Contents 제 1 장 : 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 제 2 장 : 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화

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1 2016 학년도 중앙대학교 논술백서 자연계열

2 Contents 제 1 장 : 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 제 2 장 : 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 082 제 3 장 : 자연계열논술문항체험하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 128

3 제 1 장 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술문항의구성 논술시험에대한조언과중요한 TIP 005 CHUNG ANG 2016

4 자연계열논술의이해

5 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 01_ 중앙대학교자연계열논술은? 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 2. 자연계열논술문항의구성 3. 논술시험에대한조언과중요한 TIP 중앙대학교가수시모집전형에서논술전형을계속유지하는가장큰이유는중앙대학교논술전형이미래지향적인인재를선발하는효율적인평가방식이라고확신하기때문이다. 오랜기간논술전형의관리역량을축적해온중앙대학교는논술전형을통하여우수한학생을성공적으로선발해오고있다. 이는논술전형을통해입학한학생들의본교입학후성적에서증명되고있다. 중앙대학교 2016학년도논술전형시험의전체적인출제방향및평가목표는향후중앙대학교에진학하여학문을탐구하는데있어서부족함이없는인재를합리적이고객관적으로선발하는데에맞춰져있다. 구체적으로중앙대학교자연계열논술시험에서는수험생들이고교과정에서배운수학과과학의기본개념들을잘이해하고있는가, 기본개념들과문항또는제시문을통해이해한내용을바탕으로논리적사고를전개할수있는가, 문제를창의적으로해결할수있는가, 자신이생각한바를언어나수식을통해논리적으로기술할수있는가의여부를중점적으로평가할것이다. 기본적으로는수학, 공통과학, 물리I, 화학I, 생명과학I 교과서와 EBS 교재에서내용을발췌하여사용할것이며, 경우에따라물리II, 화학II, 생명과학II의내용이일부포함될수있다. 중앙대학교자연계열논술전형에관심을갖고준비중인수험생들은잘알고있는바와같이, 중앙대학교자연계열논술의기본성격은 2014학년도까지는여러교과목에대한제시문을통합적으로이해하여야풀수있는통합형논술이었다. 그러나, 학교시험, 수능준비와함께통합형논술을준비해야하는수험생의부담과논술을지도하시는일선교사선생님들의고충을덜어드리기위해오랜논의를거쳐 2015학년도논술시험부터과거통합형의틀을벗어나단일교과형논술문항을출제하기로결정하였고, 이를 2014년봄에시행된모의논술부터적용하였다. 중앙대학교자연계열논술을준비하는수험생들이이렇게변화된포맷에익숙해지기위해서는반드시작년에치러진모의논술및본논술문항을풀어보아야하며, 이책의내용을적극적으로활용하는것이올해논술에서좋은결과를얻을수있는필수사항이다. 이번에발간되는 2016학년도중앙대학교논술가이드북은, 예년에비해방대한내용과자세한설명을포함하고있으며, 중앙대학교논술을준비하는수험생과이책을사용하여학생들을지도하시는선생님들께큰도움이될것이라확신하며정성껏제작한책이다. 이책과함께추후시행될논술설명회를통하여제시하게될논술출제형식은본논술에서반드시유지할것이며, 이는논술시험에대한예측가능성을제고함으로써수험생들이사교육에의존하는것을방지하는데가장큰목적이있다. 수험생들은학교에서습득한교과목의지식을바탕으로이논술가이드북의정보를잘활용한다면중앙대학교의논술전형에서좋은결과를얻을수있을것이다. 02_ 자연계열논술문항의구성 중앙대학교자연계열논술문항의전체적인구성은다음과같다. [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 은수학과관련된문항으로서지원자가모두풀어야하는문제이며배점은각각 20점, 20점, 30점이다. [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학가운데지원자가원서접수시본인이선택한과목을풀수있는문제이며배점은 30점이다. 또한, 경쟁이매우치열한의학부를지원하는학생은 [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 가운데한두문제를타학과지원자에비하여상대적으로난이도가높은문제를풀게될것이다. [ 문제 1] 은가장쉬운문항으로서확률, 경우의수, 기댓값등에관한문제가출제된다. [ 문제 2], [ 문제 3] 은고교수학전반에관하여출제되는문항으로서 [ 문제 1] 에비하여상대적으로난이도가높은문항이출제되며, 각각소문항두개로구성된다. [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학에해당하는문항으로서수험생은원서접수시본인이선택한과목의문제를풀면된다. [ 문제 4] 도두개의소문항으로구성된다. 특히 [ 문제 1] 에서확률, 경우의수, 기댓값등에관한문제를출제하는이유는, 문제에서설명되고주어지는정보를수험생들이정확하게이해하고문제풀이에적용하는이해력과응용력을측정하기위함이다. 어려운수학문제를잘풀어내는학생들도이러한유형의문제처럼, 정보를주고풀어야할목표를제시하면의외로당황하여난감해하는경우가많다. [ 문제 2], [ 문제 3] 은수험생들에게가장익숙한형태의문항이될것이며, [ 문제 4] 는물리, 화학, 생명과학가운데한과목의문제를풀면된다. 과목별난이도가최대한비슷하도록출제할것이나, 선택과목에따른유리또는불리가발생하지않도록 [ 문제 4] 의점수는표준화점수를부여한다. 004

6 자연계열논술의이해 1. 중앙대학교자연계열논술은? 2. 자연계열논술문항의구성 3. 논술시험에대한조언과중요한 TIP 03_ 논술시험에대한조언과중요한 TIP 중앙대학교논술시험의시간은두시간, 즉 120 분으로제한되어있으며, 자연계열논술시험에서는답안작성시, 인문계열처럼원고지작성법, 맞춤법등으로인한감점사항은없다. 수험생에게제공되는답안지는각문항별로답안을작성해야하는영역이나뉘어져있으며, 수험생들은반드시해당문항의답안지영역내에자유롭게본인의답안을적어제출하면된다. 논술시험을성공적으로치르기위해서고려할사항은많이있으나, 가장중요한것이무엇인지살펴보자. 먼저시간을효율적으로활용하여야한다. 보통때는두시간이길게느껴질수도있지만, 긴장과집중이초고도에달하는논술시험장에서의두시간은상대적으로금방지나가는것처럼느껴질것이다. 문제를푸는순서를미리정해서시험에임하는것도좋은전략이다. 가장좋은문제풀이순서는 [ 문제 1], [ 문제 4], [ 문제 2], [ 문제 3] 또는 [ 문제 4], [ 문제 1], [ 문제 2], [ 문제 3] 이다. 그이유는 [ 문제 1] 은가장쉬운문제이며, [ 문제 4] 는수험생이가장자신이있는과목이기때문이다. 상대적으로어려운 [ 문제 2], [ 문제 3] 이시간이많이소요될것이라는생각에먼저풀려고하는것은추천하고싶지않은전략이다. 왜냐하면어려운문제를먼저대하게되면쓸데없는자신감의결여로이어질가능성이높기때문이다. 또한, 막히는문제를만났을때, 지나치게그문제에오랜시간을소비하는것은좋지않다. 왜냐하면, 총점이높은학생이합격하게되므로상대적으로쉬운문제에서감점용인을최소화하여고득점을올리는것이차라리낫기때문이다. 전통적으로중앙대학교자연계열논술시험의첫번째문항인 [ 문제 1] 은출제되는문항들가운데가장쉬운문제에속한다. 이는극도로긴장하고시험에임하는수험생들의긴장을완화시켜주고자하는배려에따는것이다. 이처럼 [ 문제 1] 은쉬운문제이므로수험생들은절대긴장하지말고풀어야한다. 논술시험에서가장변별력이있는문항이어떤문항인지를생각해보라고하면, 보통가장어려운문제가변별력이있다고대답할것이다. 아주틀린이야기는아니지만, 생각을뒤집어보면오히려가장쉬운문제가의외로큰변별력을가질수도있다는것을이해할수있다. 중앙대학교자연계열논술문항가운데가장중요한문항은바로 [ 문제 1] 이다. 가장쉬운문제이므로, 최대한고득점을받을수있는답안을작성해야하는데, 또한가지고려해야할것이바로시간이다. 상대적으로시간이많이소요될 [ 문제 2], [ 문제 3] 의풀이에필요한시간을확보하기위해서는 [ 문제 1] 을가능한빨리풀어야하기때문이다. 경쟁이치열한논술전형에서합격권에들어오기위한필요조건은배점이 20점인 [ 문제 1] 을가능한빠른시간에풀어서최소한 15점정도를받아야한다는것이다. 앞서설명한바와같이, 논술문항을풀다보면막히는문제를만날수도있다. 그런일이발생했을때스스로를긴장시키는실수를범해서는안된다. 제한된시간내에자신의실력을제대로발휘하는데가장큰적은긴장하는것이다. 내게어려운문제는다른수험생들에게도어려울것이라고생각하며긴장하지말아야한다. 기출문제를반드시풀어보아야하는것도필수적이다. 앞서언급한바와같이, 중앙대학교자연계열논술은 2015학년도입시부터포맷이변경되었으므로, 수험생들이풀어봐야할기출문제는 2014년봄에치러진모의논술, 겨울에치러진본논술의자연계열I, 자연계열II, 의학부등이다. 이책의다음장부터는기출문제일부와새롭게만든예시문항에대한해설, 설명, 접근방법등의내용이매우세밀하고자세하게제시될것이니, 이책을잘활용하는것도필수사항이라하겠다. 005

7 제 2 장 자연계열논술의문항파악하기 1. 수학 물리 생명과학 화학 082 CHUNG ANG 2016

8 자연계열논술의문항파악하기

9 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도부터논술전형이개별교과형으로변경되었고, 이러한형태에맞춘수학논술문제가 2015 학년도모의논술, 2015 학년도수시 일반논술자연계열 I/ 의학부, 자연계열 II 등 3 회출제되었다. 이하에서는기출수리논술시험의제시문과문항설명, 예시답안과채점기준 을통해, 수학논술을준비하는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. [ 참고도서 ] 수학 : 천재교육, 중앙교육진흥연구소, 더텍스트수학 I : 교학사, 두산동아, 좋은책신사고, 천재교육수학II : 금성출판사, 더텍스트, 성지출판, 중앙교육진흥연구소수학의활용 : 금성출판사적분과통계 : 중앙교육진흥연구소기하와벡터 : 교학사, 더텍스트, 좋은책신사고 EBS 포스고교수학I 2015 학년도모의논술 문제 1 단판으로승부를가리지만, 무승부일경우재시합을하는운동경기가있다. A팀이 B팀에승리할확률은 p, 패할확률은 q, 무승부일확률은 r 이라고한다. 단, p > 0, q > 0, r > 0, p + q + r = 1 이다. 계속무승부가되어총경기횟수가 10 경기가될때까지승부가나지않을경우동전던지기로승부를결정한다고할때, 두팀이치르게될경기횟수의기댓값을 r 에대한식으로나타내시오. 1. 문제의배경지식 중앙대학교자연계논술의 1 번은적분과통계의 3 단원과 4 단원을구성하고있는확률과통계에관한문제이다. 이번문제는이산확률변수 의기댓값 ( 교학사적분과통계, pp ) 을구하는문제이다. 문제를풀기위해알아야할개념들에관한배경설명은다음과같다. 008

10 자연계열논술문항파악하기 동전이나주사위던지기와같이같은조건에서반복할수있으며, 그결과가우연에의하여달라지는실험이나관찰을시행이라고하고, 시 행에서나올수있는모든결과의집합을표본공간이라고한다. 주어진시행에서어떤사건 A 가일어날가능성을수로나타낸것을사건 A 가일어날확률이라고하고, 기호로 와같이나타낸다. 어떤시행에서표본공간 S 의각근원사건 (S) 의부분집합중에서한개의원소 로이루어진사건 ) 이일어날가능성이같다고기대될때, 표본공간의원소의개수에대한사건 A 의원소의개수의비를사건 A 의수학적확률이라고하고, 기호로 와같이나타낸다. 두개의동전을던져서모두앞면이나오는사건을 A 라하고, 모두뒷면이나오는사건을 B 라할때, 두사건 A, B 는동시에일어나지않는 다. 이와같이, 인두사건 A 와 B 를서로배반이라하고, 이두사건을배반사건이라한다. 두사건 A 와 B 가배반사건이면 A 또 는 B 가일어날확률은다음과같이구할수있다. ( 확률의덧셈정리 ) 두사건 A, B에대하여사건 A가일어나는것이사건 B가일어날확률에영향을주지않을때, 두사건 A, B는서로독립이라고하며, 이때확률의곱셈정리로부터다음이성립한다. ( 단, ) 어떤시행의표본공간 S의각원소 ( 근원사건 ) 를실수의집합 R의한원소에대응시키는함수를확률변수라고하고, 사건의확률을간단히와같이나타낸다. 확률변수 X 가취하는값이유한개이거나자연수와같이일일이셀수있을때, X를이산확률변수라고한다. 이산확률변수 X가취할수있 는값이 이고, X 가이값을취할확률이각각 라고할때, 과의대응관계를이산확률변수 X 의확률분포또는간단히이산확률분포라고한다. 이산확률변수 X 의확률분포가위와같을때, 를이산확률변수 X 의기댓값또는평균이라고하고, 기호로와같이나타낸다. 2. 문제의분석및풀이과정 이번문제는어떤운동경기에서무승부가날가능성이있고, 최대 10경기까지할수있을경우, 두팀이경기를치르게될횟수의기댓값을구하는문제이다. 문제에서한팀이다른팀에승리할확률, 패배할확률, 무승부일확률이모두모르는값으로정해져있다고주어져있으므로, 두팀이경기를치르는것은시행이다. 이시행에서나올수있는결과는 A팀이 B팀에승리, A팀이 B팀에패배, 무승부의세가지사건이며, 각각의사건이일어날확률은 p, q, r 이라고한다. 두팀이경기를치르게될횟수를확률변수 X라고하면, 단판으로승부를가리지만무승부일경우최대 10경기까지재시합을하게되므로, 확률변수 X가정의되는표본공간을 S라고하고, A팀이승리하는사건을 A, B팀이승리하는사건을 B, 무승부일사건을 N이라고하면, S의원소 ( 근원사건 ) 들은다음과같다. 009

11 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 각각의경기는서로독립이므로확률의곱셉정리로부터위의각사건이일어날확률은다음과같이각각구할수있다. 확률변수 X 가가질수있는값은 1, 2, 3,, 10 이므로, 위에서구한근원사건의확률을이용하면, X 의각값에대응되는확률을다음과같 이구할수있다. 여기서, 인확률은 9 번무승부후 10 번째승부가나는경우와 10 번모두무승부가되는경우를모두고려해야한다. 따라서, X 의기 댓값는이산확률변수의기댓값을구하는공식을이용하여다음과같이나타낼수있다. 여기서, 로정의한다. 위의기댓값을 r에대한식으로정리하기위해서는 p+q를 r에대한식으로바꿔 야하고, S를간단하게정리하여야한다. 먼저문제에주어진조건 을이용하면 임을알수있다. 또한, S를 간단하게정리하기위해서 S에 r를곱하여 S에서빼면 따라서, 이다. 3. 예시답안및채점기준 예시답안 확률변수를 A 팀이 B 팀과하게되는경기수라고정의하면, 가가질수있는값은 1, 2,, 10 이고이에대한확률을고려하면 의기댓값는다음과같이나타낼수있다. 여기서로정의하고, 인확률은 9 번무승부후 10 번째승부가나는경우와 10 번모두무승부가 되는경우를모두고려해야한다. 010

12 자연계열논술문항파악하기 의계산은를구하여빼주면다음과같다. 의조건으로부터이기때문에는다음과같다. 만일일확률을으로놓고계산해도동일한답을얻을수있다. 채점기준 기댓값의정의를이용하여 를올바르게표현한경우 +10 점 가갖는값과이에대한확률에오류가있는경우각 -3점 의식으로부터이에대한계산을올바르게한경우 +10점 계산상오류는각 -3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 011

13 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 2 자연계열논술문항파악하기 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 의그래프에중심이이고반지름이인원이아래의그림과같이접하고있다. 두접점을각각이라하자. 단, 은양의정수이다. ( 나 ) 점와직선사이의거리는다음과같다. ( 다 ) 수렴하는두수열에대하여이성립한다. [ 문제 2-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진과의값을각각에대한식으로나타내시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 제시문 ( 가 ) 의그림과같이와원에의해둘러싸인영역의넓이를이라할때, 을구하는과 정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 ( 가 )-( 나 ) 제시문을읽고문제에주어진도형사이의관계를이해한다. 문제에서에따라도형의관계가정해지게된다. 는 V자형태로이클수록좁은 V자형태가된다. 이 V자도형에접하는원이있고, 이원의반지름이의함수로주어졌다. 원의중심은축위에있고, 는의함수인 V자도형과원의반지름, 그리고두도형이접한다는조건에의해서결정된다. 즉, 을의함수로나타낼수있다. 012

14 자연계열논술문항파악하기 위에있고, 이원과접하는점 은 과같다. 원에접하는선은이접점에서원의반지름을연결한선분과직교 한다. 즉, 과 을지나는직선의기울기는 이라는조건을이용하여 을 의함수로나타낼수있다. [ 문제 2-1] 의답안을작성할때에는 과 을구하는과정을수리적으로유도하며, 유도과정을보충설명하여야한다. [ 문제 2-2] 를해결하기위해서는도형사이의관계로부터면적을구하는것을이해하여야한다. 문제에주어진면적을 과 으로나타 낼수있는방법은다양하다. 계산의오류를줄이기위해서는가장간단한방법을찾는것이중요하다. 원점과두점 을꼭 짓점으로하는삼각형의면적에서원, 축, 에의해만들어지는부채꼴의면적을빼고, 이것을 2배하여주어진도형의면적을구 할수있다. 위에서부채꼴의면적을구할때부채꼴의중심각는가축과이루는각과같다. 즉의관계가있다. 탄젠트함수의 역함수를정의하고, 반지름을이라하면, 부채꼴의면적을다음과같이의함수로나타낼수있다. 부채꼴의면적 = 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의면적을의함수이라하고, 위부채꼴의면적을이라하면 [ 문제 2-2] 에서구하고자하는면적을다음과같이나타낼수있다. 제시문 ( 다 ) 에서는문제 2 를해결하는데필요한무한수열의극한값에대한기본성질을설명하였다. 무한수열의극한값들은상수를곱하는 것과더하고빼는것이가능하다. 따라서구하고자하는면적의극한값을아래와같이나타낼수있다. 여기서주의할것은, 에서이기때문에, 이된다. [ 문제 2-2] 의답안을작성할때에는구하고자하는면적의부분면적들을의함수로나타내고, 부분면적들의극한값을조합하여전체 면적의극한값을구하는과정을수리적으로제시하고, 각단계마다보충설명을하여야한다. 013

15 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1] 예시답안 제시문 ( 나 ) 에주어진공식으로부터을얻으므로, 이다. 두점과을지나는직선은와직교하므로이다. 식을정리하여이다. 채점기준 의식을제시하면 +5점. 의식을제시하면 +5점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 2-2] 예시답안 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의넓이를이라하고, 이삼각형과내접원내부의교집합이이루는부채꼴 의넓이를이라하면이다. 이고, 내접원의반지름은으로수렴하므로이다. 따라서이다. 채점기준 원점과두점을꼭짓점으로하는삼각형의넓이를계산하면 +5점. 삼각형의넓이와부채꼴의넓이를이용하여을계산하면 +5점. ( 논리적인 ) 다른방식으로을정확히계산하면 +10점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 014

16 자연계열논술문항파악하기 문제 3 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 함수는모든실수에대하여다음을만족한다. ( 나 ) 함수가구간에서연속일때, 다음을만족한다. ( 다 ) 두함수가미분가능할때, 합성함수의도함수는아래와같다. [ 문제 3-1] 제시문 ( 가 ) 에주어진함수를구하는과정을논리적으로설명하시오. [10 점 ] [ 문제 3-2] 일때, 가취할수있는값의범위와의최댓값을구하는과정을논리적으로 설명하시오. [20 점 ] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 [ 문제 3-1] 은제시문 ( 나 ) 에서주어진적분과미분의관계를잘이해하고있는지묻고있는문제이다. 또한, 제시문 ( 다 ) 에서설명한합성함수 의미분에대해서도잘이해하고있어야한다. 의원시함수를라하면다음을만족한다. 합성함수를미분하면이므로함성함수을미분하면 를얻는다. 상수 를얻는다. 즉, 이다. 은미분하면 0 이므로위의식을미분하여 이라하면, 이므로 따라서, 이다. 015

17 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2] 는이차함수의최대 - 최소문제, 산술기하평균에관한절대부등식, 합성함수등의이해를통하여이들을통합적으로적용하여문 제를해결할수있는지평가하고있는문제이다. 에서대신에를대입하여 또하나의식을얻는다. 이므로을얻는다. 두양수에대하여가항상성립하므로, 가양수이면이성립한다. 라놓으면은위로볼록한이차함수의그래프를가지고가 2 에가까울수록큰값을가진다. 이므로일때, 를최댓값으로가진다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 의원시함수를라하면다음을만족한다. 양변을미분하여를얻는다. 이므로이다. 채점기준 의원시함수를고려하여를얻으면 +5점. 식을정리하여을정확히얻으면 +5점. ( 논리적인 ) 다른방식으로을정확히계산하면 +10점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 016

18 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2] 예시답안 에대신를대입하여또하나의식를얻는다. 두식을연 립하여을얻는다. 일때, 이다. 는대칭축이이고위로볼록한이차함수의그래프를가지므로 는일때, 최댓값를가진다. 별해 에대신에를대입하여또하나의식 를얻는다. 두식을연립하여을얻는다. 이므로이다. 모든에대하여이므로을만족하는는의근이다. 과 으로부터를얻고이때는최댓값를가진다. 채점기준 을정확히계산하면 +7 점. 일때, 가취할수있는값의범위를정확히계산하면 +6 점. 는최댓값을정확히계산하면 +7 점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 017

19 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I/ 의학부 ) 자연계열논술문항파악하기 문제 1 ( 자연계열 I) 공과주사위를이용하여상금이결정되는게임이있다. 바구니안에 1~6까지번호가하나씩적혀있는 6개의공이들어있다. 이바구니에서임의로한개의공을꺼낸후, 주사위를던져서 4 이하의눈이나오면꺼낸공의번호에 1000원을곱한금액을상금으로받으며, 주사위를던져서 5 또는 6의눈이나오면바구니에서꺼낸공의번호에관계없이 2000원을상금으로받는다. 특별히주사위의눈이공의번호와일치할경우, 상금은두배가된다. 이게임에서상금의기댓값을구하시오. 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 이번문제는이산확률변수의기댓값을구하는문제이다. 공과주사위를이용하여상금이결정되는게임에서받게되는상금을확률변수 W 라고놓으면이확률변수가취할수있는값은두가지경우로나누어서생각해야한다. 한가지는특별상금이아닌일반상금을받는경우이고, 다른한가지는특별상금을받는경우이다. 일반상금을받는경우받을수있는상금은 1,000원, 2,000원,, 6,000원이고, 특별상금을받는경우상금이일반상금의두배가되므로일반상금을제외하고추가적으로받게되는상금은 1,000원, 2,000원, 3,000 원, 4,000원이다. 각각의상금을받을확률을계산하기위하여각각의상금을받게되는경우를생각해보면다음과같다. 상금이 1,000원인경우는, 바구니에서 1번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 4 이하의눈이나오는경우이고, 그확률은공을꺼내는사건과주사위를던지는 사건이서로독립이므로 이다. 마찬가지로상금이 3,000 원,, 6,000 원일경우도각각확률은 4/36 으로같다. 하지만상금이 2,000 원인경우는, 바구니에서 2 번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 4 이하의눈이나오는경우또는꺼낸공의번호와상관없이 주사위를던져서 5 나 6 의눈이나오는경우이므로, 해당확률은이다. 따라서, 특별상금을제외한일반상금의기댓값 ( ) 을 구하면다음과같다. ( 원 ) 특별상금을받는경우에서, 추가상금이 1,000원인경우는, 바구니에서 1번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 1의눈이나오는경우이다. 따라서해당확률은이된다. 마찬가지로, 추가상금이 3,000원, 4,000원인경우도각각확률은 1/36으로같다. 반면에, 추가상금이 2,000원인경우는, 바구니에서 2번이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 2의눈이나오는경우또는바구니에서 5 가적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 5의눈이나오는경우또는바구니에서 6이적혀있는공을꺼내고주사위를던져서 6의눈이나오는경우이므로, 해당확률은이다. 따라서, 특별추가상금의기댓값 ( ) 은다음과같이구할수있다. ( 원 ) 018

20 자연계열논술문항파악하기 이게임에서받게되는상금의기댓값 ( ) 은두기댓값을합해서구하면다음과같다. ( 원 ) 2. 문항별예시답안및채점기준 예시답안 바구니에서번이적힌공을꺼내고주사위가 1~4 의눈이나오면상금은 원이고, 주사위의눈이 5 또는 6 이면 2000 원이므 로, 특별상금을제외한기대상금 ( ) 은다음과같다. ( 원 ) 특별상금은각각 1/36 의확률로공의번호가 ( ) 번의경우원이추가되고, 공의번호가 5 번또는 6 번일경우 2,000 원이추가로주어진다. 따라서특별상금의기댓값 ( ) 은다음과같다. ( 원 ) 따라서, 총상금의기댓값 ( ) 은, ( 원 ) 채점기준 확률및기댓값에대한개념적이해가있다고판단된다 : +5점 36가지의사건과적절한확률값 (1/36) 을연관시킨다 : +3점 관련상금을곱하는시도를한다 : +2점 특별상금을제외한기본상금에대한기댓값을정확히계산 : +10점 주사위의눈 1~4에대하여각각 1000원씩곱하여상금계산 : +3점 5 또는 6일때는 2000원으로상금계산 : +3점 위의상금들을관련확률 (1/36) 과곱하여기댓값을계산 : +4점 특별상금에대한기댓값을정확히계산 : +5점 특별상금을기본상금의 2배로계산 : +2점 적절한확률 (1/36) 을곱하여계산 : +3점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 019

21 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 1 ( 의학부 ) 자연계열논술문항파악하기 당신이아주깜깜한방에갇혔다고가정해보자. 당신의바로앞에는두개의단추 A와 B가있다. 단추 A를누를경우 1/3 의확률로 2분후에방에서탈출할수있으나, 2/3의확률로는탈출할수없으며 5분의시간이지난후다시두단추중하나를누를수있게된다. 단추 B를누를경우, 방에서탈출할수없으며 3분의시간이지난후다시두단추중하나를누를수있다. 이전에누른단추를구별할수없고매번단추를임의로선택하여누른다고가정할때, 방에서탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값을구하시오. 1. 문제의배경지식 이번문제는확률변수가취하는값이유한개는아니지만자연수와같이일일이셀수있는이산확률변수의기댓값 ( 교학사적분과통계, pp ) 을구하는문제이다. 앞에서이미설명한배경지식외에이문제를풀기위해알아야할개념들에관한배경설명은다음과같다. 주사위나동전을여러번던지는경우와같이어떤시행을반복할때, 매번일어나는사건이서로독립인경우그러한시행을독립시행이라고한다. 매회의시행에서사건 A가일어날확률이 p라할때, n회의독립시행에서사건 A가 r회일어날확률은 ( 단, ) 이다. 자연수 n에대하여다항식을전개한식에서항 ( 단, ) 은 n개의일차식중에서 r개의일차식에서는 b 항을선택하고, 나머지개의일차식에서는 a항을선택하면얻을수있으므로그계수는과같다. 따라서다음의전개식을얻을수있고, 이식을이항정리라고한다. ( 교학사적분과통계, II 순열과조합, pp. 92) 첫째항이이고, 공비가인무한등비수열에서얻은무한급수 를첫째항이이고공비가인무한등비급수라고한다. 무한등비급수의수렴또는발산을알아보자. ( 지학사수학 I, IV 수열의극한, pp ) 020

22 자연계열논술문항파악하기 ❶ 일때 위의무한등비급수의제항까지의합은다음과같다. 그런데 이므로 따라서무한등비급수는수렴하고, 그합은이다. ❷ 일때 이므로위의무한등비급수는발산한다. 2. 문제의분석및풀이과정 이번문제는방에서탈출하기위해서두개의단추중하나를누르고, 주어진확률로탈출할수도있고다시처음상황으로돌아갈수도있는상황에서, 탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값을구하는문제이다. 탈출하기까지걸리는시간은 A단추를눌러서한번에탈출하는경우 2분이다. 그러나, A단추를누르고한번에탈출하지못하게되면먼저 5분이지나고다시처음상황으로돌아가게되고, B단추를누르면탈출하지못하게되고 3분이지나고다시처음상황으로돌아가게된다. 두번째시도에서다시앞의경우가반복되게되므로, 각각의시도에서가능한경우탈출시간을다음과같이고려할수있다. ❶ 1번째시도에서탈출 : 2분 ❷ 2번째시도에서탈출 : 1번째시도에서 A단추를누른경우 : = 7분 1번째시도에서 B단추를누른경우 : = 5분 ❸ 3번째시도에서탈출 : 1번째시도에서 A단추를누르고, 2번째시도에서 A단추를누른경우 : 5 x = 12분 1번째시도에서 A단추를누르고, 2번째시도에서 B단추를누른경우 : = 10분 1번째시도에서 B단추를누르고, 2번째시도에서 A단추를누른경우 : = 10분 1번째시도에서 B단추를누르고, 2번째시도에서 B단추를누른경우 : 3 x = 8분 위의경우에서볼수있는것처럼번째시도에서탈출하는경우에가능한탈출시간을계산하기위해서는 1 번째시도부터번째 시도까지의 A 단추와 B 단추를누른경우를다고려해야한다. 설명의편의상, A 단추를눌러서탈출하는경우를 c, 다시처음상황으로돌아 오는경우를 a 라고두고 ; B 단추를눌러서다시처음상황으로돌아오는경우를 b 라고두자. 번째시도에서탈출하는경우에가능한 각각의경우 a, b, c 가몇번씩걸릴지와그경우의탈출시간을다음과같이고려할수있다. 021

23 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 1. a : 번, b : 0번, c : 1번 분 2. a : 번, b : 1번, c : 1번 분 3. a : 번, b : 2번, c : 1번 분. a : 번, b : 번, c : 1번 분 a : 0번, b : 번, c : 1번 분 각각의탈출시도에서일어날수있는사건인 a, b, c가일어날확률은주어진문제로부터각각,, 임을알수있다. 번에탈출한다고가정하면, a: 번, b: 번, c: 1번의과정을거쳤다고볼수있다 ; 단,. 이에대한확률은번째시도에서사건 c가일어나고, 1번째시도부터번째시도까지는탈출하지못하므로, 그중에서번의시도를선택해서사건 a가일어나고, 나머지시도에서는사건 b가일어난것으로생각할수있다. 각각의탈출시도는서로독립이므로독립시행의확률구하는공식을적용하여다음과같이구할수있다.,. 이경우에대한탈출시간은 ( 분 ) 이다. 따라서, 탈출시간의기댓값는다음과같은식으로계산될수있다 ; 큰괄호안의두번째, 세번째합은다음과같은이항정리를적용하여정리할수있다. 여기서, 이다. 반면에, 첫번째합은위의이항정리를변형해서구해야한다. 위식의양변을에대하여미분하면다음과 같은식이구해진다. 따라서, 기댓값는다음과같이정리할수있다. 위식에서두번째합은첫째항이 1 이고공비가인무한등비급수이다. 이므로, 이무한등비급수는수렴하며그값은 022

24 자연계열논술문항파악하기 이다. 반면에, 첫번째합은무한등비급수를변형해서구해야한다. 앞에서와마찬가지로위식의양변을 에관하여미분하면다음과같 은식이구해진다. 따라서, 기댓값는다음과같이정리할수있다. 즉, 문제에서구하는방에서탈출하기까지걸리는시간 ( 분 ) 의기댓값은 21 분이다. 3. 예시답안및채점기준 예시답안 설명의편의상, A단추를눌러서탈출하는경우를 c, 다시처음상황으로돌아오는경우를 a라고두고 ; B단추를눌러서다시처음상황으로 돌아오는경우를 b라고두자. 이들에대한확률은각각,, 이다. 번에탈출한다고가정하면, a: 번, b: 번, c: 1번의과정을거쳤다고볼수있다 ; 단,. 따라서, 이에대한확률은,. (*1) 이경우에대한탈출시간은이다. 따라서, 탈출시간의기댓값는다음과같은식으로계산될수있다 ; (*2) (*3) (*4) 023

25 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 등식 (*3) 을위한보조식 자연계열논술문항파악하기 이항정리 : 에관하여이항정리의양변을미분 : 등식 (*4) 를위한보조식 무한등비급수 : 에관하여위식의양변을미분 : 채점기준 다음과같이배점한다 ( 개념이해 : 5점, 계산 : 15점 ) A. 확률및기댓값에대한개념적이해 : +5점 3가지의사건에대한이해를함 : +2점 3가지각경우에대한관련확률을계산 (1/6, 1/3, 1/2) 함 : +3점 B. 무한등비급수를이용하여기댓값계산 : 15점 (*1) 과같이탈출하는경우에대한상황의확률을계산 : +5점 탈출하는경우의탈출시간을 와같이표현 : +5 점 (*2) 와같이 의형태로무한히반복될수있는상황으로연결하여기대값을계산 : +5 점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 024

26 자연계열논술문항파악하기 문제 2 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 다항식를다항식로나누었을때의몫을, 나머지를이라하면 ( 단, 의차수는의차수보다낮다.) 의꼴로나타낼수있다 ( 나 ) 에대한두다항식 ( 단, ) 에대해의꼴로나타내어지는식을유리식이라한다. 특히, 이면는다항식이다. 예를들어, 아래의식은모두유리식이다. ( 다 ) 일때, 이성립한다. [ 문제 2-1 ( 자연계열 I)] 다항식을으로나눈나머지를라할때, 계수를각각구하시오. [10 점 ] [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 다항식을으로나눈나머지를라할때, 계수를각각에관한식으로표현하시오. [10 점 ] [ 문제 2-2] 가에대한유리식이되도록상수를정하시오. [10 점 ] 025

27 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1 ( 자연계열I)] 은다항식의사칙연산을잘이해하고있는가묻고있는문제이다. 특히, 다항식의나눗셈을몫과나머지로표현할수있고이를미분과연계하여통합적으로문제를해결할수있는지평가하고있다. 다항식을으로나눈몫을라하면, 로쓸수있다. 양변을미분하면, 이다. 여기서, 로놓으면 를얻는다. 다시미분하면, 이다. 위에서얻은아래의세식에을대입하자. 그러면, 을얻는다. 이로부터을구할수있다. [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 는 [ 문제 2-1 ( 자연계열I)] 과마찬가지로다항식의사칙연산을잘이해하고있는가묻고있는문제이다. 특히, 다항식의나눗셈을몫과나머지로표현할수있고이를미분과연계하여통합적으로문제를해결할수있는지평가하고있다. 난이도조절을위하여다항식의차수를일반화하였다. 다항식을으로나눈몫을라하면, 로쓸수있다. 양변을미분하면, 이다. 여기서, 로놓으면를얻는다. 026

28 자연계열논술문항파악하기 다시미분하면, 이다. 위에서얻은아래의세식에을대입하자. 그러면, 따라서이다. [ 문제 2-2] 는분수의곱셈을분해하는부분분수법과적분을연계하여문제를출제하였다. 연산능력과통합적사고능력이있는지평가하 고있는문제이다. 을이용하여을다음과같이전개할수있다. 027

29 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 따라서, 자연계열논술문항파악하기 즉, 이다. 양변을적분하면, 이므로가에대한유리식으로주어지려면, 이어야한다. 즉, 이다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 2-1 ( 자연계열 I)] 예시답안 라하고라하자. 을대입하여를얻는다. 한편, 따라서이다. 028

30 자연계열논술문항파악하기 [ 별해 ] 다음의조립제법을이용하여을얻는다. 채점기준 를계산하면 +2점. 를계산하면 +3점 를계산하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 029

31 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 2-1 ( 의학부 )] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 라하고라하자. 을대입하여를얻는다. 한편, 따라서 이다 채점기준 를계산하면 +2점. 를계산하면 +3점 를계산하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 030

32 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-2] 예시답안 따라서가에대한유리식으로주어지려면이어야한다. 즉, 이다. 채점기준 를계산하면 +2 점. 를계산하면 +3 점. 를계산하면 +3점. 를계산하면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 031

33 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 3 자연계열논술문항파악하기 다음제시문을읽고문제에답하시오. 아래왼쪽그림에서원을포함하는평면 과이평면의 축을공유하는평면 이있고, 두평면이이루는각이 이다. 평면 위의원을평면 위에정사영하면타원이되고, 이타원의넓이는원의넓이에 를곱한것 과같다. 평면 위에반지름이 이며, 중심이원점인원이있을때, 이원위의점 의좌표 는다음과같다. 여기서는원점과점를연결한선이축과이루는양의각도이다. 이원을평면위에정사영하면장축의길 이가이고, 단축의길이가인타원이된다. 이때이다. 원위의점는타원위의점로정사영 되고, 타원을포함하는평면의좌표계에서의좌표는다음과같다. 평면위의좌표계와평면위의좌표계를일치시켜타원과원의관계를나타내면아래오른쪽그림과같다. < 추가지문 의학부문제에만해당 > 함수, 가일대일대응일때, 의각원소에대하여가되는의원소가하나씩존재한다. 그러므로의각원소에대하여이러한를대응시키면에서로의새로운함수가얻어진다. 이때이새로운함수를의역함수라하고기호로다음과같이나타낸다., 032

34 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-1] 제시문에서는선분이축과이루는양의각도이다. 제시문에근거하여의좌표를로나타내시오. 단, 이다. [10 점 ] [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 제시문에주어진타원의장축의길이가, 단축의길이가 2, 일때, 제시문에근거하여부채꼴 의면적 을구하시오. [20점] [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 제시문에주어진타원에서임의의 에대해부채꼴 의면적을위제시문에근거하여구하시오. 단, 이다. [20점] 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 좌표평면위에서중심이원점이고, 반지름의길이가인원의방정식은이다. 원점과점 를연결한선이 축과이루는각을 라고할때, 이를매개변수로하여원위의점 의좌표 를다음과같이나타낼 수있다. 033

35 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 장축의길이가, 단축의길이가이고, 장축의중간지점과단축의중간지점이원점인타원의방정식은 이다. 타원위의점의좌표는어떤각를매개변수로하여다음과나타낼수있다. 여기서는원점과를연결한선이축과이루는각와같지않다. 와사이의관계그리고원과타원사이의관계는다음에 설명하는정사영의원리를이용하여구할수있다. 일반적으로도형에속하는각점의평면위로의정사영전체로이루어진도형을도형의평면으로의정사영이라 한다. 그림에서직사각형를포함하는평면과직사각형를포함하는평면이이루는예각의크기를라고하자. 는의정사영 이고, 두도형의면적크기는다음과같은관계가있다. 의면적 = 의면적 평면위에있고, 평면과의교선과수직한선분, 예를들면직사각형의짧은변을평면으로정사영하면선분가된다고할때, 두선불의길이는다음과같은관계가있다. 의길이 = 의길이평면위에있는선분중두평면의교선과평행한것을평면으로정사영하면길이가변하지않는다. 034

36 자연계열논술문항파악하기 문제에서평면위에두평면사이의교선을축, 이에수직인직선을축으로하는좌표계가있고, 원점을중심으로하고, 반지름 이인원이있다. 이원을평면위로정사영하면앞서설명한선분의정사영정리에따라장축의길이가이고, 단축의길이가 인타원이된다. 이타원의면적은도형의정사영정리에따라원의면적에 를곱한것과갈다. 원의일부를정사 영하여도이면적의비는같다. 문제에서원위의점 와타원위의점 사이에는다음과같은관계가있다. 그리고 또한 이고, 일때위의관계를이용하면, 다음의식을얻을수있다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 (1) (2) (3) 일때, (4) 035

37 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-1] 별해 자연계열논술문항파악하기 에대해의역함수또는를정의하자. 식 (1) 로부터, 또는 (5) (6) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +2점. 식 (2) 를제시하면 +3점. 식 (3) 을제시하면 +3점. 식 (4) 를제시하면 +2점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (1) 을제시하면 +2점. 식 (5) 를제시하면 +4점. 식 (6) 을제시하면 +4점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 036

38 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 예시답안 일때, 원에서의각도를구하면다음과같다.,, (1) 반지름이인원에서, 중심각이인부채꼴의넓이는다음과같다. (2) 이부채꼴을타원의평면위로정사영하면, 정사영된부채꼴의넓이는제시문에근거하여다음과같이구할수있다.,, 을입력하면다음과같다. (3) (4) [ 문제 3-2 ( 자연계열 I)] 별해 아래그림에서는직선의식과타원의식의교점이다. (5) 삼각형의넓이는다음과같다. 부채꼴의넓이는다음과같이구할수있다. (6) 식 (6) 에서로치환하면다음과같이적분식을정리할수있다. (7) 부채꼴의넓이는의넓이와의넓이를더한것과같다. (8) 037

39 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 채점기준 자연계열논술문항파악하기 식 (1) 을제시하면 +5점. 식 (2) 를제시하면 +5점. 식 (3) 을제시하면 +5점 식 (2) 를제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (5) 를제시하면 +5점. 식 (6) 을제시하면 +5점. 식 (7) 을제시하면 +5점 식 (8) 을제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 예시답안 제시문 ( 가 ) 에근거하여다음식을유도할수있다., (1) 제시문 ( 나 ) 에근거하여, 에서의역함수또는를정의하면, 위의 (1) 로부터임의의, 에대해원에서의각도를다음과같이구할수있다. 또는 (2) 반지름이인원에서, 중심각이인부채꼴의넓이는다음과같다. (3) 이부채꼴을타원의평면위로정사영하면, 정사영된부채꼴의넓이는제시문 ( 가 ) 에근거하여다음과같이구할수있다. (4) 038

40 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 3-2 ( 의학부 )] 별해 아래그림에서는직선의식과타원의식의교점이다. 의좌표는다음과같다. (5) 삼각형의넓이는이다. 부채꼴의넓이는다음과같이구할수있다. (6) 여기서로치환하고, 에대해의역함수또는를정의하면, 이다. 이라하면, 식 (6) 은다음과같다. (7) 부채꼴의넓이는의넓이와의넓이를더한것과같다. (8) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +5. 식 (2) 를제시하면 +5. 식 (3) 을제시하면 +5. 식 (4) 를제시하면 +5. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해채점기준 식 (5) 를제시하면 +5점. 식 (6) 을제시하면 +5점. 식 (7) 을제시하면 +5점 식 (8) 을제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 039

41 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 II) 자연계열논술문항파악하기 문제 1 50 m 전방에한변의길이가 8 m인정사각형의과녁이있고, 정사각형의중심을기준으로각각반지름이 1 m, 2 m, 3 m 인원판 A, B, C가있다. 한개의화살을쏘아원판 A에맞힐경우 10만원의상금을, 원판 A를제외한원판 B에맞힐경우 5만원의상금을, 원판 B를제외한원판 C에맞힐경우 3만원의상금을받는다고하자. 원판 C를제외한과녁에맞힐경우에는상금이없다. 이게임의참가비가만원일때, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값이 0 이상이기위한의최댓값을구하시오. 단, 화살은언제나과녁안에맞으며, 과녁안의모든부분에같은확률로맞는다. 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 한개의화살을쏘아과녁의특정위치에맞힐경우정해진상금을받는게임에서상금에서참가비를뺀이익의기댓값이 0 이상이되기위한참가비의최댓값을구하는문제이다. 먼저상금의기댓값을구하기위해, 이게임에참가했을때받을수있는상금을확률변수 W라고하자. 이확률변수가취할수있는값은 10만원, 5만원, 3만원, 0원이다. 확률변수 W가이값을가지게되는경우는각각다음과같다. 한개의화살을쏘았을때원판 A에맞히는사건, 원판 A를제외한원판 B에맞히는사건, 원판 B를제외한원판 C에맞히는사건, 원판 C를제외한과녁에맞히는사건이다. 각각의사건이발생할확률은해당과녁의 ( 전체정사각형과녁의넓이에대한 ) 상대적넓이로계산할수있다. 즉, 모든확률의분모는전체정사각형과녁의넓이가되고, 한변의길이가 8 m인정사각형의과녁이므로그넓이는 64 m 2 이다. 또한, 각각의확률의분자는해당과녁의넓이가되고, 원판 A, B, C는정사각형의중심을기준으로각각반지름이 1 m, 2 m, 3 m인원이므로해당과녁의넓이는각각 m 2 이다. 따라서, 확률변수 W가 10만원, 5만원, 3만원, 0원일확률은각각다음과같다. 그러므로, 이게임의기대상금은 이다. 이게임의참가비가만원이므로, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값은이고, 이값이 0 이상이기위한의최댓값은 ( 만원 ) 이다. 참고 : ( 만원 ) = 약 19,634 원. 040

42 자연계열논술문항파악하기 1. 문항별예시답안및채점기준 예시답안 기대할수있는상금은세가지종류 (10 만원, 5 만원, 3 만원 ) 가있고, 이들에대한확률은각각해당과녁의 ( 전체정사각형과녁의넓이에 대한 ) 상대적넓이로계산할수있다. 따라서, 기대상금은 따라서, 상금에서참가비를뺀이익의기댓값은, 이므로기댓값이 0 이상이기위한의최댓값은 ( 만원 ) 이다. 참고 : ( 만원 ) = 약 19,634 원. 다음과같이기대이익을한꺼번에계산할수도있다. 채점기준 확률및기댓값에대한개념적이해 : +5점 3가지과녁의확률값계산을시도함 : +3점 관련확률과상금을곱하는시도를함 : +2점 상대적넓이와확률과의관련성 : 10점 각과녁의넓이를정사각형넓이로나눔 : +5점 한원판에포함되어있는다른원판의넓이를제외함 : +5점 상금에서참가비를뺀이익이 0이상이어야함을고려 : +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 041

43 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 문제 2 자연계열논술문항파악하기 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 일때, 은일정한값에수렴함이알려져있으며, 그극한값을로나타낸다. 즉, 이다. ( 나 ) 수렴하는두수열과연속함수에대하여다음의등식이성립한다. ( 다 ) 좌표평면위의한점과직선사이의거리는다음과같다. [ 문제 2-1] 다음수열의번째항을이라할때, 을구하시오. [10 점 ] 0.1, 0.101, , , [ 문제 2-2] [ 문제 2-1] 에서정의된수열의첫째항부터번째항까지의합을이라하자. 점과직선사이의거리가최소가되는자연수을구하시오. [10 점 ] 042

44 자연계열논술문항파악하기 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 [ 문제 2-1] 은등비수열의일반항을구할수있고극한을이해하고있는지묻는문제이다. 문제해결을위하여효율적인연산능력이요구된다. 이라하면는순환소수 이다. 즉, 이다. 따라서 [ 문제 2-2] 는등비수열의합, 점과직선과의거리, 이차함수의최대 - 최소를통합적으로사고하여주어진문제를해결해야한다. 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 첫째항이이고공비가인등비수열의 번째항까지의합을구하는공식은 이므로 이다. 등비수열의합의공식을한번더사용하여다음의식을얻는다. 즉, 이다. 제시문에주어진점과직선사이의거리공식을이용하여점과 직선사이의거리를다음과같이계산할수있다. 에서은이므로에관계없이매우작은수이고 은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과 직선사이의거리는일때최소이다. 043

45 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 2. 문항별예시답안및채점기준 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 2-1] 예시답안 이라하면는순환소수이다. 즉, 이다. 따라서 별해 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 이다. 따라서 044

46 자연계열논술문항파악하기 채점기준 를계산하면 +4 점. 를계산하면 +4 점 를계산하면 +2 점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 2-2] 예시답안 점과직선사이의거리는다음과같다. 에서은에관계없이매우작은수이고은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과직선사이의거리는일때최소이다. 045

47 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 2-2] 별해 자연계열논술문항파악하기 은, 첫째항이 0.1 이고공비가 0.01 인등비수열의첫째항부터번째항까지의합이다. 이다. 따라서 이다. 즉, 이다. 점과직선사이의거리는다음과같다. 에서은에관계없이매우작은수이고은일때, 로서에가장가깝다. 따라서점과직선사이의거리는일때최소이다. 채점기준 을계산하면 +3점. 을계산하면 +3점. 을계산하면 +4점. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 046

48 자연계열논술문항파악하기 문제 3 다음제시문 ( 가 ), ( 나 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 직각삼각형과한꼭짓점을공유하는직사각형을이용하여탄젠트함수의덧셈정리를그림으로나타내면 다음과같다. ( 나 ) 직각삼각형을포함하는최소정사각형은다음그림과같다. 즉, 직각삼각형의최소각에있는꼭짓점 O 와정사각 형의한꼭짓점을일치시켰을때, 직각삼각형의다른두꼭짓점 P 와 Q 는정사각형의두변위에있어야한다. [ 문제 3-1] 제시문 ( 나 ) 의그림에서직각삼각형 OPQ 의세변의길이가 3, 4, 5 라고하자. 이직각삼각형을포함하는최소 정사각형의한변의길이를위제시문에근거하여구하시오. [10 점 ] [ 문제 3-2] 제시문 ( 가 ) 에근거하여다음그림에서 A 와 B 의길이를구하시오. [20 점 ] 047

49 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 1. 제시문의분석, 배경지식, 문제풀이과정 제시문에서직각삼각형과이를포함하며한꼭짓점을공유하는최소직사각형을이용하여탄젠트함수의덧셈정리를그림으로나타내었다. 이를밑변의길이가인직사각형을이용하여일반화하면다음그림과같다. 선분의길이는, 선분의길이는, 와가닮음이므로선분의길이는, 선분의길이는이다. 직각삼각형을포함하는최소정사각형은제시문 ( 나 ) 에주어진것과같이직각삼각형과한꼭짓점을공유하며정사각형의두변위에직각삼각형의꼭짓점이있어야한다. 제시문 ( 나 ) 에주어진경우는위에보인직각삼각형과이를포함하는최소직사각형의특수한형태이기때문에, 위에서구한선분들사이의관계를이용할수있다. 탄젠트함수의 3배각공식은제시문 ( 가 ) 에있는탄젠트함수의덧셈정리를두번이용하여구할수있다., 048

50 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 가 ) 에주어진그림을바탕으로탄젠트함수의 3 배각공식을보여주기위해서는과을아래그림처럼나타 낼수있다. 오른쪽그림에서, 밑변의길이가일때과, 그리고을구할수있다. 이것을이용하여왼쪽그림 에서 C 를구할수있고, 이어서 A 와 B 를구할수있다. 2. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 3-1] 예시답안 제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여아래와같은그림을그릴수있다. 위왼쪽그림에서다음과같은식을유도할수있다.,,, (1) (2) (3) 식 (3) 의에대한방정식으로부터다음을구할수있다. (4) 049

51 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-1] 별해 1 위오른쪽그림에서다음식을유도할수있다. 자연계열논술문항파악하기 (5) 식 (5) 에서다음관계를유도할수있다. (6) (7) (8) 식 (7) 의에대한방정식으로부터다음을구할수있다. (9) [ 문제 3-1] 별해 2 위오른쪽그림에서삼각형의닮은꼴을이용하여다음비례식을유도할수있다. (10) 식 (1) 로부터다음의관계식을유도할수있다. (11) 피타고라스정리를이용하여다음의관계식을유도할수있다. (12) (13) 식 (10) 을식 (11) 에대입하여정리하면다음과같다. (14) (15) 식 (13) 을식 (12) 를이용하여정리하면다음과같다. (16) 식 (14) 를식 (12) 에대입하면다음을구할수있다. (17) 050

52 자연계열논술문항파악하기 채점기준 식 (1) 을제시하면 +2.5점 식 (2) 를제시하면 +2.5점 식 (3) 을제시하면 +2.5점 식 (4) 를제시하면 +2.5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해 1 채점기준 식 (5) 을제시하면 +2점 식 (6) 를제시하면 +2점 식 (7) 을제시하면 +2점 식 (8) 를제시하면 +2점 식 (9) 를제시하면 +2점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 별해 2 채점기준 식 (11) 을제시하면 +2점 식 (14) 를제시하면 +2점 식 (15) 를제시하면 +2점 식 (16) 을제시하면 +2점 식 (17) 을제시하면 +2점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 051

53 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 3-2] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 아래그림에서와같이가장상단삼각형에포함하는직사각형의아랫변 C 의길이는제시문 ( 가 ) 에근거하여다음과같다. 변 C 의길이 = (1) 가장상단삼각형의아랫변 D 의길이는다음과같다. 변 D 의길이 = (2) 가장상단삼각형의짧은변 E 의길이는다음과같다. 변 E 의길이 = (3) B의길이는 (4) A의길이는 (5) 채점기준 식 (1) 을제시하면 +4점 식 (2) 를제시하면 +3점 식 (3) 를제시하면 +3점 식 (4) 를제시하면 +5점 식 (5) 를제시하면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 052

54 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도부터논술전형이개별교과형으로변경됨에따라과학선택교과목의하나인물리논술시험이 2015 학년도모의논술, 2015 학 년도수시일반논술자연계열 I/ 의학부, 자연계열 II 등 3 회출제되었다. 이하에서는기시행되었던물리논술시험의제시문과문항설명, 예 시답안과채점기준을통해, 과학선택으로물리를고려하고있는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. [ 참고도서 ] 고등학교물리I : 교학사, 금성출판사, 천재교육고등학교물리II : 교학사 2015 학년도모의논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 물체가움직이면시각에따라위치가변하므로움직이는물체의위치를시각의함수로나타낼수있다. 이위치의변화를변위라고한다. 물체에크기와방향이일정한힘을가하여물체가힘의방향으로이동했을때물체에한일의양은물체의변위에힘을곱한것이다. ( 나 ) 순간속도는시간-위치그래프의특정시각에서접선의기울기이며, 속도의순간적인값을의미한다. ( 다 ) 비스듬히위로던진물체는포물선을그리며날아간다. 포물선운동은중력에의한자유낙하운동의하나이다. 포물선운동을하는물체의변위를분석하면, 포물선운동은수직방향으로는중력에의한등가속도운동이고수평방향으로는등속도운동임을알수있다. 053

55 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 [ 문제 4-1] 마찰이없는공간에정지해있던질량 1 kg 인물체에일정한크기의힘이가해져힘의방향으로아래그래프 와같은운동을하였다. 시간 5 초 ~10 초사이물체에해준일의양을구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 일의단위는 J( 줄 ) 을사용하시오. [10 점 ] [ 문제 4-2] 시각 t = 0 에서 10 m/s 의속력과의각도로원점에서던져진물체가그림 A와같이중력에의해포물선운동을하였다. 그림 B의그래프는포물선운동을하는동안원점에서물체까지의직선거리를시간에따라측정한결과이며, 기울기가순간적으로 0 이되는상황이 t = t 1 에서 1회관측되었다. 이물체가 y = 0 위치에도착했을때 x 방향도달거리를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 공기저항은무시하고, 중력가속도는 10 m/s 2 으로계산하시오. [20점] 그림 A 그림 B 1. 논제의분석 2015 학년도물리모의논술에출제된문항들은 XX 를구하는과정을논리적으로설명하라 의형식으로되어있다. 이러한형식의문항들 은 설명및정답요구형 으로분류할수있는문항들로서개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식 인통합형논술과동일한형식을갖는다. 설명및정답요구형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 054

56 자연계열논술문항파악하기 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고진행과정을각단계별로설명해야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를구하는과정을논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. 2. 제시문의분석및배경지식 ( 가 )-( 다 ) 의제시문은물리I의첫단원을구성하고있는시간, 공간, 운동 ( 교학사물리I, pp , p. 51) 과물리II의첫단원을구성하고있는힘과운동 ( 교학사물리II, pp ) 에서각각발췌되었는데, 개별교과형출제가시행되면서물리II의내용이출제에포함될수있다는점을보여준다. 제시문의주제인속도, 가속도, 운동량, 힘등은물리학, 특히역학의근본개념들로서고전물리학의체계를세운뉴턴의 자연철학의수학적원리 (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687) 에서운동량과가속도, 힘의관계가수학적으로정의된후이를통해대부분의가시적인자연현상이성공적으로설명되었다. 제시문에서주어진개념들에관한배경설명은다음과같다. 제시문 ( 가 ) 에서는변위와일을, 제시문 ( 나 ) 에서는순간속도를설명하고있다. 시간은두시각의사이, 거리는두위치의사이에해당하는데, 일반적으로어느물체가일정한시간동안에움직인거리의비율을빠르기라고한다. 즉물체의운동을비교할때, 같은시간동안에더멀리이동한물체가더빠르다고한다. 물체가움직이면시각에따라위치가변하므로움직이는물체의위치를시각의함수로나타낼수있다. 즉위치 S를 S(t) 로나타낼수있다. 이때위치의변화를변위라고한다. 예를들어어떤물체가시각 t 1 에서 S 1 = S(t 1 ) 이라는곳에있다가시각 t 2 에서 S 2 = S(t 2 ) 라는곳으로이동했다고가정하자. 두지점사이의변위는이고, 두지점을이동하는데걸린시간은이다. 여기서주의할점은변위와이동거리의차이이다. 변위는시작지점과끝지점에의해서만정의되는개념으로서 t 1 과 t 2 사이의시간동안물체가어떠한경로로진행하였는가는변위에아무런영향을주지않는다. 변위는 (+) 또는 ( ) 의부호를모두가질수있는벡터로서, 방향은 S 1 에서 S 2 를향하는방향이고크기는 S 1 과 S 2 를연결한직선거리이다. 이에비해이동거리는 S 1 에서출발한물체가중간에어떠한경로를거쳐 S 2 에도달했는지에따라달라지며, ( ) 의부호를가질수없는스칼라이다. 변위와이동거리가같은경우는물체가 1차원인직선위에서운동의방향이변하지않는상태로움직이는경우뿐이다. 참고로, 고등학교물리교육과정의역학부분에서는물리I에서 1차원운동을, 물리II에서 2차원운동을공부한다. 소요된시간에대한변위의비율값을평균속도라고하며다음과같이정의된다. 시간에대한위치를그래프로나타냈을때두지점사이의기울기가평균속도에해당하며, 단위는 m/s, km/h 등을사용한다. 두물체의움직이는빠르기가일정하지않을때에는평균속도로비교하기가쉽지않은데, 어느시점에서비교하느냐에따라결과가달라지기때문이다. 이럴때에는어느특정시각의순간적인값으로비교할수있다. 따라서속도를순간적인값으로계산할필요가있을때, 걸린시간을최소화한시간동안의물체의변위비율을구하게된다. 이값을순간속도라고한다. 즉, 순간속도는위치-시간그래프에서특정시각의접선의기울기에해당한다. 순간속도는변위와관련된물리량으로서벡터이다. 일반적으로특정시각의속도란순간속도를가리킨다. 여기서주의할점은속도와속력의차이이다. 만일일정시간동안방향을바꿔가며운동하였을경우변위와실제로움직인이동거리는다르다. 변위대신물체의이동거리를대입하여빠르기를계산한스칼라값을속력이라하며, 속도와동일한단위를사용한다. 055

57 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 공이나운동선수가점점더빨라지는운동을한다고하자. 이러한경우에는속도가일정하지않고시각에따라변하므로속도를시각의 함수 v(t) 로나타낼수있다. 이때속도가변화하는비율을가속도라고한다. 평균속도의경우와같은방식으로평균가속도를다음과같 이정의할수있다. 순간속도와마찬가지로순간가속도를정의할수있으며, 이는속도-시간그래프에서특정시각의접선의기울기에해당한다. 가속도는속도를시간으로나눈개념이기때문에 m/s 2, cm/s 2 등의단위를사용하여나타낸다. 특별히물체의가속도가일정한운동을등가속도운동이라하는데, 이것은속도가시간에따라일정한비율로변하는운동이다. 그예로는자유낙하운동이있는데, 이는지표면근처에서중력에의해물체의가속도의크기가약 10 m/s 2 으로일정하고방향이아래방향인운동을의미한다. 고등학교물리교육과정에서다루어지는운동중가속도가시간에따라지속적으로변하는운동의예로는단진동운동과등속원운동등이있다. 운동량은물체의운동규모와관련된물리량으로서, 질량이 m이고속도가 v인물체의운동량은 p = mv로정의하고단위로는 kg m/s 를사용한다. 만일물체가운동하는동안질량 (m) 이변하지않는다면, 힘 (F) 과운동량 (p), 가속도 (a) 의관계를설명하고있는뉴턴운동제2법칙은다음과같이나타낼수있다. 즉, 물체에작용한힘은그물체의운동량의시간에따른변화율이다. 따라서물체에알짜힘이작용하지않는다면그물체의운동량은보존된다. 이를운동량보존법칙이라고한다. 뉴턴운동제2법칙은힘을받은물체에가속도가발생하는현상을설명해준다. 물체에주어진힘을알면물체의가속도를알게되고, 이렇게구해진가속도를통해물체의시간별속도나위치등과같은운동상황을구체적으로알수있다. 참고로, 변위, 속도, 가속도, 운동량, 힘등의물리량은모두벡터이다. 일이란단어는일상생활에서다양한의미로쓰인다. 그러나물리에서일이란용어는특별한의미로사용되는데, 힘이작용하여물체를일정거리만큼이동시켰을때생긴물리량을가리킨다. 보다정확히일 (W) 은벡터인힘 (F) 과변위 (S) 의내적으로정의된다. 위식의는힘과변위사이의각이다. 일의단위는 J( 줄 ) 이며, 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s 2 이다. 제시문 ( 다 ) 에서는자유낙하운동의하나인포물선운동을설명한다. 앞서설명한바와같이자유낙하운동은대표적인등가속도운동이며, 포물선운동은일정한크기의가속이발생하는수직 (y) 방향운동과일정한속도가유지되는수평 (x) 방향운동으로구분된다. 따라서포물선운동은 xy 평면에서진행되는 2차원운동으로볼수있다. 비스듬한각도로투사된물체와같이한물체가 x 방향으로속도 v 0 인등속도운동을, y 방향으로초기속도 v 1 이고가속도 a인등가속도운동을하는경우를생각해보자. 물체가 t = 0에서원점에있었다고가정하면각방향의변위는시간에따라다음과같다. 위식은 x, y 가모두 t 만의함수인매개변수방정식으로서 t = x/v 0 를 y 에대입하면다음과같은 x 의 2 차방정식, 즉포물선에해당하는물 체의궤적을얻게되어비스듬히투사된물체가포물선운동을한다는것을알수있다. 056

58 자연계열논술문항파악하기 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은물체에일정한크기의힘이가해진상황에서물체에행한일의양을구하는과정을묻는문제이다. 우선문제에서주어진조건을정확히파악해야한다. 마찰이없는공간 이라는표현은마찰력이없는상황을가리키며, 이는문제에서언급한 일정한크기의힘 을제외한다른힘은고려하지않는다는의미이다. 정지해있던 이라는표현에서물체의초기속도가 0임을알수있다. 힘은크기와방향을모두가지고있는벡터이다. 문제에서힘의크기가일정하다고했는데힘의방향에대한언급은되어있지않다. 일이힘과변위의내적을 통해계산하는값이고, 물체가힘의방향으로운동했다고설명되어있으므로물체가힘을받으며움직이는동안계속 = 0 인상황이되 었다는것을의미하므로힘의방향을고려할필요가없음을알수있다. F = ma의식에서힘이일정하기때문에가속도 a가일정함을알수있다. 물체의운동을다루는문제에서주어지는그래프를분석할때에는각좌표축이무엇인지파악하는것이가장우선적이다. 그래프에서특정지점의기울기는 y축물리량을 x축물리량으로나눈물리량의순간크기에해당하며, 그래프곡선밑의면적은 y축물리량과 x축물리량을곱한물리량의크기에해당한다. 주어진그래프는시간-변위의그래프인데, 초기속도가 0이고가속도 a가일정한운동에서변위의식에해당하는 S = at 2 /2의그래프임을알수있다. 그래프에서알수있는특정좌표를대입하면가속도 a를계산할수있고, 질량 1 kg을곱하면힘의크기를알수있다. 변위의식에시간 5초, 10초를대입하여그차이를계산하면주어진시간동안발생한변위가된다. 이를힘의크기와곱하면최종적으로일의양을구할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의진행과정및계산과정이포함되어야한다. 힘의크기가일정하고, 물체의이동방향이힘의방향과동일하므로가속도의크기가일정하다. 초기속도가 0 이므로주어진그래프는 S = at 2 /2 이다. 주어진좌표 (10, 500) 을이용하여가속도 a 를구한다. S = at 2 /2 의식을이용하여 t = 5 와 t = 10 에서변위를각각구한후그차이 를구한다. 두벡터의차이가또하나의벡터인 것처럼변위의차이인는또하나의변위로서두시각사이에발생한물체의변위이다. W = F 를통해물체에해준일의양을구한다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는중력이있는공간에서물체가비스듬히투사된후발생하는운동에관한내용을묻는문제이다. 중력가속도가 y 축방향으 로 g 인공간에서물체가수평면즉 x 축과 의각도로투사된경우, 물체의운동은 xy 평면에서의 2 차원운동으로생각할수있다. 뉴턴 운동제2법칙에서특정방향으로힘이없는경우그방향으로의가속도가 0이되므로아무런힘이작용하지않는 x축방향의운동은초기속도가유지되는등속도운동이다. y축방향으로는일정한크기의중력가속도가작용하므로 y축방향의운동은등가속도운동이다. 따라서물체가투사될때초기속력을 v 0 라고하면, x(t) 와 y(t) 를각각등속도운동의식과등가속도운동의식으로부터다음과같이표현할수있다. 057

59 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 위식의 y(t) 에서중력가속도의방향이 y 방향이기때문에 ( ) 부호가사용되었다. x(t) 와 y(t) 는시간을매개변수로하는매개변수의방 정식이며, t = x/(v 0 cos ) 를 y(t) 에대입하면 y(x) 의식, 즉물체의운동궤적의식을얻을수있다. 이는앞서설명한바와같이포물선의 방정식이되며, 이러한상황이그림 A에나타나있다. 문제에서는투사된물체의 x축방향도달거리를구하는과정을묻고있다. 투사된물체의 x축방향도달거리는초기속도와소요시간의 곱이고, 소요시간을알기위해서는 y축방향의변위가다시 0이되는시간을계산하면된다. 즉 t > 0 에서 y(t) = 0이되는 t를구한후이 를 x(t) 의식에대입하면도달거리를구할수있다. 그러나투사각 가미지수로서이와관련된 sin 나 cos 가미지수로남아있는상황 이며문제에서추가로제시된조건을통해그값을찾아야한다. 그림 B의그래프는원점에서물체까지의직선거리, 즉 xy 평면에서물체의변위의크기를시간에따라나타낸그래프이다. 이변위의크기 를 S라고하면, S는원점에서 (x(t), y(t)) 를연결한선분의길이이므로다음과같이표현할수있다. 문제에서는그림 B의그래프에서접선의기울기가 0이되는상황이 t > 0인특정한 t 1 에서 1회발생하였다. 그림 B는시간-변위그래프이므로접선의기울기가 0이되었다는것은제시문 ( 나 ) 에서설명한순간속도가 0이되었다는의미이다. 그림 B의그래프는시간에따라꾸준히증가하는단조증가함수로서, 그기울기는 (+) 에서서서히감소하여 t 1 에서일시적으로 0이되었다가다시 (+) 로증가한다. S(t) 를시간으로미분한 ds(t)/dt 를구하면다음과같다. 설명된바와같이그래프의기울기가특정한 t 1 (> 0) 을중심으로변하는특징을갖기위해서는계산된 ds(t)/dt 의분자에서괄호안에포함된 t의 2차방정식이중근을가져야한다. 이를통해수식의 sin 의값을구할수있으며, 그결과를통해 cos 도삼각함수의공식에서구할수있게되어문제에서요구하는 x축방향의도달거리를최종적으로얻게된다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. x축, y축방향의운동의성격을각각설명하고, x(t) 와 y(t) 를 t의함수로표현한다. x축방향의도달거리를투사각의함수로표현한다. 원점에서 (x(t), y(t)) 까지의직선거리 S를 t의함수로표현한다. 제시된조건에서 ds(t)/dt 가중근을갖는다는점을이용하여 sin 와 cos 의값을구한다. 구한 sin 와 cos 의값을적용하여 x축방향의도달거리를최종적으로얻는다. 058

60 자연계열논술문항파악하기 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1 예시답안 ] 물체에일정한힘이가해지는상황이므로가속도가일정하다. 초기속도가 0 이므로가속도를 a 라고할때시간 t 에따른변위 S 는다음과같다. 그래프를참고하면 t = 10 에서 S = 500 이므로 a = 10 (m/s 2 ) 이고, 물체의질량이 1 kg 이므로힘은 10 (N) 이다. 5 초 ~ 10 초사이의변위는 = 375 이므로일의양은 10 x 375 = 3750 (J) 이다. [ 문제 4-1] 채점기준 등가속도운동에서시간에따른변위의식을바르게쓰면 +2점. 가속도와변위의식을이용하여가속도의크기를맞게구하면 +3점. 변위와힘을곱하여일의양을바르게구하면 +5점. ( 최종답안에서일의단위를쓰지않으면감점 -2점.) 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. [ 문제 4-2 예시답안 ] 각도로던진물체가중력에의해포물선운동을하므로 x, y 방향변위는시간에따라다음과같이변한다. 원점에서물체까지직선거리를 S 라고하면, 다음과같이계산된다. 순간속도에해당하는기울기 ds/dt 를구하면다음과같다. ( 단, t > 0) 059

61 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 그림 B 에서 ds/dt 는단조증가함수이고 ds/dt = 0 이되는상황이 1 회만발생했으므로, ds/dt 의분자에있는 근을가져야함을알수있다. 따라서던진각도에관한다음의식을얻을수있다. 자연계열논술문항파악하기 항이중 던진물체가다시지상에도착하는시간은다음과같다. ( 초 ) x 방향운동은등속도운동이므로, 도달거리는다음과같다. (m) [ 문제 4-2] 채점기준 x, y 방향변위의식을바르게쓰면각각 +3점. 직선거리의식을바르게구하면 +2점, 그미분을통해식을전개하면 +2점. 미분된식과그래프의형태를통해의값을바르게계산하면 +5점. x 방향도달거리를바르게구하면 +5점. ( 최종답의단위가빠진경우감점 -2점). 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 060

62 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 다 ) 를읽고문제에답하시오. ( 가 ) 유체에잠긴물체에작용하는부력은잠긴부분의부피에해당하는유체의무게와같다. 밀도가인유체에부피만큼물체가잠겼을때, 이물체가받는부력은가된다. 여기서는중력가속도이며, 중력과부력의합이물체에작용하는알짜힘이다. ( 나 ) 용수철에힘이작용하여용수철이만큼늘어났을때는용수철에작용한힘에비례한다. 따라서길이가 만큼늘어난용수철이원래의길이로되돌아가려는탄성력은 이다. 이를훅의법칙이라고한다. 여기서 ( ) 는탄성력과용수철의변위가반대방향이라는의미이며, 는용수철의특성에따라정해지는용수철상수이 다. 용수철상수가 인용수철에질량 인물체를매달아진동시키면주기는 이다. ( 다 ) 가속도가일정한운동을등가속도운동이라하는데, 이것은속도가시간에따라일정하게변하는운동이 다. 가속도가 로일정한경우, 처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 나중속도를 라고하 면 의식이성립한다. 시간 동안움직인변위는속도-시간그래프의아래면적에해당하며, 등 가속도운동에서처음시각을 0, 나중시각을, 처음속도를, 처음위치를 0, 나중위치를 라고하면 이성립한다. [ 문제 4-1] 넓은공간에밀도가인유체가가득차있다. 이공간에서다음그림과같이에정지해있던직육면체형태의물체가낙하를시작하였다. 물체의두께가, 밀도가일때물체가만큼낙하하여에도달할때까지소요되는시간을구하는과정을위제시문에근거하여논리적으로설명하시오. 단, 이고, 중력가속도는이며, 부력과중력을제외한다른힘은없다고가정한다. [10점] [ 문제 4-2] [ 문제 4-1] 에서유체의밀도가에서, 에서이고, [ 문제 4-1] 에서와동일한물체가위그림과 같이 에정지해있다가낙하를시작한다고하자. 위제시문에근거하여이물체의운동이주기운동이 됨을보이고, 그주기를구하는과정을논리적으로설명하시오. 단, 이며, 부력과중력을제외한다른힘은없다고가정한다. [20 점 ] 이고, 중력가속도는 061

63 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 1. 논제의분석 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I) 에출제된물리문항들은 XX 를구하는과정을논리적으로설명하라 의형식과 XX 가됨을보이시오 의형식이함께나타난다. 전자의형식은 설명및정답요구형 으로분류할수있는문항들로서앞서설명된바와같이다음의사항에유의 하여답안을작성해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지한후문제풀이를시도해야함. 답안을얻기위한사고전개과정을각단계별로설명해야함. 풀이과정이수리적계산인경우설명에반드시수식이제시되어야함. XX를구하는과정을논리적으로설명하시오 의 XX에해당하는답안이최종적으로제시되어야함. [ 문제 4-2] 에나타나는 XX 가됨을보이시오 의형식은 증명및설명요구형 으로분류할수있다. 물리문항에서요구하는증명은수학에 서의증명과달리발생하는현상의원인또는결과를물리법칙에근거하여설명하는것이핵심이며, 다음의사항에유의하여답변을작성 해야한다. 제시문에주어진사항들을우선적으로숙지해야함. 증명이요구되는사항에적용될물리법칙이나정리를바르게선택해야함. 증명의각단계는적절한수식을통해타당성의근거를제시해야함. XX가됨을보이시오 의 XX에해당하는현상이수식을통해최종적으로설명되어야함. 2. 제시문의분석및배경지식 제시문 ( 가 ) 는물리I, 단원 IV 에너지, 소단원 2 힘과에너지의이용의유체에서의압력 ( 교학사물리I, p.327), 제시문 ( 나 ) 는물리II, 단원 I 운동과에너지, 소단원 4 힘과운동법칙의용수철진자에작용하는힘 ( 교학사물리II, p.52), 제시문 ( 다 ) 는물리I, 단원 I 시공간과우주, 소단원 1 시간, 공간, 운동의가속도 ( 교학사물리I, pp.35-36) 에서각각발췌되었다. 부력, 탄성력, 중력등외부의힘에의한물체의운동을설명하는뉴턴역학이중심내용이며, 과목별문항의형태로변경되어시행되는첫해라는점과물리II의내용을공부하지않은수험생들을고려하여물리II의내용보다는물리I의내용을위주로발췌되었다는점이특징이다. 물리II에서발췌된제시문 ( 다 ) 의경우에도, 주기를구하는식이주어진부분을제외한나머지설명은물리I, 단원 I 시공간과우주, 소단원 1 시간, 공간, 운동의탄성퍼텐셜에너지 ( 교학사물리I, p.54) 부분에동일하게나타나있다. 각제시문의내용에대한배경설명은다음과같다. 제시문 ( 가 ) 는유체에잠긴물체에작용하는부력을계산하는방법을설명한다. 유체란일정한형태가없이흐를수있는물질을가리키며, 액체와기체가포함된다. 일정한모양을가지지않는유체의특성을서술할때에는고체를서술할때사용하는질량과힘이라는개념보 다밀도와압력이라는개념을사용하는것이더유용하다. 밀도란단위부피당질량을의미한다. 물질의밀도를, 질량을 M, 부피를 V 라 고할때 = M/V 로정의되며단위로는 kg/m 3 이나 g/cm 3 을사용한다. 고체나액체의밀도는기체에비해약 1000 배정도크며, 이는기 체에서분자사이의거리가고체나액체를이루는분자사이의거리보다 10 배정도크다는것을의미한다. 밀도는온도의함수인데, 예를 062

64 자연계열논술문항파악하기 들면물의경우 4 C에서약 1000kg/m 3 의가장큰밀도를갖는다. 그이하에서는 0 C까지점차감소하다가얼음이된후급격히줄어들어 917kg/m 3 까지감소하고그이하의온도에서는얼음이수축하여점차증가하는형태로변한다. 일상생활에서는밀도대신 비중 이라는용어를많이사용하는데, 비중은어떤물질의밀도와 4 C 물의밀도의비율로정의되며, 단위는없다. 유체는외부로부터힘을받을때연속적으로변형되는특징을지니고있기때문에고체처럼한점에힘을줄때나타나는현상을볼수없다. 대신유체에서는압축에의해힘이전달되기때문에유체의운동을설명할때에는압력을사용한다. 압력은단면에수직으로작용하는힘과그힘을받는면적의비로나타낸다. 즉압력을 P, 수직으로작용하는힘을 F, 힘이작용하는면적을 A라고하면다음의식이성립한다. 이때, 힘이벡터이므로압력도벡터임을알수있다. 압력의단위로는 Pa( 파스칼 ) 을사용하는데, 1 Pa = 1 N/m 2 이다. 프랑스의과학자였던파스칼은유체표면에서압력이가해지면유체내의모든지점에이와같은크기의압력이전달된다는것을발견하였다. 이를파스칼법칙이라고한다. 파스칼법칙은일상생활에서작은힘으로큰힘을낼때에매우유용하다. 유체의작은면적부분에일정한압력을가하면압력과면적의곱에해당하는힘은작아진다. 가해진압력은파스칼법칙에의해유체의모든부분에작용하므로, 유체가넓게접하고있는부분에작용하는힘은다음그림과같이면적에비례하여증가한다. 위그림에서힘의크기에는차이가있지만, 작은힘이유체에행한일과유체가큰힘을통해외부에행한일의양은같다. 유체의총량은보존되므로작은힘이밀어낸유체의부피가큰힘을통해확장된유체의부피와같아야하며, 따라서작은힘이작용한변위가큰힘이작용한변위보다크다. 즉, 변위가힘의크기에반비례하므로변위와힘을곱한일이같아지는것이다. 유압장치를이용하면작은힘으로도큰힘을낼수있기때문에대형굴삭기의작동, 자동차의브레이크와조향장치등에파스칼법칙을이용한유압장치가적용되고있다. 파스칼법칙에의해외부에서유체에압력을가하면유체모든곳에같은크기의압력이작용하지만, 유체자체의무게때문에유체내에 서는깊이에따라달라지는압력도작용한다. 밀도가 인유체가 h 만큼의깊이로담겨있고유체의단면적이 A 라고하면유체의무게로인 한압력 P 는다음과같다. 위의식에서 g는중력가속도이다. 즉밀도가인유체속깊이 h인지점에서중력에의해발생하는압력의크기는이다. 유체내부에물체가존재하는경우, 물체의위와아래지점이받는압력은깊이차이로인해달라진다. 물체위와아래의압력차이로인해힘의차이가발생하며, 그방향은압력이높은쪽에서낮은쪽으로, 즉아래에서위를향하는방향으로서중력의반대방향이다. 이로인해물체에뜨는힘이발생하는데이를부력이라고한다. 유체속에있는물체의모든부분에작용하는압력의벡터합을구하면, 그크기는물체의부피에해당하는유체의무게와같다. 본래의유체가물체대신들어있을경우아무런힘을받지않아야하는데, 이는유체에작용하는중력과부력이정확히평형을이루기때문이다. 따라서물체의부피에해당하는유체의무게가부력과같아진다는것을직관적으로이해할수있다. 063

65 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 나 ) 는훅의법칙으로알려져있는용수철의복원력에의한단진동운동에관한내용이다. 용수철에매달린물체를당겼다가놓으면 물체는용수철이늘어나고압축되면서주기적인왕복운동을한다. 물체의이러한운동을단진동 (simple harmonic oscillation) 이라고한다. 단진동에서물체는용수철이최대로늘어났을때와최소로압축되었을때순간적으로정지하고, 평형상태일때가장빠른운동을한다. 이러한단진동운동은원운동을하고있는물체를옆에서본모습과같다. 즉원운동하는물체에평행광선을비출때벽에생긴그림자의운동이다. 물체의그림자위치는시간에따라주기적으로변하게되며, 수식적으로는로표현된다. 단진동하는물체가 1초동안진동하는횟수를진동수라하고, 1회진동하는데걸리는시간 T를주기라고한다. 에서주기 T 동안변화된위상은이므로진동수와주기의관계는다음과같다. 단진동하는물체의속도 v(t) 와가속도 a(t) 는변위 x(t) 를시간으로각각한번, 두번미분하면얻을수있다. 따라서단진동운동에서는다 음의식이성립한다. 용수철에추를연결하여마찰이없는바닥에서추를당기거나압축시켰다놓으면용수철은주기적인왕복운동을한다. 이러한진자를용수철진자라고한다. 용수철진자는용수철이작용할수있는한계인탄성한계내에서용수철의늘어난길이 x에비례하는복원력 F 가작용하며, 그크기는 F = kx 로서이를훅의법칙이라고한다. 이때 k는비례상수로용수철상수또는탄성계수라고한다. 복원력은매달린추의질량 m과가속도 a(t) 의곱이므로, 추의질량과용수철상수로부터용수철진자의진동수와주기 T 를다음과같이구할수있다. 제시문 ( 다 ) 는등가속도직선운동에서나타나는속도와변위에관한내용이며, 이에관한배경지식은앞서설명된 2015 학년도모의논술 제시문 ( 가 )-( 나 ) 의배경지식과동일하다. 064

66 자연계열논술문항파악하기 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은낙하하는물체에일정한크기의부력이가해질때, 물체가낙하하는데소요되는시간을구하는과정을묻는문제이다. 문제 에서주어진조건을살펴보면밀도가 인유체로가득찬공간을가정하고있으며, 제시문 ( 가 ) 의내용을고려하면유체내부에존재하는 물체는에해당하는부력을받게됨을알수있다. 이공간에두께가 d 인직육면체형태의물체가정지해있다가낙하하기시작하였다. 물체의부피 V 대신두께 d 가주어졌기때문에물체의 수직단면적을 A 로가정할때물체가받게되는부력의크기는 가되며방향은중력의반대방향이므로 z 축의 (+) 방향이다. 물체의 질량은밀도와부피의곱이므로이고, 중력의크기는, 방향은 z 축의 ( ) 방향이다. 문제의조건에서이므로중력의크 기가부력의크기보다큼을알수있는데, 이는물체가낙하한다는조건과도잘부합한다. 제시문 ( 가 ) 에의하면물체가낙하하는동안물체에가해지는알짜힘은중력과부력의합이고두힘모두위치나시간과관계없이일정하기 때문에물체는가속도가일정한등가속도직선운동을함을알수있다. 알짜힘을물체의질량 로나누면물체의가속도를구할수 있는데, 이단계에서 Ad가제거되어물체의가속도가물체의부피와는무관하고물체의밀도에따라서만달라짐을알수있다. 가속도를구한후제시문 ( 다 ) 에주어진등가속도운동에서의시간과변위의관계식에변위 h와함께대입하면, 시간 t에관한 2차식을얻을수있으며그해를찾으면낙하에소요되는시간을구할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. 유체속의물체는일정한크기의부력을받는다. 유체속의물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합이다. 알짜힘을물체의질량으로나누어가속도 a를구한후물체의운동이등가속도운동임을확인한다. 제시문에주어진 S = at 2 /2의식에변위와가속도를대입하여낙하에소요되는시간을구한다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는 [ 문제 4-1] 과유사한상황이지만유체의밀도가 z = 0 면을경계로달라져물체의밀도보다작은영역 (z > 0) 과큰영역 (z < 0) 으로나뉘는경우발생하는물체운동의주기성을예측하고이에관한수식전개를통해운동의주기를구하는문제이다. 제시된환경에서의물체의운동을이해하기위해서는시간에따른물체의변위와물체에가해지는힘을단계적으로살펴보아야한다. 문제에서주어진조건을우선적으로살펴보면, 이고, 각항에 2를곱한후을빼면이다. 이므 로이조건으로부터 임을알수있고, 부력과중력을제외한다른힘은없으므로, 마찰등으로인한에너지손실이발생하지않 는상황이다. 밀도가 이고수직방향단면적이 A 인물체가 [ 문제 4-1] 그림의초기위치에놓여있을경우, 물체의모든부분이물체보다밀도가낮은 영역에있다. 제시문 ( 가 ) 의식을사용하여이때받는부력의크기를구하면 이고방향은중력의반대방향이다. 중력의크기는물체 의부피, 밀도, 중력가속도의곱이므로이다. 문제의조건에서 < 라고하였으므로중력이부력보다큰상태임을알수있다. 따 라서중력과부력을합한알짜힘은중력과같은방향, 즉 z 축의 ( ) 방향으로작용하여물체는낙하하기시작한다. 065

67 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 물체가낙하하기시작하면물체의일부분이물체의밀도보다큰영역에존재하게된다. 예를들어물체가 z 축의 ( ) 방향으로 x 만큼낙하 한경우물체에서 (d x) 만큼의두께는여전히밀도가인영역에있으나, x 만큼의두께는밀도가인영역에들어간다. < 이기 때문에밀도가인영역에있는물체의일부분이받는부력은동일한부분이받는중력보다크다. 이상황에서알짜힘 F 는 밀도가인 영역의부력 + 밀도가인영역의부력 + 중력 이며, 그식을구해보면다음과같다. 물체가 z 축의 ( ) 방향으로 x 만큼낙하한상황이므로위식에서두번째줄은 z = x 를대입하였다. 위식의세번째줄에서, 라고놓으면다음과같이단순화할수있다. 이식은제시문 ( 나 ) 에설명된훅의법칙이적용되는상황에서탄성력의식과동일한형태이며, 진동의중심지점이 z = 0 에서 z = S 로 이동한진동운동을나타낸다. 또한 z = S 에서 F = 0 이므로이진동운동의진폭은 S 이다. 만일물체의낙하거리가물체의두께 d 를초과하면, 물체는밀도가 인영역에완전히들어가며, 물체가받는부력은물체가받는중력 보다크다. 이경우물체에가해지는알짜힘은물체의위치와무관하게일정하며, 힘의방향은 z 축의 (+) 방향으로서물체를초기위치로 되돌리는방향의힘이다. 설명된사항을고려하여물체의변위에따라물체에가해지는알짜힘의그래프를그려보면그형태는다음과같다. 훅의법칙이적용되는중간영역에서만진동운동이진행되는경우낙하하는최대변위는진폭의두배인 2S 가될것이다. 문제에서주 어진조건, 의양변에서을뺀후로나누면다음의부등식을얻을수있다. 066

68 자연계열논술문항파악하기 위부등식에의해 S < d / 2 이므로, 물체의최대변위는 2S > d 가되어, 물체는훅의법칙이적용되는중간영역에서진동운동을하 게됨을알수있다. 진동운동의주기는물체의질량 m 과용수철상수 k 에해당하는수식을제시문 ( 나 ) 의식에대입하면구할수있다. 따 라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정및계산과정이포함되어야한다. 유체속의물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합이다. 유체속의물체는크기가일정한중력과위치에따라달리지는부력을받는다. 물체의변위에따른알짜힘을구하면훅의법칙과동일한형태의식을얻는다. 문제의조건으로부터물체의최대운동범위가훅의법칙이적용되는구간에있음을확인할수있다. 이상의식에서물체가단진동운동을함을증명한다. 물체의질량과용수철상수에해당하는수식을대입하여진동운동의주기를구한다. 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1 예시답안 ] 물체의부피를라고할때, 부력은방향이며, 크기는이다. 물체에가해지는알짜힘은부력과중력의합으로이다. 물체의가속도는알짜힘을물체의질량으로나눈값이므로다음과같다. 물체의초기속도가 0 이고, 변위가이므로낙하에소요되는시간은다음과같다. [ 문제 4-1] 채점기준 부력을바르게구하면 +2점. 물체에가해지는전체힘 ( 알짜힘 ) 을바르게구하면 +3점. 알짜힘을물체의질량으로나누어가속도를바르게구하면 +2점. 낙하에소요되는시간을바르게구하면 +3점. ( 문제에주어지지않은물체의질량이나부피등으로표현했으면 +1점만부여 ). 힘의방향에따라알짜힘, 가속도등의 +/ 부호가혼동되어잘못표기되었더라도, 크기가맞으면그부분에해당하는점수를모두부여함. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 067

69 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2 예시답안 ] 물체에가해지는힘의합 ( 알짜힘 ) 은부력과중력의합이다. 자연계열논술문항파악하기 물체의변위가인경우, 물체가잠겨있는부분이에따라나누어지며, 부력은물체의부피를라고하면다음 과같다. 물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 은부력과중력을합하여다음과같다. 이힘은 라고할때, 제시문 ( 나 ) 에주어진스프링에작용하는 형태의힘이며, 변위에반대방향으로복원력이 작용하는운동으로주기운동임을알수있다. 진동의중심은 이며, 진폭은 이다. 물체가많이낙하하여변위 가 인경우, 물체의모든부분이밀도가 인영역에있으므로, 부력 은물체의부피를 라 고하면다음과같다. 이경우물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 은부력과중력을합하여다음과같이 (+) 로일정함을알수있다. 그런데, 구간에서진폭의두배를계산하면, 이며, 문제의조건에서이기때문에, 이다. 진폭의두배는진동운동에서물체의최대변위이므로, 이물체의운동은 영역에만한정되며, 용수철의운동과동일한진동운동임을알수있다. 제시문에서진동운동의주기이므로, 대입하면주기를구할수있다. [ 문제 4-2] 채점기준 물체에가해지는합력 ( 알짜힘 ) 이부력과중력의합이라고표현하면 +3점. 영역에서변위에따른부력의식을바르게구하면 +3점. 영역에서변위에따른부력의식을바르게구하면 +2점. 각영역에서부력과중력을합하여물체에가해지는알짜힘을바르게구하면각각 +1점. 영역에서계산된힘이스프링에작용하는복원력과동일한형태임을언급하면 +3점. 운동이영역에만국한됨을지적하면 +2점. 와질량을대입하여주기를바르게구하면 +5점. 변위의 +/ 부호가혼동되었더라도, 크기가맞으면그부분의점수를모두부여함. 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 068

70 자연계열논술문항파악하기 중앙대학교자연계열논술전형은 2014학년도까지통합형으로출제되어왔으나 2015학년도부터개별교과형으로변경되었다. 2016학년도중앙대학교자연계열수시논술전형을준비하는학생들에게도움이될수있도록기시행되었던생명과학논술시험기출문제의제시문과문항설명, 예시답안과채점기준을자세히설명하여생명과학을과학선택과목으로고려하고있는학생들에게올바른준비방향을제시하려한다. 제시문분석과배경지식설명은아래의고등학교교과서와 EBS 교재를참고하였으며모든기출및예시문항은고교교육과정의범위를벗어나지않도록유의하였다. [ 참고도서 ] 생명과학I : 교학사 ( 권혁빈 ; 박희송 ), 천재교육생명과학I I : 교학사, 상상아카데미, 천재교육 EBS 수능특강과학탐구영역생명과학I EBS 수능특강과학탐구영역생명과학II EBS 탐스런생명과학I 2015 학년도모의논술 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 소화기관을통한 3대영양소의소화과정은다음과같다. 입안의침샘에서분비되는침의 ph는약 5.0 정도이며아밀레이스가많이포함되어있어서탄수화물을엿당으로분해한다. 위의위샘에서분비되는위액의 ph는약 2.0 정도이며, 위액에의해펩신이활성화되어단백질이주로분해된다. 소장으로이동한음식물은소화액과섞여서 ph 7.0 정도의상태로바뀌며다양한소화효소작용에의해 3대영양소가모두소화된다. ( 나 ) 리소좀은여러가지가수분해효소가들어있는소낭이다. 리소좀은주로골지체로부터떨어져나와만들어진다. 리소좀내의효소들은강산또는중성의환경에서는잘작용하지못한다. 만약리소좀이터지거나열려서효소들이새어나오면빠져나온효소의활성은약화되는데, 그이유는세포질의 ph가중성이기때문이다. ( 다 ) 핵은세포에서일어나는모든생명활동의중추로서, 세포의물질합성과분비를포함한여러가지기능을조절하고유전형질을결정한다. 인은핵내에서뚜렷하게관찰되는구조로서 DNA에있는정보를통해리보솜 RNA(rRNA) 가합성되는장소이다. rrna는핵에서단백질과결합하여리보솜으로조립된후핵공을통해세포질로빠져나가서단백질번역과정에참여한다. 069

71 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 ( 라 ) 분비단백질은거친면소포체에부착된리보솜에서만들어진후소포체내로들어가 3 차원형태로접히게된다. 형성된단백질은소낭막에싸인채소포체에서떨어져나온후소포체근처에있는골지면의막과융합되어물 질을골지체로전달한다. [ 문제 4-1] 리소좀에있는효소를성분으로한소화제를만든다면어느단계의소화과정에서가장효과적으로작용할수있을지를제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에근거하여논리적으로설명하시오. [10점] [ 문제 4-2] 단백질분비가비정상적인돌연변이세포 I, II와정상세포에, 32 P로표지된핵산과 35 S로표지된아미노산을일정시간공급한후새로운배양용액에옮기고나서세포소기관별방사능검출여부를조사하여아래표에정리하였다. 세포소기관 A, B C, D의종류와각각의돌연변이세포에서단백질분비가정상적으로되지않는이유를제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 에근거하여구체적으로설명하시오. (O : 방사능다량검출, : 방사능소량검출, X : 방사능검출안됨 ) [20점] 세포소기관 A B C D 정상세포 돌연변이세포 I 돌연변이세포 II 32 P X O O X 35 S O X O O 32 P X O X 35 S X X X 32 P X O O X 35 S X X O O 1. 논제의분석 2015학년도생명과학모의논술에출제된문항들은 ~ 을제시문에근거하여논리적으로설명하시오 의형식으로되어있다. 이러한형식은다시두가지로나눌수있는데 i) 주어진제시문만을분석하여해답을제시하도록요구하는경우와 ii) 문제에주어진실험의결과를분석하여해답을제시해야하는경우가있다. 이러한형식의문항들은모두 논리적추론형 으로분류할수있는문항들로서단순한지식의암기만으로는해결하기어려운형태의문항들이다. 이는개별교과형출제가시행되기전다년간출제되었던중앙대학교논술시험방식인통합형논술과유사한형식을갖는다. 논리적추론형 문항이주어진경우다음과같은사항에유의하여답안을작성해야한다. 모든제시문은교과서와 EBS 교재에서발췌한것으로학생들에게익숙한내용이지만, 답안을작성할때제시문에주어진핵심용어들과개념을사용해야하기때문에본인의사전지식에의존하여답안을작성하기보다는제시문에주어진사항들을숙지한후문제풀이를시도해야함. 문제에서요구하는답안이무엇인지정확히파악하여제시하여야하며, 최종답안만을제시하는것이아니라답을얻기위한사고전개과정을각단계별로논리적으로설명해야함. 070

72 자연계열논술문항파악하기 2. 제시문의분석및배경지식 [ 제시문 ( 가 )] 출전 : EBS 수능특강생명과학I, 소화, 순환, 호흡, 배설과에너지, p.106 배경지식소화계의작용 : 우리가섭취한음식물은입, 위, 십이지장, 소장등의소화기관을거치면서이동한다. 3대영양소인탄수화물, 단백질, 지방은분자의크기가커서세포막을통과하지못하므로소화과정을거쳐체내로흡수될수있는작은분자로분해되어야한다. 소화는큰덩어리의음식물을작은덩어리로부수는기계적소화와, 소화효소를통해영양소를최종산물로분해시키는화학적소화로나눌수있다. 탄수화물은포도당, 과당, 갈락토스와같은단당류로, 단백질은아미노산으로, 지방은지방산과모노글리세리드로분해되어흡수된다. 제시문에설명된바와같이각소화기관에는다른종류의소화효소들이존재하고있으며, 이효소들은각각의기관이가진환경 (ph 등 ) 에서최적의활성을가진다. [ 제시문 ( 나 )] 출전 : 생명과학II, 교학사, 박희송, 세포와물질대사, p.28 배경지식효소의작용 : 효소는생물체내에서물질을분해하거나합성하는작용을한다. 또한, 효소는분자내의작용기를떼어다른분자로옮겨주거나, 분자의원자구조를바꿔성질이다른물질로변화시키는등다양한기능을한다. 효소를이루는단백질은대부분열과 ph 에의해쉽게입체구조가변한다. 입체구조가변하면효소-기질복합체의형성이어렵게되고, 그결과반응속도가감소하거나반응이일어나지않게된다. 효소의반응이가장잘일어나는온도와 ph가있는데이를각각최적온도, 최적 ph라고한다. 사람몸에존재하는효소의경우, 대개최적온도는체온정도이며, 최적 ph는중성부근이다. 그러나위에서작용하는펩신의경우는위의환경과비슷한 ph2에서활발히작용한다. [ 제시문 ( 다 )-( 라 )] 출전 : 생명과학II, 교학사, 박희송, 세포와물질대사, pp. 24~27 배경지식세포소기관의구조와기능 : 대표적인세포소기관의구조와기능은다음과같다. 핵 : 핵은세포에서일어나는모든생명활동의중추로서, 세포의물질합성과분비를포함한여러가지기능을조절하고유전형질을결정한다. 핵은핵막에의해세포질과구분되는데, 핵막은 2중막이고, 핵공이라고하는작은구멍들이뚫려있다. 핵공을통해 RNA, 단백질, 그리고고분자물질이출입할수있다. 핵속에는유전물질인 DNA가있다. 핵에있는유전정보에따라 mrna가합성되며합성된 mrna는핵공을통해세포질로이동된다. 세포질에있던리보솜이이 mrna의유전정보를이용하여아미노산을결합시켜단백질을만든다. 리보좀 : 리보좀은 rrna와단백질이합쳐져만들어진것으로, 단백질을합성하는세포소기관이다. 리보솜중에는세포질에떠다니는것과소포체막에부착되어있는것이있다. 세포질에떠있는리보좀에서합성된단백질은세포질내에서기능을하며, 소포체막에붙어있는리보좀에서합성된단백질은소포체막에삽입되거나리소좀내의가수분해효소처럼소기관내에포함되거나 세포로부터외포작용에의해분비된다. 071

73 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 자연계열논술문항파악하기 소포체 : 소포체에는구조와기능이다른매끈면소포체와거친면소포체가있다. 매끈면소포체는바깥표면에리보솜이없어서매 끄러워보이며, 거친면소포체는막의바깥표면에리보솜이붙어있어서전자현미경으로보면매우거칠게보인다. 매끈면소포체에서는인지질, 스테로이드등의지질이합성된다. 거친면소포체는부착된리보솜을통해분비단백질을만들뿐만아니라막에박힌단백질을만들기도하고, 세포에필요한막을만들기도한다. 골지체 : 골지체는생산, 저장, 분류및분비를담당하는기관이다. 소포체에서온생산물이수정되거나변화되어최종적으로어느곳으로갈것인지분류가된다. 소포체에서나온수송낭은소포체근처에있는골지면의막에융합되어물질을골지체로전달한다. 반대쪽면에서는소낭들이성장한후떨어져나가다른장소로이동한다. 3. 문항별분석및풀이과정 [ 문제 4-1] [ 문제 4-1] 은주요소화과정을담당하는효소와그들의활성에관여하는화학적최적조건을설명하는제시문 ( 가 ) 와리소좀내에존재하는가수분해효소의활성기전을서술한제시문 ( 나 ) 의내용을통합적으로이해하고논리적으로추론할수있는능력을평가하는문제이다. 리소좀에있는효소를이용하여소화제를만들려고하면먼저이효소가작용할수있는최적의조건을찾아야한다. 제시문 ( 나 ) 에서리소좀에있는효소들은강산또는중성 ph 환경에서잘작용하지못한다는정보를찾을수있다. 제시문 ( 가 ) 에의하면입안은 ph 5.0정도의약산성, 위는 ph 2.0정도의강산성, 소장은 ph 7.0의중성이라는것을알수있다. 제시문 ( 가 ) 와 ( 나 ) 의내용을종합해보면리소좀에있는효소는위나소장에서는작용하기어렵다는것을알수있다. 따라서이효소로소화제를만들게되면입안에서일어나는소화작용을돕는목적의소화제가될것이라고추론할수있다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 각소화기관의 ph 환경이다르다. 모든효소는최적조건을가지며리소좀에존재하는효소는강산및중성 ph 환경에서잘작용하지못한다. 따라서리소좀효소는강산, 중성이아닌입안에서가장잘작용할것이다. [ 문제 4-2] [ 문제 4-2] 는문제에서소개된방사선검출된정도를측정한표를가지고실제세포안에서일어나는단백질의분비경로를제시문 ( 다 ) 와 ( 라 ) 를읽고추론할수있어야한다. 특히, 제시문 ( 다 ) 에설명된리보솜은핵산과단백질로구성되어있으므로 32 P 표지를통해서리보솜의이동을예측가능하다는것을이해할수있어야한다. 본문제는기존의지식을응용하여실험결과를분석, 합리적인결과를도출해내는능력을평가하는것으로서통합적, 논리적사고력을평가하는문제이다. 이문제를해결하기위해서는우선제시문에설명된방사선동위원소를사용한핵산과단백질추적법에대한기본적인이해가필요하다. P는핵산에는존재하지만단백질에는존재하지않는구성원소이며, S는단백질에는존재하지만핵산에는존재하지않는구성원소이기때문에방사성동위원소인 32 P와 35 S는각각세포에서핵산 (DNA, RNA) 과단백질의합성과이동을분석하는도구로유용하게사용될수있다. 072

74 자연계열논술문항파악하기 A, B, C, D가각각어떤소기관인지알아내기위해서는먼저정상세포의 A, B, C, D에서 32 P와 35 S의검출정도를살펴봐야한다. 특히세포소기관중핵산이많이발견되는소기관이어떤것인지에초점을맞추면 32 P 이다량으로검출되는기관인 B와 C 중하나는핵, 나머지하나는리보솜이존재하는거친면소포체임을유추할수있다. 제시문 ( 다 ) 에서리보솜은핵산인 rrna와단백질이결합하여만들어진다고했으므로 32 P와 35 S가모두다량검출되는 C가거친면소포체일것이고, 그렇다면 32 P만다량검출된 B는핵이라고유추할수있다. A와 D가어떤소기관인지에대한정보는돌연변이세포 II의결과를통해얻을수있다. 제시문 ( 라 ) 에서핵과소포체를제외하고남은것은소낭과골지체인데, 돌연변이세포 II의경우소기관 D에서는 35 S로표지된단백질이검출되었지만소기관 A에서는검출되지않았으므로, 분비단백질의이동순서를고려하면소기관 D는소포체에서골지체로단백질을이동시켜주는소낭이고소기관 A는골지체임을알수있다. 이와같이 A, B, C, D 각각이 - 어떤소기관인지를파악하고나면돌연변이세포 I, II에서어떤문제가발생했는지는쉽게추론할수있다. 돌연변이세포 I의경우는핵공이작아지거나, 또는리보솜의수송과정에문제가생기거나하는여러가지원인에의해리보솜이핵에서거친면소포체로이동하는과정에문제가생긴경우로추론할수있다. 돌연변이세포 II의경우는거친면소포체에서골지체로의이동에문제가생긴경우로추론하는것이논리적이다. 따라서문제풀이에는다음과같은논리의전개과정이포함되어야한다. 정상세포의 A, B, C, D에서 32 P와 35 S의검출정도에의거하여 B와 C 중에서핵과거친면소포체를구분해내는과정. 돌연변이세포들을비교하여 A와 D 중에서골지체와소낭을구분해내는과정. 제시문에근거하여단백질분비과정중어떤단계에문제가생겼는지유추해내는과정. 4. 문항별예시답안및채점기준 [ 문제 4-1] 예시답안제시문 ( 나 ) 에서리소좀의가수분해효소는중성이나강산성환경에서는잘작용하지못한다고언급했고, 제시문 ( 나 ) 에서소개된소화기관인입, 위, 소장은각각약산, 강산, 중성의환경이므로리소좀에존재하는가수분해효소는위의강산성환경이나소장의중성환경이아닌, 입안의약상성환경에서음식물소화작용에효과적으로작용할것이다. 채점기준 각소화기관의 ph환경이약산성, 강산성, 중성환경이라는표현이있으면 +5점 리소좀효소는입안에서잘작용할것이라는문장이있으면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~2점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 10점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 073

75 CHUNG ANG UNIVERSITY 2016 학년도중앙대학교논술백서 [ 문제 4-2] 예시답안 자연계열논술문항파악하기 제시문 ( 다 ) 에근거하여 32 P가포함되어있는핵산은 rrna이고이는리보솜을구성하고있으므로세포소기관 B, C는리보솜이존재하는세포소기관이다. 표에서소기관 B는 32 P만검출되는반면소기관 C에서는 32 P와 35 S가다검출되므로, 소기관 B는핵이고소기관 C는거친면소포체이다. 돌연변이세포 I의경우소기관 B에서많이검출된 32 P가소기관 C에서는소량검출되었으므로핵공에의한리보좀의이동이저해되어단백질의합성자체가감소한경우이다. 제시문 ( 라 ) 에근거하여소기관 A와소기관 D는소낭과골지체인데, 돌연변이세포 II의경우소기관 D에서는 35 S로표지된단백질이검출되었지만소기관 A에서는검출되지않았으므로소기관 D는소포체에서골지체로단백질을이동시켜주는소낭이고소기관 A는골지체임을알수있다. 따라서돌연변이세포 II는소낭이골지면과융합되는과정이억제되는돌연변이가생긴세포이다. 채점기준 32 P의이동비교를통해 B가핵이고, C가거친면소포체임을유추했으면 +5점 돌연변이세포 I은핵공을통한리보솜이동에이상이생겨서단백질합성이저해되어분비가안된다는내용이있으면 +5점 32 S의이동비교를통해 A가골지체이고, D가소낭인것을유추했으면 +5점 돌연변이세포 II는소낭과골지면의융합에문제가있어서단백질분비가안된다는내용이있으면 +5점 각단계에서오류가있어도논리성을고려하여부분점수 1~3점부여가능. 각부분에서바르게답안을작성한경우에도답안의완성도에따라총점 20점이내에서 ±0.5점추가점수부여가능함. 074

76 자연계열논술문항파악하기 2015 학년도수시일반논술 ( 자연계열 I) 문제 4 다음제시문 ( 가 )-( 라 ) 를읽고문항에답하시오. ( 가 ) 자극을받지않았을때신경세포 ( 뉴런 ) 의세포막에형성되어있는막전위를측정해보면뉴런의내부는음 ( ) 으로, 외부는양 (+) 으로대전되어전위차가나타난다. 이때형성되는세포막내외의전위차를휴지전위라고한다. 사람의경우휴지전위는약 70 mv이며, Na + -K + 펌프와 Na + 통로및 K + 통로에의해유지되고있다. 세포안팎의농도차에따라 Na + 은세포내부로, K + 은세포외부로확산되려고하는데, 이온은지질성분의세포막을통과하지못하므로각각 Na + 통로와 K + 통로를통해세포안팎으로확산된다. 이때 Na + 통로에비해 K + 통로가열려있는것이더많아 Na + 에비해 K + 의투과도가더높다. 이때문에 K + 이세포외부로빠져나가고, 또내부에존재하는단백질이 ( ) 전하를띠고있기때문에뉴런내부는 ( ), 뉴런외부는 (+) 가되며, 막내외의전위차가 70 mv 정도가되면평형을이루게된다. ( 나 ) 활동전위는뉴런의막전위가휴지전위에서시작하여최대치로올라갔다가, 다시휴지전위로되돌아오는신경신호를말한다. 활동전위를이루는전기적변화를살펴보면, 충분히강한자극을뉴런에주면일부 Na + 통로가열려세포외부의 Na + 이세포내부로확산되어들어와막전위가역치전위인 50 mv까지올라간다. 역치전위에이르면더많은 Na + 통로가열리게되며, 세포외부의 Na + 이세포내부로대량확산되어들어오게되고, 이에따라이부분의막전위가 +35 mv로역전된다. 막전위가최고점에이르면세포막의투과성이변하고 Na + 통로가닫혀불활성화되며, K + 통로가열려 K + 이세포밖으로확산되어나가게된다. 이에따라막전위는빠른속도로원래의휴지전위이하로떨어지는재분극이일어난다. 재분극이후세포막의투과성이원래대로회복됨에따라 Na + -K + 펌프가 Na + 을세포밖으로, K + 을세포안으로이동시켜이온을재배치함으로써막전위는휴지전위상태를회복한다. ( 다 ) 흥분이축삭돌기말단에도달하면 Ca 2+ 이유입되면서말단에있는시냅스소포에서아세틸콜린과같은신경전달물질이시냅스틈으로분비된다. 신경전달물질은시냅스틈으로확산되어, 다음뉴런또는근육과같은흥분성세포의세포막에있는이온통로가열리게한다. 충분한양의이온통로가열리면, 다음뉴런의세포막에서탈분극이일어나흥분이전달된다. 한편, 시냅스에서흥분은축삭돌기에서다음뉴런의가지돌기나세포체로만전달되며반대방향으로는전달되지않는다. 그이유는신경전달물질을분비하는시냅스소포가축삭돌기말단에만있기때문이다. ( 라 ) 운동뉴런의말단은근육섬유막과시냅스처럼좁은틈을두고접해있다. 흥분이운동뉴런을따라전도되어축삭돌기말단에도달하면시냅스소포에서아세틸콜린이분비되고, 아세틸콜린이근육섬유막으로확산되면근육섬유막에있는아세틸콜린수용체를활성시켜서근육섬유막이탈분극됨으로써활동전위가발생한다. 이활동전위가근육원섬유에전달되면근육원섬유마디가짧아져근육이수축하게된다. 근육섬유는역치이상의자극에서는자극의세기와관계없이반응의크기가항상일정하다. 075