므로암모늄이온의질소는 3 의산화수를가진다. 수소는모든전자를빼앗겨 +1 의산화수를가진다. 질산이온의질소는전기음성도가강한산소에의해서둘러싸여있다. 모든공유전자쌍을산소가소유하게되므로질소의산화수는 +5 가된다. 산소는중성의산소원자보다 2개더많은전자를소유하므로 2 의산화수를가진다. 반응물의하나인 H 2 O 의각원자의산화수는산화수규칙을이용하거나루이스전자점식을이용하면산소원자는 2 로수소원자는 +1 로결정할수있다. 얻어진산화수를주어진산화 - 환원반응에표시하면다음과같다. 수소원자와산소원자는산화수의변화가없다. 위의반응식에서보이듯이암모늄이온의질소는산화수가증가하였으므로산화된다. 또한, 질산이온에포함된질소원자는산화수가감소하였으므로환원되었다. 채점기준 암모늄이온에포함된질소의산화수를루이스전자점식과제시문 ( 라 ) 를이용하여정확히구했으면 +3점. 암모늄이온에포함된수소의산화수를정확히구했으면 +2점. 질산이온에포함된질소의산화수를정확히구했으면 +3점. 질산이온에포함된산소의산화수를정확히구했으면 +3점. H 2 O에서수소와산소의산화수를구하여주어진반응에서수소와산소의산화수변화가없다는것을명기하면 +4점 암모늄이온의질소는산화수가증가하므로산화되었다는것을설명하면 +3점. 질산이온의질소는산화수가감소하였으므로환원되었다는것을설명하면 +3점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 091

93 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I) 자연계열논술문항파악하기 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 라 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 탄소화합물중에서가장기본이되는것은탄소 (C) 원자와수소 (H) 원자로만이루어진탄화수소이다. 탄소원자사이에단일결합으로이루어진탄화수소를포화탄화수소라고하며, 사슬모양의포화탄화수소를알케인이라고한다. 알케인에는메테인 (CH 4 ), 에테인 (C 2 H 6 ), 프로페인 (C 3 H 8 ) 등이있다. 탄소원자사이에이중결합이나삼중결합으로이루어진탄화수소를불포화탄화수소라고하며이중결합을가지고있는사슬모양의불포화탄화수소를알켄이라고한다. 알켄에는에텐 (C 2 H 4 ), 프로펜 (C 3 H 6 ) 등이있다. 한편삼중결합을가지고있는사슬모양의불포화탄화수소를알카인이라고하며, 알카인에는에타인 (C 2 H 2 ), 프로파인 (C 3 H 4 ) 등이있다. ( 나 ) 공유결합을형성하는원자들은중심원자와 180, 120, 등일정한결합각을이룬다. 공유결합분자에서중심원자를둘러싸고있는전자쌍들은서로같은전하를띠고있으므로반발력이최소가되기위해서최대한멀리떨어져있으려고한다. 이를전자쌍반발이론이라고한다. ( 다 ) 화합물을이루는원소의종류와수를알아내는실험을원소분석이라고한다. 탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 로이루어진화합물의시료를완전연소시켰을때생성되는이산화탄소 (CO 2 ) 와물 (H 2 O) 의질량을측정하여성분원소인탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 의질량비를알아낸다. 각성분의질량을각성분의원자량으로나누어주면조성비를구할수있다. 조성비를구한후, 구성원소의원자개수의비율을가장간단한정수비로나타낸식을실험식이라고한다. 탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 의원자량은각각 12, 1, 16이다. ( 라 ) 아보가드로법칙에따르면모든기체는온도와압력이같을때, 같은부피속에같은수의분자가들어있다. 분자수가같으면몰수도같으므로, 온도와압력이같은조건에서기체 1몰의부피는기체의종류에상관없이같다. [ 문제 4-1] 결합각의최댓값이 180 인사슬모양탄화수소의실험식이 C 3 H 5 로결정되었다. 제시문 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에근거하 여, 이사슬모양탄화수소의분자량 (g/mol) 을구하는과정을논리적으로설명하고그구조식을 1 개만제시하 시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 다음그림과같은장치를이용하여액체상태의시료 X 에대해원소분석실험을수행하였다. [ 원소분석장치 ] 092

94 자연계열논술문항파악하기 시료 X를원소분석장치에넣고가열하여완전연소시켰을때이산화탄소 (CO 2 ) 와물 (H 2 O) 만생성되었다. 원소분석장치에서반응이완결된후염화칼슘 (CaCl 2 ) 을채운염화칼슘관에서 54mg, 수산화나트륨 (NaOH) 을채운수산화나트륨관에서 132mg의질량증가가측정되었다. 시료 X의원소분석실험을통해탄소 (C) 와수소 (H) 의몰수비가결정되었고, 시료 X의실험식을결정하기위해추가적으로진행된실험과그결과는다음과같다. ➊ 소량의시료 X를넣은실린더에건조한산소 (O 2 ) 기체를채운후상온 (25 C) 에서실린더내부의부피를측정하였다. ➋ 실린더를가열하여연소반응을완결시킨후실린더를냉각하여상온 (25 C) 으로유지한상태에서실린더내부의부피를측정하였다. 실험결과 : 연소반응전과후실린더내부의부피연소반응전연소반응후 400 ml 300 ml 위의실험결과와제시문 ( 다 ), ( 라 ) 에근거하여시료 X 의실험식을논리적으로추론하시오. 단, 계수를맞추지않은화학반응식은 다음과같고, 실린더안의액체상태물질의부피는무시할정도로작다. [20 점 ] X(l) + O 2 (g) H 2 O(l) + CO 2 (g) 1. 논제의분석 2015학년도수시일반논술 ( 자연계열I) 에출제된화학문항들은 XX를구하는과정을제시문에근거하여논리적으로설명하라 의형식으로되어있다. 이러한형식은다시두가지로나눌수있는데 i) 주어진제시문만을분석하여해답을제시하도록요구하는경우와 ii) 실험의결과를분석하여해답을제시해야하는경우가있다. 이러한형식의문항들은모두 논리적추론형 으로분류할수있는문항들로서단순한지식의암기만으로는해결하기어려운형태의문항들이다. 이는개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식인통합형논술과동일한형식을갖는다. 논리적추론형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고전개과정을각단계별로설명해야함. 문제에서주어진실험결과에대한분석이제시되어야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를구하는과정을논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. 093

95 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 제시문의분석및배경지식 자연계열논술문항파악하기 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : 화학 I, 단원 III, 아름다운분자세계 (EBS, 탐스런화학 I, pp , 비상교육, 화학 I, p.166) 배경지식지구상의생명활동의근본이되는물질은탄소화합물이며, 화석연료, 식량, 대부분의의약품등도모두탄소화합물이다. 탄소는원자가가 4이므로최대로다른원자 4개와결합할수있다. 또한탄소원자는사슬및고리를형성할수있어매우다양한종류의화합물을만들수있다. 이러한탄화수소는크게사슬형탄화수소와고리형탄화수소로분류되고, 그중에서사슬형탄화수소는탄소사이에존재하는화학결합의종류에따라세개의부류로나뉘어진다. 알케인은탄소와탄소가단일결합으로이루어진포화탄화수소로서일반식은 C n H 2n+2 이다. 알켄은탄소와탄소가이중결합으로이루어진불포화탄화수소로서일반식은 C n H 2n 이다. 마지막으로알카인은탄소와탄소가삼중결합으로이루어진불포화탄화수소로서일반식은 C n H 2n -2이다. 이와같이사슬형탄화수소의실험식이주어지면탄화수소의종류를예측할수있다. [ 제시문 ( 나 )] 출전화학I, 단원 III, 아름다운분자세계 (EBS, 탐스런화학 I, pp , 교학사, 화학I, pp ) 배경지식전자쌍반발원리에의하면, 중심원자주위에존재하는전자쌍의수에따라분자의구조가결정된다. 분자의구조결정을위하여루이스전자점식을먼저그린후에중심원자주위에존재하는공유전자쌍과비공유전자쌍의수를파악하여야한다. 이때이중결합혹은삼중결합등의다중결합에이용된공유전자쌍을제외하고단일결합에이용된공유전자쌍만을고려한다. 결합각이 180 와 120 인분자의중심원자는공유전자쌍을 2개또는 3개를갖게되고대표적인예로서는 BeH 2 와 BF 3 가있다. 그러나이들은중심원자가옥텟규칙을만족시키지못한다. 중심원자가옥텟규칙을만족시키는경우도 180 혹은 120 의결합각을가질수있다. 이중결합혹은삼중결합을가지는경우중심원자주변에는 4개의공유전자쌍이존재하지만다중결합을이루는데이용된전자쌍을제외하면 2개혹은 3개의공유결합쌍을가지게되고, 전자쌍반발원리에의해서직선형 (180 ) 혹은평면삼각형 (120 ) 의구조를가지게된다. [ 제시문 ( 다 )] 출전 : 화학I, 단원 I, 화학의언어 (EBS, 탐스런화학I, p.41, 비상교육, 고등학교화학I, p.34) 배경지식불꽃반응과선스펙트럼을확인하면화합물을구성하는원소들의종류를알수있지만, 화합물을구성하는원소들의구성비율은알수없다. 따라서화합물을구성하는원소들의구성비율을알기위해서는원소분석방법을이용한다. 화합물을구성하는원자의종류와수를가장간단한정수비로나타낸식을실험식이라고하는데, 탄화수소의경우, 원소분석실험을통해다음과같이구할수있다. 094

96 자연계열논술문항파악하기 원소분석을통한탄화수소의실험식구하기 ➊ 연소반응후에생성된이산화탄소와물의질량으로부터성분원소의질량을구한다. ➋ 각성분원소의질량을원자량으로나누어원자의개수비를구한다. ➌ 성분원소의원자수를가장간단한정수비로나타낸실험식을구한다. ➍ 실험식량과분자량을비교하여분자식을구한다. [ 제시문 ( 라 )] 출전 : 화학I, 단원 I, 화학의언어 (EBS, 탐스런화학I, p.32, 상상아카데미, 고등학교화학 I, p.35) 배경지식고체나액체의경우원자, 분자, 이온의수는이들물질의질량을측정해서쉽게알수있다. 그러나기체는질량보다부피를측정하기가쉽다. 기체의부피로부터기체의분자수를알수있는데이는아보가드로법칙에따라항상 0 C, 1 기압에서기체 1몰이차지하는부피는기체의종류에관계없이 22.4L이기때문이다. 즉, 측정된부피가 11.2L이면기체의종류에관계없이 0.5몰의기체가존재한다. 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] 고등학교화학I 교과과정은주로화학의기본적인언어를습득하는것에주목적을두고있다. 이러한화학의기본적인개념중에서전자쌍반발이론은분자의구조예측에이용되는화학의필수적인기본언어이다. 탄화수소는자연계를구성하고있는물질중에서가장많이발견되는화합물로탄화수소를이루고있는화학결합의종류에따라분류될수있다. [ 문제 4-1] 은원소분석실험을통하여결정된실험식의개념을정확히이해하고, 이를탄화수소의일반식과연결하여탄화수소의분자식을결정하고분자량을계산할수있어야한다. 주어진분자식으로가능한탄화수소의이성질체가운데문제와제시문에주어진결합각에대한정보를이용하여이탄화수소의구조를결정하고, 이탄화수소의구조를예측할수있는지를평가한다. 탄화수소분자량의결정탄화수소의실험식만주고탄화수소의분자량과구조식을묻고있다. 일반적으로실험식만으로는분자량과구조식을결정할수없다. 문제에주어진조건과제시문 ( 가 ) 에주어진사슬모양의탄화수소의일반식에대한지식을통하여분자식을결정하여야한다. 주어진첫번째조건은탄화수소의결합각의최대값이 180 라는것이다. 제시문 ( 나 ) 에주어진전자쌍반발이론을이용하면중심원자가공유전자쌍을 2개가질때, 직선형모양을가지고 180 의결합각을가진다. 탄화수소의경우수소와수소사이의결합이삼중결합으로이루어져있을때, 180 의결합각을가진다. 이를통하여문제에주어진사슬모양의탄화수소는삼중결합을포함하고있는알카인이라는것을알수있다. 알카인의분자식은 C n H 2n-2 라는일반식을가진다. 이일반식을이용하면알카인탄화소수에포함된탄소와수소의개수비를다음과같이표현할수있다. C의개수 : H의개수 = n : 2n-2 095

97 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 이실험식을통하여탄소와수소의개수비가 3 : 5 이어야하므로 n : 2n-2 = 3 : 5 와같은비례식이성립한다. 이비례식을통하여 5n = 6n-6의방정식이성립함을알수있고이방정식으로부터 n = 6으로결정된다. 위의결과로부터주어진조건에적합한탄화수소의분자식이 C 6 H 10 으로결정되었다. 이제주어진탄화수소의분자식과각구성원자의원자량을이용하여이탄화수소의분자량을계산할수있다. C 6 H 10 의분자량 = 6x12( 탄소의원자량 ) + 10x1( 수소의원자량 ) = 82 문제에서탄화수소 1몰의분자량을물어보고있으므로계산된원자량에 g/mol 단위를붙이면 1몰당분자량을 82 g/mol 로결정할수있다. 탄화수소구조식의결정분자식은같지만구조식이달라서성질이다른화합물을구조이성질체라고한다. 탄소원자의수가 4개이상이되면긴사슬모양외에도가지가달린사슬모양의탄화수소가만들어진다. 구조이성질체는녹는점이나끓는점과같은물리적성질이다르므로서로다른물질이다. 또한알카인의경우삼중결합의위치에따라서도구조가달라지므로구조이성질체가존재한다. C 6 H 10 의경우가지가없이긴사슬모양으로탄소원자를배열한후삼중결합의위치를변화시켜가면서세가지다른모양의구조이성질체를만들수있다. 이세가지구조에서가지가달린모양의탄화수소를만들수있다. 우선 A 의구조에서가지를만들면아래의세가지이성질체를만 들수있다. 마찬가지로 B 구조에서가지를만들면아래와같다. 096

98 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-2] 고등학교화학I에소개되어있는원소분석실험은유기물의구성성분과조성비를결정하는가장중요한실험의하나이다. 일반적으로시료의질량이주어진상태에서원소분석실험을이용하여탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 의조성비가결정되고이를이용하여실험식이결정된다. [ 문제 4-2] 는시료의질량을문제에제시하지않고교과서에소개된연소반응실험의결과를이용하여원소분석실험에서결정하지못한산소 (O) 의조성비를유추할수있는지를확인하여, 원소분석실험의원리를정확히이해하고있는지를평가하는문제이다. 산소 (O) 의조성비를결정하기위해서제시된연소실험의결과와제시문에주어진아보가드로법칙을이용하여산소기체와이산화탄소기체의몰수비를파악하고, 주어진화학반응식의계수를결정하여시료의분자식을결정하게함으로써아보가드로법칙을정확히이해하고응용할수있는지를평가한다. 교과서에소개된원소분석실험과아보가드로법칙을정확히이해하고, 하나의실험에서부족한정보를얻어내기위하여다른실험을계획할수있는응용력을평가하는문제이다. 문제에서주어진실험결과들을이용하여시료 X의실험식을결정하려고한다. 일반적인원소분석장치를이용한실험에서는탄소, 수소, 산소로이루어진시료 X의무게가주어진다. 원소분석장치를이용하여시료에포함된탄소와수소의질량을결정한후, 시료 X의질량에서측정된탄소와수소의질량을빼주면산소의질량을결정할수있다. 그러나주어진문제에서는시료의질량이주어지지않은상태여서시료에산소가존재하는지, 산소가존재한다면얼마나존재하는지에대한정보를원소분석장치를이용한결과만으로는결정할수없다. 존재하는산소의질량을결정하기위하여추가적으로연소실험이진행되었고반응전과후의부피변화가측정되었다. 이연소실험의결과를이용하여시료에포함된산소의질량을결정하여야한다. 원소분석장치를이용한시료 X의탄소 (C) 와수소 (H) 의몰수비결정. 그림에서주어진것과같이시료 X의완전연소후에생성된물 (H 2 O) 은염화칼슘에의해서, 생성된이산화탄소 (CO 2 ) 는수산화나트륨에의해서흡수된다. 따라서염화칼슘관의무게증가로부터는생성된물의질량을, 수산화나트륨관의무게증가에서는생성된이산화탄소의질량을측정할수있다. 시료 X의성분을알아내기위해서는생성된물에포함된수소의질량과이산화탄소에포함된탄소의질량을알아내야한다. 물 (H 2 O) 에포함된수소의질량비는항상일정하므로측정된물의질량에물에포함된수소의질량비를곱하면시료 X에포함되어있던수소의질량을아래의과정과같이구할수있다. 수소의질량 = 원소분석장치에서측정된물의질량 Ⅹ 물에포함된수소의질량비. 물에포함된수소의질량비 = 수소의질량 = 탄소의질량 = 원소분석장치에서측정된이산화탄소의질량 Ⅹ 이산화탄소에포함된탄소의질량비이산화탄소에포함된탄소의질량비 = 탄소의질량 = 실험식을결정하기위해서는수소와탄소의개수비혹은몰수비가필요하다. 주어진질량을몰수비로바꾸기위해서는질량을원자량 으로나누어주어야한다. 따라서미지의시료를구성하는성분원소중탄소와수소의몰수비는이다. 097

99 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 이산화탄소와산소기체의몰수비결정 자연계열논술문항파악하기 두번째연소실험의결과에서시료 X의완전연소후에부피의변화가있는것을확인할수있다. 액체시료의부피가기체의부피보다월등히작아서무시할수있다면연소반응전에는산소 (O 2 ) 기체의부피가, 연소반응후에는이산화탄소 (CO 2 ) 기체의부피가측정된부피와같다. 제시문 ( 라 ) 에주어진아보가드로의법칙에따라서실험결과로주어진산소기체와이산화탄소기체의부피비는소모된산소기체와생성된이산화탄소기체의몰수비와같다. 즉, 문제에주어진계수를맞추지않은화학반응식에서산소기체와이산화탄소기체의몰수비 (400 : 300 = 4 : 3) 는화학반응식에서산소기체와이산화탄소기체의계수비와같다. 시료 X의실험식의결정. 위의두실험에서얻어진탄소 : 수소의몰수비와, 주어진화학반응식에서산소기체와이산화탄소기체의몰수비를이용하여시료 X 의실험식을구하고자한다. 미지의시료에서의산소의양을 라하면시료의실험식을 CH 2 O x 과같이나타낼수있다. 주어진화학 반응식을이용하기위하여는분자식을알아야하는데시료의분자식을모르므로위에서주어진시료의실험식과임의의정수 n을이용하여 (CH 2 O x ) n 과같이나타내도록하자. 이것은 C n H 2n O xn 을의미한다. 문제에주어진화학반응식의계수를포함하여다음과같이쓸수있다. (CH 2 O x ) n (l)+ b O 2 (g) c H 2 O(l) + d CO 2 (g) 산소와이산화탄소의계수비가 4 : 3이므로 b : d = 4 : 3이고이를이용하면 C n H 2n O xn (l)+ 4d/3 O 2 (g) c H 2 O(l) + d CO 2 (g) 주어진반응식에서탄소의개수를맞추려면 d = n이고수소의개수를맞추려면 2n=2c, 즉 n=c이다. C n H 2n O x*n (l )+ 4n/3 O 2 (g) n H 2 O(l ) + n CO 2 (g) 이제양변의산소의개수를일치시키려면이성립한다. 이식을풀면이고실험식은로주어진다. 제시문 ( 다 ) 에따라서실험식은원자개수의비율을가장간단한정수비로나타내야하므로시료의실험식은가된다. 098

100 자연계열논술문항파악하기 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안 제시문 ( 나 ) 에서결합각의최댓값이 180 이면삼중결합을하나는포함하고있다는것을알수있다. 제시문 ( 가 ) 에서삼중결합을하나가지고있는탄화수소의분자식은 C n H 2n-2 임을유추할수있고, 이러한탄화수소, 알카인중에서실험식 C 3 H 5 를가지는탄화수소를찾기위하여다음과같은간단한방정식을만들수있다. 알카인의일반식에서얻을수있는탄소와수소의개수비는 C의개수 : H의개수 = n : 2n-2 실험식에서얻을수있는탄소와수소개수의비는 C의개수 : H의개수 = 3 : 5 그러므로 n : 2n-2 = 3 : 5, 이비례식을풀면 5n = 6n-6 이고 n = 6 으로결정된다. n = 6이므로분자식은 C 6 H 10 이고이탄화수소의분자량은제시문 ( 다 ) 에주어진탄소와수소의원자량을이용하면 = 82 g/mol 이다. C 6 H 10 이삼중결합을가지는경우 7개의구조이성질체가존재할수있다. 그구조식은다음과같다. 099

101 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 채점기준 자연계열논술문항파악하기 C 6 H 10 의분자량 82 g/mol 혹은 82 를정확히제시하면 +5 점. C 6 H 10 의분자식을정확히표현하였으나분자량계산에실수가있었으면 +4 점. C 6 H 10 의분자식을정확히제시하지는못했지만, 탄화수소에삼중결합이존재한다, 혹은분자식을일반식 C n H 2n-2 로표시하여탄화수소가알카인이라는것을예측하면 +2점. 위에제시된구조식중에서하나를제시하면 +5점. 예시답안과다른구조식을그렸으나구조식의형식을갖추었으면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 2~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2] 탄소와수소의몰수비결정 제시문 ( 다 ) 에근거하여생성된이산화탄소는모두수산화나트륨에의해서흡수되므로생성된이산화탄소의양은 132 mg. 생성된물은모두염화칼슘에의해서흡수되므로생성된물의양은 54mg이다. 미지의시료에포함된탄소와수소의질량은다음과같다. 탄소의질량 = 생성된이산화탄소의질량 수소의질량 = 생성된물의질량 따라서미지의시료를구성하는성분원소중탄소와수소의몰수비는 이산화탄소와산소기체의몰수비결정 제시문 ( 라 ) 에근거하여미지의시료의실험식은 CH 2 O x 로나타낼수있고분자식은임의의정수 n을이용하여 (CH 2 O x ) n 과같이나타낼수있다. 문제에주어진실험식을이용하면 (CH 2 O x ) n (l)+ b O 2 (g) c H 2 O(l) + d CO 2 (g) 이고주어진화학반응식에서나타나는부피변화는모두기체상태의물질, 즉산소와이산화탄소에의해서결정된다. 제시문 ( 다 ) 에근거하면주어진실험결과로부터소모된산소와생성된이산화탄소의몰수비가다음과같음을알수있다. 산소의몰수 : 이산화탄소의몰수 = 400 : 300 = 4 : 3 이결과로부터위의화학반응식의계수 b와 d의관계는 b : d = 4 : 3이다. 실험식의결정 시료 X의탄소와수소의성분비가 1 : 2로정해져있으므로위의반응식의균형을맞추기위해서는다음의연립방정식을풀어야한다. 탄소의개수에서 d = n, 수소의개수에서 n = c, 산소의개수에서 nx + 2b = c + 2d 산소기체와이산화탄소기체의몰수비에서 b : d = 4 : 3 이므로. 산소의개수를맞추기위해서는,, 그러므로실험식은이고, 제시문 ( 가 ) 에근거하여가장간단한정수비로표현하면이다. 100

102 자연계열논술문항파악하기 채점기준 탄소와수소의몰비를 1 : 2로정확히제시하면 +5점. 탄소와수소의몰비는틀렸으나탄소의질량은이산화탄소에서수소의질량은물에서얻어낼수있다는것을명시하면 +2점. 실험의부피비에서산소기체 : 이산화탄소기체의몰비가 4 : 3인것을예측하면 +5점. 산소기체 : 이산화탄소기체의몰비를정확히계산하지못했지만아보가드로법칙을이용하여기체의부피에서몰수비를구하려하였으면 +3점 산소기체 : 이산화탄소기체의몰비를제시하지못했지만원소분석실험에서산소의조성비를구할수없다는것을명시하면 +2점 실험식 C 3 H 6 0을정확히구했으면 +10점. 실험식은틀렸으나산소의개수를맞추기위해서 과같은식을제시하면 +7 점 실험식은틀렸으나탄소와수소의성분비가일정하므로생성된물과이산화탄소의몰수비가같다. 즉화학반응식에서 c 와 d 가같다는것을명시하면 +5점. 실험식은틀렸으나 탄소의개수에서 d = n, 수소의개수에서 n = c, 산소의개수에서 nx + 2b = c + 2d 와같이화학반응식에서계수사이의관계를명시하면 +3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 2~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 101

103 제 3 장 자연계열논술문항체험하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 128 CHUNG ANG 2016

104 자연계열논술문항체험하기

105 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항체험하기 학생들이보다많은수학논술문항을체험할수있도록 [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 에해당하는유형의예시문제를각각 1 문항씩출제하고 이에대한예시답안과채점기준을수록하였다. 문제 1 20 점 민수가다음과같은게임을한다. 주사위가아주많이들어있는상자에서임의로주사위를하나고른후, 그주사위를임의로던진다. 주사위중 75% 는홀수가더잘나오도록개조되어있고, 25% 는짝수가더잘나오도록개조되어있다. 홀수가더잘나오는주사위를임의로던지면, 홀수가나올확률은 0.75이고, 짝수가나올확률은 0.25이다. 또한, 짝수가더잘나오는주사위는, 임의로던졌을때짝수가나올확률이 0.75이다. 민수는주사위를던져홀수가나오면만원을잃고, 짝수가나오면 2만원을상금으로받는다. 민수는게임을하기전에주사위를임의로고른다음, 그것을한번던져본후에같은주사위로게임을할지결정할수있다. 민수가주사위를골라서던졌을때, 홀수가나왔다고하자. 그주사위로게임을하기로했을경우, 민수가받을상금의기댓값을구하는과정을논리적으로설명하시오. 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 주사위를골라던져서짝수인지홀수인지맞추면상금을받는게임을할때상금의기댓값을구하는문제이다. 그러나, 주사위가개조되어있어확률이일정하지않고, 주사위를한번던져본후결과를보고그주사위로게임을할지결정할수있다는조건이있고, 주사위를골라서던졌을때홀수가나왔다는정보를알고있는경우상금의기댓값을구해야하는문제이다. 확률이 0이아닌사건 A에대하여사건 A가일어났다고가정할때, 사건 B가일어날확률을사건 A가일어났을때의사건 B의조건부확률이라고하고, 기호로 와같이나타낸다. 조건부확률의정의에서 이므로우변의분모, 분자를표본공간의근원사건의수 로나누면 이다.( 교학사적분과통계, III 확률, pp ) 104

106 자연계열논술문항체험하기 상금을확률변수로생각할때, 가능한값은 -1만원, 2만원이다. 각각의값에해당하는확률을구하기위해문제에주어진사건들과그사건들이발생할확률들을구해보자. 주사위를던져서홀수가나오는사건을 A라고하고, 짝수가나오는사건을 B라고하자. 또한, 주사위를하나골랐을때홀수가더잘나오는주사위일사건을 LA라고하고, 주사위를하나골랐을때짝수가더잘나오는주사위일사건을 LB라고하자. 그러면, 문제로부터다음의확률값을구할수있다. 이제, 주사위를처음던졌을때홀수가나오는사건을 A 1 이라고하고, 두번째던졌을때홀수가나오는사건을 A 2 라고하자. 그러면, 상금 이 -1 만원, 2 만원일확률은각각, 이고, 따라서상금의기댓값은 이된다. 은조건부확률의정의에의해 이고, 사건은와의합집합이고, 이두사건은서로배반이므로확률의덧셈정리에의해이다. 또한, 조건부확률의정의를이용하면위조건부확률의분모는다음과같이계산할수있다. 마찬가지로, 분자는 와같이계산할수있다. 따라서, 구하고자하는조건부확률은 이고, 상금의기댓값은 이다. 105

107 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항체험하기 예시답안 주사위를던져서홀수가나오는사건을 A 라고하고, 짝수가나오는사건을 B 라고하자. 또한, 주사위를하나골랐을때홀수가더잘 나오는주사위일사건을 LA 라고하고, 주사위를하나골랐을때짝수가더잘나오는주사위일사건을 LB 라고하자. 주어진문제에서 다음의확률값을알수있다. 이제, 주사위를처음던졌을때홀수가나오는사건을 A 1 이라고하고, 두번째던졌을때홀수가나오는사건을 A 2 라고하자. 상금의기 댓값을구하기위해서는먼저 을구해야한다. 그러면, 민수가받을상금의기댓값은 이된다. 조건부확률의정의에의해 이고, 분모는 와같이계산할수있고, 분자는 와같이계산할수있다. 따라서, 구하고자하는조건부확률은 이다. 따라서상금의기댓값은 즉, 1000 원을잃는것이다. 106

108 자연계열논술문항체험하기 채점기준 문제에서주어진확률값을정확한식으로표현하면 +3점 상금의기댓값을구하는식을바르게제시하면 +5점 필요한조건부확률을정확히구하면 +10점 상금의기댓값을정확히계산하면 +2점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 문제 2 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 좌표평면위의점를점으로하나씩대응시키는함수에대해 를만족시키는상수가있을때, 를일차변환이라고한다. ( 나 ) 일차변환를행렬로나타내면다음과같다. ( 다 ) 양수에대하여와이성립한다. ( 라 ) 양수에대하여 [ 문제 2-1] 두점를각각두점로옮기는일차변환이직선를직선 로옮긴다고하자. 를구하는과정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 축에대한대칭변환을나타내는행렬을, 직선 에대한대칭변환을나타내는행렬을, 원 점을중심으로 만큼회전하는일차변환을나타내는행렬을, 단위행렬을 라하자. 행렬 에대하여 이나타내는일차변환에의해점 이옮겨진점을 이라 고할때, 이되는자연수 의최솟값을구하시오. ( 단, 로계산할수있다.) [10점] 107

109 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 2-1] 은일차변환을행렬을통하여잘이해하고있는지평가하고있는문제이다. 문제의조건을만족하는일차변환를나타내는행렬을라하자. 점이에의해점으로옮겨지므로이다. 한편, 점이점로옮겨지므로이다. 이두식을한꺼번에쓰면, 다음의식을얻는다. 행렬의역행렬을양변에곱하여다음을얻는다. 직선위의임의의점가일차변환에의해옮겨진점을라하면, 점 가직선 위의점이므로, 이 다. 점 가직선 위에있으므로 이고이식에 을각각대입하여 을얻는다. 이것을정리하여 을얻는다. 이식은임의의 에대해서성립하므 로다음의연립방정식을얻는다. 이것을풀면, 이다. 따라서, 이다. [ 문제 2-2] 는우선여러가지일차변환을알고있는지평가한다. 일차변환과로그의성질을연계하여문제를해결해야한다. 점를축에대한대칭변환으로이동시킨점은이고를만족한다. 점를 직선에대한대칭변환으로이동시킨점은다음그림을통하여임을알수있고, 를만족한다. 만큼회전하는일차변환의행렬은이고단위행렬은이다. 108

110 자연계열논술문항체험하기 따라서, 이다. 를계산하면, 를얻는다. 이고이것을이용하여 을얻는다. 따라서, 이고 이다. 이짝수, 즉일때, 이므로이다. 즉, 이다. 양변에로그를취하여을얻는다. 이를정리하면이고는정수이므로이다. 이홀수, 즉일때, 이므로 이다. 즉, 이다. 양변에로그를취하여을얻는다. 이를정리하여이다. 는정수이므로이다. 따라서문제의조건을만족하는최소의자연수은이다. 109

111 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 2-1] 예시답안 두점을각각두점로옮기는일차변환를나타내는 행렬는을만족한다. 따라서, 직선위의임의의점가일차변환에의해옮겨진점는 을만족하므로 두식과을얻는다. 점가직선위에있으므로이고이식에을 각각대입하여정리하면을얻는다. 이식은임의의에대해서성립하므로 연립방정식을얻는다. 이연립방정식을풀면, 이다. 따라서, 이다. 채점기준 두점을각각두점로옮기는일차변환을나타내는 행렬가을만족함을제시하면 +3 점. 행렬렬를바르게구하면 +2 점. 연립방정식을찾으면 +3 점. 를바르게구하면 +2 점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2 점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10 점이내에서 ±0.5 점추가점수부여가능함. 110

112 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 2-2] 예시답안 이므로 이다. 간단한계산을하여 을얻는다. 이것을이용하여 임을알수있다. 따라서, 이고이다. 이짝수일때, 이므로 이다. 양변에로그를취하고정리하여을얻는다. 는정수이므로이다. 이홀수일때, 이므로이다. 양변에로그를취하고정리하여을얻는다. 는정수이므로이다. 따라서문제의조건을만족하는최소의자연수은이다. 채점기준 행렬를바르게구하면 +2점. 이홀수또는짝수임에따라을바르게구하면 +3점. 이홀수또는짝수임에따라을바르게구하면 +3점. 의최솟값을바르게구하면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2 점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10 점이내에서 ±0.5 점추가점수부여가능함. 111

113 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항체험하기 문제 3 다음제시문을읽고문제에답하시오. 그래프의각꼭짓점사이의연결관계를행렬을이용하여나타낼수있다. 그래프에서두꼭짓점이서로연결되어있 지않으면 0, 하나의변으로연결되어있으면 1, 두개의변으로연결되어있으면 2 와같은방법으로나타낸다. 그래 프를행렬로나타내면그래프에대한여러가지문제를행렬의연산으로풀수있다. 예를들어아래왼쪽의그래프를아래의행렬으로나타낼수있다. 그래프를나타내는행렬에대하여이를두번곱한이위오른쪽의행렬과같을때, 0, 1, 2 가의미하는바는 다음과같다. 2 열의 0 : A 에서 B 로두개의변을지나서가는경로는없다. 2 열의 1 : C 에서 B 로두개의변을지나서가는경로는한가지, C D B 가있다. 2 열의 2 : B 에서 B 로두개의변을지나서가는경로는두가지, B A B 와 B D B 가있다. 그래프에서각변이방향성이있어서, 아래왼쪽의그래프에서와같이한방향으로만갈수있을때, 이를아래의행 렬으로나타낼수있다. 위그래프를나타내는행렬에대하여, 위오른쪽의행렬을구하였는데, 1 행 4 열의항만이 1 이고나머지는모두 0 이다. 즉, A D 로가는경로만이두개의변을지나서갈수있다는것이다. A B 또는 A C 는두개의변을 지나서가는것이불가능하다. 112

114 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 3-1] 다음과같은그래프가있을때 A 에서 C 로 5 개의변을지나서갈수있는경우의수를행렬을이용하여 논리적으로구하시오. 단, 아래그래프를나타내는행렬을라고할때이성립한 다. [10 점 ] [ 문제 3-2] 다음과같은방향성있는변을가지는그래프가있을때 A 에서 C 로 9 개의변을지나서갈수있는경 우의수를행렬을이용하여논리적으로구하시오. 단, 아래그래프를나타내는행렬을 라고할때 이고, 는단위행렬, 는영행렬을나타낸다. [20 점 ] 113

115 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 자연계열논술문항체험하기 주어진그래프를행렬을이용하여나타내는방법을이해하여야한다. 행렬의 1, 2, 3, 4 행과, 1, 2, 3, 4 열이각각꼭짓점 A, B, C, D 를나타 낸다. A 에서 B 로가는변이하나있으면 1 행 2 열이 1 이된다. 방향성이없는변으로이루어진그래프에서 A 와 B 사이에변이있으면 1 행 2 열과 2 행 1 열이모두 1 이된다. 아래에몇가지예가있다. 방향성이없는변으로이루어진그래프를나타내는행렬에서모든항의합은그래프변의수의 2 배가된다. 위두그래프모두 4 개의방향 성없는변으로이루어져있고, 이를나타내는행렬의모든항의합은 8 이된다. 위의행렬에서 1 행 1 열, 2 행 2 열과같은대각선상의항들이 0 인이유는각꼭짓점에서다시그꼭짓점으로변을하나만지나서갈수있는 방법이없기때문이다. 이행렬을제곱하여얻은행렬은꼭지점사이에변을두개지나서갈수있는경로의수를나타낸다. 아래에 와 를제곱한행렬을나타내었다. 114

116 자연계열논술문항체험하기 행렬 의 1 행 1 열을보면꼭짓점 A 에서다시 A 로두개의변을지나서갈수있는경로가 3 개있음을알수있다. 그래프를확인해보면 A B A, A C A, A D A의경로를찾을수있다. 그래프의기본행렬을제곱한행렬의특징은대각선상의항들이모두 1 또는 1보다크다는것이다. 그래프의기본행렬을 n제곱한행렬은두꼭짓점사이에 n개의변을지나서갈수있는경로의수를알려준다. 방향성이있는변으로이루어진그래프를행렬로나타낼때변의시작꼭짓점을나타내는행과도착꼭짓점을나타내는열에위치한항만 1이된다. 다음의예를보자. 위그래프에서 A와 B사이에있는변은 A에서 B로향하는방향성이있다. B에서 A로갈수는없다. 따라서위그래프들의행렬와에서 A를시작꼭짓점으로하는 1행과 B를도착꼭짓점으로하는 2열에위치한항은 1이되고, B를시작꼭짓점으로하는 2행과 A를도착꼭짓점으로하는 1열에위치한항은 0이된다. 방향성이있는변으로이루어진그래프를나타내는행렬에서변의수와행렬의모든항의합은같다. 즉위에서그래프에는 4개의변이있고, 각행렬의모든항의합은 4이다. 이행렬을제곱하여얻은행렬은앞의와행렬에서와같이꼭짓점사이에변을두개지나서갈수있는경로의수를나타낸다. 이방향성있는변으로이루어진그래프의기본행렬을제곱한행렬은두꼭짓점사이에개의변을지나서갈수있는경로의수를알려준다. 115

117 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 3-1] 예시답안 방향성이없는변으로이루어진그래프가주어졌다. 이를행렬로표현하면다음과같다. 이문제에서구하고자하는것은 A 에서 C 로 5 개의변을지나서갈수있는경우의수이다. 따라서행렬 의 1 행 3 렬의항의값을구 하여야한다. 행렬에대하여아래와같은행렬방정식이문제에주어져있다. 이를이용하여행렬를다음과같이구할수있다. 구하고자하는답안은행렬의 1 행 3 열에있는 29 이다. 채점기준 행렬를바르게제시하면 +3 행렬의 1행 3열의항의값을구하여야한다는것을제시하면 +2 행렬를바르게제시하면 +3 답안을바르게제시하면 +2 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 116

118 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 3-2] 예시답안 방향성이있는변으로이루어진그래프가주어졌다. 이를행렬로표현하면다음과같다. 이문제에서구하고자하는것은 A 에서 C 로 9 개의변을지나서갈수있는경우의수이다. 따라서행렬 의 1 행 3 렬의항의값을구 하여야한다. 행렬에대하여아래와같은행렬방정식이문제에주어져있다. 이를이용하여행렬를다음과같이구할수있다. 구하고자하는답안은행렬의 1 행 3 열에있는 3 이다. 채점기준 행렬를바르게제시하면 +6 행렬의 1행 3렬의항의값을구하여야한다는것을제시하면 +4 행렬를바르게제시하면 +6 답안을바르게제시하면 +4 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 117

119 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항체험하기 문제 4 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 물체가아래그림과같이회전축을중심으로회전운동할때, 회전운동을발생하게만드는원인을돌림힘이라 고한다. 돌림힘는작용하는힘의크기와회전축에서힘이작용하는지점까지의거리에비례하며, 힘과 막대사이의각와관련된다. 돌림힘을식으로표시하면이다. ( 나 ) 전기장의 진동방향, 즉편광방향에따라빛을선택적으로통과시킬수있는판을편광판이라고한다. 편광이되지않은빛을편광판을지나게하면한방향으로편광된빛을얻을수있다. 그방향을편광축이라고한다. 임의의방향으로편광된빛을편광판을지나게하면편광판을통과한빛의편광은편광판의편광축방향으로변하고빛의세기가줄어든다. 빛의편광방향과편광축사이의각도가라면편광판을통과한빛의세기는이며, 이것을말루스법칙이라고한다. 여기서는편광판을통과하기전빛의세기이다. ( 다 ) 두장의직교하는편광판사이에갇힌액정분자는어떤원리로액정셀을통과하는빛의흐름을조절할수있는것일까? 액정분자를가두는두편광판의안쪽에특수한처리를하면액정분자는다음좌측그림과같이나선형으로꼬이면서누워있는상태가된다. 이렇게꼬여있는액정분자는첫번째편광판을통과한빛의편광상태를꼬여있는액정분자를따라돌게하면서두번째편광판을빠져나오게한다. 그렇지만만약액정셀에전압을가해서액정분자를다음우측그림과같이편광판에대해모두서있게하면빛의편광상태가돌지않으므로빛이거의통과하지못하게된다. 많은액정분자는긴방향의한쪽에 (+) 전하를, 다른한쪽에는 ( ) 전하를띠고있는데, 이런분자에전기장을가하면분자를쉽게돌릴수있다. 118

120 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 4-1] 그림과같이양끝에의전하를띠고길이가인액정분자가수평방향으로놓여있다. 만일이액정분자를 만큼회전시켜놓으면, 액정을초기위치로되돌리려는돌림힘이회전의반대방향으로 의크기로발생한다고하자. 방향으로균일한전기장을가하여액정분자를만큼 회전시켜놓으려할때필요한전기장의세기를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 액정은중심을회전축으로회전한다. [10 점 ] [ 문제 4-2] 편광축의각도가각각인편광판개가차례로놓여있다. 편광방향이고세기가인빛이편광축의각도가 0 인편광판에입사하여인편광판까지 모두통과한후빛의세기를이라고할때, 을구하는과정을논리적으로설명하시오. [20 점 ] [ 제시문출전 ] 제시문 ( 가 ) : 물리 I, 교학사, 김영민외, pp 제시문 ( 나 ) : 물리 II, 교학사, 김영민외, p.255 제시문 ( 다 ) : 물리 I, 교학사, 김영민외, pp

121 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 4-1 풀이 ] [ 문제 4-1] 은전기장을이용한액정의회전을돌림힘을이용하여설명하는문제로서다음과같은논리전개과정을통해답안을작성할수 있다. 액정분자가회전하면회전의반대방향으로돌림힘이발생하므로전기장을통해가해지는돌림힘이되돌아가려는돌림힘이상이어야한다. 전기장이가해지면액정의양끝에있는두전하가서로반대방향으로힘을받기때문에액정의중심을회전축으로하여돌림힘이발생한다. 액정분자가만큼회전하였을때, 전하와전기장에의한돌림힘는제시문 ( 가 ) 에의해다음과같다. 전하에의한돌림힘도같은방향, 같은크기이므로전기장에의한전체돌림힘은다음과같다 전기장에의한돌림힘이되돌아가려는돌림힘이상이라는조건에서다음과같이필요한전기장의세기를구할수있다. 를대입하면, 필요한전기장의세기는이다. 채점기준 전기장에의한돌림힘이되돌아가려는돌림힘이상이어야함을지적하면 +2점. 분자가만큼회전하였을때전기장에의한돌림힘을바르게구하면 +5점. 전기장의세기를바르게구하면 +3점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 120

122 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 4-2 풀이 ] [ 문제 4-2] 는편광축이점진적으로회전하는다중편광판을빛이통과했을때나타나는세기변화를말루스의법칙과극한값을통해설명 하는문제로서다음과같은논리전개과정을통해답안을작성할수있다. 첫편광판이후개의편광판에서편광축은씩회전한다. 각편광판을통과할때마다말루스의법칙에의해빛의세기에씩곱해지므로이다. 에서의극한값을구해야하는데, 직접구하기는난해하므로로그를취한후정리하면다음과같다. 위식의마지막항은 N 에서 0/0 꼴이므로분모와분자를모두 N 으로미분하면다음과같다. 의로그를취한극한값이 0 이므로에서의극한값은 1 이다. 따라서무한히많은편광판을통과할경우가되어빛의세기가줄지않음을알수있다. 채점기준 N 개의편광판에서편광축이씩회전함을지적하면 +2 점. 빛이각편광판을통과할때마다일정한비율로세기가줄어듦을지적하면 +3 점 말루스의법칙을적용하여를바르게구하면 +5 점. 로그를취한후정리하는방식을통해극한값을구할수있음을지적하면 +5 점. 극한값를바르게구하면 +5 점. 4 번항목에서로그를취하지않고다른독창적인방식으로극한값을바르게구하면 4-5 번항목에서 +10 점부여함. 타당한근거없이직관적으로의극한값을 1로설정하여답을쓴경우 4번항목의점수는 0점임. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 121

123 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항체험하기 문제 4 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) mrna 의유전정보는단백질합성시리보솜에서 3개의염기들이하나의유전암호로인식되어각각의아미노산으로해독된다. 여기서각아미노산을지정하는 mrna의 3개의염기단위를코돈이라고한다. 4종류의염기들의조합에의해만들어질수있는 64개의유전암호가운데 61개는 20종류의아미노산을암호화하는코돈이며, 나머지 3개는어떤아미노산도암호화하지않는데이를종결코돈이라고한다. ( 나 ) 진핵생물은원핵생물과달리전사에의해합성되는 mrna 를바로단백질합성에이용할수없다. 합성된 mrna 는단백질의아미노산서열에해당되는엑손외에인트론이라고하는염기서열을더갖고있다. 그러므로전사 후 mrna 에서인트론을제거하고, 엑손들을연결하여성숙된 mrna 를만드는가공과정이필요하다. ( 다 ) 분열하는세포는크기가작은딸세포를만들고딸세포는성장과정을거쳐다시분열하는과정을반복하는데, 이를세포주기라고한다. 세포주기는간기와분열기로구분되며, 세포주기의약 90% 는간기로이루어진다. 간기에는미토콘드리아나리보솜같은세포소기관의수가증가하고 DNA의복제가일어난다. 분열기에는핵분열과세포질분열이일어나며, 응축된염색체를관찰할수있다. 핵분열과정은염색체의모양과행동에따라전기, 중기, 후기, 말기로구분된다. 간기에는핵막과인이뚜렷하고핵속의염색체가실모양으로풀어져서존재한다. 전기에는핵막과인이사라지고염색체가응축되어나타난다. 이때염색체는두가닥의염색분체로이루어져있다. 세포의양극에서는염색체의이동에필요한방추사가나타나기시작하고방추사는염색체의동원체에부착된다. 중기에는염색체가세포의중앙으로이동하여배열된다. 후기에는염색분체가분리되어양극으로이동한다말기에는염색체가풀어지고핵막과인이다시나타나며세포질분열이일어난다. ( 라 ) 정상세포를배양하면일정한수만큼분열한후더이상분열하지않는다. 그러나암세포는세포주기를지속적으로반복하기때문에영양분이계속공급되는상황에서는무한정분열할수있다. 이러한암세포의특성은세포주기를조절하는신호를무시하기때문인것으로알려져있는데, 많은암세포에서세포주기를조절하는유전자의이상이발견된다. [ 문제 4-1] 다음은어떤단백질을암호화하는진핵생물유전자의 DNA 염기서열일부와이로부터만들어진아미노산의서열을나타낸것이다. 돌연변이가발생하여 DNA 염기서열중밑줄친 A(A) 가 C로바뀔경우이 DNA 서열로부터만들어지는아미노산의서열을예측하고, 그이유를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 아래의유전암호표를참고하시오. [10점] DNA 염기서열 : 5 ATGGGCTACGTAACCTAGGACAAGTTCGGGTAG 3 아미노산서열 : 메싸이오닌 - 글라이신 - 타이로신 - 발린 - 트레오닌 - 글라이신 122

124 자연계열논술문항체험하기 첫 번째 위치 두번째위치 U C A G U 페닐알라닌타이로신시스테인 C U 세린종결종결 A 류신종결트립토판 G U 히스티딘 C C 류신프롤린아르기닌 A 글루타민 G U 아스파라진세린이소류신 C A 트레오닌 A 라이신아르기닌 * 메싸이오닌 G U 아스파트산 C G 발린알라닌글라이신 A 글루탐산 G 세 번째 위치 * : 개시코돈이기도함. 종결 : 종결코돈 [ 문제 4-2] 약물 X는새롭게개발된항암제이다. 이약물의작용원리를알아보기위하여아래와같은두가지실험을수행하였다. ( 실험 1) 배양접시 I에서배양한암세포를고정한후, 현미경시야에보이는세포들을관찰하여세포주기의간기와분열기에해당하는세포수를조사하였다. 다른배양접시 II에는약물 X를처리하고 12시간후에암세포를고정하여같은방식으로세포수를조사하여그결과를아래표정리하였다. 단, 약물처리전에배양접시I과 II의암세포의밀도등실험조건은동일하다. 구분 배양접시 I 배양접시 II 간기 분열기 ( 실험 2) 약물 X를처리했을때 ( 실험 1의배양접시 II) 와처리하지않았을때 ( 실험 1의배양접시 I), 암세포의분열과정 에서세포주기에따른특정염색분체사이의거리변화를관찰하였더니아래그래프와같았다. 약물 X 의항암작용원리를 ( 실험 1), ( 실험 2) 의결과와제시문 ( 다 ), ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오.[20 점 ] 123

125 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 제시문의분석및배경지식 자연계열논술문항체험하기 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : 생명과학 II, 상상아카데미, 이길재, p.123 배경지식 유전암호 : DNA의유전정보는아데닌 (A), 타이민 (T), 구아닌 (G), 사이토신 (C) 의 4종류염기들이만들어내는염기서열로존재한다. DNA에저장되어있는유전정보는 RNA 중합효소에의해 mrna 서열로전사된다. 이때 mrna의염기서열정보가단백질의아미노산서열정보로번역되기위해서는유전암호가필요하다. mrna의유전정보는단백질합성시리보솜에서 3개의염기들이하나의유전암호로인식되어각각의아미노산으로해독된다. 여기서각아미노산을지정하는 mrna의 3개의염기단위를코돈이라고한다. 4종류의염기들의조합에의해만들어질수있는 64개의유전암호가운데 61개는 20종류의아미노산을암호화하는코돈이고 UGA, UAG, UAA의 3개는어떤아미노산도암호화하지않는종결코돈이다. 단백질번역과정에서리보솜이종결코돈을만나면단백질합성을멈춘다. [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 생명과학II, 상상아카데미, 이길재, p.131 배경지식 mrna 가공과정 : 일반적으로진핵생물은원핵생물보다매우복잡한세포구조와유전체구성을갖고있어유전자발현과정도원핵생물보다훨씬다양하고복잡한방법으로조절된다. 주로 mrna가합성되는전사단계에서유전자발현이조절되는원핵세포와달리진핵세포는전사단계뿐만아니라 RNA 가공및수송과정, 번역, 단백질변형과정등여러단계에서조절이이루어진다. 제시문에서설명하고있는바와같이진핵생물은 RNA 중합효소에의해합성되는 mrna가가공과정을거쳐성숙된 mrna로만들어져야번역에이용될수있다. 처음합성된 mrna 염기서열은엑손부분과인트론부분으로나누어진다. 엑손은진핵생물의유전자가운데최종단백질산물을만들어내는부분이며, 인트론은유전정보를가지고있지않아서단백질을만들지못하는엑손과엑손사이에존재하는영역이다. 따라서전사가일어난후에유전정보를가지고있지않은인트론부위를잘라내고인트론주변에위치한엑손들을다시연결하는가공과정을거쳐성숙된 mrna가만들어진다. [ 제시문 ( 다 )] 출전 : 생명과학I, 천재교육, 이준규, pp.48 ~53 배경지식세포주기 : 세포주기중간기는 G 1 기, S기, G 2 기로구분된다. G 1 기는 DNA를복제하기전생장기로, 복제를준비하는시기이다. S기에는 DNA의복제가일어나는데, 복제된 DNA는서로부착되어있다가분열기가되면응축된다. G 2 기는세포가분열하기전분열을준비하는시기로, 세포분열에필요한방추사의재료가되는단백질과세포막을구성하는물질이합성된다. 세포분열의준비를마친세포는분열기로들어간다. 분열기 (M기) 는핵분열과세포질분열로이루어지며, 응축된염색체를관찰할수있다. S기에 DNA가복제된결과염색체는두가닥의염색분체로이루어지며, 분열기에염색분체는각각딸세포로나누어져들어간다. 분열기를지나면 2개의딸세포가형성되며, 딸세포는간기를거친후다시분열기에접어들어세포주기를반복한다. 우리몸을구성하는세포들중분열하지않는 124 세포들에서는세포주기가진행되지않지만, 분열하는체세포는세포주기를따라간기와분열기를반복한다.

126 자연계열논술문항체험하기 [ 제시문 ( 라 )] 출전 : 생명과학I, 천재교육, 이준규, p.51 배경지식세포주기와암세포 : 우리몸을구성하는세포의세포주기조절에이상이생기면세포가비정상적으로분열을반복하는암세포로변화할수있다. 암세포는정상세포와비교하여다음과같은특징을가진다. - 세포분열을촉진하는물질이없어도계속해서분열하여여러층으로쌓인다. - 세포들끼리접촉해도분열이억제되지않는다. - 구조화되지않고여러층을형성한다. - 제기능을잃고주위의다른조직으로침범하는 전이 가일어난다. 2. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 에서는제시문 ( 가 ) 에설명된코돈의개념과제시문 ( 나 ) 에설명된 mrna 가공과정을충분히이해했는지를평가하고자하였다. 제시된유전암호표를활용하여문제에주어진가상의 DNA 서열을번역해내는과정에서 DNA 상의일부서열은아미노산에대한정보를암호화하지않는인트론임을알아낼수있는응용능력을요구하는문제이다. 문제에주어진 DNA서열을앞에서부터 3개씩나누어보면다음과같다. 5 -ATG-GGC-TAC-GTA-ACC-TAG-GAC-AAG-TTC-GGG-TAG-3 위와같이염기들을정확히 3 개씩나눌수있는데, 이를주어진암호표를이용해번역해보면다음과같은아미노산서열을얻게된다. [ 메싸이오닌 - 글라이신 - 타이로신 - 발린 - 트레오닌 - 종결 - 아스파트산 - 라이신 - 페닐알라닌 - 글라이신 - 종결 ] 위와같이번역이되었다면종결코돈에서번역이멈추어 [ 메싸이오닌- 글라이신-타이로신 -발린-트레오닌 ] 와같은아미노산이만들어져야하는데문제에서제시된아미노산서열은위서열중 [ 종결코돈-아스파트산 -라이신-페닐알라닌 ] 부분이생략된채마지막에글라이신이번역되었다. 이는 [ 종결코돈-아스파트산 -라이신-페닐알라닌 ] 부분에해당하는 DNA가실제로는번역되는정보가아님을제시하는것이다. 즉, 이부분에해당하는염기서열 [TAG-GAC-AAG-TTC] 은인트론이라고유추해볼수있다. 문제에서밑줄친 A는인트론에해당하는부위이므로이염기가다른염기로치환된다고하더라도최종적으로만들어지는아미노산서열에는영향을미치지않는다. 암호표를이용하여염기서열을번역할수있고, 또인트론에해당하는부위가어디인지정확하게알아내는것이이문제의핵심이다. 125

127 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2] 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 4-2] 에서는제시문 ( 다 ) 에설명된세포주기에대한설명을바르게이해하고있는지평가하고자하였다. 제시문이외에추가로주어진두가지실험결과를분석하여문제의약물이세포주기의어떤단계에어떤방식으로작용하는지를논리적으로유추해낼수있는능력을요구하는문항이다. ( 실험1) 에서약물을처리한배양접시 I과배양접시 II를비교해보면배양접시II에서배양접시I에비해 i) 전체적인세포의수가감소하였고, ii) 간기에있는세포의수가감소하였으며, iii) 분열기에있는세포의수가증가하였다. 전체적인세포의수가감소한것은항암제가암세포를죽이기때문인것으로유추해볼수있으며, 간기와분열기에해당하는세포의수가변화한것은처리한약물 X가암세포의세포주기에영향을주었을가능성을제시하고있다. 또한, 분열기에속한세포수가증가하고간기의세포수가감소했다는것은세포주기가한번분열기접어든후에다시간기로진행되지못했기때문이라고유추할수있다. ( 실험2) 의결과를통해서약물 X의기능에대해보다구체적인정보를파악할수있다. ( 실험2) 는세포의분열과정에서세포주기에따른특정염색분체사이의거리변화를관찰한그래프인데, 해당하는세포주기를표시해보면다음그림과같다. 간기에는염색분체들이아직만들어지지않았거나, 간기의 S기에 DNA가복제되어염색분체가만들어진후에도분열기 (M기) 의중기까지는염색분체들끼리서로붙어있는시기이므로염색분체사이의거리는 0 이다. 중기에는염색분체들이세포의중앙에배열되어있다가후기에서부터양쪽극으로이동하게되므로염색분체사이의상대적인거리는증가하게되는것이다. 약물 X를처리한경우에는후기, 말기로세포주기가진행을함에도불구하고염색분체들사이의거리가멀어지지않는것으로보아, 약물 X는세포주기중중기이후에염색분체의분리와이동을방해하는역할을하는것을알수있다. 결과적으로약물 X에의해암세포의세포주기가 M기에서멈추게되고, 이런세포들은저절로사멸하게된다. 따라서약물 X를처리하면전체적인세포의수가감소하게되는것이다. 실제로방추사의형성이나작동을억제하는약물들을항암제로개발하려는시도가진행되고있으며한예로탁솔 (Taxol) 을들수있다. 3. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안 문제에서주어진염기서열을유전암호표를이용하여번역하면 [ 메싸이오닌 - 글라이신 - 타이로신 - 발린 - 트레오닌 - 종결 - 아스파트산 - 라이신 - 페닐알라닌 - 글라이신 - 종결 ] 이된다. 126

128 자연계열논술문항체험하기 문제에서주어진아미노산서열과비교해보면중간에있는 [ 종결코돈 - 아스파트산 - 라이신 - 페닐알라닌 ] 부분이존재하지않는다. 이를 통해 [TAGGACAAGTTC] 는인트론임을유추할수있다. 따라서밑줄친 A 가 C 로바뀌더라도이부분은번역이되지않으므로여전히만들어지는아미노산의서열은처음과같이 [ 메싸이오 닌 - 글라이신 - 타이로신 - 발린 - 트레오닌 - 글라이신 ] 이될것이다. 채점기준 [ 메싸이오닌-글라이신-타이로신 -발린-트레오닌-글라이신 ] 이라고적었을경우 +5점 주어진염기서열과아미노산서열을비교분석하여인트론부위를올바로찾아내고, 밑줄친염기가인트론에해당하는부위에속해있으므로최종적으로만들어지는아미노산서열은처음과같다는이유를올바로설명한경우 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2] 예시답안 ( 실험 1) 의결과를보면약물 X 를처리했을때간기에해당하는세포의수는감소했으며분열기에해당하는세포의수는증가하였다. 또 한, 전체적인세포의수가감소하여이약물이함암효과를가진다는것을알수있다. 이를통해약물 X 는세포주기가분열기로들어간후에다시간기로진행되지못하게하는역할을하는것으로생각할수있다. ( 실험 2) 의결과에의하면약물 X 를처리하면세포주기가진행될때일어나는염색분체들사이의거리증가가나타나지않는다. 염색분체들은분열기의중기까지서로붙어있다가후기부터양쪽극으로이동하며, 이때방추사가중요한역할을한다. 따라서약물 X 는방추사의형성이나기능에영향을주어염색분체들의이동을막는역할을한다는것을알수있다. 즉, 약물 X 는세포주기단계중분열기에서염색분체들의이동을억제하여, 세포주기가계속해서진행하지못하고분열기중중기에 멈추게하는작용을한다. 채점기준 ( 실험1) 의결과를논리적으로해석하여약물 X가세포주기를분열기에서멈추는작용을한다는내용을설명하였으면 +10점 ( 실험1) 에대해세포주기의진행억제에대한설명없이약물 X가단순히분열기세포수를증가시킨다는내용만있으면 +5점 ( 실험2) 의결과를논리적으로해석하여약물 X가방추사의기능을억제할것이라는내용이있으면 +5점 ( 실험2) 의결과를올바로해석하여약물 X가세포주기를중기에멈추게한다는설명이있으면 +5점 방추사나세포주기의단계에대한정확한설명이없이약물 X가세포주기에영향을준다는내용만있으면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 127

129 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항체험하기 문제 4 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 보어의원자모형에서 K, L, M, N, 의각전자껍질에번호를붙이고, 기호 n(n 은자연수 ) 으로표시하면다음 과같다. K 전자껍질 (n=1), L 전자껍질 (n=2), M 전자껍질 (n=3), N 전자껍질 (n=4), 이때 n 에따라각전자껍질이가지는에너지준위는다음과같다. En = R/n 2 kj/mol(n=1, 2, 3, 4, ), R 은상수 전자껍질들중에서에너지준위가가장낮은전자껍질에전자가존재하는상태를바닥상태라하고바닥상태의 전자가에너지를흡수하여바닥상태보다에너지준위가높은전자껍질에존재하는상태를들뜬상태라고한다. ( 나 ) 원자에에너지를가하면가장바깥전자껍질에배치되어있는원자가전자가원자핵으로부터떨어져나오게된 다. 기체상태의중성원자 1 개로부터전자 1 개를무한히먼거리로떼어내는데필요한에너지를이온화에너지 라고한다. ( 다 ) 화학반응은여러가지다른속도로일어난다. 화학반응의속도는단위시간동안에감소한반응물질의농도나 증가한생성물질의농도로나타낼수있다. 반응속도 = 반응물질의농도변화량 반응시간 = 생성물질의농도변화량반응시간 다음과같은일반적인반응의경우를생각하여보자. aa + bb cc + dd 이반응의반응속도는 = k[a] m [B] n 으로표시된다. 여기서비례상수 k 는반응속도상수라고하는데, k 는반 응에따라고유한값을가지며, 농도와는관계가없고온도에따라변하는값이다. 또한, 지수 m 과 n 의합을반응 차수라고하며, 이들은실험을통하여결정된다. 1 차반응은어떤시점에서남아있는반응물질의양이절반으 로줄어드는데걸리는시간이일정하며, 이시간을반감기라고한다. ( 라 ) 화학반응식에서각물질의계수비는반응에관여한물질의분자수비와몰수비, 부피비를의미한다. 이때, 몰과 입자수, 몰과질량, 몰과기체의부피관계를이용하면반응물과생성물의몰수, 입자수, 질량, 부피를구할수있 다. 따라서화학반응식의양적관계를알기위해서는물질의양을먼저몰수로환산하면편리하다. 128

130 자연계열논술문항체험하기 [ 문제 4-1] 바닥상태에있는수소원자 [H(g)] 1몰에자외선을조사하여수소원자 [H(g)] 의일정량을전자가 L껍질로전이된들뜬상태로만들었다. 들뜬상태로전이된수소원자의양을측정하기위하여아래의표와같이자외선조사전과후의수소기체의이온화에너지를측정하였다. 실험의결과를이용하여들뜬상태로전이된수소원자 [H(g)] 의몰수를구하는과정을제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [10점] 구분자외선조사전자외선조사후 이온화에너지 kJ/mol kj/mol [ 문제 4-2] 오산화이질소 [N 2 O 5 (g)] 는다음과같은화학반응식으로분해반응이일어난다. 2N 2 O 5 (g) 4NO 2 (g) + O 2 (g) 시간에따른반응물 N 2 O 5 농도를시간에따라다음과같은조건에서측정하였다. 50 에서초기농도가 0.08M인 N 2 O 5 의분해반응이부피가일정한용기안에서일어날때, 반응물 N 2 O 5 의농도변화는아래그래프와같다. 이반응의반응차수와반응속도식을그래프로부터추론하고, 시간 60초에서산소기체의농도를구하는과정을제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [20점] 1. 제시문의분석및배경지식 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : 화학 I, 단원 II, 개성있는원소 (EBS, 탐스런화학 I, pp ) 배경지식 원자내의전자는핵을중심으로등속원운동을한다. 이러한전자가갖는에너지는전자의운동에너지와핵과전자사이의퍼텐설에너지의합인이된다. 여기서는비례상수, 는전자의질량, 는핵의양성자수를말한다. 전자가원운동을하므로구심력은정전기적인력과같아이된다. 129

131 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 보어는이를각운동량의관점에서정리하여각운동량이의정수배라고가정하였다. 자연계열논술문항체험하기 이를바탕으로에너지준위를정리하면이된다. 이때을뤼드베리상수라하고, 수소원자는이고, 전자 1 몰에대한에너지로구하면이된다. [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 화학I, 단원 II, 개성있는원소 (EBS, 탐스런화학I, pp ) 배경지식기체상태의원자 1몰로부터전자 1몰을떼어내어이온으로만드는데필요한최소에너지를이온화에너지라고한다. 기체상태의중성원자에서전자를순차적으로떼어낼때필요한에너지를순차적이온화에너지라고하며, 제1 이온화에너지 (E1), 제2 이온화에너지 (E 2 ), 제3 이온화에너지 (E 3 ), 로나타낸다. 원자로부터원자가전자수만큼의전자를떼어내기는비교적쉽지만, 그이상의전자를떼어낼때는이온화에너지가매우커지므로, 순차적이온화에너지값을해석하면그원자의원자가전자수를예측할수있다. [ 제시문 ( 다 )] 출전 : 화학II, 단원 IV, 화학반응속도 (EBS, 탐스런화학II, pp , ) 배경지식반응속도는화학반응이얼마나빨리일어나는지를나타내는것으로화학반응이일어나는동안단위시간동안감소한반응물의농도나증가한생성물의농도로나타낼수있다. 반응속도는반응물의농도에따라결정되면 aa + bb cc + dd와같은화학반응의 경우, 반응속도식은반응물의몰농도의곱으로 = k[a] m [B] n 와같이표현된다. 여기서 k 는반응속도상수라고하는데, k 는반응에 따라고유한값을가지며, 농도와는관계가없고온도에따라변하는값이다. 반응속도식에서 m 과 n 은각각 A 와 B 의반응차수이며, 전체반응에대한반응차수는 (m+n) 이다. 반응속도식에서반응차수 m 과 n 은실험을통해서만구할수있고화학반응식에서의계수 와는관계가없다. 간단한반응속도식을가지는화학반응으로 0 차반응과 1 차반응이있다. 0 차반응의경우는반응차수가 0 이므로 = k[a] m [B] n 에서 = k가됨을알수있다. 이경우반응속도가반응물의농도에관계없이일정한반응이라는것을알수있다. 즉이러한 0차반응의경우는반응물의농도가일정한비율로계속감소한다. 1차반응의반응속도식은 = k[a] 와같이주어진다. 즉반응속도가반응물의농도에비례하여, 반응물의농도가높으면반응이빨리진행되고반응물의농도가감소하면반응의속도가감소한다. 이러한 1차반응은일정한반감기를가지게된다. 반감기는반응물의초기농도가절반으로되는데까지걸리는시간을말한다. 즉임의의 1차반응에서반응물의초기농도를 C라고하면초기농도 C가 C/2로되는데소요되는시간은다시이농도 C/2가절반인 C/4로되는데걸리는시간과동일하다. 즉 1차반응에서반감기는초기농도에상관없이일정하다. 130

132 자연계열논술문항체험하기 [ 제시문 ( 라 )] 출전 : 화학I, 단원 I, 화학의언어 (EBS, 탐스런화학I, p. 51) 배경지식화학식을이용하여화학변화를나타낸것을화학반응식이라고한다. 화학반응식은화살표 ( ) 를기준으로반응물은왼쪽에생성물은오른쪽에나타낸다. 주의할점은반응전후원자의종류와수가같도록계수를맞추어야하는것이다. 이러한화학반응식으로부터반응물과생성물의종류뿐만아니라반응에관한다음과같은여러가지정보를얻을수있다 : 계수의비, 분자수의비, 몰수의비, 기체의부피비, 질량비. 이중에서질량비를제외한모든비는계수의비와동일하다. 즉정확한화학반응식을알고있으면계수를이용하여화학반응에서의양적관계에대한파악이가능하다. 이중에서질량비는몰수비와각분자의질량을이용하여구할수있다. 일반적으로는각분자의질량을분자량으로나누어몰수를구한다음에화학반응식을이용하여반응의양적관계를파악하는것이편리하다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안 수소원자 1 몰이자외선을쪼인후에일부가들뜬상태로전이하였으므로들뜬상태에있는수소원자의양을 x 몰이라고하면바닥상 태에남아있는수소원자의양은 (1- x) 몰로표현할수있다. 제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 를이용하면바닥상태와들뜬상태의이온화에너지를아래와같이표시할수있다. 바닥상태의이온화에너지 : 들뜬상태의이온화에너지 :, L 전자껍질 (n=2) 로전이하였다고하였으므로 n=2 만고려한다. 제시문 ( 가 ) 에주어진에너지준위를이용하여이온화에너지를구할때필요한에너지준위에대한식을정리하면아래와같다. 이결과를바탕으로바닥상태와들뜬상태의이온화에너지를나타내면다음과같다. 바닥상태의이온화에너지 = 들뜬상태의이온화에너지 = 실험결과에서자외선조사전에는모든수소원자가바닥상태에있으므로다음의관계식을이용하여상수 R값을구할수있다. 바닥상태의이온화에너지 = R = kj/mol. 자외선조사후에측정된이온화에너지는아래와같이바닥상태의이온화에너지와들뜬상태의이온화에너지의조합으로이루어진다. 자외선조사후의이온화에너지 = ( 바닥상태의이온화에너지 ) x (1-x) + ( 들뜬상태의이온화에너지 ) x = R(1- x) + R/4 X x = kj/mol 위의식에서상수 R은이미주어져있으므로 (1-x) + x /4 = /1312 = 주어진식을풀면 x=0.1 즉, 1몰의수소원자중에서 0.1 몰의원자가들뜬상태로전이된다. 131

133 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 채점기준 자연계열논술문항체험하기 제시문 ( 가 ) 에서주어진에너지준위를이용하여바닥상태와들뜬상태의이온화에너지를표현하였으면 +3점 자외선조사전의이온화에너지를이용하여상수 R값을 kj/mol로결정하였으면 +3점. 자외선조사후의이온화에너지값을이용하여들뜬상태의수소원자의몰수를정확히구하였으면 +4점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2] 예시답안 제시문 ( 다 ) 에서, 어떤시점에남아있는반응물질의양이절반으로줄어드는데걸리는시간, 즉반감기가일정한반응을 1차반응이라고명시하였다. 문제에주어진그래프를보면초기농도 0.08M이 0.04M로감소하는데걸린시간이 15초라는것을알수있다. 또한, 0.04M이절반의농도인 0.02M로되는데걸린시간이 15초라는것을알수있다. 이와같이반감기가 15초로일정하므로주어진반응은 1차반응이라는것을알수있다. 제시문 ( 다 ) 에따라반응속도식은비례상수 k 와반응물의농도그리고반응차수를이용하여표현할수있다. 주어진반응에서반응 물은 [N 2 O 5 (g)] 이고반응차수는 1 차인반응이므로반응속도식은다음과같다. = k[n 2 O 5 ] 주어진화학반응식에서 60초후의산소기체의농도를알기위해서는우선 60초후에남아있는반응물 [N 2 O 5 (g)] 의양을알아야한다. 주어진반응이 1차반응이라는것을이해하면 60초후의반응물의농도도쉽게추론할수있다. 즉한번의반감기 (15초) 후의농도는 0.04M, 두번의반감기 (30초) 후의농도는 0.02M, 세번의반감기 (45초) 후의농도는 0.01M, 네번의반감기 (60초) 후의농도는 0.005M이다. 반응이진행된용기의일정한부피가 1L라고가정하면 60초의반응시간후에소모된 [N 2 O 5 (g)] 의몰수는 = 0.055이다. 아래의화학반응식의계수비를이용하면생성된산소기체의몰수는 임을알수있다. 즉생성된산소기체의농도는 27.5mM 이다. 2N 2 O 5 (g) 4NO 2 (g) + O 2 (g) 채점기준 제시문 ( 다 ) 와그래프에주어진정보를이용하여반응의차수를논리적으로설명하면 +5점 제시문 ( 다 ) 에주어진정보를이용하여반응속도식을정확히표현하면 +5점. 제시문 ( 다 ) 와그래프에주어진정보를이용하여 60초후의반응물의농도를논리적으로추론하면 +5점. 제시문 ( 라 ) 에의거하여주어진화학반응식의계수비로부터몰수비를계산하고산소기체의농도를정확히제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 132

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135 서울캠퍼스 서울특별시동작구흑석로 84 Tel /6114 안성캠퍼스 경기도안성시대덕면서동대로 4726 Tel /4114 입학안내 Tel 본교의동의없이무단복제하거나임의로사용할수없습니다.

136 2016 학년도 중앙대학교 논술백서 자연계열별책부록

137 Contents 01_ 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 Ⅰ) 1. 수학 생명과학 물리 화학 _ 학년도수시일반논술 ( 자연계열 Ⅱ) 1. 수학 생명과학 물리 화학 _ 학년도모의논술Ⅰ 1. 수학 생명과학 물리 화학 _2 015 학년도모의논술Ⅱ 1. 수학 생명과학 물리 화학 32

138 01_2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 Ⅰ) 1. 수학 [ 문제 1] 공과주사위를이용하여상금이결정되는게임이있다. 바구니안에 1~6까지번호가하나씩적혀있는 6개의공이들어있다. 이바구니에서임의로한개의공을꺼낸후, 주사위를던져서 4 이하의눈이나오면꺼낸공의번호에 1000원을곱한금액을상금으로받으며, 주사위를던져서 5 또는 6의눈이나오면바구니에서꺼낸공의번호에관계없이 2000원을상금으로받는다. 특별히주사위의눈이공의번호와일치할경우, 상금은두배가된다. 이게임에서상금의기댓값을구하시오. [20점] [ 문제 2] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 다항식를다항식로나누었을때의몫을, 나머지를이라하면 ( 단, 의차수는의차수보다낮다.) 의꼴로나타낼수있다 ( 나 ) 에대한두다항식 ( 단, ) 에대해의꼴로나타내어지는식을유리식이라한다. 특히, 이면는다항식이다. 예를들어, 아래의식은모두유리식이다. ( 다 ) 일때, 이성립한다. [ 문제 2-1] 다항식 을 으로나눈나머지를 라할때, 계수 를각각구 하시오. [10점] 01

139 [ 문제 2-2] 가에대한유리식이되도록상수를정하시오. [10 점 ] [ 문제 3] 다음제시문을읽고문제에답하시오. 아래왼쪽그림에서원을포함하는평면과이평면의축을공유하는평면이있고, 두평면이이루는각이이다. 평면위의원을 평면위에정사영하면타원이되고, 이타원의넓이는원의넓이에를곱한것과같다. 평면위에반지름이이며, 중심이원점인원이있을때, 이원위의점의좌표는다음과같다. 여기서는원점과점를연결한선이축과이루는양의각도이다. 이원을평면위에정사영하면장축의길이가이고, 단축의길 이가인타원이된다. 이때이다. 원위의점는타원위의점로정사영되고, 타원을포함하는평면의좌표계에서 의좌표는다음과같다. 평면위의좌표계와평면위의좌표계를일치시켜타원과원의관계를나타내면아래오른쪽그림과같다. [ 문제 3-1] 제시문에서는선분이축과이루는양의각도이다. 제시문에근거하여의좌표를로나타내시오. 단, 이다. [10 점 ] 02

140 [ 문제 3-2] 제시문에주어진타원의장축의길이가, 단축의길이가, 일때, 제시문에근거하여부채꼴의면적을구 하시오. [20 점 ] 2. 생명과학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 자극을받지않았을때신경세포 ( 뉴런 ) 의세포막에형성되어있는막전위를측정해보면뉴런의내부는음 ( ) 으로, 외부는양 (+) 으로대전되어전위차가나타난다. 이때형성되는세포막내외의전위차를휴지전위라고한다. 사람의경우휴지전위는약 70mV 이며, Na + -K + 펌프와 Na + 통로및 K + 통로에의해유지되고있다. 세포안팎의농도차에따라 Na + 은세포내부로, K + 은세포외부로확산되려고하는데, 이온은지질성분의세포막을통과하지못하므로각각 Na + 통로와 K + 통로를통해세포안팎으로확산된다. 이때 Na + 통로에비해 K + 통로가열려있는것이더많아 Na + 에비해 K + 의투과도가더높다. 이때문에 K + 이세포외부로빠져나가고, 또내부에존재하는단백질이 ( ) 전하를띠고있기때문에뉴런내부는 ( ), 뉴런외부는 (+) 가되며, 막내외의전위차가 70mV 정도가되면평형을이루게된다. ( 나 ) 활동전위는뉴런의막전위가휴지전위에서시작하여최대치로올라갔다가, 다시휴지전위로되돌아오는신경신호를말한다. 활동전위를이루는전기적변화를살펴보면, 충분히강한자극을뉴런에주면일부 Na + 통로가열려세포외부의 Na + 이세포내부로확산되어들어와막전위가역치전위인 50mV 까지올라간다. 역치전위에이르면더많은 Na + 통로가열리게되며, 세포외부의 Na + 이세포내부로대량확산되어들어오게되고, 이에따라이부분의막전위가 +35mV로역전된다. 막전위가최고점에이르면세포막의투과성이변하고 Na + 통로가닫혀불활성화되며, K + 통로가열려 K + 이세포밖으로확산되어나가게된다. 이에따라막전위는빠른속도로원래의휴지전위이하로떨어지는재분극이일어난다. 재분극이후세포막의투과성이원래대로회복됨에따라 Na + -K + 펌프가 Na + 을세포밖으로, K + 을세포안으로이동시켜이온을재배치함으로써막전위는휴지전위상태를회복한다. ( 다 ) 흥분이축삭돌기말단에도달하면 Ca 2+ 이유입되면서말단에있는시냅스소포에서아세틸콜린과같은신경전달물질이시냅스틈으로분비된다. 신경전달물질은시냅스틈으로확산되어, 다음뉴런또는근육과같은흥분성세포의세포막에있는이온통로가열리게한다. 충분한양의이온통로가열리면, 다음뉴런의세포막에서탈분극이일어나흥분이전달된다. 한편, 시냅스에서흥분은축삭돌기에서다음뉴런의가지돌기나세포체로만전달되며반대방향으로는전달되지않는다. 그이유는신경전달물질을분비하는시냅스소포가축삭돌기말단에만있기때문이다. ( 라 ) 운동뉴런의말단은근육섬유막과시냅스처럼좁은틈을두고접해있다. 흥분이운동뉴런을따라전도되어축삭돌기말단에도달하면시냅스소포에서아세틸콜린이분비되고, 아세틸콜린이근육섬유막으로확산되면근육섬유막에있는아세틸콜린수용체를활성시켜서근육섬유막이탈분극됨으로써활동전위가발생한다. 이활동전위가근육원섬유에전달되면근육원섬유마디가짧아져근육이수축하게된다. 근육섬유는역치이상의자극에서는자극의세기와관계없이반응의크기가항상일정하다. 03

141 [ 문제 4-1] 다음그래프는뉴런에약물 A 와약물 B 를각각처리한후, 자극이주어졌을때막전위의변화를측정한결과이다. 약물 A 와 약물 B 에의해막전위의변화가대조군과다르게나타난이유를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 대 조군에는약물을처리하지않았다. [10 점 ] [ 문제4-2] 초파리유전자 a, b, c가신경활성과근육수축에미치는영향을알아보기위해, 정상초파리, 한개의유전자만조작된단일돌연변이초파리, 두개의유전자가조작된이중돌연변이초파리를이용하여실험을수행하였다. 초파리의운동뉴런에서활동전위의생성여부와근육의수축여부를측정하여 < 표 1> 에정리하였다. 추가로, 초파리의근육에아세틸콜린을처리한후, 근육의수축여부를 < 표 2> 에정리하였다. 이결과들을종합하여활동전위생성및근육수축과정에서유전자 a, b, c로부터발현되는단백질의역할을제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [20점] < 표 1> 정상개체 단일돌연변이 이중돌연변이 a b c a, b b, c 활동전위생성 O X O O X O 근육수축 O X X X X X O : 있음 X : 없음 04

142 < 표 2> 정상개체 단일돌연변이 이중돌연변이 a b c a, b b, c 아세틸콜린처리후근육수축 O O O X O X O : 있음 X : 없음 3. 물리 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 유체에잠긴물체에작용하는부력은잠긴부분의부피에해당하는유체의무게와같다. 밀도가인유체에부피만큼물체가잠 겼을때, 이물체가받는부력은가된다. 여기서는중력가속도이며, 중력과부력의합이물체에작용하는알짜힘이다. ( 나 ) 용수철에힘이작용하여용수철이만큼늘어났을때는용수철에작용한힘에비례한다. 따라서길이가만큼늘어난용수철이 원래의길이로되돌아가려는탄성력은 이다. 이를훅의법칙이라고한다. 여기서 ( ) 는탄성력과용수철의변위가반대방 향이라는의미이며, 는용수철의특성에따라정해지는용수철상수이다. 용수철상수가 인용수철에질량 인물체를매달 아진동시키면주기는 이다. ( 다 ) 가속도가일정한운동을등가속도운동이라하는데, 이것은속도가시간에따라일정하게변하는운동이다. 가속도가 로일정한 경우, 처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 나중속도를 라고하면 의식이성립한다. 시간 동안움직 인변위는속도-시간그래프의아래면적에해당하며, 등가속도운동에서처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 처음위 치를 0, 나중위치를 라고하면 이성립한다. 05

143 [ 문제4-1] 넓은공간에밀도가 인유체가가득차있다. 이공간에서다음그림과같이 에정지해있던직육면체형태의물체 가낙하를시작하였다. 물체의두께가, 밀도가 일때물체가 만큼낙하하여 에도달할때까지소요되는시 간을구하는과정을위제시문에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 이고, 중력가속도는 이며, 부력과중력을 제외한다른힘은없다고가정한다. [10점] [ 문제4-2] [ 문제 4-1] 에서유체의밀도가 에서, 에서 이고, [ 문제 4-1] 에서와동일한물체가위그림과같이 에 정지해있다가낙하를시작한다고하자. 위제시문에근거하여이물체의운동이주기운동이됨을보이고, 그주기를구하는 과정을논리적으로설명하시오. 단, 이고, 중력가속도는 이며, 부력과중력을제외한다른힘은없다고 가정한다. [20점] 06

144 4. 화학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 탄소화합물중에서가장기본이되는것은탄소 (C) 원자와수소 (H) 원자로만이루어진탄화수소이다. 탄소원자사이에단일결합으로이루어진탄화수소를포화탄화수소라고하며, 사슬모양의포화탄화수소를알케인이라고한다. 알케인에는메테인 (CH 4 ), 에테인 (C 2 H 6 ), 프로페인 (C 3 H 8 ) 등이있다. 탄소원자사이에이중결합이나삼중결합으로이루어진탄화수소를불포화탄화수소라고하며이중결합을가지고있는사슬모양의불포화탄화수소를알켄이라고한다. 알켄에는에텐 (C 2 H 4 ), 프로펜 (C 3 H 6 ) 등이있다. 한편삼중결합을가지고있는사슬모양의불포화탄화수소를알카인이라고하며, 알카인에는에타인 (C 2 H 2 ), 프로파인 (C 3 H 4 ) 등이있다. ( 나 ) 공유결합을형성하는원자들은중심원자와 180, 120, 등일정한결합각을이룬다. 공유결합분자에서중심원자를둘러싸고있는전자쌍들은서로같은전하를띠고있으므로반발력이최소가되기위해서최대한멀리떨어져있으려고한다. 이를전자쌍반발이론이라고한다. ( 다 ) 화합물을이루는원소의종류와수를알아내는실험을원소분석이라고한다. 탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 로이루어진화합물의시료를완전연소시켰을때생성되는이산화탄소 (CO 2 ) 와물 (H 2 O) 의질량을측정하여성분원소인탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 의질량비를알아낸다. 각성분의질량을각성분의원자량으로나누어주면조성비를구할수있다. 조성비를구한후, 구성원소의원자개수의비율을가장간단한정수비로나타낸식을실험식이라고한다. 탄소 (C), 수소 (H), 산소 (O) 의원자량은각각 12, 1, 16이다. ( 라 ) 아보가드로법칙에따르면모든기체는온도와압력이같을때, 같은부피속에같은수의분자가들어있다. 분자수가같으면몰수도같으므로, 온도와압력이같은조건에서기체 1몰의부피는기체의종류에상관없이같다. [ 문제 4-1] 결합각의최댓값이 180 인사슬모양탄화수소의실험식이 C 3 H 5 로결정되었다. 제시문 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에근거하여, 이사슬모 양탄화수소의분자량 (g/mol) 을구하는과정을논리적으로설명하고그구조식을 1 개만제시하시오. [10 점 ] 07

145 [ 문제 4-2] 다음그림과같은장치를이용하여액체상태의시료 X 에대해원소분석실험을수행하였다. [ 원소분석장치 ] 시료 X를원소분석장치에넣고가열하여완전연소시켰을때이산화탄소 (CO 2 ) 와물 (H 2 O) 만생성되었다. 원소분석장치에서반응이완결된후염화칼슘 (C a Cl 2 ) 을채운염화칼슘관에서 54mg, 수산화나트륨 (NaOH) 을채운수산화나트륨관에서 132mg의질량증가가측정되었다. 시료 X의원소분석실험을통해탄소 (C) 와수소 (H) 의몰수비가결정되었고, 시료 X의실험식을결정하기위해추가적으로진행된실험과그결과는다음과같다. ➊ 소량의시료 X를넣은실린더에건조한산소 (O 2 ) 기체를채운후상온 (25 C) 에서실린더내부의부피를측정하였다. ➋ 실린더를가열하여연소반응을완결시킨후실린더를냉각하여상온 (25 C) 으로유지한상태에서실린더내부의부피를측정하였다. 실험결과 : 연소반응전과후실린더내부의부피 연소반응전 연소반응후 400 ml 300 ml 위의실험결과와제시문 ( 다 ), ( 라 ) 에근거하여시료 X 의실험식을논리적으로추론하시오. 단, 계수를맞추지않은화학반응 식은다음과같고, 실린더안의액체상태물질의부피는무시할정도로작다. [20 점 ] X(l) + O 2 (g) H 2 O(l) + CO 2 (g) 08

146 02_2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 Ⅱ) 1. 수학 [ 문제 1] 50 m 전방에한변의길이가 8 m인정사각형의과녁이있고, 정사각형의중심을기준으로각각반지름이 1 m, 2 m, 3 m인원판 A, B, C가있다. 한개의화살을쏘아원판 A에맞힐경우 10만원의상금을, 원판 A를제외한원판 B에맞힐경우 5만원의상금을, 원판 B를제외한원판 C에맞힐경우 3만원의상금을받는다고하자. 원판 C를제외한과녁에맞힐경우에는상금이없다. 이게임의참가비가만원일때, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값이 0 이상이기위한의최댓값을구하시오. 단, 화살은언제나과녁안에맞으며, 과녁안의모든부분에같은확률로맞는다. [20점] [ 문제 2] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 일때, 은일정한값에수렴함이알려져있으며, 그극한값을로나타낸다. 즉, 이다. ( 나 ) 수렴하는두수열과연속함수에대하여다음의등식이성립한다. ( 다 ) 좌표평면위의한점과직선사이의거리는다음과같다. 09

147 [ 문제 2-1] 다음수열의번째항을이라할때, 을구하시오. [10 점 ] 0.1, 0.101, , , [ 문제 2-2] [ 문제 2-1] 에서정의된수열의첫째항부터번째항까지의합을이라하자. 점과직선사이의거리가최소가되는자연수을구하시오. [10 점 ] 10

148 [ 문제 3] 다음제시문 ( 가 ), ( 나 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 직각삼각형과한꼭짓점을공유하는직사각형을이용하여탄젠트함수의덧셈정리를그림으로나타내면다음과같다. ( 나 ) 직각삼각형을포함하는최소정사각형은다음그림과같다. 즉, 직각삼각형의최소각에있는꼭짓점 O 와정사각형의한꼭짓점을일 치시켰을때, 직각삼각형의다른두꼭짓점 P 와 Q 는정사각형의두변위에있어야한다. [ 문제 3-1] 제시문 ( 나 ) 의그림에서직각삼각형 OPQ 의세변의길이가 3, 4, 5 라고하자. 이직각삼각형을포함하는최소정사각형의한 변의길이를위제시문에근거하여구하시오. [10 점 ] 11

149 [ 문제 3-2] 제시문 ( 가 ) 에근거하여다음그림에서 A 와 B 의길이를구하시오. [20 점 ] 2. 생명과학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 피드백은항상성유지에중요한역할을하는데, 양성피드백은반응의결과가원래의자극을더욱증가시켜같은방향의반응을일으키게하는것이고, 음성피드백은반응의결과가그반응을억제하는방향으로작용하는것이다. 음성피드백작용은신체의생리기능이나체액의성분이좁은범위내에서유지되도록하여갑작스러운변화를막는데목적이있다. ( 나 ) 세포에서는모든유전자가발현되는것이아니라필요한유전자만선택적으로발현된다. 전사인자와같은조절단백질은유전자의전사가시작되도록도와준다. 조절유전자가발현되어조절단백질이만들어지면, 이조절단백질이다른여러조절유전자를발현시키는과정이연속적으로일어난다. 세포에서는노화, 바이러스, 화학물질, 방사선, 유전적인요인등에의해세포분열을조절하는유전자에돌연변이가일어날수있다. 이때만들어지는비정상적인조절단백질에의해, 세포분열이조절되지않는암세포가형성될수있다. 12

150 ( 다 ) 우리몸에는호르몬의분비조절기구가있어서혈액중호르몬의농도가일정수준으로유지된다. 예를들면, 시상하부에서분비된갑상샘자극호르몬방출호르몬 (TRH) 이뇌하수체전엽을자극하면갑상샘자극호르몬 (TSH) 의분비가촉진된다. 그리고 TSH는갑상샘을자극하여티록신을분비하게한다. 혈중티록신의양이적정수준이상으로증가하면이정보가다시시상하부와뇌하수체로전달되어 TRH와 TSH의분비를억제한다. ( 라 ) 뉴런이자극을받으면세포막에있는통로가열려바깥쪽에있던많은 Na + 이빠른속도로세포안으로들어와순간적으로막바깥쪽은 ( ), 안쪽은 (+) 로전위가역전되는데, 이러한현상을탈분극이라고한다. 탈분극이일어나면활동전위가발생한다. 활동전위가축삭돌기말단에도달하면 Ca 2+ 이유입되면서말단에있는시냅스소포에서신경전달물질이나호르몬과같은다양한세포활성조절인자들이분비된다. [ 문제4-1] 아래그림은암세포형성에관여하는유전자 a, b, c로부터각각만들어지는조절단백질 A, B, C의작용중일부를나타낸것이다. 유전자 a로부터만들어지는조절단백질 A는유전자 b와 c의발현을유도하며, 조절단백질 C는암세포형성을촉진한다. 유전자 c만존재하고유전자 a, b가존재하지않는어떤세포에유전자 a, b를넣어발현시킨후, 이세포가암세포로변화되는지를관찰하여아래표에정리하였다. 이결과와제시문 ( 가 ), ( 나 ) 에근거하여, 단백질 B에의해유전자 a, c의발현이조절되는방식을피드백작용을중심으로설명하시오. [10점] 발현시킨유전자없음 a b a, b 암세포형성여부 X O X X O : 형성됨, X : 형성되지않음 13

151 [ 문제 4-2] 최근해조류의세포에서발견된이온통로 P 는특정한파장의빛에의해개폐가조절된다. 이이온통로 P 를뉴런에발현시킨 후해당파장의빛을쬐어주었더니뉴런의막전위가다음그래프와같이변화하였다. 아래그래프들은이온통로 P를 TRH 분비뉴런에발현시키고해당파장의빛을쬐어준후, 시간에따른 TSH와티록신의혈중농도변화를측정한결과이다. 이결과에서돌연변이생쥐 M1, M2의 TSH와티록신의농도변화가정상생쥐와다르게나타나는이유와, 처음부터빛을쬐어주지않았을경우에나타날돌연변이생쥐 M1, M2의 TSH와티록신의농도변화양상을제시문 ( 가 ), ( 다 ), ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [20점] 14

152 3. 물리 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 ), ( 나 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 진동이퍼져나가는것을파동이라고하고, 그파장은보통로표시하며단위로 m를사용한다. 진동수는 1초동안진동하는횟수를나타내며, 보통로표시하고, 단위로 Hz를사용한다. 주기는한번왕복하는데걸리는시간을나타내며, 보통로표시하고, 단위로초를사용한다. 이때진동수와주기는의관계를만족한다. 파동의속력는파장를주기로나누면구할수있다. 빛은파동이므로한매질에서다른매질로진행할때매질의경계면에서굴절된다. 빛이굴절률인매질1에서굴절률인매질2로입사할때에는입사각과굴절각사이에다음과같은스넬법칙이항상성립한다. 여기서은매질 1에서빛의속력, 는매질 2에서빛의속력이다. ( 나 ) 물속에서공기중으로빛이진행할때에는입사각보다굴절각이크므로입사각을점점더크게하면굴절각이가되게할수있다. 굴절각이가된다는것은공기중으로나가는빛이없다는것과같다. 이때의입사각을임계각이라고한다. 따라서입사각을임계각보다더크게하면더이상공기중으로굴절되어나가는빛은없고, 모든빛이물속으로다시반사되게된다. 이러한경우를전반사라고한다. 즉, 굴절되어나가는빛이없이모두반사된다고해서전반사라고한다. [ 문제 4-1] 공기중에서빛의속력을라할때물질 A 에서황색빛의속력은로측정되었다. 이빛이물질 A 에서공기중으로나 가는경우임계각의유무를위제시문에근거하여판단하고, 임계각이존재할경우그값을구하는과정을논리적으로설명 하시오. 단, 공기의굴절률은 1 이다. [10 점 ] 15

153 [ 문제4-2] 공기중에서속력이 이고진동수가 인빛이아래그림과같이굴절률 인매질1에서굴절률 인매질2를통과하여 굴절률 인매질3으로입사한다. 매질 2의두께는 이고입사각은 이다. 위제시문에근거하여이빛이 P에서 Q로진 행하는동안진동한횟수를구하고, 이빛이매질 2와매질 3의경계면에서전반사될경우굴절률,, 의대소관계를 논리적으로설명하시오. 단, 공기의굴절률은 1이다. [20점] 4. 화학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 와 < 실험및결과 > 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 화학반응에서전자를잃는것을산화라고하고, 전자를얻는것을환원이라고한다. 대부분의금속은산과반응하여금속양이온이되고, 수소기체가발생한다. 질산은 (AgNO 3 ) 수용액에구리 (Cu) 판을넣으면, 구리가산화되어용액속으로녹아들어가고, 용액중의은이온은환원되어은으로석출된다. 서로다른금속과금속이온사이의이러한반응을이용하면금속의반응성크기를비교할수있다. ( 나 ) 기체상태의원자 1몰로부터전자 1몰을떼어내어이온으로만드는데필요한최소에너지를이온화에너지라고한다. 기체상태의중성원자에서전자를순차적으로떼어낼때필요한에너지를순차적이온화에너지라고하며, 제1 이온화에너지 (E 1 ), 제2 이온화에너지 (E 2 ), 제3 이온화에너지 (E 3 ), 로나타낸다. 원자로부터원자가전자수만큼의전자를떼어내기는비교적쉽지만, 그이상의전자를떼어낼때는이온화에너지가매우커지므로, 순차적이온화에너지값을해석하면그원자의원자가전자수를예측할수있다. ( 다 ) 원자와같이매우작은입자의수량을나타내기위해몰이라는단위를사용한다. 1몰은 6.02x10 23 개입자의집단이며, 이수를아보가드로수라고한다. 실험에의해 0 C, 1기압에서 1몰기체의부피는그종류에관계없이 22.4L로일정하다고밝혀져있으므로, 기체의부피를측정하면기체분자의수를알수있다. 16

154 실험및결과금속A, 금속B, 구리의반응성크기를비교하기위한실험과그결과는다음과같다. 실험 I : 금속A 이온수용액에금속B 막대를담갔더니수용액의질량이감소하였다. 실험 II : 금속A 막대를황산구리 (II) 수용액에담갔더니수용액의질량이감소하였다. 실험 III : 금속A 막대를묽은염산에담갔더니기체가발생하였다. 실험 I 실험 II 실험 III [ 문제 4-1] 실험 I, II 의결과를바탕으로금속 A, 금속 B, 구리의원자량크기순서를정하고, 그이유를제시문 ( 가 ) 에근거하여논리적으로 설명하시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 금속 A 의순차적이온화에너지는아래표와같다. 금속 A 의순차적이온화에너지 (kj/mol) E 1 E 2 E 3 E 4 E 실험 III 에서금속 A 막대의질량은 5.00g 에서 4.55g 으로감소하였고, 이때 560mL 의수소기체가발생하였다. 이실험결과와 위의표를이용하여금속 A 의원자량을구하는과정을제시문 ( 나 ) 와 ( 다 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 실험결과 는 0 C, 1 기압에서측정되었고, 금속 A 막대는실험전에표면이충분히세척된후사용되었다. [20 점 ] 17

155 03_2015 학년도모의논술 Ⅰ 1. 수학 [ 문제 1] 단판으로승부를가리지만, 무승부일경우재시합을하는운동경기가있다. A팀이 B팀에승리할확률은 p, 패할확률은 q, 무승부일확률은 r이라고한다. 단, p>0, q>0, r>0, p+q+r=1이다. 계속무승부가되어총경기횟수가 10경기가될때까지승부가나지않을경우동전던지기로승부를결정한다고할때, 두팀이치르게될경기횟수의기댓값을 r에대한식으로나타내시오. [20점] [ 문제 2] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 의그래프에중심이이고반지름이인원이아래의그림과같이접하고있다. 두접점을각각이라하자. 단, 은양의정수이다. ( 나 ) 점와직선사이의거리는다음과같다. ( 다 ) 수렴하는두수열에대하여이성립한다. 18

156 [ 문제 2-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진과의값을각각에대한식으로나타내시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 제시문 ( 가 ) 의그림과같이와원에의해둘러싸인영역의넓이를이라할때, 을구하는과정을논리적 으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제 3] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 함수는모든실수에대하여다음을만족한다. ( 나 ) 함수가구간에서연속일때, 다음을만족한다. ( 다 ) 두함수가미분가능할때, 합성함수의도함수는아래와같다. 19

157 [ 문제 3-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진함수를구하는과정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제 3-2] 일때, 가취할수있는값의범위와의최댓값을구하는과정을논리적으로설명하시오. [20 점 ] 2. 생명과학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 소화기관을통한 3대영양소의소화과정은다음과같다. 입안의침샘에서분비되는침의 ph는약 5.0 정도이며아밀레이스가많이포함되어있어서탄수화물을엿당으로분해한다. 위의위샘에서분비되는위액의 ph는약 2.0 정도이며, 위액에의해펩신이활성화되어단백질이주로분해된다. 소장으로이동한음식물은소화액과섞여서 ph7.0 정도의상태로바뀌며다양한소화효소작용에의해 3대영양소가모두소화된다. ( 나 ) 리소좀은여러가지가수분해효소가들어있는소낭이다. 리소좀은주로골지체로부터떨어져나와만들어진다. 리소좀내의효소들은강산또는중성의환경에서는잘작용하지못한다. 만약리소좀이터지거나열려서효소들이새어나오면빠져나온효소의활성은약화되는데, 그이유는세포질의 ph가중성이기때문이다. ( 다 ) 핵은세포에서일어나는모든생명활동의중추로서, 세포의물질합성과분비를포함한여러가지기능을조절하고유전형질을결정한다. 인은핵내에서뚜렷하게관찰되는구조로서 DNA에있는정보를통해리보솜 RNA(rRNA) 가합성되는장소이다. rrna는핵에서단백질과결합하여리보솜으로조립된후핵공을통해세포질로빠져나가서단백질번역과정에참여한다. ( 라 ) 분비단백질은거친면소포체에부착된리보솜에서만들어진후소포체내로들어가 3차원형태로접히게된다. 형성된단백질은소낭막에싸인채소포체에서떨어져나온후소포체근처에있는골지면의막과융합되어물질을골지체로전달한다. 20

158 [ 문제 4-1] 리소좀에있는효소를성분으로한소화제를만든다면어느단계의소화과정에서가장효과적으로작용할수있을지를제시 문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제4-2] 단백질분비가비정상적인돌연변이세포 I, II와정상세포에, 32 P로표지된핵산과 35 S로표지된아미노산을일정시간공급한후새로운배양용액에옮기고나서세포소기관별방사능검출여부를조사하여아래표에정리하였다. 세포소기관 A, B, C, D의종류와각각의돌연변이세포에서단백질분비가정상적으로되지않는이유를제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여구체적으로설명하시오. (O : 방사능다량검출, : 방사능소량검출, X : 방사능검출안됨 ) [20점] 구분 세포소기관 A B C D 정상세포 돌연변이세포 I 돌연변이세포 II 32 P X O O X 35 S O X O O 32 P X O X 35 S X X X 32 P X O O X 35 S X X O O 3. 물리 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 물체가움직이면시각에따라위치가변하므로움직이는물체의위치를시각의함수로나타낼수있다. 이위치의변화를변위라고한다. 물체에크기와방향이일정한힘을가하여물체가힘의방향으로이동했을때물체에한일의양은물체의변위에힘을곱한것이다. ( 나 ) 순간속도는시간-위치그래프의특정시각에서접선의기울기이며, 속도의순간적인값을의미한다. ( 다 ) 비스듬히위로던진물체는포물선을그리며날아간다. 포물선운동은중력에의한자유낙하운동의하나이다. 포물선운동을하는물체의변위를분석하면, 포물선운동은수직방향으로는중력에의한등가속도운동이고수평방향으로는등속도운동임을알수있다. 21

159 [ 문제 4-1] 마찰이없는공간에정지해있던질량 1kg 인물체에일정한크기의힘이가해져힘의방향으로아래그래프와같은운동을 하였다. 시간 5 초 ~10 초사이물체에해준일의양을구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 일의단위는 J( 줄 ) 을사용하 시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 시각 t=0 에서 10m/s 의속력과의각도로원점에서던져진물체가그림 A 와같이중력에의해포물선운동을하였다. 그림 B 의그래프는포물선운동을하는동안원점에서물체까지의직선거리를시간에따라측정한결과이며, 기울기가순간적으 로 0 이되는상황이 t=t 1 에서 1 회관측되었다. 이물체가 y=0 위치에도착했을때 방향도달거리를구하는과정을논리적으 로설명하시오. 단, 공기저항은무시하고, 중력가속도는 10m/s 2 으로계산하시오. [20 점 ] 그림 A 그림 B 22

160 4. 화학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 루이스는화학결합을나타내기위해서원자들의원자가전자를점으로나타내는방법을이용하였는데, 이것을루이스전자점식이라고한다. 원자의최외각전자껍질에존재하는원자가전자중에서쌍을이루지않는전자를홀전자라고하는데, 원자들이공유결합을할때에는홀전자들이전자쌍을이루어공유전자쌍을만든다. 공유결합을가지는원자는다른원자들과전자를공유함으로써비활성기체와같이안정된전자배치를이루면서옥텟규칙을만족시킨다. ( 나 ) 1940년시지윅은공유결합으로형성된분자에서중심원자를둘러싸고있는전자쌍들은그들사이의반발력때문에가능한한서로멀리떨어져있으려고한다는전자쌍반발원리를제안하였다. 루이스전자점식과전자쌍반발원리를적용하면공유결합화합물의분자구조를예측할수있다. ( 다 ) 화학반응에서산소가관여하는반응을산화-환원반응이라고하는데, 이때산소를얻는반응은산화반응이라고하고산소를잃는반응을환원반응이라고한다. 산소가관여하지않는산화-환원반응도존재하는데이경우전자의이동으로산화-환원반응을설명할수있다. 즉, 어떤물질이전자를잃는반응을산화반응이라하고, 전자를얻는반응을환원반응이라고도한다. ( 라 ) 여러가지산화-환원반응을모두설명하기위하여산화수를사용한다. 산화수는어떤물질속에서원소가어느정도로산화되었는지를나타내는가상적인전하량이다. 공유결합화합물에서산화수는전기음성도가큰원자가공유전자쌍을모두차지했다고가정할때각원자가가지는전하수로나타낸다. 산화반응에서는산화수가증가하고환원반응에서는산화수가감소한다. [ 문제 4-1] 웃음가스로알려진아산화질소 [N 2 O(g)] 는주로질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 을분해시켜서만든다. 질산암모늄 [NH 4 NO 3 ( s )] 과 아산화질소 [N 2 O(g)] 의루이스전자점식을각각한개씩만제시하고각전자점식에해당하는구조를예측하시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 산화수규칙에의하면아산화질소 [N 2 O(g)] 의질소원자는 +1, 산소원자는 2 의산화수를갖는다. 제시문 ( 가 ) 와 ( 라 ) 에근 거하여질산암모늄 [NH 4 NO 3 (s)] 을구성하는각원자의산화수를구하고, 아래의산화 - 환원반응에서산화되는원소와환원되 는원소의산화수변화를논리적으로설명하시오. 단, 전기음성도세기는 O > N > H 이다. [20 점 ] NH 4 NO 3 (s) 2H 2 O(g) + N 2 O(g) 23

161 04_2015 학년도모의논술 Ⅱ 1. 수학 [ 문제 1] 민수가다음과같은게임을한다. 주사위가아주많이들어있는상자에서임의로주사위를하나고른후, 그주사위를임의로던진다. 주사위중 75% 는홀수가더잘나오도록개조되어있고, 25% 는짝수가더잘나오도록개조되어있다. 홀수가더잘나오는주사위를임의로던지면, 홀수가나올확률은 0.75이고, 짝수가나올확률은 0.25이다. 또한, 짝수가더잘나오는주사위는, 임의로던졌을때짝수가나올확률이 0.75이다. 민수는주사위를던져홀수가나오면만원을잃고, 짝수가나오면 2 만원을상금으로받는다. 민수는게임을하기전에주사위를임의로고른다음, 그것을한번던져본후에같은주사위로게임을할지결정할수있다. 민수가주사위를골라서던졌을때, 홀수가나왔다고하자. 그주사위로게임을하기로했을경우, 민수가받을상금의기댓값을구하는과정을논리적으로설명하시오. [20점] [ 문제 2] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 좌표평면위의점를점으로하나씩대응시키는함수에대해 를만족시키는상수가있을때, 를일차변환이라고한다. ( 나 ) 일차변환를행렬로나타내면다음과같다. ( 다 ) 양수에대하여와이성립한다. ( 라 ) 양수에대하여 24

162 [ 문제 2-1] 두점를각각두점로옮기는일차변환이직선를직선로 옮긴다고하자. 를구하는과정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제2-2] 축에대한대칭변환을나타내는행렬을, 직선 에대한대칭변환을나타내는행렬을, 원점을중심으로 만큼회전하는일차변환을나타내는행렬을, 단위행렬을 라하자. 행렬 에대하여 이 나타내는일차변환에의해점 이옮겨진점을 이라고할때, 이되는자연수 의최솟 값을구하시오. ( 단, 로계산할수있다.) [10점] [ 문제 3] 다음제시문을읽고문제에답하시오. 그래프의각꼭짓점사이의연결관계를행렬을이용하여나타낼수있다. 그래프에서두꼭짓점이서로연결되어있지않으면 0, 하나의변으로연결되어있으면 1, 두개의변으로연결되어있으면 2와같은방법으로나타낸다. 그래프를행렬로나타내면그래프에대한여러가지문제를행렬의연산으로풀수있다. 예를들어아래왼쪽의그래프를아래의행렬으로나타낼수있다. 25

163 그래프를나타내는행렬에대하여이를두번곱한이위오른쪽의행렬과같을때, 0, 1, 2가의미하는바는다음과같다. 2열의 0 : A에서 B로두개의변을지나서가는경로는없다. 2열의 1 : C에서 B로두개의변을지나서가는경로는한가지, C D B가있다. 2열의 2 : B에서 B로두개의변을지나서가는경로는두가지, B A B와 B D B가있다. 그래프에서각변이방향성이있어서, 아래왼쪽의그래프에서와같이한방향으로만갈수있을때, 이를아래의행렬으로나타낼수있다. 위그래프를나타내는행렬에대하여, 위오른쪽의행렬을구하였는데, 1 행 4 열의항만이 1 이고나머지는모두 0 이다. 즉, A D 로가 는경로만이두개의변을지나서갈수있다는것이다. A B 또는 A C 는두개의변을지나서가는것이불가능하다. [ 문제 3-1] 다음과같은그래프가있을때 A 에서 C 로 5 개의변을지나서갈수있는경우의수를행렬을이용하여논리적으로구하시오. 단, 아래그래프를나타내는행렬을라고할때이성립한다. [10 점 ] 26

164 [ 문제 3-2] 다음과같은방향성있는변을가지는그래프가있을때 A 에서 C 로 9 개의변을지나서갈수있는경우의수를행렬을이용 하여논리적으로구하시오. 단, 아래그래프를나타내는행렬을라고할때이고, 는단위행렬, 는영 행렬을나타낸다. [20 점 ] 2. 생명과학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) mrna의유전정보는단백질합성시리보솜에서 3개의염기들이하나의유전암호로인식되어각각의아미노산으로해독된다. 여기서각아미노산을지정하는 mrna의 3개의염기단위를코돈이라고한다. 4종류의염기들의조합에의해만들어질수있는 64개의유전암호가운데 61개는 20종류의아미노산을암호화하는코돈이며, 나머지 3개는어떤아미노산도암호화하지않는데이를종결코돈이라고한다. ( 나 ) 진핵생물은원핵생물과달리전사에의해합성되는 mrna를바로단백질합성에이용할수없다. 합성된 mrna는단백질의아미노산서열에해당되는엑손외에인트론이라고하는염기서열을더갖고있다. 그러므로전사후 mrna에서인트론을제거하고, 엑손들을연결하여성숙된 mrna를만드는가공과정이필요하다. ( 다 ) 분열하는세포는크기가작은딸세포를만들고딸세포는성장과정을거쳐다시분열하는과정을반복하는데, 이를세포주기라고한다. 세포주기는간기와분열기로구분되며, 세포주기의약 90% 는간기로이루어진다. 간기에는미토콘드리아나리보솜같은세포소기관의수가증가하고 DNA의복제가일어난다. 분열기에는핵분열과세포질분열이일어나며, 응축된염색체를관찰할수있다. 핵분열과정은염색체의모양과행동에따라전기, 중기, 후기, 말기로구분된다. 간기에는핵막과인이뚜렷하고핵속의염색체가실모양으로풀어져서존재한다. 전기에는핵막과인이사라지고염색체가응축되어나타난다. 이때염색체는두가닥의염색분체로이루어져있다. 세포의양극에서는염색체의이동에필요한방추사가나타나기시작하고방추사는염색체의동원체에부착된다. 중기에는염색체가세포의중앙으로이동하여배열된다. 후기에는염색분체가분리되어양극으로이동한다말기에는염색체가풀어지고핵막과인이다시나타나며세포질분열이일어난다. ( 라 ) 정상세포를배양하면일정한수만큼분열한후더이상분열하지않는다. 그러나암세포는세포주기를지속적으로반복하기때문에영양분이계속공급되는상황에서는무한정분열할수있다. 이러한암세포의특성은세포주기를조절하는신호를무시하기때문인것으로알려져있는데, 많은암세포에서세포주기를조절하는유전자의이상이발견된다. 27

165 [ 문제 4-1] 다음은어떤단백질을암호화하는진핵생물유전자의 DNA 염기서열일부와이로부터만들어진아미노산의서열을나타낸것이다. 돌연변이가발생하여 DNA 염기서열중밑줄친 A(A) 가 C로바뀔경우이 DNA 서열로부터만들어지는아미노산의서열을예측하고, 그이유를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 아래의유전암호표를참고하시오. [10점] DNA 염기서열 : 5 ATGGGCTACGTAACCTAGGACAAGTTCGGGTAG 3 아미노산서열 : 메싸이오닌 - 글라이신 - 타이로신 - 발린 - 트레오닌 - 글라이신 두번째위치 U C A G 첫 번째 위치 U 페닐알라닌타이로신시스테인 C U 세린종결종결 A 류신종결트립토판 G U 히스티딘 C C 류신프롤린아르기닌 A 글루타민 G U 아스파라진세린이소류신 C A 트레오닌 A 라이신아르기닌 * 메싸이오닌 G U 아스파트산 C G 발린알라닌글라이신 A 글루탐산 G 세 번째 위치 * : 개시코돈이기도함. 종결 : 종결코돈 28

166 [ 문제 4-2] 약물 X 는새롭게개발된항암제이다. 이약물의작용원리를알아보기위하여아래와같은두가지실험을수행하였다. ( 실험 1) 배양접시I에서배양한암세포를고정한후, 현미경시야에보이는세포들을관찰하여세포주기의간기와분열기에해당하는세포수를조사하였다. 다른배양접시II에는약물 X를처리하고 12시간후에암세포를고정하여같은방식으로세포수를조사하여그결과를아래표정리하였다. 단, 약물처리전에배양접시I과 II의암세포의밀도등실험조건은동일하다. 구분배양접시 I 배양접시 II 간기 분열기 ( 실험 2) 약물 X 를처리했을때 ( 실험 1 의배양접시 II) 와처리하지않았을때 ( 실험 1 의배양접시 I), 암세포의분열과정에서세포주 기에따른특정염색분체사이의거리변화를관찰하였더니아래그래프와같았다. 약물 X 의항암작용원리를 ( 실험 1), ( 실험 2) 의결과와제시문 ( 다 ), ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오.[20 점 ] 29

167 3. 물리 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 물체가아래그림과같이회전축을중심으로회전운동할때, 회전운동을발생하게만드는원인을돌림힘이라고한다. 돌림힘는 작용하는힘의크기와회전축에서힘이작용하는지점까지의거리에비례하며, 힘과막대사이의각와관련된다. 돌림힘을 식으로표시하면이다. ( 나 ) 전기장의진동방향, 즉편광방향에따라빛을선택적으로통과시킬수있는판을편광판이라고한다. 편광이되지않은빛을편광판을지나게하면한방향으로편광된빛을얻을수있다. 그방향을편광축이라고한다. 임의의방향으로편광된빛을편광판을지나게하면편광판을통과한빛의편광은편광판의편광축방향으로변하고빛의세기가줄어든다. 빛의편광방향과편광축사이의각도가라면편광판을통과한빛의세기는이며, 이것을말루스법칙이라고한다. 여기서는편광판을통과하기전빛의세기이다. ( 다 ) 두장의직교하는편광판사이에갇힌액정분자는어떤원리로액정셀을통과하는빛의흐름을조절할수있는것일까? 액정분자를가두는두편광판의안쪽에특수한처리를하면액정분자는다음좌측그림과같이나선형으로꼬이면서누워있는상태가된다. 이렇게꼬여있는액정분자는첫번째편광판을통과한빛의편광상태를꼬여있는액정분자를따라돌게하면서두번째편광판을빠져나오게한다. 그렇지만만약액정셀에전압을가해서액정분자를다음우측그림과같이편광판에대해모두서있게하면빛의편광상태가돌지않으므로빛이거의통과하지못하게된다. 많은액정분자는긴방향의한쪽에 (+) 전하를, 다른한쪽에는 ( ) 전하를띠고있는데, 이런분자에전기장을가하면분자를쉽게돌릴수있다. 30

168 [ 문제 4-1] 그림과같이양끝에의전하를띠고길이가인액정분자가수평방향으로놓여있다. 만일이액정분자를 만큼회전시켜놓으면, 액정을초기위치로되돌리려는돌림힘이회전의반대방향으로 의크기로발생한다고하자. 방향으로균일한전기장을가하여액정분자를만큼 회전시켜놓으려할때필요한전기장의세기를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 액정은중심을회전축으로회전한다. [10 점 ] [ 문제 4-2] 편광축의각도가각각인편광판개가차례로놓여있다. 편광방향이고세기가인빛이편광축의각도가 0 인편광판에입사하여인편광판까지모두통과한후 빛의세기를이라고할때, 을구하는과정을논리적으로설명하시오. [20 점 ] 31

169 4. 화학 [ 문제 4] 다음제시문 ( 가 )~( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 보어의원자모형에서 K, L, M, N, 의각전자껍질에번호를붙이고, 기호 n(n 은자연수 ) 으로표시하면다음과같다. K 전자껍질 (n=1), L 전자껍질 (n=2), M 전자껍질 (n=3), N 전자껍질 (n=4), 이때 n 에따라각전자껍질이가지는에너지준위는다음과같다. En= R/n 2 kj/mol(n=1, 2, 3, 4, ), R 은상수 전자껍질들중에서에너지준위가가장낮은전자껍질에전자가존재하는상태를바닥상태라하고바닥상태의전자가에너지를흡수하여바닥상태보다에너지준위가높은전자껍질에존재하는상태를들뜬상태라고한다. ( 나 ) 원자에에너지를가하면가장바깥전자껍질에배치되어있는원자가전자가원자핵으로부터떨어져나오게된다. 기체상태의중성원자 1개로부터전자 1개를무한히먼거리로떼어내는데필요한에너지를이온화에너지라고한다. ( 다 ) 화학반응은여러가지다른속도로일어난다. 화학반응의속도는단위시간동안에감소한반응물질의농도나증가한생성물질의농도로나타낼수있다. 반응속도 = 반응물질의농도변화량 반응시간 = 생성물질의농도변화량 반응시간 다음과같은일반적인반응의경우를생각하여보자. aa + bb cc + dd 이반응의반응속도는 = k[a] m [B] n 으로표시된다. 여기서비례상수 k는반응속도상수라고하는데, k는반응에따라고유한값을가지며, 농도와는관계가없고온도에따라변하는값이다. 또한, 지수 m과 n의합을반응차수라고하며, 이들은실험을통하여결정된다. 1차반응은어떤시점에서남아있는반응물질의양이절반으로줄어드는데걸리는시간이일정하며, 이시간을반감기라고한다. ( 라 ) 화학반응식에서각물질의계수비는반응에관여한물질의분자수비와몰수비, 부피비를의미한다. 이때, 몰과입자수, 몰과질량, 몰과기체의부피관계를이용하면반응물과생성물의몰수, 입자수, 질량, 부피를구할수있다. 따라서화학반응식의양적관계를알기위해서는물질의양을먼저몰수로환산하면편리하다. 32

170 [ 문제4-1] 바닥상태에있는수소원자 [H(g)] 1몰에자외선을조사하여수소원자 [H(g)] 의일정량을전자가 L껍질로전이된들뜬상태로만들었다. 들뜬상태로전이된수소원자의양을측정하기위하여아래의표와같이자외선조사전과후의수소기체의이온화에너지를측정하였다. 실험의결과를이용하여들뜬상태로전이된수소원자 [H(g)] 의몰수를구하는과정을제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [10점] 구분자외선조사전자외선조사후 이온화에너지 kJ/mol kj/mol [ 문제 4-2] 오산화이질소 [N 2 O 5 (g)] 는다음과같은화학반응식으로분해반응이일어난다. 2N 2 O 5 (g) 4NO 2 (g) + O 2 (g) 시간에따른반응물 N 2 O 5 농도를시간에따라다음과같은조건에서측정하였다. 50 에서초기농도가 0.08M인 N 2 O 5 의분해반응이부피가일정한용기안에서일어날때, 반응물 N 2 O 5 의농도변화는아래그래프와같다. 이반응의반응차수와반응속도식을그래프로부터추론하고, 시간 60초에서산소기체의농도를구하는과정을제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [20점] 33